مضاعفة المكعب

مضاعفة المكعب ، والمعروفة أيضًا بمسألة ديليان ، هي مسألة هندسية قديمة ^{[ أ ] [ 1 ] : 9.} بمعلومية ضلع مكعب ، تتطلب المسألة إنشاء ضلع مكعب ثانٍ حجمه ضعف حجم المكعب الأول. وكما هو الحال مع المسائل المشابهة مثل تربيع الدائرة وتثليث الزاوية ، من المعروف الآن أنه من المستحيل مضاعفة المكعب باستخدام الفرجار والمسطرة فقط ، ولكن حتى في العصور القديمة كانت هناك حلول معروفة تستخدم طرقًا أخرى.

بحسب يوتوسيوس، كان أرخيتاس أول من حلّ مسألة مضاعفة المكعب، وذلك باستخدام بناء هندسي بارع. ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]} وقد أثبت بيير وانتزل في عام 1837 عدم وجود حل باستخدام الفرجار والمسطرة .

من الناحية الجبرية، تتطلب مضاعفة مكعب الوحدة إنشاء قطعة مستقيمة طولها x ، حيث x³ = 2 ؛ بعبارة أخرى ^، x =${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$، الجذر التكعيبي للعدد اثنين . وذلك لأن مكعبًا طول ضلعه 1 حجمه 1³ = 1 ^، ومكعبًا ضعف هذا الحجم (حجمه 2) طول ضلعه يساوي الجذر التكعيبي للعدد اثنين. وبالتالي، فإن استحالة مضاعفة حجم المكعب تعادل القول بأن${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$ليس عددًا قابلاً للإنشاء . هذا نتيجة لحقيقة أن إحداثيات نقطة جديدة يتم إنشاؤها باستخدام الفرجار والمسطرة هي جذور لكثيرات حدود على الحقل الناتج عن إحداثيات النقاط السابقة، من درجة لا تتجاوز الدرجة الثانية . هذا يعني أن درجة امتداد الحقل الناتج عن نقطة قابلة للإنشاء يجب أن تكون قوة للعدد 2. امتداد الحقل الناتج عن${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$ومع ذلك، فهو من الدرجة الثالثة.

نبدأ بقطعة مستقيمة طولها وحدة واحدة، مُعرَّفة بالنقطتين (0,0) و(1,0) في المستوى . المطلوب هو إنشاء قطعة مستقيمة مُعرَّفة بنقطتين تفصل بينهما مسافة مقدارها${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$من السهل إثبات أن إنشاءات الفرجار والمسطرة تسمح بتحريك قطعة مستقيمة كهذه بحرية لتلامس نقطة الأصل ، موازية لقطعة المستقيمة الوحدة - وبالتالي يمكننا النظر في مهمة إنشاء قطعة مستقيمة من (0,0) إلى (${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$، 0)، الأمر الذي يستلزم إنشاء النقطة (${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$، 0).

تُمكّننا أدوات الفرجار والمسطرة، على التوالي، من رسم دوائر مركزها نقطة مُحددة مسبقًا وتمر بنقطة أخرى، ورسم خطوط تمر بنقطتين مُحددتين مسبقًا. تنشأ أي نقطة مُحددة حديثًا إما نتيجة تقاطع دائرتين من هذا النوع، أو نتيجة تقاطع دائرة مع خط، أو نتيجة تقاطع خطين. يُبين تمرين في الهندسة التحليلية الأساسية أنه في الحالات الثلاث، تُحقق إحداثيات x و y للنقطة المُحددة حديثًا متعددة حدود من الدرجة الثانية على الأكثر، بمعاملات هي عمليات جمع وطرح وضرب وقسمة تتضمن إحداثيات النقاط المُحددة مسبقًا (وأعدادًا نسبية). بعبارة أخرى، تمتلك إحداثيات x و y الجديدة متعددات حدود دنيا من الدرجة الثانية على الأكثر على الحقل الفرعي لـ${\displaystyle \mathbb {R} }$يتم توليدها بواسطة الإحداثيات السابقة. لذلك، فإن درجة امتداد المجال المقابلة لكل إحداثية جديدة هي 2 أو 1.

لذا، بمعرفة إحداثيات أي نقطة مُنشأة، يمكننا المتابعة استقرائيًا عكسيًا عبر إحداثيات x و y للنقاط بالترتيب الذي تم تعريفها به حتى نصل إلى زوج النقاط الأصلي (0,0) و (1,0). بما أن كل امتداد حقل له درجة 2 أو 1، وبما أن امتداد الحقل على${\displaystyle \mathbb {Q} }$بما أن إحداثيات الزوج الأصلي من النقاط هي بوضوح من الدرجة 1، فإنه يتبع من قاعدة البرج أن درجة امتداد الحقل على${\displaystyle \mathbb {Q} }$أي إحداثية لنقطة تم إنشاؤها هي قوة للعدد 2 .

الآن، من السهل ملاحظة أن p ( x ) = x³ - 2 = 0 ^دالة غير قابلة للاختزال على${\displaystyle \mathbb {Z} }$– أي تحليل إلى عوامل سيتضمن عاملاً خطياً ( x - k ) لبعض${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$وبالتالي، يجب أن يكون k جذرًا للدالة p ( x ) ؛ ولكن يجب أيضًا أن يقسم k العدد 2 (بحسب نظرية الجذر النسبي )؛ أي أن k = 1، 2، -1 أو -2 ، ولا يوجد أي من هذه الأعداد جذرًا للدالة p ( x ) . وبحسب مبرهنة جاوس ، فإن الدالة p ( x ) غير قابلة للاختزال أيضًا.${\displaystyle \mathbb {Q} }$وبالتالي فهي متعددة حدود دنيا على${\displaystyle \mathbb {Q} }$ل${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$امتداد الحقل${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}}):\mathbb {Q} }$وبالتالي فإن الدرجة هي 3. ولكن هذا ليس قوة للعدد 2، لذا بناءً على ما سبق:

• ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$ليست إحداثيات نقطة قابلة للإنشاء، لذا
• قطعة مستقيمة من${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$لا يمكن بناؤها باستخدام المسطرة والفرجار، و
• لا يمكن مضاعفة حجم المكعب باستخدام المسطرة والفرجار فقط.

يعود أصل هذه المسألة إلى قصةٍ تتعلق بسكان ديلوس ، الذين استشاروا عرّافة دلفي لمعرفة كيفية التغلب على وباءٍ أرسله أبولو. [5] [1]: 9 لكن وفقًا لبلوتارخ، [6] فقد استشار سكان ديلوس عرّافة دلفي لإيجاد حلٍّ ^{لمشاكلهم السياسية الداخلية آنذاك ، والتي كانت قد} زادت من حدة ^{التوترات بينهم .} فأجابتهم العرّافة بضرورة مضاعفة حجم مذبح أبولو، الذي كان مكعبًا منتظمًا. بدا الجواب غريبًا لسكان ديلوس، فاستشاروا أفلاطون ، الذي استطاع تفسير كلام العرّافة على أنه مسألة رياضية تتمثل في مضاعفة حجم مكعبٍ مُعطى، مُفسِّرًا بذلك نصيحة أبولو لسكان ديلوس بالانشغال بدراسة الهندسة والرياضيات لتهدئة انفعالاتهم. ^{[ 7 ]}

بحسب بلوتارخ ، طرح أفلاطون المسألة على إيودوكسوس وأرخيتاس ومينايخموس ، الذين حلّوها باستخدام الوسائل الميكانيكية، مما عرّضهم لتوبيخ من أفلاطون لعدم استخدامهم الهندسة البحتة . ^{[ ٨ ]} ولعل هذا ما يفسر إشارة مؤلف كتاب سيزيف (٣٨٨هـ) ، المنسوب زورًا إلى أفلاطون، إلى المسألة في ثلاثينيات القرن الرابع قبل الميلاد على أنها لا تزال دون حل. ^{[ ٩ ]} مع ذلك، تروي رواية أخرى (منسوبة إلى إراتوستينس من قِبل يوتوكيوس الأسكالوني ) أن الثلاثة وجدوا حلولًا، لكنها كانت مجردة للغاية بحيث لا تُجدي نفعًا عمليًا. ^{[ ١٠ ]}

كان من أهم التطورات في إيجاد حل لهذه المشكلة اكتشاف أبقراط الخيوسي أنها تُكافئ إيجاد متوسطين هندسيين متناسبين بين قطعة مستقيمة وأخرى طولها ضعف طولها. ^{[ 11 ]} وباستخدام الترميز الحديث، يعني هذا أنه إذا كانت لدينا قطعتان مستقيمتان طولهما a و 2 a ، فإن مضاعفة المكعب تُكافئ إيجاد قطعتين مستقيمتين طولهما r و s بحيث

${\displaystyle {\frac {a}{r}}={\frac {r}{s}}={\frac {s}{2a}}.}$

وهذا يعني بدوره أن

${\displaystyle r=a\cdot {\sqrt[{3}]{2}}.}$

لكن بيير وانتزل أثبت في عام 1837 أن الجذر التكعيبي للعدد 2 غير قابل للإنشاء ؛ أي أنه لا يمكن إنشاؤه باستخدام المسطرة والفرجار . ^{[ 12 ]}

يتضمن حل مينايخم الأصلي تقاطع منحنيين مخروطيين . وتشمل الطرق الأخرى الأكثر تعقيدًا لمضاعفة المكعب النيوسيس ، والسيسويد لديوكليس ، والكونشويد لنيكوميدس ، أو خط فيلو . وقد وجدت باندروسيون ، وهي عالمة رياضيات يونانية قديمة يُحتمل أنها امرأة، حلاً تقريبيًا دقيقًا عدديًا باستخدام المستويات في ثلاثة أبعاد، لكنها تعرضت لانتقادات شديدة من بابوس الإسكندري لعدم تقديمها برهانًا رياضيًا مناسبًا . ^{[ 13 ]} حلّ أرخيتاس المسألة في القرن الرابع قبل الميلاد باستخدام الإنشاء الهندسي في ثلاثة أبعاد، وحدد نقطة معينة على أنها تقاطع ثلاثة أسطح دورانية.

تستخدم نظرية ديكارت للحل الهندسي للمعادلات القطع المكافئ لتقديم المعادلات التكعيبية، وبهذه الطريقة يُمكن صياغة معادلة يكون حلها الجذر التكعيبي للعدد اثنين. تجدر الإشارة إلى أن القطع المكافئ نفسه لا يُمكن إنشاؤه إلا باستخدام الطرق ثلاثية الأبعاد.

تكثر الادعاءات الكاذبة حول مضاعفة المكعب باستخدام الفرجار والمسطرة في أدبيات الرياضيات الزائفة ( الرياضيات الزائفة ).

يمكن أيضًا استخدام فن الأوريغامي لإنشاء الجذر التكعيبي للعدد اثنين عن طريق طي الورق .

باستخدام مسطرة مدرجة

توجد طريقة بسيطة لإنشاء معادلة نيوسيس باستخدام مسطرة مدرجة لطول يساوي الجذر التكعيبي لضعف طول آخر. ^{[ 14 ]}

1. ضع علامة على المسطرة بالطول المحدد؛ وهذا سيكون في النهاية GH.
2. قم بإنشاء مثلث متساوي الأضلاع ABC بطول كل ضلع كما هو معطى.
3. قم بتمديد AB بمقدار مماثل مرة أخرى إلى D.
4. قم بتمديد الخط BC لتشكيل الخط CE.
5. قم بتمديد الخط DC لتشكيل الخط CF.
6. ضع المسطرة المحددة بحيث تمر بالنقطة A، ويسقط أحد طرفيها، G، على الشعاع CF، ويسقط الطرف الآخر، H، على الشعاع CE. وبذلك يكون GH هو الطول المعطى.

إذن، AG هي الطول المعطى مضروبًا في${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$.

في نظرية الموسيقى ، يُعد الأوكتاف (وهو فاصل موسيقي ناتج عن مضاعفة تردد نغمة ما) نظيرًا طبيعيًا للمضاعفة ، بينما يُعد تقسيم الأوكتاف إلى ثلاثة أجزاء، كل منها بنفس الفاصل ، نظيرًا طبيعيًا للمكعب . وبهذا المعنى، تُحل مشكلة مضاعفة المكعب بواسطة الثلث الكبير في نظام التوزيع المتساوي . وهو فاصل موسيقي يساوي ثلث الأوكتاف تمامًا، حيث يُضاعف تردد النغمة بمقدار${\displaystyle 2^{4/12}=2^{1/3}={\sqrt[{3}]{2}}}$، طول ضلع مكعب ديليان. ^{[ 15 ]}

• فريدريك بياتريكس، بيتر كاتزلينجر: حل دقيق إلى حد كبير لمسألة ديليان . في: مجلة بارابولا، المجلد 59 (2023)، العدد 1 ، مجلة إلكترونية (ISSN 1446-9723) تصدرها كلية الرياضيات والإحصاء بجامعة نيو ساوث ويلز
• مضاعفة المكعب، بناء تقريبي كرسوم متحركة (طول الضلع = 1.259921049894873) — ويكيميديا ​​كومنز
• "مضاعفة المكعب" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]
• مضاعفة المكعب . جي جي أوكونور وإي إف روبرتسون في أرشيف ماك تيوتور لتاريخ الرياضيات.
• مضاعفة المكعب – حل أرخيتاس . مقتطف من كتاب تاريخ الرياضيات اليونانية للسير توماس هيث .
• تم حل مشكلة ديليان. أم لا؟ في موقع cut-the-knot .
• فيديو من Mathologer: "لغز لم يُحل منذ 2000 عام: لماذا يُعد مضاعفة المكعبات وتربيع الدوائر أمراً مستحيلاً؟"