حقل متجه

تمثيلان لنفس حقل المتجهات: v ( x , y ) = − r . تشير الأسهم إلى الحقل عند نقاط منفصلة، ​​ومع ذلك، فإن الحقل موجود في كل مكان.

بفرض مجموعة جزئية S من Rⁿ ^، يُمكن تمثيل حقل متجهي بدالة متجهة V : S → Rⁿ في الإحداثيات الديكارتية القياسية ( x₁ , …, xₙ ₎ . إذا كانت كل مركبة من _مركبات V متصلة، فإن V حقل متجهي متصل. من الشائع التركيز على ^الحقول المتجهة الملساء ، أي أن كل مركبة منها دالة ملساء (قابلة للتفاضل عددًا غير محدود من المرات). يُمكن تصور الحقل المتجهي على أنه إسناد متجه إلى كل نقطة في فضاء ذي n بُعد. ^{[ 1 ]}

إحدى طرق التدوين القياسية هي كتابة${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}}$بالنسبة لمتجهات الوحدة في اتجاهات الإحداثيات. وبهذا المعنى، كل حقل متجهي أملس${\displaystyle V}$على مجموعة فرعية مفتوحة${\displaystyle S}$ل${\displaystyle {\mathbf {R} }^{n}}$يمكن كتابتها على النحو التالي $${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}V_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n}){\frac {\partial }{\partial x_{i}}}}$$ لبعض الوظائف السلسة${\displaystyle V_{1},\ldots ,V_{n}}$على${\displaystyle S}$[ ^{2 ]} والسبب في هذه الصيغة هو أن حقل المتجهات يحدد خريطة خطية من فضاء الدوال الملساء إلى نفسه ^.${\displaystyle V\colon C^{\infty }(S)\إلى C^{\infty }(S)}$، يتم الحصول عليها عن طريق التفاضل في اتجاه حقل المتجهات.

مثال : حقل المتجهات${\displaystyle -x_{2}{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}+x_{1}{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}}$يصف دورانًا عكس اتجاه عقارب الساعة حول نقطة الأصل في${\displaystyle \mathbf {R} ^{2}}$لإثبات أن الدالة${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}$إذا كان ثابتًا دورانيًا، فاحسب: $${\displaystyle \left(-x_{2}{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}+x_{1}{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\right)\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right)=-x_{2}(2x_{1})+x_{1}(2x_{2})=0.}$$

بفرض وجود حقلين متجهين V و W معرفين على S ودالة سلسة f معرفة على S ، فإن عمليات الضرب القياسي وجمع المتجهات، $${\displaystyle {\begin{aligned}(fV)(p)&:=f(p)V(p)\\(V+W)(p)&:=V(p)+W(p),\end{aligned}}}$$ اجعل حقول المتجهات الملساء وحدة نمطية فوق حلقة الدوال الملساء، حيث يتم تعريف ضرب الدوال نقطة بنقطة.

في الفيزياء، يتميز المتجه أيضًا بكيفية تغير إحداثياته ​​عند قياسه بالنسبة لنظام إحداثيات مختلف. خصائص تحويل المتجهات تميزه ككيان هندسي مستقل عن قائمة بسيطة من الكميات العددية، أو عن المتجه المرافق .

لنفترض إذن أن ( x1 , ..., xn ₎ هو اختيار للإحداثيات الديكارتية ، والتي تُحدد مركبات المتجه V بناءً عليها _.$${\displaystyle V_{x}=(V_{1,x},\dots ,V_{n,x})}$$ ولنفترض أن ( y1 _, ..., yn ) هي n دالة لـ xᵢ _{تُعرّف نظام إحداثيات مختلف. عندئذٍ ،} يجب أن تُحقق مركبات المتجه V في الإحداثيات الجديدة قانون التحويل.

$${\displaystyle V_{i,y}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial y_{i}}{\partial x_{j}}}V_{j,x}.}$$

1

يُطلق على قانون التحويل هذا اسم قانون التحويل المتغاير . ويُميز قانون تحويل مماثل حقول المتجهات في الفيزياء: تحديدًا، حقل المتجهات هو تحديد لـ n دالة في كل نظام إحداثيات يخضع لقانون التحويل ( 1 ) الذي يربط بين أنظمة الإحداثيات المختلفة.

وبالتالي يتم التباين بين الحقول المتجهة والحقول العددية ، التي تربط رقمًا أو كمية عددية بكل نقطة في الفضاء، كما يتم التباين أيضًا مع القوائم البسيطة للحقول العددية، التي لا تتحول تحت تغييرات الإحداثيات.

بفرض وجود مشعب قابل للتفاضل${\displaystyle M}$، حقل متجه على${\displaystyle M}$هو تعيين متجه مماس لكل نقطة في${\displaystyle M}$[ ^{2 ] بتعبير أدق ،} حقل متجهي${\displaystyle F}$هي عملية ربط من${\displaystyle M}$في حزمة المماس${\displaystyle TM}$لهذا السبب.${\displaystyle p\circ F}$هو تعيين الهوية حيث${\displaystyle p}$يشير إلى الإسقاط من${\displaystyle TM}$ل${\displaystyle M}$بمعنى آخر، حقل المتجهات هو مقطع من حزمة المماس .

تعريف بديل: حقل متجهي أملس${\displaystyle X}$على مشعب${\displaystyle M}$هي خريطة خطية${\displaystyle X:C^{\infty }(M)\to C^{\infty }(M)}$بحيث${\displaystyle X}$هو اشتقاق :${\displaystyle X(fg)=fX(g)+X(f)g}$للجميع${\displaystyle f,g\in C^{\infty }(M)}$[ ^{3 ]​}

إذا كان المشعب${\displaystyle M}$ إذا كان التغيير في الإحداثيات سلسًا أو تحليليًا ، أي أن تغيير الإحداثيات سلس (تحليلي)، فإنه يمكن فهم مفهوم حقول المتجهات السلسة (التحليلية). مجموعة جميع حقول المتجهات السلسة على مشعب سلس${\displaystyle M}$يُشار إليه غالبًا بـ${\displaystyle \Gamma (TM)}$أو${\displaystyle C^{\infty }(M,TM)}$(خاصةً عند التفكير في حقول المتجهات كمقاطع ) ؛ ويُرمز أيضًا إلى مجموعة جميع حقول المتجهات الملساء بـ${\textstyle {\mathfrak {X}}(M)}$(حرف "X" مكتوب بالخط الفركتشري ).

يمكن إنشاء حقول متجهة من حقول قياسية باستخدام عامل التدرج (يرمز له بـ del : ∇). ^{[ 4 ]}

يُطلق على حقل المتجهات V المعرف على مجموعة مفتوحة S اسم حقل التدرج أو الحقل المحافظ إذا وُجدت دالة حقيقية القيمة (حقل قياسي) f على S بحيث $${\displaystyle V=\nabla f=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}},{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}},{\frac {\partial f}{\partial x_{3}}},\dots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\right).}$$

يُطلق على التدفق المرتبط اسمتدفق التدرج ، ويستخدم في طريقةهبوط التدرج.

التكامل المساري على طول أي منحنى مغلق γ ( γ (0) = γ (1)) في حقل محافظ يساوي صفرًا: $${\displaystyle \oint _{\gamma }V(\mathbf {x} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {x} =\oint _{\gamma }\nabla f(\mathbf {x} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {x} =f(\gamma (1))-f(\gamma (0)).}$$

^يُطلق على حقل المتجهات C∞ على Rⁿ \ ^{0} اسم حقل مركزي إذا $${\displaystyle V(T(p))=T(V(p))\qquad (T\in \mathrm {O} (n,\mathbb {R} ))}$$ حيث O( n , R ) هي المجموعة المتعامدة . نقول إن الحقول المركزية ثابتة تحت التحويلات المتعامدة حول الصفر.

تُسمى النقطة 0 مركز الحقل.

بما أن التحويلات المتعامدة هي في الواقع دورانات وانعكاسات، فإن شروط الثبات تعني أن متجهات الحقل المركزي تكون دائمًا موجهة نحو الصفر أو بعيدًا عنه؛ وهذا تعريف بديل (وأبسط). الحقل المركزي هو دائمًا حقل تدرج، لأن تعريفه على نصف محور واحد وتكامله يعطي تدرجًا مضادًا.

من التقنيات الشائعة في الفيزياء حساب التكامل الخطي لحقل متجهي على طول منحنى . ببساطة، يُقصد بذلك جمع جميع مركبات المتجهات المتوازية مع المماسات للمنحنى، معبرًا عنها كحاصل ضرب قياسي. على سبيل المثال، إذا كان لدينا جسيم في مجال قوة (كالجاذبية مثلاً)، حيث يمثل كل متجه عند نقطة معينة في الفضاء القوة المؤثرة على الجسيم عند تلك النقطة، فإن التكامل الخطي على طول مسار معين هو الشغل المبذول على الجسيم أثناء تحركه على طول هذا المسار. ببساطة، هو مجموع حاصل الضرب القياسي لمتجه القوة ومتجه المماس الصغير عند كل نقطة على طول المنحنى.

يتم إنشاء التكامل الخطي بشكل مشابه لتكامل ريمان وهو موجود إذا كان المنحنى قابلاً للتصحيح (له طول محدود) وكان حقل المتجهات متصلاً.

بفرض وجود حقل متجه V ومنحنى γ ، مُعطى بالمعامل t في الفترة [ a , b ] (حيث a و b أعداد حقيقية )، يُعرَّف التكامل الخطي على النحو التالي: $${\displaystyle \int _{\gamma }V(\mathbf {x} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {x} =\int _{a}^{b}V(\gamma (t))\cdot {\dot {\gamma }}(t)\,\mathrm {d} t.}$$

لإظهار طوبولوجيا حقل المتجهات، يمكن استخدام التفاف التكامل الخطي .

تباعد حقل متجهي في الفضاء الإقليدي هو دالة (أو حقل قياسي). في ثلاثة أبعاد، يُعرَّف التباعد بواسطة $${\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {\partial F_{1}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{2}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{3}}{\partial z}},}$$

مع التعميم الواضح للأبعاد العشوائية. يمثل التباعد عند نقطة ما مدى كون حجم صغير حول تلك النقطة مصدراً أو مصباً لتدفق المتجه، وهي نتيجة يتم تحديدها بدقة بواسطة نظرية التباعد .

يمكن أيضًا تعريف التباعد على مشعب ريماني ، أي مشعب ذو مقياس ريماني يقيس طول المتجهات.

اللفّ هو عملية تأخذ حقلًا متجهيًا وتُنتج حقلًا متجهيًا آخر. يُعرَّف اللفّ في ثلاثة أبعاد فقط، ولكن يمكن تمثيل بعض خصائصه في أبعاد أعلى باستخدام المشتقة الخارجية . في ثلاثة أبعاد، يُعرَّف اللفّ كما يلي :$${\displaystyle \operatorname {curl} \mathbf {F} =\nabla \times \mathbf {F} =\left({\frac {\partial F_{3}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{2}}{\partial z}}\right)\mathbf {e} _{1}-\left({\frac {\partial F_{3}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{1}}{\partial z}}\right)\mathbf {e} _{2}+\left({\frac {\partial F_{2}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{1}}{\partial y}}\right)\mathbf {e} _{3}.}$$

يقيس الدوران كثافة الزخم الزاوي لتدفق المتجه عند نقطة ما، أي مقدار دوران التدفق حول محور ثابت. ويُضفي قانون ستوكس دقةً على هذا الوصف البديهي .

دليل حقل متجهي هو عدد صحيح يساعد في وصف سلوكه حول نقطة صفرية معزولة (أي نقطة تفرد معزولة في الحقل). في المستوى، يأخذ الدليل القيمة -1 عند نقطة تفرد سرجية، والقيمة +1 عند نقطة تفرد مصدرية أو مصب.

ليكن n بُعد المتشعب الذي يُعرَّف عليه حقل المتجهات. لنأخذ سطحًا مغلقًا (متماثلًا شكليًا مع الكرة (n-1)-البُعدية) S حول الصفر، بحيث لا تقع أي أصفار أخرى داخل S. يمكن إنشاء دالة من هذه الكرة إلى كرة وحدة ذات بُعد n  −  1 بقسمة كل متجه على هذه الكرة على طوله لتكوين متجه طوله وحدة، وهو نقطة على كرة الوحدة S ^{n − 1.} يُعرِّف هذا تطبيقًا متصلًا من S إلى S ^{n − 1.} دليل حقل المتجهات عند هذه النقطة هو درجة هذه الدالة. يمكن إثبات أن هذا العدد الصحيح لا يعتمد على اختيار S، وبالتالي يعتمد فقط على حقل المتجهات نفسه.

لا يُعرَّف المؤشر عند أي نقطة غير شاذة (أي نقطة يكون فيها المتجه غير صفري). وهو يساوي +1 حول نقطة المصدر، وبشكل أعم يساوي (−1) ^k حول نقطة سرجية ذات k أبعاد انكماشية و n − k أبعاد تمددية.

يُعرَّف دليل حقل المتجهات ككل عندما يحتوي على عدد محدود من الأصفار. في هذه الحالة، تكون جميع الأصفار معزولة، ويُعرَّف دليل حقل المتجهات بأنه مجموع الأدلة عند جميع الأصفار.

بالنسبة للكرة العادية (ثنائية الأبعاد) في الفضاء ثلاثي الأبعاد، يمكن إثبات أن دليل أي حقل متجهي على الكرة يجب أن يكون 2. وهذا يدل على أن كل حقل متجهي من هذا النوع يجب أن يكون له صفر. وهذا يستلزم نظرية الكرة المشعرة .

بالنسبة لحقل متجه على مشعب مضغوط يحتوي على عدد محدود من الأصفار، تنص نظرية بوانكاريه-هوبف على أن دليل حقل المتجه هو خاصية أويلر للمشعب .

بحسب التعريف، حقل متجه على${\displaystyle M}$يُطلق على المجال اسم المجال الكامل إذا كان كل منحنى من منحنيات تدفقه موجودًا في جميع الأوقات. ^{[ 6 ]} على وجه الخصوص، تكون حقول المتجهات ذات الدعم المدمج على مشعب ما كاملة. إذا ${\displaystyle X}$هو حقل متجه كامل على${\displaystyle M}$ثم مجموعة التشاكلات ذات المعلمة الواحدة الناتجة عن التدفق على طول${\displaystyle X}$موجود إلى الأبد؛ ويتم وصفه بواسطة رسم بياني سلس $${\displaystyle \mathbf {R} \times M\to M.}$$ في فضاء متراص بدون حدود، يكون كل حقل متجهي أملس كاملاً. مثال على حقل متجهي غير كامل${\displaystyle V}$على الخط الحقيقي${\displaystyle \mathbb {R} }$يُعطى بواسطة${\displaystyle V(x)=x^{2}}$لذلك، المعادلة التفاضلية${\textstyle x'(t)=x^{2}}$، مع الشرط الابتدائي${\displaystyle x(0)=x_{0}}$، كحل فريد من نوعه${\textstyle x(t)={\frac {x_{0}}{1-tx_{0}}}}$لو${\displaystyle x_{0}\neq 0}$(و${\displaystyle x(t)=0}$للجميع${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$لو ${\displaystyle x_{0}=0}$). ومن ثم لـ${\displaystyle x_{0}\neq 0}$،${\displaystyle x(t)}$غير مُعرَّف في${\textstyle t={\frac {1}{x_{0}}}}$لذا لا يمكن تعريفها لجميع قيم${\displaystyle t}$.

لا يشترط أن تتبادل التدفقات المرتبطة بحقلين متجهين . ويُعبّر عن عدم تبادلها بقوس لي لحقلين متجهين، وهو بدوره حقل متجه. ويُعرّف قوس لي تعريفًا بسيطًا بدلالة تأثير الحقول المتجهة على الدوال الملساء.${\displaystyle f}$: $${\displaystyle [X,Y](f):=X(Y(f))-Y(X(f)).}$$