دالة فايرشتراس الإهليلجية

في الرياضيات ، تُعرف دوال فايرشتراس الإهليلجية بأنها دوال إهليلجية ذات شكل بسيط للغاية، سُميت نسبةً إلى كارل فايرشتراس . يُشار إلى هذه الفئة من الدوال أيضًا بدوال ℘، ويُرمز لها عادةً بالرمز  ℘، وهو اختصار مميز للحرف p . تلعب هذه الدوال دورًا هامًا في نظرية الدوال الإهليلجية، أي الدوال الميرومورفية ذات الدورية المزدوجة . يمكن استخدام دالة ℘ مع مشتقتها لتمثيل المنحنيات الإهليلجية ، كما أنها تُولد حقل الدوال الإهليلجية بالنسبة لشبكة دورية معينة.

رمز شارع فايرشتراس${\displaystyle \wp }$-وظيفة

مكعب على شكل${\displaystyle C_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }=\{(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}:y^{2}=4x^{3}-g_{2}x-g_{3}\}}$، أين${\displaystyle g_{2},g_{3}\in \mathbb {C} }$هي أعداد مركبة${\displaystyle g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}\neq 0}$لا يمكن تحديد معلمات منطقية لها . ^{[ 1 ]} ومع ذلك، لا يزال المرء يرغب في إيجاد طريقة لتحديد معلمات لها.

بالنسبة للسطح التربيعي${\displaystyle K=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x^{2}+y^{2}=1\right\}}$؛ دائرة الوحدة ، يوجد تمثيل (غير نسبي) باستخدام دالة الجيب ومشتقها دالة جيب التمام: $${\displaystyle \psi$$ :\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} \to K,\quad t\mapsto (\sin t,\cos t).} بسبب دورية دالتي الجيب وجيب التمام${\displaystyle \mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} }$يتم اختيار المجال ليكون ، وبالتالي فإن الدالة تقابلية.

وبطريقة مماثلة، يمكن الحصول على معلمات لـ${\displaystyle C_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }}$بواسطة الدورية المزدوجة${\displaystyle \wp }$الدالة ومشتقاتها، أي عبر${\displaystyle (x,y)=(\wp (z),\wp '(z))}$. هذا التحديد للمعلمات له المجال${\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }$، وهو مكافئ طوبولوجيًا للطوروس . ^{[ 2 ]}

هناك تشابه آخر مع الدوال المثلثية . لننظر إلى دالة التكامل. $${\displaystyle a(x)=\int _{0}^{x}{\frac {dy}{\sqrt {1-y^{2}}}}.}$$ يمكن تبسيطها عن طريق الاستبدال${\displaystyle y=\sin t}$و${\displaystyle s=\arcsin x}$: $${\displaystyle a(x)=\int _{0}^{s}dt=s=\arcsin x.}$$ هذا يعني${\displaystyle a^{-1}(x)=\sin x}$إذن، دالة الجيب هي دالة عكسية لدالة التكامل. ^{[ 3 ]}

الدوال الإهليلجية هي الدوال العكسية للتكاملات الإهليلجية . على وجه الخصوص، ليكن: $${\displaystyle u(z)=\int _{z}^{\infty }{\frac {ds}{\sqrt {4s^{3}-g_{2}s-g_{3}}}}.}$$ ثم امتداد${\displaystyle u^{-1}}$يساوي المستوى المركب${\displaystyle \wp }$^{[ 4 ]} تُستخدم هذه الخاصية العكسية في التحليل المركب لتوفير حل لبعض المعادلات التفاضلية غير الخطية التي تحقق خاصية بانليفيه ، أي تلك المعادلات التي تقبل الأقطاب كنقاط تفرد متحركة وحيدة . ^{[ 5 ]}

يترك${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}\in \mathbb {C} }$ليكن عددان مركبان مستقلان خطيًا على${\displaystyle \mathbb {R} }$ودع${\displaystyle \Lambda$ لتكن :=\mathbb {Z} \omega _{1}+\mathbb {Z} \omega _{2}:=\{m\omega _{1}+n\omega _{2}:m,n\in \mathbb {Z} \}} شبكة دورية مولدة بواسطة هذه الأعداد. عندئذٍ${\displaystyle \wp }$يتم تعريف الدالة كما يلي:

${\displaystyle \wp (z,\omega _{1},\omega _{2}):=\wp (z)={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{\lambda \in \Lambda \setminus \{0\}}\left({\frac {1}{(z-\lambda )^{2}}}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\يمين).}$

تتقارب هذه السلسلة محليًا بشكل منتظم مطلقًا في الطارة المعقدة${\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }$.

من الشائع استخدام${\displaystyle 1}$و${\displaystyle \tau }$في النصف العلوي من المستوى${\displaystyle \mathbb {H}$  :=\{ z \in \mathbb {C} :\operatorname {Im} (z)>0\}} كمولدات للشبكة.القسمة على${\textstyle \omega _{1}}$يرسم خريطة الشبكة${\displaystyle \mathbb {Z} \omega _{1}+\mathbb {Z} \omega _{2}}$بشكل متماثل على الشبكة${\displaystyle \mathbb {Z} +\mathbb {Z} \tau }$مع${\textstyle \tau ={\tfrac {\أوميغا _{2}}{\أوميغا _{1}}}}$. لأن${\displaystyle -\tau }$يمكن استبدالها بـ${\displaystyle \tau }$، دون فقدان للعمومية يمكننا أن نفترض${\displaystyle \tau \in \mathbb {H} }$ثم حدد${\displaystyle \wp (z,\tau ):=\wp (z,1,\tau )}$بناءً على هذا التعريف، لدينا${\displaystyle \wp (z,\omega _{1},\omega _{2})=\omega _{1}^{-2}\wp (z/\omega _{1},\omega _{2}/\omega _{1})}$.

• ${\displaystyle \wp }$هي دالة ميرومورفية ذات قطب من الرتبة 2 عند كل دورة${\displaystyle \lambda }$في${\displaystyle \Lambda }$.
• ${\displaystyle \wp }$هي دالة متجانسة بمعنى:

${\displaystyle \wp (\lambda z,\lambda \omega _{1},\lambda \omega _{2})=\lambda ^{-2}\wp (z,\omega _{1},\omega _{2}).}$

• ${\displaystyle \wp }$هي دالة زوجية. هذا يعني${\displaystyle \wp (z)=\wp (-z)}$للجميع${\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \Lambda }$ويمكن رؤية ذلك على النحو التالي:

$\displaystyle \begin{aligned}\wp (-z)&={\frac {1}{(-z)^{2}}}+\sum _{\lambda \in \Lambda \setminus \{0\}}\left({\frac {1}{(-z-\lambda )^{2}}}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right)\\&={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{\lambda \in \Lambda \setminus \{0\}}\left({\frac {1}{(z+\lambda )^{2}}}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right)\\&={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{\lambda \in \Lambda \setminus \{0\}}\left({\frac {1}{(z-\lambda )^{2}}}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right)=\wp (z).\end{aligned}}}$

المساواة قبل الأخيرة صحيحة لأن${\displaystyle \{-\lambda$ :\lambda \in \Lambda \}=\Lambda } . بما أن المجموع يتقارب بشكل مطلق، فإن إعادة الترتيب هذه لا تغير النهاية.

• مشتق من${\displaystyle \wp }$يتم تحديده بواسطة: ^{[ 6 ]}$${\displaystyle \wp '(z)=-2\sum _{\lambda \in \Lambda }{\frac {1}{(z-\lambda )^{3}}}.}$$
• ${\displaystyle \wp }$و${\displaystyle \wp '}$تكون دورية بشكل مزدوج مع فترات${\displaystyle \omega _{1}}$و${\displaystyle \omega _{2}}$[ ^{6 ]} وهذا يعني ^:$${\displaystyle {\begin{aligned}\wp (z+\omega _{1})&=\wp (z)=\wp (z+\omega _{2}),\ {\textrm {and}}\\[3mu]\wp '(z+\omega _{1})&=\wp '(z)=\wp '(z+\omega _{2}).\end{محاذاة}}}$$ويترتب على ذلك أن${\displaystyle \wp (z+\lambda )=\wp (z)}$و${\displaystyle \wp '(z+\lambda )=\wp '(z)}$للجميع${\displaystyle \lambda \in \Lambda }$.

يترك${\displaystyle r:=\min\{{|\lambda }|:0\neq \lambda \in \Lambda \}}$ثم لـ${\displaystyle 0<|z|<r}$ال${\displaystyle \wp }$للدالة - توسيع لوران التالي$${\displaystyle \wp (z)={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{n=1}^{\infty }(2n+1)G_{2n+2}z^{2n}}$$ أين $${\displaystyle G_{n}=\sum _{0\neq \lambda \in \Lambda }\lambda ^{-n}}$$ل${\displaystyle n\geq 3}$تُعرف باسم متسلسلة أيزنشتاين . ^{[ 6 ]}

تعيين${\displaystyle g_{2}=60G_{4}}$و${\displaystyle g_{3}=140G_{6}}$ثم${\displaystyle \wp }$الدالة تحقق المعادلة التفاضلية ^{[ 6 ]}$${\displaystyle \wp '^{2}(z)=4\wp ^{3}(z)-g_{2}\wp (z)-g_{3}.}$$ يمكن التحقق من هذه العلاقة عن طريق تكوين توليفة خطية من قوى${\displaystyle \wp }$و${\displaystyle \wp '}$لإزالة العمود في${\displaystyle z=0}$وهذا ينتج عنه دالة إهليلجية كاملة يجب أن تكون ثابتة وفقًا لنظرية ليوفيل . ^{[ 6 ]}

الثوابت

معاملات المعادلة التفاضلية أعلاه${\displaystyle g_{2}}$و${\displaystyle g_{3}}$تُعرف هذه الثوابت بالثوابت ، لأنها تعتمد على الشبكة.${\displaystyle \Lambda }$يمكن اعتبارها وظائف في${\displaystyle \omega _{1}}$و${\displaystyle \omega _{2}}$.

يشير توسع السلسلة إلى أن${\displaystyle g_{2}}$و${\displaystyle g_{3}}$هي دوال متجانسة من الدرجة${\displaystyle -4}$و${\displaystyle -6}$هذا هو ^{[ 7 ]}$${\displaystyle g_{2}(\lambda \omega _{1},\lambda \omega _{2})=\lambda ^{-4}g_{2}(\omega _{1},\omega _{2})}$$$${\displaystyle g_{3}(\lambda \omega _{1},\lambda \omega _{2})=\lambda ^{-6}g_{3}(\omega _{1},\omega _{2})}$$ل${\displaystyle \lambda \neq 0}$.

لو${\displaystyle \omega _{1}}$و${\displaystyle \omega _{2}}$يتم اختيارها بطريقة تضمن${\displaystyle \operatorname {Im} \left({\tfrac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}\right)>0}$،${\displaystyle g_{2}}$و${\displaystyle g_{3}}$يمكن تفسيرها على أنها دوال على النصف العلوي من المستوى${\displaystyle \mathbb {H}$ :=\{z\in \mathbb {C}  :\operatorname {Im} (z)>0\}} .

يترك${\displaystyle \tau ={\tfrac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}}$. لدى المرء: ^{[ 8 ]}$${\displaystyle g_{2}(1,\tau )=\omega _{1}^{4}g_{2}(\omega _{1},\omega _{2}),}$$$${\displaystyle g_{3}(1,\tau )=\omega _{1}^{6}g_{3}(\omega _{1},\omega _{2}).}$$ هذا يعني أن g2 و g3 _لا يتم _تغيير حجمهما إلا من خلال القيام بذلك. $${\displaystyle g_{2}(\tau ):=g_{2}(1,\tau )}$$و$${\displaystyle g_{3}(\tau ):=g_{3}(1,\tau ).}$$ كوظائف لـ${\displaystyle \tau \in \mathbb {H} }$،${\displaystyle g_{2}}$و${\displaystyle g_{3}}$تُسمى هذه الأشكال بالنماذج المعيارية.

متسلسلة فورييه لـ${\displaystyle g_{2}}$و${\displaystyle g_{3}}$يتم تقديمها على النحو التالي: ^{[ 9 ]}$${\displaystyle g_{2}(\tau )={\frac {4}{3}}\pi ^{4}\left[1+240\sum _{k=1}^{\infty }\sigma _{3}(k)q^{2k}\right]}$$$${\displaystyle g_{3}(\tau )={\frac {8}{27}}\pi ^{6}\left[1-504\sum _{k=1}^{\infty }\sigma _{5}(k)q^{2k}\right]}$$ أين $${\displaystyle \sigma _{m}(k):=\sum _{d\mid {k}}d^{m}}$$ هي دالة القاسم و${\displaystyle q=e^{\pi i\tau }}$هو الاسم .

المميز المعياري

المميز المعياري${\displaystyle \Delta }$يُعرَّف بأنه مميز متعددة الحدود المميزة للمعادلة التفاضلية$${\displaystyle \wp '^{2}(z)=4\wp ^{3}(z)-g_{2}\wp (z)-g_{3}}$$على النحو التالي: $${\displaystyle \Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}.}$$ المميز هو شكل معياري للوزن${\displaystyle 12}$أي أنه تحت تأثير المجموعة النمطية ، يتحول على النحو التالي $${\displaystyle \Delta \left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)=\left(c\tau +d\right)^{12}\Delta (\tau )}$$ أين${\displaystyle a,b,d,c\in \mathbb {Z} }$مع${\displaystyle ad-bc=1}$[ ^{10 ]​}

لاحظ أن${\displaystyle \Delta =(2\pi )^{12}\eta ^{24}}$أين${\displaystyle \eta }$هي دالة إيتا الخاصة بـ Dedekind . ^{[ 11 ]}

بالنسبة لمعاملات فورييه لـ${\displaystyle \Delta }$انظر وظيفة رامانوجان تاو .

بالنسبة للعمل العددي، من الملائم في كثير من الأحيان حساب دالة وييرشتراس الإهليلجية بدلالة دوال جاكوبي الإهليلجية .

العلاقات الأساسية هي: ^{[ 15 ]}$${\displaystyle \wp (z)=e_{3}+{\frac {e_{1}-e_{3}}{\operatorname {sn} ^{2}w}}=e_{2}+(e_{1}-e_{3}){\frac {\operatorname {dn} ^{2}w}{\operatorname {sn} ^{2}w}}=e_{1}+(e_{1}-e_{3}){\frac {\operatorname {cn} ^{2}w}{\operatorname {sn} ^{2}w}}}$$ أين${\displaystyle e_{1},e_{2}}$و${\displaystyle e_{3}}$هي الجذور الثلاثة المذكورة أعلاه، حيث يساوي معامل k لدوال جاكوبي $${\displaystyle k={\sqrt {\frac {e_{2}-e_{3}}{e_{1}-e_{3}}}}}$$ وحجتهم w تساوي $${\displaystyle w=z{\sqrt {e_{1}-e_{3}}}.}$$

الوظيفة${\displaystyle \wp (z,\tau )=\wp (z,1,\omega _{2}/\omega _{1})}$يمكن تمثيلها بواسطة دوال ثيتا لجاكوبي : $${\displaystyle \wp (z,\tau )=\left(\pi \theta _{2}(0,q)\theta _{3}(0,q){\frac {\theta _{4}(\pi z,q)}{\theta _{1}(\pi z,q)}}\right)^{2}-{\frac {\pi ^{2}}{3}}\left(\theta _{2}^{4}(0,q)+\theta _{3}^{4}(0,q)\right)}$$ أين${\displaystyle q=e^{\pi i\tau }}$هو الاسم و${\displaystyle \tau }$نسبة الفترة${\displaystyle (\tau \in \mathbb {H} )}$[ ^{16 ] يوفر} هذا أيضًا خوارزمية سريعة جدًا للحساب${\displaystyle \wp (z,\tau )}$.

لنفترض تضمين المنحنى التكعيبي في المستوى الإسقاطي المركب

${\displaystyle {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }=\{(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}:y^{2}=4x^{3}-g_{2}x-g_{3}\}\cup \{O\}\subset \mathbb {C} ^{2}\cup \mathbb {P} _{1}(\mathbb {C} )=\mathbb {P} _{2}(\mathbb {C} ).}$

أين${\displaystyle O}$هي نقطة تقع على الخط عند اللانهاية${\displaystyle \mathbb {P} _{1}(\mathbb {C} )}$بالنسبة لهذه المعادلة التكعيبية، لا يوجد تمثيل منطقي للمعاملات، إذا${\displaystyle \Delta \neq 0}$^{[ 1 ]} في هذه الحالة، يُطلق عليها أيضًا اسم منحنى إهليلجي. ومع ذلك ، توجد طريقة لتمثيلها في الإحداثيات المتجانسة تستخدم${\displaystyle \wp }$الدالة ومشتقاتها${\displaystyle \wp '}$: ^{[ 17 ]}

${\displaystyle \varphi (\wp ,\wp '):\mathbb {C} /\Lambda \to {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} },\quad z\mapsto {\begin{cases}\left[\wp (z):\wp '(z):1\right]&z\notin \Lambda \\\left[0:1:0\right]\quad &z\in \Lambda \end{cases}}}$

والآن الخريطة${\displaystyle \varphi }$دالة تقابلية وتحدد معلمات المنحنى الإهليلجي${\displaystyle {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }}$.

${\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }$هي مجموعة أبيلية وفضاء طوبولوجي ، مزودة بطوبولوجيا القسمة .

يمكن إثبات أن كل دالة تكعيبية من نوع فايرشتراس معطاة بهذه الطريقة. أي أنه لكل زوج${\displaystyle g_{2},g_{3}\in \mathbb {C} }$مع${\displaystyle \Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}\neq 0}$توجد شبكة${\displaystyle \mathbb {Z} \omega _{1}+\mathbb {Z} \omega _{2}}$بحيث

${\displaystyle g_{2}=g_{2}(\omega _{1},\omega _{2})}$و${\displaystyle g_{3}=g_{3}(\omega _{1},\omega _{2})}$[ ^{18 ]​}

تنص نظرية الجمع ^{[ 19 ]} على أنه إذا${\displaystyle z,w,}$و${\displaystyle z+w}$لا ينتمي إلى${\displaystyle \Lambda }$، ثم $${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}1&\wp (z)&\wp '(z)\\1&\wp (w)&\wp '(w)\\1&\wp (z+w)&-\wp '(z+w)\end{bmatrix}}=0.}$$ وهذا يعني أن النقاط${\displaystyle P=(\wp (z),\wp '(z)),}$${\displaystyle Q=(\wp (w),\wp '(w)),}$و${\displaystyle R=(\wp (z+w),-\wp '(z+w))}$هي متوازية، الشكل الهندسي لقانون المجموعة لمنحنى إهليلجي .

يمكن إثبات ذلك ^{[ 20 ]} من خلال النظر في الثوابت${\displaystyle A,B}$بحيث $${\displaystyle \wp '(z)=A\wp (z)+B,\quad \wp '(w)=A\wp (w)+B.}$$ ثم الدالة الإهليلجية $${\displaystyle \wp '(\zeta )-A\wp (\zeta )-B}$$ لها قطب من الرتبة الثالثة عند الصفر، وبالتالي ثلاثة أصفار ينتمي مجموعها إلى${\displaystyle \Lambda }$اثنان من الأصفار هما${\displaystyle z}$و${\displaystyle w}$وبالتالي فإن الثالث متطابق مع${\displaystyle -z-w}$.

تُكتب دالة فايرشتراس الإهليلجية عادةً بحرف صغير خاص نوعًا ما ℘، وهو رمز ابتكره فايرشتراس نفسه في محاضراته التي ألقاها في الفترة 1862-1863. ^{[ الحاشية 1 ]} يجب عدم الخلط بينه وبين الأحرف الرياضية العادية P: 𝒫 و 𝓅.

في مجال الحوسبة، يتوفر الحرف ℘ كما هو الحال \wpفي TeX . في يونيكود، رمزه هو U+2118 ℘ SCRIPT CAPITAL P ، ويُعرف أيضًا باسم دالة weierstrass الإهليلجية . ^{[ الحاشية 2 ]} في لغة HTML ، يمكن تهريبه باستخدام أو .℘℘

• دوال فايرشتراس
• دوال جاكوبي الإهليلجية
• الدوال الإهليلجية ذات اللمنيسكات

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Ann, eds. (1983) [June 1964]. "Chapter 18". Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Applied Mathematics Series. Vol. 55 (Ninth reprint with additional corrections of tenth original printing with corrections (December 1972); first ed.). Washington D.C.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. p. 627. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. MR 0167642. LCCN 65-12253.
• ني أخييزر ، عناصر نظرية الدوال الإهليلجية ، (1970) موسكو، تُرجمت إلى الإنجليزية بعنوان : ترجمات الجمعية الأمريكية للرياضيات للمونوغرافات الرياضية، المجلد 79 (1990)، الجمعية الأمريكية للرياضيات، رود آيلاند، رقم ISBN 0-8218-4532-2
• توم م. أبوستول ، الدوال النمطية ومتسلسلات ديريشليه في نظرية الأعداد، الطبعة الثانية (1990)، سبرينغر، نيويورك، رقم ISBN 0-387-97127-0(انظر الفصل 1.)
• ك. تشاندراسيكاران، الدوال الإهليلجية (1980)، سبرينغر-فيرلاغ، رقم ISBN 0-387-15295-4
• كونراد كنوب ، نظرية الدوال II (1947)، منشورات دوفر؛ أعيد نشرها مترجمة إلى الإنجليزية بعنوان نظرية الدوال (1996)، منشورات دوفر ISBN 0-486-69219-1
• سيرج لانغ ، الدوال الإهليلجية (1973)، أديسون-ويسلي، رقم ISBN 0-201-04162-6
• إي تي ويتاكر وجي إن واتسون ، دورة في التحليل الحديث ، مطبعة جامعة كامبريدج ، 1952، الفصلان 20 و21

• "دوال فايرشتراس الإهليلجية" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS، 2001 [1994]
• دوال فايرشتراس الإهليلجية على موقع ماث وورلد .
• الفصل 23، دوال فايرشتراس الإهليلجية والنمطية في DLMF ( المكتبة الرقمية للدوال الرياضية ) بقلم دبليو بي راينهارت وبي إل ووكر.
• دالة فايرشتراس P ومشتقتها مُنفذة بلغة C بواسطة ديفيد دوماس