علم التماثل دي رام

بالنسبة للكرة ذات البعد n ،${\displaystyle S^{n}}$وكذلك عند أخذها مع حاصل ضرب فترات مفتوحة، نحصل على ما يلي. ليكن${\displaystyle n>0}$،${\displaystyle m\geq 0}$، و${\displaystyle I}$لتكن فترة حقيقية مفتوحة. إذن

$${\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{k}(S^{n}\times I^{m})\simeq {\begin{cases}\mathbb {R} &k=0{\text{ or }}k=n,\\0&k\neq 0{\text{ and }}k\neq n.\end{cases}}}$$

ال${\displaystyle n}$-torus هو الضرب الديكارتي

${\displaystyle T^{n}=\underbrace {S^{1}\times \cdots \times S^{1}} _{n}}$.

وبالمثل، السماح${\displaystyle n\geq 1}$هنا، نحصل على${\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{k}(T^{n})\simeq \mathbb {R} ^{n \choose k}.}$

يمكننا أيضًا إيجاد مولدات صريحة لتماثل دي رام للسطح الحلقي مباشرةً باستخدام الأشكال التفاضلية. بالنظر إلى مشعب خارج القسمة${\displaystyle \pi :X\to X/G}$وشكل تفاضلي${\displaystyle \omega \in \Omega ^{k}(X)}$يمكننا القول ذلك${\displaystyle \omega }$يكون${\displaystyle G}$ثابت إذا تم إعطاء أي تماثل تفاضلي ناتج عن${\displaystyle G}$،${\displaystyle \cdot g:X\to X}$لدينا${\displaystyle (\cdot g)^{*}(\omega )=\omega }$وعلى وجه الخصوص، التراجع بأي شكل من الأشكال على${\displaystyle X/G}$يكون${\displaystyle G}$ثابت. كذلك، فإن السحب العكسي هو تشاكل أحادي. في حالتنا من${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}/\mathbb {Z} ^{n}}$الأشكال التفاضلية${\displaystyle dx_{i}}$نكون${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$ثابت لأن${\displaystyle d(x_{i}+k)=dx_{i}}$لكن لاحظ أن${\displaystyle x_{i}+\alpha }$ل${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$ليس ثابتًا${\displaystyle 0}$-form. هذا مع خاصية الحقن يعني أن

${\displaystyle [dx_{i}]\in H_{dR}^{1}(T^{n})}$

بما أن حلقة التماثل لسطح حلقي تتولد بواسطة${\displaystyle H^{1}}$إن أخذ المنتجات الخارجية لهذه الأشكال يعطي جميع الممثلين الصريحين لعلم التماثل دي رام للطور.

الفضاء الإقليدي المثقوب هو ببساطة${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$مع إزالة الأصل.

${\displaystyle H_{\text{dR}}^{k}(\mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\})\cong {\begin{cases}\mathbb {R} ^{2}&n=1,k=0\\\mathbb {R} &n>1,k=0,n-1\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}.}$

يمكننا أن نستنتج من حقيقة أن شريط موبيوس ،${\displaystyle M}$، يمكن أن يتراجع التشوه إلى${\displaystyle 1}$-الكرة (أي دائرة الوحدة الحقيقية)، التي:

$${\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{k}(M)\simeq H_{\mathrm {dR} }^{k}(S^{1}).}$$

تعتمد البرهنة القياسية على إظهار أن مُركَّب دي رام، عند النظر إليه كمُركَّب من الحزم، هو تحليل غير دوري لـ${\textstyle {\underline {\mathbb {R} }}}$بمزيد من التفصيل، دعنا${\displaystyle m}$ليكن بُعد${\displaystyle M}$ودع${\textstyle \Omega ^{k}}$يشير إلى حزمة من الجراثيم${\displaystyle k}$- نماذج على${\displaystyle M}$(مع${\textstyle \Omega ^{0}}$حزمة من${\textstyle C^{\infty }}$الوظائف على${\displaystyle M}$). وبحسب مبرهنة بوانكاريه ، فإن تسلسل الحزم التالي هو تسلسل تام (في الفئة الأبيلية للحزم):

$${\displaystyle 0\to {\underline {\mathbb {R} }}\to \Omega ^{0}\xrightarrow {d_{0}} \Omega ^{1}\xrightarrow {d_{1}} \Omega ^{2}\xrightarrow {d_{2}} \cdots \xrightarrow {d_{m-1}} \Omega ^{m}\to 0.}$$

ينقسم هذا التسلسل الطويل والدقيق الآن إلى تسلسلات قصيرة ودقيقة من الحزم.

$${\displaystyle 0\to \operatorname {im} d_{k-1}\xrightarrow {\subset } \Omega ^{k}\xrightarrow {d_{k}} \operatorname {im} d_{k}\to 0,}$$

حيث يكون لدينا، بحسب الدقة، تماثلات${\textstyle \operatorname {im} d_{k-1}\cong \ker d_{k}}$للجميع${\displaystyle k}$كل من هذه الحالات يُنتج متتالية تامة طويلة في علم التماثل. بما أن الحزمة${\textstyle \Omega ^{0}}$ل${\textstyle C^{\infty }}$الوظائف على${\displaystyle M}$يقبل تقسيمات الوحدة ، أي${\textstyle \Omega ^{0}}$الوحدة النمطية عبارة عن حزمة دقيقة ؛ وعلى وجه الخصوص، الحزم${\textstyle \Omega ^{k}}$كل شيء على ما يرام. لذلك، فإن مجموعات التماثل الحزمي${\textstyle H^{i}(M,\Omega ^{k})}$يختفي من أجل${\textstyle i>0}$بما أن جميع الحزم الدقيقة على الفضاءات شبه المتراصة غير دورية، فإن متواليات التماثل التام الطويلة نفسها تنفصل في النهاية إلى سلسلة من التشاكلات. في أحد طرفي السلسلة يوجد تماثل الحزم لـ${\textstyle {\underline {\mathbb {R} }}}$وفي الجانب الآخر تكمن نظرية التماثل دي رام.

لو${\displaystyle M}$إذا كانت متعددة شعب ريمانية متراصة ، فإن كل فئة تكافؤ في${\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{k}(M)}$يحتوي على شكل توافقي واحد فقط . أي أن كل عضو${\displaystyle \omega }$يمكن كتابة فئة تكافؤ معينة من الأشكال المغلقة على النحو التالي

$${\displaystyle \omega =\alpha +\gamma }$$

أين${\displaystyle \alpha }$دقيق و${\displaystyle \gamma }$متناغم:${\displaystyle \Delta \gamma =0}$.

أي دالة توافقية على مشعب ريماني متصل ومضغوط هي ثابتة. وبالتالي، يمكن فهم هذا العنصر التمثيلي المحدد على أنه قيمة قصوى (قيمة دنيا) لجميع الأشكال المتكافئة تماثليًا على المشعب. على سبيل المثال، على${\displaystyle 2}$- الطارة ، يمكن للمرء أن يتصور ثابتًا${\displaystyle 1}$- شكلٌ يكون فيه كل "الشعر" ممشطًا بدقة في نفس الاتجاه (وجميع "الشعر" له نفس الطول). في هذه الحالة، يوجد تمشيطان مختلفان تماثليًا؛ جميع التمشيطات الأخرى هي تركيبات خطية. على وجه الخصوص، هذا يعني أن عدد بيتي الأول لـ${\displaystyle 2}$-torus تعني اثنين. وبشكل أعم، على${\displaystyle n}$حلقة ذات أبعاد${\displaystyle T^{n}}$يمكن للمرء أن ينظر في التوليفات المختلفة لـ${\displaystyle k}$-تتشكل على السطح الحلقي. هناك${\displaystyle n}$يختار${\displaystyle k}$مثل هذه التمشيطات التي يمكن استخدامها لتشكيل متجهات الأساس لـ${\displaystyle H_{\text{dR}}^{k}(T^{n})}$؛ ال${\displaystyle k}$رقم بيتي لمجموعة دي رام للتجانس لـ${\displaystyle n}$وبالتالي فإن -torus هو${\displaystyle n}$يختار${\displaystyle k}$.

وبشكل أدق، بالنسبة لمتشعب تفاضلي${\displaystyle M}$يمكن تزويده ببعض المقاييس الريمانية المساعدة . ثم يكون لابلاس${\displaystyle \Delta }$يتم تعريفها بواسطة

$${\displaystyle \Delta =d\delta +\delta d}$$

مع${\displaystyle d}$المشتق الخارجي و${\displaystyle \delta }$المؤثر التفاضلي المشترك . لابلاس هو مؤثر تفاضلي خطي متجانس (في التدرج ) يعمل على الجبر الخارجي للأشكال التفاضلية : يمكننا النظر إلى تأثيره على كل مكون من الدرجة${\displaystyle k}$بشكل منفصل.

لو${\displaystyle M}$إذا كانت المجموعة متراصة وموجهة ، فإن بُعد نواة لابلاس المؤثرة على فضاء الأشكال من الرتبة k يساوي (بحسب نظرية هودج ) بُعد مجموعة دي رام للتماثل من الدرجة k${\displaystyle k}$يُحدد لابلاس شكلاً توافقياً فريداً في كل فئة من فئات التماثل للأشكال المغلقة . على وجه الخصوص، فضاء جميع الأشكال التوافقية${\displaystyle k}$- نماذج على${\displaystyle M}$متماثل مع${\displaystyle H^{k}(M;\mathbb {R} )}$يكون بُعد كل فضاء من هذه الفضاءات محدودًا، ويُعطى بواسطة${\displaystyle k}$رقم بيتي رقم -th .

يترك${\displaystyle M}$ليكن متعدد شعب ريماني مضغوط وموجه . ينص تحليل هودج على أن أي${\displaystyle k}$-نموذج على${\displaystyle M}$ينقسم بشكل فريد إلى مجموع ثلاثة مكونات L ^{2 :}

$${\displaystyle \omega =\alpha +\beta +\gamma ,}$$

أين${\displaystyle \alpha }$دقيق،${\displaystyle \beta }$متطابقة تمامًا، و${\displaystyle \gamma }$هو توافقي.

يقول أحدهم إن هناك شكلاً${\displaystyle \beta }$تكون مغلقة بشكل مشترك إذا${\displaystyle \delta \beta =0}$وتطابق تام إذا${\displaystyle \beta =\delta \eta }$بشكل ما${\displaystyle \eta }$وذلك${\displaystyle \gamma }$تكون متناغمة إذا كانت قيمة لابلاس تساوي صفرًا،${\displaystyle \Delta \gamma =0}$ويترتب على ذلك ملاحظة أن الأشكال التامة والمتطابقة متعامدة؛ وبالتالي، يتكون المكمل المتعامد من أشكال مغلقة ومتطابقة الإغلاق: أي من الأشكال التوافقية. هنا، يُعرَّف التعامد بالنسبة للجداء ^{الداخلي} L2 على${\displaystyle \Omega ^{k}(M)}$:

$${\displaystyle (\alpha ,\beta )=\int _{M}\alpha \wedge {\star \beta }.}$$

باستخدام فضاءات سوبوليف أو التوزيعات ، يمكن توسيع التفكيك على سبيل المثال إلى مشعب ريماني كامل (موجه أو غير موجه). ^{[ 6 ]}