الفرق المحدود

الفرق المحدود هو تعبير رياضي على الصورة f ( x + b ) − f ( x + a ) . تُستخدم الفروق المحدودة (أو نسب الفروق المرتبطة بها) غالبًا كتقريبات للمشتقات، كما هو الحال في التفاضل العددي .

عامل الفرق ، والذي يُشار إليه عادةً بـ${\displaystyle \Delta }$( دلتا الكبيرة )، هو العامل الذي يحول الدالة f إلى الدالة${\displaystyle \Delta [f]}$محدد بواسطة $${\displaystyle \Delta [f](x)=f(x+1)-f(x).}$$ معادلة الفرق هي معادلة دالية تتضمن عامل الفرق المحدود، تمامًا كما تتضمن المعادلة التفاضلية المشتقات . ثمة أوجه تشابه عديدة بين معادلات الفرق والمعادلات التفاضلية. ويمكن كتابة بعض العلاقات التكرارية على شكل معادلات فرق باستبدال رمز التكرار بالفروق المحدودة.

في التحليل العددي ، تُستخدم الفروق المحدودة على نطاق واسع لتقريب المشتقات ، ويُستخدم مصطلح "الفروق المحدودة" غالبًا كاختصار لعبارة "تقريب الفروق المحدودة للمشتقات". ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

طُرحت الفروق المحدودة لأول مرة على يد بروك تايلور عام ١٧١٥، ودُرست أيضًا ككائنات رياضية مجردة قائمة بذاتها في أعمال جورج بول (١٨٦٠)، وإل إم ميلن-تومسون (١٩٣٣)، وكارولي جوردان (١٩٣٩). تعود أصول الفروق المحدودة إلى إحدى خوارزميات جوست بورغي ( حوالي ١٥٩٢ ) وأعمال أخرى، من بينها أعمال إسحاق نيوتن . ويمكن اعتبار حساب الفروق المحدودة الرسمي بديلًا لحساب المتناهيات في الصغر . ^{[ ٤ ]}

تُعتبر ثلاثة أنواع أساسية شائعة الاستخدام: الفروق المحدودة الأمامية ، والفروق المحدودة الخلفية ، والفروق المحدودة المركزية . ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

أالفرق الأمامي ، المشار إليه بـ${\displaystyle \Delta _{h}[f]}$الدالة f هي دالة معرفة على النحو التالي$${\displaystyle \Delta _{h}[f](x)=f(x+h)-f(x).}$$

بحسب التطبيق، قد تكون المسافة h متغيرة أو ثابتة. وعندما لا يتم تحديدها، تكون القيمة الافتراضية لـ h هي 1؛ أي $${\displaystyle \Delta [f](x)=\Delta _{1}[f](x)=f(x+1)-f(x).}$$

أتستخدم طريقة الفرق العكسي قيم الدالة عند x و x − h ، بدلاً من القيم عند x + h و x :$${\displaystyle \nabla _{h}[f](x)=f(x)-f(xh)=\Delta _{h}[f](xh).}$$

وأخيراً،يُعطى الفرق المركزي بواسطة$${\displaystyle \delta _{h}[f](x)=f(x+{\tfrac {h}{2}})-f(x-{\tfrac {h}{2}})=\Delta _{\tfrac {h}{2}}[f](x)+\nabla _{\tfrac {h}{2}}[f](x).}$$

يلعب تقريب المشتقات بواسطة الفروق المحدودة دورًا محوريًا في طرق الفروق المحدودة للحل العددي للمعادلات التفاضلية ، وخاصة مسائل القيم الحدية .

مشتقة الدالة f عند النقطة x تُعرَّف بالنهاية$${\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}.}$$

إذا كانت قيمة h ثابتة (غير صفرية) بدلاً من أن تقترب من الصفر، فسيتم كتابة الطرف الأيمن من المعادلة أعلاه على النحو التالي $${\displaystyle {\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}={\frac {\Delta _{h}[f](x)}{h}}.}$$

لذا، فإن الفرق الأمامي مقسومًا على h يُقارب المشتقة عندما تكون h صغيرة. ويمكن استنتاج الخطأ في هذا التقريب من نظرية تايلور . بافتراض أن f قابلة للتفاضل مرتين، لدينا $${\displaystyle {\frac {\Delta _{h}[f](x)}{h}}-f'(x)=o(h)\to 0\quad {\text{عندما }}h\to 0.}$$

ينطبق نفس القانون على الفرق العكسي: $${\displaystyle {\frac {\nabla _{h}[f](x)}{h}}-f'(x)=o(h)\to 0\quad {\text{عندما }}h\to 0.}$$

مع ذلك، فإن الفرق المركزي (أو ما يُسمى بالفرق المُمركز) يُعطي تقريبًا أكثر دقة. إذا كانت الدالة f قابلة للتفاضل ثلاث مرات، $${\displaystyle {\frac {\delta _{h}[f](x)}{h}}-f'(x)=o\left(h^{2}\right).}$$

تكمن المشكلة الرئيسية في طريقة الفروق المركزية في أن الدوال المتذبذبة قد تُعطي مشتقة صفرية. فإذا كانت f ( nh ) = 1 عندما يكون n فرديًا، و f ( nh ) = 2 عندما يكون n زوجيًا، فإن f ′( nh ) = 0 إذا حُسبت باستخدام طريقة الفروق المركزية . ويُصبح هذا الأمر إشكاليًا بشكل خاص إذا كان مجال f منفصلًا. انظر أيضًا: المشتقة المتناظرة .

يُعرّف المؤلفون الذين يعتبرون الفروق المحدودة بمثابة تقريبات للفروق المحدودة، الفروق الأمامية/الخلفية/المركزية بأنها نواتج القسمة الواردة في هذا القسم (بدلاً من استخدام التعريفات الواردة في القسم السابق). ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

وبطريقة مماثلة، يمكن الحصول على تقريبات الفروق المحدودة للمشتقات والمؤثرات التفاضلية من الرتب العليا. على سبيل المثال، باستخدام صيغة الفروق المركزية المذكورة أعلاه لـ f ′( x + ⁠ h / 2 ⁠ ) و f ′( x − ⁠ h / 2 ⁠ ) وتطبيق صيغة الفروق المركزية لمشتقة f ′ عند x ، نحصل على تقريب الفروق المركزية للمشتقة الثانية لـ f : 

مركزي من الدرجة الثانية

$${\displaystyle f''(x)\approx {\frac {\delta _{h}^{2}[f](x)}{h^{2}}}={\frac {{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}-{\frac {f(x)-f(xh)}{h}}}{h}}={\frac {f(x+h)-2f(x)+f(xh)}{h^{2}}}~.}$$

وبالمثل، يمكننا تطبيق صيغ التفاضل الأخرى بطريقة تكرارية.

مهاجم من الدرجة الثانية

$${\displaystyle f''(x)\approx {\frac {\Delta _{h}^{2}[f](x)}{h^{2}}}={\frac {{\frac {f(x+2h)-f(x+h)}{h}}-{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}{h}}={\frac {f(x+2h)-2f(x+h)+f(x)}{h^{2}}}~.}$$

المعادلة العكسية من الدرجة الثانية

$${\displaystyle f''(x)\approx {\frac {\nabla _{h}^{2}[f](x)}{h^{2}}}={\frac {{\frac {f(x)-f(xh)}{h}}-{\frac {f(xh)-f(x-2h)}{h}}}{h}}={\frac {f(x)-2f(xh)+f(x-2h)}{h^{2}}}~.}$$

وبشكل أعم، تُعطى الفروق الأمامية والخلفية والمركزية من الرتبة n على التوالي،

إلى الأمام

$${\displaystyle \Delta _{h}^{n}[f](x)=\sum _{j=0}^{n}(-1)^{n-j}{\binom {n}{j}}f{\bigl (}x+jh{\bigr )},}$$

إلى الخلف

$${\displaystyle \nabla _{h}^{n}[f](x)=\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}{\binom {n}{j}}f(x-jh),}$$

وسط المدينة

$${\displaystyle \delta _{h}^{n}[f](x)=\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}{\binom {n}{j}}f\left(x+\left({\frac {n}{2}}-j\right)h\right)~.}$$

تستخدم هذه المعادلات معاملات ذات الحدين بعد علامة الجمع الموضحة كما يلي:${\textstyle \ {\binom {n}{j}}~.}$يوفر كل صف من صفوف مثلث باسكال معاملًا لكل قيمة من قيم j .

لاحظ أن الفرق المركزي، بالنسبة لقيم n الفردية ، سيحتوي على h مضروبة في أعداد غير صحيحة. غالبًا ما يمثل هذا مشكلة لأنه يؤدي إلى تغيير فترة التقطيع. يمكن معالجة هذه المشكلة باستبدال متوسط${\textstyle \delta ^{n}[f](x-{\tfrac {h}{2}})}$ و ${\textstyle \delta ^{n}[f](x+{\tfrac {h}{2}}).}$

تُسمى الفروق الأمامية المطبقة على متتالية ما أحيانًا بالتحويل الثنائي للمتتالية، ولها عدد من الخصائص التوافقية المهمة. يمكن حساب الفروق الأمامية باستخدام تكامل نورلوند-رايس . يُعد التمثيل التكاملي لهذه الأنواع من المتسلسلات مثيرًا للاهتمام، لأنه غالبًا ما يمكن حساب التكامل باستخدام التوسع التقاربي أو تقنيات نقطة السرج ؛ في المقابل، قد يكون حساب متسلسلة الفروق الأمامية عدديًا صعبًا للغاية، لأن معاملات ذات الحدين تنمو بسرعة مع ازدياد قيمة n .

إن العلاقة بين هذه الفروق ذات الرتبة الأعلى والمشتقات المقابلة لها علاقة مباشرة، $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{n}f}{(\mathrm {d} x)^{n}}}(x)={\frac {\Delta _{h}^{n}[f](x)}{h^{n}}}+{\mathcal {o}}(h)={\frac {\nabla _{h}^{n}[f](x)}{h^{n}}}+{\mathcal {o}}(h)={\frac {\delta _{h}^{n}[f](x)}{h^{n}}}+{\mathcal {o}}\!\left(h^{2}\right).}$$

يمكن أيضًا استخدام الفروق ذات الرتب الأعلى لإنشاء تقريبات أفضل. كما ذُكر أعلاه، فإن الفرق من الرتبة الأولى يُقارب المشتقة من الرتبة الأولى حتى حد من الرتبة h . ومع ذلك، فإن الجمع $${\displaystyle {\frac {\Delta _{h}[f](x)-{\frac {1}{2}}\Delta _{h}^{2}[f](x)}{h}}=-{\frac {f(x+2h)-4f(x+h)+3f(x)}{2h}}}$$ تقارب f ′( x ) حتى حد من الرتبة h ^2. ويمكن إثبات ذلك عن طريق توسيع التعبير أعلاه في متسلسلة تايلور ، أو باستخدام حساب الفروق المحدودة، الموضح أدناه.

إذا لزم الأمر، يمكن توسيط الفرق المحدود حول أي نقطة عن طريق مزج الفروق الأمامية والخلفية والمركزية.

أحيانًا، قد تكون المشتقات ذات الرتب المنخفضة لدالة ما معروفة تحليليًا، بينما لا تكون المشتقات ذات الرتب العالية كذلك. في هذه الحالات، يمكن تقريب المشتقات ذات الرتب العالية باستخدام الفروق المحدودة للمشتقات ذات الرتب المنخفضة، وهو ما يكون غالبًا أكثر دقة واستقرارًا عدديًا من الفروق المحدودة للدالة f ( x ) نفسها. يُطلق على هذا أحيانًا اسم التفاضل شبه العددي. ^{[ 5 ]} على سبيل المثال، عندما تكون المشتقة من الرتبة الأولى f ′( x ) متاحة، ولكن المشتقة من الرتبة الثانية f ″( x ) غير متاحة، يمكن تقريب الأخيرة باستخدام الفروق المركزية من الرتبة الثانية لـ f ′( x ) . $${\displaystyle f''(x)\approx {\frac {f'(x+h)-f'(x-h)}{2h}}~.}$$

بالنسبة لكثير حدود معين من الدرجة n ≥ 1 ، معبر عنه بالدالة P ( x ) ، مع الأعداد الحقيقية a ≠ 0 و b والحدود ذات الرتبة الأدنى (إن وجدت) المميزة بـ lot : $${\displaystyle P(x)=ax^{n}+\;bx^{n-1}+~l.o.t.}$$

بعد إجراء n من الفروق الزوجية، يمكن تحقيق النتيجة التالية، حيث h ≠ 0 هو عدد حقيقي يشير إلى الفرق الحسابي: ^{[ 6 ]}$${\displaystyle \Delta _{h}^{n}[P](x)=ah^{n}n!}$$

يبقى فقط معامل الحد ذي الرتبة الأعلى. وبما أن هذه النتيجة ثابتة بالنسبة لـ x ، فإن أي فروق ثنائية أخرى ستكون قيمتها صفرًا .

باستخدام الجبر الخطي، يمكن بناء تقريبات الفروق المحدودة التي تستخدم عددًا عشوائيًا من النقاط على يسار نقطة التقييم وعددًا (قد يكون مختلفًا) من النقاط على يمينها، لأي رتبة من المشتقات. يتضمن ذلك حل نظام خطي بحيث يكون توسيع تايلور لمجموع تلك النقاط حول نقطة التقييم هو الأقرب إلى توسيع تايلور للمشتقة المطلوبة. يمكن تمثيل هذه الصيغ بيانيًا على شبكة سداسية أو معينية الشكل. ^{[ 7 ]} يُفيد هذا في اشتقاق دالة على شبكة، حيث كلما اقتربنا من حافة الشبكة، يجب أخذ عينات من عدد أقل فأقل من النقاط على أحد الجانبين. ^{[ 8 ]} يمكن بناء تقريبات الفروق المحدودة لقوالب غير قياسية (وحتى غير صحيحة) بالنظر إلى قالب عشوائي ورتبة مشتقة مطلوبة. ^{[ 9 ]}

يُعدّ استخدام الفروق المحدودة في التحليل العددي ، وخاصةً في المعادلات التفاضلية العددية ، من أهم تطبيقاتها، حيث يهدف إلى إيجاد الحلول العددية للمعادلات التفاضلية العادية والجزئية . وتتلخص الفكرة في استبدال المشتقات الظاهرة في المعادلة التفاضلية بفروق محدودة تُقاربها. وتُسمى الطرق الناتجة بطرق الفروق المحدودة .

تتواجد التطبيقات الشائعة لطريقة الفروق المحدودة في مجالات العلوم والهندسة الحاسوبية، مثل الهندسة الحرارية وميكانيكا الموائع وما إلى ذلك.

The Newton series consists of the terms of the Newton forward difference equation, named after Isaac Newton; in essence, it is the Gregory–Newton interpolation formula^[10] (named after Isaac Newton and James Gregory), first published in his Principia Mathematica in 1687,^[11][12] namely the discrete analog of the continuous Taylor expansion,

which holds for any polynomial function f and for many (but not all) analytic functions. (It does not hold when f is exponential type${\displaystyle \pi }$. This is easily seen, as the sine function vanishes at integer multiples of ${\displaystyle \pi }$; the corresponding Newton series is identically zero, as all finite differences are zero in this case. Yet clearly, the sine function is not zero.) Here, the expression $${\displaystyle {\binom {x}{k}}={\frac {(x)_{k}}{k!}}}$$ is the binomial coefficient, and $${\displaystyle (x)_{k}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-k+1)}$$ is the "falling factorial" or "lower factorial", while the empty product(x)₀ is defined to be 1. In this particular case, there is an assumption of unit steps for the changes in the values of x, h = 1 of the generalization below.

Note the formal correspondence of this result to Taylor's theorem. Historically, this, as well as the Chu–Vandermonde identity, $${\displaystyle (x+y)_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(x)_{n-k}\,(y)_{k},}$$ (following from it, and corresponding to the binomial theorem), are included in the observations that matured to the system of umbral calculus.

Newton series expansions can be superior to Taylor series expansions when applied to discrete quantities like quantum spins (see Holstein–Primakoff transformation), bosonic operator functions or discrete counting statistics.^[13]

To illustrate how one may use Newton's formula in actual practice, consider the first few terms of doubling the Fibonacci sequencef = 2, 2, 4, ... One can find a polynomial that reproduces these values, by first computing a difference table, and then substituting the differences that correspond to x₀ (underlined) into the formula as follows, $${\displaystyle {\begin{matrix}{\begin{array}{|c||c|c|c|}\hline x&f=\Delta ^{0}&\Delta ^{1}&\Delta ^{2}\\\hline 1&{\underline {2}}&&\\&&{\underline {0}}&\\2&2&&{\underline {2}}\\&&2&\\3&4&&\\\hline \end{array}}&\quad {\begin{aligned}f(x)&=\Delta ^{0}\cdot 1+\Delta ^{1}\cdot {\dfrac {(x-x_{0})_{1}}{1!}}+\Delta ^{2}\cdot {\dfrac {(x-x_{0})_{2}}{2!}}\quad (x_{0}=1)\\\\&=2\cdot 1+0\cdot {\dfrac {x-1}{1}}+2\cdot {\dfrac {(x-1)(x-2)}{2}}\\\\&=2+(x-1)(x-2)\\\end{aligned}}\end{matrix}}}$$

For the case of nonuniform steps in the values of x, Newton computes the divided differences, $${\displaystyle \Delta _{j,0}=y_{j},\qquad \Delta _{j,k}={\frac {\Delta _{j+1,k-1}-\Delta _{j,k-1}}{x_{j+k}-x_{j}}}\quad \ni \quad \left\{k>0,\;j\leq \max \left(j\right)-k\right\},\qquad \Delta 0_{k}=\Delta _{0,k}}$$ the series of products, $${\displaystyle {P_{0}}=1,\quad \quad P_{k+1}=P_{k}\cdot \left(\xi -x_{k}\right),}$$ والمتعددة الحدود الناتجة هي الضرب القياسي ، ^{[ 14 ]}$${\displaystyle f(\xi )=\Delta 0\cdot P\left(\xi \right).}$$

في التحليل باستخدام الأعداد p -adic ، تنص نظرية ماهلر على أنه يمكن إضعاف الافتراض بأن f دالة متعددة الحدود وصولاً إلى الافتراض بأن f متصلة فقط.

تُقدّم نظرية كارلسون شروطًا ضرورية وكافية لكي تكون متسلسلة نيوتن فريدة، إن وُجدت. مع ذلك، فإن متسلسلة نيوتن غير موجودة، بشكل عام.

تُعد سلسلة نيوتن، إلى جانب سلسلة ستيرلنغ وسلسلة سيلبرغ ، حالة خاصة من سلسلة الفروق العامة ، والتي يتم تعريفها جميعًا من حيث الفروق الأمامية ذات المقياس المناسب.

في صيغة مختصرة وأكثر عمومية قليلاً، ومع وجود عقد متساوية البعد، تصبح الصيغة كالتالي: $${\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}{\binom {\frac {x-a}{h}}{k}}\sum _{j=0}^{k}(-1)^{k-j}{\binom {k}{j}}f(a+jh).}$$

يمكن اعتبار الفرق الأمامي بمثابة مؤثر ، يُسمى مؤثر الفرق ، والذي يحول الدالة f إلى Δh [ f _] . ^{[ 15 ] [ 16 ]} هذا المؤثر يُعادل$${\displaystyle \Delta _{h}=\operatorname {T} _{h}-\operatorname {I} ,}$$حيث T _h هو عامل الإزاحة بخطوة h ، المعرف بواسطة T _h [ f ]( x ) = f ( x + h ) ، و I هو عامل الهوية .

يمكن تعريف الفرق المحدود من الرتب العليا بطريقة تكرارية على النحو التالي: Δ ⁿ _h ≡ Δ _h (Δ ^{n − 1} _h ) . وهناك تعريف مكافئ آخر هو: Δ ⁿ _h ≡ [T _h − I] ⁿ .

إن عامل الفرق Δ _h هو عامل خطي ، وعلى هذا النحو فإنه يحقق Δ _h [ α f + β g ]( x ) = α Δ _h [ f ]( x ) + β Δ _h [ g ]( x ) .

كما أنه يفي بقاعدة خاصة من قواعد لايبنتز :

${\displaystyle \operatorname {\Delta } _{h}{\bigl (}fg{\bigr )}(x)={\bigl (}\operatorname {\Delta } _{h}f(x){\bigr )}g(x+h)+f(x){\bigl (}\operatorname {\Delta } _{h}g(x){\bigr )}~.}$

تنطبق قواعد لايبنتز المماثلة على الفروق الخلفية والمركزية.

بتطبيق متسلسلة تايلور رسميًا بالنسبة إلى h ، نحصل على معادلة المؤثر $${\displaystyle \operatorname {\Delta } _{h}=h\operatorname {D} +{\frac {1}{2!}}h^{2}\operatorname {D} ^{2}+{\frac {1}{3!}}h^{3}\operatorname {D} ^{3}+\cdots =e^{h\operatorname {D} }-\operatorname {I} ,}$$ حيث يرمز D إلى مُعامل الاشتقاق التقليدي المتصل، الذي يُحول f إلى مشتقتها f ′ . يكون هذا التوسع صحيحًا عندما يؤثر كلا الطرفين على دوال تحليلية ، وذلك لقيم h صغيرة بما فيه الكفاية ؛ في الحالة الخاصة التي تنتهي فيها سلسلة المشتقات (عندما تكون الدالة التي يُعمل عليها متعددة حدود منتهية )، يكون التعبير دقيقًا، لجميع أحجام الخطوات المنتهية h . وبالتالي، T _h = e ^{h D} ، وبقلب الدالة الأسية رسميًا نحصل على $${\displaystyle h\operatorname {D} =\ln(1+\Delta _{h})=\Delta _{h}-{\tfrac {1}{2}}\,\Delta _{h}^{2}+{\tfrac {1}{3}}\,\Delta _{h}^{3}-\cdots ~.}$$ هذه الصيغة صحيحة بمعنى أن كلا العاملين يعطيان نفس النتيجة عند تطبيقهما على متعدد الحدود.

حتى بالنسبة للدوال التحليلية، لا يُضمن تقارب المتسلسلة على اليمين؛ فقد تكون متسلسلة تقاربية . مع ذلك، يمكن استخدامها للحصول على تقريبات أكثر دقة للمشتقة. على سبيل المثال، يؤدي الاحتفاظ بالحدين الأولين من المتسلسلة إلى الحصول على التقريب من الرتبة الثانية لـ f  ′( x ) المذكور في نهاية القسم §  الفروق من الرتب العليا .

الصيغ المماثلة لمؤثرات الفروق الخلفية والمركزية هي $${\displaystyle h\operatorname {D} =-\ln(1-\nabla _{h})\quad {\text{ and }}\quad h\operatorname {D} =2\operatorname {arsinh} \left({\tfrac {1}{2}}\,\delta _{h}\right)~.}$$

يرتبط حساب الفروق المحدودة بحساب الظلال في التوافقية. ويعود هذا التطابق المنهجي الملحوظ إلى تطابق مبدلات كميات الظلال مع نظائرها في الوسط المتصل ( حدود h → 0 ).

وبالتالي فإن عددًا كبيرًا من العلاقات التفاضلية الرسمية لحساب التفاضل والتكامل القياسي التي تتضمن الدوال f ( x ) يتم ربطها بشكل منهجي بنظائر الفروق المحدودة الظلية التي تتضمن f ( x T ⁻¹ _h ) .

على سبيل المثال، فإن النظير الظلي للحد الأحادي x ⁿ هو تعميم للعامل التنازلي المذكور أعلاه ( رمز بوخامر k ). $${\displaystyle (x)_{n}=\left(x\operatorname {T} _{h}^{-1}\right)^{n}=x\left(x-h\right)\left(x-2h\right)\cdots {\bigl (}x-\left(n-1\right)h{\bigr )},}$$ لهذا السبب. $${\displaystyle {\frac {\Delta _{h}}{h}}(x)_{n}=n(x)_{n-1},}$$ ومن ثم صيغة نيوتن للاستيفاء المذكورة أعلاه (عن طريق مطابقة المعاملات في توسيع دالة عشوائية f ( x ) في مثل هذه الرموز)، وهكذا.

على سبيل المثال، الجيب الظلي هو $${\displaystyle \sin \left(x\operatorname {T} _{h}^{-1}\right)=x-{\frac {(x)_{3}}{3!}}+{\frac {(x)_{5}}{5!}}-{\frac {(x)_{7}}{7!}}+\cdots }$$

_{كما هو الحال} في حد الاستمرارية ، فإن الدالة الذاتية لـ Δh / h هي أيضًا دالة أسية.

${\displaystyle {\frac {\Delta _{h}}{h}}(1+\lambda h)^{\frac {x}{h}}={\frac {\Delta _{h}}{h}}e^{\ln(1+\lambda h){\frac {x}{h}}}=\lambda e^{\ln(1+\lambda h){\frac {x}{h}}},}$

وبالتالي ، يمكن بسهولة وبدقة تحويل مجاميع فورييه لدوال الاستمرارية إلى مجاميع فورييه الظلية ، أي التي تتضمن نفس معاملات فورييه مضروبة في هذه الدوال الأسية الأساسية الظلية. ^{[ 17 ]} وبالتالي، فإن هذه الدالة الأسية الظلية تُعادل الدالة المولدة الأسية لرموز بوخامر .

وهكذا، على سبيل المثال، تُقابل دالة ديراك دلتا نظيرتها الظلية، وهي دالة الجيب الأساسية.$${\displaystyle \delta (x)\mapsto {\frac {\sin \left[{\frac {\pi }{2}}\left(1+{\frac {x}{h}}\right)\right]}{\pi (x+h)}},}$$ وهكذا دواليك. ^{[ 18 ]} يمكن في كثير من الأحيان حل المعادلات الفرقية بتقنيات مشابهة جدًا لتلك المستخدمة في حل المعادلات التفاضلية .

إن المؤثر العكسي لمؤثر الفرق الأمامي، وبالتالي التكامل الظلي، هو المجموع غير المحدد أو مؤثر الفرق المضاد.

• يُعرَّف الفرق المحدود المعمم عادةً على النحو التالي :$${\displaystyle \Delta _{h}^{\mu }[f](x)=\sum _{k=0}^{N}\mu _{k}f(x+kh),}$$حيث μ = ( _{μ₀, …, μₙ) هو متجه معاملاته. يُعدّ الفرق اللانهائي تعميمًا إضافيًا، حيث يُستبدل المجموع المحدود أعلاه بمتسلسلة لانهائية. وهناك طريقة أخرى للتعميم تتمثل في جعل المعاملات μₖ} تعتمد _على النقطة x : _μₖ = μₖ ( x ) ، وبالتالي اعتبار الفرق المحدود الموزون . كما يمكن جعل الخطوة h تعتمد على النقطة x : h ₌ h ₍ x ) . تُفيد هذه التعميمات في بناء معاملات استمرارية مختلفة .
• يمكن اعتبار الفرق المعمم بمثابة حلقات متعددة الحدود R [ T _h ] . ويؤدي ذلك إلى جبر الفرق.
• يتم تعميم عامل الفرق إلى عكس موبيوس على مجموعة مرتبة جزئياً .
• كعامل التفاف: من خلال شكلية جبر الوقوع ، يمكن تمثيل عوامل الفرق وانعكاس موبيوس الأخرى عن طريق الالتفاف مع دالة على المجموعة المرتبة جزئيًا، تسمى دالة موبيوس μ ؛ بالنسبة لعامل الفرق، فإن μ هي المتتالية (1، -1، 0، 0، 0، ...) .

يمكن دراسة الفروق المحدودة في أكثر من متغير واحد. وهي مماثلة للمشتقات الجزئية في عدة متغيرات.

بعض تقريبات المشتقات الجزئية هي: $${\displaystyle {\begin{aligned}f_{x}(x,y)&\approx {\frac {f(x+h,y)-f(x-h,y)}{2h}}\\f_{y}(x,y)&\approx {\frac {f(x,y+k)-f(x,y-k)}{2k}}\\f_{xx}(x,y)&\approx {\frac {f(x+h,y)-2f(x,y)+f(x-h,y)}{h^{2}}}\\f_{yy}(x,y)&\approx {\frac {f(x,y+k)-2f(x,y)+f(x,y-k)}{k^{2}}}\\f_{xy}(x,y)&\approx {\frac {f(x+h,y+k)-f(x+h,y-k)-f(x-h,y+k)+f(x-h,y-k)}{4hk}}.\end{aligned}}}$$

بدلاً من ذلك، بالنسبة للتطبيقات التي يكون فيها حساب f هو الخطوة الأكثر تكلفة، ويجب حساب كل من المشتقة الأولى والثانية، فإن الصيغة الأكثر كفاءة للحالة الأخيرة هي $${\displaystyle f_{xy}(x,y)\approx {\frac {f(x+h,y+k)-f(x+h,y)-f(x,y+k)+2f(x,y)-f(x-h,y)-f(x,y-k)+f(x-h,y-k)}{2hk}},}$$ بما أن القيم الوحيدة التي يجب حسابها والتي ليست مطلوبة بالفعل للمعادلات الأربع السابقة هي f ( x + h , y + k ) و f ( x − h , y − k ) .

للوظائف ذات${\displaystyle N}$المتغيرات${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N})}$، وتقييم كامل${\displaystyle m}$يتطلب حساب موتر المشتقة من الرتبة n باستخدام الفروق المحدودة${\displaystyle O(N^{m})}$استدعاءات الدالة${\displaystyle f}$(حيث استخدمنا رمز Big O للدلالة على سلوك القياس التقاربي)، أو${\displaystyle O(N^{m-m'})}$نداءات${\displaystyle m'}$المشتقة من الرتبة n للدالة${\displaystyle f}$(أين${\displaystyle m'<m}$ومع ذلك، بالنسبة للعديد من فئات الدوال، فإن${\displaystyle m}$يكون موتر المشتقة من الرتبة n متفرقًا، أو قد تكون رتبته منخفضة في الكتل غير القطرية. في هذه الحالات، قد توجد خوارزميات قادرة على تقدير ذلك عدديًا.${\displaystyle m}$مشتقة من الرتبة n باستخدام أقل من${\displaystyle O(N^{m-m'})}$نداءات${\displaystyle m'}$المشتقة من الرتبة n، على سبيل المثال عندما${\displaystyle m=2}$و${\displaystyle m'=1}$في الحالة الأخيرة، من الممكن تقدير مصفوفة هيسيان باستخدام فقط${\displaystyle O(1)}$التدرجات ، بدلاً من${\displaystyle O(N)}$التدرجات كما هو مطلوب بواسطة خوارزمية الفروق المحدودة التقليدية. ^{[ 23 ]}

• "حساب الفروق المحدودة" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]
• جدول بصيغ الفروق المحدودة المفيدة تم إنشاؤه باستخدام برنامج Mathematica
• د. غليش (2005)، حساب التفاضل والتكامل المحدود: دليل لحل المسائل الصعبة
• المشتقة الثانية المنفصلة من نقاط غير متساوية التباعد