تحول الرادون

في الرياضيات ، يُعرف تحويل رادون بأنه التحويل التكاملي الذي يحوّل دالة f معرفة على المستوى إلى دالة Rf معرفة على فضاء الخطوط (ثنائي الأبعاد) في المستوى، حيث تساوي قيمتها عند خط معين التكامل الخطي للدالة على ذلك الخط. وقد طُوّر هذا التحويل عام 1917 على يد يوهان رادون ^{[ 1 ]} ، الذي قدّم أيضًا صيغة للتحويل العكسي. كما أضاف رادون صيغًا للتحويل في ثلاثة أبعاد ، حيث يُجرى التكامل على المستويات (ويُعرف التكامل على الخطوط بتحويل الأشعة السينية ). وقد عُمّم لاحقًا ليشمل الفضاءات الإقليدية ذات الأبعاد الأعلى ، وبشكل أوسع في سياق الهندسة التكاملية . ويُعرف النظير المركب لتحويل رادون بتحويل بنروز . ويُستخدم تحويل رادون على نطاق واسع في التصوير المقطعي ، وهو عملية إنشاء صورة من بيانات الإسقاط المرتبطة بالمسح المقطعي لجسم ما.

إذا كانت دالة${\displaystyle f}$إذا كانت الكثافة غير معروفة، فإن تحويل رادون يمثل بيانات الإسقاط الناتجة عن مسح التصوير المقطعي. ويمكن استخدام معكوس تحويل رادون لإعادة بناء الكثافة الأصلية من بيانات الإسقاط، وبالتالي فهو يشكل الأساس الرياضي لإعادة بناء التصوير المقطعي ، والمعروفة أيضًا باسم إعادة البناء التكراري .

تُسمى بيانات تحويل رادون غالبًا بالمخطط الجيبي لأن تحويل رادون لمصدر نقطي غير مركزي هو دالة جيبية. ونتيجة لذلك، يظهر تحويل رادون لعدد من الأجسام الصغيرة بيانيًا على شكل عدد من الموجات الجيبية الضبابية ذات السعات والأطوار المختلفة.

يُعد تحويل رادون مفيدًا في التصوير المقطعي المحوري المحوسب (التصوير المقطعي المحوسب)، والماسحات الضوئية للرموز الشريطية ، والمجهر الإلكتروني للتجمعات الجزيئية الكبيرة مثل الفيروسات والمركبات البروتينية ، وعلم الزلازل الانعكاسي ، وفي حل المعادلات التفاضلية الجزئية الزائدية .

يترك${\displaystyle f(\mathbf {x} )=f(x,y)}$لتكن دالة تحقق شروط الانتظام الثلاثة: ^{[ 3 ]}

1. ${\displaystyle f(\mathbf {x} )}$متصل؛
2. التكامل المزدوج${\displaystyle \displaystyle \iint {\frac {\vert f(\mathbf {x} )\vert }{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\,dx\,dy}$، الممتدة على كامل المستوى، تتقارب؛
3. لأي نقطة عشوائية${\displaystyle (x,y)}$على متن الطائرة،${\displaystyle \lim _{r\to \infty }\int _{0}^{2\pi }f(x+r\cos \varphi ,y+r\sin \varphi )\,d\varphi =0.}$

تحول الرادون،${\displaystyle Rf}$، هي دالة معرفة على فضاء الخطوط المستقيمة${\displaystyle L\subset \mathbb {R} ^{2}}$بواسطة التكامل الخطي على طول كل خط من هذه الخطوط كما يلي: $${\displaystyle Rf(L)=\int _{L}f(\mathbf {x} )\vert d\mathbf {x} \vert .}$$ بشكل ملموس، تحديد معلمات أي خط مستقيم${\displaystyle L}$بالنسبة لطول القوس${\displaystyle z}$يمكن كتابتها دائمًا: $${\displaystyle (x(z),y(z))={\Big (}(z\,\sin \alpha +s\,\cos \alpha ),(-z\,\cos \alpha +s\,\sin \alpha ){\Big )}}$$ أين${\displaystyle s}$هي المسافة${\displaystyle L}$من الأصل و${\displaystyle \alpha }$هل الزاوية هي متجه العمودي على${\displaystyle L}$يصنع مع${\displaystyle x}$المحور -. ويترتب على ذلك أن الكميات${\displaystyle (\alpha ,s)}$يمكن اعتبارها إحداثيات على فضاء جميع الخطوط في${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ويمكن التعبير عن تحويل رادون بهذه الإحداثيات كما يلي: $${\displaystyle {\begin{aligned}Rf(\alpha ,s)&=\int _{-\infty }^{\infty }f(x(z),y(z))\,dz\\&=\int _{-\infty }^{\infty }f{\big (}(z\,\sin \alpha +s\,\cos \alpha ),(-z\,\cos \alpha +s\,\sin \alpha ){\big )}\,dz.\end{aligned}}}$$ وبشكل أعم، في${\displaystyle n}$فضاء إقليدي ذو أبعاد${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$، تحويل رادون للدالة${\displaystyle f}$إن استيفاء شروط الانتظام هو دالة${\displaystyle Rf}$في الفضاء${\displaystyle \Sigma _{n}}$من بين جميع المستويات الفائقة في${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$يتم تعريفها من خلال:

شيب لوجان فانتوم

تحول الرادون

تحويل رادون العكسي

$${\displaystyle Rf(\xi )=\int _{\xi}f(\mathbf {x} )\,d\sigma (\mathbf {x} ),\quad \forall \xi \in \Sigma _{n}}$$ حيث يتم حساب التكامل بالنسبة إلى مقياس السطح الفائق الطبيعي ،${\displaystyle d\sigma }$(بتعميم)${\displaystyle \vert d\mathbf {x} \vert }$مصطلح من${\displaystyle 2}$(حالة الأبعاد). لاحظ أن أي عنصر من${\displaystyle \Sigma _{n}}$يُعرف بأنه موضع حل المعادلة${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \alpha =s}$، أين${\displaystyle \alpha \in S^{n-1}}$هو متجه وحدة و${\displaystyle s\in \mathbb {R} }$وهكذا${\displaystyle n}$يمكن إعادة كتابة تحويل رادون ذي الأبعاد n كدالة على${\displaystyle S^{n-1}\times \mathbb {R} }$عبر:$${\displaystyle Rf(\alpha ,s)=\int _{\mathbf {x} \cdot \alpha =s}f(\mathbf {x} )\,d\sigma (\mathbf {x} ).}$$من الممكن أيضًا تعميم تحويل رادون بشكل أكبر عن طريق التكامل بدلاً من ذلك على${\displaystyle k}$الفضاءات الأفينية ذات الأبعاد n من${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. يُعد تحويل الأشعة السينية الحالة الخاصة الأكثر استخدامًا لهذا البناء، ويتم الحصول عليه عن طريق التكامل على الخطوط المستقيمة.

يرتبط تحويل رادون ارتباطًا وثيقًا بتحويل فورييه . ونُعرّف هنا تحويل فورييه أحادي المتغير على النحو التالي:$${\displaystyle {\hat {f}}(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi ix\omega }\,dx.}$$لدالة من${\displaystyle 2}$-متجه${\displaystyle \mathbf {x} =(x,y)}$، التحويل الفورييه أحادي المتغير هو:$${\displaystyle {\hat {f}}(\mathbf {w} )=\iint _{\mathbb {R} ^{2}}f(\mathbf {x} )e^{-2\pi i\mathbf {x} \cdot \mathbf {w} }\,dx\,dy.}$$للتسهيل، يُرجى الإشارة إلى${\displaystyle {\mathcal {R}}_{\alpha }[f](s)={\mathcal {R}}[f](\alpha ,s)}$وتنص نظرية شريحة فورييه على ما يلي :$${\displaystyle {\widehat {{\mathcal {R}}_{\alpha }[f]}}(\sigma )={\hat {f}}(\sigma \mathbf {n} (\alpha ))}$$أين${\displaystyle \mathbf {n} (\alpha )=(\cos \alpha ,\sin \alpha ).}$

وبالتالي فإن تحويل فورييه ثنائي الأبعاد للدالة الأولية على طول خط بزاوية ميل${\displaystyle \alpha }$هو تحويل فورييه ذو المتغير الواحد لتحويل رادون (الذي يتم الحصول عليه عند الزاوية${\displaystyle \alpha }$) لتلك الدالة. يمكن استخدام هذه الحقيقة لحساب كل من تحويل رادون ومعكوسه. ويمكن تعميم النتيجة إلى n بُعدًا:$${\displaystyle {\hat {f}}(r\alpha )=\int _{\mathbb {R} }{\mathcal {R}}f(\alpha ,s)e^{-2\pi isr}\,ds.}$$

صورة تحول الرادون على${\displaystyle S^{n-1}\times \mathbb {R} }$يمكن وصفها بدوال ذات انتظام واضمحلال كافيين. بما أن نفس المستوى الفائق غير الموجه ممثل بواسطة كليهما${\displaystyle (\alpha ,s)}$و${\displaystyle (-\alpha ,-s)}$، كل تحويل رادون يحقق شرط التناظر

${\displaystyle Rf(-\alpha ,-s)=Rf(\alpha ,s).}$

توجد أيضًا شروط على لحظات تحول رادون. إذا${\displaystyle f}$منتظم بدرجة كافية ويتناقص بسرعة، و

${\displaystyle g(\alpha ,s)=Rf(\alpha ,s),}$

ثم، لكل عدد صحيح غير سالب${\displaystyle k}$اللحظة

${\displaystyle M_{k}(\alpha )=\int _{-\infty }^{\infty }s^{k}g(\alpha ,s)\,ds}$

هل التقييد على${\displaystyle S^{n-1}}$لكثير حدود متجانس في ${\displaystyle \alpha }$درجة علمية${\displaystyle k}$في الواقع، من الناحية الرسمية،

${\displaystyle {\begin{aligned}M_{k}(\alpha )&=\int _{-\infty }^{\infty }s^{k}Rf(\alpha ,s)\,ds\\&=\int _{\mathbb {R} ^{n}}(x\cdot \alpha )^{k}f(x)\,dx,\end{aligned}}}$

وهي متعددة حدود متجانسة في${\displaystyle \alpha }$.

في المقابل، تنص نظرية هيلجاسون-لودفيج للمدى على أن هذه الشروط تُحدد مدى تحويل رادون على فضاءات دوال الاختبار المناسبة. على سبيل المثال، دالة سلسة متناقصة بسرعة${\displaystyle g}$على${\displaystyle S^{n-1}\times \mathbb {R} }$هو تحويل رادون لدالة شوارتز على${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$إذا وفقط إذا حقق شرط التناظر وشروط العزم المذكورة أعلاه. ويُحدد شكل الصورة نسخة مماثلة ذات دعم مضغوط.${\displaystyle C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$في هذه الحالة، يكون لدينا أيضًا علاقة الدعم التي إذا${\displaystyle f}$مدعوم في الكرة${\displaystyle |x|\leq A}$، ثم${\displaystyle Rf(\alpha ,s)=0}$ل${\displaystyle |s|>A}$[ ^{4 ] [ 5 ]​}

في التصوير المقطعي، تصف شروط الاتساق هذه متى يمكن أن تنشأ بيانات الإسقاط من جسم حقيقي بدلاً من دالة اعتباطية للزاوية والإزاحة.

يُعد تحويل رادون المزدوج نوعًا من التحويل المرافق لتحويل رادون. يبدأ بدالة g على الفضاء${\displaystyle \Sigma _{n}}$، التحويل الثنائي لرادون هو الدالة${\displaystyle {\mathcal {R}}^{*}g}$على R ⁿ المحدد بواسطة:$${\displaystyle {\mathcal {R}}^{*}g(\mathbf {x} )=\int _{\mathbf {x} \in \xi }g(\xi )\,d\mu (\xi ).}$$يتم حساب التكامل هنا على مجموعة جميع المستويات الفائقة المتصلة بالنقطة${\displaystyle {\textbf {x}}\in \mathbb {R} ^{n}}$، والقياس${\displaystyle d\mu }$هو مقياس الاحتمالية الفريد على المجموعة${\displaystyle \{\xi |\mathbf {x} \in \xi \}}$ثابت تحت الدوران حول النقطة${\displaystyle \mathbf {x} }$.

وبشكل ملموس، بالنسبة لتحويل رادون ثنائي الأبعاد، يُعطى التحويل الثنائي بالصيغة التالية:$${\displaystyle {\mathcal {R}}^{*}g(\mathbf {x} )={\frac {1}{2\pi }}\int _{\alpha =0}^{2\pi }g(\alpha ,\mathbf {n} (\alpha )\cdot \mathbf {x} )\,d\alpha .}$$في سياق معالجة الصور، يُطلق على التحويل المزدوج عادةً اسم الإسقاط الخلفي ^{[ 6 ]} لأنه يأخذ دالة معرفة على كل خط في المستوى ويقوم "بتلطيخها" أو إسقاطها مرة أخرى على الخط لإنتاج صورة.

تنتج عملية إعادة البناء الصورة (أو الوظيفة)${\displaystyle f}$(كما ورد في القسم السابق) من بيانات إسقاطها. إعادة البناء هي مسألة عكسية .

تتوفر صيغ عكسية صريحة وفعالة حسابيًا لتحويل رادون وثنائيته. تحويل رادون في${\displaystyle n}$يمكن عكس الأبعاد باستخدام الصيغة التالية: ^{[ 13 ]}$${\displaystyle c_{n}f=(-\Delta )^{(n-1)/2}R^{*}Rf\,}$$أين${\displaystyle c_{n}=(4\pi )^{(n-1)/2}{\frac {\Gamma (n/2)}{\Gamma (1/2)}}}$وقوة لابلاس${\displaystyle (-\Delta )^{(n-1)/2}}$يُعرَّف بأنه عامل تفاضلي زائف إذا لزم الأمر بواسطة تحويل فورييه :$${\displaystyle \left[{\mathcal {F}}(-\Delta )^{(n-1)/2}\varphi \right](\xi )=|2\pi \xi |^{n-1}({\mathcal {F}}\varphi )(\xi ).}$$لأغراض حسابية، يتم تبديل قوة لابلاس مع التحويل الثنائي${\displaystyle R^{*}}$لإعطاء: ^{[ 14 ]}$${\displaystyle c_{n}f={\begin{cases}R^{*}{\frac {d^{n-1}}{ds^{n-1}}}Rf&n{\text{ odd}}\\R^{*}{\mathcal {H}}_{s}{\frac {d^{n-1}}{ds^{n-1}}}Rf&n{\text{ even}}\end{cases}}}$$أين${\displaystyle {\mathcal {H}}_{s}}$هو تحويل هيلبرت بالنسبة للمتغير s . في بعدين، يكون المؤثر${\displaystyle {\mathcal {H}}_{s}{\frac {d}{ds}}}$يظهر في معالجة الصور كمرشح منحدر . ^{[ 15 ]} يمكن إثبات ذلك مباشرةً من خلال نظرية شريحة فورييه وتغيير المتغيرات للتكامل، وذلك بالنسبة لدالة متصلة ذات دعم مضغوط .${\displaystyle f}$من متغيرين:$${\displaystyle f={\frac {1}{2}}R^{*}{\mathcal {H}}_{s}{\frac {d}{ds}}Rf.}$$وبالتالي، في سياق معالجة الصور، تكون الصورة الأصلية${\displaystyle f}$يمكن استخلاصها من بيانات "السينوجرام".${\displaystyle Rf}$عن طريق تطبيق مرشح منحدر (في${\displaystyle s}$ثم يتم تطبيق عملية الإسقاط العكسي. وبما أن خطوة الترشيح يمكن تنفيذها بكفاءة (على سبيل المثال باستخدام تقنيات معالجة الإشارات الرقمية )، وخطوة الإسقاط العكسي هي ببساطة تجميع للقيم في وحدات البكسل في الصورة، فإن هذا ينتج عنه خوارزمية عالية الكفاءة، وبالتالي واسعة الانتشار.

وبشكل صريح، فإن صيغة الانعكاس التي تم الحصول عليها بالطريقة الأخيرة هي: ^{[ 6 ]}$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\displaystyle -\imath 2\pi (2\pi )^{-n}(-1)^{n/2}\int _{S^{n-1}}{\frac {\partial ^{n-1}}{2\partial s^{n-1}}}Rf(\alpha ,\alpha \cdot x)\,d\alpha &n{\text{ odd}}\\\displaystyle (2\pi )^{-n}(-1)^{n/2}\iint _{\mathbb {R} \times S^{n-1}}{\frac {\partial ^{n-1}}{q\partial s^{n-1}}}Rf(\alpha ,\alpha \cdot x+q)\,d\alpha \,dq&n{\text{ even}}\\\end{cases}}}$$يمكن أيضًا عكس التحويل الثنائي باستخدام صيغة مماثلة:$${\displaystyle c_{n}g=(-L)^{(n-1)/2}R(R^{*}g).\,}$$

في الهندسة الجبرية ، يتم إنشاء تحويل رادون (المعروف أيضًا باسم تحويل بريلينسكي-رادون ) على النحو التالي.

يكتب

${\displaystyle \mathbf {P} ^{d}\,{\stackrel {p_{1}}{\gets }}\,H\,{\stackrel {p_{2}}{\to }}\,\mathbf {P} ^{\vee ,d}}$

بالنسبة للمستوى الفائق الشامل ، أي H، يتكون من أزواج ( x ، h ) حيث x هي نقطة في فضاء إسقاطي ذي d بُعد${\displaystyle \mathbf {P} ^{d}}$و h هي نقطة في الفضاء الإسقاطي المزدوج (بمعنى آخر، x هو خط يمر عبر نقطة الأصل في الفضاء الأفيني ذي الأبعاد ( d + 1) ، و h هو مستوى فائق في ذلك الفضاء) بحيث يكون x موجودًا في h .

ثم يكون تحويل بريلينسكي-رادون هو الدالة بين الفئات المشتقة المناسبة للحزم الإيتالية

${\displaystyle \operatorname {Rad}$ :=Rp_{2,*}p_{1}^{*}:D(\mathbf {P} ^{d})\to D(\mathbf {P} ^{\vee ,d}).}

تتمثل النظرية الرئيسية المتعلقة بهذا التحويل في أن هذا التحويل يؤدي إلى تكافؤ فئات الحزم المنحرفة على الفضاء الإسقاطي وفضائه الإسقاطي المزدوج، حتى الحزم الثابتة. ^{[ 16 ]}

• مخطط الفترة
• فلتر مطابق
• فك التشفير
• تحويل الأشعة السينية
• تحول موسيقى الفانك
• إن تحويل هوف ، عند كتابته في شكل متصل، يشبه إلى حد كبير، إن لم يكن مكافئًا، لتحويل رادون. ^{[ 17 ]}
• تُعد نظرية كوشي-كروفتون صيغة وثيقة الصلة لحساب طول المنحنيات في الفضاء.
• تحويل فورييه السريع
• تحويل بنروز

• لوكيناث ديبناث؛ دامبارو بهاتا (19 أبريل 2016). التحويلات التكاملية وتطبيقاتها . الصحافة اتفاقية حقوق الطفل. رقم ISBN 978-1-4200-1091-6.
• دينز، ستانلي ر. (1983)، تحويل رادون وبعض تطبيقاته ، نيويورك: جون وايلي وأولاده
• هيلجاسون، سيجوردور (2008)، التحليل الهندسي على الفضاءات المتناظرة ، سلسلة الدراسات والبحوث الرياضية، المجلد  39 (  الطبعة الثانية)، بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية ، doi : 10.1090/surv/039 ، ISBN 978-0-8218-4530-1MR 2463854​ 
• هيرمان، غابور ت. (2009)، أساسيات التصوير المقطعي المحوسب: إعادة بناء الصور من الإسقاطات (الطبعة الثانية  )، سبرينغر، ISBN 978-1-85233-617-2
• مينلوس، ر. أ. (2001) [1994]، "تحويل رادون" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS
• ناتيرر، فرانك (يونيو 2001)، رياضيات التصوير المقطعي المحوسب ، سلسلة كلاسيكيات في الرياضيات التطبيقية، المجلد  32، جمعية الرياضيات الصناعية والتطبيقية، رقم ISBN 0-89871-493-1
• ناتيرر، فرانك؛ ووبيلينغ، فرانك (2001)، الأساليب الرياضية في إعادة بناء الصور ، جمعية الرياضيات الصناعية والتطبيقية، رمز Bibcode : 2001mmir.book.....N ، ISBN 0-89871-472-9

• وايسشتاين، إريك دبليو. "تحويل الرادون" . عالم الرياضيات .
• الإسقاط التحليلي (تحويل رادون) (فيديو). جزء من دورة "التصوير المقطعي المحوسب ومجموعة أدوات ASTRA". جامعة أنتويرب . 10 سبتمبر 2015.