الفضاء المماسي

في صورة التشعب المضمن، متجه مماس عند نقطة${\displaystyle x}$يُعتقد أن السرعة هي سرعة منحنى يمر عبر النقطة${\displaystyle x}$لذا، يمكننا تعريف متجه المماس على أنه فئة تكافؤ للمنحنيات التي تمر عبر${\displaystyle x}$مع كونهما متماسين مع بعضهما البعض عند${\displaystyle x}$.

لنفترض أن${\displaystyle M}$هو${\displaystyle C^{k}}$مشعب قابل للتفاضل (مع نعومة)${\displaystyle k\geq 1}$) وذلك${\displaystyle x\in M}$اختر مخطط إحداثيات${\displaystyle \varphi :U\to \mathbb {R} ^{n}}$، أين${\displaystyle U}$هي مجموعة فرعية مفتوحة من${\displaystyle M}$يحتوي على${\displaystyle x}$لنفترض كذلك وجود منحنيين${\displaystyle \gamma _{1},\gamma _{2}:(-1,1)\to M}$مع${\displaystyle {\gamma _{1}}(0)=x={\gamma _{2}}(0)}$يتم إعطاؤها بحيث يكون كلاهما${\displaystyle \varphi \circ \gamma _{1},\varphi \circ \gamma _{2}:(-1,1)\to \mathbb {R} ^{n}}$هي قابلة للتفاضل بالمعنى العادي (نسمي هذه المنحنيات القابلة للتفاضل التي تم تهيئتها عند${\displaystyle x}$). ثم${\displaystyle \gamma _{1}}$و${\displaystyle \gamma _{2}}$يقال إنها متكافئة عند${\displaystyle 0}$إذا وفقط إذا كانت مشتقات${\displaystyle \varphi \circ \gamma _{1}}$و${\displaystyle \varphi \circ \gamma _{2}}$في${\displaystyle 0}$يتطابقان. وهذا يُعرّف علاقة تكافؤ على مجموعة جميع المنحنيات القابلة للتفاضل التي تم تهيئتها عند${\displaystyle x}$وتُعرف فئات التكافؤ لهذه المنحنيات باسم متجهات المماس لـ${\displaystyle M}$في${\displaystyle x}$. فئة التكافؤ لأي منحنى من هذا القبيل${\displaystyle \gamma }$يُرمز إليه بـ${\displaystyle \gamma '(0)}$الفضاء المماسي لـ${\displaystyle M}$في${\displaystyle x}$، ويرمز إليه بـ${\displaystyle T_{x}M}$ثم تُعرَّف بأنها مجموعة جميع متجهات المماس عند${\displaystyle x}$لا يعتمد ذلك على اختيار مخطط الإحداثيات${\displaystyle \varphi :U\to \mathbb {R} ^{n}}$.

لتعريف عمليات الفضاء المتجهي على${\displaystyle T_{x}M}$نستخدم مخططًا${\displaystyle \varphi :U\to \mathbb {R} ^{n}}$وحدد خريطة${\displaystyle \mathrm {d} {\varphi }_{x}:T_{x}M\to \mathbb {R} ^{n}}$بواسطة${\textstyle {\mathrm {d} {\varphi }_{x}}(\gamma '(0)):={\frac {\mathrm {d} (\varphi \circ \gamma )}{\mathrm {d} {t}}}(0),}$أين${\displaystyle \gamma \in \gamma '(0)}$الخريطة${\displaystyle \mathrm {d} {\varphi }_{x}}$اتضح أنها دالة تقابلية ويمكن استخدامها لنقل عمليات الفضاء المتجهي على${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$إلى${\displaystyle T_{x}M}$وبذلك تحول المجموعة الأخيرة إلى${\displaystyle n}$فضاء متجهي حقيقي ذو أبعاد n. مرة أخرى، يجب التحقق من أن هذا البناء لا يعتمد على المخطط المحدد.${\displaystyle \varphi :U\to \mathbb {R} ^{n}}$والمنحنى${\displaystyle \gamma }$يتم استخدامها، وفي الواقع لا يتم استخدامها.

لنفترض الآن أن${\displaystyle M}$هو${\displaystyle C^{\infty }}$متعدد الشعب. دالة ذات قيم حقيقية${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }$يقال إنه ينتمي إلى${\displaystyle {C^{\infty }}(M)}$إذا وفقط إذا كان ذلك لكل مخطط إحداثيات${\displaystyle \varphi :U\to \mathbb {R} ^{n}}$الخريطة${\displaystyle f\circ \varphi ^{-1}:\varphi [U]\subseteq \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$قابلة للتفاضل إلى ما لا نهاية. لاحظ أن${\displaystyle {C^{\infty }}(M)}$هو جبر ترابطي حقيقي فيما يتعلق بالضرب النقطي ومجموع الدوال والضرب القياسي.

اشتقاق في​${\displaystyle x\in M}$يُعرَّف بأنه خريطة خطية${\displaystyle D:{C^{\infty }}(M)\to \mathbb {R} }$التي تُرضي هوية لايبنتز $${\displaystyle \forall f,g\in {C^{\infty }}(M):\qquad D(fg)=D(f)\cdot g(x)+f(x)\cdot D(g),}$$ والتي تم تصميمها على غرار قاعدة الضرب في حساب التفاضل والتكامل.

(لكل دالة ثابتة متطابقة)${\displaystyle f={\text{const}},}$ويترتب على ذلك أن${\displaystyle D(f)=0}$).

دل${\displaystyle T_{x}M}$مجموعة جميع الاشتقاقات عند${\displaystyle x.}$جلسة

• ${\displaystyle (D_{1}+D_{2})(f):={D}_{1}(f)+{D}_{2}(f)}$و
• ${\displaystyle (\lambda \cdot D)(f):=\lambda \cdot D(f)}$

انعطف${\displaystyle T_{x}M}$إلى فضاء متجهي.

ل${\displaystyle x\in M}$ومنحنى قابل للتفاضل${\displaystyle \gamma$ :(-1,1)\to M} بحيث${\displaystyle \gamma (0)=x,}$يُعرِّف${\displaystyle {D_{\gamma }}(f):=(f\circ \gamma )'(0)}$(حيث يتم أخذ المشتقة بالمعنى العادي لأن${\displaystyle f\circ \gamma }$هي دالة من${\displaystyle (-1,1)}$ل${\displaystyle \mathbb {R} }$يمكن للمرء أن يتأكد من ذلك.${\displaystyle D_{\gamma }(f)}$هو اشتقاق عند النقطة${\displaystyle x,}$وأن المنحنيات المتكافئة تعطي نفس الاشتقاق. وبالتالي، بالنسبة لفئة التكافؤ${\displaystyle \gamma '(0),}$يمكننا أن نحدد${\displaystyle {D_{\gamma '(0)}}(f):=(f\circ \gamma )'(0),}$حيث المنحنى${\displaystyle \gamma \in \gamma '(0)}$تم اختيارها بشكل عشوائي. الخريطة${\displaystyle \gamma '(0)\mapsto D_{\gamma '(0)}}$هو تماثل بين فضاءات المتجهات وفئات التكافؤ${\displaystyle \gamma '(0)}$ومساحة الاشتقاقات عند النقطة${\displaystyle x.}$

مرة أخرى، نبدأ بـ${\displaystyle C^{\infty }}$متعدد المنافذ${\displaystyle M}$ونقطة${\displaystyle x\in M}$. ضع في اعتبارك الوضع المثالي${\displaystyle I}$ل${\displaystyle C^{\infty }(M)}$التي تتكون من جميع الدوال السلسة${\displaystyle f}$يختفي في${\displaystyle x}$، أي،${\displaystyle f(x)=0}$. ثم${\displaystyle I}$و${\displaystyle I^{2}}$كلاهما فضاءات متجهة حقيقية، وفضاء القسمة${\displaystyle I/I^{2}}$يمكن إثبات أن الفضاء متماثل مع فضاء الظل التمام${\displaystyle T_{x}^{*}M}$من خلال استخدام نظرية تايلور . الفضاء المماسي${\displaystyle T_{x}M}$ويمكن تعريفها إذن على أنها الفضاء الثنائي لـ${\displaystyle I/I^{2}}$.

على الرغم من أن هذا التعريف هو الأكثر تجريدًا، إلا أنه أيضًا التعريف الذي يسهل نقله إلى سياقات أخرى، على سبيل المثال، إلى الأنواع التي يتم النظر فيها في الهندسة الجبرية .

لو${\displaystyle D}$هو اشتقاق في${\displaystyle x}$، ثم${\displaystyle D(f)=0}$لكل${\displaystyle f\in I^{2}}$وهذا يعني أن${\displaystyle D}$ينتج عنه خريطة خطية${\displaystyle I/I^{2}\to \mathbb {R} }$. على العكس من ذلك، إذا${\displaystyle r:I/I^{2}\to \mathbb {R} }$إذا كانت دالة خطية، فإن${\displaystyle D(f):=r\left((f-f(x))+I^{2}\right)}$يُعرّف اشتقاقًا في${\displaystyle x}$وهذا يؤدي إلى تكافؤ بين الفضاءات المماسية المعرفة عبر الاشتقاقات والفضاءات المماسية المعرفة عبر الفضاءات المماسية المرافقة.

هناك طريقة أخرى للتفكير في متجهات المماس وهي اعتبارها مشتقات اتجاهية . بالنظر إلى متجه${\displaystyle v}$في${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$، يتم تعريف المشتق الاتجاهي المقابل عند نقطة${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$بواسطة

${\displaystyle \forall f\in {C^{\infty }}(\mathbb {R} ^{n}):\qquad (D_{v}f)(x):=\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} {t}}}[f(x+tv)]\right|_{t=0}=\sum _{i=1}^{n}v^{i}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}(x).}$

هذه الخريطة هي بطبيعة الحال مشتقة من${\displaystyle x}$علاوة على ذلك، كل اشتقاق عند نقطة في${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$يكون على هذا الشكل. وبالتالي، توجد علاقة تناظرية بين المتجهات (التي تُعتبر متجهات مماسية عند نقطة ما) والمشتقات عند نقطة ما.

بما أن المتجهات المماسية لمتشعب عام عند نقطة ما يمكن تعريفها على أنها مشتقات عند تلك النقطة، فمن الطبيعي أن نفكر فيها كمشتقات اتجاهية. على وجه التحديد، إذا${\displaystyle v}$هو متجه مماس لـ${\displaystyle M}$في نقطة${\displaystyle x}$(إذا اعتبرنا ذلك اشتقاقًا)، ثم نُعرّف المشتقة الاتجاهية${\displaystyle D_{v}}$في الاتجاه${\displaystyle v}$بواسطة

${\displaystyle \forall f\in {C^{\infty }}(M):\qquad {D_{v}}(f):=v(f).}$

إذا فكرنا في${\displaystyle v}$باعتبارها السرعة الابتدائية لمنحنى قابل للتفاضل${\displaystyle \gamma }$تمت تهيئته في${\displaystyle x}$، أي،${\displaystyle v=\gamma '(0)}$ثم بدلاً من ذلك، حدد${\displaystyle D_{v}}$بواسطة

${\displaystyle \forall f\in {C^{\infty }}(M):\qquad {D_{v}}(f):=(f\circ \gamma )'(0).}$

لـ${\displaystyle C^{\infty }}$متعدد المنافذ${\displaystyle M}$، إذا كان الرسم البياني${\displaystyle \varphi =(x^{1},\ldots ,x^{n}):U\to \mathbb {R} ^{n}}$يُعطى مع${\displaystyle p\in U}$عندئذٍ يمكن تعريف أساس مرتب${\textstyle \left\{\left.{\frac {\partial }{\partial x^{1}}}\right|_{p},\dots ,\left.{\frac {\partial }{\partial x^{n}}}\right|_{p}\right\}}$ل${\displaystyle T_{p}M}$بواسطة

${\displaystyle \forall i\in \{1,\ldots ,n\},~\forall f\in {C^{\infty }}(M):\qquad {\left.{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\right|_{p}}(f):=\left({\frac {\partial }{\partial x^{i}}}{\Big (}f\circ \varphi ^{-1}{\Big )}\right){\Big (}\varphi (p){\Big )}.}$

ثم لكل متجه مماس${\displaystyle v\in T_{p}M}$، لدى المرء

${\displaystyle v=\sum _{i=1}^{n}v^{i}\left.{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\right|_{p}.}$

وبالتالي، تعبر هذه الصيغة عن${\displaystyle v}$كتركيبة خطية من متجهات المماس الأساسية${\textstyle \left.{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\right|_{p}\in T_{p}M}$محدد بواسطة مخطط الإحداثيات${\displaystyle \varphi :U\to \mathbb {R} ^{n}}$[ ^{4 ]​}

كل خريطة سلسة (أو قابلة للتفاضل)${\displaystyle \varphi :M\to N}$يؤدي الربط بين المشعبات الملساء (أو القابلة للتفاضل) إلى ظهور خرائط خطية طبيعية بين فضاءاتها المماسية المقابلة:

${\displaystyle \mathrm {d} {\varphi }_{x}:T_{x}M\to T_{\varphi (x)}N.}$

إذا تم تعريف الفضاء المماسي عبر منحنيات قابلة للتفاضل، فإن هذه الخريطة تُعرَّف بواسطة

${\displaystyle {\mathrm {d} {\varphi }_{x}}(\gamma '(0)):=(\varphi \circ \gamma )'(0).}$

أما إذا تم تعريف الفضاء المماسي عن طريق الاشتقاقات، فإن هذه الخريطة تُعرَّف بواسطة

${\displaystyle [\mathrm {d} {\varphi }_{x}(D)](f):=D(f\circ \varphi ).}$

الخريطة الخطية${\displaystyle \mathrm {d} {\varphi }_{x}}$يُطلق عليه بأسماء مختلفة ، منها المشتقة ، والمشتقة الكلية ، والتفاضل ، أو الدفع الأمامي لـ${\displaystyle \varphi }$في${\displaystyle x}$. ويتم التعبير عنها في كثير من الأحيان باستخدام مجموعة متنوعة من الرموز الأخرى:

${\displaystyle D\varphi _{x},\qquad (\varphi _{*})_{x},\qquad \varphi '(x).}$

بمعنى ما، المشتق هو أفضل تقريب خطي لـ${\displaystyle \varphi }$قريب${\displaystyle x}$لاحظ أنه عندما${\displaystyle N=\mathbb {R} }$ثم الخريطة${\displaystyle \mathrm {d} {\varphi }_{x}:T_{x}M\to \mathbb {R} }$يتوافق ذلك مع المفهوم المعتاد لتفاضل الدالة${\displaystyle \varphi }$في الإحداثيات المحلية ، مشتقة${\displaystyle \varphi }$يتم تحديده بواسطة المصفوفة اليعقوبية .

ومن النتائج المهمة المتعلقة بخريطة المشتقة ما يلي:

هذا تعميم لنظرية الدالة العكسية للخرائط بين المتشعبات.