نظام الجبر الحاسوبي

نظام الجبر الحاسوبي ( CAS ) أو نظام الجبر الرمزي ( SAS ) هو أي برنامج رياضي قادر على معالجة التعبيرات الرياضية بطريقة مشابهة للحسابات اليدوية التقليدية التي كان يجريها علماء الرياضيات والعلوم . ويُعدّ تطوير أنظمة الجبر الحاسوبي في النصف الثاني من القرن العشرين جزءًا من تخصص " الجبر الحاسوبي " أو "الحساب الرمزي"، الذي حفّز بدوره العمل على تطوير خوارزميات لمعالجة الكائنات الرياضية مثل كثيرات الحدود .

يمكن تقسيم أنظمة الجبر الحاسوبية إلى فئتين: متخصصة وعامة الأغراض. الأنظمة المتخصصة مخصصة لجزء محدد من الرياضيات، مثل نظرية الأعداد ، أو نظرية الزمر ، أو تدريس الرياضيات الابتدائية .

تهدف أنظمة الجبر الحاسوبية العامة إلى أن تكون مفيدة للمستخدم العامل في أي مجال علمي يتطلب التعامل مع التعبيرات الرياضية. ولكي تكون مفيدة، يجب أن تتضمن أنظمة الجبر الحاسوبية العامة ميزات متنوعة مثل:

• واجهة مستخدم تسمح للمستخدم بإدخال وعرض الصيغ الرياضية، عادةً من لوحة المفاتيح أو قوائم الاختيار أو الماوس أو القلم الضوئي.
• لغة برمجة ومترجم ( عادةً ما تكون نتيجة الحساب ذات شكل وحجم غير متوقعين؛ لذلك غالبًا ما تكون هناك حاجة لتدخل المستخدم)،
• مُبسِّط ، وهو نظام لإعادة كتابة المعادلات الرياضية لتبسيطها.
• مدير الذاكرة ، بما في ذلك جامع البيانات المهملة ، وهو أمر ضروري بسبب الحجم الهائل للبيانات الوسيطة التي قد تظهر أثناء عملية الحساب.
• تطبيق حسابي بدقة تعسفية ، وهو أمر ضروري نظراً للحجم الهائل للأعداد الصحيحة التي قد تظهر.
• مكتبة كبيرة من الخوارزميات الرياضية والوظائف الخاصة .

لا ينبغي للمكتبة أن تلبي احتياجات المستخدمين فحسب، بل يجب أن تلبي أيضًا احتياجات المُبسِّط. على سبيل المثال، يُستخدم حساب القواسم المشتركة الكبرى لكثيرات الحدود بشكل منهجي لتبسيط التعبيرات التي تتضمن كسورًا.

تُفسر هذه القدرة الحاسوبية الكبيرة المطلوبة قلة عدد أنظمة الجبر الحاسوبية العامة. ومن أبرز هذه الأنظمة: Axiom و GAP و Maxima و Magma و Maple و Mathematica و SageMath و SymPy .

في خمسينيات القرن العشرين، وبينما كانت الحواسيب تُستخدم بشكل أساسي في العمليات الحسابية العددية، كانت هناك بعض المشاريع البحثية التي تتناول استخدامها في المعالجة الرمزية. بدأت أنظمة الجبر الحاسوبي بالظهور في ستينيات القرن العشرين، وتطورت من مصدرين مختلفين تمامًا: متطلبات الفيزيائيين النظريين وأبحاث الذكاء الاصطناعي . ^{[ 1 ]}

ومن الأمثلة البارزة على التطور الأول العمل الرائد الذي قام به مارتينوس فيلتمان ، الحائز على جائزة نوبل في الفيزياء لاحقاً، والذي صمم برنامجاً للرياضيات الرمزية، وخاصة فيزياء الطاقة العالية، أطلق عليه اسم Schoonschip (وهي كلمة هولندية تعني "السفينة النظيفة") في عام 1963. ومن الأنظمة المبكرة الأخرى FORMAC . ^{[ 2 ]}

باستخدام لغة ليسب كأساس للبرمجة، ابتكر كارل إنجلمان برنامج ماثلاب عام 1964 في معهد MITRE ضمن بيئة بحثية للذكاء الاصطناعي. ^{[ 3 ]} أُتيح برنامج ماثلاب لاحقًا للمستخدمين على أنظمة PDP-6 وPDP-10 التي تعمل بنظامي TOPS-10 أو TENEX في الجامعات. ولا يزال بالإمكان استخدامه اليوم على محاكيات SIMH لنظام PDP-10. يجب عدم الخلط بين ماثلاب ("مختبر الرياضيات") وماتلاب ( " مختبر الشبكات " ) ، وهو نظام للحساب العددي بُني بعد 15 عامًا في جامعة نيو مكسيكو .

في عام 1987، طرحت شركة هيوليت-باكارد أول آلة حاسبة يدوية مزودة بنظام الجبر الرمزي (CAS) مع سلسلة HP-28 . ^{[ 4 ]} وشملت الآلات الحاسبة اليدوية المبكرة الأخرى المزودة بإمكانيات الجبر الرمزي سلسلة TI-89 من شركة تكساس إنسترومنتس وآلة حاسبة TI-92 ، وآلة حاسبة كاسيو CFX-9970G . ^{[ 5 ]}

كانت أنظمة الجبر الحاسوبي الأولى الشائعة هي muMATH و Reduce و Derive (المبني على muMATH) و Macsyma ؛ ويُطلق على نسخة Macsyma المرخصة اسم Maxima . أصبح Reduce برنامجًا مجانيًا في عام 2008. ^{[ 6 ]} تشمل الأنظمة التجارية Mathematica ^{[ 7 ]} و Maple ، والتي يستخدمها عادةً باحثو الرياضيات والعلماء والمهندسون. من البدائل المتاحة مجانًا SageMath (الذي يمكن أن يعمل كواجهة أمامية للعديد من أنظمة الجبر الحاسوبي المجانية وغير المجانية). تشمل الأنظمة المهمة الأخرى Axiom و GAP وMaxima و Magma .

شهد التحول إلى التطبيقات المستندة إلى الويب في أوائل العقد الأول من القرن الحادي والعشرين إطلاق WolframAlpha ، وهو محرك بحث عبر الإنترنت ونظام جبر حاسوبي يتضمن إمكانيات Mathematica . ^{[ 8 ]}

في الآونة الأخيرة، تم تطبيق أنظمة الجبر الحاسوبي باستخدام الشبكات العصبية الاصطناعية . ^{[ 9 ]}

تشمل التلاعبات الرمزية المدعومة عادةً ما يلي:

• التبسيط إلى تعبير أصغر أو شكل قياسي ، بما في ذلك التبسيط التلقائي مع افتراضات والتبسيط مع قيود.
• استبدال الرموز أو القيم العددية بتعبيرات معينة
• تغيير شكل التعبيرات: توسيع الضرب والقوى، والتحليل الجزئي والكامل ، وإعادة الكتابة على شكل كسور جزئية ، وإرضاء القيود ، وإعادة كتابة الدوال المثلثية على شكل دوال أسية، وتحويل التعبيرات المنطقية، إلخ.
• التمايز الجزئي والكلي
• بعض التكاملات غير المحددة والمحددة (انظر التكامل الرمزي )، بما في ذلك التكاملات متعددة الأبعاد
• التحسين العالمي الرمزي المقيد وغير المقيد
• حل المعادلات الخطية وبعض المعادلات غير الخطية على نطاقات مختلفة
• حل بعض المعادلات التفاضلية والفرق
• ضع بعض الحدود
• التحويلات التكاملية
• عمليات متسلسلة مثل التوسيع والجمع والمنتجات
• عمليات المصفوفات بما في ذلك الضرب والمعكوسات وما إلى ذلك .
• الحساب الإحصائي
• إثبات النظريات والتحقق منها، وهو أمر مفيد للغاية في مجال الرياضيات التجريبية.
• توليد كود مُحسَّن

في المثال أعلاه، تشير كلمة "بعض" إلى أن العملية لا يمكن إجراؤها دائمًا.

وتشمل العديد منها أيضًا ما يلي:

• لغة برمجة ، تسمح للمستخدمين بتنفيذ خوارزمياتهم الخاصة
• العمليات العددية ذات الدقة العشوائية
• وظائف الحساب الدقيق للأعداد الصحيحة ونظرية الأعداد
• تحرير التعبيرات الرياضية في شكل ثنائي الأبعاد
• رسم الرسوم البيانية والرسوم البيانية البارامترية للدوال في بعدين وثلاثة أبعاد، وتحريكها
• رسم المخططات والرسوم البيانية
• واجهات برمجة التطبيقات لربطها ببرنامج خارجي مثل قاعدة بيانات، أو استخدامها في لغة برمجة لاستخدام نظام الجبر الحاسوبي
• معالجة السلاسل النصية مثل المطابقة والبحث
• إضافات للاستخدام في الرياضيات التطبيقية مثل الفيزياء والمعلوماتية الحيوية والكيمياء الحاسوبية وحزم الحوسبة الفيزيائية ^{[ 10 ]}
• حلول المعادلات التفاضلية ^{[ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ]}
• تنسيق مخرجات الطباعة لتتوافق مع اصطلاحات الترميز الرياضي القياسية

بعضها يشمل:

• إنتاج وتحرير الرسومات مثل الصور المولدة بالحاسوب ومعالجة الإشارات كمعالجة الصور
• توليف الصوت

تركز بعض أنظمة الجبر الحاسوبي على تخصصات محددة؛ وعادةً ما يتم تطويرها في الأوساط الأكاديمية وتكون مجانية. وقد تكون أقل كفاءة في العمليات العددية مقارنةً بالأنظمة العددية.

تتضمن التعبيرات التي تعالجها أنظمة الجبر الحاسوبية عادةً كثيرات الحدود متعددة المتغيرات ؛ والدوال القياسية للتعبيرات ( الجيب ، والدالة الأسية ، إلخ)؛ والعديد من الدوال الخاصة ( دالة غاما ، ودالة زيتا ، ودالة الخطأ ، ودوال بيسل ، إلخ)؛ ودوال التعبيرات العشوائية؛ والتحسين؛ والمشتقات، والتكاملات، والتبسيطات، والمجاميع، وحاصل ضرب التعبيرات؛ والمتسلسلات المقتطعة التي تكون فيها التعبيرات هي المعاملات، ومصفوفات التعبيرات، وما إلى ذلك. ^{[ 15 ] [ 16 ]} وتشمل المجالات العددية المدعومة عادةً تمثيل الفاصلة العائمة للأعداد الحقيقية ، والأعداد الصحيحة (ذات الحجم غير المحدود)، والأعداد المركبة (تمثيل الفاصلة العائمة)، وتمثيل الفترات للأعداد الحقيقية ، والأعداد النسبية (التمثيل الدقيق)، والأعداد الجبرية .

هناك العديد من الدعوات لزيادة استخدام أنظمة الجبر الحاسوبية في فصول المرحلتين الابتدائية والثانوية. والسبب الرئيسي لهذه الدعوات هو أن أنظمة الجبر الحاسوبية تُجسّد الرياضيات في العالم الحقيقي بشكل أفضل من الرياضيات التي تعتمد على الورقة والقلم أو الآلة الحاسبة اليدوية. ^{[ 17 ]} وقد حظي هذا التوجه نحو زيادة استخدام الحاسوب في فصول الرياضيات بدعم بعض مجالس التعليم، بل وتم إدراجه ضمن المناهج الدراسية في بعض المناطق. ^{[ 18 ]}

تُستخدم أنظمة الجبر الحاسوبي على نطاق واسع في التعليم العالي. ^{[ 19 ] [ 20 ]} تقدم العديد من الجامعات دورات تدريبية متخصصة في تطوير استخدامها، أو تتوقع ضمنيًا من الطلاب استخدامها في مقرراتهم الدراسية. وقد سعت الشركات المطورة لأنظمة الجبر الحاسوبي إلى زيادة انتشارها في برامج الجامعات والكليات. ^{[ 21 ] [ 22 ]}

لا يُسمح باستخدام الآلات الحاسبة المزودة بنظام CAS في اختبارات ACT و PLAN وSAT ، وفي بعض الفصول الدراسية ^{[ 23 ] [ 24 ]،} على الرغم من أنه قد يُسمح باستخدامها في اختبارات AP التي يسمح بها مجلس الكليات ، بما في ذلك اختبارات AP في حساب التفاضل والتكامل والكيمياء والفيزياء والإحصاء . ^{[ 24 ]}

• خوارزمية إكمال كنوت-بنديكس ^{[ 25 ]}
• خوارزميات البحث عن الجذور ^{[ 25 ]}
• التكامل الرمزي عبر خوارزمية Risch أو خوارزمية Risch-Norman على سبيل المثال
• الجمع الهندسي الفائق باستخدام خوارزمية جوسبر على سبيل المثال
• الحد من الحساب باستخدام خوارزمية غرونتز على سبيل المثال
• تحليل كثير الحدود عبر، على سبيل المثال، الحقول المنتهية، ^{[ 26 ]} خوارزمية بيرلكامب أو خوارزمية كانتور-زاسنهاوس .
• إيجاد القاسم المشترك الأكبر باستخدام خوارزمية إقليدس على سبيل المثال
• حذف غاوسي ^{[ 27 ]}
• أساس غروبنر عبر خوارزمية بوخبيرغر على سبيل المثال ؛ تعميم خوارزمية إقليدس وحذف غاوس
• باديه التقريبي
• معضلة شوارتز-زيبيل واختبار متطابقات كثيرات الحدود
• نظرية الباقي الصينية
• المعادلات الديوفانتية
• خوارزمية لاندو (الجذور المتداخلة)
• مشتقات الدوال الأولية والدوال الخاصة . (على سبيل المثال، انظر مشتقات دالة غاما غير الكاملة .)
• التفكيك الجبري الأسطواني
• حذف الكميات على الأعداد الحقيقية باستخدام التفكيك الجبري الأسطواني

• قائمة أنظمة الجبر الحاسوبي
• الحوسبة العلمية
• حزمة إحصائية
• إثبات النظريات آلياً
• لغة النمذجة الجبرية
• برمجة المنطق المقيد
• قابلية الإرضاء وفقًا للنظريات

• المناهج والتقييم في عصر أنظمة الجبر الحاسوبية مؤرشفة في 1 ديسمبر 2009 في Wayback Machine - من مركز معلومات موارد التعليم، مركز تبادل المعلومات للعلوم والرياضيات والتعليم البيئي، كولومبوس، أوهايو .
• ريتشارد ج. فيتمان. "مقالات في التبسيط الجبري". تقرير فني MIT-LCS-TR-095، 1972. (ذو أهمية تاريخية في توضيح اتجاه البحث في الجبر الحاسوبي. على موقع MIT LCS الإلكتروني:)