معادلة تفاضلية

📅 آخر تحديث: ٢٦ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٦ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 28 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، المعادلة التفاضلية هي معادلة تربط بين دالة أو أكثر مجهولة ومشتقاتها . [ 1 ] في التطبيقات ، تمثل الدوال عادةً كميات فيزيائية، وتمثل المشتقات معدلات تغيرها، وتحدد المعادلة التفاضلية العلاقة بينهما. تُعد هذه العلاقات شائعة في النماذج الرياضية والقوانين العلمية ؛ ولذلك ، تلعب المعادلات التفاضلية دورًا بارزًا في العديد من التخصصات، بما في ذلك الهندسة والفيزياء والاقتصاد وعلم الأحياء .

يتألف علم المعادلات التفاضلية أساسًا من دراسة حلولها (مجموعة الدوال التي تحقق كل معادلة)، وخصائص هذه الحلول. لا يمكن حل سوى أبسط المعادلات التفاضلية باستخدام صيغ صريحة؛ ومع ذلك، يمكن تحديد العديد من خصائص حلول معادلة تفاضلية معينة دون حسابها بدقة.

في كثير من الأحيان، عندما لا يتوفر تعبير رياضي مغلق للحلول، يمكن تقريب الحلول عدديًا باستخدام الحواسيب، وقد طُوّرت العديد من الطرق العددية لتحديد الحلول بدقة معينة. وتحلل نظرية الأنظمة الديناميكية الجوانب النوعية للحلول، مثل سلوكها المتوسط ​​على مدى فترة زمنية طويلة.

تاريخ

ظهرت المعادلات التفاضلية مع اختراع حساب التفاضل والتكامل على يد إسحاق نيوتن وجوتفريد لايبنتز . في الفصل الثاني من كتابه "Methodus fluxionum et Serirum Infinitarum" الصادر عام 1671 ، [ 2 ] ذكر نيوتن ثلاثة أنواع من المعادلات التفاضلية:

دyدx=و(x)دyدx=و(x،y)x1∂y∂x1+x2∂y∂x2=y{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dy}{dx}}&=f(x)\\[4pt]{\frac {dy}{dx}}&=f(x,y)\\[4pt]x_{1}{\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}&+x_{2}{\frac {\partial y}{\partial x_{2}}}=y\end{aligned}}}

في جميع هذه الحالات، تكون y دالة مجهولة لـ x (أو لـ x1 و x2 ) ، و f دالة معطاة. وقد حلّ هذه الأمثلة وغيرها باستخدام المتسلسلات اللانهائية ، وناقش عدم تفرّد الحلول.

اقترح جاكوب برنولي معادلة برنولي التفاضلية عام 1695. [ 3 ] وهي معادلة تفاضلية عادية على الصورة التالية:

y′+P(x)y=سؤال(x)yن{\displaystyle y'+P(x)y=Q(x)y^{n}\,}

وفي العام التالي، توصل لايبنتز إلى حلول لها عن طريق تبسيطها. [ 4 ]

تاريخياً، درس جان لو رون دالمبير ، وليونهارد أويلر ، ودانيال برنولي ، وجوزيف لويس لاغرانج مشكلة اهتزاز الأوتار، كما هو الحال في الآلات الموسيقية . [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] في عام 1746، اكتشف دالمبير معادلة الموجة أحادية البعد ، وفي غضون عشر سنوات اكتشف أويلر معادلة الموجة ثلاثية الأبعاد. [ 9 ]

طُوِّرت معادلة أويلر -لاغرانج في خمسينيات القرن الثامن عشر الميلادي على يد أويلر ولاغرانج في سياق دراستهما لمسألة التزامن الزمني . وتتمثل هذه المسألة في تحديد المنحنى الذي يسقط عليه جسيم مُثقَّل إلى نقطة ثابتة خلال فترة زمنية محددة، بغض النظر عن نقطة البداية. وقد حلّ لاغرانج هذه المسألة عام ١٧٥٥ وأرسل الحل إلى أويلر. ثم قام كلاهما بتطوير طريقة لاغرانج وتطبيقها على الميكانيكا ، مما أدى إلى صياغة الميكانيكا اللاغرانجية .

في عام ١٨٢٢، نشر فورييه بحثه حول تدفق الحرارة في كتابه " النظرية التحليلية للحرارة " [ ١٠ ] ، حيث استند في استنتاجه إلى قانون نيوتن للتبريد ، والذي ينص على أن تدفق الحرارة بين جزيئين متجاورين يتناسب طرديًا مع الفرق الضئيل للغاية في درجات حرارتهما. وتضمن هذا الكتاب اقتراح فورييه لمعادلته الحرارية الخاصة بالانتشار التوصيلي للحرارة. وتُعد هذه المعادلة التفاضلية الجزئية الآن جزءًا أساسيًا من مناهج الفيزياء الرياضية.

مثال

في الميكانيكا الكلاسيكية ، تُوصف حركة الجسم بموقعه وسرعته مع تغير الزمن. تسمح قوانين نيوتن بالتعبير عن هذه المتغيرات ديناميكيًا (بمعرفة الموقع والسرعة والقوى المختلفة المؤثرة على الجسم) كمعادلة تفاضلية للموقع المجهول للجسم كدالة للزمن.

في بعض الحالات، يمكن حل هذه المعادلة التفاضلية (التي تسمى معادلة الحركة ) بشكل صريح.

من الأمثلة على نمذجة مشكلة واقعية باستخدام المعادلات التفاضلية تحديد سرعة كرة تسقط في الهواء، مع الأخذ في الاعتبار الجاذبية ومقاومة الهواء فقط. تسارع الكرة نحو الأرض هو تسارعها الناتج عن الجاذبية مطروحًا منه تباطؤها الناتج عن مقاومة الهواء. تُعتبر الجاذبية ثابتة، ويمكن نمذجة مقاومة الهواء على أنها تتناسب طرديًا مع سرعة الكرة. هذا يعني أن تسارع الكرة، وهو مشتق من سرعتها، يعتمد على السرعة (والسرعة بدورها تعتمد على الزمن). يتطلب إيجاد السرعة كدالة للزمن حل معادلة تفاضلية والتحقق من صحتها.

الأنواع

يمكن تصنيف المعادلات التفاضلية بعدة طرق مختلفة. فإلى جانب وصف خصائص المعادلة نفسها، تُساعد هذه التصنيفات في اختيار أسلوب الحل. ومن بين التصنيفات الشائعة: ما إذا كانت المعادلة عادية أم جزئية، خطية أم غير خطية، ومتجانسة أم غير متجانسة. وهذه القائمة ليست شاملة، فهناك العديد من الخصائص والتصنيفات الفرعية الأخرى للمعادلات التفاضلية التي قد تكون مفيدة جدًا في سياقات محددة.

المعادلات التفاضلية العادية

المعادلة التفاضلية العادية ( ODE ) هي معادلة تحتوي على دالة مجهولة لمتغير حقيقي أو مركب واحد x ، ومشتقاتها، وبعض الدوال المعطاة لـ x . تُمثَّل الدالة المجهولة عادةً بمتغير تابع (يُرمز له غالبًا بـ y )، والذي يعتمد بالتالي على x . لذا يُطلق على x غالبًا اسم المتغير المستقل في المعادلة. يُستخدم مصطلح " عادية " تمييزًا لها عن مصطلح " المعادلة التفاضلية الجزئية" ، التي قد تحتوي على أكثر من متغير مستقل.

بما أنه، بشكل عام، لا يمكن التعبير عن حلول المعادلة التفاضلية بصيغة مغلقة ، فإن الطرق العددية تستخدم عادة لحل المعادلات التفاضلية على جهاز الكمبيوتر.

المعادلات التفاضلية الجزئية

المعادلة التفاضلية الجزئية ( PDE ) هي معادلة تفاضلية تحتوي على دوال متعددة المتغيرات مجهولة ومشتقاتها الجزئية . تُستخدم المعادلات التفاضلية الجزئية لصياغة مسائل تتضمن دوالًا لعدة متغيرات، ويتم حلها إما بصيغة مغلقة أو باستخدام نموذج حاسوبي مناسب .

يمكن استخدام المعادلات التفاضلية الجزئية لوصف طيف واسع من الظواهر الطبيعية، مثل الصوت والحرارة والكهروستاتيكا والديناميكا الكهربائية وتدفق الموائع والمرونة وميكانيكا الكم . ويمكن صياغة هذه الظواهر الفيزيائية ، التي تبدو متباينة ، بشكل مماثل باستخدام المعادلات التفاضلية الجزئية. وكما تُستخدم المعادلات التفاضلية العادية غالبًا لنمذجة الأنظمة الديناميكية أحادية البعد ، تُستخدم المعادلات التفاضلية الجزئية غالبًا لنمذجة الأنظمة متعددة الأبعاد . وتُعمم المعادلات التفاضلية الجزئية العشوائية المعادلات التفاضلية الجزئية لنمذجة العشوائية .

المعادلات التفاضلية الخطية

المعادلات التفاضلية الخطية هي معادلات تفاضلية خطية في الدالة المجهولة ومشتقاتها. وقد تطورت نظريتها بشكل جيد، وفي كثير من الحالات يمكن التعبير عن حلولها بدلالة التكاملات .

العديد من المعادلات التفاضلية التي نصادفها في الفيزياء خطية، على سبيل المثال المعادلات التفاضلية العادية التي تصف الاضمحلال الإشعاعي والمعادلات التفاضلية الجزئية لانتقال الحرارة عن طريق الانتشار الحراري. وتؤدي هذه المعادلات إلى دوال خاصة ، يمكن تعريفها كحلول للمعادلات التفاضلية الخطية (انظر الدالة الهولونومية ).

المعادلات التفاضلية غير الخطية

المعادلة التفاضلية غير الخطية هي معادلة تفاضلية لا تكون خطية في الدالة المجهولة ومشتقاتها (لا يُؤخذ في الاعتبار هنا خطية أو لا خطية وسائط الدالة). توجد طرق قليلة جدًا لحل المعادلات التفاضلية غير الخطية بدقة؛ وتعتمد الطرق المعروفة عادةً على امتلاك المعادلة لتناظرات معينة . يمكن أن تُظهر المعادلات التفاضلية غير الخطية سلوكًا معقدًا للغاية على مدى فترات زمنية طويلة، وهو ما يميز الفوضى . حتى المسائل الأساسية المتعلقة بوجود ووحدانية حلول المعادلات التفاضلية غير الخطية تُعدّ مسائل صعبة، ويُعتبر حلها في حالات خاصة تقدمًا كبيرًا في النظرية الرياضية (انظر: وجود وسلاسة معادلات نافيير-ستوكس ). مع ذلك، إذا كانت المعادلة التفاضلية تمثيلًا صحيحًا لعملية فيزيائية ذات معنى، فمن المتوقع أن يكون لها حل. [ 11 ]

في بعض الحالات، يمكن تقريب المعادلات التفاضلية غير الخطية بمعادلات خطية. وتكون هذه التقريبات صالحة فقط في ظل شروط محددة. على سبيل المثال، تُعد معادلة المذبذب التوافقي تقريبًا لمعادلة البندول غير الخطية، وهي صالحة للتذبذبات ذات السعات الصغيرة. وبالمثل، عند إيجاد نقطة ثابتة أو حل مستقر لمعادلة تفاضلية غير خطية، فإن دراسة استقرارها تؤدي إلى معادلة تفاضلية خطية.

رتبة المعادلة ودرجتها

رتبة المعادلة التفاضلية هي أعلى رتبة لمشتقة الدالة المجهولة التي تظهر في المعادلة التفاضلية. على سبيل المثال، المعادلة التي تحتوي على مشتقات من الرتبة الأولى فقط هي معادلة تفاضلية من الرتبة الأولى ، والمعادلة التي تحتوي على مشتقة من الرتبة الثانية هي معادلة تفاضلية من الرتبة الثانية ، وهكذا. [ 12 ] [ 13 ]

عند كتابة المعادلة التفاضلية على شكل معادلة متعددة الحدود بدلالة الدالة المجهولة ومشتقاتها، فإن درجة المعادلة التفاضلية ، بحسب السياق، إما درجة متعددة الحدود في أعلى مشتقة للدالة المجهولة، [ 14 ] أو درجتها الكلية بدلالة الدالة المجهولة ومشتقاتها. وعلى وجه الخصوص، تكون درجة المعادلة التفاضلية الخطية واحدة في كلا المعنيين، بينما تكون درجة المعادلة التفاضلية غير الخطية 1.y′+y2=0{\displaystyle y'+y^{2}=0}هو من الدرجة الأولى للمعنى الأول ولكن ليس للمعنى الثاني.

عادةً ما تحتوي المعادلات التفاضلية التي تصف الظواهر الطبيعية على مشتقات من الرتبة الأولى والثانية فقط، ولكن هناك بعض الاستثناءات، مثل معادلة الأغشية الرقيقة ، وهي معادلة تفاضلية جزئية من الرتبة الرابعة.

المعادلات الخطية المتجانسة

تكون المعادلة التفاضلية الخطية متجانسة إذا احتوى كل حد فيها إما على المتغير التابع أو على أحد مشتقاته. أما إذا لم يكن الأمر كذلك، أي إذا وُجد حد لا يحتوي على المتغير التابع نفسه أو على مشتقاته، فإن المعادلة تكون غير متجانسة . انظر قسم الأمثلة أدناه.

أمثلة

تُعدّ المجموعة الأولى من الأمثلة معادلات تفاضلية عادية، حيث u دالة مجهولة لـ x ، و c و ω ثابتان يُفترض معرفتهما. تُوضّح هذه الأمثلة الفرق بين المعادلات التفاضلية الخطية وغير الخطية ، وبين المعادلات التفاضلية المتجانسة وغير المتجانسة ، كما هو مُعرّف أعلاه.

  • معادلة تفاضلية عادية خطية غير متجانسة من الدرجة الأولى ذات معاملات ثابتة:
    دuدx=جu+x2.{\displaystyle {\frac {du}{dx}}=cu+x^{2}.}
  • معادلة تفاضلية خطية عادية متجانسة من الدرجة الثانية:
    د2uدx2-xدuدx+u=0.{\displaystyle {\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}-x{\frac {du}{dx}}+u=0.}
  • معادلة تفاضلية عادية خطية متجانسة من الدرجة الثانية ذات معاملات ثابتة تصف المذبذب التوافقي :
    د2uدx2+ω2u=0.{\displaystyle {\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+\omega ^{2}u=0.}
  • معادلة تفاضلية عادية غير خطية من الدرجة الأولى:
    دuدx=u2+4.{\displaystyle {\frac {du}{dx}}=u^{2}+4.}
  • معادلة تفاضلية عادية غير خطية من الدرجة الثانية (بسبب دالة الجيب) تصف حركة بندول طوله L :
    لد2uدx2+زالخطيئة⁡u=0.{\displaystyle L{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+g\sin u=0.}

المجموعة التالية من الأمثلة هي المعادلات التفاضلية الجزئية. تعتمد الدالة المجهولة u على متغيرين x و t أو x و y .

  • معادلة تفاضلية جزئية خطية متجانسة من الدرجة الأولى:
    ∂u∂ت+ت∂u∂x=0.{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+t{\frac {\partial u}{\partial x}}=0.}
  • معادلة تفاضلية جزئية خطية متجانسة من الدرجة الثانية ذات معاملات ثابتة من النوع الإهليلجي، معادلة لابلاس :
    ∂2u∂x2+∂2u∂y2=0.{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0.}
  • معادلة تفاضلية جزئية غير خطية من الدرجة الثالثة، معادلة KdV :
    ∂u∂ت=6u∂u∂x-∂3u∂x3.{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=6u{\frac {\partial u}{\partial x}}-{\frac {\partial ^{3}u}{\partial x^{3}}}.}

الشروط الابتدائية والشروط الحدية

يتضمن الحل العام لمعادلة تفاضلية عادية من الرتبة الأولى ثابتًا، يمكن اعتباره ثابتًا للتكامل. وبالمثل، فإن الحل العام لـن{\displaystyle n}تحتوي معادلة تفاضلية عادية من الرتبة n علىن{\displaystyle n}ثوابت.

لتحديد قيم هذه الثوابت، يجب توفير شروط إضافية. إذا كان المتغير المستقل يمثل الزمن، فإن هذه المعلومات تأخذ شكل الشروط الابتدائية . على سبيل المثال، بالنسبة لمعادلة تفاضلية عادية من الدرجة الثانية تصف حركة جسيم، فإن الشروط الابتدائية عادةً ما تكون موضع الجسيم وسرعته عند الزمن الابتدائي. تشكل المعادلة التفاضلية العادية وشروطها الابتدائية ما يُعرف بمسألة القيمة الابتدائية .

في حالة وجود متغير مستقل مكاني، تُعرف هذه الشروط عمومًا باسم الشروط الحدية. وغالبًا ما تُحدد هذه الشروط عند قيم مختلفة للمتغير المستقل. ومن الأمثلة على ذلك حركة وتر مهتز مثبت من طرفيه. في هذه الحالة، تؤدي المعادلة التفاضلية العادية والشروط الحدية إلى مسألة قيمة حدية .

بشكل عام، يُستخدم مصطلح " الشروط الابتدائية" عادةً عندما تُحدد الشروط عند نفس قيمة المتغير المستقل، بينما يُستخدم مصطلح " الشروط الحدية" عندما تُحدد عند قيم مختلفة للمتغير المستقل. في كلتا الحالتين، يجب أن يتطابق عدد الشروط الابتدائية أو الحدية مع رتبة المعادلة التفاضلية.

وجود الحلول

بالنسبة لمعادلة تفاضلية معينة، فإن مسألة ما إذا كانت الحلول فريدة أو موجودة على الإطلاق هي من المواضيع المهمة التي تستحق الاهتمام.

بالنسبة لمسألة القيمة الابتدائية من الدرجة الأولى، تُعطي نظرية بيانو للوجود مجموعة واحدة من الظروف التي يوجد فيها حل. بالنظر إلى أي نقطة(أ،ب){\displaystyle (a,b)}في المستوى xy، حدد منطقة مستطيلةZ{\displaystyle Z}بحيثZ=[ل،م]×[ن،ص]{\displaystyle Z=[l,m]\times [n,p]}و(أ،ب){\displaystyle (a,b)}يقع في الجزء الداخلي منZ{\displaystyle Z}إذا أعطيت لنا معادلة تفاضليةدyدx=ز(x،y){\textstyle {\frac {dy}{dx}}=g(x,y)}والشرط الذيy=ب{\displaystyle y=b}متىx=أ{\displaystyle x=a}إذاً، يوجد حل محلي لهذه المشكلة إذاز(x،y){\displaystyle g(x,y)}مستمر علىZ{\displaystyle Z}يوجد هذا الحل على فترة ما مركزها عندأ{\displaystyle a}قد لا يكون الحل فريداً. (انظر المعادلات التفاضلية العادية للاطلاع على نتائج أخرى).

لكن هذا لا يفيدنا إلا في مسائل القيمة الابتدائية من الرتبة الأولى. لنفترض أن لدينا مسألة قيمة ابتدائية خطية من الرتبة n:

ون(x)دنyدxن+⋯+و1(x)دyدx+و0(x)y=ز(x){\displaystyle f_{n}(x){\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}+\cdots +f_{1}(x){\frac {dy}{dx}}+f_{0}(x)y=g(x)}

بحيث

y(x0)=y0،y′(x0)=y0′،y"(x0)=y0"،...{\displaystyle {\begin{align}y(x_{0})&=y_{0},&\ldots \end{aligned}}}

لأي قيمة غير صفريةون(x){\displaystyle f_{n}(x)}، لو{و0،و1،...}{\displaystyle \{f_{0},f_{1},\ldots \}}وز{\displaystyle g}متصلة على فترة ما تحتويx0{\displaystyle x_{0}}،y{\displaystyle y}موجود وفريد ​​من نوعه. [ 15 ]

العلاقة بمعادلات الفرق

ترتبط المعادلات التفاضلية ارتباطًا وثيقًا بمعادلات الفرق ، حيث يأخذ المتغير المستقل قيمًا منفصلة فقط، وتربط المعادلة قيمة الدالة المجهولة عند نقطة ما بقيمها عند النقاط المجاورة. تعتمد العديد من الطرق العددية لحل المعادلات التفاضلية، مثل طريقة أويلر ، على تقريب حل المعادلة التفاضلية بحل معادلة فرق مقابلة لها.

التطبيقات

يُعدّ علم المعادلات التفاضلية مجالًا واسعًا في الرياضيات البحتة والتطبيقية ، والفيزياء ، والهندسة . وتهتم جميع هذه التخصصات بخصائص المعادلات التفاضلية بمختلف أنواعها. تركز الرياضيات البحتة على وجود الحلول وتفردها، بينما تهتم الرياضيات التطبيقية بإيجاد الحلول، سواءً بشكل مباشر أو تقريبي، ودراسة سلوكها. تلعب المعادلات التفاضلية دورًا هامًا في نمذجة جميع العمليات الفيزيائية والتقنية والبيولوجية تقريبًا، بدءًا من حركة الأجرام السماوية، مرورًا بتصميم الجسور، وصولًا إلى التفاعلات بين الخلايا العصبية. قد لا تمتلك المعادلات التفاضلية، كتلك المستخدمة في حل مشكلات الحياة الواقعية، حلولًا مغلقة . بدلًا من ذلك، يمكن تقريب الحلول باستخدام الطرق العددية .

يمكن صياغة العديد من القوانين الأساسية في الفيزياء والكيمياء على شكل معادلات تفاضلية. وفي علم الأحياء والاقتصاد ، تُستخدم المعادلات التفاضلية لنمذجة سلوك الأنظمة المعقدة . وقد تطورت النظرية الرياضية للمعادلات التفاضلية بالتزامن مع العلوم التي نشأت فيها هذه المعادلات والتي وُظِّفت نتائجها. ومع ذلك، قد تُؤدي مشكلات متنوعة، تنشأ أحيانًا في مجالات علمية متباينة تمامًا، إلى معادلات تفاضلية متطابقة. وعند حدوث ذلك، يُمكن اعتبار النظرية الرياضية الكامنة وراء هذه المعادلات مبدأً موحدًا وراء ظواهر متنوعة. على سبيل المثال، لنأخذ انتشار الضوء والصوت في الغلاف الجوي، وانتشار الأمواج على سطح بركة ماء. يُمكن وصف جميع هذه العمليات بمعادلة تفاضلية جزئية من الدرجة الثانية ، وهي معادلة الموجة ، التي تُتيح لنا اعتبار الضوء والصوت شكلين من أشكال الموجات، تمامًا مثل الموجات المألوفة في الماء. أما توصيل الحرارة، الذي طوّر نظريته جوزيف فورييه ، فيخضع لمعادلة تفاضلية جزئية أخرى من الدرجة الثانية، وهي معادلة الحرارة . ويتضح أن العديد من عمليات الانتشار ، على الرغم من اختلافها الظاهري، تُوصف بالمعادلة نفسها.

يدل عدد المعادلات التفاضلية التي سُميت في مختلف المجالات العلمية على أهمية هذا الموضوع. انظر قائمة المعادلات التفاضلية المسماة .

برمجة

تستطيع بعض برامج الجبر الحاسوبي حل المعادلات التفاضلية. وهذه هي الأوامر المستخدمة في البرامج الرائدة:

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ دينيس ج. زيل (15 مارس 2012). مدخل إلى المعادلات التفاضلية مع تطبيقات النمذجة . سينجايج ليرنينج. ISBN 978-1-285-40110-2.
  2. ^ نيوتن، إسحاق. (ج 1671). Methodus Fluxionum et Serierum Infinitarum (طريقة التدفقات والسلاسل اللانهائية)، نُشرت عام 1736 [Opuscula، 1744، Vol. أنا ص. 66].
  3. ^ برنولي ، جاكوب (1695) ، “التفسيرات والشروحات والإضافات ad ea، quae in Actis su. de Curva Elastica، Isochrona Paracentrica، & Velaria، hinc inde memorata، & paratim controversa Legundur؛ ubi de Linea mediarum Directum، alliisque novis”، Acta Eruditorum
  4. ^ هيرر، إرنست؛ نورسيت، سيفرت بول؛ وانر غيرهارد (1993)، حل المعادلات التفاضلية العادية I: مشاكل غير قاسية ، برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، ISBN 978-3-540-56670-0
  5. ↑ فريزر، كريج (يوليو 1983). "مراجعة لكتاب تطور الديناميكا ونظرية الاهتزاز من عام 1687 إلى عام 1742 ، بقلم جون تي. كانون وسيجاليا دوستروفسكي" (ملف PDF) . نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية . سلسلة جديدة. 9 (1).
  6. ↑ ويلر، جيرارد ف.؛ كروميت، ويليام ب. (1987). "جدل الأوتار المهتزة". المجلة الأمريكية للفيزياء 55 (1): 33-37 . Bibcode : 1987AmJPh..55...33W . doi : 10.1119/1.15311 .
  7. ↑ للاطلاع على مجموعة خاصة تضمّ تسع أوراق بحثية رائدة للمؤلفين الثلاثة، انظر: الظهور الأول لمعادلة الموجة: دالمبير، ليونارد أويلر، دانيال برنولي. - الجدل الدائر حول الأوتار المهتزة. مؤرشف بتاريخ 9 فبراير 2020 في أرشيف الإنترنت (تم الاطلاع عليه بتاريخ 13 نوفمبر 2012). هيرمان إتش جيه لينج وأبناؤه.
  8. ↑ للاطلاع على مساهمات لاغرانج في معادلة الموجة الصوتية، راجع كتاب الصوتيات: مقدمة لمبادئها الفيزيائية وتطبيقاتها، تأليف آلان د. بيرس، الجمعية الصوتية الأمريكية، 1989؛ الصفحة 18. (تم الاطلاع عليه في 9 ديسمبر 2012)
  9. ↑ سبيسر، ديفيد. اكتشاف مبادئ الميكانيكا 1600-1800 ، ص. 191 (بازل: بيركهاوزر، 2008).
  10. ^ فورييه، جوزيف (1822). Théorie analytique de la chaleur (بالفرنسية). باريس: فيرمين ديدو بير وآخرون. او سي ال سي 2688081 . 
  11. ↑ بويس، ويليام إي.؛ ديبريما، ريتشارد سي. (1967). المعادلات التفاضلية الأولية ومسائل القيم الحدية ( الطبعة الرابعة). جون وايلي وأولاده. ص 3.  
  12. ↑ وايسشتاين، إريك و . "رتبة المعادلات التفاضلية العادية". من موقع MathWorld - أحد موارد Wolfram الإلكترونية. http://mathworld.wolfram.com/OrdinaryDifferentialEquationOrder.html
  13. ↑ رتبة ودرجة المعادلة التفاضلية ، تم الاطلاع عليها في ديسمبر 2015.
  14. ↑ إلياس لوميس (1887). عناصر حساب التفاضل والتكامل ( طبعة منقحة). هاربر وإخوانه. ص 247.  مقتطف من الصفحة 247
  15. ↑ زيل، دينيس ج. (2001). مدخل إلى المعادلات التفاضلية ( الطبعة الخامسة). بروكس/كول. ISBN  0-534-37388-7.
  16. ↑ "dsolve - مساعدة برمجة Maple" . www.maplesoft.com . تم الاطلاع عليه بتاريخ 9 مايو 2020 .
  17. ↑ "DSolve - توثيق لغة Wolfram" . www.wolfram.com . تم الاطلاع عليه بتاريخ 28-06-2020 .
  18. ↑ شيلتر، ويليام ف. غارتنر، بوريس (محرران). "المعادلات التفاضلية - الحلول الرمزية" . برنامج الجبر الحاسوبي ماكسيما - دليل تعليمي (في وثائق ماكسيما على موقع سورس فورج ) . مؤرشف من الأصل بتاريخ 4 أكتوبر 2022.
  19. ↑ "الجبر الأساسي وحساب التفاضل والتكامل - برنامج Sage التعليمي الإصدار 9.0" . doc.sagemath.org . تم الاطلاع عليه بتاريخ 9 مايو 2020 .
  20. ↑ "ODE" . وثائق SymPy 1.11 . 2022-08-22. مؤرشف من الأصل في 2022-09-26.
  21. ↑ "الجبر الرمزي والرياضيات مع Xcas" (PDF) .

للمزيد من القراءة