جاذبية الأرض

جاذبية الأرض ، ويرمز لها بالرمز g ، هي التسارع الكلي الذي تتعرض له الأجسام نتيجة التأثير المشترك للجاذبية (الناتجة عن توزيع الكتلة داخل الأرض ) وقوة الطرد المركزي (الناتجة عن دوران الأرض ). ^{[ 3 ] [ 4 ]} وهي كمية متجهة ، يتطابق اتجاهها مع اتجاه خيط الشاقول ، وتُحدد قوتها أو مقدارها بالمعيار .${\displaystyle g=\|{\mathit {\mathbf {g} }}\|}$.

في النظام الدولي للوحدات ، يُعبّر عن هذا التسارع بوحدة متر لكل ثانية مربعة ⁽ م / ث² أو م·ث⁻² ⁾ أو ما يعادلها بوحدة نيوتن لكل كيلوغرام (ن/كغ أو ن·كغ⁻¹ ⁾ . بالقرب من سطح الأرض، يبلغ تسارع الجاذبية الأرضية، بدقة رقمين معنويين ، 9.8 م/ ^ث² (32 قدم/ث² ⁾ . هذا يعني أنه، مع إهمال تأثير مقاومة الهواء ، فإن المركبة الرأسية لسرعة جسم يسقط سقوطًا حرًا ستزداد نحو الأسفل بمقدار 9.8 متر في الثانية (32 قدم/ث) كل ثانية.   

تختلف قوة جاذبية الأرض الدقيقة باختلاف الموقع. القيمة المتعارف عليها للجاذبية القياسية هي9.806 65  م⋅ث ^{−2 ‍ [5 ]} بحسب التعريف، تم اعتماده في الأصل من قبل CGPM في عام 1901. ^{[ 6 ] : 159} يتم الإشارة إلى هذه الكمية بشكل مختلف باسم g _n ، g _e ، g ₀ ، أو ببساطة g (والتي تستخدم أيضًا للقيمة المحلية المتغيرة).

وزن جسم على سطح الأرض هو القوة المؤثرة عليه نحو الأسفل، وفقًا لقانون نيوتن الثاني للحركة ، أو ق = ك × ت ( القوة = الكتلة × التسارع ) . يُساهم التسارع الناتج عن الجاذبية في إجمالي تسارع الجاذبية، ولكن عوامل أخرى، مثل دوران الأرض، تُساهم أيضًا، وبالتالي تُؤثر على وزن الجسم. لا تشمل الجاذبية عادةً قوة جذب القمر والشمس، والتي تُؤخذ في الحسبان من خلال تأثيرات المد والجزر .

كرة مثالية غير دوارة ذات كثافة كتلة منتظمة، أو تتغير كثافتها فقط بتغير المسافة من المركز ( تناظر كروي )، ستُنتج مجال جاذبية متساوي الشدة في جميع نقاط سطحها . الأرض تدور، وهي أيضاً غير متناظرة كروياً؛ بل هي أكثر تسطحاً قليلاً عند القطبين، بينما تنتفخ عند خط الاستواء: شكل كروي مفلطح . ونتيجة لذلك، توجد اختلافات طفيفة في شدة الجاذبية عبر سطحها.

تتفاوت الجاذبية على سطح الأرض بنحو 0.7%، من 9.7639  م/ث² ^على جبل نيفادو هواسكاران في بيرو إلى 9.8337  م/ث² ^على سطح المحيط المتجمد الشمالي . ^{[ 7 ]} وفي المدن الكبرى، تتراوح من 9.7806  م/ ^{ث² [ 8 ]} في كوالالمبور ومكسيكو سيتي وسنغافورة إلى 9.825 م / ^ث² في أوسلو وهلسنكي . 

ارتفاع

تقلّ قوة الجاذبية مع الارتفاع كلما ازداد الارتفاع فوق سطح الأرض، لأن الارتفاع الأكبر يعني بُعدًا أكبر عن مركز الأرض. وبافتراض ثبات جميع العوامل الأخرى، فإن زيادة الارتفاع من مستوى سطح البحر إلى 9000 متر (30000 قدم) تُسبب انخفاضًا في الوزن بنسبة 0.29% تقريبًا. 

للمرتفعات${\displaystyle h>0}$يمكن حساب التسارع الجاذبي فوق سطح الأرض باستخدام صيغة التربيع العكسي: ^{[ 12 ]}

آلة حاسبة

يكرر​	6,371.00877 كم
g 0	9.80665 م/ث 2
ح	0 كم
غ ح	9.80665 م/ث 2
g h ⁄ g 0	1.00000

${\displaystyle g_{h}=g_{0}\left({\frac {R_{\mathrm {e} }}{R_{\mathrm {e} }+h}}\right)^{2}}$

أين

• يمثل g _h تسارع الجاذبية عند الارتفاع h فوق مستوى سطح البحر.
• Re _هو متوسط ​​نصف قطر الأرض.
• g ₀ / هو التسارع القياسي للجاذبية الأرضية . وتتعامل الصيغة مع الأرض على أنها كرة مثالية ذات توزيع متناظر شعاعيًا للكتلة.

من المفاهيم الخاطئة الشائعة أن رواد الفضاء في المدار لا يشعرون بالوزن لأنهم حلّقوا على ارتفاع كافٍ للهروب من جاذبية الأرض. في الواقع، على ارتفاع 400 كيلومتر (250 ميلاً) ، وهو ما يعادل مدارًا نموذجيًا لمحطة الفضاء الدولية ، لا تزال الجاذبية تُعادل 90% تقريبًا من قوتها على سطح الأرض. ويحدث انعدام الوزن في الحقيقة لأن الأجسام التي تدور في المدار تكون في حالة سقوط حر . ^{[ 13 ]} 

عمق

يمكن الحصول على قيمة تقريبية للجاذبية على مسافة r من مركز الأرض بافتراض أن كثافة الأرض متناظرة كرويًا. تعتمد قوة الجاذبية عند نصف قطر r فقط على الكتلة داخل الكرة التي يبلغ نصف قطرها ذلك. تتلاشى جميع المساهمات الخارجية نتيجة لقانون التربيع العكسي للجاذبية. ومن النتائج الأخرى أن الجاذبية تكون مماثلة لما لو كانت الكتلة كلها مركزة في المركز. وبالتالي، فإن تسارع الجاذبية عند هذا نصف القطر هو ^{[ 14 ]}

${\displaystyle g(r)=-{\frac {GM}{r^{2}}}.}$

حيث G هو ثابت الجاذبية و M هي الكتلة الكلية المحصورة داخل نصف القطر r . تُعرف هذه النتيجة بنظرية شيل ؛ وقد استغرق إسحاق نيوتن 20 عامًا لإثباتها، مما أدى إلى تأخير عمله على الجاذبية. ^{[ 15 ] : 13}

إذا كانت كثافة الأرض ثابتة ρ ، فإن كتلتها ستكون M ( r ) = (4/3) πρr³ ^، وسيكون اعتماد الجاذبية على العمق كما يلي:

${\displaystyle g(r)={\frac {4\pi }{3}}G\rho r.}$

تُعطى تسارع الجاذبية g′ عند العمق d بالعلاقة g′ = g (1 − d / R ) ، حيث g هو تسارع الجاذبية على سطح الأرض، وd هو العمق، و R هو نصف قطر الأرض . _إذا تناقصت الكثافة خطيًا مع ازدياد نصف القطر من كثافة ρ₀ في المركز إلى ρ₁ على السطح، فإن ρ ( r ) = ρ₀ ₋ ( ρ₀ − ρ₁ ) r / R ، ويكون التناسب _{كما يلي :}

${\displaystyle g(r)={\frac {4\pi }{3}}G\rho _{0}r-\pi G\left(\rho _{0}-\rho _{1}\right){\frac {r^{2}}{R}}.}$

يظهر في الرسوم البيانية أدناه الاعتماد الفعلي للكثافة والجاذبية على العمق، والذي تم استنتاجه من أوقات انتقال الموجات الزلزالية (انظر معادلة Adams–Williamson ).

توزيع الكثافة الشعاعية للأرض وفقًا للنموذج المرجعي الأولي للأرض (PREM). ^{[ 16 ]}

جاذبية الأرض وفقًا للنموذج المرجعي الأولي للأرض (PREM). ^{[ 16 ]} يتضمن الشكل نموذجين لأرض متناظرة كرويًا للمقارنة. يمثل الخط الأخضر الداكن المستقيم كثافة ثابتة تساوي متوسط ​​كثافة الأرض. أما الخط الأخضر الفاتح المنحني فيمثل كثافة تتناقص خطيًا من المركز إلى السطح. الكثافة في المركز هي نفسها في النموذج المرجعي الأولي للأرض، ولكن تم اختيار كثافة السطح بحيث تتساوى كتلة الكرة مع كتلة الأرض الحقيقية.

التضاريس والجيولوجيا المحلية

تُسبب الاختلافات المحلية في التضاريس (مثل وجود الجبال)، والجيولوجيا (مثل كثافة الصخور في المنطقة المجاورة)، والبنية التكتونية العميقة ، اختلافات محلية وإقليمية في مجال جاذبية الأرض، تُعرف باسم شذوذات الجاذبية . ^{[ 17 ]} قد تكون بعض هذه الشذوذات واسعة النطاق، مما يؤدي إلى ارتفاعات في مستوى سطح البحر ، واختلال تزامن ساعات البندول .

تشكل دراسة هذه الشذوذات أساس الجيوفيزياء الجاذبية . تُقاس هذه التقلبات باستخدام مقاييس جاذبية عالية الحساسية ، ويُطرح تأثير التضاريس والعوامل الأخرى المعروفة، ومن البيانات الناتجة تُستخلص النتائج. يستخدم المنقبون هذه التقنيات حاليًا للعثور على رواسب النفط والمعادن . تُسبب الصخور الأكثر كثافة (التي غالبًا ما تحتوي على خامات معدنية ) مجالات جاذبية محلية أعلى من المعتاد على سطح الأرض، بينما تُسبب الصخور الرسوبية الأقل كثافة عكس ذلك.

تُعدّ قوة الجاذبية على الأرض عاملاً أساسياً في تكوين غلافها الجوي والحفاظ عليه ، وهو بدوره ضروري لاستمرار وجود الماء في المحيطات. تعمل قوة الجاذبية في اتجاه معاكس للطاقة الحركية لجزيئات الغاز التي تستمد طاقتها من الشمس. فمن جهة، جاذبية الأرض ضعيفة بما يكفي للسماح للغازات الخفيفة كالهيدروجين بالهروب، على عكس الكواكب الكبيرة كالمشتري . ومن جهة أخرى، جاذبية الأرض قوية بما يكفي لاحتجاز الجزيئات الأكبر حجماً. علاوة على ذلك، فإن هذا التوازن ديناميكي، إذ يُسهم في تشكيل الطقس مع تفاوت كميات الحرارة التي تتلقاها الأرض خلال الدورات اليومية والسنوية. ^{[ 18 ] : 71}

تسارع الجاذبية كمية متجهة ، لها اتجاه بالإضافة إلى مقدارها . في الأرض ذات التناظر الكروي، تتجه الجاذبية مباشرةً نحو مركز الكرة. ولأن شكل الأرض أكثر تسطحًا، توجد انحرافات ملحوظة في اتجاه الجاذبية، وهي في جوهرها الفرق بين خط العرض الجيوديسي وخط العرض الجيومركزي . أما الانحرافات الأصغر، والتي تُسمى الانحراف الرأسي ، فتنتج عن شذوذات كتلية محلية، كالجبال.

توجد أدوات لحساب قوة الجاذبية في مدن مختلفة حول العالم. ^{[ 19 ]} ويمكن ملاحظة تأثير خط العرض بوضوح، حيث أن الجاذبية في المدن ذات خطوط العرض العالية: أنكوريج (9.826  م/ث² ⁾ ، وهلسنكي (9.825  م/ث² ⁾ ، أكبر بنحو 0.5% من تلك الموجودة في المدن القريبة من خط الاستواء: كوالالمبور (9.776  م/ث² ⁾ . يمكن ملاحظة تأثير الارتفاع في مدينة مكسيكو (9.776  م/ث² ^؛ ارتفاع 2240 مترًا (7350 قدمًا) )، ومن خلال مقارنة دنفر (9.798 م/ث² ^؛ 1616 مترًا (5302 قدمًا) ) مع واشنطن العاصمة (9.801 م/ث² ^؛ 30 مترًا (98 قدمًا) )، وكلاهما يقعان بالقرب من خط عرض 39° شمالًا. يمكن الحصول على القيم المقاسة من الجداول الفيزيائية والرياضية من تأليف تي إم ياروود وإف كاسل، ماكميلان، الطبعة المنقحة 1970. ^{[ 20 ]}      

إذا كانت الأرض عند مستوى سطح البحر، فيمكننا تقدير ذلك، وفقًا لنظام الإسناد الجيوديسي لعام 1980،${\displaystyle g\{\phi \}}$، التسارع عند خط العرض${\displaystyle \phi }$:

${\displaystyle {\begin{aligned}g\{\phi \}&=9.780327\,\,\mathrm {m} {\cdot }\mathrm {s} ^{-2}\,\,\left(1+0.0053024\,\sin ^{2}\phi -0.0000058\,\sin ^{2}2\phi \right),\\&=9.780327\,\,\mathrm {m} {\cdot }\mathrm {s} ^{-2}\,\,\left(1+0.0052792\,\sin ^{2}\phi +0.0000232\,\sin ^{4}\phi \right),\\&=9.780327\,\,\mathrm {m} {\cdot }\mathrm {s} ^{-2}\,\,\left(1.0053024-0.0053256\,\cos ^{2}\phi +0.0000232\,\cos ^{4}\phi \right),\\&=9.780327\,\,\mathrm {m} {\cdot }\mathrm {s} ^{-2}\,\,\left(1.0026454-0.0026512\,\cos 2\phi +0.0000058\,\cos ^{2}2\phi \right)\end{aligned}}}$

هذه هي صيغة الجاذبية الدولية لعام 1967، أو صيغة نظام الإسناد الجيوديسي لعام 1967، أو معادلة هيلمرت أو صيغة كليروت . ^{[ 21 ]}

صيغة بديلة لـ g كدالة لخط العرض هي صيغة الجاذبية الإهليلجية WGS ( النظام الجيوديسي العالمي ) 84 : ^{[ 22 ]}

${\displaystyle g\{\phi \}=\mathbb {G} _{\text{e}}\left[{\frac {1+k\sin ^{2}\phi }{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\phi }}}\right],}$

أين

• ${\displaystyle a,\,b}$وهما المحوران الاستوائي والقطبي على التوالي؛
• ${\displaystyle e^{2}=1-(b/a)^{2}}$هو مربع انحراف الشكل الكروي ؛
• ${\displaystyle \mathbb {G} _{\text{e}},\,\mathbb {G} _{\text{p}}\,}$هي الجاذبية المحددة عند خط الاستواء والقطبين، على التوالي؛
• ${\displaystyle k={\frac {b\,\mathbb {G} _{\text{p}}-a\,\mathbb {G} _{\text{e}}}{a\,\mathbb {G} _{\text{e}}}}}$(ثابت الصيغة)؛

إذن، أين${\displaystyle \mathbb {G} _{\text{p}}=9.8321849378\,\,\mathrm {m{\cdot }s} ^{-2}}$, ^{[ 22 ]}

${\displaystyle g\{\phi \}=9.7803253359\,\,\mathrm {m{\cdot }s} ^{-2}\left[{\frac {1+0.001931852652\,\sin ^{2}\phi }{\sqrt {1-0.0066943799901\,\sin ^{2}\phi }}}\right]}$

حيث تقع أنصاف محاور الأرض:

${\displaystyle a=6378137.0\,\,\mathrm {m} }$

${\displaystyle b=6356752.314245\,\,\mathrm {m} }$

الفرق بين صيغة WGS-84 ومعادلة هيلمرت أقل من 0.68 ميكرومتر ·ثانية ⁻² . 

يتم تطبيق المزيد من التخفيضات للحصول على شذوذات الجاذبية (انظر شذوذ الجاذبية §  الحساب ).

من قانون الجاذبية الكونية ، تُعطى القوة المؤثرة على جسم بفعل قوة جاذبية الأرض بالعلاقة التالية:

${\displaystyle F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}=\left(G{\frac {M_{\oplus }}{r^{2}}}\right)m}$

حيث r هي المسافة بين مركز الأرض والجسم (انظر أدناه)، وهنا نأخذ${\displaystyle M_{\oplus }}$لتكون كتلة الأرض و m لتكون كتلة الجسم.

بالإضافة إلى ذلك، ينص قانون نيوتن الثاني ، F = ma ، حيث m هي الكتلة و a هي التسارع، هنا على أن

${\displaystyle F=mg}$

بمقارنة الصيغتين يتضح ما يلي:

${\displaystyle g=G{\frac {M_{\oplus }}{r^{2}}}}$

لذا، لإيجاد التسارع الناتج عن الجاذبية عند مستوى سطح البحر، استبدل قيم ثابت الجاذبية ، G ، وكتلة الأرض (بالكيلوجرام) ، m _{1 ، ونصف} قطر الأرض (بالمتر) ، r ، للحصول على قيمة g : ^{[ 23 ]}

${\displaystyle g=G{\frac {M_{\oplus }}{r^{2}}}=6.67\times 10^{-11}\ \mathrm {{m}^{3}{\cdot }{kg}^{-1}{\cdot }{s}^{-2}} \times {\frac {5.98\times 10^{24}\ \mathrm {kg} }{(6.38\times 10^{6}\ \mathrm {m} )^{2}}}\approx 9.8\ \mathrm {{m}{\cdot }{s}^{-2}} }$

تنجح هذه الصيغة لأن جاذبية جسم كروي منتظم، كما تُقاس على سطحه أو فوقه، هي نفسها كما لو كانت كتلته كلها مُركّزة في نقطة واحدة في مركزه. وهذا ما يسمح لنا باستخدام نصف قطر الأرض لحساب r .

تتطابق القيمة المُستحصلة تقريبًا مع القيمة المقاسة لـ g . ويمكن أن يُعزى الاختلاف إلى عدة عوامل، ذُكرت أعلاه تحت عنوان " التغير في المقدار ":

• الأرض ليست متجانسة
• الأرض ليست كرة مثالية، ويجب استخدام قيمة متوسطة لنصف قطرها
• لا تشمل هذه القيمة المحسوبة لـ g سوى الجاذبية الحقيقية. وهي لا تشمل انخفاض قوة الكبح الذي ندركه كانخفاض في الجاذبية نتيجة دوران الأرض، وجزءًا من الجاذبية الذي تقاومه قوة الطرد المركزي.

توجد شكوك كبيرة في قيم r و m ₁ المستخدمة في هذه الحسابات، كما أن قيمة G يصعب قياسها بدقة.

إذا عُرفت قيم G و g و r، فإن الحساب العكسي سيعطي تقديرًا لكتلة الأرض. وقد استخدم هنري كافنديش هذه الطريقة .

يُطلق على قياس جاذبية الأرض اسم علم قياس الجاذبية .

قياسات الأقمار الصناعية

تُحدد حاليًا معلمات مجال جاذبية الأرض الثابتة والمتغيرة مع الزمن باستخدام مهمات الأقمار الصناعية الحديثة، مثل GOCE و CHAMP و Swarm و GRACE وGRACE-FO . ^{[ 24 ] [ 25 ]} أما المعلمات ذات الدرجة الأدنى، بما في ذلك تفلطح الأرض وحركة مركزها، فيُفضل تحديدها باستخدام تقنية قياس المسافة بالليزر عبر الأقمار الصناعية . ^{[ 26 ]}

يمكن رصد شذوذات الجاذبية واسعة النطاق من الفضاء، كنتيجة ثانوية لمهام الأقمار الصناعية لدراسة الجاذبية. تهدف هذه المهام إلى إنشاء نموذج مفصل لحقل جاذبية الأرض، يُعرض عادةً على شكل توسع توافقي كروي لجهد جاذبية الأرض، ولكن تُنتج أيضًا عروض بديلة، مثل خرائط تموجات الجيود أو شذوذات الجاذبية.

تألف مشروع استعادة الجاذبية وتجربة المناخ (GRACE) من قمرين صناعيين رصدا التغيرات الجاذبية عبر الأرض. ويمكن تمثيل هذه التغيرات بتغيرات زمنية في شذوذ الجاذبية. كما تألف مشروع استعادة الجاذبية والمختبر الداخلي (GRAIL) من مركبتين فضائيتين دارتا حول القمر لمدة ثلاث سنوات قبل خروجهما من مداره في عام 2015.

• حاسبة الجاذبية على الارتفاع
• غريس - تجربة استعادة الجاذبية والمناخ، مؤرشفة بتاريخ 1 ديسمبر 2009 على موقع Wayback Machine
• بيانات GGMplus عالية الدقة (2013)
• نموذج جيود 2011، بطاطا بوتسدام الجاذبية