المربع السحري

على الرغم من وجود إشارات قديمة إلى نمط الأعداد الزوجية والفردية في المربع السحري 3×3 في كتاب " يي جينغ" ، إلا أن أول ظهور واضح لهذا المربع السحري يظهر في فصل "مينغتانغ " (القاعة المضيئة) من كتاب "دا داي ليجي" (سجل طقوس الشيخ داي) الذي يعود إلى القرن الأول الميلادي، والذي زُعم أنه يصف الطقوس الصينية القديمة لسلالة تشو. ^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]} وتظهر هذه الأعداد أيضًا في نص رياضي أقدم يُحتمل أن يكون أقدم، يُدعى "شوشو جيي" (مذكرات عن بعض تقاليد الفن الرياضي)، ويُقال إنه كُتب عام 190 قبل الميلاد. وهذا هو أقدم ظهور مُسجل للمربع السحري؛ وقد استُخدم بشكل أساسي في التنجيم والعرافة. ^{[ 5 ]} وقد أطلق علماء الرياضيات الصينيون الأوائل على المربع السحري 3×3 اسم "القاعات التسع". ^{[ 7 ]} لم يتم ربط المربع السحري 3×3 بمخطط لوشو الأسطوري إلا في القرن الثاني عشر، ومنذ ذلك الحين أصبح يُعرف باسم مربع لوشو. ^{[ 5 ] [ 7 ]} أقدم رسالة صينية باقية تعرض مربعات سحرية من رتبة أكبر من 3 هي كتاب يانغ هوي " Xugu zheqi suanfa " (تكملة الأساليب الرياضية القديمة لتوضيح العجائب) الذي كُتب عام 1275. ^{[ 5 ] [ 7 ]} جُمعت محتويات رسالة يانغ هوي من أعمال أقدم، محلية وأجنبية؛ وهو يشرح فقط بناء المربعات السحرية من الرتبة الثالثة والرابعة، بينما ينقل فقط الرسوم البيانية النهائية للمربعات الأكبر. ^{[ 7 ]} يقدم مربعًا سحريًا من الرتبة 3، ومربعين لكل رتبة من 4 إلى 8، ومربعًا واحدًا من الرتبة 9، ومربعًا شبه سحري من الرتبة 10. كما يقدم ست دوائر سحرية متفاوتة التعقيد. ^{[ 9 ]}

المربعات السحرية المذكورة أعلاه، من الرتب 3 إلى 9، مأخوذة من كتاب يانغ هوي، الذي يتجلى فيه مبدأ لو شو بوضوح. ^{[ 7 ] [ 8 ]} المربع من الرتبة 5 هو مربع سحري ذو إطار، يتكون من مربع مركزي 3×3 مُشكّل وفقًا لمبدأ لو شو. أما المربع من الرتبة 9 فهو مربع سحري مُركّب، حيث تكون المربعات الفرعية التسعة 3×3 فيه سحرية أيضًا. ^{[ 7 ]} بعد يانغ هوي، تكرر ظهور المربعات السحرية في الرياضيات الصينية ، كما في كتاب دينغ ييدونغ " دايان سويين" ( حوالي 1300 )، وكتاب تشنغ داوي " سوانفا تونغزونغ" (1593)، وكتاب فانغ تشونغتونغ " شودويان " (1661) الذي يتضمن دوائر ومكعبات وكرات سحرية، وكتاب تشانغ تشاو " شينزاي زازو" ( حوالي 1650 ) الذي نشر أول مربع سحري صيني من الرتبة عشرة، وأخيرًا كتاب باو تشيشو " بينايشانفانغ جي" ( حوالي 1880 ) الذي قدم فيه العديد من التكوينات السحرية ثلاثية الأبعاد. ^{[ 5 ] [ 8 ]} ومع ذلك، على الرغم من كونهم أول من اكتشف المربعات السحرية وسبقهم بعدة قرون، إلا أن التطور الصيني في هذا المجال كان أقل بكثير مقارنةً بالتطورات الهندية والشرق أوسطية والأوروبية. ويبدو أن ذروة الرياضيات الصينية التي تناولت المربعات السحرية تكمن في أعمال يانغ هوي. لكن حتى كمجموعة من الأساليب القديمة، يُعد هذا العمل بدائيًا للغاية، إذ يفتقر إلى أساليب عامة لبناء المربعات السحرية من أي رتبة، مقارنةً بمجموعة مماثلة كتبها العالم البيزنطي مانويل موشوبولوس في نفس الفترة تقريبًا . ^{[ 7 ]} ربما يعود ذلك إلى افتتان العلماء الصينيين بمبدأ لو شو، الذي حاولوا تكييفه لحل المربعات الأعلى؛ وبعد يانغ هوي وسقوط سلالة يوان ، إلى تطهيرهم المنهجي للتأثيرات الأجنبية في الرياضيات الصينية. ^{[ 7 ]}

تتشابه اليابان والصين في تقاليدهما الرياضية، وقد أثر كل منهما على الآخر مرارًا وتكرارًا في تاريخ المربعات السحرية. ^{[ 10 ]} بدأ الاهتمام الياباني بالمربعات السحرية بعد انتشار الأعمال الصينية - كتاب "سوانفا " ليانغ هوي وكتاب " سوانفا تونغزونغ " لتشنغ داوي - في القرن السابع عشر، ونتيجة لذلك، كرس جميع علماء "واسان " تقريبًا وقتهم لدراستها.

في طبعة عام 1660 من كتاب "كيتسوغي شو" ، قدّم إيسومورا كيتوكو مربعات سحرية ذات حدود، فردية وزوجية، بالإضافة إلى دوائر سحرية؛ بينما احتوت طبعة عام 1684 من الكتاب نفسه على قسم كبير عن المربعات السحرية، مما يدل على امتلاكه طريقة عامة لإنشاء مربعات سحرية ذات حدود. ^{[ 11 ]} في كتاب "جينكو كي " (1665) لموراماتسو كودايو موسي، عُرضت كل من المربعات والدوائر السحرية. أكبر مربع أنشأه موسي هو من الرتبة التاسعة عشرة. كما نُشرت مربعات ودوائر سحرية متنوعة من قِبل نوزاوا تيتشو في "دوكاي شو" (1666)، وساتو سيكو في "كونغينكي" (1666)، وهوسينو سانينوبو في "كو-كو-غين شو" (1673). ^{[ 12 ]} أحد كتب سيكي تاكاكازو السبعة ( هوجين ينسان ) (1683) مُخصّص بالكامل للمربعات والدوائر السحرية. يُعدّ هذا الكتاب الياباني الأول الذي يُقدّم معالجة شاملة للمربعات السحرية، حيث يشرح بوضوح خوارزميات إنشاء المربعات السحرية ذات الحدود الفردية، والمربعات السحرية ذات الحدود الزوجية المفردة، والمربعات السحرية ذات الحدود الزوجية المزدوجة. ^{[ 13 ]} في عامي 1694 و1695، قدّم يوكي أندو طرقًا مختلفة لإنشاء المربعات السحرية، وعرض مربعات من الرتبة 3 إلى 30. وقد أنشأ يوشيزان تاناكا (1651-1719) مكعبًا سحريًا من الرتبة الرابعة في كتابه "راكوشوكيكان" (1683). وواصل تلاميذ سيكي دراسة المربعات السحرية، ولا سيما كاتا هيرو تاكيب، الذي عُرضت مربعاته في المجلد الرابع من كتاب "إيتشيغين كابو" لشوكي إيري، ويوشيسوكي ماتسوناغا في كتاب "هوجين شين جوتسو" ، ويوشيهيرو كوروشيما في كتاب "كيوشي إيكو" الذي أعاد اكتشاف طريقة لإنتاج المربعات الفردية التي قدّمها أغريبا، ^{[ 14 ]} وناونوبو أجيما . ^{[ 15 ] [ 16 ]} وهكذا، بحلول مطلع القرن الثامن عشر، كان علماء الرياضيات اليابانيون يمتلكون طرقًا لإنشاء مربعات سحرية ذات رتبة عشوائية. بعد ذلك، بدأ نوشيزومي ياماجي محاولات حصر المربعات السحرية. ^{[ 16 ]}

ظهر المربع السحري 3×3 لأول مرة في الهند في كتاب "غارغاسامهيتا " لغارغا، الذي أوصى باستخدامه لتهدئة الكواكب التسعة ( نافاغراها ). يعود تاريخ أقدم نسخة من هذا النص إلى عام 100 ميلادي، ولكن لا يمكن أن يكون المقطع المتعلق بالكواكب قد كُتب قبل عام 400 ميلادي. أما أول استخدام موثق للمربع السحري 3×3 في الهند، فقد ورد في نص طبي بعنوان "سيدهايوغ " ( حوالي 966 ميلادي ) لفرندا، والذي وُصف للنساء أثناء المخاض لتسهيل الولادة. ^{[ 17 ]}

أقدم مربع سحري من الرتبة الرابعة معروف تاريخيًا في العالم موجود في موسوعة كتبها فاراهاميهيرا حوالي عام 550 ميلاديًا تُسمى برهات سامهيتا . صُمم هذا المربع السحري لغرض صنع العطور باستخدام 4 مواد مختارة من بين 16 مادة مختلفة. تمثل كل خلية من خلايا المربع مكونًا معينًا، بينما يمثل الرقم الموجود في الخلية نسبة هذا المكون، بحيث يكون حجم الخليط الناتج عن مزج أي أربعة مكونات على طول الأعمدة والصفوف والأقطار، وما إلى ذلك، 18. على الرغم من أن الكتاب يتناول في معظمه التنجيم، إلا أن المربع السحري يُقدم كتصميم تركيبي، ولا تُنسب إليه أي خصائص سحرية. وقد علّق بهاتوتبالا ( حوالي عام 900 ميلاديًا ) على الخصائص المميزة لهذا المربع السحري ^{[ 18 ] [ 17 ].}

مجموع مربع فاراهاميهيرا المذكور أعلاه يساوي 18. تظهر الأرقام من 1 إلى 8 مرتين في هذا المربع، وهو مربع سحري قطري . يمكن الحصول على أربعة مربعات سحرية مختلفة بإضافة 8 إلى إحدى مجموعتي الأرقام من 1 إلى 8. يتم اختيار التسلسل بحيث يُضاف الرقم 8 مرتين بالضبط في كل صف، وكل عمود، وكل قطر من الأقطار الرئيسية. أحد المربعات السحرية الممكنة معروض على الجانب الأيمن. يتميز هذا المربع السحري بكونه دورانًا بزاوية 90 درجة لمربع سحري ظهر في العالم الإسلامي في القرن الثالث عشر كواحد من أشهر المربعات السحرية. ^{[ 19 ]}

يُفصّل كتاب "كاكسابوتا" ، الذي ألفه الكيميائي ناجارجونا حوالي القرن العاشر الميلادي، كيفية بناء المربع السحري من الرتبة الرابعة. جميع المربعات التي ذكرها ناجارجونا هي مربعات سحرية من الرتبة 4×4، ويُطلق على أحدها اسم "ناجارجونيا" نسبةً إليه. قدّم ناجارجونا طريقةً لبناء مربع سحري من الرتبة 4×4 باستخدام مربع هيكلي أساسي، مع تحديد مجموع سحري فردي أو زوجي. ^{[ 18 ]} يظهر مربع ناجارجونا أدناه، ومجموعه يساوي 100.

مربع ناجارجونيا هو مربع سحري قطري . يتكون من متتابعتين حسابيتين تبدآن من 6 و16، كل منهما مكونة من ثمانية حدود، والفرق بين كل حدين متتاليين هو 4. عند اختزال هاتين المتتابعتين إلى المتتابعة العادية من 1 إلى 8، نحصل على المربع المجاور.

في حوالي القرن الثاني عشر، نُقش مربع سحري 4×4 على جدار معبد بارشفاناث في خاجوراهو بالهند. وتُعلّم العديد من الترانيم الجينية كيفية إنشاء المربعات السحرية، على الرغم من عدم إمكانية تحديد تاريخها. ^{[ 17 ]}

بحسب ما هو معروف، فإن أول دراسة منهجية للمربعات السحرية في الهند أجراها ثاكار فيرو ، وهو عالم جايني، في كتابه "غانيتاسارا كومودي " (حوالي 1315). يحتوي هذا العمل على قسم صغير عن المربعات السحرية يتألف من تسعة أبيات. يقدم فيه فيرو مربعًا من الرتبة الرابعة، ويشير إلى إعادة ترتيبه؛ ويصنف المربعات السحرية إلى ثلاثة أنواع (فردي، زوجي مختلط، وفردي زوجي) وفقًا لرتبتها؛ ويقدم مربعًا من الرتبة السادسة؛ ويصف طريقة واحدة لكل من المربعات الزوجية والفردية. بالنسبة للمربعات الزوجية، يقسم فيرو المربع إلى مربعات فرعية من الرتبة الرابعة، ويضع الأرقام في الخلايا وفقًا لنمط المربع القياسي من الرتبة الرابعة. أما بالنسبة للمربعات الفردية، فيقدم فيرو طريقة باستخدام حركة الحصان أو حركة الفارس . على الرغم من اختلافها خوارزميًا، إلا أنها تعطي نفس المربع الذي تعطيه طريقة دي لا لوبير. ^{[ 17 ]}

تناول نارايانا بانديت العمل الشامل التالي حول المربعات السحرية ، حيث قدم في الفصل الرابع عشر من كتابه "غانيتا كومودي " (1356) طرقًا عامة لبنائها، إلى جانب المبادئ التي تحكم هذه البناءات. يتألف هذا الفصل من 55 بيتًا للقواعد و17 بيتًا للأمثلة. يقدم نارايانا طريقة لبناء جميع المربعات السحرية الشاملة من الرتبة الرابعة باستخدام حركة الفارس؛ ويحصي عدد المربعات السحرية الشاملة القطرية من الرتبة الرابعة، وهو 384 مربعًا، بما في ذلك جميع الاختلافات الناتجة عن الدوران والانعكاس؛ وثلاث طرق عامة للمربعات التي لها أي رتبة ومجموع ثابت عندما يكون المربع القياسي من نفس الرتبة معروفًا؛ وطريقتين لكل من المربعات الزوجية، والزوجية الفردية، والفردية عندما يكون المجموع معلومًا. وبينما يصف نارايانا طريقة قديمة لكل نوع من أنواع المربعات، فإنه يدعي أن طريقة التراكب للمربعات الزوجية والفردية، وطريقة التبادل للمربعات الزوجية الفردية، هي من ابتكاره. أُعيد اكتشاف طريقة التراكب لاحقًا على يد دي لا هير في أوروبا. في القسم الأخير، يتصور أشكالًا أخرى، مثل الدوائر والمستطيلات والسداسيات، حيث يمكن ترتيب الأرقام لتمتلك خصائص مشابهة لخصائص المربعات السحرية. ^{[ 18 ] [ 17 ]} فيما يلي بعض المربعات السحرية التي أنشأها نارايانا: ^{[ 18 ]}

المربع ذو الرتبة 8 مثير للاهتمام بحد ذاته، كونه مثالًا على المربع السحري الأمثل. ويذكر نارايانا أن الغاية من دراسة المربعات السحرية هي بناء اليانترا ، وتحطيم غرور الرياضيين غير الأكفاء، وإمتاع الرياضيين المتميزين. ويُشار إلى موضوع المربعات السحرية باسم بهادراجانيتا ، ويذكر نارايانا أن الإله شيفا هو أول من علّمه للبشر . ^{[ 17 ]}

على الرغم من أن التاريخ المبكر للمربعات السحرية في بلاد فارس والجزيرة العربية غير معروف، فقد أشير إلى أنها كانت معروفة في العصر الجاهلي. ^{[ 20 ]} ومع ذلك، من الواضح أن دراسة المربعات السحرية كانت شائعة في الإسلام في العصور الوسطى ، ويُعتقد أنها بدأت بعد دخول الشطرنج إلى المنطقة. ^{[ 21 ] [ 22 ] [ 23 ]} أول ظهور مؤرخ لمربع سحري من الرتبة 3 ورد في كتاب الموازين الصغيرة لجابر بن حيان ( ازدهر حوالي 721 - حوالي 815)، حيث رُبط المربع السحري وعلم الأعداد المرتبط به بالكيمياء. ^{[ 8 ]} في حين أنه من المعروف أن رسائل حول المربعات السحرية كُتبت في القرن التاسع، فإن أقدم الرسائل الموجودة تعود إلى القرن العاشر: إحداها لأبي الوفاء البزجاني ( حوالي 998 ) وأخرى لعلي بن أبي هـ. أحمد الأنطاكي ( حوالي 987 م). ^{[ 22 ] [ 24 ] [ 25 ]} كانت هذه الرسائل المبكرة رياضية بحتة، والمصطلح العربي المستخدم للمربعات السحرية هو " التوزيع المتناغم للأعداد" . ^{[ 23 ]} وبحلول نهاية القرن العاشر، أوضحت رسالتا بوزجاني وأنطاكي أن علماء الرياضيات في الشرق الأوسط قد فهموا كيفية إنشاء مربعات ذات حدود من أي رتبة، بالإضافة إلى المربعات السحرية البسيطة ذات الرتب الصغيرة ( ن ≤ 6) والتي استُخدمت لإنشاء مربعات سحرية مركبة. ^{[ 22 ] [ 24 ]} يظهر نموذج للمربعات السحرية من الرتب 3 إلى 9 التي ابتكرها علماء الرياضيات في الشرق الأوسط في موسوعة من بغداد حوالي عام 983م ، وهي " رسائل إخوان الصفا " . ^{[ 26 ]} المربعات من الرتبة 3 إلى 7 من الرسيل معطاة أدناه: ^{[ 26 ]}

شهد القرن الحادي عشر اكتشاف عدة طرق لإنشاء مربعات سحرية بسيطة للأعداد الفردية والزوجية؛ أما الحالة الأكثر تعقيدًا للأعداد الفردية الزوجية ( ن = 4ك + 2 ) فقد حلّها ابن الهيثم عندما كان ك عددًا زوجيًا (حوالي 1040)، وحُلّت تمامًا بحلول بداية القرن الثاني عشر، إن لم يكن في النصف الثاني من القرن الحادي عشر. ^{[ 22 ]} وفي نفس الفترة تقريبًا، بدأ إنشاء المربعات القطرية. وكثرت الرسائل حول المربعات السحرية في القرنين الحادي عشر والثاني عشر. واتجهت هذه التطورات اللاحقة إلى تحسين أو تبسيط الطرق الموجودة. ومنذ القرن الثالث عشر فصاعدًا، ازداد استخدام المربعات السحرية في أغراض باطنية. ^{[ 22 ]} ومع ذلك، فإن معظم هذه النصوص اللاحقة المكتوبة لأغراض باطنية تكتفي بوصف بعض المربعات السحرية وذكر خصائصها، دون شرح مبدأ إنشائها، ولم يُبقِ على النظرية العامة إلا بعض المؤلفين. ^{[ 22 ]} كان من بين هؤلاء العارفين بالخفايا الجزائري أحمد البوني (حوالي 1225)، الذي قدم طرقًا عامة لإنشاء المربعات السحرية ذات الحدود؛ ومن بينهم أيضًا المصري شابراماليسي من القرن السابع عشر والنيجيري الكشناوي من القرن الثامن عشر. ^{[ 27 ]}

وُصِفَ المربع السحري من الرتبة الثالثة بأنه تعويذة للإنجاب ^{[ 28 ] [ 29 ]} منذ ظهوره الأدبي الأول في مؤلفات جابر بن حيان (المعروف في أوروبا بين عامي 721 و815 ميلاديًا) ^{[ 29 ] [ 30 ]} والغزالي (1058-1111 ميلاديًا) ^{[ 31 ]} في علم الكيمياء ، وحُفِظَ في تقاليد الجداول الكوكبية. أما أقدم ذكر لارتباط سبعة مربعات سحرية بفضائل الأجرام السماوية السبعة، فيظهر في كتاب تدبيرات الكواكب للعالم الأندلسي ابن زركالي ( المعروف في أوروبا باسم أزرقيل) (1029-1087 ميلاديًا) . ^{[ 32 ]} بعد قرن من الزمان، نسب العالم الجزائري أحمد البوني خصائص باطنية للمربعات السحرية في كتابه المؤثر للغاية " شمس المعارف " ، الذي يصف أيضًا كيفية بنائها. ولا يزال هذا التقليد المتعلق بسلسلة من المربعات السحرية من الرتبة الثالثة إلى التاسعة، والمرتبطة بالكواكب السبعة، موجودًا في النسخ اليونانية والعربية واللاتينية. ^{[ 33 ]} كما توجد إشارات إلى استخدام المربعات السحرية في الحسابات الفلكية، وهي ممارسة يبدو أنها نشأت مع العرب. ^{[ 34 ] [ 35 ]}

على عكس الوضع في بلاد فارس والجزيرة العربية، توجد وثائق أفضل حول كيفية انتقال المربعات السحرية إلى أوروبا. ففي حوالي عام 1315، متأثرًا بالمصادر العربية، كتب العالم البيزنطي اليوناني مانويل موشوبولوس رسالة رياضية حول موضوع المربعات السحرية، متجاوزًا الجوانب الغامضة التي ميزت أسلافه من الشرق الأوسط، حيث قدم طريقتين للمربعات الفردية وطريقتين للمربعات الزوجية. ظل موشوبولوس مجهولًا في أوروبا اللاتينية حتى أواخر القرن السابع عشر، عندما أعاد فيليب دي لا هير اكتشاف رسالته في المكتبة الملكية في باريس. ^{[ 36 ]} مع ذلك، لم يكن أول أوروبي يكتب عن المربعات السحرية؛ فقد انتشرت هذه المربعات إلى بقية أنحاء أوروبا عبر إسبانيا وإيطاليا كأدوات غامضة. لم تصف الرسائل الغامضة المبكرة التي عرضت هذه المربعات كيفية بنائها، مما استدعى إعادة اكتشاف النظرية برمتها.

ظهرت المربعات السحرية لأول مرة في أوروبا في كتاب تدبيرات الكواكب ، الذي ألفه ابن زركلي الطليطلي الأندلسي، كمربعات كوكبية في القرن الحادي عشر. ^{[ 32 ]} ناقش العالم اليهودي إبراهيم بن عزرا الطليطلي المربع السحري رقم ثلاثة من منظور عددي في أوائل القرن الثاني عشر ، مما أثر على علماء الكابالا اللاحقين. ^{[ 37 ]} تُرجم كتاب ابن زركلي بعنوان "كتاب علم الفلك" في ثمانينيات القرن الثالث عشر، ^{[ 38 ]} بفضل ألفونسو العاشر ملك قشتالة. ^{[ 39 ] [ 32 ]} في نص ألفونسو، تُنسب المربعات السحرية من رتب مختلفة إلى الكواكب المعنية، كما هو الحال في الأدب الإسلامي؛ ولكن من بين جميع المربعات التي نوقشت، فإن مربع المريخ السحري من الرتبة الخامسة هو المربع الوحيد المذكور في المخطوطة. ^{[ 40 ] [ 32 ]}

ظهرت المربعات السحرية مجددًا في فلورنسا بإيطاليا في القرن الرابع عشر. فقد عُرض مربعان، أحدهما 6×6 والآخر 9×9، في مخطوطة كتاب " رسالة في المعداد" ( Trattato d'Abbaco ) لباولو داغوماري . ^{[ 41 ] [ 42 ]} ومن المثير للاهتمام أن باولو داغوماري، كما فعل باتشولي من بعده، أشار إلى هذه المربعات كأساس مفيد لابتكار مسائل وألعاب رياضية، دون أن يذكر أي استخدام سحري لها. ومع ذلك، فقد أشار إليها أيضًا على أنها مربعات الشمس والقمر على التوالي، وذكر أنها تدخل في حسابات فلكية غير محددة بدقة. وكما ذُكر، يبدو أن وجهة النظر نفسها هي التي دفعت الفلورنسي لوكا باتشولي ، الذي وصف مربعات تتراوح أحجامها من 3×3 إلى 9×9 في كتابه "في القوة الكمية" (De Viribus Quantitatis) في نهاية القرن الخامس عشر. ^{[ 43 ] [ 44 ]}

انتشرت المربعات الكوكبية في شمال أوروبا بحلول نهاية القرن الخامس عشر. فعلى سبيل المثال، تُظهر مخطوطة كراكوف لكتاب "بيكاتريكس" من بولندا مربعات سحرية من الرتب 3 إلى 9. وتظهر المجموعة نفسها من المربعات، كما في مخطوطة كراكوف، لاحقًا في كتابات باراسيلسوس " أرشيدوكسا ماجيكا " (1567)، وإن كانت بصورة مشوهة للغاية. وفي عام 1514، خلد ألبريشت دورر مربعًا 4×4 في نقشه الشهير "ميلانخوليا 1" . ونشر هاينريش كورنيليوس أغريبا فون نيتسهايم، المعاصر لباراسيلسوس، كتابه الشهير المكون من ثلاثة مجلدات "دي أوكولتا فيلوسوفيا" عام 1531، حيث خصص الفصل 22 من الكتاب الثاني للمربعات الكوكبية الموضحة أدناه. ^{[ 37 ]} ظهرت نفس مجموعة المربعات التي قدمها أغريبا مجددًا عام 1539 في كتاب "Practica Arithmetice" لجيرولامو كاردانو ، حيث شرح كيفية بناء المربعات ذات الترتيب الفردي باستخدام "طريقة المعين"، والتي أعاد باشيه نشرها لاحقًا. ^{[ 45 ]} استمر تقليد المربعات الكوكبية حتى القرن السابع عشر على يد أثناسيوس كيرشر في كتابه "Oedipi Aegyptici " (1653). في ألمانيا، كُتبت أطروحات رياضية حول المربعات السحرية عام 1544 على يد مايكل ستيفل في كتابه "Arithmetica Integra" ، الذي أعاد اكتشاف المربعات ذات الحدود، وآدم ريزه ، الذي أعاد اكتشاف طريقة الترقيم المتواصل لبناء المربعات ذات الترتيب الفردي التي نشرها أغريبا. مع ذلك، وبسبب الاضطرابات الدينية في ذلك الوقت، ظلت هذه الأعمال مجهولة لبقية أوروبا. ^{[ 37 ]}

في عام 1624، وصف كلود غاسبار باشيه في فرنسا "طريقة المعين" لإنشاء مربعات أغريبا ذات الرتب الفردية في كتابه "مسائل ممتعة " . وخلال عام 1640، تبادل برنارد فرينيكل دي بيسي وبيير فيرما رسائل حول المربعات والمكعبات السحرية، وفي إحدى الرسائل تفاخر فيرما بقدرته على إنشاء 1,004,144,995,344 مربعًا سحريًا من الرتبة 8 باستخدام طريقته. ^{[ 45 ]} وقدّم أنطوان أرنولد وصفًا مبكرًا لإنشاء المربعات ذات الحدود في كتابه "عناصر جديدة في الهندسة " (1667). ^{[ 46 ]} في رسالتيه "المربعات السحرية أو الجداول السحرية" و "الجدول العام للمربعات السحرية ذات الرتبة الرابعة" ، اللتين نُشرتا بعد وفاته عام 1693، أي بعد عشرين عامًا من وفاته، برهن برنارد فرينيكل دي بيسي على وجود 880 مربعًا سحريًا مختلفًا من الرتبة الرابعة. وقدّم فرينيكل طرقًا لإنشاء مربعات سحرية من أي رتبة فردية أو زوجية، حيث تُنشأ المربعات ذات الرتبة الزوجية باستخدام الحدود. كما بيّن أن تبديل صفوف وأعمدة المربع السحري يُنتج مربعات سحرية جديدة. ^{[ 45 ]} في عام 1691، وصف سيمون دي لا لوبير الطريقة الهندية المتصلة لإنشاء المربعات السحرية ذات الرتبة الفردية في كتابه "مملكة سيام" ، والتي تعلّمها أثناء عودته من مهمة دبلوماسية إلى سيام، وكانت هذه الطريقة أسرع من طريقة باشيه. في محاولة لشرح آلية عملها، استخدم دي لا لوبير الأعداد الأولية والأعداد الجذرية، وأعاد اكتشاف طريقة جمع مربعين تمهيديين. وقد بحث هذه الطريقة بشكل أعمق كل من الأب بوانيارد في كتابه "رسالة في المربعات الرائعة " (1704)، وفيليب دي لا هير في "مذكرات أكاديمية العلوم للأكاديمية الملكية" (1705)، وجوزيف سوفور في "بناء المربعات السحرية" (1710). كما درس دي لا هير المربعات ذات الحدود المتمركزة في عام 1705، بينما قدم سوفور المكعبات السحرية والمربعات المرمزة، والتي تبناها لاحقًا أويلر في عام 1776، والذي يُنسب إليه الفضل غالبًا في ابتكارها. وفي عام 1750، أعاد دونس لو براي اكتشاف طريقة بناء المربعات الزوجية المزدوجة والمربعات الزوجية المفردة باستخدام تقنية الحدود. وفي عام 1767، نشر بنجامين فرانكلين مربعًا شبه سحري يحمل خصائص مربع فرانكلين الذي يحمل اسمه. ^{[ 47 ]} وبحلول ذلك الوقت، اختفت تمامًا النزعة الصوفية السابقة المرتبطة بالمربعات السحرية، وأصبح الموضوع يُعامل كجزء من الرياضيات الترفيهية.^{[ 37 ] [ 48 ]}

في القرن التاسع عشر، قدّم برنارد فيول دراسة شاملة للمربعات السحرية في كتابه " Traité complet des carrés magiques " (1837-1838) المكوّن من ثلاثة مجلدات، والذي وصف أيضًا المكعبات السحرية، ومتوازيات الأضلاع، ومتوازيات المستطيلات، والدوائر. وقد درس أندرو هولينغورث فروست المربعات القطرية دراسةً مستفيضة، إذ تعلّمها أثناء وجوده في مدينة ناسيك بالهند (وأطلق عليها اسم "مربعات ناسيك"). ونشر فروست سلسلة من المقالات بعنوان: " على درب الفارس" (1877)، و" حول الخصائص العامة لمربعات ناسيك" (1878)، و"حول الخصائص العامة لمكعبات ناسيك" (1878)، و" حول إنشاء مربعات ناسيك من أي رتبة" (1896). وأظهر فروست استحالة وجود مربع سحري قطري عادي ذي عدد زوجي واحد. قام فريدريك أ. ب. بارنارد بتصميم مربعات سحرية مرصعة وأشكال سحرية ثلاثية الأبعاد أخرى مثل الكرات السحرية والأسطوانات السحرية في كتابه "نظرية المربعات السحرية والمكعبات السحرية " (1888). ^{[ 48 ]} وفي عام 1897، نشر إمروي ماكلينتوك كتابه " حول الشكل الأمثل للمربعات السحرية" ، حيث صاغ مصطلحي " المربع القطري" و "المربع الأمثل" ، اللذين كانا يُشار إليهما سابقًا باسم "المربع الأمثل" أو "المربع الشيطاني" أو "ناسك".

تحكي أساطير تعود إلى عام 650 قبل الميلاد قصة لو شو (洛書) أو "مخطوطة نهر لو". ^{[ 8 ]} تقول الأسطورة إنه في إحدى الفترات، حدث في الصين القديمة فيضان هائل. وبينما كان الملك يو العظيم يحاول تصريف المياه إلى البحر، ظهرت سلحفاة من الفيضان تحمل على صدفتها نقشًا غريبًا: شبكة 3×3 مُرتبة فيها نقاط دائرية تحمل أرقامًا، بحيث يكون مجموع الأرقام في كل صف وعمود وقطر هو 15. وتقول الأسطورة إنه بعد ذلك تمكن الناس من استخدام هذا النقش بطريقة معينة للتحكم في النهر وحماية أنفسهم من الفيضانات. يُعرف مربع لو شو ، وهو المربع السحري الموجود على صدف السلحفاة، بأنه المربع السحري العادي الفريد من نوعه من الرتبة الثالثة، حيث يقع الرقم 1 في الأسفل والرقم 2 في الزاوية العلوية اليمنى. ويُستخرج كل مربع سحري عادي من الرتبة الثالثة من لو شو عن طريق الدوران أو الانعكاس.

يوجد مربع سحري عادي شهير من القرن الثاني عشر بحجم 4×4 منقوش على جدار معبد بارشفاناث في خاجوراهو ، الهند. ^{[ 18 ] [ 17 ] [ 49 ]}

يُعرف هذا الشكل باسم "تشاوتيسا يانترا" ( تشاوتيسا تعني 34؛ يانترا تعني حرفيًا "أداة")، نظرًا لأن مجموعها السحري هو 34. وهو أحد المربعات السحرية القطرية الكاملة الثلاثة من نوع 4×4 ، كما يُعد مثالًا على المربع السحري الأكثر كمالًا . وقد أدت دراسة هذا المربع إلى تقدير علماء الرياضيات الأوروبيين للمربعات القطرية الكاملة في أواخر القرن التاسع عشر. وكانت تُعرف هذه المربعات في الأدبيات الإنجليزية القديمة باسم "مربعات ناسيك" أو "مربعات جاين".

يُعتقد أن المربع السحري العادي من الرتبة الرابعة، الذي خلّده ألبرخت دورر في نقشه "ميلانخوليا 1" عام 1514، المشار إليه سابقًا، هو أول مربع سحري من هذا النوع يُرى في الفن الأوروبي. يظهر المربع المرتبط بكوكب المشتري كتميمة تُستخدم لطرد الكآبة. وهو يشبه إلى حد كبير مربع يانغ هوي ، الذي صُمم في الصين قبل حوالي 250 عامًا من عصر دورر. وكما هو الحال في أي مربع سحري عادي من الرتبة الرابعة، فإن المجموع السحري هو 34. ولكن في مربع دورر، يوجد هذا المجموع أيضًا في كل ربع من الأرباع، وفي المربعات الأربعة المركزية، وفي مربعات الزوايا (للشبكة 4×4 وكذلك للشبكة 3×3 المكونة لها). يمكن إيجاد هذا المجموع أيضًا في الأرقام الأربعة الخارجية باتجاه عقارب الساعة من الزوايا (3+8+14+9)، وكذلك في الأرقام الأربعة عكس اتجاه عقارب الساعة (مواقع الملكات الأربع في حلّي لغز الملكات الأربع ^{[ 50 ]} )، وفي مجموعتي الأرقام الأربعة المتناظرة (2+8+9+15 و3+5+12+14)، وفي مجموع الرقمين الأوسطين في العمودين والصفين الخارجيين (5+9+8+12 و3+2+15+14)، وفي أربع مجموعات رباعية على شكل طائرة ورقية أو صليب (3+5+11+15، 2+10+8+14، 3+9+7+15، و2+6+12+14). يشير الرقمان في منتصف الصف السفلي إلى تاريخ النقش: 1514. أما الرقمان 1 و4 على جانبي التاريخ فيُقابلان الحرفين "A" و"D" على التوالي، وهما الحرفان الأولان من اسم الفنان.

يمكن أيضًا توسيع المربع السحري لدورر ليشمل المكعب السحري. ^{[ 51 ]}

تتميز واجهة آلام المسيح في كنيسة ساغرادا فاميليا في برشلونة ، التي وضع تصورها أنطوني غاودي وصممها النحات جوزيب سوبيراكس ، بمربع سحري بسيط من الرتبة الرابعة: الثابت السحري للمربع هو 33، وهو عمر يسوع وقت الآلام . [ ^{52 ] من} الناحية الهيكلية، يشبه هذا المربع إلى حد كبير مربع ميلانخوليا السحري ، ولكن تم تقليل الأرقام في أربع من خلاياه بمقدار 1.

المربعات البسيطة كهذا المربع ليست ذات أهمية رياضية في الغالب، وإنما لها أهمية تاريخية فقط. وقد أشار لي سالوز إلى أن النحات الشهير سوبيراكس ارتكب خطأً لا داعي له بسبب جهله بنظرية المربعات السحرية، ويدعم هذا الادعاء بتقديم عدة أمثلة لمربعات سحرية غير بسيطة بحجم 4×4 تُظهر الثابت السحري المطلوب وهو 33. ^{[ 53 ]}

على غرار المربع السحري لدورر، يمكن أيضًا توسيع المربع السحري لكنيسة ساغرادا فاميليا ليصبح مكعبًا سحريًا. ^{[ 54 ]}

يُطلق على الثابت الذي يُمثل مجموع أي صف أو عمود أو قطر اسم الثابت السحري أو المجموع السحري، ويرمز له بالرمز M. لكل مربع سحري عادي ثابت يعتمد على رتبته n ، ويُحسب بالصيغة التالية:${\displaystyle M=n(n^{2}+1)/2}$ويمكن إثبات ذلك من خلال ملاحظة أن مجموع${\displaystyle 1,2,...,n^{2}}$يكون${\displaystyle n^{2}(n^{2}+1)/2}$بما أن مجموع كل صف هو${\displaystyle M}$، مجموع${\displaystyle n}$صفوف هي${\displaystyle nM=n^{2}(n^{2}+1)/2}$، والذي عند قسمته على الرتبة n يعطي الثابت السحري كما يلي${\displaystyle M=n(n^{2}+1)/2}$بالنسبة للمربعات السحرية العادية من الرتب n = 3، 4، 5، 6، 7، و 8، فإن الثوابت السحرية هي على التوالي: 15، 34، 65، 111، 175، و 260 (التسلسل A006003 في OEIS ).

يُطلق على المربع السحري 1×1، الذي يحتوي على خلية واحدة فقط تحتوي على الرقم 1، اسم المربع التافه ، لأنه عادة لا يتم أخذه في الاعتبار عند مناقشة المربعات السحرية؛ ولكنه في الواقع مربع سحري بحكم التعريف، إذا تم اعتبار خلية واحدة مربعًا من الرتبة واحد.

يمكن إنشاء المربعات السحرية العادية بجميع الأحجام باستثناء المربعات 2×2 (أي عندما تكون الرتبة n = 2). ^{[ 55 ]}

إذا تم اعتبار الأرقام الموجودة في المربع السحري على أنها كتل تقع في خلايا مختلفة، فإن مركز كتلة المربع السحري يتطابق مع مركزه الهندسي.

يُعرَّف عزم القصور الذاتي للمربع السحري بأنه مجموع حاصل ضرب عدد الخلايا في مربع المسافة من مركز الخلية إلى مركز المربع، وذلك على جميع الخلايا؛ ووحدة القياس هنا هي عرض الخلية الواحدة. ^{[ 56 ]} (على سبيل المثال، تبلغ المسافة بين خلية زاوية في مربع 3×3 و 3×3 1/2).${\displaystyle {\sqrt {2}},}$(تبلغ المسافة بين الخلية غير الركنية والخلية المركزية 1، بينما تبلغ المسافة بين الخلية المركزية والخلية الركنية 0). عندئذٍ، يكون لجميع المربعات السحرية من رتبة معينة نفس عزم القصور الذاتي. في حالة الرتبة 3، يكون عزم القصور الذاتي دائمًا 60، بينما في حالة الرتبة 4، يكون دائمًا 340. بشكل عام، في حالة المربعات من الرتبة n × n ، يكون عزم القصور الذاتي${\displaystyle n^{2}(n^{4}-1)/12.}$^{[ 56 ]}

قسمة كل عدد من المربع السحري على الثابت السحري ينتج عنه مصفوفة عشوائية مزدوجة ، مجموع صفوفها ومجموع أعمدتها يساوي واحدًا. مع ذلك، وعلى عكس المصفوفة العشوائية المزدوجة، فإن مجموع عناصر قطر هذه المصفوفات يساوي واحدًا أيضًا. لذا، تُشكل هذه المصفوفات مجموعة جزئية من المصفوفة العشوائية المزدوجة. تنص نظرية بيركوف-فون نيومان على أنه لأي مصفوفة عشوائية مزدوجة${\displaystyle A}$توجد أعداد حقيقية${\displaystyle \theta _{1},\ldots ,\theta _{k}\geq 0}$، أين${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\theta _{i}=1}$ومصفوفات التبديل${\displaystyle P_{1},\ldots ,P_{k}}$بحيث

${\displaystyle A=\theta _{1}P_{1}+\cdots +\theta _{k}P_{k}.}$

قد لا يكون هذا التمثيل فريدًا بشكل عام. ومع ذلك، وفقًا لنظرية ماركوس-ري، لا يلزم أن يكون هناك أكثر من${\displaystyle k\leq n^{2}-2n+2}$^{[ 57 ]} من الواضح أن هذا التحليل ينطبق على المربعات السحرية أيضًا، حيث يمكن استعادة المربع السحري من مصفوفة عشوائية مزدوجة عن طريق ضربها بالثابت السحري.

• يظل المربع السحري سحريًا عندما تُضرب أرقامه بأي ثابت. ^{[ 61 ]}
• يظل المربع السحري سحريًا عند إضافة أو طرح عدد ثابت من عناصره، أو عند طرح عناصره من عدد ثابت. على وجه الخصوص، إذا طُرح كل عنصر في مربع سحري عادي من n² + 1، ^فإن المربع الناتج هو مكمل المربع الأصلي. ^{[ 61 ]} في المثال أدناه، طُرحت عناصر المربع 4×4 الموجود على اليسار من 17 للحصول على مكمل المربع الموجود على اليمين.

• يمكن استبدال أعداد المربع السحري بأعداد مقابلة من مجموعة من المتتابعات الحسابية s التي لها نفس الفرق المشترك بين حدودها r ، بحيث يكون r × s = n² ، وتكون حدودها الأولية أيضًا متتابعة حسابية، وذلك للحصول على مربع سحري غير منتظم. هنا، يجب أن يكون إما s أو r من مضاعفات n . لنفترض أن لدينا s متتابعات حسابية معطاة كما يلي ^:

${\displaystyle {\begin{array}{lllll}a&a+c&a+2c&\cdots &a+(r-1)c\\a+d&a+c+d&a+2c+d&\cdots &a+(r-1)c+d\\a+2d&a+c+2d&a+2c+2d&\cdots &a+(r-1)c+2d\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\a+(s-1)d&a+c+(s-1)d&a+2c+(s-1)d&\cdots &a+(r-1)c+(s-1)d\\\end{array}}}$

where a is the initial term, c is the common difference of the arithmetic progressions, and d is the common difference among the initial terms of each progression. The new magic constant will be

${\displaystyle M=na+{\frac {n}{2}}{\big [}(r-1)c+(s-1)d{\big ]}.}$

If s = r = n, then we have the simplification

${\displaystyle M=na+{\frac {n}{2}}(n-1)(c+d).}$

If we further have a = c = 1 and d = n, we obtain the usual M = n(n²+1)/2. For given M we can find the required a, c, and d by solving the linear Diophantine equation. In the examples below, we have order 4 normal magic square on the left most side. The second square is a corresponding non-normal magic square with r = 8, s = 2, a = 1, c = 1, and d = 10 such that the new magic constant is M = 38. The third square is an order 5 normal magic square, which is a 90 degree clockwise rotated version of the square generated by De la Loubere method. On the right most side is a corresponding non-normal magic square with a = 4, c = 1, and d = 6 such that the new magic constant is M = 90.

• Any magic square can be rotated and reflected to produce 8 trivially distinct squares. In magic square theory, all of these are generally deemed equivalent and the eight such squares are said to make up a single equivalence class.^[62][61] In discussing magic squares, equivalent squares are usually not considered as distinct. The 8 equivalent squares are given for the 3×3 magic square below:

• بفرض أي مربع سحري، يمكن تكوين مربع سحري آخر من نفس الرتبة بتبديل الصف والعمود المتقاطعين في خلية على قطر مع الصف والعمود المتقاطعين في الخلية المكملة (أي الخلية المقابلة لها بشكل متناظر من المركز) على نفس القطر. ^{[ 61 ] [ 48 ]} بالنسبة للمربع الزوجي، يوجد n /2 زوجًا من الصفوف والأعمدة التي يمكن تبديلها؛ وبالتالي يمكننا الحصول على 2n/2 مربعًا سحريًا مكافئًا من خلال دمج هذه التبديلات. أما بالنسبة للمربع الفردي، فيوجد (n-1)/2 زوجًا من الصفوف والأعمدة التي يمكن تبديلها؛ وبالتالي يمكننا ^{الحصول على} 2 ( n ^{- 1 )/2} مربعًا سحريًا مكافئًا من خلال دمج هذه التبديلات. يؤدي تبديل جميع الصفوف والأعمدة إلى تدوير المربع بمقدار 180 درجة. في المثال الذي يستخدم مربعًا سحريًا 4×4، يكون المربع الأيسر هو المربع الأصلي، بينما يكون المربع الأيمن هو المربع الجديد الذي تم الحصول عليه عن طريق تبديل الصفين الأول والرابع والأعمدة.

• بفرض أي مربع سحري، يمكن تكوين مربع سحري آخر من نفس الرتبة بتبديل صفين على أحد جانبي الخط المركزي، ثم تبديل الصفين المتناظرين على الجانب الآخر من الخط المركزي، ثم تبديل الأعمدة المتشابهة. بالنسبة للمربع الزوجي، بما أن هناك n /2 صفًا وعمودًا متماثلين، فهناك n ( n -2)/8 زوجًا من هذه الصفوف والأعمدة التي يمكن تبديلها. وبالتالي، يمكننا الحصول على 2n ^{( n - 2)/8} مربعًا سحريًا مكافئًا بدمج عمليات التبديل هذه. أما بالنسبة للمربع الفردي، بما أن هناك ( n -1)/2 صفًا وعمودًا متماثلين، فهناك ( n -1)( n -3)/8 زوجًا من هذه الصفوف والأعمدة التي يمكن تبديلها. وبالتالي، هناك 2 ^{( n -1)( n -3)/8} مربعًا سحريًا مكافئًا يمكن الحصول عليها بدمج عمليات التبديل هذه. يؤدي تبديل جميع أزواج الصفوف والأعمدة الممكنة إلى تدوير كل ربع من أرباع المربع بمقدار 180 درجة. في المثال الذي يستخدم مربعًا سحريًا 4×4، يمثل المربع الأيسر المربع الأصلي، بينما يمثل المربع الأيمن المربع الجديد الناتج عن هذا التحويل. في المربع الأوسط، تم تبديل الصف 1 مع الصف 2، وتم تبديل الصفين 3 و4. أما المربع الأخير على اليمين، فيتم الحصول عليه بتبديل العمودين 1 و2، والعمودين 3 و4 من المربع الأوسط. في هذا المثال تحديدًا، يُعادل هذا التحويل تدوير الأرباع بمقدار 180 درجة. المربع الأوسط هو أيضًا مربع سحري، لأن المربع الأصلي هو مربع سحري تجميعي.

• يظل المربع السحري سحريًا عند تبديل أي من صفيه غير المركزيين x و y ، بالإضافة إلى تبديل الصفين المكملين لهما n − x + 1 و n − y + 1؛ ثم تبديل الأعمدة المتشابهة. هذا تعميم للتحويلين السابقين. عندما y = n − x + 1، يختزل هذا التحويل إلى التحويل الأول من التحويلين السابقين. عندما يكون x و y على نفس جانب الخط المركزي، يختزل هذا التحويل إلى التحويل الثاني من التحويلين السابقين. في المثال أدناه، يقع المربع الأصلي على الجانب الأيسر، بينما يقع المربع النهائي على الجانب الأيمن. تم الحصول على المربع الأوسط بتبديل الصفين 1 و3، والصفين 2 و4 من المربع الأصلي. تم الحصول على المربع النهائي على اليمين بتبديل العمودين 1 و3، والعمودين 2 و4 من المربع الأوسط. في هذا المثال، يُعادل هذا التحويل تبديل الأرباع قطريًا. بما أن المربع الأصلي ترابطي، فإن المربع الأوسط هو أيضاً سحري.

• يظل المربع السحري سحريًا عند تبديل أرباعه قطريًا، لأن هذا تبديل متناظر آخر من الشكل الموصوف أعلاه. بالنسبة للمربعات ذات الرتبة الزوجية${\displaystyle n}$، قم بتبديل الصفوف والأعمدة باستخدام التبديل${\displaystyle p}$أين${\displaystyle p(i)=i+{\frac {n}{2}}}$ل${\displaystyle i\leq {\frac {n}{2}}}$، و${\displaystyle p(i)=i-{\frac {n}{2}}}$ل${\displaystyle i>{\frac {n}{2}}}$. للرتب الفردية${\displaystyle n}$، تبديل الصفوف والأعمدة عن طريق التبديل${\displaystyle p}$أين${\displaystyle p(i)=i+{\frac {n+1}{2}}}$ل${\displaystyle i<{\frac {n+1}{2}}}$، و${\displaystyle p(i)=i-{\frac {n+1}{2}}}$ل${\displaystyle i>{\frac {n+1}{2}}}$في المربعات ذات الرتب الفردية، يتم تبديل نصفي الصف والعمود المركزيين أيضًا. ^{[ 61 ]} فيما يلي أمثلة على المربعات السحرية من الرتبتين 4 و5:

• يظل المربع السحري الترابطي ترابطيًا عند تبديل صفين أو عمودين متساويي البعد عن المركز. ^{[ 63 ] [ 64 ]} بالنسبة للمربع الزوجي، يوجد n /2 زوجًا من الصفوف أو الأعمدة التي يمكن تبديلها؛ وبالتالي يمكن الحصول على 1 مربع سحري مكافئ من خلال دمج عمليات التبديل هذه. أما بالنسبة للمربع الفردي، فيوجد ( n - 1)/2 زوجًا من الصفوف أو الأعمدة التي يمكن تبديلها؛ وبالتالي يمكن الحصول على 2n ^{- 1 مربعًا} سحريًا مكافئًا من خلال دمج عمليات التبديل هذه. يؤدي تبديل جميع الصفوف إلى قلب المربع رأسيًا (أي انعكاسه على طول المحور الأفقي)، بينما يؤدي تبديل جميع الأعمدة إلى قلب المربع أفقيًا (أي انعكاسه على طول المحور الرأسي). في المثال أدناه، يتم تحويل مربع سحري ترابطي 4×4 على اليسار إلى مربع على اليمين عن طريق تبديل الصفين الثاني والثالث، مما ينتج عنه مربع دورر السحري الشهير.

• يظل المربع السحري الترابطي ترابطيًا عند تبديل صفين (أو عمودين) متماثلين في الجانب مع الصفوف (أو الأعمدة) المقابلة لهما في الجانب الآخر. ^{[ 63 ] [ 64 ]} بالنسبة للمربع الزوجي، نظرًا لوجود n /2 صفًا (أو عمودًا) متماثلًا في الجانب، فإنه يوجد n ( n - 2)/8 زوجًا من هذه الصفوف (أو الأعمدة) التي يمكن تبديلها. وبالتالي، يمكن الحصول على 2n(n-2)/8 × 2n(n-2)/8 = 2n(n-2)/4 مربعًا سحريًا مكافئًا من خلال دمج عمليات التبديل هذه. أما بالنسبة للمربع الفردي، نظرًا لوجود ( ^{n - 1 ) /} 2 ^{صفًا أو عمودًا متماثلًا في} الجانب ^{، فإنه يوجد ( n} - 1 ) ( n - 3 ) /8 زوجًا من هذه الصفوف أو الأعمدة التي يمكن تبديلها. وبالتالي، يوجد 2 ^{( n - 1)( n - 3)/8} × 2 ^{( n - 1)( n - 3)/8} = 2 ^{( n - 1)( n - 3)/4} مربعات سحرية مكافئة ناتجة عن دمج عمليات التبادل هذه. يؤدي تبديل جميع الصفوف المتماثلة إلى قلب كل ربع من أرباع المربع رأسيًا، بينما يؤدي تبديل جميع الأعمدة المتماثلة إلى قلب كل ربع من أرباع المربع أفقيًا. في المثال أدناه، يقع المربع الأصلي على اليسار، حيث تم تبديل الصفين 1 و2 فيه، بالإضافة إلى الصفين 3 و4، للحصول على المربع المُحوَّل على اليمين.

• يظل المربع السحري ذو القطر الكامل مربعًا سحريًا ذا قطر كامل عند إزاحة الصفوف أو الأعمدة أو كليهما بشكل دوري. ^{[ 61 ]} وهذا يسمح لنا بوضع رقم معين في أي خلية من خلايا المربع ذي الرتبة ⁿ البالغ عددها n² خلية . وبالتالي، بالنسبة لمربع سحري ذي قطر كامل معين، يوجد n² مربعًا سحريًا مكافئًا له. في المثال أدناه، يتم تحويل المربع الأصلي على اليسار بإزاحة الصف الأول إلى الأسفل للحصول على مربع سحري جديد ^ذي قطر كامل في المنتصف. بعد ذلك، يتم إزاحة العمودين الأول والثاني من المربع السحري الأوسط بشكل دائري إلى اليمين للحصول على مربع سحري جديد ذي قطر كامل على اليمين.

• يظل المربع السحري ذو الحدود مربعًا سحريًا ذا حدود بعد تبديل خلايا الحدود في الصفوف أو الأعمدة، مع حدودها المكملة المقابلة، مع تثبيت خلايا الزوايا. وبما أنه يمكن تبديل الخلايا في كل صف وعمود من كل حدود متحدة المركز بشكل مستقل، فعندما يكون الترتيب n ≥ 5 فرديًا، يكون هناك${\displaystyle ((n-2)!(n-4)!\dots \cdot 3!)^{2}}$مربعات مكافئة ذات حدود. عندما يكون n ≥ 6 زوجيًا، فهناك${\displaystyle ((n-2)!(n-4)!\dots \cdot 4!)^{2}}$المربعات المتكافئة ذات الحدود. في المثال أدناه، يُعطى مربع من الرتبة 5 تم تبديل صف حدوده، ويمكن الحصول على 36 مربعًا متكافئًا من هذا النوع (3!) ^{2 = 36.}

• يظل المربع السحري ذو الحدود مربعًا سحريًا ذا حدود حتى بعد تدوير أو عكس كل حدوده المتمركزة بشكل مستقل بالنسبة للمربع السحري المركزي. إذا كان عدد الحدود b ، فإن هذا التحويل سينتج عنه 8 ^b مربعات مكافئة. في المثال أدناه للمربع السحري 5×5، تم تدوير الحدود 90 درجة عكس اتجاه عقارب الساعة.

• يظل المربع السحري المركب مربعًا سحريًا مركبًا عندما تخضع المربعات السحرية المضمنة فيه لتحويلات لا تؤثر على الخاصية السحرية (مثل الدوران، والانعكاس، ونقل الصفوف والأعمدة، وما إلى ذلك).

يمكن فرض قيود إضافية معينة على المربعات السحرية.

إذا أدى رفع كل رقم إلى القوة n إلى مربع سحري آخر، فإن النتيجة تكون مربعًا سحريًا ثنائيًا (n  =  2)، أو مربعًا سحريًا ثلاثيًا (n  =  3)، أو بشكل عام، مربعًا سحريًا متعددًا .

المربع السحري الذي ينتج عنه مربع سحري آخر بناءً على عدد الأحرف في اسم كل رقم في المربع، يسمى مربع ألفا سحري .

توجد مربعات سحرية تتكون بالكامل من أعداد أولية . اكتشف رودولف أوندريكا (1928-2001) المربع السحري التالي المكون من 3×3 أعداد أولية ، وفي هذه الحالة تسعة أعداد أولية من نوع تشين :

تنص نظرية غرين -تاو على وجود مربعات سحرية كبيرة بشكل تعسفي تتكون من أعداد أولية.

المربع السحري العكسي التالي له ثابت سحري قدره 264 سواء كان مقلوبًا أو في الوضع الصحيح: ^{[ 65 ]}

عندما يكون الشرط الإضافي هو عرض تاريخ معين، وخاصة تاريخ الميلاد، تُسمى هذه المربعات السحرية بمربعات عيد الميلاد السحرية. ابتكر سرينيفاسا رامانوجان مثالًا مبكرًا على هذا النوع من المربعات . أنشأ مربعًا بحجم 4×4، أدخل فيه تاريخ ميلاده بصيغة اليوم - الشهر - الشهر - السنة في الصف العلوي، وحدثت العملية السحرية من خلال جمع وطرح الأرقام في المربعات. لم تكن الصفوف والأعمدة والأقطار فقط هي التي تُساوي مجموع الأرقام، بل كانت الزوايا الأربع، والمربعات الأربعة الوسطى (17، 9، 24، 89)، والصفان الأول والأخير (12، 18، 86، 23)، والعمودان الأول والأخير (88، 10، 25، 16) جميعها تُساوي مجموع 139.

بدلاً من جمع الأرقام في كل صف وعمود وقطر، يمكن تطبيق عملية أخرى. على سبيل المثال، المربع السحري الضربي له ناتج ضرب ثابت. ويمكن اشتقاق المربع السحري الضربي من المربع السحري الجمعي برفع 2 (أو أي عدد صحيح آخر) إلى قوة كل عنصر، لأن لوغاريتم ناتج ضرب عددين يساوي مجموع لوغاريتمات كل منهما. وبالمثل، إذا كانت أي ثلاثة أعداد في صف هي 2a ^و 2 ^b و2 ^c ، فإن ناتج ضربها هو 2a ^{+ b + c} ، وهو ثابت إذا كان a + b + c ثابتًا، كما هو الحال لو تم أخذ a و b و c من مربع سحري عادي (جمعي). ^{[ 66 ]} على سبيل المثال، يصبح مربع لو-شو السحري الأصلي كما يلي ^:

ومن الأمثلة الأخرى على المربعات السحرية المضاعفة ما يلي:

باستخدام طريقة علي سكالي غير التكرارية ، من الممكن إنتاج عدد لا نهائي من المربعات السحرية المضاعفة للأعداد المركبة ^{[ 67 ]} التي تنتمي إلى${\displaystyle \mathbb {C} }$مجموعة. في المثال أدناه، الأجزاء الحقيقية والخيالية أعداد صحيحة، لكنها قد تنتمي أيضًا إلى مجموعة الأعداد الحقيقية بأكملها.${\displaystyle \mathbb {R} }$الناتج هو: −352,507,340,640 − 400,599,719,520 i .

تُحقق المربعات السحرية الجمعية والضربية والمربعات شبه السحرية خصائص كل من المربعات السحرية العادية والضربية والمربعات شبه السحرية، على التوالي. ^{[ 68 ]}

من غير المعروف ما إذا كانت هناك أي مربعات سحرية جمعية-ضربية أصغر من 7×7، ولكن ثبت أنه لا توجد مربعات سحرية جمعية-ضربية بحجم 3×3 أو 4×4، ولا توجد مربعات شبه سحرية جمعية-ضربية بحجم 3×3. ^{[ 69 ]}

يمكن إنشاء مربعات سحرية تحتوي على أشكال هندسية بدلاً من الأرقام. وقد ابتكر لي سالوز هذه المربعات، المعروفة باسم المربعات السحرية الهندسية ، وأطلق عليها هذا الاسم في عام 2001. ^{[ 70 ]}

في المثال الموضح، الأشكال الظاهرة ثنائية الأبعاد. من الواضح أن جميع المربعات السحرية هندسية، حيث يمكن تفسير الأرقام التي تظهر في المربعات السحرية العددية على أنها اختصار يشير إلى أطوال القطع المستقيمة التي تمثل "الأشكال" الهندسية الموجودة في المربع. أي أن المربعات السحرية العددية هي حالة خاصة من المربع السحري الهندسي الذي يستخدم أشكالًا أحادية البعد. ^{[ 71 ]}

في عام 2017، وبناءً على الأفكار الأولية لويليام والكنجتون وإندر تانجا، تم إنشاء أول مربع سحري خطي للمساحة (L-AMS) بواسطة والتر ترامب . ^{[ 72 ] [ 73 ]}

يمكن النظر في أشكال ثنائية الأبعاد أخرى غير المربعات. في الحالة العامة، يُعتبر التصميم الذي يحتوي على N جزءًا سحريًا إذا كانت هذه الأجزاء مُرقمة من 1 إلى N، وكان عدد من التصاميم الفرعية المتطابقة يُعطي نفس المجموع. تشمل الأمثلة الدوائر السحرية ، والمستطيلات السحرية، والمثلثات السحرية ^{[ 74 ]} ، والنجوم السحرية ، والسداسيات السحرية ، والمعينات السحرية. أما زيادة الأبعاد فتؤدي إلى الكرات السحرية، والأسطوانات السحرية، والمكعبات السحرية ، ومتوازيات المستطيلات السحرية ، والمجسمات السحرية، وغيرها من المكعبات الفائقة السحرية .

تُقيَّد الأشكال السحرية الممكنة بعدد المجموعات الفرعية المتساوية في الحجم والمجموع من مجموعة التسميات المختارة. على سبيل المثال، إذا اقتُرح تكوين شكل سحري بتسمية أجزائه بالأرقام {1، 2، 3، 4}، فسيتعين تسمية التصميمات الفرعية بالأرقام {1، 4} و{2، 3}. ^{[ 74 ]}

في عام 1992، نشر ديميرورز ورافراف وتانيك طريقة لتحويل بعض المربعات السحرية إلى حلول من نوع n- ملكة ، والعكس صحيح. ^{[ 77 ]}