نموذج تسعير الخيارات الثنائية

📅 آخر تحديث: ٢٩ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٩ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 27 صور
الموسوعة الحرة

في مجال التمويل ، يُعدّ نموذج تسعير الخيارات الثنائية طريقةً عدديةً قائمةً على الشبكة لتقييم الخيارات . يُمثّل هذا النموذج الأسعار المُحتملة للأداة الأساسية على شجرة ثنائية منفصلة الزمن ، ويُقيّم الخيار بالاستقراء العكسي . ولأن قرارات ممارسة الخيار يُمكن تقييمها عند كل عقدة على حدة، فإن هذه الطريقة تُعدّ مفيدةً بشكلٍ خاص للخيارات الأمريكية والبرمودية . [ 1 ] [ 2 ]

قدّم ويليام إف. شارب إجراءً لتسعير الخيارات الثنائية في طبعة عام 1978 من كتاب "الاستثمارات" . [ 3 ] ونشر جون كوكس وستيفن روس ومارك روبنشتاين صيغةً شائعة الاستخدام في عام 1979، كما نشر ريتشارد ريندلمان الابن وبريت بارتر صيغةً ثنائية الحالة منفصلة في العام نفسه. [ 1 ] [ 2 ]

للاطلاع على الأشجار ذات الحدين المطبقة على الدخل الثابت ومشتقات أسعار الفائدة ، انظر نموذج الشبكة (التمويل) §  مشتقات أسعار الفائدة .

استخدام النموذج

يُستخدم نموذج تسعير الخيارات الثنائية على نطاق واسع لقدرته على التعامل مع ظروف متنوعة يصعب تطبيق نماذج أخرى عليها. ويعود ذلك أساسًا إلى أن هذا النموذج يعتمد على وصف الأصل الأساسي على مدى فترة زمنية، وليس على نقطة زمنية واحدة. ونتيجة لذلك، يُستخدم لتقييم الخيارات الأمريكية القابلة للتنفيذ في أي وقت خلال فترة زمنية محددة، وكذلك الخيارات البرمودية القابلة للتنفيذ في أوقات محددة. وبفضل بساطته النسبية، يُمكن تطبيق هذا النموذج بسهولة في برامج الحاسوب (بما في ذلك جداول البيانات ).

على الرغم من أن نموذج ذي الحدين أكثر تعقيدًا حسابيًا وأبطأ من صيغة بلاك-شولز ، إلا أنه أكثر دقة، لا سيما بالنسبة لخيارات الأوراق المالية طويلة الأجل التي تتضمن توزيعات أرباح . لهذه الأسباب، يستخدم الممارسون في أسواق الخيارات نسخًا مختلفة من نموذج ذي الحدين على نطاق واسع.

بالنسبة للخيارات التي تنطوي على مصادر متعددة للشك (مثل الخيارات الحقيقية ) والخيارات ذات الخصائص المعقدة (مثل الخيارات الآسيوية )، قد تكون الطرق ذات الحدين أقل عملية نظرًا لعدة صعوبات، ولذا تُستخدم نماذج مونت كارلو للخيارات بشكل شائع. كما أن محاكاة مونت كارلو أقل عرضة لأخطاء المعاينة، لأن تقنيات ذات الحدين تستخدم وحدات زمنية منفصلة. ويزداد هذا الأمر وضوحًا كلما صغرت هذه الوحدات.

في شجرة ذات حدين غير مُعاد تجميعها، حيث لا تندمج المسارات المتحركة في اتجاهين متعاكسين، مما ينتج عنه عقد فريدة لكل تسلسل من تغيرات الأسعار، يكون زمن تشغيل خوارزمية BOPM في أسوأ الحالات O(2^ n ) ، حيث n هو عدد الخطوات الزمنية في المحاكاة. تتميز محاكاة مونت كارلو عمومًا بتعقيد زمني متعدد الحدود ، وتكون أسرع عند عدد كبير من خطوات المحاكاة، بينما عند محاكاة عدد قليل من الخطوات الزمنية، تكون محاكاة مونت كارلو أكثر كثافة حسابية من خوارزمية BOPM (انظر طرق مونت كارلو في التمويل ). مع ذلك، في شجرة مُعاد تجميعها قياسية، تصل حركة هبوط متبوعة بحركة صعود إلى نفس العقدة التي تصل إليها حركة صعود متبوعة بحركة هبوط. لذلك، فإن شجرة ذات N خطوة لها(شمال+1)(شمال+2)/2{\displaystyle (N+1)(N+2)/2}[ 4 ] تتميز العقد المنفصلة بتعقيد حسابي تربيعي بدلاً من التعقيد الأسي.

طريقة

شبكة ذات الحدين مع صيغ CRR
شبكة ذات الحدين مع صيغ CRR

الكود غير صحيح، تم استبدال قيمة p[i] المستخدمة في حساب p[i-1]، لذا يُرجى إضافة متجه مؤقت آخر لحفظها.

دالة americanPut(T, S, K, r, sigma, q, n) { وقت انتهاء الصلاحية سعر سهم 'S... سعر التنفيذ... معدل الفائدة سيجما... تقلب سعر السهم عائد توزيعات الأرباح ارتفاع الشجرة ذات الحدين 'ن... deltaT := T / n; up := exp(sigma * sqrt(deltaT)); p0 := (up * exp(-q * deltaT) - exp(-r * deltaT)) / (up^2 - 1); p1 := exp(-r * deltaT) - p0; القيم الأولية عند الزمن T من أجل i := 0 إلى n { p[i] := K - S * up^(2*i - n+1); إذا كان p[i] < 0 فإن p[i] := 0؛ } ' الانتقال إلى أوقات سابقة لـ j := n-1 وصولاً إلى 0 { لـ i := 0 إلى j { ' قيمة ذات الحدين p[i] := p0 * p[i+1] + p1 * p[i]; قيمة التمرين التمرين := K - S * up^(2*i - j)؛ إذا كان p[i] < التمرين فإن p[i] := التمرين؛ } } أعد القيمة الأصلية لـ `p` في المتغير `americanPut`. }

يتتبع نموذج التسعير الثنائي تطور المتغيرات الأساسية الرئيسية للخيار في الزمن المتقطع. ويتم ذلك باستخدام شبكة ثنائية (شجرة)، لعدد من الخطوات الزمنية بين تاريخي التقييم والانتهاء. تمثل كل عقدة في الشبكة سعرًا محتملاً للأصل الأساسي عند نقطة زمنية معينة.

تُجرى عملية التقييم بشكل تكراري، بدءًا من كل عقدة من العقد النهائية (التي يمكن الوصول إليها عند تاريخ انتهاء الصلاحية)، ثم العمل عكسيًا عبر الشجرة وصولًا إلى العقدة الأولى (تاريخ التقييم). القيمة المحسوبة في كل مرحلة هي قيمة الخيار في تلك اللحظة.

إن تقييم الخيارات باستخدام هذه الطريقة، كما هو موضح، عملية من ثلاث خطوات:

  1. توليد شجرة الأسعار،
  2. حساب قيمة الخيار عند كل عقدة نهائية،
  3. حساب قيمة الخيار بشكل متسلسل عند كل عقدة سابقة.

الخطوة 1: إنشاء شجرة الأسعار ذات الحدين

يتم إنتاج شجرة الأسعار من خلال العمل من تاريخ التقييم إلى تاريخ انتهاء الصلاحية.

في كل خطوة، يُفترض أن الأداة الأساسية ستتحرك صعودًا أو هبوطًا بمعامل محدد (u{\displaystyle u}أود{\displaystyle d}) لكل خطوة من خطوات الشجرة (حيث، بحسب التعريف،u≥1{\displaystyle u\geq 1}و0<د≤1{\displaystyle 0<d\leq 1}لذا، إذاS{\displaystyle S}إذا كان السعر الحالي هو السعر الحالي، فسيكون السعر في الفترة التالية إماSuص=S⋅u{\displaystyle S_{up}=S\cdot u}أوSدowن=S⋅د{\displaystyle S_{down}=S\cdot d}.

يتم حساب عوامل الصعود والهبوط باستخدام التقلب الأساسي (الثابت) .σ{\displaystyle \sigma }، والمدة الزمنية للخطوة،ت{\displaystyle t}، مقاسة بالسنوات (باستخدام اصطلاح حساب الأيام للأداة الأساسية). من شرط أن يكون تباين لوغاريتم السعرσ2ت{\displaystyle \sigma ^{2}t}لدينا:

u=هـσΔت{\displaystyle u=e^{\sigma {\sqrt {\Delta t}}}}
د=هـ-σΔت=1u.{\displaystyle d=e^{-\sigma {\sqrt {\Delta t}}}={\frac {1}{u}}.}

أعلاه طريقة كوكس، روس، وروبنشتاين (CRR) الأصلية؛ وهناك تقنيات أخرى متنوعة لتوليد الشبكة، مثل شجرة "الاحتمالات المتساوية". [ 5 ] [ 6 ]

تضمن طريقة CRR أن تكون الشجرة قابلة لإعادة التركيب، أي إذا ارتفع سعر الأصل الأساسي ثم انخفض (u,d)، فسيكون السعر هو نفسه كما لو انخفض ثم ارتفع (d,u) - حيث يندمج المساران أو يتحدان. تقلل هذه الخاصية عدد عقد الشجرة، وبالتالي تسرع حساب سعر الخيار.

تتيح هذه الخاصية أيضًا حساب قيمة الأصل الأساسي عند كل عقدة مباشرةً باستخدام صيغة رياضية، ولا تتطلب بناء الشجرة مسبقًا. ستكون قيمة العقدة كالتالي:

Sن=S0×uشمالu-شمالد،{\displaystyle S_{n}=S_{0}\times u^{N_{u}-N_{d}},}

أينشمالu{\displaystyle N_{u}}هو عدد علامات التزايد وشمالد{\displaystyle N_{d}}هو عدد علامات التناقص.

الخطوة الثانية: إيجاد قيمة الخيار عند كل عقدة نهائية

في كل عقدة نهائية من الشجرة - أي عند انتهاء صلاحية الخيار - تكون قيمة الخيار ببساطة هي قيمته الجوهرية ، أو قيمة التنفيذ:

Max [ ( S n − K ), 0 ] ، لخيار الشراء
Max [ ( K − S n ), 0 ] ، لخيار البيع ،

حيث K هو سعر التنفيذ وSن{\displaystyle S_{n}}هو السعر الفوري للأصل الأساسي في الفترة رقم n .

الخطوة 3: البحث عن قيمة الخيار في العقد السابقة

بمجرد اكتمال الخطوة المذكورة أعلاه، يتم العثور على قيمة الخيار لكل عقدة، بدءًا من الخطوة الزمنية قبل الأخيرة، والعمل للخلف إلى العقدة الأولى من الشجرة (تاريخ التقييم) حيث تكون النتيجة المحسوبة هي قيمة الخيار.

باختصار: يتم إيجاد "القيمة الثنائية" عند كل عقدة، باستخدام فرضية الحياد تجاه المخاطر ؛ انظر تقييم الحياد تجاه المخاطر . إذا كان مسموحًا بممارسة الخيار عند العقدة، فإن النموذج يأخذ القيمة الأكبر بين القيمة الثنائية وقيمة ممارسة الخيار عند تلك العقدة.

الخطوات كالتالي:

  1. بافتراض حياد المخاطر، فإن السعر العادل الحالي للمشتقات المالية يساوي القيمة المتوقعة لعائدها المستقبلي بعد خصمها بمعدل العائد الخالي من المخاطر . ولذلك، تُحسب القيمة المتوقعة باستخدام قيم الخيارات من العقدتين الأخيرتين ( خيار الصعود وخيار الهبوط ) مُرجّحة باحتمالاتها الثابتة - احتمال p لارتفاع الأصل الأساسي، واحتمال (1-p) لانخفاضه. ثم تُخصم القيمة المتوقعة بمعدل r ، وهو معدل العائد الخالي من المخاطر الموافق لفترة صلاحية الخيار.
    يتم تطبيق الصيغة التالية لحساب القيمة المتوقعة عند كل عقدة:
     القيمة ذات الحدين =[ص× الخيار للأعلى +(1-ص)× [الخيار لأسفل] ×خبرة⁡(-ر×Δت){\displaystyle {\text{ Binomial Value }}=[p\times {\text{ Option up }}+(1-p)\times {\text{ Option down] }}\times \exp(-r\times \Delta t)}، أو
    جت-Δت،أنا=هـ-رΔت(صجت،أنا+(1-ص)جت،أنا+1){\displaystyle C_{t-\Delta t,i}=e^{-r\Delta t}(pC_{t,i}+(1-p)C_{t,i+1})\,}
    أين
    جت،أنا{\displaystyle C_{t,i}\,}تمثل قيمة الخيار لـأناتح{\displaystyle i^{th}\,}العقدة عند الزمن t ،
    ص=هـ(ر-q)Δت-دu-د{\displaystyle p={\frac {e^{(r-q)\Delta t}-d}{u-d}}}يتم اختيارها بحيث يحاكي التوزيع ذو الحدين المرتبط به الحركة البراونية الهندسية للسهم الأساسي بمعاملات r و σ ،
    يمثل q عائد توزيعات الأرباح للأصل الأساسي المقابل لفترة صلاحية الخيار. وبناءً على ذلك، في عالم محايد للمخاطر، يجب أن يكون معدل النمو المتوقع لسعر العقود الآجلة صفرًا، وبالتالي يمكننا اعتبارq=ر{\displaystyle q=r}للعقود الآجلة.
    لاحظ أنه لكي تكون قيمة p ضمن الفترة(0،1){\displaystyle (0,1)}الشرط التالي علىΔت{\displaystyle \Delta t}يجب استيفاءΔت<σ2(ر-q)2{\displaystyle \Delta t<{\frac {\sigma ^{2}}{(r-q)^{2}}}}.
    (لاحظ أن أسلوب التقييم البديل، وهو التسعير الخالي من المراجحة ، يعطي نتائج متطابقة؛ انظر " التحوط دلتا ").
  2. تُعرف هذه النتيجة بـ "القيمة الثنائية". وهي تمثل السعر العادل للمشتق عند نقطة زمنية محددة (أي عند كل عقدة)، بالنظر إلى تطور سعر الأصل الأساسي حتى تلك النقطة. وهي قيمة الخيار في حال الاحتفاظ به - بدلاً من ممارسته في تلك النقطة.
  3. اعتمادًا على نمط الخيار، قم بتقييم إمكانية الممارسة المبكرة عند كل عقدة: إذا (1) كان من الممكن ممارسة الخيار، و(2) تجاوزت قيمة الممارسة القيمة ذات الحدين، فإن (3) القيمة عند العقدة هي قيمة الممارسة.
    • بالنسبة للخيار الأوروبي ، لا يوجد خيار للممارسة المبكرة، وتنطبق قيمة ذات الحدين عند جميع العقد.
    • بالنسبة للخيار الأمريكي ، بما أن الخيار قد يتم الاحتفاظ به أو ممارسته قبل تاريخ انتهاء الصلاحية، فإن القيمة عند كل عقدة هي: الحد الأقصى (القيمة ذات الحدين، قيمة الممارسة).
    • بالنسبة لخيار برمودا ، تكون القيمة عند العقد التي يُسمح فيها بالممارسة المبكرة هي: الحد الأقصى (القيمة ذات الحدين، قيمة الممارسة)؛ عند العقد التي لا يُسمح فيها بالممارسة المبكرة، تنطبق القيمة ذات الحدين فقط.

عند حساب القيمة في الخطوة الزمنية التالية - أي خطوة أقرب إلى التقييم - يجب أن يستخدم النموذج القيمة المختارة هنا، لـ "خيار صاعد" أو "خيار هابط" حسب الاقتضاء، في الصيغة عند العقدة. توضح الخوارزمية الجانبية طريقة حساب سعر خيار البيع الأمريكي، مع إمكانية تعميمها بسهولة على خيارات الشراء والخيارات الأوروبية والبرمودية. بالنسبة للخيارات الأوروبية تحديدًا، فقد ثبت أن نموذج التقييم العام ذي الشبكة الثنائية لا يمكن تمثيله بصيغة مغلقة واحدة تعتمد على التوزيع الهندسي الفائق. [ 7 ]

العلاقة مع بلاك-شولز

تستند كل من نموذج ذي الحدين ونموذج بلاك-شولز-ميرتون إلى افتراضات متشابهة . في ظل مواصفات كوكس-روس-روبنشتاين مع ثبات سعر الفائدة وعائد الأرباح والتقلب، تُعد شجرة ذي الحدين تقريبًا زمنيًا منفصلاً للحركة البراونية الهندسية المستخدمة في نموذج بلاك-شولز-ميرتون . يفترض نموذج ذي الحدين أن تحركات السعر تتبع توزيعًا ذا حدين ؛ ومع ازدياد عدد الخطوات الزمنية، يقترب توزيع لوغاريتم السعر الأساسي من التوزيع الطبيعي، ويقترب السعر الأساسي من التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي . ونتيجة لذلك، تتقارب قيمة الخيار الأوروبي المحسوبة باستخدام نموذج ذي الحدين مع قيمتها في نموذج بلاك-شولز-ميرتون. [ 5 ] [ 6 ]

لا يشترط أن يكون التقارب رتيبًا: يمكن أن تتذبذب الأسعار المحسوبة مع تغير عدد الخطوات الزمنية، وتعتمد سرعة التقارب على مواصفات الشجرة المختارة والتنفيذ. [ 5 ]

عند النظر إليها كإجراء عددي، يمكن أيضًا تفسير طريقة CRR على أنها حالة خاصة من طريقة الفروق المحدودة الصريحة لمعادلة بلاك-شولز التفاضلية الجزئية ؛ انظر طرق الفروق المحدودة لتسعير الخيارات . [ 8 ]

انظر أيضاً

مراجع

  1. 1 2 كوكس، جون سي .؛ روس، ستيفن أ .؛ روبنشتاين، مارك (1979). "تسعير الخيارات: منهج مبسط". مجلة الاقتصاد المالي . 7 (3): 229-263 . doi : 10.1016/0304-405X(79)90015-1 .
  2. 1 2 ريندلمان، ريتشارد جيه. الابن؛ بارتر، بريت جيه. (ديسمبر 1979). "تسعير الخيارات ثنائية الحالة". مجلة التمويل . 34 (5): 1093-1110 . doi : 10.1111/j.1540-6261.1979.tb00058.x . JSTOR 2327237 . 
  3. ↑ شارب، ويليام ف. "سيرة ذاتية" . NobelPrize.org . قسم التواصل مع جائزة نوبل . تم الاطلاع عليه بتاريخ 24 يوليو 2026 .
  4. ^ جربيسيوتيس ، ألكسندروس ف. (2004). “تقييمات أسعار خيارات شجرة ذات الحدين المستقلة ذات الحدين”. الحوسبة المتوازية . 30 (2): 301-316 . دوى : 10.1016/j.parco.2003.09.003 .
  5. 1 2 3 جوشي، مارك س. (2009). "تقارب الأشجار ذات الحدين لتسعير خيار البيع الأمريكي". مجلة المخاطر . 11 (4): 87-108 . doi : 10.21314/JOR.2009.197 .
  6. 1 2 تشانس، دون م. (2008). "توليف نماذج تسعير الخيارات ذات الحدين للأصول الموزعة توزيعًا لوغاريتميًا طبيعيًا". مجلة التمويل التطبيقي . 18 (1): 38-56 . SSRN 969834 . 
  7. ↑ جورجياديس، إيفانجيلوس (2011). "لا يوجد حل مغلق لتسعير الخيارات ذات الحدين". التمويل الخوارزمي . 1 (1). دار نشر IOS: 11-18 . doi : 10.3233/AF-2011-003 .
  8. ↑ روبنشتاين، مارك (2000). "حول العلاقة بين نماذج تسعير الخيارات ذات الحدين والثلاثية". مجلة المشتقات . 8 (2): 47-50 . doi : 10.3905/jod.2000.319149 .