مثمن

مثمن منتظم
مثمن منتظم
يكتب	مضلع منتظم
الحواف والرؤوس​	8
رمز شلايفلي	{8}، ت{4}
مخططات كوكستر-دينكين
مجموعة التماثل	ثنائي السطوح (D 8 )، رتبة 2×8
الزاوية الداخلية ( درجات )	135 درجة
ملكيات	محدب ، دائري ، متساوي الأضلاع ، متساوي الأضلاع ، متساوي الأضلاع
مضلع مزدوج	الذات

في الهندسة ، المثمن (من اليونانية القديمة ὀκτάγωνον ( oktágōnon ) "ثماني زوايا") هو مضلع  ثماني الأضلاع أو 8 أضلاع.

يحتوي المثمن المنتظم على رمز شليفلي {8} ^[1] ويمكن أيضًا إنشاؤه كمربع مقطوع شبه منتظم ، t{4}، والذي يتناوب بين نوعين من الحواف. المثمن المقطوع، t{8} هو سداسي الأضلاع ، {16}. يمكن أن يكون نظيرًا ثلاثي الأبعاد للمثمن هو المعين ثماني السطوح مع الوجوه المثلثة عليه مثل الحواف المستبدلة، إذا اعتبرنا المثمن مربعًا مقطوعًا.

مجموع كل الزوايا الداخلية لأي مثمن هو 1080 درجة. وكما هو الحال مع جميع المضلعات، فإن مجموع الزوايا الخارجية يساوي 360 درجة.

إذا تم إنشاء مربعات كلها داخليًا أو كلها خارجيًا على أضلاع المثمن، فإن نقاط منتصف القطع التي تربط مراكز المربعات المتقابلة تشكل شكلًا رباعيًا متساوي الأضلاع وقطريًا ( أي أقطاره متساوية في الطول وزاويتها قائمة على بعضها البعض). ^{[2] : Prop. 9}

إن مثمن منتصف مثمن مرجعي له ثماني رؤوس تقع عند نقاط منتصف أضلاع مثمن المرجع. وإذا تم إنشاء مربعات كلها داخليًا أو كلها خارجيًا على أضلاع مثمن منتصف مثمن، فإن نقاط منتصف القطع التي تربط مراكز المربعات المتقابلة تشكل رؤوس المربع. ^{[2] : Prop. 10}

المثمن المنتظم هو شكل مغلق له أضلاع بنفس الطول وزوايا داخلية بنفس الحجم. وله ثمانية خطوط تماثل انعكاسي وتماثل دوراني من الدرجة 8. ويمثل المثمن المنتظم برمز شليفلي {8}. الزاوية الداخلية عند كل رأس من رؤوس المثمن المنتظم هي 135 درجة ( راديان ). والزاوية المركزية هي 45 درجة ( راديان). ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {3\pi }{4}}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {\pi }{4}}}$

مساحة مثمن منتظم طول ضلعه أ تعطى بواسطة

${\displaystyle A=2\cot {\frac {\pi }{8}}a^{2}=2(1+{\sqrt {2}})a^{2}\approx 4.828\,a^{2}.}$

من حيث نصف القطر المحيط R ، فإن المساحة هي

${\displaystyle A=4\sin {\frac {\pi }{4}}R^{2}=2{\sqrt {2}}R^{2}\approx 2.828\,R^{2}.}$

من حيث الحرف r (انظر أيضًا الشكل المنقوش )، فإن المساحة هي

${\displaystyle A=8\tan {\frac {\pi }{8}}r^{2}=8({\sqrt {2}}-1)r^{2}\approx 3.314\,r^{2}.}$

يحدد هذان المعاملان الأخيران قيمة pi ، وهي مساحة الدائرة الوحدوية .

يمكن أيضًا التعبير عن المساحة على أنها

${\displaystyle \,\!A=S^{2}-a^{2},}$

حيث S هو امتداد المثمن، أو ثاني أقصر قطري؛ و a هو طول أحد الأضلاع، أو القواعد. يمكن إثبات ذلك بسهولة إذا أخذ المرء مثمنًا، ورسم مربعًا حول الخارج (مع التأكد من أن أربعة من الأضلاع الثمانية تتداخل مع الأضلاع الأربعة للمربع) ثم أخذ مثلثات الزاوية (هذه مثلثات 45-45-90 ) ووضعها بزوايا قائمة تشير إلى الداخل، لتكوين مربع. كل ضلع من أضلاع هذا المربع يساوي طول القاعدة.

نظرًا لطول الضلع a ، فإن الامتداد S هو

${\displaystyle S={\frac {a}{\sqrt {2}}}+a+{\frac {a}{\sqrt {2}}}=(1+{\sqrt {2}})a\approx 2.414a.}$

وبالتالي فإن الامتداد يساوي نسبة الفضة في الضلع، أ.

ثم تصبح المنطقة كما هو موضح أعلاه:

${\displaystyle A=((1+{\sqrt {2}})a)^{2}-a^{2}=2(1+{\sqrt {2}})a^{2}\approx 4.828a^{2}.}$

إذا تم التعبير عن ذلك من حيث الامتداد، فإن المنطقة هي

${\displaystyle A=2({\sqrt {2}}-1)S^{2}\approx 0.828S^{2}.}$

صيغة بسيطة أخرى للمنطقة هي

${\displaystyle \ A=2aS.}$

في أغلب الأحيان، يكون الامتداد S معروفًا، ويجب تحديد طول الأضلاع، a ، كما هو الحال عند قطع قطعة مربعة من مادة إلى شكل ثماني منتظم. مما سبق،

${\displaystyle a\approx S/2.414.}$

يمكن حساب طولي الطرفين e على كل جانب (أطوال أرجل المثلثات (باللون الأخضر في الصورة) المقطوعة من المربع)، بالإضافة إلى كونها${\displaystyle e=a/{\sqrt {2}},}$

${\displaystyle \,\!e=(S-a)/2.}$

نصف القطر المحيط بالمثمن المنتظم من حيث طول الضلع أ هو ^[3]

${\displaystyle R=\left({\frac {\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}{2}}\right)a\approx 1.307a,}$

والداخل هو ​

${\displaystyle r=\left({\frac {1+{\sqrt {2}}}{2}}\right)a\approx 1.207a.}$

(وهذا هو نصف نسبة الفضة مضروبة في الضلع، a ، أو نصف الامتداد، S )

يمكن حساب نصف القطر الداخلي من نصف القطر المحيطي على النحو التالي

${\displaystyle r=R\cos {\frac {\pi }{8}}}$

المثمن المنتظم، من حيث طول الضلع أ ، لديه ثلاثة أنواع مختلفة من الأقطار :

• قطري قصير؛
• متوسط ​​قطريًا (يُسمى أيضًا الامتداد أو الارتفاع)، وهو ضعف طول نصف القطر؛
• قطري طويل، وهو ضعف طول نصف القطر المحيط.

تعتمد صيغة كل منها على المبادئ الأساسية للهندسة. وفيما يلي صيغ طولها: ^[4]

• قطري قصير:  ;${\displaystyle a{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}$
• متوسط ​​قطري:  ؛ ( نسبة الفضة مضروبة في أ)${\displaystyle (1+{\sqrt {2}})a}$
• قطري طويل: .${\displaystyle a{\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}}$

يمكن إنشاء مثمن منتظم عند دائرة معينة على النحو التالي:

1. ارسم دائرة وقطر AOE، حيث O هو المركز وA وE هي نقاط على الدائرة المحيطة.
2. ارسم قطر GOC آخر، عموديًا على AOE.
3. (لاحظ أثناء المرور أن A، C، E، G هي رؤوس مربع).
4. ارسم منصفات الزوايا القائمة GOA و EOG، مما يجعل قطرين آخرين HOD و FOB.
5. A،B،C،D،E،F،G،H هي رؤوس المثمن.

يمكن إنشاء مثمن منتظم باستخدام مسطرة و فرجار ، حيث أن 8 = 2 ³ ، قوة العدد اثنين :

يمكن إنشاء المثمن المنتظم باستخدام قضبان ميكانو . يلزم وجود اثني عشر قضيبًا بالحجم 4، وثلاثة قضبان بالحجم 5، وقضيبين بالحجم 6.

كل ضلع من أضلاع المثمن المنتظم يحيط بنصف زاوية قائمة في مركز الدائرة التي تربط بين رؤوسه. وبالتالي يمكن حساب مساحته كمجموع ثمانية مثلثات متساوية الساقين، مما يؤدي إلى النتيجة التالية:

${\displaystyle {\text{Area}}=2a^{2}({\sqrt {2}}+1)}$

لمثمن ضلعه أ .

إحداثيات رؤوس المثمن المنتظم الذي يقع مركزه عند نقطة الأصل ويبلغ طول ضلعه 2 هي:

• (±1، ±(1+ √ 2 ))
• (±(1+ √ 2 )، ±1).

إسقاط 8 مكعب	تشريح 24 معين
	عادي	أيزوتكسال

يذكر كوكستر أنه يمكن تشريح كل زونوغون (مضلع طوله 2 م وضلعاه المتقابلان متوازيان ومتساويان في الطول) إلى متوازي أضلاع ( م -1)/2. ^[5] وينطبق هذا بشكل خاص على المضلعات المنتظمة ذات الأضلاع المتساوية في العدد، وفي هذه الحالة تكون متوازيات الأضلاع كلها معينات. بالنسبة للمثمن المنتظم ، م = 4، ويمكن تقسيمه إلى 6 معينات، مع مثال واحد موضح أدناه. يمكن رؤية هذا التحلل على أنه 6 من 24 وجهًا في مستوى إسقاط مضلع بتري للمربع . تحدد القائمة (التسلسل A006245 في OEIS ) عدد الحلول على أنه ثمانية، من خلال التوجهات الثمانية لهذا التقسيم الواحد. تُستخدم هذه المربعات والمعينات في بلاط أمان-بينكر .

مثمن منتظم مشرح

تيسيراكت

4 معينات و 2 مربعات

المثمن المائل هو مضلع مائل له ثمانية رؤوس وحواف ولكنه لا يوجد على نفس المستوى. لا يتم تعريف الجزء الداخلي لمثل هذا المثمن بشكل عام. المثمن المتعرج المائل له رؤوس متناوبة بين مستويين متوازيين.

المثمن المنتظم المائل هو مثمن مائل رأسيًا له أطوال أضلاع متساوية. في الأبعاد الثلاثة، يكون مثمنًا مائلًا متعرجًا ويمكن رؤيته في الرؤوس والحواف الجانبية لمنشور مضاد مربع له نفس التناظر D _4d ، [2 ⁺ ، 8]، من الدرجة 16.

المثمن المائل المنتظم هو مضلع بتري لهذه متعددات السطوح المنتظمة والموحدة ذات الأبعاد الأعلى ، والتي تظهر في هذه الإسقاطات المتعامدة المائلة في مستويات كوكستر A ₇ وB ₄ وD ₅ .

أ 7	د 5	ب 4
7-بسيط	5-ديميكوب	16 خلية	تيسيراكت

التماثل

التماثلات الإحدى عشر لمثمن منتظم. خطوط الانعكاس زرقاء اللون عبر الرؤوس، وأرجوانية اللون عبر الحواف، ويتم إعطاء ترتيبات الدوران في المركز. يتم تلوين الرؤوس حسب موضع تماثلها.

يحتوي المثمن المنتظم على تماثل Dih ₈ ، من الدرجة 16. هناك ثلاث مجموعات فرعية ثنائية السطوح: Dih ₄ ، Dih ₂ ، و Dih ₁ ، وأربع مجموعات فرعية دائرية : Z ₈ ، Z ₄ ، Z ₂ ، و Z ₁ ، والأخيرة تعني عدم وجود تماثل.

أمثلة على المثمنات حسب التماثل

ر16
د8	ج8	ص8
د4	جي4	ص4
د2	ج2	ص2
أ1

في المثمن المنتظم، هناك أحد عشر تماثلًا مميزًا. يطلق جون كونواي على التماثل الكامل اسم r16 . ^[6] تنقسم التماثلات ثنائية السطوح اعتمادًا على ما إذا كانت تمر عبر الرؤوس ( d للقطر) أو الحواف ( p للخطوط العمودية). يتم تسمية التماثلات الدائرية في العمود الأوسط باسم g لأوامر الدوران المركزي الخاصة بها. التماثل الكامل للشكل المنتظم هو r16 ولا يتم تسمية أي تماثل باسم a1 .

أكثر أشكال المثمنات ذات التناظر العالي شيوعًا هي p8 ، وهو مثمن متساوي الأضلاع مبني بأربع مرايا يمكن أن تتناوب بين حواف طويلة وقصيرة، و d8 ، وهو مثمن متساوي الأضلاع مبني بأطوال حواف متساوية، ولكن رؤوسه تتناوب بين زاويتين داخليتين مختلفتين. هذان الشكلان ثنائيان لبعضهما البعض ولهما نصف رتبة التناظر للمثمن المنتظم.

تسمح كل مجموعة فرعية من التماثل بدرجة أو أكثر من درجات الحرية للأشكال غير المنتظمة. فقط المجموعة الفرعية g8 ليس لها درجات حرية ولكن يمكن رؤيتها كأضلاع موجهة .

يُستخدم الشكل المثمن كعنصر تصميم في الهندسة المعمارية. تتميز قبة الصخرة بخطة مثمنة مميزة. برج الرياح في أثينا هو مثال آخر على هيكل مثمن. كما كان المخطط المثمن في هندسة الكنائس مثل كاتدرائية القديس جورج في أديس أبابا وكنيسة سان فيتالي (في رافينا بإيطاليا) وقلعة ديل مونتي (بوليا بإيطاليا) ومعمودية فلورنسا وكنيسة زوم فريدفورستن (ألمانيا) وعدد من الكنائس المثمنة في النرويج . المساحة المركزية في كاتدرائية آخن ، كنيسة بالاتين الكارولنجية ، لها مخطط أرضي مثمن منتظم. تشمل استخدامات المثمنات في الكنائس أيضًا عناصر تصميم أقل، مثل المحراب المثمن لكاتدرائية نيداروس .

لقد استخدم المهندسون المعماريون مثل جون أندروز تخطيطات الأرضيات المثمنة في المباني لفصل مناطق المكاتب عن خدمات المبنى بشكل وظيفي، كما هو الحال في المقر الرئيسي لشركة Intelsat في واشنطن أو مكاتب Callam في كانبيرا.

• 
  المظلات عادة ما يكون لها شكل مثمن.
• 
  يتضمن تصميم سجادة بخارى الشهيرة نقشًا مثمن الشكل على شكل "قدم الفيل".
• 
  يعتمد تخطيط الشوارع والمباني في منطقة إيكسامبل في برشلونة على أشكال مثمنة غير منتظمة
• 
  يستخدم جانجي قطعًا مثمنة الشكل.
• 
  غالبًا ما يكون لآلات اليانصيب اليابانية شكل مثمن.
• 
  علامة التوقف المستخدمة في البلدان الناطقة باللغة الإنجليزية ، وكذلك في معظم البلدان الأوروبية
• 
  غالبًا ما يتم ترتيب ثلاثيات الباجوا الطاوية بشكل ثماني الأضلاع
• 
  كأس ذهبي مثمن الشكل شهير من حطام سفينة بيليتونج
• 
  تقام الفصول الدراسية في كلية شيمر تقليديًا حول طاولات مثمنة الشكل
• 
  متاهة كاتدرائية ريمس ذات الشكل المثمن تقريبًا.
• 
  إن حركة العصا (العصا) التناظرية في وحدة تحكم Nintendo 64 ووحدة تحكم GameCube و Wii Nunchuk ووحدة التحكم الكلاسيكية محدودة بإطار مثمن، مما يساعد المستخدم على توجيه العصا في الاتجاهات الأساسية مع السماح بالحرية الدائرية.
• 
  كرسي من A la Ronde ، بمقاعد ومساند مثمنة الشكل (مجموعة من ثمانية)

• 
  يحتوي البلاط المربع المقطوع على ثماني أضلاع حول كل رأس.
  
• 
  يحتوي المنشور الثماني على وجهين مثمنين.
  
• 
  يحتوي المنشور المضاد الثماني الأضلاع على وجهين مثمنين.
  
• 
  يحتوي المكعب ثماني السطوح المقطوع على 6 وجوه مثمنة.
  
• 
  قرص العسل المكعب المقسم إلى أجزاء
  

المثمن ، كمربع مقطوع ، هو الأول في سلسلة من المكعبات الزائدة المقطوعة :

مكعبات مفرطة مقطوعة

صورة								...
اسم	مثمن	مكعب مقطوع	مربعات مقطوعة	مقطوعة 5 مكعب	مقطوعة 6 مكعب	مكعب مقطوع 7	مقطوعة 8 مكعب
مخطط كوكستر
شكل الرأس	( )v( )	( )ف{ }	( )ف{3}	( )ف{3،3}	( )ف{3,3,3}	( )ف{3,3,3,3}	( )ف{3,3,3,3,3}

باعتباره مربعًا موسعًا ، فهو أيضًا الأول في سلسلة من المكعبات الفائقة الموسعة:

المكعبات الفائقة الموسعة

							...
مثمن	المعين المكعب ثماني السطوح	تيسيراكت مسنن	مكعب معقم مكون من 5 قطع	مكعب خماسي مكون من 6 قطع	مكعب سداسي مكون من 7 قطع	سباعي مكون من 8 مكعبات

• حوض سباحة كبير
• مثمن هانسن الصغير
• بيت مثمن الشكل
• رقم ثماني الأضلاع
• ثماني نجوم
• ثماني السطوح ، شكل ثلاثي الأبعاد ذو ثمانية أوجه.
• أوكتوغون ، تقاطع رئيسي في بودابست ، المجر
• ربع الحزب (المعروف أيضًا باسم نجمة القدس ونجمة الثماني)، وهو زخرف شائع في العمارة الإسلامية
• مثمن ناعم

• حاسبة المثمن
• تعريف وخصائص المثمن مع الرسوم المتحركة التفاعلية