مساحات الموضع والزخم

في أغلب الأحيان، في ميكانيكا لاغرانج ، يكون لاغرانجيان L ( q , dq / dt , t ) في فضاء التكوين ، حيث q = ( q1 _, q2 _, ... , qn ₎ عبارة عن مجموعة من n من الإحداثيات المعممة . معادلات أويلر-لاغرانج للحركة هي $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}={\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}\,,\quad {\dot {q}}_{i}\equiv {\frac {dq_{i}}{dt}}\,.}$$

(تشير النقطة العلوية إلى مشتقة زمنية واحدة ). تقديم تعريف الزخم الكنسي لكل إحداثية معممة $${\displaystyle p_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\,,}$$ تأخذ معادلات أويلر-لاغرانج الشكل التالي: $${\displaystyle {\dot {p}}_{i}={\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}\,.}$$

يمكن التعبير عن لاغرانجيان في فضاء الزخم أيضًا، ^{[ 4 ]} L ′( p , d p / dt , t )، حيث p = ( p ₁ , p ₂ , ..., p _n ) هو مجموعة من n من الزخم المعمم. يتم إجراء تحويل ليجندر لتغيير المتغيرات في التفاضل الكلي للاغرانجيان في فضاء الإحداثيات المعمم؛ $${\displaystyle dL=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}dq_{i}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}d{\dot {q}}_{i}\right)+{\frac {\partial L}{\partial t}}dt=\sum _{i=1}^{n}({\dot {p}}_{i}dq_{i}+p_{i}d{\dot {q}}_{i})+{\frac {\partial L}{\partial t}}dt\,,}$$حيث تم استبدال المشتقات الجزئية لـ L بتعريف الزخم المعمم ومعادلات أويلر-لاغرانج . تسمح قاعدة الضرب للتفاضلات ^{[ nb 1 ]} بتبديل التفاضلات في الإحداثيات والسرعات المعممة بالتفاضلات في الزخم المعمم ومشتقاتها الزمنية. $${\displaystyle {\dot {p}}_{i}dq_{i}=d(q_{i}{\dot {p}}_{i})-q_{i}d{\dot {p}}_{i}}$$$${\displaystyle p_{i}d{\dot {q}}_{i}=d({\dot {q}}_{i}p_{i})-{\dot {q}}_{i}dp_{i}}$$ والتي بعد التعويض تُبسط وتُعاد ترتيبها إلى $${\displaystyle d\left[L-\sum _{i=1}^{n}(q_{i}{\dot {p}}_{i}+{\dot {q}}_{i}p_{i})\right]=-\sum _{i=1}^{n}({\dot {q}}_{i}dp_{i}+q_{i}d{\dot {p}}_{i})+{\frac {\partial L}{\partial t}}dt\,.}$$

الآن، التفاضل الكلي لـ Lagrangian فضاء الزخم L ′ هو $${\displaystyle dL'=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial L'}{\partial p_{i}}}dp_{i}+{\frac {\partial L'}{\partial {\dot {p}}_{i}}}d{\dot {p}}_{i}\right)+{\frac {\partial L'}{\partial t}}dt}$$ وبالتالي، بمقارنة تفاضلات لاغرانجيان، والزخم، ومشتقاتها الزمنية، فإن لاغرانجيان فضاء الزخم L ′ والإحداثيات المعممة المشتقة من L ′ هما على التوالي $${\displaystyle L'=L-\sum _{i=1}^{n}(q_{i}{\dot {p}}_{i}+{\dot {q}}_{i}p_{i})\,,\quad -{\dot {q}}_{i}={\frac {\partial L'}{\partial p_{i}}}\,,\quad -q_{i}={\frac {\partial L'}{\partial {\dot {p}}_{i}}}\,.}$$

بدمج المعادلتين الأخيرتين نحصل على معادلات أويلر-لاغرانج في فضاء الزخم. $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L'}{\partial {\dot {p}}_{i}}}={\frac {\partial L'}{\partial p_{i}}}\,.}$$

تكمن ميزة تحويل ليجندر في أنه يُحدد العلاقة بين الدالتين الجديدة والقديمة ومتغيراتهما خلال العملية. كلا صيغتي المعادلة، الإحداثية والزخمية، متكافئتان وتحتويان على نفس المعلومات حول ديناميكيات النظام. قد تكون هذه الصيغة أكثر فائدة عند إدخال الزخم أو الزخم الزاوي في لاغرانجيان.

في الميكانيكا الهاميلتونية ، على عكس الميكانيكا اللاغرانجية التي تستخدم إما جميع الإحداثيات أو الزخم، فإن معادلات الحركة الهاميلتونية تضع الإحداثيات والزخم على قدم المساواة. بالنسبة لنظام ذي دالة هاميلتونية H ( q , p , t )، تكون المعادلات كالتالي: $${\displaystyle {\dot {q}}_{i}={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}\,,\quad {\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}\,.}$$

لنفترض أن لدينا دالة موجية ثلاثية الأبعاد في فضاء الموضع ψ ( r ) ، عندئذٍ يمكننا كتابة هذه الدالة كمجموع مرجح لدوال الأساس المتعامدة ψ _j ( r ) : $${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=\sum _{j}\phi _{j}\psi _{j}(\mathbf {r} )}$$ أو، في الحالة المستمرة، كتكامل$${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=\int _{\mathbf {k} {\text{-space}}}\phi (\mathbf {k} )\psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )\mathrm {d} ^{3}\mathbf {k} }$$ من الواضح أنه إذا حددنا مجموعة الدوال${\displaystyle \psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )}$، لنقل كمجموعة الدوال الذاتية لمؤثر الزخم، الدالة${\displaystyle \phi (\mathbf {k} )}$تحتوي على جميع المعلومات اللازمة لإعادة بناء ψ ( r ) وبالتالي فهي وصف بديل للحالة${\displaystyle \psi }$.

في تمثيل الإحداثيات، يتم إعطاء عامل الزخم بواسطة ^{[ 7 ]}$${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =-i\hbar {\frac {\partial }{\partial \mathbf {r} }}}$$ (انظر حساب المصفوفات لمعرفة ترميز المقام) مع المجال المناسب . الدوال الذاتية هي $${\displaystyle \psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )={\frac {1}{({\sqrt {2\pi }})^{3}}}e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}$$ والقيم الذاتية ħ k . لذا $${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )={\frac {1}{({\sqrt {2\pi }})^{3}}}\int _{\mathbf {k} {\text{-space}}}\phi (\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\mathrm {d} ^{3}\mathbf {k} }$$ ونرى أن تمثيل الزخم مرتبط بتمثيل الموضع عن طريق تحويل فورييه. ^{[ 8 ]}

وعلى النقيض من ذلك، دالة موجية ثلاثية الأبعاد في فضاء الزخم${\displaystyle \phi (\mathbf {k} )}$يمكن التعبير عنها كمجموع مرجح لدوال أساسية متعامدة ${\displaystyle \phi _{j}(\mathbf {k} )}$، $${\displaystyle \phi (\mathbf {k} )=\sum _{j}\psi _{j}\phi _{j}(\mathbf {k} ),}$$ أو كجزء لا يتجزأ، $${\displaystyle \phi (\mathbf {k} )=\int _{\mathbf {r} {\text{-space}}}\psi (\mathbf {r} )\phi _{\mathbf {r} }(\mathbf {k} )\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} .}$$

في تمثيل الزخم، يتم إعطاء عامل الموضع بواسطة ^{[ 9 ]}$${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} =i\hbar {\frac {\partial }{\partial \mathbf {p} }}=i{\frac {\partial }{\partial \mathbf {k} }}}$$ باستخدام الدوال الذاتية $${\displaystyle \phi _{\mathbf {r} }(\mathbf {k} )={\frac {1}{\left({\sqrt {2\pi }}\right)^{3}}}e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}$$ والقيم الذاتية r . لذا فإن التفكيك المماثل لـ${\displaystyle \phi (\mathbf {k} )}$يمكن صنعها بدلالة الدوال الذاتية لهذا المؤثر، والذي تبين أنه تحويل فورييه العكسي، ^{[ 8 ]}$${\displaystyle \phi (\mathbf {k} )={\frac {1}{({\sqrt {2\pi }})^{3}}}\int _{\mathbf {r} {\text{-space}}}\psi (\mathbf {r} )e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} .}$$

إن مؤثرَي الموضع والزخم متكافئان وحدويًا ، حيث يُعطى المؤثر الوحدوي صراحةً بتحويل فورييه، أي دوران ربع دورة في فضاء الطور، مُوَلَّد بواسطة هاميلتوني المذبذب. وبالتالي، فإن لهما نفس الطيف . بلغة الفيزياء، فإن تأثير الزخم على دوال الموجة في فضاء الزخم هو نفسه تأثير الموضع على دوال الموجة في فضاء الموضع (تحت صورة تحويل فورييه).