نظام الإحداثيات

في الهندسة ، يُعرف نظام الإحداثيات بأنه نظام يستخدم عددًا واحدًا أو أكثر ، أو إحداثيات ، لتحديد وتوحيد مواقع النقاط أو العناصر الهندسية الأخرى على سطح متعدد الشعب ، مثل الفضاء الإقليدي . ^{[ 1 ] [ 2 ]} لا يمكن استبدال الإحداثيات ببعضها؛ وعادةً ما يتم تمييزها بموقعها في مجموعة مرتبة ، أو بتسمية، مثل " الإحداثي السيني ". تُعتبر الإحداثيات أعدادًا حقيقية في الرياضيات الأساسية ، ولكنها قد تكون أعدادًا مركبة أو عناصر من نظام أكثر تجريدًا، مثل الحلقة التبادلية . يتيح استخدام نظام الإحداثيات تحويل مسائل الهندسة إلى مسائل تتعلق بالأعداد والعكس صحيح ؛ وهذا هو أساس الهندسة التحليلية . ^{[ 3 ]}

تُستخدم أنظمة الإحداثيات غالبًا لتحديد موقع نقطة، ولكنها قد تُستخدم أيضًا لتحديد موقع أشكال أكثر تعقيدًا مثل الخطوط والمستويات والدوائر والكرات . على سبيل المثال، تُستخدم إحداثيات بلوكر لتحديد موقع خط في الفضاء. [ ^{11 ] عند} الحاجة، يُستخدم نوع الشكل المراد وصفه لتمييز نوع نظام الإحداثيات، فعلى سبيل المثال، يُستخدم مصطلح " إحداثيات الخط" لأي نظام إحداثيات يُحدد موقع خط.

قد يحدث أن تكون أنظمة الإحداثيات لمجموعتين مختلفتين من الأشكال الهندسية متكافئة من حيث تحليلها. ومن الأمثلة على ذلك أنظمة الإحداثيات المتجانسة للنقاط والخطوط في المستوى الإسقاطي. يُقال إن النظامين في مثل هذه الحالة ثنائيان . تتميز الأنظمة الثنائية بخاصية إمكانية نقل نتائج أحد النظامين إلى الآخر، لأن هذه النتائج ليست سوى تفسيرات مختلفة لنفس النتيجة التحليلية؛ وهذا ما يُعرف بمبدأ الثنائية . ^{[ 12 ]}

توجد عادةً أنظمة إحداثيات متعددة لوصف الأشكال الهندسية. وتُحدد العلاقة بين هذه الأنظمة بتحويلات الإحداثيات ، التي تُعطي صيغًا للإحداثيات في نظام ما بدلالة الإحداثيات في نظام آخر. على سبيل المثال، في المستوى، إذا كانت الإحداثيات الديكارتية ( x , y ) والإحداثيات القطبية ( r , θ ) تشتركان في نقطة الأصل نفسها، وكان المحور القطبي هو المحور x الموجب ، فإن تحويل الإحداثيات من القطبية إلى الديكارتية يُعطى بالمعادلتين: x = r cos θ و y = r sin θ .        

يمكن ربط كل تقابل من الفضاء إلى نفسه بتحويلين إحداثيين:

• بحيث تكون الإحداثيات الجديدة لصورة كل نقطة هي نفسها الإحداثيات القديمة للنقطة الأصلية (صيغ التعيين هي عكس صيغ تحويل الإحداثيات).
• بحيث تكون الإحداثيات القديمة لصورة كل نقطة هي نفسها الإحداثيات الجديدة للنقطة الأصلية (صيغ التعيين هي نفسها صيغ تحويل الإحداثيات).

على سبيل المثال، في البعد الواحد ، إذا كان التحويل عبارة عن إزاحة بمقدار 3 إلى اليمين، فإن التحويل الأول ينقل الأصل من 0 إلى 3، بحيث يصبح إحداثي كل نقطة أقل بمقدار 3، بينما يقوم التحويل الثاني بنقل الأصل من 0 إلى -3، بحيث يصبح إحداثي كل نقطة أكثر بمقدار 3.

في نظام إحداثيات، إذا تغير أحد إحداثيات نقطة ما مع ثبات باقي الإحداثيات، يُسمى المنحنى الناتج منحنى إحداثيات . وإذا كان منحنى الإحداثيات خطًا مستقيمًا ، يُسمى خط إحداثيات . أما نظام الإحداثيات الذي لا تكون بعض منحنياته خطوطًا مستقيمة، فيُسمى نظام إحداثيات منحني . ^{[ 13 ]} تُعد الإحداثيات المتعامدة حالة خاصة، ولكنها شائعة جدًا، من الإحداثيات المنحنية.

يُطلق على خط الإحداثيات الذي تساوي جميع إحداثياته ​​الثابتة الأخرى صفرًا اسم محور الإحداثيات ، وهو خط موجه يُستخدم لتعيين الإحداثيات. في نظام الإحداثيات الديكارتية ، جميع منحنيات الإحداثيات عبارة عن خطوط، وبالتالي، يوجد عدد من محاور الإحداثيات يساوي عدد الإحداثيات. علاوة على ذلك، فإن محاور الإحداثيات متعامدة مثنى مثنى .

نظام الإحداثيات القطبية هو نظام إحداثيات منحني، حيث تكون منحنيات الإحداثيات عبارة عن خطوط أو دوائر . مع ذلك، يُختزل أحد منحنيات الإحداثيات إلى نقطة واحدة، وهي نقطة الأصل، والتي تُعتبر غالبًا دائرة نصف قطرها صفر. وبالمثل، فإن أنظمة الإحداثيات الكروية والأسطوانية لها منحنيات إحداثيات تكون عبارة عن خطوط أو دوائر أو دوائر نصف قطرها صفر.

يمكن أن تظهر العديد من المنحنيات كمنحنيات إحداثية. على سبيل المثال، المنحنيات الإحداثية للإحداثيات المكافئة هي قطع مكافئ .

في الفضاء ثلاثي الأبعاد، إذا ثُبِّت أحد الإحداثيات وسُمح للإحداثيين الآخرين بالتغير، يُسمى السطح الناتج سطحًا إحداثيًا . على سبيل المثال، الأسطح الإحداثية الناتجة عن تثبيت ρ في نظام الإحداثيات الكروية هي الكرات التي مركزها نقطة الأصل. في الفضاء ثلاثي الأبعاد، يُسمى تقاطع سطحين إحداثيين منحنى إحداثيًا. في نظام الإحداثيات الديكارتية، يُمكننا الحديث عن مستويات إحداثية . وبالمثل، فإن الأسطح الفائقة الإحداثية هي فضاءات ذات ( n -1) بُعد ناتجة عن تثبيت إحداثي واحد في نظام إحداثيات ذي n بُعد. ^{[ 14 ]}

يُعدّ مفهوم خريطة الإحداثيات ، أو مخطط الإحداثيات، أساسيًا في نظرية المتشعبات. خريطة الإحداثيات هي في جوهرها نظام إحداثيات لمجموعة جزئية من فضاء مُعطى، بحيث يكون لكل نقطة فيها مجموعة إحداثيات واحدة فقط. بتعبير أدق، خريطة الإحداثيات هي تماثل شكلي من مجموعة جزئية مفتوحة من فضاء X إلى مجموعة جزئية مفتوحة من Rⁿ ^{. [ 15 ]} غالبًا ما يتعذر توفير نظام إحداثيات واحد متسق لفضاء كامل. في هذه الحالة، تُجمع مجموعة من خرائط الإحداثيات لتشكيل أطلس يغطي الفضاء. يُسمى الفضاء المُجهز بهذا الأطلس متشعبًا ، ويمكن تعريف بنية إضافية على المتشعب إذا كانت هذه البنية متسقة عند تداخل خرائط الإحداثيات. على سبيل المثال، المتشعب التفاضلي هو متشعب يكون فيه تغيير الإحداثيات من خريطة إحداثيات إلى أخرى دائمًا دالة قابلة للتفاضل.

في الهندسة وعلم الحركة ، تُستخدم أنظمة الإحداثيات لوصف الموضع (الخطي) للنقاط والموضع الزاوي للمحاور والمستويات والأجسام الصلبة . ^{[ 16 ]} في الحالة الأخيرة، يُحدد اتجاه نظام إحداثيات ثانٍ (يُشار إليه عادةً باسم "المحلي")، والمثبت على العقدة، بناءً على النظام الأول (يُشار إليه عادةً باسم "العالمي" أو "المركزي"). على سبيل المثال، يمكن تمثيل اتجاه جسم صلب بواسطة مصفوفة اتجاه ، تتضمن في أعمدتها الثلاثة الإحداثيات الديكارتية لثلاث نقاط. تُستخدم هذه النقاط لتحديد اتجاه محاور النظام المحلي؛ وهي رؤوس ثلاثة متجهات وحدة مُحاذية لتلك المحاور.

تُعدّ الأرض ككلّ واحدة من أكثر المساحات الهندسية شيوعًا التي تتطلب قياسًا دقيقًا للموقع، وبالتالي أنظمة إحداثيات. بدءًا من الإغريق في العصر الهلنستي ، تم تطوير مجموعة متنوعة من أنظمة الإحداثيات بناءً على الأنواع المذكورة أعلاه، بما في ذلك:

• نظام الإحداثيات الجغرافية ، الإحداثيات الكروية لخطوط العرض والطول
• أنظمة الإحداثيات المسقطة ، بما في ذلك آلاف أنظمة الإحداثيات الديكارتية ، كل منها يعتمد على إسقاط الخريطة لإنشاء سطح مستوٍ للعالم أو منطقة ما.
• نظام الإحداثيات الجيومركزية ، وهو نظام إحداثيات ديكارتية ثلاثي الأبعاد يقوم بنمذجة الأرض كجسم، ويستخدم بشكل شائع لنمذجة مدارات الأقمار الصناعية ، بما في ذلك نظام تحديد المواقع العالمي (GPS) وأنظمة الملاحة عبر الأقمار الصناعية الأخرى .

• أنظمة الإحداثيات السداسية