التحليل إلى عوامل

في الرياضيات ، يُعرف التحليل إلى عوامل (أو التحليل ، انظر اختلافات التهجئة الإنجليزية ) بأنه كتابة عدد أو أي كائن رياضي آخر على شكل حاصل ضرب عدة عوامل ، عادةً ما تكون أصغر أو أبسط من نفس النوع. على سبيل المثال، 3 × 5 هو تحليل عددي صحيح للعدد 15 ، و ( س - 2)( س + 2) هو تحليل كثير الحدود للعدد س² ^- 4 .

لا يُعتبر التحليل إلى عوامل عادةً ذا معنى في أنظمة الأعداد التي تحتوي على القسمة ، مثل الأعداد الحقيقية أو المركبة ، لأن أي${\displaystyle x}$يمكن كتابتها ببساطة على النحو التالي${\displaystyle (xy)\times (1/y)}$حينما${\displaystyle y}$ليس صفرًا. ومع ذلك، يمكن الحصول على تحليل ذي معنى لعدد نسبي أو دالة نسبية عن طريق كتابته في أبسط صورة وتحليل بسطه ومقامه بشكل منفصل.

درس علماء الرياضيات اليونانيون القدماء التحليل إلى عوامل أولية لأول مرة في حالة الأعداد الصحيحة. وقد برهنوا على النظرية الأساسية في الحساب ، التي تنص على أن كل عدد صحيح موجب يمكن تحليله إلى حاصل ضرب أعداد أولية ، ولا يمكن تحليل هذا الناتج إلى أعداد صحيحة أكبر من 1. علاوة على ذلك، فإن هذا التحليل فريد حتى رتبة العوامل. مع أن تحليل الأعداد الصحيحة إلى عوامل أولية هو نوع من عكس عملية الضرب، إلا أنه أكثر تعقيدًا من الناحية الخوارزمية ، وهي حقيقة يستغلها نظام التشفير RSA لتطبيق التشفير بالمفتاح العام .

لقد دُرست عملية تحليل كثيرات الحدود لعدة قرون. في الجبر الابتدائي ، يُختزل تحليل كثير الحدود إلى إيجاد جذور عوامله. تتمتع كثيرات الحدود ذات المعاملات الصحيحة أو في حقل ما بخاصية التحليل الفريد ، وهي صيغة من النظرية الأساسية للحساب مع استبدال الأعداد الأولية بكثيرات حدود غير قابلة للاختزال . على وجه الخصوص، تقبل كثيرة الحدود أحادية المتغير ذات المعاملات المركبة تحليلًا فريدًا (حتى الترتيب) إلى كثيرات حدود خطية : وهذه صيغة من النظرية الأساسية للجبر . في هذه الحالة، يمكن إجراء التحليل باستخدام خوارزميات إيجاد الجذور . تُعد حالة كثيرات الحدود ذات المعاملات الصحيحة أساسية في الجبر الحاسوبي . توجد خوارزميات حاسوبية فعالة لحساب التحليلات (الكاملة) ضمن حلقة كثيرات الحدود ذات المعاملات النسبية (انظر تحليل كثيرات الحدود ).

تُسمى الحلقة التبديلية التي تتمتع بخاصية التحليل إلى عوامل أولية فريدة مجال تحليل فريد . توجد أنظمة عددية ، مثل بعض حلقات الأعداد الصحيحة الجبرية ، لا تُعد مجالات تحليل فريدة. مع ذلك، تُحقق حلقات الأعداد الصحيحة الجبرية الخاصية الأضعف لمجالات ديديكيند : حيث تتحلل المُثُل إلى مُثُل أولية فريدة .

قد يشير التحليل إلى تفكيكات أكثر عمومية لكائن رياضي إلى حاصل ضرب كائنات أصغر أو أبسط. على سبيل المثال، يمكن تحليل أي دالة إلى تركيب دالة شاملة مع دالة أحادية . تمتلك المصفوفات أنواعًا عديدة من تحليلات المصفوفات . على سبيل المثال، لكل مصفوفة تحليل فريد من نوعه يُسمى تحليل LUP ، وهو حاصل ضرب مصفوفة مثلثية سفلية L عناصر قطرها الرئيسي تساوي واحدًا، ومصفوفة مثلثية علوية U ، ومصفوفة تبديل P ؛ وهذا ما يُعرف بصيغة المصفوفات لحذف غاوس .

بحسب النظرية الأساسية للحساب ، فإن كل عدد صحيح أكبر من 1 له تحليل فريد (حتى ترتيب العوامل) إلى أعداد أولية ، وهي تلك الأعداد الصحيحة التي لا يمكن تحليلها إلى حاصل ضرب أعداد صحيحة أكبر من واحد.

لحساب تحليل العدد الصحيح n إلى عوامله الأولية ، نحتاج إلى خوارزمية لإيجاد قاسم q للعدد n أو لتحديد ما إذا كان n عددًا أوليًا. عند إيجاد هذا القاسم، فإن تطبيق هذه الخوارزمية بشكل متكرر على العاملين q و n / q يُعطي في النهاية التحليل الكامل للعدد n إلى عوامله الأولية . ^{[ 1 ]}

لإيجاد قاسم q للعدد n ، إن وُجد ، يكفي اختبار جميع قيم q التي تحقق الشرطين 1 < q و q² ^≤ n ^. في الواقع، إذا كان r قاسمًا للعدد n بحيث r² ^> n ، فإن q = n / r هو قاسم للعدد n بحيث q² ≤ n .

إذا اختبرنا قيم q بترتيب تصاعدي، فإن أول قاسم يُعثر عليه يكون بالضرورة عددًا أوليًا، ولا يمكن أن يكون للعامل المرافق r = n / q أي قاسم أصغر من q . وللحصول على التحليل الكامل، يكفي بالتالي مواصلة الخوارزمية بالبحث عن قاسم لـ r لا يقل عن q ولا يزيد عن √r .

لا حاجة لاختبار جميع قيم q لتطبيق هذه الطريقة. من حيث المبدأ، يكفي اختبار القواسم الأولية فقط. يتطلب ذلك وجود جدول للأعداد الأولية، يمكن توليده مثلاً باستخدام غربال إراتوستينس . ولأن طريقة التحليل إلى عوامل تؤدي نفس وظيفة غربال إراتوستينس تقريبًا، فمن الأجدى عمومًا اختبار القواسم فقط للأعداد التي لا يتضح فورًا ما إذا كانت أولية أم لا. عادةً، يمكن البدء باختبار 2، 3، 5، والأعداد الأكبر من  5 التي يكون رقمها الأخير 1، 3، 7، 9، ومجموع أرقامها ليس من مضاعفات 3.

تُجدي هذه الطريقة نفعًا في تحليل الأعداد الصحيحة الصغيرة، لكنها غير فعّالة مع الأعداد الصحيحة الكبيرة. على سبيل المثال، لم يتمكن بيير دي فيرما من اكتشاف أن العدد السادس من أعداد فيرما هو 1.

${\displaystyle 1+2^{2^{5}}=1+2^{32}=4\,294\,967\,297}$

ليس عددًا أوليًا. في الواقع، يتطلب تطبيق الطريقة المذكورة أعلاه أكثر من10000 قسمة  ، لعدد يحتوي على 10 أرقام عشرية . 

توجد خوارزميات تحليل أكثر كفاءة، إلا أنها لا تزال غير فعالة نسبيًا، إذ لا يمكن، حتى باستخدام أحدث التقنيات، تحليل عدد مكون من 500 رقم عشري ناتج عن ضرب عددين أوليين مختارين عشوائيًا، حتى مع أقوى الحواسيب. وهذا يضمن أمان نظام التشفير RSA ، المستخدم على نطاق واسع في الاتصالات الآمنة عبر الإنترنت .

يُعدّ التعامل مع العبارات أساسًا للجبر . ويُعتبر التحليل إلى عوامل من أهم طرق التعامل مع العبارات لعدة أسباب. فإذا أمكن كتابة معادلة في صورة مُحللة E ⋅ F = 0 ، فإن مسألة حلّ المعادلة تنقسم إلى مسألتين مستقلتين (وأسهل عمومًا) E = 0 و F = 0. وعندما يُمكن تحليل عبارة ما، تكون العوامل غالبًا أبسط بكثير، وبالتالي قد تُقدّم بعض التوضيحات حول المسألة. على سبيل المثال،

${\displaystyle x^{3}-ax^{2}-bx^{2}-cx^{2}+abx+acx+bcx-abc}$

يمكن تحليل العدد الذي يحتوي على 16 عملية ضرب، و4 عمليات طرح، و3 عمليات جمع، إلى تعبير أبسط بكثير.

${\displaystyle (xa)(xb)(xc),}$

باستخدام عمليتي ضرب وثلاث عمليات طرح فقط. علاوة على ذلك، فإن الصيغة المُحللة تُعطي مباشرةً الجذور x = a و b و c كجذور لكثير الحدود.

من ناحية أخرى، لا يكون التحليل إلى عوامل ممكناً دائماً، وعندما يكون ممكناً، لا تكون العوامل دائماً أبسط. على سبيل المثال،${\displaystyle x^{10}-1}$يمكن تحليلها إلى عاملين غير قابلين للاختزال${\displaystyle x-1}$و${\displaystyle x^{9}+x^{8}+\cdots +x^{2}+x+1}$.

تم تطوير طرق متنوعة لإيجاد التحليلات؛ بعضها موصوف أدناه .

يمكن النظر إلى حل المعادلات الجبرية على أنه مسألة تحليل كثيرات الحدود . في الواقع، يمكن صياغة النظرية الأساسية للجبر على النحو التالي: كل كثيرة حدود في x من الدرجة n ذات معاملات مركبة يمكن تحليلها إلى n من العوامل الخطية.${\displaystyle x-a_{i},}$لـ i = 1، ...، n ، حيث تمثل aᵢ جذور متعددة الحدود. ^{[ 2 ]} _{على الرغم من} معرفة بنية التحليل في هذه الحالات، إلا أنه _لا يمكن عمومًا حساب aᵢ بدلالة الجذور ( الجذور ^{النونية} ) باستخدام نظرية أبيل-روفيني . في معظم الحالات، يكون أفضل ما يمكن فعله هو حساب قيم تقريبية للجذور باستخدام خوارزمية لإيجاد الجذور .

أنماط يمكن التعرف عليها

تُتيح العديد من المتطابقات المساواة بين المجموع والناتج. ويمكن استخدام الطرق المذكورة أعلاه لجعل جانب المجموع من متطابقة ما يظهر في عبارة، والتي يمكن بالتالي استبدالها بالناتج.

فيما يلي متطابقات تُستخدم أطرافها اليسرى عادةً كأنماط (وهذا يعني أن المتغيرين E و F اللذين يظهران في هذه المتطابقات قد يمثلان أي تعبير فرعي من التعبير الذي يجب تحليله). ^{[ 6 ]}

• الفرق بين مربعين

${\displaystyle E^{2}-F^{2}=(E+F)(E-F)}$

على سبيل المثال،

${\displaystyle (a+b)^{2}-(x-y)^{2}=(a+b+x-y)(a+b-x+y).}$

• مجموع/فرق مكعبين

${\displaystyle E^{3}+F^{3}=(E+F)(E^{2}-EF+F^{2})}$

${\displaystyle E^{3}-F^{3}=(E-F)(E^{2}+EF+F^{2})}$

• هوية كوشي

${\displaystyle a^{3}+b^{3}+3ab(a+b)=(a+b)^{3}}$

${\displaystyle a^{3}-b^{3}-3ab(a-b)=(a-b)^{3}}$

• الفرق بين قوتين من الرتبة الرابعة

${\displaystyle {\begin{aligned}E^{4}-F^{4}&=(E^{2}+F^{2})(E^{2}-F^{2})\\&=(E^{2}+F^{2})(E+F)(E-F)\end{aligned}}}$

• مجموع/فرق قوتين من الرتبة n

في المتطابقات التالية، يمكن في كثير من الأحيان تحليل العوامل إلى عوامل أخرى:

• الفرق، الأس الزوجي

${\displaystyle E^{2n}-F^{2n}=(E^{n}+F^{n})(E^{n}-F^{n})}$

يمكن تحليل العوامل بشكل أكبر باستخدام الصيغ التالية. كما يمكن تطبيق الصيغة التالية على ⁠${\displaystyle (E^{2})^{n}-(F^{2})^{n}}$للحصول على عامل${\displaystyle E^{2}-F^{2}=(E+F)(E-F)}$⁠ .

• الفرق، أو الأس الزوجي أو الفردي

${\displaystyle E^{n}-F^{n}=(E-F)(E^{n-1}+E^{n-2}F+E^{n-3}F^{2}+\cdots +EF^{n-2}+F^{n-1})=(E-F)\sum _{k=0}^{n-1}{E^{n-1-k}F^{k}}}$

هذا مثال يوضح أن العوامل قد تكون أكبر بكثير من المجموع الذي يتم تحليله.

• المجموع، الأس الفردي

${\displaystyle E^{n}+F^{n}=(E+F)(E^{n-1}-E^{n-2}F+E^{n-3}F^{2}-\cdots -EF^{n-2}+F^{n-1})=(E+F)\sum _{k=0}^{n-1}(-1)^{k}{E^{n-1-k}F^{k}}}$

(تم الحصول عليها عن طريق تغيير F بـ – F في الصيغة السابقة)

• المجموع، الأس الزوجي

إذا كان الأس قوة للعدد اثنين، فلا يمكن، بشكل عام، تحليل المقدار دون إدخال أعداد مركبة (إذا احتوى كل من E و F على أعداد مركبة، فقد لا يكون هذا هو الحال). إذا كان لـ n قاسم فردي، أي إذا كان n = pq حيث p عدد فردي، فيمكن استخدام الصيغة السابقة (في "المجموع، الأس الفردي") المطبقة على${\displaystyle (E^{q})^{p}+(F^{q})^{p}.}$

• ثلاثيات الحدود والصيغ التكعيبية

${\displaystyle {\begin{aligned}&x^{2}+y^{2}+z^{2}+2(xy+yz+xz)=(x+y+z)^{2}\\&x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz=(x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-xz-yz)\\&x^{3}+y^{3}+z^{3}+3x^{2}(y+z)+3y^{2}(x+z)+3z^{2}(x+y)+6xyz=(x+y+z)^{3}\\&x^{3}+y^{3}+z^{3}+3(x+y)(y+z)(x+z)=(x+y+z)^{3}\\\end{aligned}}}$

• هوية أرجاند

${\displaystyle x^{4}+x^{2}y^{2}+y^{4}=(x^{2}+xy+y^{2})(x^{2}-xy+y^{2})}$

${\displaystyle x^{4}+x^{2}+1=(x^{2}+x+1)(x^{2}-x+1)}$

• مفكوكات ذات الحدين

تُقدّم نظرية ذات الحدين أنماطًا يُمكن التعرّف عليها بسهولة من خلال الأعداد الصحيحة التي تظهر فيها.

بدرجة منخفضة:

${\displaystyle a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)^{2}}$

${\displaystyle a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}}$

${\displaystyle a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}=(a+b)^{3}}$

${\displaystyle a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}=(a-b)^{3}}$

وبشكل أعم، فإن معاملات الأشكال الموسعة لـ${\displaystyle (a+b)^{n}}$و${\displaystyle (a-b)^{n}}$هي معاملات ذات الحدين ، التي تظهر في الصف النوني من مثلث باسكال .

جذور الوحدة

الجذور النونية للوحدة هي الأعداد المركبة التي يمثل كل منها جذرًا لكثير الحدود${\displaystyle x^{n}-1.}$وبالتالي فهي الأرقام $${\displaystyle e^{2ik\pi /n}=\cos {\tfrac {2\pi k}{n}}+i\sin {\tfrac {2\pi k}{n}}}$$ ل${\displaystyle k=0,\ldots ,n-1.}$

ويترتب على ذلك أنه بالنسبة لأي تعبيرين E و F ، يكون لدينا: $${\displaystyle E^{n}-F^{n}=(E-F)\prod _{k=1}^{n-1}\left(E-Fe^{2ik\pi /n}\right)}$$$${\displaystyle E^{n}+F^{n}=\prod _{k=0}^{n-1}\left(E-Fe^{(2k+1)i\pi /n}\right)\qquad {\text{if }}n{\text{ is even}}}$$$${\displaystyle E^{n}+F^{n}=(E+F)\prod _{k=1}^{n-1}\left(E+Fe^{2ik\pi /n}\right)\qquad {\text{if }}n{\text{ is odd}}}$$

إذا كان E و F تعبيرين حقيقيين، وأردنا عوامل حقيقية، فعلينا استبدال كل زوج من العوامل المركبة المترافقة بحاصل ضربها. بما أن العامل المركب المترافق لـ${\displaystyle e^{i\alpha }}$يكون${\displaystyle e^{-i\alpha },}$و $${\displaystyle \left(a-be^{i\alpha }\right)\left(a-be^{-i\alpha }\right)=a^{2}-ab\left(e^{i\alpha }+e^{-i\alpha }\right)+b^{2}e^{i\alpha }e^{-i\alpha }=a^{2}-2ab\cos \,\alpha +b^{2},}$$ يمكن للمرء أن يحلل الأعداد الحقيقية إلى عواملها التالية (ينتقل المرء من واحد إلى آخر عن طريق تغيير k إلى n − k أو n + 1 − k ، وتطبيق الصيغ المثلثية المعتادة ): $${\displaystyle {\begin{aligned}E^{2n}-F^{2n}&=(E-F)(E+F)\prod _{k=1}^{n-1}\left(E^{2}-2EF\cos \,{\tfrac {k\pi }{n}}+F^{2}\right)\\&=(E-F)(E+F)\prod _{k=1}^{n-1}\left(E^{2}+2EF\cos \,{\tfrac {k\pi }{n}}+F^{2}\right)\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}E^{2n}+F^{2n}&=\prod _{k=1}^{n}\left(E^{2}+2EF\cos \,{\tfrac {(2k-1)\pi }{2n}}+F^{2}\right)\\&=\prod _{k=1}^{n}\left(E^{2}-2EF\cos \,{\tfrac {(2k-1)\pi }{2n}}+F^{2}\right)\end{aligned}}}$$

إن جيوب التمام التي تظهر في هذه التحليلات هي أعداد جبرية ، ويمكن التعبير عنها بدلالة الجذور (وهذا ممكن لأن زمرة غالوا الخاصة بها دورية)؛ ومع ذلك، فإن هذه التعبيرات الجذرية معقدة للغاية بحيث لا يمكن استخدامها إلا مع القيم المنخفضة لـ n . على سبيل المثال، $${\displaystyle a^{4}+b^{4}=(a^{2}-{\sqrt {2}}ab+b^{2})(a^{2}+{\sqrt {2}}ab+b^{2}).}$$$${\displaystyle a^{5}-b^{5}=(a-b)\left(a^{2}+{\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}ab+b^{2}\right)\left(a^{2}+{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}ab+b^{2}\right),}$$$${\displaystyle a^{5}+b^{5}=(a+b)\left(a^{2}-{\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}ab+b^{2}\right)\left(a^{2}-{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}ab+b^{2}\right),}$$

في كثير من الأحيان، نرغب في تحليل متعدد الحدود بمعاملات نسبية. يتضمن هذا التحليل كثيرات الحدود الدائرية . وللتعبير عن التحليلات النسبية للمجاميع والفروق أو القوى، نحتاج إلى رمز لتجانس كثير الحدود : إذا${\displaystyle P(x)=a_{0}x^{n}+a_{i}x^{n-1}+\cdots +a_{n},}$تجانسها هو متعدد الحدود ثنائي المتغيرات${\displaystyle {\overline {P}}(x,y)=a_{0}x^{n}+a_{i}x^{n-1}y+\cdots +a_{n}y^{n}.}$ثم، يكون لدى المرء $${\displaystyle E^{n}-F^{n}=\prod _{k\mid n}{\overline {Q}}_{n}(E,F),}$$$${\displaystyle E^{n}+F^{n}=\prod _{k\mid 2n,k\not \mid n}{\overline {Q}}_{n}(E,F),}$$ حيث يتم حساب نواتج الضرب على جميع قواسم العدد n ، أو جميع قواسم العدد 2n التي لا تقسم n ، و${\displaystyle Q_{n}(x)}$هي متعددة الحدود الدائرية من الرتبة n .

على سبيل المثال، $${\displaystyle a^{6}-b^{6}={\overline {Q}}_{1}(a,b){\overline {Q}}_{2}(a,b){\overline {Q}}_{3}(a,b){\overline {Q}}_{6}(a,b)=(a-b)(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})(a^{2}+ab+b^{2}),}$$$${\displaystyle a^{6}+b^{6}={\overline {Q}}_{4}(a,b){\overline {Q}}_{12}(a,b)=(a^{2}+b^{2})(a^{4}-a^{2}b^{2}+b^{4}),}$$ بما أن قواسم العدد 6 هي 1 و2 و3 و6، وقواسم العدد 12 التي لا تقسم 6 هي 4 و12.

بالنسبة لكثيرات الحدود، يرتبط التحليل ارتباطًا وثيقًا بمشكلة حل المعادلات الجبرية . تأخذ المعادلة الجبرية الشكل التالي:

${\displaystyle P(x)\ \,{\stackrel {\text{def}}{=}}\ \,a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n}=0,}$

حيث P ( x ) هي متعددة حدود في x مع${\displaystyle a_{0}\neq 0.}$ حل هذه المعادلة (ويسمى أيضًا جذرًا لكثير الحدود) هو قيمة r لـ x بحيث

${\displaystyle P(r)=0.}$

لو${\displaystyle P(x)=Q(x)R(x)}$إذا كان تحليل P ( x ) = 0 إلى جداء كثيرتي حدود، فإن جذور P ( x ) هي اتحاد جذور Q ( x ) وجذور R ( x ) . وبالتالي، فإن حل P ( x ) = 0 يُختزل إلى مسألتين أبسط هما حل Q ( x ) = 0 و R ( x ) = 0 .

على النقيض من ذلك، تنص نظرية العوامل على أنه إذا كان r جذرًا للمعادلة P ( x ) = 0 ، فإنه يمكن تحليل P ( x ) إلى عوامله الأولية.

${\displaystyle P(x)=(x-r)Q(x),}$

حيث Q ( x ) هو ناتج قسمة إقليدس لـ P ( x ) = 0 على العامل الخطي (من الدرجة الأولى) x − r .

إذا كانت معاملات P ( x ) أعدادًا حقيقية أو مركبة ، فإن النظرية الأساسية للجبر تنص على أن P ( x ) لها جذر حقيقي أو مركب. وباستخدام نظرية العامل بشكل تكراري، ينتج أن

${\displaystyle P(x)=a_{0}(x-r_{1})\cdots (x-r_{n}),}$

أين${\displaystyle r_{1},\ldots ,r_{n}}$هي الجذور الحقيقية أو المركبة للمعادلة P ، وقد يتكرر بعضها. هذا التحليل الكامل فريد حتى رتبة العوامل.

إذا كانت معاملات P ( x ) حقيقية، فإننا نسعى عمومًا إلى تحليل عوامل تكون معاملات هذه العوامل حقيقية. في هذه الحالة، قد يحتوي التحليل الكامل على بعض العوامل التربيعية (من الدرجة الثانية). ويمكن استنتاج هذا التحليل بسهولة من التحليل الكامل المذكور أعلاه. في الواقع، إذا كان r = a + ib جذرًا غير حقيقي لـ P ( x ) ، فإن مرافقه المركب s = a − ib هو أيضًا جذر لـ P ( x ) . لذا، فإن حاصل الضرب

${\displaystyle (x-r)(x-s)=x^{2}-(r+s)x+rs=x^{2}-2ax+a^{2}+b^{2}}$

هو عامل من عوامل P ( x ) بمعاملات حقيقية. بتكرار ذلك لجميع العوامل غير الحقيقية نحصل على تحليل بعوامل حقيقية خطية أو تربيعية.

لحساب هذه التحليلات الحقيقية أو المركبة، يحتاج المرء إلى جذور متعددة الحدود، والتي قد لا يتم حسابها بدقة، وإنما يتم تقريبها فقط باستخدام خوارزميات إيجاد الجذور .

في الواقع، تحتوي معظم المعادلات الجبرية المهمة على معاملات صحيحة أو نسبية ، وقد يرغب المرء في تحليلها إلى عوامل من النوع نفسه. يمكن تعميم النظرية الأساسية للحساب لتشمل هذه الحالة، حيث تنص على أن كثيرات الحدود ذات المعاملات الصحيحة أو النسبية تتمتع بخاصية التحليل إلى عوامل وحيدة . بتعبير أدق، يمكن تحليل كل كثيرة حدود ذات معاملات نسبية إلى حاصل ضرب

${\displaystyle P(x)=q\,P_{1}(x)\cdots P_{k}(x),}$

حيث q عدد نسبي و${\displaystyle P_{1}(x),\ldots ,P_{k}(x)}$هي كثيرات حدود غير ثابتة ذات معاملات صحيحة، وهي غير قابلة للاختزال وبدائية ؛ وهذا يعني أنه لا يوجد أي منها${\displaystyle P_{i}(x)}$يمكن كتابة المقدار على شكل حاصل ضرب كثيرتي حدود (بمعاملات صحيحة) لا تساويان 1 ولا -1 (تُعتبر الأعداد الصحيحة كثيرات حدود من الدرجة الصفرية). علاوة على ذلك، فإن هذا التحليل فريد من نوعه حتى رتبة العوامل وإشاراتها.

توجد خوارزميات فعّالة لحساب هذا التحليل، وهي مُطبّقة في معظم أنظمة الجبر الحاسوبية . انظر: تحليل كثيرات الحدود . مع ذلك، تُعدّ هذه الخوارزميات مُعقّدة للغاية بحيث لا يُمكن استخدامها في الحسابات الورقية. إلى جانب الطرق الاستدلالية المذكورة أعلاه، لا تُناسب سوى بضع طرق الحسابات اليدوية، والتي تعمل عمومًا فقط مع كثيرات الحدود ذات الدرجة المنخفضة، والتي تحتوي على عدد قليل من المعاملات غير الصفرية. سيتم شرح أهم هذه الطرق في الأقسام الفرعية التالية.

تشترك الأعداد الصحيحة ومتعددات الحدود على حقل ما في خاصية التحليل الفريد، أي أن كل عنصر غير صفري يمكن تحليله إلى حاصل ضرب عنصر قابل للعكس ( وحدة ، ±1 في حالة الأعداد الصحيحة) وحاصل ضرب عناصر غير قابلة للاختزال ( أعداد أولية ، في حالة الأعداد الصحيحة)، ويكون هذا التحليل فريدًا حتى إعادة ترتيب العوامل ونقل الوحدات بينها. تُسمى المجالات التكاملية التي تشترك في هذه الخاصية مجالات التحليل الفريد (UFD).

توجد القواسم المشتركة الكبرى في المجالات التكاملية غير المحدودة، ولكن ليس كل مجال تكاملي توجد فيه القواسم المشتركة الكبرى (المعروف بمجال القاسم المشترك الأكبر ) هو مجال تكاملي غير محدود. كل مجال مثالي رئيسي هو مجال تكاملي غير محدود.

المجال الإقليدي هو مجال تكاملي تُعرَّف عليه عملية قسمة إقليدية مماثلة لتلك الخاصة بالأعداد الصحيحة. كل مجال إقليدي هو مجال مثالي رئيسي، وبالتالي فهو مجال تكاملي كامل.

في المجال الإقليدي، تسمح القسمة الإقليدية بتعريف خوارزمية إقليدية لحساب القواسم المشتركة الكبرى. مع ذلك، لا يعني هذا بالضرورة وجود خوارزمية تحليل. يوجد مثال واضح لحقل F بحيث لا يمكن أن توجد أي خوارزمية تحليل في المجال الإقليدي F [ x ] لكثيرات الحدود أحادية المتغير على F.

في نظرية الأعداد الجبرية ، دفعت دراسة المعادلات الديوفانتية علماء الرياضيات، خلال القرن التاسع عشر، إلى تقديم تعميمات للأعداد الصحيحة تُسمى الأعداد الجبرية . وكانت أولى حلقات الأعداد الجبرية التي تم دراستها هي الأعداد الغاوسية وأعداد أيزنشتاين ، والتي تشترك مع الأعداد الصحيحة العادية في خاصية كونها مجالات مثالية رئيسية ، وبالتالي تتمتع بخاصية التحليل إلى عوامل وحيدة .

لسوء الحظ، سرعان ما اتضح أن معظم حلقات الأعداد الصحيحة الجبرية ليست حلقات رئيسية ولا تملك تحليلًا فريدًا. أبسط مثال على ذلك هو${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}],}$في أي

$${\displaystyle 9=3\cdot 3=(2+{\sqrt {-5}})(2-{\sqrt {-5}}),}$$

وكل هذه العوامل لا يمكن اختزالها .

يُعدّ غياب التحليل الفريد إلى عوامل أولية صعوبةً رئيسيةً في حلّ المعادلات الديوفانتية. فعلى سبيل المثال، استندت العديد من البراهين الخاطئة لنظرية فيرما الأخيرة (وربما بما في ذلك برهان فيرما "الرائع حقًا، والذي لا يتسع له هذا الهامش" ) إلى افتراض ضمني للتحليل الفريد إلى عوامل أولية.

تم حل هذه الصعوبة على يد ديديكيند ، الذي أثبت أن حلقات الأعداد الصحيحة الجبرية تتميز بتحليل فريد للمثاليّات : ففي هذه الحلقات، كل مثالي هو حاصل ضرب مثاليّات أولية ، وهذا التحليل فريد حتى رتبة العوامل. تُسمى المجالات التكاملية التي تتمتع بخاصية التحليل الفريد هذه الآن مجالات ديديكيند . ولها العديد من الخصائص المميزة التي تجعلها أساسية في نظرية الأعداد الجبرية.

حلقات المصفوفات غير تبديلية، وليس لها تحليل وحيد: توجد، عمومًا، طرق عديدة لكتابة المصفوفة كحاصل ضرب مصفوفات. لذا، تتلخص مسألة التحليل في إيجاد عوامل من أنواع محددة. على سبيل المثال، يُعطي تحليل LU مصفوفة كحاصل ضرب مصفوفة مثلثية سفلية في مصفوفة مثلثية علوية . ولأن هذا ليس ممكنًا دائمًا، يُنظر عادةً إلى "تحليل LUP" الذي يحتوي على مصفوفة تبديل كعامل ثالث.

انظر إلى تحليل المصفوفات للاطلاع على أكثر أنواع تحليل المصفوفات شيوعًا.

تمثل المصفوفة المنطقية علاقة ثنائية ، ويقابل ضرب المصفوفات تركيب العلاقات . ويُستخدم تحليل العلاقة من خلال التحليل إلى عوامل لتحديد طبيعة العلاقة، مثل العلاقة ثنائية الوظيفة .

• طريقة أويلر لتحليل الأعداد الصحيحة إلى عواملها الأولية
• طريقة فيرما لتحليل الأعداد الصحيحة إلى عواملها الأولية
• تحليل المونويد
• التقسيم المضاعف
• جدول تحليل الأعداد الصحيحة إلى عواملها الأولية (التحليل الغاوسي)

• بيرنسايد، ويليام سنو ؛ بانتون، آرثر ويليام (1960) [1912]، نظرية المعادلات مع مقدمة لنظرية الأشكال الجبرية الثنائية (المجلد الأول) ، دوفر
• ديكسون، ليونارد يوجين (1922)، "مقدمة في نظرية المعادلات"، مجلة نيتشر ، 109 (2746)، نيويورك: جون وايلي وأولاده: 773، رمز Bibcode : 1922Natur.109R.773 ، doi : 10.1038/109773c0
• فايت، ويليام بنجامين (1921)، الجبر الجامعي (مراجعة) ، بوسطن: دي سي هيث وشركاه.
• كلاين، فيليكس (1925)، الرياضيات الابتدائية من منظور متقدم؛ الحساب، الجبر، التحليل ، دوفر
• سيلبي، صموئيل م. (1970)، جداول الرياضيات القياسية لشركة CRC (  الطبعة الثامنة عشرة)، شركة المطاط الكيميائي.

• يمكن لـ Wolfram Alpha أيضًا إجراء التحليل إلى عوامل .