فئة المثلث

في الرياضيات ، تُعرف الفئة المثلثية بأنها فئة ذات بنية إضافية تتمثل في "دالة إزاحة" وفئة من "المثلثات التامة". ومن الأمثلة البارزة على ذلك الفئة المشتقة للفئة الأبيلية ، بالإضافة إلى فئة التماثل المستقر . وتُعمم المثلثات التامة المتتاليات التامة القصيرة في الفئة الأبيلية، وكذلك متتاليات الألياف ومتتاليات الألياف المشتركة في علم الطوبولوجيا.

يُوضَّح جزء كبير من الجبر التماثلي ويُوسَّع باستخدام لغة الفئات المثلثية، ومن الأمثلة المهمة على ذلك نظرية تماثل الحزم . في ستينيات القرن الماضي، كان الاستخدام الشائع للفئات المثلثية هو توسيع خصائص الحزم على فضاء X لتشمل مُركَّبات الحزم، التي تُعتبر كائنات من الفئة المشتقة للحزم على X. ومؤخرًا، أصبحت الفئات المثلثية موضوعًا ذا أهمية في حد ذاتها. وقد تم إثبات أو افتراض العديد من أوجه التكافؤ بين الفئات المثلثية ذات الأصول المختلفة. على سبيل المثال، تتنبأ فرضية التناظر المرآوي التماثلي بأن الفئة المشتقة لمتشعب كالابي-ياو تُكافئ فئة فوكايا لمتشعبه التبادلي "المُرآوي" . يُعد عامل الإزاحة نظيرًا غير مُصنَّف للفئة المثلثية.

طُرحت الفئات المثلثية بشكل مستقل من قِبل ديتر بوب (1962) وجان لويس فيردييه (1963)، على الرغم من أن بديهيات بوب كانت أقل اكتمالًا (تفتقر إلى بديهية الثماني السطوح (TR 4)). ^{[ 1 ]} استلهم بوب فكرته من فئة التماثل المستقر. وكان المثال الرئيسي لفيردييه هو الفئة المشتقة من فئة أبيلية، والتي عرّفها أيضًا، مطورًا أفكار ألكسندر غروتينديك . وشملت التطبيقات المبكرة للفئات المشتقة الازدواجية المتماسكة وازدواجية فيردييه ، التي تُوسّع ازدواجية بوانكاريه لتشمل الفضاءات الشاذة.

إن دالة الإزاحة أو التحويل على الفئة D هي تماثل ذاتي إضافي (أو بالنسبة لبعض المؤلفين، تكافؤ ذاتي ).${\displaystyle \Sigma }$من D إلى D. من الشائع كتابة${\displaystyle X[n]=\Sigma ^{n}X}$بالنسبة للأعداد الصحيحة n .

يتكون المثلث ( X ، Y ، Z ، u ، v ، w ) من ثلاثة عناصر X و Y و Z ، بالإضافة إلى التشكلات .${\displaystyle u\colon X\to Y}$،${\displaystyle v\colon Y\to Z}$و${\displaystyle w\colon Z\to X[1]}$تُكتب المثلثات عمومًا بالشكل المفكك:

${\displaystyle X{\xrightarrow {{} \atop u}}Y{\xrightarrow {{} \atop v}}Z{\xrightarrow {{} \atop w}}X[1],}$

أو

${\displaystyle X{\xrightarrow {{} \atop u}}Y{\xrightarrow {{} \atop v}}Z{\xrightarrow {{} \atop w}}}$

باختصار.

الفئة المثلثية هي فئة جمعية D ذات دالة إزاحة وفئة من المثلثات، تُسمى المثلثات التامة ^{[ 2 ]} (أو المثلثات المميزة )، والتي تحقق الخصائص التالية (TR 1)، (TR 2)، (TR 3)، و(TR 4). (هذه البديهيات ليست مستقلة تمامًا، إذ يمكن استنتاج (TR 3) من البديهيات الأخرى. ^{[ 3 ]} )

فيما يلي بعض النتائج البسيطة للبديهيات لفئة مثلثية D.

• معطى مثلث دقيق

${\displaystyle X{\xrightarrow {{} \atop u}}Y{\xrightarrow {{} \atop v}}Z{\xrightarrow {{} \atop w}}X[1]}$

في D ، يكون تركيب أي شكلين متتاليين يساوي صفرًا. أي أن vu = 0، و wv = 0، و u [1] w = 0، وهكذا. ^{[ 5 ]}

• بالنظر إلى التشكل${\displaystyle u\colon X\to Y}$يضمن TR 1 وجود مخروط Z يُكمل مثلثًا تامًا. أي مخروطين من u متماثلان، لكن التماثل ليس دائمًا محددًا بشكل فريد. ^{[ 4 ]}

• كل شكل أحادي في D هو تضمين لمجموع مباشر،${\displaystyle X\to X\oplus Y}$وكل تحويل فوقي هو إسقاط${\displaystyle X\oplus Y\to X}$[ ^{6 ]} ومن النقاط ذات الصلة أنه لا ينبغي الحديث عن "الحقن" أو "الشمولية" بالنسبة للمورفيزمات في فئة مثلثية. كل ^{مورفيزم}${\displaystyle X\to Y}$هذا ليس تماثلاً، وله "نواة مشتركة" غير صفرية Z (مما يعني وجود مثلث تام).${\displaystyle X\to Y\to Z\to X[1]}$) وأيضًا "نواة" غير صفرية، وهي Z [−1].

يشك بعض الخبراء ^{[ 11 ] صفحة 190} (انظر، على سبيل المثال، (Gelfand & Manin 2006 ، المقدمة، الفصل الرابع) ) في أن الفئات المثلثية ليست المفهوم "الصحيح" حقًا. والسبب الرئيسي هو أن مخروط التشكل يكون فريدًا فقط حتى وجود تماثل غير فريد . وعلى وجه الخصوص، لا يعتمد مخروط التشكل، بشكل عام ، داليًا على التشكل نفسه (لاحظ عدم التفرد في البديهية (TR 3)، على سبيل المثال). يُعد عدم التفرد هذا مصدرًا محتملاً للأخطاء. ومع ذلك، تعمل البديهيات بشكل كافٍ في الممارسة العملية، وهناك قدر كبير من المؤلفات المخصصة لدراستها. 

تقبل الفئات المثلثية مفهوم التماثل، ولكل فئة مثلثية عدد كبير من الدوال التماثلية. الدالة التماثلية F من فئة مثلثية D إلى فئة أبيلية A هي دالة بحيث يكون لكل مثلث تام

${\displaystyle X\to Y\to Z\to X[1],\ }$

التسلسل${\displaystyle F(X)\to F(Y)\to F(Z)}$المثلث في المجموعة أ دقيق. وبما أن المثلث الدقيق يحدد سلسلة لانهائية من المثلثات الدقيقة في كلا الاتجاهين،

${\displaystyle \cdots \to Z[-1]\to X\to Y\to Z\to X[1]\to \cdots ,\ }$

الدالة المتماثلة F تعطي في الواقع متتالية تامة طويلة في الفئة الأبيلية A :

${\displaystyle \cdots \to F(Z[-1])\to F(X)\to F(Y)\to F(Z)\to F(X[1])\to \cdots .\ }$

ومن الأمثلة الرئيسية على ذلك: لكل كائن B في فئة مثلثية D ، الدوال${\displaystyle \operatorname {Hom} (B,{\text{-}})}$و${\displaystyle \operatorname {Hom} ({\text{-}},B)}$هي متماثلة، بقيم تنتمي إلى فئة الزمر الأبيلية . ^{[ 15 ]} (وبالتحديد، فإن الأخيرة دالة متغايرة ، يمكن اعتبارها دالة على الفئة المقابلة لـ D ). أي مثلث تام${\displaystyle X\to Y\to Z\to X[1]}$يحدد سلسلتين طويلتين متطابقتين من المجموعات الأبيلية:

${\displaystyle \cdots \to \operatorname {Hom} (B,X[i])\to \operatorname {Hom} (B,Y[i])\to \operatorname {Hom} (B,Z[i])\to \operatorname {Hom} (B,X[i+1])\to \cdots }$

و

${\displaystyle \cdots \to \operatorname {Hom} (Z,B[i])\to \operatorname {Hom} (Y,B[i])\to \operatorname {Hom} (X,B[i])\to \operatorname {Hom} (Z,B[i+1])\to \cdots .}$

بالنسبة لفئات مثلثة معينة، فإن هذه المتتاليات الدقيقة تعطي العديد من المتتاليات الدقيقة المهمة في علم تماثل الحزم، وعلم تماثل المجموعات ، ومجالات أخرى من الرياضيات.

يمكن أيضًا استخدام الترميز

${\displaystyle \operatorname {Ext} ^{i}(B,X)=\operatorname {Hom} (B,X[i])}$

بالنسبة للأعداد الصحيحة i ، يتم تعميم دالة Ext في فئة تبديلية. في هذه الصيغة، تُكتب المتتالية التامة الأولى أعلاه على النحو التالي:

${\displaystyle \cdots \to \operatorname {Ext} ^{i}(B,X)\to \operatorname {Ext} ^{i}(B,Y)\to \operatorname {Ext} ^{i}(B,Z)\to \operatorname {Ext} ^{i+1}(B,X)\to \cdots .\ }$

بالنسبة للفئة الأبيلية A ، مثال أساسي آخر لدالة التماثل على الفئة المشتقة D ( A ) يرسل مركبًا X إلى الكائن${\displaystyle H^{0}(X)}$في A. أي مثلث دقيق${\displaystyle X\to Y\to Z\to X[1]}$في D ( A ) يحدد تسلسلًا دقيقًا طويلًا في A :

${\displaystyle \cdots \to H^{i}(X)\to H^{i}(Y)\to H^{i}(Z)\to H^{i+1}(X)\to \cdots ,}$

باستخدام ذلك${\displaystyle H^{0}(X[i])\cong H^{i}(X)}$.

الدالة التامة (وتسمى أيضًا الدالة المثلثية ) من فئة مثلثية D إلى فئة مثلثية E هي دالة جمعية${\displaystyle F\colon D\to E}$والتي، بشكل عام، تتبادل مع الترجمة وترسل المثلثات الدقيقة إلى المثلثات الدقيقة. ^{[ 16 ]}

بمزيد من التفصيل، تأتي الدالة التامة مع تماثل طبيعي${\displaystyle \eta \colon F\Sigma \to \Sigma F}$(حيث الأول${\displaystyle \Sigma }$يشير إلى دالة الإزاحة لـ D والثاني${\displaystyle \Sigma }$يرمز إلى دالة الإزاحة لـ E )، بحيث كلما

${\displaystyle X{\xrightarrow {{} \atop u}}Y{\xrightarrow {{} \atop v}}Z{\xrightarrow {{} \atop w}}X[1]}$

هو مثلث دقيق في D ،

${\displaystyle F(X){\xrightarrow {F(u)}}F(Y){\xrightarrow {F(v)}}F(Z){\xrightarrow {\eta _{X}F(w)}}F(X)[1]}$

هو مثلث دقيق في E.

إن تكافؤ الفئات المثلثية هو دالة دقيقة${\displaystyle F\colon D\to E}$وهذا أيضاً تكافؤ بين الفئات . في هذه الحالة، يوجد دالة تامة${\displaystyle G\colon E\to D}$بحيث يكون كل من FG و GF متماثلين بشكل طبيعي مع دوال الهوية الخاصة بهما.

لتكن D فئة مثلثية بحيث توجد في D مجاميع مباشرة مفهرسة بمجموعة اختيارية (ليست بالضرورة منتهية) . يُطلق على الكائن X في D اسم مضغوط إذا كان المؤثر${\displaystyle {\text{Hom}}_{D}(X,{\text{-}})}$يتبادل مع المجاميع المباشرة. وهذا يعني صراحةً أنه لكل عائلة من الكائنات${\displaystyle Y_{i}}$في D المفهرسة بواسطة مجموعة S ، التشاكل الطبيعي للمجموعات الأبيلية${\displaystyle \oplus _{i\in S}\mathrm {Hom} _{D}(X,Y_{i})\to \mathrm {Hom} _{D}(X,\oplus _{i\in S}Y_{i})}$هو تماثل. وهذا يختلف عن المفهوم العام للكائن المضغوط في نظرية الفئات، والذي يشمل جميع النهايات المشتركة بدلاً من المنتجات المشتركة فقط.

على سبيل المثال، جسم مضغوط في فئة التماثل المستقر${\displaystyle h{\cal {S}}}$هو طيف محدود. ^{[ 17 ]} الكائن المضغوط في الفئة المشتقة لحلقة، أو في الفئة المشتقة شبه المتماسكة لمخطط، هو مركب مثالي . في حالة التنوع الإسقاطي الأملس X على حقل، يمكن أيضًا اعتبار فئة Perf( X ) للمركبات المثالية بمثابة الفئة المشتقة المحدودة للحزم المتماسكة.${\displaystyle D_{\text{coh}}^{\text{b}}(X)}$.

تُولد الفئة المثلثية D بشكل مضغوط إذا

• للمصفوفة D مجاميع مباشرة عشوائية (ليست بالضرورة محدودة)؛
• توجد مجموعة S من الكائنات المدمجة في D بحيث أنه لكل كائن غير صفري X في D ، يوجد كائن Y في S له خريطة غير صفرية${\displaystyle Y[n]\to X}$لبعض الأعداد الصحيحة n .

يتم توليد العديد من الفئات المثلثية "الكبيرة" التي تحدث بشكل طبيعي بشكل مضغوط:

• يتم توليد الفئة المشتقة من الوحدات النمطية على حلقة R بشكل مضغوط بواسطة كائن واحد ، وهو الوحدة النمطية R.
• يتم توليد الفئة المشتقة شبه المتماسكة لمخطط شبه مضغوط وشبه منفصل بشكل مضغوط بواسطة كائن واحد. ^{[ 18 ]}
• يتم توليد فئة التماثل المستقر بشكل مضغوط بواسطة كائن واحد، وهو طيف الكرة${\displaystyle S^{0}}$[ ^{19 ]​}

عمّم أمنون نعمان نظرية براون للتمثيل لتشمل أي فئة مثلثية مولدة بشكل مضغوط، على النحو التالي. ^{[ 20 ]} ليكن D فئة مثلثية مولدة بشكل مضغوط،${\displaystyle H\colon D^{\text{op}}\to {\text{Ab}}}$دالة تماثلية تأخذ نواتج الضرب المشتركة إلى نواتج الضرب. عندئذٍ يكون H قابلاً للتمثيل. (أي، يوجد كائن W من D بحيث${\displaystyle H(X)\cong {\text{Hom}}(X,W)}$لكل X. ) ولصيغة أخرى، ليكن D فئة مثلثية مولدة بشكل مضغوط، وT أي فئة مثلثية. إذا كان دالة تامة${\displaystyle F\colon D\to T}$يرسل نواتج مشتركة إلى نواتج مشتركة، ثم يكون لـ F مرافق أيمن .

يمكن استخدام نظرية براون للتمثيل لتعريف دوال مختلفة بين الفئات المثلثية. وعلى وجه الخصوص، استخدمها نيمان لتبسيط وتعميم بناء دالة الصورة العكسية الاستثنائية.${\displaystyle f^{!}}$بالنسبة لتشكل f للمخططات ، وهي السمة المركزية لنظرية الازدواجية المتماسكة . ^{[ 21 ]}

لكل فئة أبيلية A ، فإن الفئة المشتقة D ( A ) هي فئة مثلثية، تحتوي على A كفئة فرعية كاملة (حيث تتركز المركبات في الدرجة صفر). قد يكون للفئات الأبيلية المختلفة فئات مشتقة متكافئة، لذا لا يمكن دائمًا إعادة بناء A من D ( A ) كفئة مثلثية.

وصف ألكسندر بيلينسون وجوزيف بيرنشتاين وبيير ديلين هذا الوضع بمفهوم بنية t على فئة مثلثية D. ^{[ 22 ]} تحدد بنية t على D فئة أبيلية داخل D ، وقد تؤدي بنى t المختلفة على D إلى فئات أبيلية مختلفة.

لتكن D فئة مثلثية ذات مجاميع مباشرة اختيارية. الفئة الفرعية الموضعية لـ D هي فئة فرعية مثلثية كاملة تمامًا ومغلقة تحت أي مجاميع مباشرة اختيارية. ^{[ 23 ]} ولتوضيح التسمية: إذا تم توليد فئة فرعية موضعية S لفئة مثلثية D مولدة بشكل مضغوط بواسطة مجموعة من الكائنات، فإنه يوجد دالة موضعية من نوع بوسفيلد.${\displaystyle L\colon D\to D}$مع النواة S. ^{[ 24} ] ⁽ أي، لكل كائن X في D يوجد مثلث تام${\displaystyle Y\to X\to LX\to Y[1]}$مع Y في S و LX في العمود المتعامد الأيمن${\displaystyle S^{\perp }}$.) على سبيل المثال، يتضمن هذا البناء تحديد موقع الطيف عند عدد أولي، أو التقييد من مجموعة من الحزم على فضاء إلى مجموعة فرعية مفتوحة.

يُعدّ مفهومٌ موازٍ أكثر ملاءمةً للفئات المثلثية "الصغيرة": فالفئة الفرعية السميكة للفئة المثلثية C هي فئة فرعية مثلثية كاملة تمامًا ومغلقة تحت المجموعات المباشرة. (إذا كانت C كاملةً من حيث خاصية التطابق ، فإن الفئة الفرعية تكون سميكة إذا وفقط إذا كانت كاملةً من حيث خاصية التطابق أيضًا). الفئة الفرعية الموضعية سميكة. ^{[ 25 ]} لذا، إذا كانت S فئة فرعية موضعية للفئة المثلثية D ، فإن تقاطع S مع الفئة الفرعية${\displaystyle D^{\text{c}}}$تُعدّ فئة الأجسام المدمجة فئة فرعية سميكة من${\displaystyle D^{\text{c}}}$.

على سبيل المثال، وصف ديفيناتز ^{وهوبكنز وسميث جميع الفئات الفرعية السميكة للفئة المثلثية للأطياف المحدودة بدلالة نظرية مورافا K. [26]} لم يتم تصنيف ^{الفئات الفرعية} الموضعية لفئة التماثل المستقر الكاملة.

• تحويل فورييه-موكاي
• ست عمليات
• حزمة منحرفة
• وحدة D
• تحديد موقع بيلينسون-بيرنشتاين
• طيف الوحدة
• التحلل شبه المتعامد
• حالة استقرار بريدجلاند

بعض مقدمات الكتب الدراسية للفئات المثلثية هي:

• جلفاند، سيرجي. مانين ، يوري (2006)، “رابعا. الفئات المثلثة”، طرق الجبر المتماثل ، دراسات سبرينغر في الرياضيات (  الطبعة الثانية)، Springer-Verlag ، دوى : 10.1007 / 978-3-662-12492-5 ، ISBN 978-3540435839، MR 1950475 
• الأماكن القريبة : شابيرا ، بيير (2006)، الفئات والحزم ، Grundlehren der mathematischen Wissenschaften، برلين، نيويورك: Springer-Verlag ، دوى : 10.1007 / 3-540-27950-4 ، ISBN 978-3-540-27949-5MR 2182076​ 
• ويبل، تشارلز أ. (1994)، مقدمة في الجبر التماثلي ، دراسات كامبريدج في الرياضيات المتقدمة، المجلد  38، مطبعة جامعة كامبريدج، ISBN 978-0-521-55987-4، MR 1269324 ، OCLC 36131259  

ملخص موجز مع التطبيقات هو:

• الأماكن القريبة : شابيرا ، بيير (2002)، “الفصل الأول. الجبر المتماثل”، الحزم على المتشعبات ، Grundlehren der mathematischen Wissenschaften، Springer-Verlag ، دوى : 10.1007 / 978-3-662-02661-8 ، ISBN 978-3540518617MR 1074006​ 

بعض المراجع الأكثر تقدماً هي:

• الأماكن القريبة : بيرنشتاين، J .؛ Deligne، P. (2018) [1982]، Faisceaux pervers , Astérisque، المجلد.  100، Société Mathématique de France، باريس، ISBN 978-2-85629-878-7، MR 0751966 
• دوجر، دانيال؛ شيبلي، بروك (2009)، "مثال غريب لفئات النماذج المكافئة المثلثية التي لا تكافئ كويلين"، الطوبولوجيا الجبرية والهندسية ، 9 : 135-166 ، arXiv : 0710.3070 ، doi : 10.2140/agt.2009.9.135 ، MR 2482071 
• هارتشورن، روبن (1966)، "الفصل الأول: الفئة المشتقة"، البقايا والازدواجية ، سلسلة محاضرات في الرياضيات 20 ، المجلد  20، دار نشر سبرينغر ، الصفحات 20-48 ، doi : 10.1007/BFb0080482 ، ISBN  978-3-540-03603-6، MR 0222093 
• كراوس، هينينغ (2010)، "نظرية التموضع للفئات المثلثية"، الفئات المثلثية ، سلسلة محاضرات الجمعية الرياضية بلندن، المجلد  375، مطبعة جامعة كامبريدج، الصفحات 161-235 ، arXiv : 0806.1324 ، doi : 10.1017/CBO9781139107075.005 ، ISBN  9780521744317، MR 2681709 ، S2CID 50160822  
• نيمان، أمنون (1996)، "نظرية ازدواجية غروتينديك عبر تقنيات بوسفيلد وقابلية تمثيل براون"، مجلة الجمعية الرياضية الأمريكية ، 9 : 205-236 ، doi : 10.1090/S0894-0347-96-00174-9 ، MR 1308405 
• نيمان، أمنون (2001)، الفئات المثلثية ، حوليات دراسات الرياضيات، مطبعة جامعة برينستون، doi : 10.1515/9781400837212 ، ISBN 978-0691086866، MR 1812507 ، S2CID 242258794  
• بوب، ديتر (1962)، "حول البنية الشكلية لنظرية التماثل المستقر"، ندوة حول الطوبولوجيا الجبرية ، معهد الرياضيات بجامعة آرهوس، ص 65-71 ، Zbl 0139.41106  
• Puppe، Dieter (1967)، “Stable Homopietheorie. I.”، Mathematische Annalen ، 169 (2): 243–274 ، دوى : 10.1007 / BF01362348 ، MR 0211400 ، S2CID 122663283  
• رافينيل، دوغلاس (1992)، انعدام القوة والدورية في نظرية التماثل المستقر ، مطبعة جامعة برينستون، ISBN 9780691025728MR 1192553​ 
• ريزاردو، أليس. فان دن بيرغ, ميشيل ; نيمان ، أمنون (2019)، “مثال على عامل غير فورييه موكاي بين الفئات المشتقة من الحزم المتماسكة”، اختراعات الرياضيات ، 216 (3): 927–1004 ، أرخايف : 1410.4039 ، بيب كود : 2019InMat.216..927R ، دوى : 10.1007/s00222-019-00862-9 ، السيد 3955712 ، S2CID 253743362  
• توين، برتراند (2007)، "نظرية التماثل للفئات التفاضلية المتدرجة ونظرية موريتا المشتقة"، Inventiones Mathematicae ، 167 (3): 615-667 ، arXiv : math/0408337 ، doi : 10.1007/s00222-006-0025-y ، MR 2276263 ، S2CID 9445008  
• Verdier، Jean-Louis (1977) [1963]، “Catégories dérivées: quelques résultats (état 0)”، Cohomologie étale (SGA 4 1/2) (PDF) ، ملاحظات محاضرة في الرياضيات، المجلد.  569، سبرينغر، ص 262-311 ، دوى : 10.1007 / BFb0091525 ، ISBN  978-3-540-08066-4، MR 3727440 
• فيردييه، جان لويس (1996) [1967]، الفئات المشتقة من الفئات أبيلين ، Astérisque، المجلد.  239، شركة الرياضيات الفرنسية، السيد 1453167 

• ج. بيتر ماي ، بديهيات الفئات المثلثية
• مؤلفو مشروع ستاكس، مشروع ستاكس