مسألة المربع المحاط بجدار

أثبت أرنولد إمك ( 1916 ) أن المنحنيات التحليلية المجزأة تحتوي دائمًا على مربعات داخلية. وينطبق هذا بشكل خاص على المضلعات. يعتمد برهان إمك على دراسة المنحنيات المرسومة من منتصفات القطع المستقيمة القاطعة للمنحنى، والموازية لخط معطى. ويُبين أنه عند تقاطع هذه المنحنيات مع المنحنيات المتولدة بنفس الطريقة لمجموعة من القطع المستقيمة القاطعة المتعامدة ، يكون عدد التقاطعات فرديًا . وبالتالي، يوجد دائمًا تقاطع واحد على الأقل، يُشكل مركز معين مرسوم داخل المنحنى المعطى. ومن خلال تدوير الخطين المتعامدين بشكل مستمر بزاوية قائمة ، وتطبيق نظرية القيمة المتوسطة ، يُبين أن أحد هذه المعينات على الأقل هو مربع. ^{[ 6 ]} 

أثبت سترومكويست أن كل منحنى بسيط مستوٍ رتيب محليًا يقبل مربعًا داخليًا. ^{[ 7 ]} ويشترط لحدوث هذا القبول أن يكون المنحنى C ، لأي نقطة p ، ممثلاً محليًا برسم بياني لدالة.${\displaystyle y=f(x)}$.

بتعبير أدق، بالنسبة لأي نقطة معينة${\displaystyle p}$على${\displaystyle C}$يوجد حي${\displaystyle U(p)}$واتجاه ثابت${\displaystyle n(p)}$(اتجاه "${\displaystyle y}$(المحور ") بحيث لا يوجد وتر من${\displaystyle C}$-في هذا الحي- موازٍ لـ${\displaystyle n(p)}$.

تشمل المنحنيات الرتيبة محليًا جميع أنواع المضلعات، وجميع المنحنيات المحدبة المغلقة، وجميع المنحنيات المجزأة. ${\displaystyle C^{1}}$منحنيات بدون أي نتوءات .

ثمة شرط أضعف على المنحنى من شرط الرتابة المحلية، وهو أنه بالنسبة لبعض${\displaystyle \varepsilon >0}$لا يحتوي المنحنى على أي أشباه منحرفات خاصة محفورة بحجم${\displaystyle \varepsilon }$شبه المنحرف الخاص هو شبه منحرف متساوي الساقين بثلاثة أضلاع متساوية، كل منها أطول من الضلع الرابع، مرسوم داخل المنحنى بترتيب رؤوس يتوافق مع ترتيب اتجاه عقارب الساعة للمنحنى نفسه. طوله هو طول جزء المنحنى الذي يمتد حول الأضلاع الثلاثة المتساوية. هنا، يُقاس هذا الطول في نطاق معلمات ثابتة لـ${\displaystyle C}$، مثل${\displaystyle C}$قد لا يكون قابلاً للتصحيح . وبدلاً من استخدام حجة النهاية، يعتمد البرهان على نظرية العوائق النسبية . هذا الشرط مفتوح وكثيف في فضاء جميع منحنيات جوردان بالنسبة إلى الطوبولوجيا المدمجة المفتوحة . وبهذا المعنى ^، تُحل مسألة المربع المحاط بالمنحنيات العامة . ^{[ 6} ]

إذا تم رسم منحنى جوردان داخل حلقة نصف قطرها الخارجي على الأكثر${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}$إذا رُسمت دائرة كبيرة بحيث تفصل الدائرة الداخلية للحلقة عن الدائرة الخارجية، فإنها تحتوي على مربع داخلي. في هذه الحالة، إذا تم تقريب المنحنى المعطى بمنحنى منتظم، فإن أي مربعات كبيرة تحتوي على مركز الحلقة ومُحاطة بالتقريب تكون منفصلة طوبولوجيًا عن المربعات الداخلية الأصغر التي لا تحتوي على المركز. يجب أن تكون نهاية سلسلة من المربعات الكبيرة مربعًا كبيرًا، وليس نقطة متدهورة، لذا يمكن استخدام حجة النهاية. ^{[ 6 ]}

كما أن الإجابة الإيجابية معروفة أيضاً بالنسبة للمنحنيات المتناظرة مركزياً، وحتى الأشكال الكسورية مثل ندفة الثلج لكوخ ، والمنحنيات ذات التناظر الانعكاسي عبر خط. ^{[ 8 ]}

في عام 2017، نشر تيرينس تاو برهانًا على وجود مربع في المنحنيات المُشكَّلة من اتحاد منحنيات دالتين، لهما نفس القيمة عند طرفي المنحنيات، وتخضعان لشرط استمرارية ليبشيتز بثابت ليبشيتز أقل من واحد. كما صاغ تاو عدة تخمينات ذات صلة . ^{[ 9 ]} في عام 2024، نشر جوشوا غرين وأندرو لوب بحثًا أوليًا يُحسِّن هذه النتيجة لتشمل المنحنيات ذات ثابت ليبشيتز أقل من${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}$[ ^{10 ]​}

في مارس 2022، أظهر غريغوري ر. تشامبرز أنه إذا${\displaystyle \gamma }$هو منحنى جوردان الذي يقترب من${\displaystyle C^{2}}$منحنى جوردان${\displaystyle \beta }$في${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$، ثم${\displaystyle \gamma }$يحتوي على مربع مرسوم. وقد أظهر أنه إذا${\displaystyle \kappa >0}$يمثل الحد الأقصى لانحناء غير مُوَقَّع لـ${\displaystyle \beta }$وهناك خريطة${\displaystyle f}$من صورة${\displaystyle \gamma }$إلى صورة${\displaystyle \beta }$مع${\displaystyle \|f(x)-x\|<1/10\kappa }$و${\displaystyle f\circ \gamma }$يحمل رقم اللف${\displaystyle 1}$، ثم${\displaystyle \gamma }$يحتوي على مربع داخلي طول ضلعه موجب. ^{[ 11 ]}