النماذج التقسيمية (علم الأوبئة)

للحصول على المواصفات الكاملة للنموذج، يجب تسمية الأسهم بمعدلات الانتقال بين الأقسام. بين S و I ، يُفترض أن يكون معدل الانتقال هو${\displaystyle d(S/N)/dt=-\beta SI/N^{2}}$، أين${\displaystyle N}$يمثل إجمالي عدد السكان،${\displaystyle \beta }$هو متوسط ​​عدد المخالطين لكل شخص في كل فترة زمنية، مضروبًا في احتمالية انتقال المرض في حالة مخالطة شخص قابل للإصابة وشخص مصاب، و${\displaystyle SI/N^{2}}$يمثل هذا الجزء نسبة جميع الاتصالات الممكنة التي تشمل فرداً مصاباً وقابلاً للإصابة. (يشبه هذا رياضياً قانون فعل الكتلة في الكيمياء، حيث تؤدي التصادمات العشوائية بين الجزيئات إلى تفاعل كيميائي، ويكون معدل التفاعل النسبي متناسباً مع تركيز المتفاعلين. ^{[ 15 ]} )

بين I و R ، يُفترض أن معدل الانتقال يتناسب مع عدد الأفراد المصابين وهو${\displaystyle \gamma I}$إذا كان الفرد معديًا لفترة زمنية متوسطة${\displaystyle D}$، ثم${\displaystyle \gamma =1/D}$وهذا يُعادل أيضاً افتراض أن مدة بقاء الفرد في حالة العدوى هي متغير عشوائي ذو توزيع أُسّي . ويمكن تعديل نموذج SIR "الكلاسيكي" باستخدام توزيعات أكثر تعقيداً وواقعية لمعدل انتقال العدوى (مثل توزيع إيرلانغ ). ^{[ 16 ]}

في الحالة الخاصة التي لا يتم فيها إخراج المريض من الحجرة المعدية (${\displaystyle \gamma =0}$)، يختزل نموذج SIR إلى نموذج SI بسيط للغاية، والذي له حل لوجستي ، حيث يصاب كل فرد في النهاية بالعدوى.

غالبًا ما تكون ديناميكيات الأوبئة، كالإنفلونزا مثلاً ، أسرع بكثير من ديناميكيات المواليد والوفيات، ولذلك، تُهمل المواليد والوفيات عادةً في النماذج البسيطة ذات الحجيرات. ويمكن التعبير عن نظام SIR الموصوف أعلاه، دون ما يُسمى بالديناميكيات الحيوية (المواليد والوفيات، والتي تُسمى أحيانًا بالديموغرافيا)، بنظام المعادلات التفاضلية العادية التالي : ^{[ 11 ] [ 17 ]}

${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}&{\frac {dS}{dt}}=-{\frac {\beta }{N}}IS,\\[6pt]&{\frac {dI}{dt}}={\frac {\beta }{N}}IS-\gamma I,\\[6pt]&{\frac {dR}{dt}}=\gamma I,\end{aligned}}\right.}$

أين${\displaystyle S}$هو مخزون السكان المعرضين للإصابة بوحدة عدد الأفراد،${\displaystyle I}$هو عدد المصابين بوحدة عدد الأشخاص،${\displaystyle R}$هو عدد السكان الذين تم إبعادهم (سواء بالوفاة أو التعافي) بوحدة عدد الأفراد، و${\displaystyle N}$هو مجموع هذه الثلاثة بوحدة عدد الأشخاص.${\displaystyle \beta }$يمثل معدل العدوى ثابتًا بوحدة عدد الأشخاص المصابين يوميًا لكل شخص مصاب، و${\displaystyle \gamma }$هو ثابت معدل التعافي في وحدة الجزء من الشخص المتعافي في اليوم لكل شخص مصاب، عندما يكون الوقت بوحدة اليوم.

تم اقتراح هذا النموذج لأول مرة من قبل ويليام أوجيلفي كيرماك وأندرسون جراي ماكيندريك كحالة خاصة لما نسميه الآن نظرية كيرماك-ماكيندريك ، وجاء ذلك بعد العمل الذي قام به ماكيندريك مع رونالد روس .

هذا النظام غير خطي ، ومع ذلك، من الممكن اشتقاق حله التحليلي بصيغة ضمنية. ^{[ 10 ]} لاحظ أولاً أنه من:

${\displaystyle {\frac {dS}{dt}}+{\frac {dI}{dt}}+{\frac {dR}{dt}}=0,}$

ويترتب على ذلك ما يلي:

${\displaystyle S(t)+I(t)+R(t)={\text{ثابت}}=N,}$

التعبير عن ثبات عدد السكان بمصطلحات رياضية${\displaystyle N}$لاحظ أن العلاقة المذكورة أعلاه تعني أنه لا يحتاج المرء إلا إلى دراسة المعادلة لاثنين من المتغيرات الثلاثة.

ثانيًا، نلاحظ أن ديناميكيات الفئة المعدية تعتمد على النسبة التالية:

${\displaystyle R_{0}={\frac {\beta }{\gamma }},}$

ما يُسمى برقم التكاثر الأساسي (أو نسبة التكاثر الأساسية). تُشتق هذه النسبة من العدد المتوقع للإصابات الجديدة (وتُسمى هذه الإصابات الجديدة أحيانًا بالإصابات الثانوية) الناتجة عن إصابة واحدة في مجتمع يكون فيه جميع الأفراد عرضة للإصابة. ^{[ 18 ] [ 19 ]} ربما تتضح هذه الفكرة بشكل أفضل إذا قلنا إن الفترة الزمنية النموذجية بين الاتصالات هي${\displaystyle T_{c}=\beta ^{-1}}$والوقت المعتاد حتى الإزالة هو${\displaystyle T_{r}=\gamma ^{-1}}$ومن هنا يتبين أن عدد مرات اتصال الشخص المصاب بالآخرين قبل إزالته هو في المتوسط:${\displaystyle T_{r}/T_{c}.}$

بقسمة المعادلة التفاضلية الأولى على الثالثة، وفصل المتغيرات ، وإجراء التكامل، نحصل على

${\displaystyle S(t)=S(0)e^{-R_{0}(R(t)-R(0))/N},}$

أين${\displaystyle S(0)}$و${\displaystyle R(0)}$يمثلان العدد الأولي للأفراد المعرضين للإصابة والأفراد الذين تم استبعادهم، على التوالي. الكتابة${\displaystyle s_{0}=S(0)/N}$بالنسبة للنسبة الأولية من الأفراد المعرضين للإصابة، و ${\displaystyle s_{\infty }=S(\infty )/N}$و ${\displaystyle r_{\infty }=R(\infty )/N}$بالنسبة لنسبة الأفراد المعرضين للإصابة والأفراد المعزولين على التوالي في الحد${\displaystyle t\to \infty ,}$يمتلك المرء

${\displaystyle s_{\infty }=1-r_{\infty }=s_{0}e^{-R_{0}(r_{\infty }-r_{0})}}$

(لاحظ أن الحجرة المعدية تُفرغ في هذه الحالة). لهذه المعادلة المتسامية حل بدلالة دالة لامبرت W ، ^{[ 20 ]} وهو

${\displaystyle s_{\infty }=1-r_{\infty }=-R_{0}^{-1}\,W(-s_{0}R_{0}e^{-R_{0}(1-r_{0})}).}$

يُظهر هذا أنه في نهاية وباء يتوافق مع الافتراضات البسيطة لنموذج SIR، ما لم${\displaystyle s_{0}=0}$لم يتم استبعاد جميع أفراد المجتمع، لذا لا بد أن يبقى بعضهم عرضة للإصابة. ومن العوامل الرئيسية التي تؤدي إلى انتهاء الوباء انخفاض عدد الأفراد المصابين. ولا ينتهي الوباء عادةً بسبب انعدام الأفراد المعرضين للإصابة تمامًا.

يُعدّ كلٌّ من معدل التكاثر الأساسي وقابلية الإصابة الأولية بالمرض بالغ الأهمية. في الواقع، عند إعادة كتابة المعادلة للأفراد المصابين على النحو التالي:

${\displaystyle {\frac {dI}{dt}}=\left(R_{0}{\frac {S}{N}}-1\right)\gamma I,}$

ويترتب على ذلك أنه إذا:

${\displaystyle R_{0}\cdot S(0)>N,}$

ثم:

${\displaystyle {\frac {dI}{dt}}(0)>0,}$

أي أنه سيحدث تفشٍّ وبائي حقيقي مع زيادة في عدد المصابين (والتي قد تصل إلى نسبة كبيرة من السكان). على العكس من ذلك، إذا

${\displaystyle R_{0}\cdot S(0)<N,}$

ثم

${\displaystyle {\frac {dI}{dt}}(0)<0,}$

أي أنه بغض النظر عن حجم السكان المعرضين للإصابة في البداية، لا يمكن للمرض أن يتسبب في تفشي وباء حقيقي. ونتيجة لذلك، من الواضح أن كلاً من معدل التكاثر الأساسي وقابلية الإصابة الأولية لهما أهمية بالغة.

لنفترض وجود مجتمع يتميز بمعدل وفيات${\displaystyle \mu }$ومعدل المواليد${\displaystyle \Lambda }$وحيث ينتشر مرض معدٍ. ^{[ 11 ]} النموذج الذي يعتمد على انتقال العدوى الجماعي هو:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dS}{dt}}&=\Lambda -\mu S-{\frac {\beta IS}{N}}\\[8pt]{\frac {dI}{dt}}&={\frac {\beta IS}{N}}-\gamma I-\mu I\\[8pt]{\frac {dR}{dt}}&=\gamma I-\mu R\end{aligned}}}$

والتي يكون التوازن الخالي من المرض (DFE) بالنسبة لها كما يلي:

${\displaystyle \left(S(t),I(t),R(t)\right)=\left({\frac {\Lambda }{\mu }},0,0\right).}$

في هذه الحالة، يمكننا استنتاج رقم التكاثر الأساسي :

${\displaystyle R_{0}={\frac {\beta }{\mu +\gamma }},}$

والتي لها خصائص عتبة. في الواقع، وبغض النظر عن القيم الأولية ذات الدلالة البيولوجية، يمكن إثبات ما يلي:

${\displaystyle R_{0}\leq 1\Rightarrow \lim _{t\to \infty }(S(t),I(t),R(t))={\textrm {DFE}}=\left({\frac {\Lambda }{\mu }},0,0\right)}$

${\displaystyle R_{0}>1,I(0)>0\Rightarrow \lim _{t\to \infty }(S(t),I(t),R(t))={\textrm {EE}}=\left({\frac {\gamma +\mu }{\beta }},{\frac {\mu }{\beta }}\left(R_{0}-1\right),{\frac {\gamma }{\beta }}\left(R_{0}-1\right)\right).}$

تُسمى النقطة EE بالتوازن الوبائي (حيث لا يتم استئصال المرض تمامًا ويبقى موجودًا بين السكان). وباستخدام الحجج الاستدلالية، يمكن إثبات أن${\displaystyle R_{0}}$يمكن قراءة ذلك على أنه متوسط ​​عدد الإصابات التي يسببها فرد مصاب واحد في مجموعة سكانية معرضة للإصابة بالكامل، وتعني العلاقة المذكورة أعلاه بيولوجيًا أنه إذا كان هذا العدد أقل من أو يساوي واحدًا فإن المرض ينقرض، بينما إذا كان هذا العدد أكبر من واحد فإن المرض سيظل متوطنًا بشكل دائم في السكان.

في عام 1927، ابتكر كل من دبليو أو كيرماك وإيه جي ماكيندريك نموذجًا اعتبروا فيه مجموعة سكانية ثابتة بثلاثة أقسام فقط: المعرضون للإصابة،${\displaystyle S(t)}$؛ مُصاب،${\displaystyle I(t)}$وتعافى،${\displaystyle R(t)}$تتكون الأقسام المستخدمة في هذا النموذج من ثلاث فئات: ^{[ 5 ]}

• ${\displaystyle S(t)}$يُستخدم لتمثيل الأفراد الذين لم يُصابوا بالمرض بعد في الوقت t، أو أولئك المعرضين للإصابة بالمرض في المجتمع.
• ${\displaystyle I(t)}$يشير إلى أفراد السكان الذين أصيبوا بالمرض ولديهم القدرة على نقل المرض إلى أولئك الموجودين في الفئة المعرضة للإصابة.
• ${\displaystyle R(t)}$يُستخدم هذا التصنيف للأفراد الذين أُصيبوا بالمرض ثم تعافوا منه، إما بسبب التطعيم أو الوفاة. لا يُمكن لهؤلاء الأفراد أن يُصابوا بالعدوى مرة أخرى أو أن ينقلوها إلى الآخرين.

يمكن اعتبار تدفق هذا النموذج على النحو التالي:

${\displaystyle {\color {blue}{{\mathcal {S}}\rightarrow {\mathcal {I}}\rightarrow {\mathcal {R}}}}}$

باستخدام عدد سكان ثابت،${\displaystyle N=S(t)+I(t)+R(t)}$في الوظائف الثلاث، يتم تحديد أن القيمة${\displaystyle N}$ينبغي أن تظل قيمة ثابتة داخل المحاكاة، إذا تم استخدام محاكاة لحل نموذج SIR. بدلاً من ذلك، يمكن استخدام التقريب التحليلي ^{[ 12 ]} دون إجراء محاكاة. يبدأ النموذج بقيم .${\displaystyle S(t=0)}$،${\displaystyle I(t=0)}$و${\displaystyle R(t=0)}$هذه هي أعداد الأشخاص في فئات المعرضين للإصابة، والمصابين، والمتعافين عند الزمن صفر. إذا افترضنا صحة نموذج SIR في جميع الأوقات، فإن هذه الشروط الأولية ليست مستقلة. ^{[ 12 ]} بعد ذلك، يقوم نموذج التدفق بتحديث المتغيرات الثلاثة لكل نقطة زمنية بقيم محددة لـ${\displaystyle \beta }$و${\displaystyle \gamma }$تقوم المحاكاة أولاً بتحديث فئة المصابين من فئة المعرضين للإصابة، ثم يتم تحديث فئة المتعافين من فئة المصابين عند النقطة الزمنية التالية (t=1). يصف هذا تدفق الأشخاص بين الفئات الثلاث. خلال الوباء، لا يتم تغيير فئة المعرضين للإصابة وفقًا لهذا النموذج.${\displaystyle \beta }$تتغير خلال مسار الوباء، وكذلك${\displaystyle \gamma }$تحدد هذه المتغيرات مدة الوباء، وسيتعين تحديثها مع كل دورة.

${\displaystyle {\frac {dS}{dt}}=-\beta SI}$

${\displaystyle {\frac {dI}{dt}}=\beta SI-\gamma I}$

${\displaystyle {\frac {dR}{dt}}=\gamma I}$

تم وضع عدة افتراضات في صياغة هذه المعادلات: أولاً، يجب اعتبار أن لكل فرد في المجتمع احتمالًا متساويًا للإصابة بالمرض مثل أي فرد آخر، بمعدل${\displaystyle a}$وكسر متساوي${\displaystyle b}$عدد الأشخاص الذين يتواصل معهم الفرد في وحدة زمنية. ثم، لنفترض${\displaystyle \beta }$ليكن ضرب${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$هذا هو احتمال انتقال العدوى مضروبًا في معدل الاتصال. بالإضافة إلى ذلك، يتصل الشخص المصاب بـ${\displaystyle b}$عدد الأشخاص لكل وحدة زمنية بينما لا يمثل سوى جزء صغير،${\displaystyle S/N}$بعضهم عرضة للإصابة. وبالتالي، فإن كل شخص مصاب قادر على نقل العدوى.${\displaystyle abS=\beta S}$الأشخاص المعرضون للإصابة، وبالتالي، فإن العدد الإجمالي للأشخاص المعرضين للإصابة الذين أصيبوا بالعدوى من قبل المصابين لكل وحدة زمنية هو${\displaystyle \beta SI}$بالنسبة للمعادلتين الثانية والثالثة، نعتبر أن عدد السكان الذين يغادرون الفئة المعرضة للإصابة يساوي عدد السكان الذين يدخلون الفئة المصابة. ومع ذلك، فإن العدد يساوي الكسر${\displaystyle \gamma }$(والذي يمثل متوسط ​​معدل الشفاء/الوفاة، أو${\displaystyle 1/\gamma }$يبلغ متوسط ​​فترة العدوى (متوسط ​​فترة العدوى) عدد المصابين الذين يغادرون هذه الفئة كل وحدة زمنية لينضموا إلى الفئة المستبعدة. تُعرف هذه العمليات التي تحدث في آن واحد بقانون الفعل الجماعي، وهو مفهوم شائع مفاده أن معدل الاتصال بين مجموعتين في مجتمع ما يتناسب طرديًا مع حجم كل مجموعة من المجموعات المعنية. أخيرًا، يُفترض أن معدل العدوى والتعافي أسرع بكثير من النطاق الزمني للمواليد والوفيات، ولذلك، يتم تجاهل هذه العوامل في هذا النموذج. ^{[ 26 ]}

الحل الوحيد المستقر لنموذج SIR الكلاسيكي، كما هو مُعرَّف بالمعادلات التفاضلية أعلاه، هو I=0، وعندها يمكن أن تأخذ S وR أي قيم. يمكن تغيير النموذج مع الحفاظ على الأقسام الثلاثة للحصول على حل مستقر للأمراض المتوطنة عن طريق إضافة مُدخلات إلى القسم S.

على سبيل المثال، يمكن للمرء أن يفترض أن المدة المتوقعة للتعرض للإصابة ستكون${\displaystyle \operatorname {E} [\min(T_{L}\mid T_{S})]}$أين${\displaystyle T_{L}}$يعكس متوسط ​​العمر المتوقع و${\displaystyle T_{S}}$يعكس ذلك الوقت الذي يقضيه الشخص في حالة القابلية للإصابة قبل أن يُصاب بالعدوى، والذي يمكن تبسيطه ^{[ 27 ]} إلى:

${\displaystyle \operatorname {E} [\min(T_{L}\mid T_{S})]=\int _{0}^{\infty }e^{-(\mu +\delta )x}\,dx={\frac {1}{\mu +\delta }},}$

بحيث يكون عدد الأشخاص المعرضين للخطر هو عدد الأشخاص الذين يدخلون إلى حجرة المعرضين للخطر${\displaystyle \mu N}$مضروبة في مدة القابلية للإصابة:

${\displaystyle S={\frac {\mu N}{\mu +\lambda }}.}$

وبالمثل، فإن عدد المصابين في حالة الاستقرار هو عدد الأشخاص الذين ينتقلون من حالة القابلية للإصابة إلى حالة الإصابة (عدد القابلين للإصابة مضروبًا في معدل الإصابة).${\displaystyle \lambda ={\tfrac {\beta I}{N}},}$مضروبة في مدة العدوى${\displaystyle {\tfrac {1}{\mu +v}}}$:

${\displaystyle I={\frac {\mu N}{\mu +\lambda }}\lambda {\frac {1}{\mu +v}}.}$

توجد العديد من التعديلات على نموذج SIR، بما في ذلك تلك التي تشمل الولادات والوفيات، حيث لا توجد مناعة عند الشفاء (نموذج SIS)، وحيث تدوم المناعة لفترة قصيرة فقط (نموذج SIRS)، وحيث توجد فترة كمون للمرض لا يكون فيها الشخص مُعديًا (نموذجا SEIS وSEIR)، وحيث يمكن أن يولد الرضع بمناعة (نموذج MSIR). كما يمكن إضافة أقسام للتطعيم، والكشف، أو نواقل العدوى مثل البراغيث والقراد والبعوض. ويمكن أيضًا استخدام النماذج القطاعية لنمذجة مجموعات المخاطر المتعددة، وحتى تفاعل مسببات الأمراض المتعددة. ^{[ 28 ] [ 8 ]}

بعض أنواع العدوى، مثل نزلات البرد والإنفلونزا ، لا تُكسب مناعة طويلة الأمد. قد تُعطي هذه العدوى مقاومة مؤقتة، لكنها لا تُكسب مناعة طويلة الأمد بعد التعافي منها، ويصبح الأفراد عرضة للإصابة بها مرة أخرى .

لدينا النموذج:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dS}{dt}}&=-{\frac {\beta SI}{N}}+\gamma I\\[6pt]{\frac {dI}{dt}}&={\frac {\beta SI}{N}}-\gamma I\end{aligned}}}$

لاحظ أنه إذا رمزنا بـ N إلى إجمالي عدد السكان، فإنه ينطبق ما يلي:

${\displaystyle {\frac {dS}{dt}}+{\frac {dI}{dt}}=0\Rightarrow S(t)+I(t)=N}$.

وبناءً على ذلك:

${\displaystyle {\frac {dI}{dt}}=(\beta -\gamma )I-{\frac {\beta }{N}}I^{2}}$،

أي أن ديناميكيات العدوى تخضع لدالة لوجستية ، بحيث${\displaystyle \forall I(0)>0}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\beta }{\gamma }}\leq 1\Rightarrow \lim _{t\to +\infty }I(t)=0,\\[6pt]&{\frac {\beta }{\gamma }}>1\Rightarrow \lim _{t\to +\infty }I(t)=\left(1-{\frac {\gamma }{\beta }}\right)N.\end{aligned}}}$

من الممكن إيجاد حل تحليلي لهذا النموذج (عن طريق إجراء تحويل للمتغيرات:${\displaystyle I=y^{-1}}$وبإدخال هذا في معادلات المجال المتوسط، ^{[ 29 ]} بحيث يكون معدل التكاثر الأساسي أكبر من واحد. ويُعطى الحل على النحو التالي:

${\displaystyle I(t)={\frac {I_{\infty }}{1+Ve^{-\chi t}}}}$.

أين${\displaystyle I_{\infty }=(1-\gamma /\beta )N}$هو السكان المصابون بالعدوى المتوطنة،${\displaystyle \chi =\beta -\gamma }$، و${\displaystyle V=I_{\infty }/I_{0}-1}$وبما أن النظام يُفترض أنه مغلق، فإن السكان المعرضين للإصابة يكونون${\displaystyle S(t)=N-I(t)}$.

عندما يكون عدد العوامل المسببة للمرض عددًا صحيحًا (في المجتمعات التي يقل عدد أفرادها عن عشرات الآلاف)، فإن التقلبات الكامنة في عملية انتشار المرض، والناتجة عن عوامل منفصلة، ​​تؤدي إلى حالات من عدم اليقين. ^{[ 30 ]} في هذا السيناريو، ينحرف تطور المرض المتوقع بواسطة المعادلات القطاعية انحرافًا كبيرًا عن النتائج المرصودة. وقد تؤدي حالات عدم اليقين هذه إلى انتهاء الوباء قبل الموعد المتوقع وفقًا للمعادلات القطاعية.

كحالة خاصة، يمكن الحصول على الدالة اللوجستية المعتادة بافتراض${\displaystyle \gamma =0}$ويمكن أيضًا مراعاة ذلك في نموذج SIR مع${\displaystyle R=0}$أي أنه لن يتم إجراء أي إزالة. هذا هو نموذج النظام الدولي للوحدات . ^{[ 31 ]} نظام المعادلات التفاضلية باستخدام${\displaystyle S=N-I}$وبالتالي يؤول الأمر إلى:

${\displaystyle {\frac {dI}{dt}}\propto I\cdot (N-I).}$

على المدى الطويل، في نموذج SI، سيصاب جميع الأفراد بالعدوى.

يُفرّق نموذج القابلية للإصابة - العدوى - التعافي - الوفاة بين المتعافين (أي الأفراد الذين نجوا من المرض واكتسبوا مناعة) والمتوفين . ^{[ 18 ]} يحتوي نموذج SIRD على حلول شبه تحليلية مبنية على طريقة الأجزاء الأربعة. ^{[ 32 ]} يستخدم هذا النموذج نظام المعادلات التفاضلية التالي:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {dS}{dt}}=-{\frac {\beta IS}{N}},\\[6pt]&{\frac {dI}{dt}}={\frac {\beta IS}{N}}-\gamma I-\mu I,\\[6pt]&{\frac {dR}{dt}}=\gamma I,\\[6pt]&{\frac {dD}{dt}}=\mu I,\end{aligned}}}$

أين${\displaystyle \beta ,\gamma ,\mu }$تمثل هذه النسب معدلات الإصابة والشفاء والوفيات على التوالي. ^{[ 33 ]}

يُعدّ نموذج SIR المُوسّع نموذجًا مُوسّعًا لنموذج SIR يأخذ في الحسبان تطعيم السكان المُعرّضين للإصابة. ^{[ 34 ]} يستخدم هذا النموذج نظام المعادلات التفاضلية التالي:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {dS}{dt}}=-{\frac {\beta (t)IS}{N}}-v(t)S,\\[6pt]&{\frac {dI}{dt}}={\frac {\beta (t)IS}{N}}-\gamma (t)I,\\[6pt]&{\frac {dR}{dt}}=\gamma (t)I,\\[6pt]&{\frac {dV}{dt}}=v(t)S,\end{aligned}}}$

أين${\displaystyle \beta ,\gamma ,v}$تمثل هذه النسب معدلات الإصابة والشفاء والتطعيم، على التوالي. بالنسبة للشروط الأولية لنصف الوقت${\displaystyle S(0)=(1-\eta )N}$،${\displaystyle I(0)=\eta N}$،${\displaystyle R(0)=V(0)=0}$ونسب ثابتة${\displaystyle k=\gamma (t)/\beta (t)}$و${\displaystyle b=v(t)/\beta (t)}$تم حل النموذج تقريبًا. ^{[ 34 ]} يتطلب حدوث تفشي وباء${\displaystyle k+b<1-2\eta }$وهناك انخفاض حاد في معدل التطعيم${\displaystyle b_{c}}$وبعد ذلك حجم الحالة المستقرة${\displaystyle S_{\infty }}$يبقى جزء من الحجرة المعرضة للخطر قريبًا نسبيًا من${\displaystyle S(0)}$شروط ابتدائية اختيارية تحقق${\displaystyle S(0)+I(0)+R(0)+V(0)=N}$يمكن ربطها بالحالة الخاصة التي تم حلها باستخدام${\displaystyle R(0)=V(0)=0}$[ ^{34 ]​}

الحل العددي لهذا النموذج لحساب رقم التكاثر في الوقت الفعلي${\displaystyle R_{t}}$يمكن تطبيق أساليب تقييم مخاطر كوفيد-19 استنادًا إلى معلومات من مختلف فئات المجتمع. ^{[ 25 ]} يُعدّ الحل العددي طريقة شائعة لتحليل الشبكات الحركية المعقدة عندما يصعب الحصول على الحل التحليلي أو يكون مقيدًا بمتطلبات مثل الشروط الحدية أو معايير خاصة. يستخدم هذا الحل معادلات تكرارية لحساب الخطوة التالية عن طريق تحويل التكامل العددي إلى مجموع ريمان لخطوات زمنية منفصلة، ​​على سبيل المثال، استخدام رأس المال وسعر الفائدة ليوم أمس لحساب فائدة اليوم، بافتراض ثبات سعر الفائدة خلال اليوم. يحتوي الحساب على أخطاء متوقعة إذا لم تُؤخذ التصحيحات التحليلية لحجم الخطوة العددية في الحسبان، على سبيل المثال، عند تبسيط سعر الفائدة السنوي إلى 12 ضعفًا من السعر الشهري، يظهر خطأ متوقع. وبالتالي، ستحمل النتائج المحسوبة أخطاءً تراكمية عندما تكون الخطوة الزمنية بعيدة عن نقطة المرجع، ويلزم إجراء اختبار تقارب لتقدير الخطأ. مع ذلك، يُعدّ هذا الخطأ مقبولًا عادةً عند مطابقة البيانات. عند مطابقة مجموعة بيانات بخطوة زمنية متقاربة، يكون الخطأ صغيرًا نسبيًا لأن نقطة المرجع قريبة مقارنةً بالتنبؤ بفترة زمنية طويلة بعد نقطة المرجع. بمجرد الوصول إلى الوقت الفعلي${\displaystyle R_{t}}$عند سحبها، يمكن مقارنتها برقم التكاثر الأساسي${\displaystyle R_{0}}$قبل التطعيم،${\displaystyle R_{t}}$يُتيح ذلك لصانع السياسات والجمهور العام مقياسًا لفعالية أنشطة التخفيف الاجتماعي مثل التباعد الاجتماعي وارتداء الكمامات ببساطة عن طريق القسمة.${\displaystyle {\frac {R_{t}}{R_{0}}}}$في ظل حملات التطعيم المكثفة، يتمثل هدف مكافحة الأمراض في تقليل معدل التكاثر الفعال.${\displaystyle R_{e}={\frac {R_{t}S}{N}}<1}$، أين${\displaystyle S}$هو عدد السكان المعرضين للإصابة في ذلك الوقت و${\displaystyle N}$هو إجمالي عدد السكان. عندما${\displaystyle R_{e}<1}$يتراجع انتشار المرض وتنخفض حالات الإصابة اليومية.

يُوسّع نموذج SIRVD ( المعرضون للإصابة - المصابون - المتعافون - المُلقّحون - المتوفون ) نموذج SIR ليشمل تأثيرات حملات التطعيم ومعدلات الوفيات المتغيرة مع الزمن على تفشي الأوبئة. ويشمل هذا النموذج نماذج SIR وSIRV وSIRD وSI كحالات خاصة، حيث تتحكم معدلات فردية متغيرة مع الزمن في الانتقالات بين مختلف الفئات. ^{[ 35 ]} يستخدم هذا النموذج نظام المعادلات التفاضلية التالي لفئات السكان.${\displaystyle S,I,R,V,D}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {dS}{dt}}=-a(t)SI-v(t)S,\\[6pt]&{\frac {dI}{dt}}=a(t)SI-\mu (t)I-\psi (t)I,\\[6pt]&{\frac {dR}{dt}}=\mu (t)I,\\[6pt]&{\frac {dV}{dt}}=v(t)S,\\[6pt]&{\frac {dD}{dt}}=\psi (t)I\end{aligned}}}$

أين${\displaystyle a(t),v(t),\mu (t),\psi (t)}$تمثل هذه القيم معدلات الإصابة والتطعيم والتعافي والوفيات، على التوالي. بالنسبة للشروط الأولية شبه الزمنية${\displaystyle S(0)=1-\eta }$،${\displaystyle I(0)=\eta }$،${\displaystyle R(0)=V(0)=D(0)=0}$ونسب ثابتة${\displaystyle k=\mu (t)/a(t)}$،${\displaystyle b=v(t)/a(t)}$، و${\displaystyle q=\psi (t)/a(t)}$تم حل النموذج تقريبًا، وبشكل دقيق في بعض الحالات الخاصة، بغض النظر عن الشكل الوظيفي لـ${\displaystyle a(t)}$[ ^{35 ]} يتحقق ذلك بإعادة كتابة معادلات نموذج SIRVD المذكورة أعلاه في شكل مكافئ، ولكن مُختزل ^.

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {dS}{d\tau }}=-SI-b(\tau )S,\\[6pt]&{\frac {dI}{d\tau }}=SI-[k(\tau )+q(\tau )]I,\\[6pt]&{\frac {dR}{d\tau }}=k(\tau )I,\\[6pt]&{\frac {dV}{d\tau }}=b(\tau )S,\\[6pt]&{\frac {dD}{d\tau }}=q(\tau )S\end{aligned}}}$

أين

${\displaystyle \tau (t)=\int _{0}^{t}a(\xi )d\xi }$

هو زمن مُختزل بلا أبعاد. التغير الزمني للنسبة المصابة${\displaystyle I(\tau )}$ومعدل الإصابات الجديدة${\displaystyle j(\tau )=S(\tau )I(\tau )}$يختلف الأمر عند النظر في آثار التطعيمات وعندما يتباين اعتماد معدلات الوفيات والتعافي على الوقت الفعلي. وقد تم تسليط الضوء على هذه الاختلافات في حالة النسب الثابتة ومعدلات الوفيات المتناقصة تدريجيًا. ^{[ 35 ]} تسمح حالة النسب الثابتة ببناء طريقة تشخيصية لاستخراج جميع معلمات نموذج SIRVD تحليليًا من بيانات كوفيد-19 المقاسة لموجة جائحة مكتملة. ^{[ 35 ]}

يُضيف نموذج SIRVB مسارًا ثوريًا إلى نموذج SIRV. ^{[ 36 ]}

تصبح المعادلات الحركية كما يلي:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {dS}{dt}}=-a(t)SI-v(t)S+b(t)[\mu (t)I+v(t)S],\\[6pt]&{\frac {dI}{dt}}=a(t)SI-\mu (t)I,\\[6pt]&{\frac {dR}{dt}}=[1-b(t)]\mu (t)I,\\[6pt]&{\frac {dV}{dt}}=[1-b(t)]v(t)S,\\[6pt]\end{aligned}}}$

حيث معدل الإصابة${\displaystyle a(t)}$يمكن كتابتها على النحو التالي${\displaystyle \beta (t)/N}$معدل التعافي${\displaystyle \mu (t)}$يمكن تبسيطها إلى ثابت${\displaystyle \gamma }$،${\displaystyle v(t)}$معدل التطعيم،${\displaystyle b(t)}$هي نسبة الاختراق أو جزء الأشخاص المحصنين المعرضين لإعادة العدوى (<1).

في العديد من الأمراض المعدية، بما فيها الحصبة ، لا يولد الأطفال ضمن الفئة المعرضة للإصابة، بل يكتسبون مناعة ضد المرض خلال الأشهر الأولى من حياتهم بفضل الحماية التي توفرها الأجسام المضادة للأم (التي تنتقل عبر المشيمة ، بالإضافة إلى اللبأ ). تُعرف هذه المناعة بالمناعة السلبية . ويمكن توضيح هذه التفاصيل الإضافية بإضافة فئة M (للمناعة المكتسبة من الأم) في بداية النموذج.

ولتوضيح ذلك رياضياً، تتم إضافة حجرة إضافية، M ( t ) . وينتج عن ذلك المعادلات التفاضلية التالية:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dM}{dt}}&=\Lambda -\delta M-\mu M\\[8pt]{\frac {dS}{dt}}&=\delta M-{\frac {\beta SI}{N}}-\mu S\\[8pt]{\frac {dI}{dt}}&={\frac {\beta SI}{N}}-\gamma I-\mu I\\[8pt]{\frac {dR}{dt}}&=\gamma I-\mu R\end{aligned}}}$

بعض الأشخاص الذين أصيبوا بمرض معدٍ كالسل لا يتعافون تمامًا، ويستمرون في حمل العدوى دون أن تظهر عليهم أعراض المرض. وقد يعودون إلى حالة العدوى ويعانون من الأعراض (كما في السل)، أو قد يستمرون في نقل العدوى للآخرين وهم حاملون للمرض دون أن تظهر عليهم أي أعراض. ​​ولعل أشهر مثال على ذلك هو ماري مالون ، التي نقلت العدوى إلى 22 شخصًا بحمى التيفوئيد . ويُرمز إلى حالة حامل المرض بالحرف C.

في العديد من الأمراض المعدية الهامة، توجد فترة حضانة طويلة يكون خلالها الأفراد مصابين بالعدوى ولكنهم غير ناقلين لها. خلال هذه الفترة، يكون الفرد في الفئة (هـ) (أي المعرضين للعدوى).

بافتراض أن فترة الكمون هي متغير عشوائي ذو توزيع أسي بمعامل${\displaystyle a}$(أي أن متوسط ​​فترة الكمون هو${\displaystyle a^{-1}}$)، وبافتراض وجود ديناميكيات حيوية مع معدل المواليد${\displaystyle \Lambda }$يساوي معدل الوفيات${\displaystyle N\mu }$(بحيث يكون العدد الإجمالي${\displaystyle N}$(ثابت)، لدينا النموذج التالي:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dS}{dt}}&=\mu N-\mu S-{\frac {\beta IS}{N}}\\[8pt]{\frac {dE}{dt}}&={\frac {\beta IS}{N}}-(\mu +a)E\\[8pt]{\frac {dI}{dt}}&=aE-(\gamma +\mu )I\\[8pt]{\frac {dR}{dt}}&=\gamma I-\mu R.\end{aligned}}}$

لدينا${\displaystyle S+E+I+R=N,}$لكن هذا ثابت فقط بسبب الافتراض المبسط بأن معدلات المواليد والوفيات متساوية؛ بشكل عام${\displaystyle N}$هو متغير.

بالنسبة لهذا النموذج، فإن رقم التكاثر الأساسي هو:

${\displaystyle R_{0}={\frac {a}{\mu +a}}{\frac {\beta }{\mu +\gamma }}.}$

على غرار نموذج SIR، لدينا في هذه الحالة أيضًا حالة توازن خالية من الأمراض ( N , 0, 0, 0) وحالة توازن متوطنة (EE)، ويمكن إثبات ذلك بشكل مستقل عن الظروف الأولية ذات الدلالة البيولوجية.

${\displaystyle \left(S(0),E(0),I(0),R(0)\right)\in \left\{(S,E,I,R)\in [0,N]^{4}:S\geq 0,E\geq 0,I\geq 0,R\geq 0,S+E+I+R=N\right\}}$

وينص على ما يلي:

${\displaystyle R_{0}\leq 1\Rightarrow \lim _{t\to +\infty }\left(S(t),E(t),I(t),R(t)\right)=DFE=(N,0,0,0),}$

${\displaystyle R_{0}>1,I(0)>0\Rightarrow \lim _{t\to +\infty }\left(S(t),E(t),I(t),R(t)\right)=EE.}$

في حالة معدل الاتصال المتغير دوريًا${\displaystyle \beta (t)}$الشرط اللازم لجاذبية DFE العالمية هو أن يكون النظام الخطي التالي بمعاملات دورية:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dE_{1}}{dt}}&=\beta (t)I_{1}-(\gamma +a)E_{1}\\[8pt]{\frac {dI_{1}}{dt}}&=aE_{1}-(\gamma +\mu )I_{1}\end{aligned}}}$

مستقر (أي أن له قيم فلوكي الذاتية داخل دائرة الوحدة في المستوى المركب).

إن نموذج SEIS يشبه نموذج SEIR (أعلاه) باستثناء أنه لا يتم اكتساب أي مناعة في النهاية.

${\displaystyle {\color {blue}{{\mathcal {S}}\to {\mathcal {E}}\to {\mathcal {I}}\to {\mathcal {S}}}}}$

في هذا النموذج، لا تترك العدوى أي مناعة، وبالتالي يعود الأفراد الذين تعافوا إلى كونهم عرضة للإصابة، وينتقلون مرة أخرى إلى خانة S ( t ). تصف المعادلات التفاضلية التالية هذا النموذج:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dS}{dt}}&=\Lambda -{\frac {\beta SI}{N}}-\mu S+\gamma I\\[6pt]{\frac {dE}{dt}}&={\frac {\beta SI}{N}}-(\epsilon +\mu )E\\[6pt]{\frac {dI}{dt}}&=\varepsilon E-(\gamma +\mu )I\end{aligned}}}$

بالنسبة لحالة المرض، مع عوامل المناعة السلبية وفترة الكمون، يوجد نموذج MSEIR.

${\displaystyle \color {blue}{{\mathcal {M}}\to {\mathcal {S}}\to {\mathcal {E}}\to {\mathcal {I}}\to {\mathcal {R}}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dM}{dt}}&=\Lambda -\delta M-\mu M\\[6pt]{\frac {dS}{dt}}&=\delta M-{\frac {\beta SI}{N}}-\mu S\\[6pt]{\frac {dE}{dt}}&={\frac {\beta SI}{N}}-(\varepsilon +\mu )E\\[6pt]{\frac {dI}{dt}}&=\varepsilon E-(\gamma +\mu )I\\[6pt]{\frac {dR}{dt}}&=\gamma I-\mu R\end{aligned}}}$

إن نموذج MSEIRS مشابه لنموذج MSEIR، ولكن المناعة في فئة R ستكون مؤقتة، بحيث يستعيد الأفراد قابليتهم للإصابة عندما تنتهي المناعة المؤقتة.

${\displaystyle {\color {blue}{{\mathcal {M}}\to {\mathcal {S}}\to {\mathcal {E}}\to {\mathcal {I}}\to {\mathcal {R}}\to {\mathcal {S}}}}}$

عند تطوير نماذج أكثر تفصيلاً لإجراء تحليل معمق، تُصمم النماذج في الغالب لسيناريوهات تفشي محددة لأمراض معينة، بما في ذلك أقسام مخصصة لأسئلة بحثية محددة، مثل أقسام حالات الاستشفاء أو ديناميكيات الكشف. ورغم أن هذه النماذج تُصمم عادةً لحالات محددة، إلا أن هناك نماذج معقدة قابلة للاستخدام لمجموعة واسعة من الأمراض المختلفة. إحدى هذه المحاولات لإنشاء نموذج عام تتضمن اثني عشر قسمًا، موسعةً نموذج SEIR المعروف بإضافة مرحلة ثانية من العدوى، وأقسام للكشف، وجرعتين من التطعيم. بالإضافة إلى ذلك، تُدمج عدوى مسحات البلغم عبر عامل ممرض خارجي.${\displaystyle P}$ويتم تضمين مجموعة مبسطة من النواقل بواسطة${\displaystyle S_{V}}$و${\displaystyle I_{V}}$علاوة على ذلك، يمكن تضمين ديناميكيات السكان مثل عمليات الولادة والوفاة. تُمكّن هذه النماذج المعقدة من فهم أعمق لديناميكيات العدوى وإدخال تدخلات دوائية وغير دوائية مختلفة. ^{[ 8 ]}

من المعروف أن احتمالية الإصابة بمرض ما ليست ثابتة بمرور الوقت. فمع تطور الجائحة، قد تُغير ردود الفعل تجاهها معدلات انتقال العدوى، والتي تُفترض ثباتها في النماذج الأبسط. وستؤدي التدابير المضادة، مثل ارتداء الكمامات والتباعد الاجتماعي والإغلاق، إلى تغيير معدل انتقال العدوى بما يُسهم في الحد من سرعة انتشار الجائحة.

بالإضافة إلى ذلك، تتسم بعض الأمراض بطابع موسمي، مثل فيروسات نزلات البرد الشائعة ، التي تنتشر بكثرة خلال فصل الشتاء. أما أمراض الطفولة، كالحصبة والنكاف والحصبة الألمانية، فترتبط ارتباطًا وثيقًا بالتقويم الدراسي، بحيث تنخفض احتمالية الإصابة بها بشكل ملحوظ خلال العطلات المدرسية. ونتيجة لذلك، ينبغي مراعاة قوة العدوى في العديد من فئات الأمراض، مع الأخذ في الاعتبار معدل انتقال العدوى المتغير دوريًا (موسميًا).

${\displaystyle F=\beta (t){\frac {I}{N}},\quad \beta (t+T)=\beta (t)}$

بفترة زمنية T تساوي سنة واحدة.

وهكذا، يصبح نموذجنا

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dS}{dt}}&=\mu N-\mu S-\beta (t){\frac {I}{N}}S\\[8pt]{\frac {dI}{dt}}&=\beta (t){\frac {I}{N}}S-(\gamma +\mu )I\end{aligned}}}$

(تتضح ديناميكيات التعافي بسهولة من${\displaystyle R=N-S-I}$أي مجموعة غير خطية من المعادلات التفاضلية ذات المعاملات المتغيرة دوريًا. من المعروف أن هذا النوع من الأنظمة الديناميكية قد يخضع لظواهر رنين بارامترية غير خطية بالغة التعقيد والإثارة. ومن السهل ملاحظة أنه إذا:

${\displaystyle {\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}{\frac {\beta (t)}{\mu +\gamma }}\,dt<1\Rightarrow \lim _{t\to +\infty }(S(t),I(t))=DFE=(N,0),}$

بينما إذا كان التكامل أكبر من واحد، فلن يختفي المرض، وقد تحدث مثل هذه الرنينات. على سبيل المثال، إذا اعتبرنا معدل الاتصال المتغير دوريًا بمثابة "مدخل" للنظام، فإن المخرج يكون دالة دورية دورها مضاعف لدور المدخل. وقد ساهم هذا في تفسير تفشي الأوبئة متعددة السنوات (عادةً كل سنتين) لبعض الأمراض المعدية، باعتبارها تفاعلًا بين دورة تذبذبات معدل الاتصال والدور الزائف للتذبذبات المتضائلة قرب حالة التوازن الوبائي. والجدير بالذكر أنه في بعض الحالات، قد يكون السلوك شبه دوري أو حتى فوضويًا.

لا تصف النماذج المكانية الزمنية المقسّمة العدد الإجمالي للأشخاص المعرضين للإصابة/المصابين/المتعافين، بل كثافتهم. وبالتالي، فهي تسمح أيضًا بنمذجة توزيع المصابين في المكان. في معظم الحالات، يتم ذلك من خلال دمج نموذج SIR مع معادلة الانتشار.

${\displaystyle {\begin{aligned}&\partial _{t}S=D_{S}\nabla ^{2}S-{\frac {\beta IS}{N}},\\[6pt]&\partial _{t}I=D_{I}\nabla ^{2}I+{\frac {\beta IS}{N}}-\gamma I,\\[6pt]&\partial _{t}R=D_{R}\nabla ^{2}R+\gamma I,\end{aligned}}}$^{[ 37 ]}

أين${\displaystyle D_{S}}$،${\displaystyle D_{I}}$و${\displaystyle D_{R}}$هي ثوابت الانتشار. وبذلك، نحصل على معادلة تفاعل-انتشار. (لاحظ أنه لأسباب تتعلق بالأبعاد، فإن المعامل${\displaystyle \beta }$يجب تغيير هذا النموذج مقارنةً بنموذج SIR البسيط. وقد استُخدمت نماذج مبكرة من هذا النوع لمحاكاة انتشار الطاعون الأسود في أوروبا. ^{[ 38 ]} كما استُخدمت امتدادات لهذا النموذج لإدراج تأثيرات التدخلات غير الدوائية، مثل التباعد الاجتماعي. ^{[ 39 ]}

نظراً لاختلاف العلاقات الاجتماعية، وشدة المرض، ومعدل الوفيات، فضلاً عن فعالية التدابير الوقائية، اختلافاً كبيراً بين المجموعات السكانية الفرعية المتفاعلة، كالكبار السن والشباب مثلاً، يمكن استخدام نماذج SEIR منفصلة لكل مجموعة فرعية، على أن تكون هذه النماذج مترابطة فيما بينها عبر روابط تفاعلية. ^{[ 37 ]} وقد استُخدمت نماذج SEIR للمجموعات السكانية الفرعية المتفاعلة هذه لنمذجة جائحة كوفيد-19 على مستوى القارة، بهدف تطوير استراتيجيات تطعيم شخصية، وسريعة، وموجهة نحو مجموعات سكانية فرعية محددة ^{[ 40 ]} ، والتي تُبشر بتقصير مدة الجائحة وخفض عدد الإصابات والوفيات في ظل محدودية الوصول إلى اللقاحات خلال موجة من سلالات الفيروس المثيرة للقلق.

تمت دراسة نموذج SIR على شبكات متنوعة بهدف نمذجة شكل أكثر واقعية للاتصال من شرط الاختلاط المتجانس المطلوب عادةً. يؤدي نموذج بسيط للأوبئة على الشبكات، حيث يكون للفرد احتمال p للإصابة من كل جار مصاب له في خطوة زمنية معينة، إلى نتائج مشابهة لتكوين المكونات العملاقة على الرسوم البيانية العشوائية لإردوش ريني . ^{[ 41 ]} وقد طُوّر مؤخرًا نموذج حجرة عشوائي مع مسار انتقال عبر المتجهات، حيث يُطبّق فيه نهج المشي العشوائي المتعدد لدراسة ديناميكيات الانتشار في الرسوم البيانية العشوائية من نوع واتس-ستروغاتز وباراباسي-ألبرت، لمحاكاة أنماط تنقل البشر في بيئات العالم الحقيقي المعقدة كالمدن والشوارع وشبكات النقل. يُجسّد هذا النموذج فئة الأمراض المعدية المنقولة بالنواقل، مثل حمى الضنك والملاريا (التي تنتقل عن طريق البعوض) والطاعون (الذي ينتقل عن طريق البراغيث) وغيرها.

تعتمد ديناميكيات الأوبئة على كيفية تغير سلوك الأفراد بمرور الوقت. فعلى سبيل المثال، في بداية الوباء، يكون الناس غير مدركين للأمر وغير مبالين، ثم بعد تفشي الوباء وإعلان حالة التأهب، يبدأون بالامتثال للقيود المختلفة، وقد ينخفض ​​انتشار الوباء. ومع مرور الوقت، يشعر بعض الناس بالتعب أو الإحباط من القيود ويتوقفون عن اتباعها (الإرهاق)، خاصةً إذا انخفض عدد الحالات الجديدة. وبعد فترة راحة، يمكنهم العودة إلى اتباع القيود. ولكن خلال هذه الفترة، قد تأتي موجة ثانية وتكون أقوى من الأولى. لذا، ينبغي مراعاة الديناميكيات الاجتماعية . وتُكمّل نماذج الفيزياء الاجتماعية للضغط الاجتماعي نماذج الأوبئة الكلاسيكية. ^{[ 42 ]}

يُصنَّف نموذج SIR-الإجهاد الاجتماعي (SIR _SS ) الأبسط على النحو التالي: يمكن تقسيم الأفراد المعرضين للإصابة (S) إلى ثلاث مجموعات فرعية حسب أنماط سلوكهم: جاهلون أو غير مدركين للوباء (S _ign )، ومقاومون عقلانيون (S _res )، ومنهكون (S _exh ) لا يتفاعلون مع المؤثرات الخارجية (وهي فترة سكون). بعبارة أخرى: S(t) = S _ign (t) + S _res (t) + S _exh (t). ويمكن تمثيل نموذج الإجهاد الاجتماعي رمزياً بمخطط رد الفعل (حيث يرمز I إلى الأفراد المصابين).

• ${\displaystyle {\color {blue}{{\mathcal {S_{ign}}}+2{\mathcal {I}}\to {\mathcal {S_{res}}}+2{\mathcal {I}}}}}$– تفاعل التعبئة (يعني الشكل التحفيزي الذاتي هنا أن معدل الانتقال يتناسب مع مربع الجزء المصاب I)؛
• ${\displaystyle {\color {blue}{{\mathcal {S_{res}}}\to {\mathcal {S_{exh}}}}}}$– عملية الإرهاق الناتجة عن التعب من القيود المفروضة لمكافحة الوباء؛
• ${\displaystyle {\color {blue}{{\mathcal {S_{exh}}}\to {\mathcal {S_{ign}}}}}}$- الاسترخاء البطيء إلى الحالة الأولية (نهاية فترة المقاومة).

رد الفعل الرئيسي لمتلازمة الاستجابة الالتهابية الجهازية (SIR) على الوباء

• ${\displaystyle {\color {blue}{{\mathcal {S_{...}}}+{\mathcal {I}}\to {\mathcal {2I}}}}}$

لها ثوابت معدل تفاعل مختلفة${\displaystyle \beta }$بالنسبة لـ S _ign و S _res و S _exh . من المفترض، بالنسبة لـ S _res ،${\displaystyle \beta }$أقل من قيمة S _ign و S _ign .

تتركز الاختلافات بين الدول في ثابتين حركيين: معدل التعبئة ومعدل الإنهاك، حُسبا لجائحة كوفيد-19 في 13 دولة. ^{[ 42 ]} ويمكن استخلاص هذين الثابتين لهذه الجائحة في جميع الدول من خلال مطابقة نموذج SIR _SS مع البيانات المتاحة للعموم. ^{[ 43 ]}

استنادًا إلى نموذج SIR الكلاسيكي، تم اقتراح معادلة كورتيغ-دي فريس (KdV)-SIR وحلها التحليلي لتوضيح الديناميكيات الأساسية لموجة وبائية، واعتماد الحلول على المعاملات، واعتماد آفاق التنبؤ على أنواع الحلول المختلفة. ^{[ 44 ]} تُكتب معادلة KdV-SIR على النحو التالي:

${\displaystyle {\frac {d^{2}I}{dt}}-\sigma _{o}^{2}I+{\frac {3}{2}}{\frac {\sigma _{o}^{2}}{I_{max}}}I^{2}=0}$.

هنا،

${\displaystyle \sigma _{o}=\gamma (R_{o}-1)}$،

${\displaystyle R_{o}={\frac {\beta }{\gamma }}{\frac {S_{o}}{N}}}$،

و

${\displaystyle I_{max}={\frac {S_{o}}{2}}{\frac {(R_{o}-1)^{2}}{R_{o}^{2}}}}$.

${\displaystyle S_{o}}$يشير إلى القيمة الأولية لمتغير الحالة${\displaystyle S}$. حدود${\displaystyle \sigma _{o}}$(σ-naught) و${\displaystyle R_{o}}$(R-naught) هما معدل النمو النسبي المستقل عن الزمن ورقم التكاثر الأساسي، على التوالي. ${\displaystyle I_{max}}$يمثل الحد الأقصى لمتغيرات الحالة ${\displaystyle I}$(لعدد المصابين). تتشابه معادلة KdV-SIR في شكلها مع معادلة Korteweg–De Vries في إحداثيات الموجة المتحركة. يُكتب الحل التحليلي لمعادلة KdV-SIR كما يلي:

${\displaystyle I=I_{max}sech^{2}\left({\frac {\sigma _{o}}{2}}t\right)}$،

وهو ما يمثل حلاً لموجة منفردة.

في حال وجود أمراض معدية، فإن إحدى المهام الرئيسية هي القضاء عليها من خلال تدابير الوقاية، وإذا أمكن، من خلال إنشاء برنامج تطعيم جماعي. لنأخذ مثالاً على مرض يُطعّم ضده المواليد الجدد (بلقاح يمنح مناعة مدى الحياة) بمعدل${\displaystyle P\in (0,1)}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dS}{dt}}&=\nu N(1-P)-\mu S-\beta {\frac {I}{N}}S\\[8pt]{\frac {dI}{dt}}&=\beta {\frac {I}{N}}S-(\mu +\gamma )I\\[8pt]{\frac {dV}{dt}}&=\nu NP-\mu V\end{aligned}}}$

أين${\displaystyle V}$هي فئة الأشخاص الذين تم تطعيمهم. ومن السهل إثبات ما يلي:

${\displaystyle \lim _{t\to +\infty }V(t)=NP,}$

وهكذا سنتناول السلوك طويل الأمد لـ${\displaystyle S}$و${\displaystyle I}$، والتي تنص على ما يلي:

${\displaystyle R_{0}(1-P)\leq 1\Rightarrow \lim _{t\to +\infty }\left(S(t),I(t)\right)=DFE=\left(N\left(1-P\right),0\right)}$

${\displaystyle R_{0}(1-P)>1,\quad I(0)>0\Rightarrow \lim _{t\to +\infty }\left(S(t),I(t)\right)=EE=\left({\frac {N}{R_{0}(1-P)}},N\left(R_{0}(1-P)-1\right)\right).}$

بمعنى آخر، إذا

${\displaystyle P<P^{*}=1-{\frac {1}{R_{0}}}}$

لا ينجح برنامج التطعيم في القضاء على المرض، بل على العكس، سيظل متوطنًا، وإن كان بمستويات أقل من حالة عدم وجود تطعيمات. وهذا يعني أن النموذج الرياضي يشير إلى أنه بالنسبة لمرض قد يصل معدل تكاثره الأساسي إلى 18، ينبغي تطعيم ما لا يقل عن 94.4% من المواليد الجدد للقضاء عليه.

تواجه المجتمعات الحديثة تحدي الإعفاء "العقلاني"، أي قرار الأسرة بعدم تطعيم أطفالها نتيجة مقارنة "عقلانية" بين المخاطر المتوقعة من العدوى والمخاطر المحتملة من اللقاح. ولتقييم ما إذا كان هذا السلوك عقلانيًا حقًا، أي ما إذا كان من الممكن أن يؤدي إلى القضاء على المرض، يمكن افتراض أن معدل التطعيم يتناسب طرديًا مع عدد الأفراد المصابين.

${\displaystyle P=P(I),\quad P'(I)>0.}$

في مثل هذه الحالة، يصبح شرط الاستئصال كما يلي:

${\displaystyle P(0)\geq P^{*},}$

أي أن معدل التطعيم الأساسي يجب أن يكون أعلى من عتبة "التطعيم الإلزامي"، وهو ما لا يمكن تحقيقه في حالة الإعفاء. وبالتالي، قد يكون الإعفاء "المنطقي" قاصراً لأنه يستند فقط إلى انخفاض معدل الإصابة الحالي نتيجة لتغطية التطعيم العالية، دون مراعاة احتمال عودة العدوى في المستقبل بسبب انخفاض التغطية.

في حال وجود تطعيمات لغير المواليد الجدد بمعدل ρ، يجب تعديل معادلة الشخص المعرض للإصابة والشخص الذي تم تطعيمه على النحو التالي:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dS}{dt}}&=\mu N(1-P)-\mu S-\rho S-\beta {\frac {I}{N}}S\\[8pt]{\frac {dV}{dt}}&=\mu NP+\rho S-\mu V\end{aligned}}}$

مما يؤدي إلى حالة الاستئصال التالية:

${\displaystyle P\geq 1-\left(1+{\frac {\rho }{\mu }}\right){\frac {1}{R_{0}}}}$

تعتمد هذه الاستراتيجية على تطعيم فئة عمرية محددة (مثل الأطفال الصغار أو كبار السن) بشكل متكرر ضمن مجتمع معرض للإصابة بالمرض على مدار فترة زمنية. وباستخدام هذه الاستراتيجية، يتم استبعاد مجموعة الأفراد المعرضين للإصابة فورًا، مما يُمكّن من القضاء على مرض معدٍ (مثل الحصبة) من جميع أفراد المجتمع. كل T وحدة زمنية، يتم تطعيم نسبة ثابتة p من الأفراد المعرضين للإصابة في فترة زمنية قصيرة نسبيًا (مقارنةً بديناميكية المرض). ويؤدي هذا إلى المعادلات التفاضلية النبضية التالية للأفراد المعرضين للإصابة والأفراد الذين تم تطعيمهم:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dS}{dt}}&=\mu N-\mu S-\beta {\frac {I}{N}}S,\quad S(nT^{+})=(1-p)S(nT^{-}),&&n=0,1,2,\ldots \\[8pt]{\frac {dV}{dt}}&=-\mu V,\quad V(nT^{+})=V(nT^{-})+pS(nT^{-}),&&n=0,1,2,\ldots \end{aligned}}}$

من السهل ملاحظة أنه بوضع I = 0 نحصل على أن ديناميكيات الأفراد المعرضين للإصابة تُعطى بواسطة:

${\displaystyle S^{*}(t)=1-{\frac {p}{1-(1-p)E^{-\mu T}}}E^{-\mu MOD(t,T)}}$

وأن شرط الاستئصال هو:

${\displaystyle R_{0}\int _{0}^{T}S^{*}(t)\,dt<1}$

تُقرّ دراساتٌ عديدةٌ بأنّ التطعيم يُمكن اعتباره لعبةً: ففي مجتمعٍ مُطعّمٍ بالكامل، سيختفي أيّ وباءٍ فورًا، وبالتالي لن يكون لدى أيّ شخصٍ إضافيّ أيّ دافعٍ للتطعيم. وعلى النقيض، فإنّ الشخص الذي يصل إلى مجتمعٍ غير مُطعّمٍ سيكون لديه كلّ الحوافز للتطعيم (إذ سيتفجّر الوباء في مثل هذا المجتمع). لذا، يبدو أنّ للفرد مصلحةً في فعل عكس ما يفعله المجتمع ككلّ. لكنّ المجتمع هو مجموع جميع الأفراد، وبالتالي فإنّ الافتراض السابق خاطئ. لذلك، في الواقع، يتمّ الوصول إلى توازن ناش . ^{[ 49 ] [ 50 ] [ 51 ] [ 52 ] [ 53 ]} تشمل الأدوات التقنية لمعالجة مثل هذه الحالات نظرية الألعاب أو أدواتٍ حديثةٍ مثل نظرية ألعاب المجال المتوسط . ^{[ 53 ] [ 54 ]}