حاصل الضرب الموتري

ليكن V و W فضاءين متجهين على حقل F ، بقواعدهما الخاصة.${\displaystyle B_{V}}$و​${\displaystyle B_{W}}$⁠ .

حاصل الضرب الموتري${\displaystyle V\otimes W}$الفضاء المتجهي V و W هو فضاء متجهي أساسه مجموعة جميع${\displaystyle v\otimes w}$مع${\displaystyle v\in B_{V}}$و​${\displaystyle w\in B_{W}}$، تُعتبر مجرد رموز لا تحمل أي معنى آخر. يمكن صياغة هذا التعريف بشكل رسمي على النحو التالي (نادراً ما يُستخدم هذا التعريف الرسمي عملياً، لأن التعريف غير الرسمي السابق كافٍ عموماً):${\displaystyle V\otimes W}$هي مجموعة الدوال من الضرب الديكارتي${\displaystyle B_{V}\times B_{W}}$إلى F التي لها عدد محدود من القيم غير الصفرية. تجعل العمليات النقطية${\displaystyle V\otimes W}$فضاء متجهي. الدالة التي تُسقط${\displaystyle (v,w)}$إلى 1 والعناصر الأخرى من${\displaystyle B_{V}\times B_{W}}$يُرمز إلى الصفر بـ ⁠${\displaystyle v\otimes w}$⁠ .

المجموعة${\displaystyle \{v\otimes w\mid v\in B_{V},w\in B_{W}\}}$، ويُطلق عليه اسم حاصل الضرب الموتري للأساسات${\displaystyle B_{V}}$و​${\displaystyle B_{W}}$، هو أساس مباشر لـ${\displaystyle V\otimes W}$⁠ .

وبصورة مكافئة، يمكننا تعريف${\displaystyle V\otimes W}$أن تكون مجموعة الأشكال الثنائية الخطية على${\displaystyle V\times W}$التي لا تساوي الصفر إلا عند عدد محدود من عناصر ⁠${\displaystyle B_{V}\times B_{W}}$. لرؤية ذلك، بالنظر إلى${\displaystyle (x,y)\in V\times W}$ وشكل ثنائي الخطية${\displaystyle B:V\times W\to F}$، يمكننا تحليل${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$في القواعد${\displaystyle B_{V}}$و${\displaystyle B_{W}}$مثل: $${\displaystyle x=\sum _{v\in B_{V}}x_{v}\,v\quad {\text{and}}\quad y=\sum _{w\in B_{W}}y_{w}\,w,}$$ حيث عدد محدود فقط من${\displaystyle x_{v}}$'رمل${\displaystyle y_{w}}$تكون قيم 's غير صفرية، ويتم إيجادها من خلال خاصية الخطية الثنائية لـ${\displaystyle B}$الذي - التي: $${\displaystyle B(x,y)=\sum _{v\in B_{V}}\sum _{w\in B_{W}}x_{v}y_{w}\,B(v,w)}$$

ومن ثم نرى أن قيمة${\displaystyle B}$لأي${\displaystyle (x,y)\in V\times W}$يتحدد بشكل فريد وكامل بالقيم التي يتخذها${\displaystyle B_{V}\times B_{W}}$وهذا يسمح لنا بتوسيع الخرائط${\displaystyle v\otimes w}$محدد في${\displaystyle B_{V}\times B_{W}}$كما في السابق إلى الخرائط الثنائية الخطية${\displaystyle v\otimes w:V\times W\to F}$، عن طريق السماح بما يلي: $${\displaystyle (v\otimes w)(x,y):=\sum _{v'\in B_{V}}\sum _{w'\in B_{W}}x_{v'}y_{w'}\,(v\otimes w)(v',w')=x_{v}\,y_{w}.}$$

عندها يمكننا التعبير عن أي شكل ثنائي الخطية${\displaystyle B}$باعتبارها توليفة خطية رسمية (قد تكون لانهائية) من${\displaystyle v\otimes w}$الخرائط وفقًا لما يلي: $${\displaystyle B=\sum _{v\in B_{V}}\sum _{w\in B_{W}}B(v,w)(v\otimes w)}$$ مما يجعل هذه الخرائط مشابهة لقاعدة شاودر للفضاء المتجهي${\displaystyle {\text{هوم}}(V,W;F)}$من جميع الأشكال الثنائية الخطية على${\displaystyle V\times W}$بدلاً من ذلك، لكي يصبح أساسًا مناسبًا لهامل ، ما تبقى سوى إضافة الشرط التالي:${\displaystyle B}$لا يساوي الصفر عند عدد محدود فقط من عناصر ⁠${\displaystyle B_{V}\times B_{W}}$، وفكر في الفضاء الجزئي لمثل هذه الخرائط بدلاً من ذلك.

في كلا البناءين، يُعرَّف حاصل الضرب الموتري لمتجهين من خلال تحليلهما على الأساسات. وبشكل أدق، بأخذ تحليلات الأساس لـ${\displaystyle x\in V}$و${\displaystyle y\in W}$كما كان من قبل: $${\displaystyle {\begin{aligned}x\otimes y&={\biggl (}\sum _{v\in B_{V}}x_{v}\,v{\biggr )}\otimes {\biggl (}\sum _{w\in B_{W}}y_{w}\,w{\biggr )}\\[5mu]&=\sum _{v\in B_{V}}\sum _{w\in B_{W}}x_{v}y_{w}\,v\otimes w.\end{aligned}}}$$

من الواضح تمامًا أن هذا التعريف مستمد من معاملات${\displaystyle B(v,w)}$في التوسع بواسطة الخطية الثنائية لـ${\displaystyle B(x,y)}$باستخدام القواعد${\displaystyle B_{V}}$و​${\displaystyle B_{W}}$كما هو موضح أعلاه. ومن ثم، يصبح من السهل التحقق من أنه وفقًا لهذا التعريف، فإن الخريطة${\displaystyle {\otimes }:(x,y)\mapsto x\otimes y}$هي خريطة ثنائية الخطية من${\displaystyle V\times W}$ل${\displaystyle V\otimes W}$تحقيق الخاصية العامة التي تحققها أي بنية لضرب الموتر (انظر أدناه).

إذا تم ترتيبها في مصفوفة مستطيلة، فإن متجه الإحداثيات لـ${\displaystyle x\otimes y}$هو حاصل الضرب الخارجي لمتجهات الإحداثيات لـ ${\displaystyle x}$و​${\displaystyle y}$لذلك ، فإن الضرب الموتري هو تعميم للضرب الخارجي، أي تجريد له يتجاوز متجهات الإحداثيات.

من عيوب هذا التعريف للجداء الموتري أنه عند تغيير الأساس، يُعرَّف جداء موتري مختلف. مع ذلك، فإن تحليل عناصر الأساس الآخر على أساس معين يُحدد تماثلًا قانونيًا بين حاصلي الضرب الموتري للفضاءات المتجهة، مما يسمح بتحديدهما. كذلك، وخلافًا للتعريفين البديلين التاليين، لا يمكن تعميم هذا التعريف ليشمل تعريفًا للجداء الموتري للوحدات النمطية على حلقة .

يمكن الحصول على بناء لضرب الموتر مستقل عن الأساس بالطريقة التالية.

ليكن V و W فضاءين متجهين على حقل F.​

يُنظر أولاً في فضاء متجهي L يحتوي على الضرب الديكارتي${\displaystyle V\times W}$كأساس . أي أن عناصر الأساس لـ L هي الأزواج${\displaystyle (v,w)}$مع${\displaystyle v\in V}$و​${\displaystyle w\in W}$للحصول على مثل هذا الفضاء المتجهي، يمكن تعريفه على أنه الفضاء المتجهي للدوال${\displaystyle V\times W\to F}$التي لها عدد محدود من القيم غير الصفرية وتحديدها${\displaystyle (v,w)}$باستخدام الدالة التي تأخذ القيمة 1${\displaystyle (v,w)}$وصفر فيما عدا ذلك .

ليكن R الفضاء الجزئي الخطي من L الذي تولده العلاقات التي يجب أن يحققها حاصل الضرب الموتري. وبشكل أدق، فإن R تولده عناصر أحد الأشكال التالية:

${\displaystyle {\begin{aligned}(v_{1}+v_{2},w)&-(v_{1},w)-(v_{2},w),\\(v,w_{1}+w_{2})&-(v,w_{1})-(v,w_{2}),\\(sv,w)&-s(v,w),\\(v,sw)&-s(v,w),\end{aligned}}}$

أين​${\displaystyle v,v_{1},v_{2}\in V}$،​${\displaystyle w,w_{1},w_{2}\in W}$و​${\displaystyle s\in F}$⁠ .

ثم، يُعرَّف حاصل الضرب الموتري على أنه فضاء القسمة :

${\displaystyle V\otimes W=L/R,}$

وصورة${\displaystyle (v,w)}$يُرمز إلى هذا الناتج بـ ⁠${\displaystyle v\otimes w}$⁠ .

من السهل إثبات أن نتيجة هذا البناء تحقق الخاصية العامة المذكورة أدناه. (يمكن استخدام بناء مشابه جدًا لتعريف حاصل الضرب الموتري للوحدات ).

في هذا القسم، نُعرّف الخاصية العامة التي يُحققها حاصل الضرب الموتري. وكما هو الحال مع أي خاصية عامة، فإن أي كائنين يُحققان هذه الخاصية يرتبطان بتشاكل وحيد . وعليه، فإن هذه طريقة (غير بنائية) لتعريف حاصل الضرب الموتري لفضاءين متجهيين. وفي هذا السياق، يمكن اعتبار عمليات بناء حاصل الضرب الموتري السابقة بمثابة براهين على وجود حاصل الضرب الموتري المُعرّف بهذه الطريقة.

ومن نتائج هذا النهج أنه يمكن استنتاج كل خاصية من خصائص حاصل الضرب الموتري من الخاصية العامة، وأنه من الناحية العملية، قد ينسى المرء الطريقة التي تم استخدامها لإثبات وجودها.

إن "التعريف الشامل" لحاصل الضرب الموتري لفضاءين متجهين هو التالي (تذكر أن التطبيق الثنائي الخطي هو دالة خطية بشكل منفصل في كل وسيط من وسائطها):

حاصل الضرب الموتري لفضاءين متجهيين V و W هو فضاء متجهي يُرمز له بـ${\displaystyle V\otimes W}$، بالإضافة إلى خريطة ثنائية الخطية${\displaystyle {\varphi }:(v,w)\mapsto v\otimes w}$من${\displaystyle V\times W}$إلى​${\displaystyle V\otimes W}$بحيث يكون لكل خريطة ثنائية الخطية${\displaystyle h:V\times W\to Z}$، هناك خريطة خطية فريدة${\displaystyle {\tilde {h}}:V\otimes W\to Z}$، بحيث${\displaystyle h={\tilde {h}}\circ {\varphi }}$(إنه،${\displaystyle h(v,w)={\tilde {h}}(v\otimes w)}$لكل${\displaystyle v\in V}$و​${\displaystyle w\in W}$) .

كما هو الحال مع الخاصية العامة المذكورة أعلاه، يمكن أيضاً استخدام التوصيف التالي لتحديد ما إذا كان فضاء متجه معين وخريطته الثنائية الخطية يشكلان حاصل ضرب موتر أم لا. ^{[ 2 ]}

فعلى سبيل المثال، يترتب على ذلك مباشرة أنه إذا${\displaystyle X=\mathbb {C} ^{m}}$و​​${\displaystyle Y=\mathbb {C} ^{n}}$، حيث${\displaystyle m}$و${\displaystyle n}$إذا كانت أعدادًا صحيحة موجبة، فيمكن للمرء أن يضع${\displaystyle Z=\mathbb {C} ^{mn}}$ونعرّف الخريطة الثنائية الخطية على النحو التالي: $${\displaystyle {\begin{aligned}T:\mathbb {C} ^{m}\times \mathbb {C} ^{n}&\to \mathbb {C} ^{mn}\\(x,y)=((x_{1},\ldots ,x_{m}),(y_{1},\ldots ,y_{n}))&\mapsto (x_{i}y_{j})_{\stackrel {i=1,\ldots ,m}{j=1,\ldots ,n}}\end{aligned}}}$$ لتكوين حاصل الضرب الموتري لـ${\displaystyle X}$و​${\displaystyle Y}$[ ^{3 ] غالبًا ما} تكونهذه الخريطة${\displaystyle T}$يُرمز إليه بـ${\displaystyle \,\otimes \,}$لهذا السبب.${\displaystyle x\otimes y=T(x,y).}$

كمثال آخر، لنفترض أن${\displaystyle \mathbb {C} ^{S}}$هو الفضاء المتجهي لجميع الدوال ذات القيم المركبة على مجموعة${\displaystyle S}$مع تعريف الجمع والضرب القياسي بشكل نقطي (بمعنى أن${\displaystyle f+g}$هذه هي الخريطة${\displaystyle s\mapsto f(s)+g(s)}$و${\displaystyle cf}$هل الخريطة${\displaystyle s\mapsto cf(s)}$) . ليكن${\displaystyle S}$و${\displaystyle T}$أي مجموعات ولأي${\displaystyle f\in \mathbb {C} ^{S}}$و​${\displaystyle g\in \mathbb {C} ^{T}}$، دع${\displaystyle f\otimes g\in \mathbb {C} ^{S\times T}}$لنرمز إلى الدالة المعرفة بواسطة${\displaystyle (s,t)\mapsto f(s)g(t)}$إذا​${\displaystyle X\subseteq \mathbb {C} ^{S}}$و${\displaystyle Y\subseteq \mathbb {C} ^{T}}$إذا كانت فضاءات جزئية متجهة، فإن الفضاء الجزئي المتجهي${\displaystyle Z:=\operatorname {span} \left\{f\otimes g:f\in X,g\in Y\right\}}$ل${\displaystyle \mathbb {C} ^{S\times T}}$بالإضافة إلى الخريطة الثنائية الخطية: $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\;&&X\times Y&&\;\to \;&Z\\[0.3ex]&&(f,g)&&\;\mapsto \;&f\otimes g\\\end{alignedat}}}$$ يشكل حاصل ضرب موتر لـ${\displaystyle X}$و​${\displaystyle Y}$[ ³ ]^​​

إذا كان V و W فضاءين متجهيين ذوي بُعد محدود ، فإن${\displaystyle V\otimes W}$هو ذو أبعاد محدودة ، وبُعده هو حاصل ضرب أبعاد V و W.

وينتج هذا عن حقيقة أن أساس${\displaystyle V\otimes W}$يتم تكوينها عن طريق أخذ جميع نواتج الضرب الموتري لعنصر أساسي من V وعنصر أساسي من W.

يكون حاصل الضرب الموتري تجميعيًا بمعنى أنه، بالنظر إلى ثلاثة فضاءات متجهة ⁠${\displaystyle U,V,W}$، هناك تماثل قانوني:

${\displaystyle (U\otimes V)\otimes W\cong U\otimes (V\otimes W),}$

تلك الخرائط${\displaystyle (u\otimes v)\otimes w}$إلى​${\displaystyle u\otimes (v\otimes w)}$⁠ .

يسمح هذا بحذف الأقواس في حاصل الضرب الموتري لأكثر من فضاءين متجهين أو متجهين.

حاصل الضرب الموتري لفضاءين متجهيين${\displaystyle V}$و${\displaystyle W}$هي تبادلية بمعنى أن هناك تماثلًا قانونيًا:

${\displaystyle V\otimes W\cong W\otimes V,}$

تلك الخرائط${\displaystyle v\otimes w}$إلى​${\displaystyle w\otimes v}$⁠ .

من ناحية أخرى، حتى عندما${\displaystyle V=W}$⁠ , حاصل الضرب الموتري للمتجهات ليس تبادليًا؛ أي ⁠${\displaystyle v\otimes w\neq w\otimes v}$، بشكل عام.

الخريطة${\displaystyle x\otimes y\mapsto y\otimes x}$من${\displaystyle V\otimes V}$يؤدي إلى نفسه إلى تحويل خطي ذاتي يسمىخريطة التضفير . وبشكل أعم، وكما هو معتاد (انظرجبر الموترات)، ليكن${\displaystyle V^{\otimes n}}$لنرمز إلى حاصل الضرب الموتري لـ n نسخة من الفضاء المتجهي V. لكل تبديل s لأول n عدد صحيح موجب، تكون الخريطة:

${\displaystyle x_{1}\otimes \cdots \otimes x_{n}\mapsto x_{s(1)}\otimes \cdots \otimes x_{s(n)}}$

يُحدث تشاكلاً خطياً ذاتياً لـ${\displaystyle V^{\otimes n}\to V^{\otimes n}}$، وهو ما يُسمى خريطة التضفير. وهذا يُحدد تأثيرًا يمينيًا للمجموعة المتناظرة${\displaystyle S_{n}}$على${\displaystyle V^{\otimes n}}$.

بالنسبة للموترات من النوع (1، 1) توجد خريطة تقييم أساسية:$${\displaystyle V\otimes V^{*}\to K}$$ يُعرَّف من خلال تأثيره على الموترات النقية: $${\displaystyle v\otimes f\mapsto f(v).}$$

وبشكل أعم، بالنسبة للموترات من النوع ⁠${\displaystyle (r,s)}$، مع r و s > 0 ، هناك دالة تسمى انكماش الموتر : $${\displaystyle T_{s}^{r}(V)\to T_{s-1}^{r-1}(V).}$$ (نسخ من${\displaystyle V}$و${\displaystyle V^{*}}$يجب تحديد المنطقة التي سيتم تطبيق هذه الخريطة عليها.

من ناحية أخرى، إذا${\displaystyle V}$إذا كانت ذات أبعاد محدودة ، فهناك خريطة أساسية في الاتجاه الآخر (تسمى خريطة التقييم المشترك ): $${\displaystyle {\begin{cases}K\to V\otimes V^{*}\\\lambda \mapsto \sum _{i}\lambda v_{i}\otimes v_{i}^{*}\end{cases}}}$$ أين${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}}$أي أساس لـ${\displaystyle V}$، و${\displaystyle v_{i}^{*}}$وهي أساسها الثنائي . لا تعتمد هذه الخريطة على اختيار الأساس. ^{[ 7 ]}

يمكن استخدام التفاعل بين التقييم والتقييم المشترك لتوصيف فضاءات المتجهات ذات الأبعاد المحدودة دون الرجوع إلى القواعد. ^{[ 8 ]}

حاصل الضرب الموتري${\displaystyle T_{s}^{r}(V)}$يمكن اعتبارها بشكل طبيعي وحدة نمطية لجبر لي${\displaystyle \mathrm {End} (V)}$عن طريق الفعل القطري: ولتبسيط الأمر، دعونا نفترض${\displaystyle r=s=1}$إذن ، لكل${\displaystyle u\in \mathrm {End} (V)}$،​ $${\displaystyle u(a\otimes b)=u(a)\otimes b-a\otimes u^{*}(b),}$$ أين${\displaystyle u^{*}\in \mathrm {End} \left(V^{*}\right)}$هي منقولة u ، أي بدلالة الاقتران الواضح على${\displaystyle V\otimes V^{*}}$،​ $${\displaystyle \langle u(a),b\rangle =\langle a,u^{*}(b)\rangle .}$$

يوجد تماثل قانوني${\displaystyle T_{1}^{1}(V)\to \mathrm {End} (V)}$مقدم من: $${\displaystyle (a\otimes b)(x)=\langle x,b\rangle a.}$$

في ظل هذا التشاكل، كل u في${\displaystyle \mathrm {End} (V)}$يمكن النظر إليها في البداية على أنها شكل داخلي لـ${\displaystyle T_{1}^{1}(V)}$ثم يُنظر إليه على أنه تشاكل داخلي لـ${\displaystyle \mathrm {End} (V)}$في الواقع ، هو التمثيل المرافق ad( u ) لـ${\displaystyle \mathrm {End} (V)}$⁠ .

ليكن A وحدة نمطية يمينية على R و B وحدة نمطية يسارية على R. عندئذٍ يكون حاصل الضرب الموتري لـ A و B زمرة تبديلية معرفة كما يلي: $${\displaystyle A\otimes _{R}B:=F(A\times B)/G}$$ أين${\displaystyle F(A\times B)}$هي مجموعة أبيلية حرة${\displaystyle A\times B}$و G هي المجموعة الفرعية من${\displaystyle F(A\times B)}$تم توليدها بواسطة العلاقات: $${\displaystyle {\begin{aligned}&\forall a,a_{1},a_{2}\in A,\forall b,b_{1},b_{2}\in B,{\text{ for all }}r\in R:\\&(a_{1},b)+(a_{2},b)-(a_{1}+a_{2},b),\\&(a,b_{1})+(a,b_{2})-(a,b_{1}+b_{2}),\\&(ar,b)-(a,rb).\\\end{aligned}}}$$

يمكن صياغة الخاصية الشاملة على النحو التالي. ليكن G زمرة تبديلية مع تطبيق${\displaystyle q:A\times B\to G}$أي ثنائي الخطية، بمعنى أن: $${\displaystyle {\begin{aligned}q(a_{1}+a_{2},b)&=q(a_{1},b)+q(a_{2},b),\\q(a,b_{1}+b_{2})&=q(a,b_{1})+q(a,b_{2}),\\q(ar,b)&=q(a,rb).\end{aligned}}}$$

ثم هناك خريطة فريدة${\displaystyle {\overline {q}}:A\otimes B\to G}$بحيث${\displaystyle {\overline {q}}(a\otimes b)=q(a,b)}$للجميع${\displaystyle a\in A}$و​${\displaystyle b\in B}$⁠ .

علاوة على ذلك، يمكننا أن نقدم${\displaystyle A\otimes _{R}B}$بنية الوحدة النمطية في ظل بعض الشروط الإضافية:

1. إذا كانت A وحدة ثنائية ( S , R )، فإن${\displaystyle A\otimes _{R}B}$هو وحدة S يسارية ، حيث${\displaystyle s(a\otimes b):=(sa)\otimes b}$⁠ .
2. إذا كانت B وحدة ثنائية ( R ، S )، فإن${\displaystyle A\otimes _{R}B}$هو وحدة نمطية يمينية S ، حيث${\displaystyle (a\otimes b)s:=a\otimes (bs)}$⁠ .
3. إذا كانت A وحدة ثنائية ( S , R ) و B وحدة ثنائية ( R , T )، فإن${\displaystyle A\otimes _{R}B}$هو عبارة عن ( S ، T )-وحدة ثنائية، حيث يتم تعريف الإجراءات اليسرى واليمنى بنفس طريقة المثالين السابقين.
4. إذا كانت R حلقة تبديلية، فإن A و B عبارة عن وحدات ثنائية ( R , R ) حيث${\displaystyle ra:=ar}$و​${\displaystyle br:=rb}$بناءً على النقطة 3)، يمكننا أن نستنتج${\displaystyle A\otimes _{R}B}$هو وحدة ثنائية ( R ، R ).

بالنسبة للفضاءات المتجهة، فإن حاصل الضرب الموتري${\displaystyle V\otimes W}$يتم حسابها بسرعة لأن أساسات V من W تحدد على الفور أساسًا لـ${\displaystyle V\otimes W}$كما ذُكر سابقًا، بالنسبة للوحدات النمطية على حلقة عامة (تبديلية)، ليست كل وحدة نمطية حرة. على سبيل المثال، Z / n Z ليست زمرة تبديلية حرة ( وحدة نمطية Z ). يُعطى حاصل الضرب الموتري مع Z / n Z بالصيغة التالية:$${\displaystyle M\otimes _{\mathbf {Z} }\mathbf {Z} /n\mathbf {Z} =M/nM.}$$

وبشكل أعم، بالنظر إلى عرض لبعض الوحدات النمطية R ، أي عدد من المولدات${\displaystyle m_{i}\in M,i\in I}$بالإضافة إلى العلاقات: $${\displaystyle \sum _{j\in J}a_{ji}m_{i}=0,\qquad a_{ij}\in R,}$$ يمكن حساب حاصل الضرب الموتري على النحو التالي : $${\displaystyle M\otimes _{R}N=\operatorname {coker} \left(N^{J}\to N^{I}\right)}$$

هنا​${\displaystyle N^{J}=\oplus _{j\in J}N}$والخريطة​${\displaystyle N^{J}\to N^{I}}$يتم تحديد ذلك عن طريق إرسال بعض${\displaystyle n\in N}$في النسخة رقم j من${\displaystyle N^{J}}$ل${\displaystyle a_{ij}n}$(في ⁠${\displaystyle N^{I}}$) . ويمكن إعادة صياغة ذلك بشكل عامي بالقول إن عرض M يؤدي إلى عرض ⁠${\displaystyle M\otimes _{R}N}$يُشار إلى ذلك بالقول إن حاصل الضرب الموتري هو دالة تامة من اليمين . وهو ليس تامًا من اليسار بشكل عام، أي أنه بالنظر إلى تطبيق أحادي على وحدات R${\displaystyle M_{1}\to M_{2}}$، الضرب الموتري: $${\displaystyle M_{1}\otimes _{R}N\to M_{2}\otimes _{R}N}$$ لا تكون عادةً أحادية. على سبيل المثال، ضرب الدالة (الأحادية) المعطاة بالضرب في n ، أي n  : Z → Z ، في Z / n Z، ينتج عنه الدالة الصفرية 0  : Z / n Z → Z / n Z ، وهي ليست أحادية. تقيس دوال تور العليا عيب عدم بقاء حاصل الضرب الموتري دقيقًا. يتم تجميع جميع دوال تور العليا في حاصل الضرب الموتري المشتق .

تُعمم فضاءات هيلبرت فضاءات المتجهات ذات الأبعاد المحدودة إلى أبعاد عشوائية. توجد عملية مماثلة ، تُسمى أيضًا "الضرب الموتري"، تجعل فضاءات هيلبرت فئة أحادية متناظرة . وهي تُبنى أساسًا على أنها إكمال فضاء القياس للضرب الموتري الجبري المذكور أعلاه. مع ذلك، فهي لا تُحقق النظير الواضح للخاصية الشاملة التي تُعرّف الضرب الموتري؛ ^{[ 12 ]} إذ يجب حصر التشكلات الخاصة بتلك الخاصية في مؤثرات هيلبرت-شميدت . ^{[ 13 ]}

في الحالات التي يكون فيها فرض الضرب الداخلي غير مناسب، يمكن محاولة إكمال الضرب الموتر الجبري كضرب موتر طوبولوجي . ومع ذلك، فإن هذا البناء لم يعد محددًا بشكل فريد: ففي كثير من الحالات، توجد طوبولوجيات طبيعية متعددة على الضرب الموتر الجبري.

يمكن تحليل بعض الفضاءات المتجهة إلى مجاميع مباشرة من الفضاءات الجزئية. في مثل هذه الحالات، يمكن تحليل حاصل الضرب الموتري لفضاءين إلى مجاميع من حاصل ضرب الفضاءات الجزئية (قياساً على طريقة توزيع الضرب على الجمع).

تُسمى الفضاءات المتجهة المزودة ببنية ضربية إضافية بالجبر . ويتم وصف حاصل الضرب الموتري لهذه الجبر بواسطة قاعدة ليتلوود-ريتشاردسون .

إذا كان لدينا حقلان يمثلان امتدادًا جبريًا لحقل أساسي مشترك، فإن حاصل ضربهما الموتري على الحقل الأساسي يكون جبريًا أيضًا على الحقل الأساسي. تحديدًا، هو الامتداد الجبري الناتج عن حاصل ضرب مولدات الحقلين الأصليين. على سبيل المثال، حاصل الضرب الموتري على الأعداد النسبية لـ${\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {2}}]}$و${\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {3}}]}$يتم إنشاؤه بواسطة${\displaystyle 1\cdot 1=1}$،${\displaystyle 1\cdot {\sqrt {2}}={\sqrt {2}}}$،${\displaystyle 1\cdot {\sqrt {3}}={\sqrt {3}}}$، و${\displaystyle {\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {3}}={\sqrt {6}}}$ويمكن الإشارة إليه${\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {2}},{\sqrt {3}}]}$.

بفرض شكلين متعددي الخطية${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{k})}$و${\displaystyle g(x_{1},\dots ,x_{m})}$في فضاء متجهي${\displaystyle V}$في الملعب${\displaystyle K}$حاصل ضربهما الموتري هو الشكل متعدد الخطية: ^{[ 14 ]}$${\displaystyle (f\otimes g)(x_{1},\dots ,x_{k+m})=f(x_{1},\dots ,x_{k})g(x_{k+1},\dots ,x_{k+m}).}$$

هذه حالة خاصة من ضرب الموترات إذا نُظر إليها كدوال متعددة الخطية (انظر أيضًا الموترات كدوال متعددة الخطية ). وبالتالي، يمكن حساب مكونات ضرب الموترات للدوال متعددة الخطية باستخدام ضرب كرونكر .