الاستقامة الخطية

في الهندسة ، تُعرف خاصية استقامة مجموعة من النقاط بأنها وقوعها على خط مستقيم واحد . ^{[ 1 ]} وتُسمى مجموعة النقاط التي تتمتع بهذه الخاصية بالنقاط المستوية (تُكتب أحيانًا colinear ^{[ 2 ]} ). وبشكل أعم، يُستخدم هذا المصطلح لوصف الأجسام المتراصفة، أي الأشياء التي تقع "على خط" أو "في صف".

نقاط على خط

في أي شكل هندسي، يُقال إن مجموعة النقاط الواقعة على خط مستقيم تقع على استقامة واحدة . في الهندسة الإقليدية، يُمكن تصور هذه العلاقة بشكل بديهي من خلال النقاط التي تقع في صف واحد على "خط مستقيم". مع ذلك، في معظم الأشكال الهندسية (بما في ذلك الإقليدية)، يُعتبر الخط عادةً نوعًا أوليًا (غير مُعرَّف) ، لذا فإن هذه التصورات لن تكون مناسبة بالضرورة. يُقدم نموذج الهندسة تفسيرًا لكيفية ارتباط النقاط والخطوط وأنواع الكائنات الأخرى ببعضها البعض، ويجب تفسير مفهوم مثل الاستقامة في سياق ذلك النموذج. على سبيل المثال، في الهندسة الكروية ، حيث تُمثل الخطوط في النموذج القياسي بدوائر عظمى للكرة، تقع مجموعات النقاط الواقعة على استقامة واحدة على نفس الدائرة العظمى. لا تقع هذه النقاط على "خط مستقيم" بالمعنى الإقليدي، ولا يُنظر إليها على أنها تقع في صف واحد .

يُطلق على عملية تحويل شكل هندسي إلى نفسه، بحيث تُحوّل الخطوط إلى خطوط، اسم " التحويل الخطي "؛ إذ تحافظ هذه العملية على خاصية الاستقامة. تُحوّل التحويلات الخطية (أو الدوال الخطية) للفضاءات المتجهة ، عند النظر إليها كتحويلات هندسية، الخطوط إلى خطوط؛ أي أنها تُحوّل مجموعات النقاط المستوية إلى مجموعات نقاط مستوية، وبالتالي فهي تحويلات خطية. في الهندسة الإسقاطية، تُسمى هذه التحويلات الخطية "التحويلات المتجانسة" ، وهي نوع واحد فقط من التحويلات الخطية.

أمثلة في الهندسة الإقليدية

المثلثات

في أي مثلث، تكون مجموعات النقاط التالية على استقامة واحدة:

تقع جميع النقاط التالية على خط مستقيم واحد : مركز التعامد ، ومركز الدائرة المحيطة ، ومركز الثقل ، ونقطة إكستر ، ونقطة دي لونغشامب ، ومركز دائرة النقاط التسع .
كما أن نقطة دي لونغشامب لها خطوط استقامة أخرى .
أي رأس، وتماس الضلع المقابل مع دائرة خارجية ، ونقطة ناجل تقع على خط مستقيم يسمى فاصل المثلث.
تقع نقطة منتصف أي ضلع، والنقطة التي تبعد عنه مسافة متساوية على طول حدود المثلث في أي اتجاه (بحيث تنصف هاتان النقطتان المحيط )، ومركز دائرة سبيكر، على استقامة واحدة في خط يُسمى قاطع المثلث. ( دائرة سبيكر هي الدائرة الداخلية للمثلث المتوسط ، ومركزها هو مركز كتلة محيط المثلث ).
أي رأس، وتماس الجانب المقابل مع الدائرة الداخلية، ونقطة جيرجون تقع على خط مستقيم واحد.
من أي نقطة على الدائرة المحيطة بالمثلث، تكون أقرب النقاط على كل من الأضلاع الثلاثة الممتدة للمثلث على خط سيمسون للنقطة الموجودة على الدائرة المحيطة.
تتقاطع الخطوط الواصلة بين سفوح المرتفعات مع الجوانب المقابلة عند نقاط تقع على استقامة واحدة. ^{[ 3 ]}^{: ص 199}
مركز الدائرة الداخلية للمثلث ، ومنتصف ارتفاعه ، ونقطة تماس الضلع المقابل مع الدائرة الخارجية بالنسبة لذلك الضلع، تقع جميعها على استقامة واحدة. ^{[ 4 ]}^{: ص 120، رقم 78}
تنص نظرية مينلاوس على أن ثلاث نقاط $P_{1},P_{2},P_{3}$ على جوانب (بعضها ممتد ) مثلث مقابل رؤوسه $A_{1},A_{2},A_{3}$ تكون القطع المستقيمة على استقامة واحدة إذا وفقط إذا كانت نواتج أطوال القطع المستقيمة التالية متساوية: ^{[ 3 ]}^{: ص 147}

P_{1}A_{2}\cdot P_{2}A_{3}\cdot P_{3}A_{1}=P_{1}A_{3}\cdot P_{2}A_{1}\cdot P_{3}A_{2}.

المركز الداخلي، والمركز الهندسي، ومركز دائرة سبيكر تقع على خط مستقيم واحد.
مركز الدائرة المحيطة، ونقطة بروكارد الوسطى ، ونقطة ليموين للمثلث تقع على خط مستقيم واحد. ^{[ 5 ]}
يتقاطع خطان متعامدان عند مركز تعامد المثلث، ويتقاطع كل منهما مع أحد أضلاع المثلث الممتدة . تقع منتصفات الأضلاع الثلاثة لهذه النقاط المتقاطعة على خط دروز-فارني .

الأشكال الرباعية

في الشكل الرباعي المحدب $ABCD$ الذي تتقاطع أضلاعه المتقابلة عند النقطتين $E$ و $F$ ، تقع منتصفات الأضلاع AC $و BD و EF على$ استقامة واحدة، ويُسمى الخط المار بها خط نيوتن . وإذا كان الشكل الرباعي مماساً ، فإن مركزه الداخلي يقع أيضاً على هذا الخط. ^{[ 6 ]}
في الشكل الرباعي المحدب، يكون كل من شبه مركز التعامد $H$ ، و"مركز المساحة" $G$ ، وشبه مركز الدائرة $O$ على استقامة واحدة بهذا الترتيب، ويكون $HG = 2 GO$ . ^{[ 7 ]} (انظر الشكل الرباعي#النقاط والخطوط المميزة في الشكل الرباعي المحدب ).

يتم تقديم نقاط التوازي الأخرى للرباعي المماسي في قسم "الرباعي المماسي#النقاط المتوازية" .
في الشكل الرباعي الدائري ، يكون مركز الدائرة المحيطة ، ومركز الرأس (تقاطع ثنائيي الوسط)، ومركز الجسم المضاد على استقامة واحدة. ^{[ 8 ]}
في الشكل الرباعي الدائري، يكون مركز المساحة ومركز الرأس وتقاطع الأقطار على استقامة واحدة. ^{[ 9 ]}
في شبه المنحرف المماسي ، تكون التماسات الدائرة الداخلية مع القاعدتين على خط مستقيم واحد مع المركز الداخلي.
في شبه المنحرف المماسي، تكون نقاط منتصف الساقين على خط مستقيم واحد مع المركز الداخلي.

سداسيات

تنص نظرية باسكال (المعروفة أيضًا بنظرية هيكساغراموم ميستيكوم) على أنه إذا تم اختيار ست نقاط عشوائية على قطع مخروطي (أي قطع ناقص أو مكافئ أو زائد ) ووصلت بقطع مستقيمة بأي ترتيب لتشكيل شكل سداسي ، فإن أزواج الأضلاع المتقابلة الثلاثة للشكل السداسي (ممتدة إذا لزم الأمر) تلتقي في ثلاث نقاط تقع على خط مستقيم، يُسمى خط باسكال للشكل السداسي. وينطبق العكس أيضًا: تنص نظرية برايكنريدج-ماكلورين على أنه إذا كانت نقاط تقاطع أزواج الخطوط الثلاثة المارة بأضلاع متقابلة لشكل سداسي تقع على خط مستقيم، فإن رؤوس الشكل السداسي الستة تقع على قطع مخروطي، والذي قد يكون منحلًا كما في نظرية بابوس للشكل السداسي .

القطوع المخروطية

بحسب نظرية مونج ، بالنسبة لأي ثلاث دوائر في مستوى واحد، لا تقع أي منها بالكامل داخل الأخرى، فإن نقاط التقاطع الثلاث لأزواج الخطوط الثلاثة، كل منها مماس خارجي لاثنين من الدوائر، تكون على استقامة واحدة.
في القطع الناقص ، يكون المركز والبؤرتان والرأسين ذوي أصغر نصف قطر انحناء على استقامة واحدة، ويكون المركز والرأسين ذوي أكبر نصف قطر انحناء على استقامة واحدة .
في القطع الزائد ، يكون المركز والبؤرتان والرأسان على استقامة واحدة.

مخاريط

يقع مركز كتلة الجسم المخروطي ذي الكثافة المنتظمة على بعد ربع المسافة من مركز القاعدة إلى الرأس، على الخط المستقيم الذي يربط بينهما.

رباعيات الأوجه

مركز ثقل رباعي الأوجه هو نقطة المنتصف بين نقطة مونج ومركز الدائرة المحيطة به . تُحدد هاتان النقطتان خط أويلر لرباعي الأوجه، وهو مماثل لخط أويلر للمثلث. كما يقع مركز الكرة ذات النقاط الاثنتي عشرة لرباعي الأوجه على خط أويلر.

الجبر

استقامة النقاط التي إحداثياتها معطاة

في الهندسة الإحداثية ، في فضاء ذي أبعاد $n$ ، تكون مجموعة من ثلاث نقاط متميزة أو أكثر على استقامة واحدة إذا وفقط إذا كانت مصفوفة إحداثيات هذه المتجهات من الرتبة 1 أو أقل. على سبيل المثال، إذا كانت لدينا ثلاث نقاط

{\begin{aligned}X&=(x_{1},\ x_{2},\ \dots ,\ x_{n}),\\Y&=(y_{1},\ y_{2},\ \dots ,\ y_{n}),\\Z&=(z_{1},\ z_{2},\ \dots ,\ z_{n}),\end{aligned}}

إذا كانت المصفوفة

{\begin{bmatrix}x_{1}&x_{2}&\dots &x_{n}\\y_{1}&y_{2}&\dots &y_{n}\\z_{1}&z_{2}&\dots &z_{n}\end{bmatrix}}

إذا كانت الرتبة 1 أو أقل، فإن النقاط تكون على خط مستقيم واحد.

بصورة مكافئة، لكل مجموعة جزئية من $X و Y و Z$ ، إذا كانت المصفوفة

{\begin{bmatrix}1&x_{1}&x_{2}&\dots &x_{n}\\1&y_{1}&y_{2}&\dots &y_{n}\\1&z_{1}&z_{2}&\dots &z_{n}\end{bmatrix}}

إذا كانت رتبة المصفوفة 2 أو أقل، فإن النقاط تقع على استقامة واحدة. على وجه الخصوص، بالنسبة لثلاث نقاط في المستوى ( $n = 2$ )، تكون المصفوفة المذكورة أعلاه مربعة، وتكون النقاط على استقامة واحدة إذا وفقط إذا كان محددها يساوي صفرًا؛ وبما أن هذا المحدد من الرتبة 3 × 3 يساوي ضعف مساحة المثلث الذي رؤوسه تلك النقاط الثلاث، فإن هذا يكافئ القول بأن النقاط الثلاث تقع على استقامة واحدة إذا وفقط إذا كانت مساحة المثلث الذي رؤوسه تلك النقاط تساوي صفرًا.

استقامة النقاط التي تُعطى المسافات بين أزواجها

تُسمى مجموعة من ثلاث نقاط متميزة على الأقل مستقيمة ، مما يعني أن جميع النقاط تقع على خط مستقيم واحد، إذا وفقط إذا كان، لكل ثلاث من تلك النقاط $A وB وC$ ، يكون المحدد التالي لمحدد كايلي-مينجر يساوي صفرًا (حيث $d (AB)$ تعني المسافة بين $A$ و $B$ ، إلخ):

\det {\begin{bmatrix}0&d(AB)^{2}&d(AC)^{2}&1\\d(AB)^{2}&0&d(BC)^{2}&1\\d(AC)^{2}&d(BC)^{2}&0&1\\1&1&1&0\end{bmatrix}}=0.

هذا المحدد، بحسب صيغة هيرون ، يساوي -16 ضعف مربع مساحة المثلث بأطوال أضلاعه $d (AB) و d (BC) و d (AC)$ ؛ لذا فإن التحقق مما إذا كان هذا المحدد يساوي صفرًا يعادل التحقق مما إذا كانت مساحة المثلث ذي الرؤوس $A و B و C$ تساوي صفرًا (أي أن الرؤوس تقع على خط مستقيم واحد).

وبصورة مكافئة، تكون مجموعة من ثلاث نقاط متميزة على الأقل متوازية إذا وفقط إذا، لكل ثلاث من تلك النقاط $A وB وC$ حيث يكون $d (AC)$ أكبر من أو يساوي كل من $d (AB)$ و $d (BC)$ ، فإن متباينة المثلث $d (AC) \leq d (AB) + d (BC)$ تتحقق بالمساواة.

نظرية الأعداد

العددان $m$ و $n$ ليسا أوليين فيما بينهما - أي أنهما يشتركان في عامل مشترك غير 1 - إذا وفقط إذا كان بالنسبة لمستطيل مرسوم على شبكة مربعة برؤوس عند $(0, 0)، (m, 0)، (m, n)، (0, n)$ ، توجد نقطة داخلية واحدة على الأقل تقع على خط مستقيم واحد مع $(0, 0)$ و $(m, n)$ .

التزامن (ثنائي المستوى)

في مختلف أشكال الهندسة المستوية، يُطلق على مفهوم تبادل أدوار "النقاط" و"الخطوط" مع الحفاظ على العلاقة بينهما اسم الازدواجية المستوية . فباستخدام الازدواجية المستوية، نحصل على مجموعة من الخطوط التي تلتقي جميعها في نقطة مشتركة، وذلك عند وجود مجموعة من النقاط على استقامة واحدة. تُسمى خاصية التقاء هذه الخطوط في نقطة مشتركة بالتلاقي ، وتُسمى هذه الخطوط خطوطًا متلاقية . وبالتالي، يُعد التلاقي المفهوم المزدوج المستوي للاستقامة.

رسم بياني للارتباط الخطي

بالنظر إلى هندسة جزئية $P$ ، حيث تحدد نقطتان خطًا واحدًا على الأكثر، فإن الرسم البياني للخطية لـ $P$ هو رسم بياني تكون رؤوسه هي نقاط $P$ ، حيث يكون رأسان متجاورين إذا وفقط إذا كانا يحددان خطًا في $P.$

الاستخدام في الإحصاء والاقتصاد القياسي

في الإحصاء ، يشير مصطلح الارتباط الخطي إلى وجود علاقة خطية بين متغيرين تفسيريين . يكون المتغيران مرتبطين خطيًا تمامًا إذا كانت هناك علاقة خطية دقيقة بينهما، وبالتالي $فإن$ معامل الارتباط بينهما يساوي 1 أو -1 $.$ أي أن $X1$ و $X2$ مرتبطان خطيًا تمامًا إذا وُجدت معلمات $\lambda _{0}$ و $\lambda _{1}$ بحيث يكون لدينا ، بالنسبة لجميع المشاهدات $i$

X_{2i}=\lambda _{0}+\lambda _{1}X_{1i}.

$وهذا$ يعني أنه إذا تم رسم الملاحظات المختلفة $(X1i ، X2i) في المستوى$ $(X1$ $،$ $X2$ $)$ $،$ $فإن$ هذه النقاط تكون متوازية بالمعنى المحدد سابقًا في $هذه$ $المقالة$ $.$

يشير مصطلح "الارتباط الخطي المتعدد التام" إلى حالة تكون فيها $k (حيث k \geq 2)$ من المتغيرات التفسيرية في نموذج الانحدار المتعدد مرتبطة خطيًا بشكل تام، وفقًا لـ

X_{ki}=\lambda _{0}+\lambda _{1}X_{1i}+\lambda _{2}X_{2i}+\dots +\lambda _{k-1}X_{(k-1),i}

بالنسبة لجميع المشاهدات $i$ . عمليًا، نادرًا ما نواجه مشكلة الارتباط الخطي المتعدد التام في مجموعة بيانات. في أغلب الأحيان، تظهر مشكلة الارتباط الخطي المتعدد عندما تكون هناك "علاقة خطية قوية" بين متغيرين مستقلين أو أكثر، مما يعني أن

X_{ki}=\lambda _{0}+\lambda _{1}X_{1i}+\lambda _{2}X_{2i}+\dots +\lambda _{k-1}X_{(k-1),i}+\varepsilon _{i}

حيث تباين $\varepsilon _{i}$ صغيرة نسبياً.

يتوسع مفهوم الارتباط الخطي الجانبي في هذا المنظور التقليدي، ويشير إلى الارتباط الخطي بين المتغيرات التفسيرية والمتغيرات المعيارية (أي المتغيرات المفسرة). ^{[ 10 ]}

الاستخدام في مجالات أخرى

مصفوفات الهوائيات

عمود هوائي مزود بأربعة مصفوفات اتجاهية متوازية.

في مجال الاتصالات ، فإن مصفوفة الهوائيات الخطية (أو المتوازية) هي عبارة عن مصفوفة من هوائيات ثنائية القطب مثبتة بطريقة تجعل العناصر المقابلة لكل هوائي متوازية ومتراصفة، أي أنها تقع على طول خط أو محور مشترك.

التصوير الفوتوغرافي

معادلات الاستقامة هي مجموعة من معادلتين، تُستخدم في التصوير المساحي والرؤية المجسمة الحاسوبية ، لربط الإحداثيات في مستوى الصورة ( المستشعر ) (في بُعدين) بإحداثيات الجسم (في ثلاثة أبعاد). في مجال التصوير الفوتوغرافي، تُشتق المعادلات من خلال النظر في الإسقاط المركزي لنقطة من الجسم عبر المركز البصري للكاميرا إلى الصورة في مستوى الصورة (المستشعر). النقاط الثلاث، نقطة الجسم، ونقطة الصورة، والمركز البصري، تكون دائمًا على استقامة واحدة. بعبارة أخرى ، تتقاطع جميع القطع المستقيمة الواصلة بين نقاط الجسم ونقاط صورها عند المركز البصري. ^{[ 11 ]}

انظر أيضاً

ملحوظات

↑ ينطبق المفهوم في أي هندسة Dembowski (1968 ، ص 26) ، ولكن غالبًا ما يتم تعريفه فقط ضمن مناقشة هندسة محددة Coxeter (1969 ، ص 178) ، Brannan، Esplen & Gray (1998 ، ص 106) .
↑ خطي (قاموس ميريام-ويبستر)
1 2 جونسون، روجر أ.، الهندسة الإقليدية المتقدمة ، دار نشر دوفر، 2007 (الأصل 1929).
↑ ألتشيلر كورت، ناثان . هندسة الكلية ، الطبعة الثانية. بارنز أند نوبل، 1952 [الطبعة الأولى 1925].
↑ سكوت، جيه إيه "بعض الأمثلة على استخدام الإحداثيات المساحية في هندسة المثلثات"، المجلة الرياضية 83، نوفمبر 1999، 472-477.
^ دوشان ديوكيتش، فلاديمير يانكوفيتش، إيفان ماتيتش، نيكولا بتروفيتش، خلاصة المنظمة البحرية الدولية ، سبرينغر، 2006، ص. 15.
↑ مياكيشيف، أليكسي (2006)، "حول خطين مميزين مرتبطين برباعي الأضلاع" (ملف PDF) ، منتدى الهندسة ، 6 : 289-295.
↑ هونسبرغر، روس (1995)، "4.2 الأشكال الرباعية الدورية" ، حلقات في الهندسة الإقليدية في القرنين التاسع عشر والعشرين ، المكتبة الرياضية الجديدة، المجلد 37، مطبعة جامعة كامبريدج، الصفحات 35-39 ، ISBN 978-0-88385-639-0
↑ برادلي، كريستوفر (2011)، ثلاثة مراكز ثقل تم إنشاؤها بواسطة شكل رباعي دائري (PDF)
↑ كوك، ن.؛ لين، ج. س. (2012). "التداخل الخطي الجانبي والنتائج المضللة في نمذجة المعادلات الهيكلية القائمة على التباين: توضيح وتوصيات" (ملف PDF) . مجلة جمعية نظم المعلومات . 13 (7): 546-580 . doi : 10.17705/1jais.00302 . S2CID 3677154 .
↑ من الطبيعي رياضياً الإشارة إلى هذه المعادلات على أنها معادلات التزامن ، لكن أدبيات التصوير المساحي لا تستخدم هذا المصطلح.

مراجع

برانان، ديفيد أ.؛ إسبلين، ماثيو ف.؛ غراي، جيريمي ج. (1998)، الهندسة ، مطبعة جامعة كامبريدج، رقم ISBN 0-521-59787-0
كوكسيتر، إتش إس إم (1969)، مقدمة في الهندسة ، نيويورك: جون وايلي وأولاده، رقم ISBN 0-471-50458-0
ديمبوفسكي ، بيتر (1968)، الهندسة المحدودة ، Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete ، المجلد. 44، برلين: سبرينغر، ISBN 3-540-61786-8، MR 0233275

[1] ينطبق المفهوم في أي هندسة Dembowski (1968 ، ص 26) ، ولكن غالبًا ما يتم تعريفه فقط ضمن مناقشة هندسة محددة Coxeter (1969 ، ص 178) ، Brannan، Esplen & Gray (1998 ، ص 106) .

[2] خطي (قاموس ميريام-ويبستر)

[Johnson-3] 1 2 جونسون، روجر أ.، الهندسة الإقليدية المتقدمة ، دار نشر دوفر، 2007 (الأصل 1929).

[AC-4] ألتشيلر كورت، ناثان . هندسة الكلية ، الطبعة الثانية. بارنز أند نوبل، 1952 [الطبعة الأولى 1925].

[5] سكوت، جيه إيه "بعض الأمثلة على استخدام الإحداثيات المساحية في هندسة المثلثات"، المجلة الرياضية 83، نوفمبر 1999، 472-477.

[6] دوشان ديوكيتش، فلاديمير يانكوفيتش، إيفان ماتيتش، نيكولا بتروفيتش، خلاصة المنظمة البحرية الدولية ، سبرينغر، 2006، ص. 15.

[Myakishev-7] مياكيشيف، أليكسي (2006)، "حول خطين مميزين مرتبطين برباعي الأضلاع" (ملف PDF) ، منتدى الهندسة ، 6 : 289-295.

[Honsberger-8] هونسبرغر، روس (1995)، "4.2 الأشكال الرباعية الدورية" ، حلقات في الهندسة الإقليدية في القرنين التاسع عشر والعشرين ، المكتبة الرياضية الجديدة، المجلد 37، مطبعة جامعة كامبريدج، الصفحات 35-39 ، ISBN 978-0-88385-639-0

[9] برادلي، كريستوفر (2011)، ثلاثة مراكز ثقل تم إنشاؤها بواسطة شكل رباعي دائري (PDF)

[10] كوك، ن.؛ لين، ج. س. (2012). "التداخل الخطي الجانبي والنتائج المضللة في نمذجة المعادلات الهيكلية القائمة على التباين: توضيح وتوصيات" (ملف PDF) . مجلة جمعية نظم المعلومات . 13 (7): 546-580 . doi : 10.17705/1jais.00302 . S2CID 3677154 .

[11] من الطبيعي رياضياً الإشارة إلى هذه المعادلات على أنها معادلات التزامن ، لكن أدبيات التصوير المساحي لا تستخدم هذا المصطلح.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗