الخلط (الرياضيات)

في الرياضيات ، يعتبر الخلط مفهومًا مجردًا نشأ من الفيزياء : محاولة لوصف العملية الديناميكية الحرارية غير القابلة للانعكاس للخلط في العالم اليومي: على سبيل المثال خلط الطلاء ، وخلط المشروبات ، وخلط المعادن .

يظهر مفهوم الخلط في نظرية الإرجودية ، وهي دراسة العمليات العشوائية والأنظمة الديناميكية التي تحافظ على القياس . توجد عدة تعريفات مختلفة للخلط، منها الخلط القوي ، والخلط الضعيف ، والخلط الطوبولوجي ، الذي لا يتطلب تعريف قياس . يمكن ترتيب بعض تعريفات الخلط ترتيبًا هرميًا؛ فالخلط القوي يستلزم الخلط الضعيف. علاوة على ذلك، فإن الخلط الضعيف (وبالتالي الخلط القوي أيضًا) يستلزم الإرجودية : أي أن كل نظام يخلط خلطًا ضعيفًا هو نظام إرجودي (لذا يُقال إن الخلط شرط "أقوى" من الإرجودية).

يهدف التعريف الرياضي للخلط إلى وصف عملية الخلط اليومية العادية، مثل خلط الدهانات والمشروبات ومكونات الطهي، والخلط في العمليات الصناعية ، والدخان في غرفة مليئة بالدخان، وما إلى ذلك. ولتوفير الدقة الرياضية، تبدأ هذه الأوصاف بتعريف نظام ديناميكي يحافظ على القياس ، ويُكتب على النحو التالي:${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu ,T)}$⁠ .

المجموعة${\displaystyle X}$يُفهم من ذلك أنه إجمالي المساحة المراد ملؤها: وعاء الخلط، الغرفة المليئة بالدخان، إلخ . المقياس${\displaystyle \mu }$يُفهم من ذلك أنه يحدد الحجم الطبيعي للفضاء${\displaystyle X}$ومجموعة فضاءاتها الفرعية. ويُرمز إلى مجموعة الفضاءات الفرعية بـ ⁠${\displaystyle {\mathcal {A}}}$، وحجم أي مجموعة فرعية معينة${\displaystyle A\subset X}$هو​${\displaystyle \mu (A)}$الحجم هو حجمه. قد يتخيل المرء ببساطة${\displaystyle {\mathcal {A}}}$أن تكون مجموعة القوى لـ${\displaystyle X}$هذا لا ينجح تمامًا، إذ لا تمتلك جميع المجموعات الفرعية للفضاء حجمًا (وهذا ما يُعرف بمفارقة باناخ-تارسكي ). وبالتالي، من الناحية التقليدية،${\displaystyle {\mathcal {A}}}$تتألف من المجموعات الجزئية القابلة للقياس - أي المجموعات الجزئية التي لها حجم. وتُعتبر دائمًا مجموعة بوريل - وهي مجموعة المجموعات الجزئية التي يمكن إنشاؤها عن طريق أخذ التقاطعات والاتحادات ومكملات المجموعات ؛ ويمكن دائمًا اعتبار هذه المجموعات قابلة للقياس.

يتم وصف التطور الزمني للنظام بواسطة خريطة${\displaystyle T:X\to X}$. بالنظر إلى مجموعة جزئية${\displaystyle A\subset X}$خريطتها${\displaystyle T(A)}$سيكون بشكل عام نسخة مشوهة من${\displaystyle A}$– يتم ضغطها أو تمديدها، أو طيها أو تقطيعها إلى أجزاء. تشمل الأمثلة الرياضية خريطة الخباز وخريطة حدوة الحصان ، وكلاهما مستوحى من صناعة الخبز . المجموعة${\displaystyle T(A)}$يجب أن يكون له نفس الحجم مثل${\displaystyle A}$لا يؤدي الضغط/التمدد إلى تغيير حجم الفراغ، بل إلى تغيير توزيعه فقط. هذا النظام "يحافظ على القياس" (يحافظ على المساحة، ويحافظ على الحجم).

تنشأ صعوبة رسمية عند محاولة التوفيق بين حجم المجموعات وضرورة الحفاظ على حجمها تحت تأثير دالة ما. وتنشأ هذه المشكلة لأنه، بشكل عام، يمكن لعدة نقاط مختلفة في مجال دالة ما أن تُسقط على نفس النقطة في مداها؛ أي أنه قد يكون هناك${\displaystyle x\neq y}$مع​${\displaystyle T(x)=T(y)}$والأسوأ من ذلك، نقطة واحدة${\displaystyle x\in X}$ليس له حجم. يمكن تجنب هذه الصعوبات بالعمل مع الخريطة العكسية .${\displaystyle T^{-1}:{\mathcal {A}}\to {\mathcal {A}}}$; سيقوم برسم أي مجموعة فرعية معينة${\displaystyle A\subset X}$إلى الأجزاء التي تم تجميعها لصنعها: هذه الأجزاء هي${\displaystyle T^{-1}(A)\in {\mathcal {A}}}$. تتميز هذه الخريطة بخاصية مهمة تتمثل في عدم "فقدان" تتبع مصدر الأشياء. والأهم من ذلك، أنها تتميز بخاصية مهمة تتمثل في أن أي خريطة (تحافظ على القياسات)${\displaystyle {\mathcal {A}}\to {\mathcal {A}}}$هو معكوس خريطة ما${\displaystyle X\to X}$التعريف الصحيح للخريطة الحافظة للحجم هو تعريفٌ يكون فيه${\displaystyle \mu (A)=\mu (T^{-1}(A))}$لأن${\displaystyle T^{-1}(A)}$يصف جميع الأجزاء التي${\displaystyle A}$جاء من.

يهتم المرء الآن بدراسة التطور الزمني للنظام. إذا كانت مجموعة${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$يزور في النهاية جميع${\displaystyle X}$على مدى فترة طويلة من الزمن (أي إذا${\displaystyle \cup _{k=1}^{n}T^{k}(A)}$جميع المقاربات${\displaystyle X}$للكبير${\displaystyle n}$يُقال إن النظام إرجودي . إذا كانت كل مجموعة${\displaystyle A}$إذا تصرف النظام بهذه الطريقة، فهو نظام محافظ ، على عكس النظام المبدد ، حيث تكون بعض المجموعات الفرعية${\displaystyle A}$تتلاشى المياه ، فلا تعود أبدًا. مثال على ذلك الماء المتدفق إلى أسفل التل - فبمجرد أن يتدفق، لن يعود أبدًا. ومع ذلك، يمكن للبحيرة التي تتشكل في قاع هذا النهر أن تختلط جيدًا. تنص نظرية تفكيك هوبف على أنه يمكن تقسيم كل فضاء قياس إلى جزأين: الجزء المحافظ، والجزء المبدد.

يُعدّ مصطلح "الخلط" أقوى من مصطلح "الخاصية الإرجودية". يتطلب مصطلح "الخلط" أن تتحقق هذه الخاصية الإرجودية بين أي مجموعتين .${\displaystyle A,B}$وليس فقط بين مجموعة معينة${\displaystyle A}$و​${\displaystyle X}$أي ، بالنظر إلى أي مجموعتين${\displaystyle A,B\in {\mathcal {A}}}$يُقال إن النظام يختلط (طوبولوجيًا) إذا كان هناك عدد صحيح${\displaystyle N}$بحيث يكون ذلك، بالنسبة للجميع${\displaystyle A,B}$و​${\displaystyle n>N}$، يمتلك المرء ذلك${\displaystyle T^{n}(A)\cap B\neq \varnothing }$. هنا،${\displaystyle \cap }$يشير إلى تقاطع المجموعات و${\displaystyle \varnothing }$هي المجموعة الفارغة .

يكفي التعريف المذكور أعلاه للخلط الطوبولوجي لإعطاء فكرة غير رسمية عن الخلط (وهو مكافئ للتعريف الرسمي الوارد أدناه). ومع ذلك، لم يتطرق إلى حجم${\displaystyle A}$و​${\displaystyle B}$وهناك تعريف آخر، في الواقع، يتعامل صراحةً مع الحجم. بل عدة تعريفات؛ أحدها يجمع بين المزج القوي والمزج الضعيف؛ وهما غير متكافئين، مع أن نظام المزج القوي يكون دائمًا ضعيف المزج. لا تتوافق التعريفات القائمة على القياس مع تعريف المزج الطوبولوجي: فهناك أنظمة تُصنف ضمن أحدهما دون الآخر. ويبقى الوضع العام غامضًا: على سبيل المثال، بالنظر إلى ثلاث مجموعات ...${\displaystyle A,B,C\in {\mathcal {A}}}$يمكن تعريف المزج الثلاثي. وحتى عام 2020، لم يُعرف ما إذا كان المزج الثنائي يستلزم المزج الثلاثي. ( إذا اعتبرنا الإرجودية بمثابة "مزج أحادي"، فمن الواضح أن المزج الأحادي لا يستلزم المزج الثنائي؛ فهناك أنظمة إرجودية ولكنها ليست مختلطة).

يُستخدم مفهوم الخلط القوي بالإشارة إلى حجم زوج من المجموعات. لنأخذ على سبيل المثال مجموعة${\displaystyle A}$من صبغة ملونة تُخلط في كوب من سائل لزج، كشراب الذرة أو الشامبو أو ما شابه. تُظهر التجربة العملية أن خلط السوائل اللزجة قد يكون صعبًا للغاية: فعادةً ما توجد زاوية في الوعاء يصعب فيها خلط الصبغة. اختر كمجموعة${\displaystyle B}$تلك الزاوية التي يصعب الوصول إليها. إذن، السؤال المطروح بشأن المزج هو: هل يمكن${\displaystyle A}$بعد فترة زمنية كافية، لا يقتصر الأمر على اختراق${\displaystyle B}$ولكن أيضًا املأ${\displaystyle B}$بنفس النسبة كما هو الحال في أماكن أخرى؟

يُصاغ تعريف الخلط القوي على أنه الشرط الذي

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mu \left(T^{-n}A\cap B\right)=\mu (A)\mu (B).}$

معيار الزمن${\displaystyle n}$يُستخدم للفصل${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$في الوقت المناسب، بحيث يتم المزج${\displaystyle A}$أثناء حمل حجم الاختبار${\displaystyle B}$تم إصلاح المنتج.${\displaystyle \mu (A)\mu (B)}$الأمر أكثر دقة بعض الشيء. تخيل أن مستوى الصوت${\displaystyle B}$يمثل 10% من الحجم الكلي، وهذا هو حجم الصبغة${\displaystyle A}$وستكون النسبة أيضاً 10% من الإجمالي الكلي. إذا${\displaystyle A}$إذا كانت موزعة بشكل منتظم، فإنها تشغل 10% من${\displaystyle B}$، وهو ما يمثل 10% من الإجمالي، وبالتالي، في النهاية، بعد الخلط، جزء من${\displaystyle A}$هذا في${\displaystyle B}$يمثل 1% من الحجم الإجمالي. أي،${\displaystyle \mu \left({\mbox{after-mixing}}(A)\cap B\right)=\mu (A)\mu (B).}$إن هذا الناتج عن الأحجام يشبه إلى حد كبير نظرية بايز في الاحتمالات؛ وهذا ليس من قبيل الصدفة، بل هو نتيجة لكون نظرية القياس ونظرية الاحتمالات هما نفس النظرية: فهما يشتركان في نفس البديهيات ( بديهيات كولموغوروف )، حتى وإن كانا يستخدمان رموزًا مختلفة.

سبب استخدام${\displaystyle T^{-n}A}$بدلاً من${\displaystyle T^{n}A}$التعريف دقيق بعض الشيء، ولكنه ينبع من نفس الأسباب التي تجعل ${\displaystyle T^{-1}A}$استُخدمت هذه الطريقة لتعريف مفهوم الخريطة الحافظة للقياسات. عند النظر إلى كمية الصبغة التي اختلطت في الزاوية${\displaystyle B}$يرغب المرء في معرفة مصدر هذا الصبغ (على الأرجح، تم سكبه من الأعلى في وقت ما في الماضي). يجب التأكد من أن كل مكان ربما يكون قد "جاء" منه يختلط في النهاية.${\displaystyle B}$.

يترك${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu ,T)}$ليكن نظامًا ديناميكيًا يحافظ على القياس ، حيث T هو عامل التطور الزمني أو عامل الإزاحة . يُقال إن النظام ذو خلط قوي إذا كان، لأي${\displaystyle A,B\in {\mathcal {A}}}$، لدى المرء

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mu \left(A\cap T^{-n}B\right)=\mu (A)\mu (B).}$

بالنسبة للتحولات التي يتم تحديدها بواسطة متغير مستمر بدلاً من عدد صحيح منفصل n ، ينطبق التعريف نفسه، مع${\displaystyle T^{-n}}$تم استبدالها بـ${\displaystyle T_{g}}$حيث يمثل g معامل الزمن المستمر.

يُقال إن النظام الديناميكي ذو خلط ضعيف إذا كان لديه

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}\left|\mu (A\cap T^{-k}B)-\mu (A)\mu (B)\right|=0.}$

بعبارة أخرى،${\displaystyle T}$يكون الخلط قويًا إذا${\displaystyle \mu (A\cap T^{-n}B)-\mu (A)\mu (B)\to 0}$بالمعنى المعتاد، يكون الاختلاط ضعيفًا إذا

${\displaystyle \left|\mu (A\cap T^{-n}B)-\mu (A)\mu (B)\right|\to 0,}$

بالمعنى القيصري ، وإرجودي إذا${\displaystyle \mu \left(A\cap T^{-n}B\right)\to \mu (A)\mu (B)}$بالمعنى الذي قصده سيزارو. ومن ثم، فإن المزج القوي يستلزم المزج الضعيف، الذي يستلزم بدوره خاصية الإرجودية. إلا أن العكس ليس صحيحاً: فهناك أنظمة ديناميكية إرجودية لا تخضع للمزج الضعيف، وأنظمة ديناميكية تخضع للمزج الضعيف ولكنها لا تخضع للمزج القوي. وكان نظام تشاكون تاريخياً أول مثال يُقدم لنظام يخضع للمزج الضعيف ولكنه لا يخضع للمزج القوي. ^{[ 1 ]}

نظرية. الخلط الضعيف يستلزم الإرجودية.

البرهان. إذا انقسم فعل الخريطة إلى عنصرين${\displaystyle A,B}$إذن لدينا​${\displaystyle \mu (T^{-n}(A)\cap B)=\mu (A\cap B)=\mu (\emptyset )=0}$، لذا فإن المزج الضعيف يعني${\displaystyle \vert \mu (A\cap B)-\mu (A)\mu (B)\vert =0}$، لذلك أحد${\displaystyle A,B}$أحدهما ذو قياس صفري، والآخر ذو قياس كامل.

يمكن تعريف شكل من أشكال المزج دون اللجوء إلى مقياس ، باستخدام بنية النظام فقط. خريطة متصلة${\displaystyle f:X\to X}$يُقال إن المجموعة متعدية طوبولوجيًا إذا كان لكل زوج من المجموعات المفتوحة غير الفارغة${\displaystyle A,B\subset X}$يوجد عدد صحيح n بحيث

${\displaystyle f^{n}(A)\cap B\neq \varnothing }$

أين${\displaystyle f^{n}}$هي التكرار النوني للدالة f . في نظرية المؤثرات ، يُطلق عادةً على المؤثر الخطي المحدود المتعدي طوبولوجيًا (الخريطة الخطية المستمرة على فضاء متجهي طوبولوجي ) اسم المؤثر الفائق الدوري .

تُعبّر المجموعة المتجولة عن فكرة ذات صلة ، في الواقع، تكون النقطة غير متجولة إذا

${\displaystyle \exists n>N\geq 0:f^{n}(U)\cap U\neq \varnothing }$

أي أن الصورة رقم n ليست "بعيدة جدًا عن" الجوار الأولي U، و"لا تزال تتقاطع معه". في الحالة السابقة "تتجول" لأن المجموعة B يمكن أن تكون أي مجموعة جزئية في${\displaystyle \Omega }$^{[ 3 ] [ 4 ]}

اللمة: إذا كان X فضاءً متريًا كاملاً بدون نقطة معزولة ، فإن f تكون متعدية طوبولوجيًا إذا وفقط إذا وُجدت نقطة فائقة الدورية${\displaystyle x\in X}$أي نقطة x بحيث يكون مدارها${\displaystyle \{f^{n}(x):n\in \mathbb {N} \}}$كثيف في X.​​

يُقال إن النظام يخلط طوبولوجيًا إذا، بالنظر إلى المجموعات المفتوحة${\displaystyle A}$و​${\displaystyle B}$يوجد عدد صحيح N بحيث يكون، لكل${\displaystyle n>N}$، لدى المرء

${\displaystyle f^{n}(A)\cap B\neq \varnothing .}$^{[ 5 ]}

بالنسبة لنظام زمني مستمر،${\displaystyle f^{n}}$يتم استبدالها بالتدفق${\displaystyle \varphi _{g}}$، حيث g هو المعامل المستمر، مع اشتراط وجود تقاطع غير فارغ لجميع ⁠${\displaystyle \Vert g\Vert >N}$⁠ .

الخلط الطوبولوجي الضعيف هو الخلط الذي لا يحتوي على دوال ذاتية غير ثابتة ومستمرة (بالنسبة للطوبولوجيا) لمؤثر الإزاحة.

لا يعني الخلط الطوبولوجي الخلط الضعيف أو القوي، ولا يستلزمه الخلط الطوبولوجي: فهناك أمثلة على أنظمة ذات خلط ضعيف ولكنها ليست خلطًا طوبولوجيًا، وأمثلة أخرى ذات خلط طوبولوجي ولكنها ليست خلطًا قويًا.

يترك${\displaystyle (X_{t})_{-\infty <t<\infty }}$ليكن عملية عشوائية على فضاء احتمالي${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$فضاء التسلسل الذي يمكن فيه تزويد خرائط العمليات بطوبولوجيا، وهي طوبولوجيا الضرب .تُسمى المجموعات المفتوحة لهذه الطوبولوجيا مجموعات الأسطوانات . تُولّد مجموعات الأسطوانات هذه جبر سيجما ، وهو جبر سيجما بوريل ؛ وهو أصغر جبر سيجما يحتوي على الطوبولوجيا.

عرّف دالة${\displaystyle \alpha }$، ويُطلق عليه معامل الخلط القوي ، كما

${\displaystyle \alpha (s)=\sup \left\{|\mathbb {P} (A\cap B)-\mathbb {P} (A)\mathbb {P} (B)|:-\infty <t<\infty ,A\in X_{-\infty }^{t},B\in X_{t+s}^{\infty }\right\}}$

للجميع​${\displaystyle -\infty <s<\infty }$الرمز​${\displaystyle X_{a}^{b}}$، مع${\displaystyle -\infty \leq a\leq b\leq \infty }$يشير إلى جبر سيجما فرعي من جبر سيجما؛ وهو مجموعة مجموعات الأسطوانات المحددة بين الزمنين a و b ، أي جبر سيجما الناتج عن${\displaystyle \{X_{a},X_{a+1},\ldots ,X_{b}\}}$⁠ .

العملية${\displaystyle (X_{t})_{-\infty <t<\infty }}$يقال إنه يختلط بقوة إذا${\displaystyle \alpha (s)\to 0}$كما​${\displaystyle s\to \infty }$بمعنى آخر ، عملية الخلط القوي هي عملية تتم بطريقة موحدة على مدار جميع الأوقات${\displaystyle t}$وجميع الأحداث، الأحداث التي سبقت الزمن${\displaystyle t}$والأحداث التي تلي ذلك الوقت${\displaystyle t+s}$يميلون إلى أن يكونوا مستقلين${\displaystyle s\to \infty }$وبعبارة أخرى، فإن العملية، بمعنى قوي، تنسى تاريخها.