الدالة الكسرية

في الرياضيات ، الدالة الكسرية هي أي دالة يمكن تعريفها بكسر كسري ، وهو كسر جبري يكون كل من بسطه ومقامه كثيرات حدود . لا يشترط أن تكون معاملات كثيرات الحدود أعدادًا نسبية ؛ إذ يمكن اختيارها من أي حقل K. في هذه الحالة، يُشار إلى الدالة الكسرية بكسر كسري على K. يمكن اختيار قيم المتغيرات من أي حقل L يحتوي على K. عندئذٍ، يكون مجال الدالة هو مجموعة قيم المتغيرات التي لا يساوي مقامها صفرًا، ويكون المجال المقابل هو L.

مجموعة الدوال الكسرية على حقل K هي حقل، حقل كسور حلقة الدوال متعددة الحدود على K.

وظيفة${\displaystyle f}$تُسمى الدالة دالة كسرية إذا أمكن كتابتها على الصورة ^{[ 1 ]}

${\displaystyle f(x)={\frac {P(x)}{Q(x)}}}$

أين${\displaystyle P}$و${\displaystyle Q}$هي دوال متعددة الحدود لـ${\displaystyle x}$و${\displaystyle Q}$ليست الدالة الصفرية . مجال الدالة${\displaystyle f}$هي مجموعة جميع قيم${\displaystyle x}$المقام${\displaystyle Q(x)}$ليس صفرًا.

لكن إذا${\displaystyle \textstyle P}$و${\displaystyle \textstyle Q}$يكون لها قاسم مشترك أكبر متعدد الحدود غير ثابت${\displaystyle \textstyle R}$ثم الضبط${\displaystyle \textstyle P=P_{1}R}$و${\displaystyle \textstyle Q=Q_{1}R}$ينتج دالة كسرية

${\displaystyle f_{1}(x)={\frac {P_{1}(x)}{Q_{1}(x)}},}$

والتي قد يكون لها نطاق أوسع من${\displaystyle f}$، وهو يساوي${\displaystyle f}$في نطاق${\displaystyle f.}$من الشائع استخدامه لتحديد${\displaystyle f}$و${\displaystyle f_{1}}$أي توسيع نطاق "بالاستمرارية"${\displaystyle f}$إلى ذلك من${\displaystyle f_{1}.}$في الواقع، يمكن تعريف الكسر النسبي على أنه فئة تكافؤ لكسور كثيرات الحدود، حيث يكون كسران${\displaystyle \textstyle {\frac {A(x)}{B(x)}}}$و${\displaystyle \textstyle {\frac {C(x)}{D(x)}}}$تُعتبر متكافئة إذا${\displaystyle A(x)D(x)=B(x)C(x)}$في هذه الحالة${\displaystyle \textstyle {\frac {P(x)}{Q(x)}}}$يعادل${\displaystyle \textstyle {\frac {P_{1}(x)}{Q_{1}(x)}}.}$

الدالة الكسرية الصحيحة هي دالة كسرية تكون فيها درجة${\displaystyle P(x)}$أقل من درجة${\displaystyle Q(x)}$وكلاهما كثيرتا حدود حقيقيتان ، سميتا قياساً على كسر حقيقي في${\displaystyle \mathbb {Q} .}$^{[ 2 ]}

أمثلة على الدوال الكسرية

دالة كسرية من الدرجة 3، مع رسم بياني من الدرجة  3:${\displaystyle y={\frac {x^{3}-2x}{2(x^{2}-5)}}}$

دالة كسرية من الدرجة الثانية، مع رسم بياني من الدرجة  الثالثة:${\displaystyle y={\frac {x^{2}-3x-2}{x^{2}-4}}}$

الدالة الكسرية

${\displaystyle f(x)={\frac {x^{3}-2x}{2(x^{2}-5)}}}$

غير مُعرَّف في

${\displaystyle x^{2}=5\Leftrightarrow x=\pm {\sqrt {5}}.}$

وهو مقارب لـ${\displaystyle {\tfrac {x}{2}}}$مثل${\displaystyle x\to \infty .}$

الدالة الكسرية

${\displaystyle f(x)={\frac {x^{2}+2}{x^{2}+1}}}$

تُعرَّف لجميع الأعداد الحقيقية ، ولكن ليس لجميع الأعداد المركبة ، لأنه إذا كان x جذرًا تربيعيًا لـ${\displaystyle -1}$(أي الوحدة التخيلية أو معكوسها)، عندئذٍ سيؤدي التقييم الرسمي إلى القسمة على صفر:

${\displaystyle f(i)={\frac {i^{2}+2}{i^{2}+1}}={\frac {-1+2}{-1+1}}={\frac {1}{0}},}$

وهو غير محدد.

الدالة الثابتة مثل f ( x ) = π هي دالة كسرية لأن الثوابت هي كثيرات حدود. الدالة نفسها كسرية، على الرغم من أن قيمة f ( x ) غير كسرية لجميع قيم x .

كل دالة متعددة الحدود${\displaystyle f(x)=P(x)}$هي دالة كسرية مع${\displaystyle Q(x)=1.}$دالة لا يمكن كتابتها بهذا الشكل، مثل${\displaystyle f(x)=\sin(x),}$ليست دالة كسرية. ومع ذلك، فإن صفة "غير كسرية" لا تُستخدم عمومًا لوصف الدوال.

يمكن كتابة كل متعددة حدود لوران كدالة كسرية بينما العكس ليس صحيحًا بالضرورة، أي أن حلقة متعددات حدود لوران هي حلقة فرعية من الدوال الكسرية.

الدالة الكسرية${\displaystyle f(x)={\tfrac {x}{x}}}$يساوي 1 لجميع قيم x باستثناء 0، حيث توجد نقطة شاذة قابلة للإزالة . مجموع أو حاصل ضرب أو خارج قسمة دالتين كسريتين (باستثناء القسمة على كثير الحدود الصفري) هو دالة كسرية بحد ذاته. مع ذلك، قد تؤدي عملية الاختزال إلى الصيغة القياسية إلى إزالة هذه النقاط الشاذة دون قصد ما لم يُتخذ الحذر اللازم. يُمكن تجاوز هذه المشكلة باستخدام تعريف الدوال الكسرية كفئات تكافؤ، لأن x / x يكافئ 1/1.

تحقق معاملات متسلسلة تايلور لأي دالة كسرية علاقة تكرار خطية ، والتي يمكن إيجادها عن طريق مساواة الدالة الكسرية بمتسلسلة تايلور ذات معاملات غير محددة، وجمع الحدود المتشابهة بعد مسح المقام.

على سبيل المثال،

${\displaystyle {\frac {1}{x^{2}-x+2}}=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}.}$

بضرب الكسر في المقام وتوزيعه،

${\displaystyle 1=(x^{2}-x+2)\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}}$

${\displaystyle 1=\sum _{k=0}^{\infty}a_{k}x^{k+2}-\sum _{k=0}^{\infty}a_{k}x^{k+1}+2\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}.}$

بعد تعديل مؤشرات المجاميع للحصول على نفس قوى x ، نحصل على

${\displaystyle 1=\sum _{k=2}^{\infty}a_{k-2}x^{k}-\sum _{k=1}^{\infty}a_{k-1}x^{k}+2\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}.}$

بجمع الحدود المتشابهة نحصل على

${\displaystyle 1=2a_{0}+(2a_{1}-a_{0})x+\sum _{k=2}^{\infty }(a_{k-2}-a_{k-1}+2a_{k})x^{k}.}$

بما أن هذا ينطبق على جميع قيم x في نصف قطر تقارب متسلسلة تايلور الأصلية، يمكننا الحساب كما يلي. وبما أن الحد الثابت على اليسار يجب أن يساوي الحد الثابت على اليمين، فإنه يترتب على ذلك أن

${\displaystyle a_{0}={\frac {1}{2}}.}$

وبما أنه لا توجد قوى لـ x على اليسار، فإن جميع المعاملات على اليمين يجب أن تكون صفرًا، ومن ثم يترتب على ذلك أن

${\displaystyle a_{1}={\frac {1}{4}}}$

${\displaystyle a_{k}={\frac {1}{2}}(a_{k-1}-a_{k-2})\quad {\text{for}}\ k\geq 2.}$

على النقيض، فإن أي متتالية تحقق علاقة تكرارية خطية تحدد دالة كسرية عند استخدامها كمعاملات لمتسلسلة تايلور. وهذا مفيد في حل هذه العلاقات التكرارية، إذ باستخدام تحليل الكسور الجزئية، يمكننا كتابة أي دالة كسرية مناسبة كمجموع عوامل من الشكل 1/( ax + b ) وتوسيعها كمتسلسلات هندسية ، مما يعطي صيغة صريحة لمعاملات تايلور؛ وهذه هي طريقة الدوال المولدة .

في الجبر المجرد، يُوسّع مفهوم كثير الحدود ليشمل التعبيرات الرسمية التي يمكن فيها أخذ معاملات كثير الحدود من أي حقل . في هذا السياق، بالنظر إلى حقل${\displaystyle F}$وبعضها غير محدد${\displaystyle X}$التعبير الكسري (المعروف أيضًا بالكسر الكسري أو، في الهندسة الجبرية ، الدالة الكسرية ) هو أي عنصر من حقل الكسور في حلقة كثيرات الحدود${\displaystyle F[X]}$يمكن كتابة أي تعبير كسري على شكل خارج قسمة كثيرتي حدود${\displaystyle P/Q}$مع${\displaystyle Q\neq 0}$، على الرغم من أن هذا التمثيل ليس فريدًا.${\displaystyle P/Q}$يعادل${\displaystyle R/S}$، بالنسبة لكثيرات الحدود${\displaystyle P}$،${\displaystyle Q}$،${\displaystyle R}$، و${\displaystyle S}$، متى${\displaystyle PS=QR}$ومع ذلك، بما أن${\displaystyle F[X]}$إذا كان مجال تحليل فريد ، فهناك تمثيل فريد لأي تعبير كسري${\displaystyle P/Q}$مع${\displaystyle P}$و${\displaystyle Q}$كثيرات الحدود من أدنى درجة و${\displaystyle Q}$تم اختيارها لتكون أحادية . وهذا يشبه كيف يمكن دائمًا كتابة كسر من الأعداد الصحيحة بشكل فريد في أبسط صورة عن طريق حذف العوامل المشتركة.

يُرمز إلى مجال التعبيرات النسبية بـ${\displaystyle F(X)}$يُقال إن هذا الحقل يتم إنشاؤه (كحقل) على${\displaystyle F}$بواسطة ( عنصر متعالٍ )${\displaystyle X}$، لأن${\displaystyle F(X)}$لا يحتوي على أي حقل فرعي مناسب يحتوي على كليهما${\displaystyle F}$والعنصر${\displaystyle X}$.

تُستخدم الدوال الكسرية في التحليل العددي لاستيفاء الدوال وتقريبها ، مثل تقريبات باديه التي قدمها هنري باديه . وتُعدّ التقريبات باستخدام الدوال الكسرية مناسبةً لأنظمة الجبر الحاسوبي وغيرها من البرامج العددية . ومثل كثيرات الحدود، يمكن حسابها بسهولة، وفي الوقت نفسه، تُظهر سلوكًا أكثر تنوعًا من كثيرات الحدود.

تُستخدم الدوال الكسرية لتقريب أو نمذجة المعادلات الأكثر تعقيدًا في العلوم والهندسة، بما في ذلك المجالات والقوى في الفيزياء ، والتحليل الطيفي في الكيمياء التحليلية، وحركية الإنزيمات في الكيمياء الحيوية، والدوائر الإلكترونية، والديناميكا الهوائية، وتركيزات الأدوية في الجسم الحي، والدوال الموجية للذرات والجزيئات، والبصريات والتصوير الفوتوغرافي لتحسين دقة الصورة، وعلم الصوتيات والصوت.

في معالجة الإشارات ، فإن تحويل لابلاس (للأنظمة المستمرة) أو تحويل z (للأنظمة ذات الوقت المنفصل) لاستجابة النبضة للأنظمة الخطية الثابتة زمنياً شائعة الاستخدام (المرشحات) ذات استجابة النبضة اللانهائية هي دوال كسرية على الأعداد المركبة.

• التحلل الجزئي
• الكسور الجزئية في التكامل
• حقل دالة من نوع جبري
• الكسور الجبرية – تعميم للدوال الكسرية يسمح بأخذ الجذور الصحيحة 

• "الدالة الكسرية" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]
• بريس، دبليو إتش؛ تيوكولسكي، إس إيه؛ فيترلينغ، دبليو تي؛ فلانيري، بي بي (2007)، "القسم 3.4. استيفاء واستقراء الدوال الكسرية"، وصفات عددية: فن الحوسبة العلمية (  الطبعة الثالثة)، مطبعة جامعة كامبريدج، رقم ISBN 978-0-521-88068-8

• عرض ديناميكي للدوال الكسرية باستخدام JSXGraph