أساس العد غير الصحيح

📅 آخر تحديث: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 12 صور
الموسوعة الحرة

يستخدم التمثيل غير الصحيح أعدادًا غير صحيحة كأساس لنظام العد الموضعي . بالنسبة لأساس غير صحيح β > 1، فإن قيمة

x=دن...د2د1د0.د-1د-2...د-م{\displaystyle x=d_{n}\dots d_{2}d_{1}d_{0}.d_{-1}d_{-2}\dots d_{-m}}

يكون

x=βندن+⋯+β2د2+βد1+د0+β-1د-1+β-2د-2+⋯+β-مد-م.{\displaystyle {\begin{aligned}x&=\beta ^{n}d_{n}+\cdots +\beta ^{2}d_{2}+\beta d_{1}+d_{0}\\&\qquad +\beta ^{-1}d_{-1}+\beta ^{-2}d_{-2}+\cdots +\beta ^{-m}d_{-m}.\end{aligned}}}

الأعداد dᵢ هي أعداد صحيحة غير سالبة أصغر من β . يُعرف هذا أيضًا باسم توسيع β ، وهو مفهوم قدمه ريني (1957) ودرسه باري (1960) بالتفصيل لأول مرة . لكل عدد حقيقي توسيع β واحد على الأقل (وربما عدد لا نهائي) . مجموعة جميع توسيعات β التي لها تمثيل محدود هي مجموعة جزئية من الحلقة Z [ β , β⁻¹ ] .

توجد تطبيقات لتوسعات β في نظرية الترميز [ 1 ] ونماذج البلورات شبه الدورية . [ 2 ]

بناء

تُعدّ متسلسلات بيتا تعميمًا لمتسلسلات الأعداد العشرية . في حين أن متسلسلات الأعداد العشرية غير المحدودة ليست فريدة (على سبيل المثال، 1.000... = 0.999... )، فإن جميع متسلسلات الأعداد العشرية المحدودة فريدة. مع ذلك، حتى متسلسلات بيتا المحدودة ليست بالضرورة فريدة، على سبيل المثال φ + 1 = φ² عندما β = φ ، وهي النسبة الذهبية . يمكن تحديد الخيار الأمثل لمتسلسلة بيتا لعدد حقيقي مُعطى باستخدام الخوارزمية الجشعة التالية ، والتي تعود في الأساس إلى ريني (1957) وصاغها فروغني (1992) كما هو موضح هنا .

ليكن β > 1 الأساس، و x عددًا حقيقيًا غير سالب. نرمز بـ ⌊ x ⌋ إلى دالة الجزء الصحيح لـ x (أي أكبر عدد صحيح أصغر من أو يساوي x )، وليكن { x } = x − ⌊ x ⌋ هو الجزء الكسري من x . يوجد عدد صحيح k بحيث يكون β k ≤ x < β k + 1 .

دك=⌊x/βك⌋{\displaystyle d_{k}=\lfloor x/\beta ^{k}\rfloor }

و

رك={x/βك}.{\displaystyle r_{k}=\{x/\beta ^{k}\}.\,}

لكل k − 1 ≥ j > −∞ ، ضع

دج=⌊βرج+1⌋،رج={βرج+1}.{\displaystyle d_{j}=\lfloor \beta r_{j+1}\rfloor ,\quad r_{j}=\{\beta r_{j+1}\}.}

بمعنى آخر، يُعرَّف التوسع β المتعارف عليه لـ x باختيار أكبر قيمة لـ d k بحيث يكون β k d k ≤ x ، ثم اختيار أكبر قيمة لـ d k −1 بحيث يكون β k d k + β k −1 d k −1 ≤ x ، وهكذا. وبالتالي، يتم اختيار أكبر سلسلة معجمية تمثل x .

باستخدام أساس صحيح، يُحدد هذا التوسع الأساسي المعتاد للعدد x . ويُوسع هذا البناء الخوارزمية المعتادة لتشمل قيم β التي قد تكون غير صحيحة .

تحويل

باتباع الخطوات المذكورة أعلاه، يمكننا إنشاء توسيع β لعدد حقيقين≥0{\displaystyle n\geq 0}(الخطوات متطابقة بالنسبة لـن<0{\displaystyle n<0}، على الرغم من أنه يجب أولاً ضرب n فيلتحويل الناتج إلى موجب، يجب ضربه في -1(-1 لجعلها سالبة مرة أخرى).

أولاً، يجب أن نحدد قيمة k (أس أقرب قوة لـ β أكبر من n ، بالإضافة إلى عدد الأرقام في⌊نβ⌋{\displaystyle \lfloor n_{\beta }\rfloor }، أيننβ{\displaystyle n_{\beta }}(هل n مكتوبة بالأساس β ؟) يمكن كتابة قيمة k لـ n و β على النحو التالي:

ك=⌊سجلβ⁡(ن)⌋+1{\displaystyle k=\lfloor \log _{\beta }(n)\rfloor +1}

بعد إيجاد قيمة k ،نβ{\displaystyle n_{\beta }}يمكن كتابتها على النحو التالي: d ، حيث

دج=⌊(ن/βج)مودβ⌋،ن=ن-دج*βج{\displaystyle d_{j}=\lfloor (n/\beta ^{j}){\bmod {\beta }}\rfloor ,\quad n=n-d_{j}*\beta ^{j}}

لـ k − 1 ≥ j > −∞ . تظهر أول k قيمة لـ d على يسار الفاصلة العشرية.

ويمكن كتابة ذلك أيضًا باستخدام الشفرة الزائفة التالية : [ 3 ]

دالة toBase ( n , b ) { k = floor ( log ( b , n )) + 1 precision = 8 result = ""for ( i = k - 1 , i > - precision - 1 , i -- ) { if ( result . length == k ) result += "." digit = floor (( n / b ^ i ) mod b ) n -= digit * b ^ i result += digit }إرجاع النتيجة }

لاحظ أن الكود أعلاه صالح فقط لـ1<β≤10{\displaystyle 1<\beta \leq 10}ون≥0{\displaystyle n\geq 0}لأنه لا يحول كل رقم إلى رمزه الصحيح أو إلى أرقام سالبة صحيحة. على سبيل المثال، إذا كانت قيمة الرقم هي10 ، سيتم تمثيلها على النحو التالي10 بدلاً من A.

مثال على كود التنفيذ

إلى الأساس π

  • جافا سكريبت : [ 3 ]
    دالة toBasePI ( العدد ، الدقة = 8 ) { دع k = Math.floor ( Math.log ( العدد ) / Math.log ( Math.PI ) ) + 1 ؛ إذا ( k < 0 ) k = 0 ؛​​​​​​​let digits = [];for ( let i = k - 1 ; i > ( -1 * precision ) - 1 ; i-- ) { let digit = Math.floor ( ( num / Math.pow ( Math.PI , i ) ) % Math.PI ) ; num - = digit * Math.pow ( Math.PI , i ) ; digits.push ( digit ) ;​​​​​​​​​​إذا كان ( العدد < 0.1 ** ( الدقة + 1 ) && i <= 0 ) توقف ؛ }إذا كان طول الأرقام أكبر من k ، فسيتم دمج الأرقام مع 0 و " . "​return digits.join ( " " ) ; }

من الأساس π

  • جافا سكريبت: [ 3 ]
    دالة fromBasePI ( الرقم ) { let numberSplit = الرقم . split ( /\./g ); let numberLength = الرقمSplit [ 0 ] .length ;let output = 0 ; let digits = numberSplit . join ( "" );for ( let i = 0 ; i < digits.length ; i ++ ) { output + = digits [ i ] * Math.pow ( Math.PI , numberLength - i - 1 ) ; }​​​​أعد الناتج ؛ }

أمثلة

الأساس √ 2

يتصرف النظام العددي ذو الأساس √2 بطريقة مشابهة جدًا للنظام العددي ذي الأساس 2، فكل ما عليك فعله لتحويل عدد من النظام الثنائي إلى النظام ذي الأساس √2 هو وضع صفر بين كل رقم ثنائي؛ على سبيل المثال، 1911 = 11101110111 2 يصبح 101010001010100010101 √2، و5118 = 1001111111110 2 يصبح 1000001010101010101010100 √2 . هذا يعني أنه يمكن التعبير عن أي عدد صحيح بالنظام ذي الأساس √2 دون الحاجة إلى فاصلة عشرية. يمكن استخدام القاعدة أيضًا لإظهار العلاقة بين طول ضلع المربع وقطره ، فالمربع الذي طول ضلعه 1√2 يكون قطره 10√2 ، والمربع الذي طول ضلعه 10√2 يكون قطره 100√2 . كما تُستخدم القاعدة أيضًا لإظهار نسبة الفضة ، حيث أن تمثيلها في القاعدة √2 هو 11√2 . بالإضافة إلى ذلك، مساحة المثمن المنتظم الذي طول ضلعه 1√2 هي 1100√2 ، ومساحة المثمن المنتظم الذي طول ضلعه 10√2 هي 110000√2 ، ومساحة المثمن المنتظم الذي طول ضلعه 100√2 هي 11000000√2 ، وهكذا .

قاعدة ذهبية

في النظام العشري ذي الأساس الذهبي، توجد بعض الأعداد التي لها أكثر من أساس عشري مكافئ: فهي أعداد غامضة . على سبيل المثال، 11φ = 100φ ، لأن φ² = φ + 1.

القاعدة ψ

توجد بعض الأعداد في النظام العددي ذي الأساس ψ، وهو النسبة الذهبية الفائقة ، التي تتسم بالغموض. على سبيل المثال، 101 ψ = 1000 ψ ، لأن ψ³ = ψ² + 1.

الأساس e

في النظام العددي ذي الأساس e، يتصرف اللوغاريتم الطبيعي كما يتصرف اللوغاريتم العشري ذي الأساس 10، حيث ln(1 e ) = 0، وln(10 e ) = 1، وln(100 e ) = 2، وln(1000 e ) = 3 (أو بتعبير أدق، تمثيل العدد 3 في النظام العددي ذي الأساس e ، وهو عدد غير منتهٍ). هذا يعني أن الجزء الصحيح من اللوغاريتم الطبيعي لعدد ما في النظام العددي ذي الأساس e يحسب عدد الأرقام قبل الفاصلة العشرية في ذلك العدد، مطروحًا منه واحد.

يُعدّ الأساس e الخيار الأمثل من حيث الاقتصاد في استخدام الأساس β > 1، [ 4 ] حيث يُقاس اقتصاد الأساس بضرب الأساس في طول سلسلة الرموز اللازمة للتعبير عن نطاق معين من القيم. يستخدم العدد الثنائي رقمين فقط، ولكنه يحتاج إلى عدد كبير من الأرقام لتمثيله؛ بينما يكتب النظام العشري أعدادًا أقصر، ولكنه يحتاج إلى 10 أرقام مختلفة لكتابتها. ويُمثّل الأساس e التوازن الأمثل بين هذين النظامين ، وبالتالي فهو يُخزّن الأعداد بكفاءة عالية.

الأساس π

يمكن استخدام القاعدة π لتسهيل توضيح العلاقة بين قطر الدائرة ومحيطها ، الذي يُقابل محيطها ؛ فبما أن المحيط = القطر × π، فإن دائرة قطرها 1π يكون محيطها 10π، ودائرة قطرها 10π يكون محيطها 100π ، وهكذا . علاوة على ذلك، بما أن المساحة = π × نصف القطر 2 ، فإن دائرة نصف قطرها 1π تكون مساحتها 10π ، ودائرة نصف قطرها 10π تكون مساحتها 1000π ، ودائرة نصف قطرها 100π تكون مساحتها 100000π . [ 5 ]

ملكيات

في كل نظام عد موضعي، لا تُعبَّر جميع الأعداد بطريقة فريدة. على سبيل المثال، في النظام العشري، للعدد 1 تمثيلان: 1.000... و 0.999... . مجموعة الأعداد ذات التمثيلين المختلفين كثيفة في الأعداد الحقيقية، [ 6 ] لكن مسألة تصنيف الأعداد الحقيقية ذات التوسعات β الفريدة أكثر تعقيدًا بكثير من تلك المتعلقة بالأنظمة العددية الصحيحة. [ 7 ]

تتمثل إحدى المشكلات الأخرى في تصنيف الأعداد الحقيقية التي تكون متسلسلاتها الدورية من نوع β . لنفترض أن β > 1، وأن Q ( β ) هو أصغر امتداد حقل للأعداد النسبية التي تحتوي على β . عندئذٍ، أي عدد حقيقي في الفترة [0,1) له متسلسل دوري من نوع β يجب أن يقع في Q ( β ). من جهة أخرى، ليس بالضرورة أن يكون العكس صحيحًا. يتحقق العكس إذا كان β عددًا من نوع بيزو ، [ 8 ] على الرغم من أن الشروط اللازمة والكافية غير معروفة.

انظر أيضاً

مراجع

الحواشي

مصادر

للمزيد من القراءة

  • سيدوروف، نيكيتا (2003)، "الديناميكا الحسابية"، في بيزوغلي، سيرجي؛ كوليادا، سيرجي (محرران)، موضوعات في الديناميكا ونظرية الإرجودية. أوراق بحثية ودورات مصغرة قُدِّمت في المؤتمر الدولي وورشة العمل الأمريكية الأوكرانية حول الأنظمة الديناميكية ونظرية الإرجودية، كاتسيفيلي، أوكرانيا، 21-30 أغسطس 2000 ، سلسلة محاضرات جمعية لندن الرياضية، المجلد  310، كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج ، الصفحات 145-189 ، ISBN  978-0-521-53365-2، Zbl 1051.37007