رقم بيسوت-فيجاياراغافان

📅 آخر تحديث: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 74 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، يُعرف عدد بيزو-فيجاياراغافان (أو عدد بيزو أو عدد PV ) بأنه عدد صحيح جبري حقيقي أكبر من 1، وجميع مرافقاته الغالواية أقل من 1 في القيمة المطلقة . اكتشف أكسل ثو هذه الأعداد عام 1912، وأعاد اكتشافها جي إتش هاردي عام 1919 في سياق التقريب الديوفانتي . واكتسبت شهرة واسعة بعد نشر أطروحة تشارلز بيزو عام 1938. كما تظهر هذه الأعداد في مسألة التفرد لمتسلسلات فورييه . وواصل تيروكانابورام فيجاياراغافان ورافائيل سالم دراستهما في أربعينيات القرن العشرين. وتُعد أعداد سالم مجموعة أعداد وثيقة الصلة بهذه الأعداد.

من الخصائص المميزة لأعداد PV أن قواها تقترب من الأعداد الصحيحة بمعدل أسي. وقد أثبت بيزو عكسًا رائعًا لذلك : إذا كان α  >  1 عددًا حقيقيًا بحيث تكون المتتالية

‖αن‖{\displaystyle \|\alpha ^{n}\|}

إذا كان قياس المسافة من قوى متتالية إلى أقرب عدد صحيح قابلاً للتربيع ، أو ℓ² ، فإن α يكون عددًا بيزو (وبالتحديد، عددًا جبريًا). وبناءً على هذا التوصيف لأعداد PV، أثبت سالم أن المجموعة S ، التي تضم جميع أعداد PV، مجموعة مغلقة . أصغر عنصر فيها هو عدد غير نسبي مكعب يُعرف بنسبة اللدونة . هناك معلومات كثيرة معروفة عن نقاط تراكم S ، وأصغرها هي النسبة الذهبية .

التعريف والخصائص

طريقة نيوتن لحساب p(z) = z⁴ - z³ - 1. العدد الثاني بيزوت χ (على اليمين) ومرافقاته عند مراكز جاذبيتها في المستوى المركب. مجموعة جوليا لخريطة نيوتن باللون البرتقالي، مع دائرة الوحدة والمنحنى الحقيقي كمرجع.

عدد صحيح جبري من الدرجة n هو جذر α لكثير حدود أحادي غير قابل للاختزال P ( x ) من الدرجة n بمعاملات صحيحة، وهو أصغر كثير حدود له. تُسمى الجذور الأخرى لـ P ( x ) مرافقات α . إذا كان α > 1 ، وكانت جميع الجذور الأخرى لـ P ( x ) أعدادًا حقيقية أو مركبة قيمتها المطلقة أقل من 1، بحيث تقع داخل دائرة الوحدة في المستوى المركب ، يُسمى α عدد بيزو ، أو عدد بيزو-فيجاياراغافان ، أو ببساطة عدد PV . على سبيل المثال، النسبة الذهبية ، φ ≈ 1.618، هي عدد صحيح تربيعي حقيقي أكبر من 1، بينما القيمة المطلقة لمرافقه، −φ − 1 ≈ −0.618، أقل من 1. لذلك، φ هو عدد بيزو. أبسط متعدد حدود له هو x 2 − x − 1.  

الخصائص الأولية

  • كل عدد صحيح أكبر من 1 هو عدد PV. وبالعكس، كل عدد PV نسبي هو عدد صحيح أكبر من 1.
  • إذا كان α عددًا غير نسبي PV تنتهي كثير الحدود الدنيا له بـ k فإن α أكبر من | k |.
  • إذا كان α عددًا PV فإن قواه α k كذلك ، لجميع الأسس الصحيحة الموجبة k .
  • يحتوي كل حقل أعداد جبري حقيقي K من الدرجة n على عدد PV من الدرجة n . هذا العدد هو مولد حقل. مجموعة جميع أعداد PV من الدرجة n في K مغلقة تحت عملية الضرب.
  • بالنظر إلى الحد الأعلى M والدرجة n ، فإن هناك عددًا محدودًا فقط من أعداد PV من الدرجة n التي تقل عن M.
  • كل عدد PV هو عدد بيرون (عدد جبري حقيقي أكبر من واحد، وجميع مرافقاته لها قيمة مطلقة أصغر).

خصائص الديوفانتين

يكمن الاهتمام الرئيسي بأعداد PV في حقيقة أن قواها لها توزيع "متحيز" للغاية (mod 1). إذا كان α عددًا من أعداد PV و λ أي عدد صحيح جبري في الحقلسؤال(α){\displaystyle \mathbb {Q} (\alpha )}ثم التسلسل

‖λαن‖،{\displaystyle \|\lambda \alpha ^{n}\|,}

حيث يرمز || x || إلى المسافة من العدد الحقيقي x إلى أقرب عدد صحيح، ويقترب من الصفر بمعدل أُسّي. وبالتحديد، هي متتالية قابلة للجمع التربيعي، وتتقارب حدودها إلى الصفر.

هناك عبارتان عكسيتان معروفتان: فهما تصفان أعداد PV بين جميع الأعداد الحقيقية وبين الأعداد الجبرية (ولكن في ظل افتراض ديوفانتي أضعف).

  • لنفترض أن α عدد حقيقي أكبر من 1 و λ عدد حقيقي غير صفري بحيث
∑ن=1∞‖λαن‖2<∞.{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\|\lambda \alpha ^{n}\|^{2}<\infty .}
إذن ، α هو عدد بيزو و λ هو عدد جبري في الحقلسؤال(α){\displaystyle \mathbb {Q} (\alpha )}( نظرية بيزو ).
  • لنفترض أن α عدد جبري أكبر من 1 و λ عدد حقيقي غير صفري بحيث
‖λαن‖→0،ن→∞.{\displaystyle \|\lambda \alpha ^{n}\|\to 0,\quad n\to \infty .}
إذن ، α هو عدد بيزو و λ هو عدد جبري في الحقلسؤال(α){\displaystyle \mathbb {Q} (\alpha )}.

تطرح مسألة بيزو-فيجاياراغافان العريقة سؤالًا حول إمكانية حذف افتراض أن α عدد جبري من العبارة الأخيرة. إذا كانت الإجابة بنعم، فإن أعداد بيزو تتميز، من بين جميع الأعداد الحقيقية، بالتقارب البسيط لـ || λαⁿ || إلى 0 لعدد حقيقي مساعد λ . من المعروف أن هناك عددًا قابلًا للعد فقط من الأعداد α التي تتمتع بهذه الخاصية. [ 1 ] [ 2 ] تكمن المسألة في تحديد ما إذا كان أي منها عددًا متساميًا .

الخصائص الطوبولوجية

يُرمز إلى مجموعة جميع أعداد بيزو بالرمز S. ولأن أعداد بيزو جبرية، فإن المجموعة S قابلة للعد. وقد أثبت رافائيل سالم أن هذه المجموعة مغلقة : فهي تحتوي على جميع نقاطها النهائية . [ 3 ] يستخدم برهانه صيغة بنائية للخاصية الديوفانتية الرئيسية لأعداد بيزو: [ 4 ] إذا أُعطي عدد بيزو α ، فيمكن اختيار عدد حقيقي λ بحيث يكون 0 < λ ≤ α و

∑ن=1∞‖λαن‖2≤9.{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\|\lambda \alpha ^{n}\|^{2}\leq 9.}

وبالتالي، يمكن تحديد معيار ℓ² للمتتالية || λαⁿ || بثابت منتظم مستقل عن α . في الخطوة الأخيرة من البرهان، يُستعان بخاصية بيزو للاستنتاج بأن نهاية متتالية من أعداد بيزو هي نفسها عدد بيزو.

إن انغلاق المجموعة S يعني أنها تحتوي على عنصر أصغر . أثبت كارل سيجل أن هذا العنصر هو الجذر الموجب للمعادلة x³ - x - 1 = 0 ( ثابت اللدونة ) ، وهو معزول في S. [ 5 ] أنشأ سيجل متتاليتين من أعداد بيزو تتقاربان إلى النسبة الذهبية φ من الأسفل ، وتساءل عما إذا كانت φ هي أصغر نقطة حدية للمجموعة S. وقد أثبت ذلك لاحقًا دوفريسنوي وبيزو، اللذان حددا أيضًا جميع عناصر S الأصغر من φ ؛ ولا تنتمي جميعها إلى متتاليتي سيجل. أثبت فيجاياراغافان أن S تحتوي على عدد لا نهائي من النقاط الحدية؛ في الواقع، متتالية المجموعات المشتقة

S،S′،S"،...{\displaystyle S,S',S'',\ldots }

لا ينتهي. من ناحية أخرى، التقاطعS(ω){\displaystyle S^{(\omega )}}إحدى هذه المجموعات فارغة ، مما يعني أن رتبة كانتور-بنديكسون للمجموعة S هي ω . وبشكل أدق، تم تحديد نوع ترتيب المجموعة S : [ 6 ] ليكنأ0=1{\displaystyle a_{0}=1}، ولكل n ≥ 1، حدد نوع الطلب

أن+1=أنω+1+(أنω)*،{\displaystyle a_{n+1}=a_{n}\omega +1+(a_{n}\omega )^{*},}

حيث ω هو نوع ترتيب الأعداد الطبيعية، و a * تعني a بترتيب عكسي ، ويتم تفسير الجمع والضرب بنفس طريقة تفسيرهما للأعداد الترتيبية . إذن، S لها نوع ترتيب

oرد(S)=∑ن=0∞أن.{\displaystyle \mathrm {ord} (S)=\sum _{n=0}^{\infty}a_{n}.}

مجموعة أعداد سالم ، التي يُرمز لها بـ T ، ترتبط ارتباطًا وثيقًا بـ S. وقد ثبت أن S مُحتواة في مجموعة T' لنقاط نهاية T. [ 7 ] [ 8 ] وقد تم التكهن بأن اتحاد S و T مجموعة مغلقة . [ 9 ]

الأعداد غير النسبية التربيعية

لوα{\displaystyle \alpha \,}إذا كان عددًا غير نسبي تربيعي، فلا يوجد له سوى مرافق واحد آخر.α′{\displaystyle \alpha '}، والتي يتم الحصول عليها عن طريق تغيير إشارة الجذر التربيعي فيα{\displaystyle \alpha }من

α=أ+د ل α′=أ-د{\displaystyle \alpha =a+{\sqrt {D}}{\text{ to }}\alpha '=a-{\sqrt {D}}\,}

أو من

α=أ+د2 ل α′=أ-د2.{\displaystyle \alpha ={\frac {a+{\sqrt {D}}}{2}}{\text{ to }}\alpha '={\frac {a-{\sqrt {D}}}{2}}.\,}

هنا a و D عددان صحيحان، وفي الحالة الثانية يكون a فرديًا ويكون D متطابقًا مع 1 بتردد 4.

الشروط المطلوبة هي α  >  1 و −1  < α' < 1. تتحقق هذه الشروط في الحالة الأولى تحديدًا عندما يكون a > 0 و إما     (أ-1)2<د<أ2{\displaystyle (a-1)^{2}<D<a^{2}}أوأ2<د<(أ+1)2{\displaystyle a^{2}<D<(a+1)^{2}}وتتحقق هذه الشروط في الحالة الثانية تحديداً عندماأ>0{\displaystyle a>0}وإما(أ-2)2<د<أ2{\displaystyle (a-2)^{2}<D<a^{2}}أوأ2<د<(أ+2)2{\displaystyle a^{2}<D<(a+2)^{2}}.

وبالتالي، فإن الأعداد التربيعية غير النسبية القليلة الأولى التي تمثل أعداد PV هي:

قيمةأصل...القيمة العددية
1+52{\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}x2-x-1{\displaystyle x^{2}-x-1}1.618033... OEIS : A001622  ( النسبة الذهبية )
1+2{\displaystyle 1+{\sqrt {2}}\,}x2-2x-1{\displaystyle x^{2}-2x-1}2.414213... OEIS : A014176  ( نسبة الفضة )
3+52{\displaystyle {\frac {3+{\sqrt {5}}}{2}}}x2-3x+1{\displaystyle x^{2}-3x+1}2.618033... OEIS : A104457  (النسبة الذهبية تربيع)
1+3{\displaystyle 1+{\sqrt {3}}\,}x2-2x-2{\displaystyle x^{2}-2x-2}2.732050... OEIS : A090388 
3+132{\displaystyle {\frac {3+{\sqrt {13}}}{2}}}x2-3x-1{\displaystyle x^{2}-3x-1}3.302775... OEIS : A098316  ( المتوسط ​​المعدني الثالث )
2+2{\displaystyle 2+{\sqrt {2}}\,}x2-4x+2{\displaystyle x^{2}-4x+2}3.414213...
3+172{\displaystyle {\frac {3+{\sqrt {17}}}{2}}}x2-3x-2{\displaystyle x^{2}-3x-2}3.561552.. OEIS : A178255  .
2+3{\displaystyle 2+{\sqrt {3}}\,}x2-4x+1{\displaystyle x^{2}-4x+1}3.732050... OEIS : A019973 
3+212{\displaystyle {\frac {3+{\sqrt {21}}}{2}}}x2-3x-3{\displaystyle x^{2}-3x-3}3.791287... OEIS : A090458 
2+5{\displaystyle 2+{\sqrt {5}}\,}x2-4x-1{\displaystyle x^{2}-4x-1}4.236067... OEIS : A098317  (المتوسط ​​المعدني الرابع)

قوى أعداد PV

يمكن استخدام أعداد بيزو-فيجاياراغافان لتوليد أعداد شبه صحيحة : حيث تقترب القوة النونية لعدد بيزو من الأعداد الصحيحة كلما ازدادت قيمة n . على سبيل المثال،

(3+10)6=27379+865810=54757.9999817⋯≈54758-154758.{\displaystyle (3+{\sqrt {10}})^{6}=27379+8658{\sqrt {10}}=54757.9999817\dots \approx 54758-{\frac {1}{54758}}.}

منذ27379{\displaystyle 27379\,}و865810{\displaystyle 8658{\sqrt {10}}\,}يختلفان فقط0.0000182...،{\displaystyle 0.0000182\dots ,\,}

273798658=3.162277662...{\displaystyle {\frac {27379}{8658}}=3.162277662\dots }

يقع على مقربة شديدة من

10=3.162277660....{\displaystyle {\sqrt {10}}=3.162277660\dots .}

بالفعل

(273798658)2=10+186582.{\displaystyle \left({\frac {27379}{8658}}\right)^{2}=10+{\frac {1}{8658^{2}}}.}

تعطي القوى الأعلى تقريبات عقلانية أفضل تبعاً لذلك.

تنشأ هذه الخاصية من حقيقة أنه لكل قيمة n ، يكون مجموع القوى النونية لعدد صحيح جبري x ومرافقاته عددًا صحيحًا تمامًا؛ وهذا ناتج عن تطبيق متطابقات نيوتن . عندما يكون x عددًا بيزو، فإن القوى النونية للمرافقات الأخرى تؤول إلى الصفر عندما يؤول n إلى اللانهاية. وبما أن المجموع عدد صحيح، فإن المسافة من x إلى أقرب عدد صحيح تؤول إلى الصفر بمعدل أُسّي.

أرقام بيزو الصغيرة

تم تحديد جميع أعداد بيزو التي لا تتجاوز النسبة الذهبية φ بواسطة دوفريسنوي وبيزو. يسرد الجدول أدناه أصغر عشرة أعداد بيزو مرتبة تصاعديًا. [ 10 ]

قيمةأصل...أصل...
11.324 717 957 244 746 025 96 ... OEIS : A060006  ( نسبة البلاستيك )x(x2-x-1)+(x2-1){\displaystyle x(x^{2}-x-1)+(x^{2}-1)}x3-x-1{\displaystyle x^{3}-x-1}
21.380 277 569 097 614 115 67 ... أويس : A086106 x2(x2-x-1)+(x2-1){\displaystyle x^{2}(x^{2}-x-1)+(x^{2}-1)}x4-x3-1{\displaystyle x^{4}-x^{3}-1}
31.443 268 791 270 373 107 62 ... أويس : A228777 x3(x2-x-1)+(x2-1){\displaystyle x^{3}(x^{2}-x-1)+(x^{2}-1)}x5-x4-x3+x2-1{\displaystyle x^{5}-x^{4}-x^{3}+x^{2}-1}
41.465 571 231 876 768 026 65 ... OEIS : A092526  ( النسبة الذهبية الفائقة )x3(x2-x-1)+1{\displaystyle x^{3}(x^{2}-x-1)+1}x3-x2-1{\displaystyle x^{3}-x^{2}-1}
51.501 594 803 539 087 366 37 ... أويس : A293508 x4(x2-x-1)+(x2-1){\displaystyle x^{4}(x^{2}-x-1)+(x^{2}-1)}x6-x5-x4+x2-1{\displaystyle x^{6}-x^{5}-x^{4}+x^{2}-1}
61.534 157 744 914 266 915 43 ... أويس : A293509 x4(x2-x-1)+1{\displaystyle x^{4}(x^{2}-x-1)+1}x5-x3-x2-x-1{\displaystyle x^{5}-x^{3}-x^{2}-x-1}
71.545 215 649 732 755 243 25 ... أويس : A293557 x5(x2-x-1)+(x2-1){\displaystyle x^{5}(x^{2}-x-1)+(x^{2}-1)}x7-x6-x5+x2-1{\displaystyle x^{7}-x^{6}-x^{5}+x^{2}-1}
81.561 752 067 720 297 294 70 ... أويس : A374002 x3(x3-2x2+x-1)+(x-1)(x2+1){\displaystyle x^{3}(x^{3}-2x^{2}+x-1)+(x-1)(x^{2}+1)}x6-2x5+x4-x2+x-1{\displaystyle x^{6}-2x^{5}+x^{4}-x^{2}+x-1}
91.570 147 312 196 054 362 91 ... أويس : A293506 x5(x2-x-1)+1{\displaystyle x^{5}(x^{2}-x-1)+1}x5-x4-x2-1{\displaystyle x^{5}-x^{4}-x^{2}-1}
101.573 678 968 393 516 988 77 ... أويس : A374003 x6(x2-x-1)+(x2-1){\displaystyle x^{6}(x^{2}-x-1)+(x^{2}-1)}x8-x7-x6+x2-1{\displaystyle x^{8}-x^{7}-x^{6}+x^{2}-1}

بما أن هذه الأرقام PV أقل من 2، فإنها جميعًا وحدات: تنتهي كثيرات حدودها الدنيا بـ 1 أو -1. كثيرات الحدود في هذا الجدول، [ 11 ] باستثناء

x6-2x5+x4-x2+x-1،{\displaystyle x^{6}-2x^{5}+x^{4}-x^{2}+x-1,}

هي عوامل إما

xن(x2-x-1)+1{\displaystyle x^{n}(x^{2}-x-1)+1}

أو

xن(x2-x-1)+(x2-1).{\displaystyle x^{n}(x^{2}-x-1)+(x^{2}-1).}

كثير الحدود الأول يقبل القسمة على x² -  1  عندما يكون n فرديًا، وعلى x  -  1 عندما يكون n زوجيًا . وله جذر حقيقي آخر، وهو عدد PV. قسمة أي من كثيري الحدود على xⁿ تعطي تعابير تقترب من x² - x - 1 عندما يكبر n كثيرًا، ولها أصفار تتقارب إلى φ . زوج من كثيري الحدود المكملين،    

xن(x2-x-1)-1{\displaystyle x^{n}(x^{2}-x-1)-1}

و

xن(x2-x-1)-(x2-1){\displaystyle x^{n}(x^{2}-x-1)-(x^{2}-1)\,}

ينتج عنه أرقام بيزو التي تقترب من φ من الأعلى.

يمكن إعادة إنتاج نمذجة الاضطراب ثنائي الأبعاد باستخدام سلاسل حلزونية لوغاريتمية مع تشابه ذاتي محدد بواسطة عامل قياس ثابت باستخدام بعض أرقام بيزو الصغيرة. [ 12 ]

مراجع

  1. ↑ شليشيتز، يوهانس (2014). "حول معدل تراكم $αζ^ { n } $ mod 1 إلى 0". arXiv : 1401.7588 [ math.NT ].
  2. ^ بيرتين، م.ج. ديكومبس-جويلوكس، أ؛ غرانديت-هوغوت، م.؛ باثيوكس-ديليفوس، م.؛ شرايبر، جي بي (1992). أرقام بيسو وسالم . ص. 95. دوى : 10.1007/978-3-0348-8632-1 . رقم ISBN  978-3-0348-9706-8.
  3. ↑ سالم، ر. (1944). "فئة مميزة من الأعداد الصحيحة الجبرية. برهان على حدسية فيجاياراغافان". مجلة ديوك للرياضيات 11 : 103-108 . doi : 10.1215/s0012-7094-44-01111-7 . Zbl 0063.06657 . 
  4. ↑ سالم (1963) ص 13
  5. ↑ سيجل، كارل لودفيج (1944). "الأعداد الصحيحة الجبرية التي تقع مرافقاتها في دائرة الوحدة". مجلة ديوك للرياضيات 11 (3): 597-602 . doi : 10.1215/S0012-7094-44-01152-X . Zbl 0063.07005 . 
  6. ↑ بويد، ديفيد دبليو .؛ مولدين، ر. دانيال (1996). "نوع ترتيب مجموعة أعداد بيزو" . الطوبولوجيا وتطبيقاتها . 69 (2): 115-120 . doi : 10.1016/0166-8641(95)00029-1 .
  7. ↑ سالم، ر. (1945). "متسلسلات القوى ذات المعاملات الصحيحة". مجلة ديوك للرياضيات 12 : 153-172 . doi : 10.1215/s0012-7094-45-01213-0 . Zbl 0060.21601 . 
  8. ↑ سالم (1963) ص 30
  9. ↑ سالم (1963) ص 31
  10. ^ دوفريسنوي، ج. بيسو، ش. (1955)، "Etude de somees fonctions méromorphes Bornées sur le cercle Unité. Application à un ensemble Fermé d'entiers algébriques" ، Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure (بالفرنسية)، 72 : 69–92 ، دوى : 10.24033/asens.1030 ، السيد 0072902 أصغر هذه الأرقام مدرجة بالترتيب العددي في الصفحة 92.
  11. ↑ بيرتين وآخرون، ص 133.
  12. ↑ أ. د. غوركان؛ شاوكانغ شو؛ ب. موريل (2019). "نماذج السلسلة الحلزونية للاضطراب ثنائي الأبعاد" . مجلة Physical Review E. 100 ( 4) 043113. arXiv : 1903.09494 . Bibcode : 2019PhRvE.100d3113G . doi : 10.1103/PhysRevE.100.043113 . PMID 31770954 .