قطري

في المضلع المحدب ، إذا لم تتقاطع ثلاثة أقطار عند نقطة واحدة في الداخل، فإن عدد المناطق التي تقسم إليها الأقطار الداخل يتم تحديده بواسطة ^{[ 5 ].}

${\displaystyle {\binom {n}{4}}+{\binom {n-1}{2}}={\frac {(n-1)(n-2)(n^{2}-3n+12)}{24}}.}$

بالنسبة للمضلعات ذات n ضلعًا حيث n = 3، 4، ... يكون عدد المناطق هو

1، 4، 11، 25، 50، 91، 154، 246...

هذا هو تسلسل OEIS A006522. ^{[ 6 ]}

إذا لم تتقاطع ثلاثة أقطار لمضلع محدب عند نقطة في داخله، فإن عدد التقاطعات الداخلية للأقطار يُعطى بالصيغة التالية:${\displaystyle \textstyle {\binom {n}{4}}}$[ ^{7 ] [ 8 ]} ينطبق هذا، على سبيل المثال، على أي مضلع منتظم ذي عدد فردي من الأضلاع. وتنتج الصيغة من حقيقة أن كل تقاطع يُحدد بشكل فريد بواسطة النقاط الأربع لقطري التقاطع: وبالتالي ^، فإن عدد التقاطعات هو عدد التوليفات الممكنة للرؤوس n، أربعة في كل مرة.

على الرغم من أن عدد الأقطار المميزة في المضلع يزداد مع ازدياد عدد أضلاعه، إلا أنه يمكن حساب طول أي قطر.

في مضلع منتظم ذي n ضلعًا وطول ضلعه a ، يكون طول أقصر قطر مميز في الضلع x هو:

${\displaystyle \sin \left({\frac {\pi (x+1)}{n}}\right)\csc \left({\frac {\pi }{n}}\right)\cdot a}$

توضح هذه الصيغة أنه كلما اقترب عدد الأضلاع من اللانهاية، يقترب طول أقصر قطر في الشكل من الطول ⁠${\displaystyle (x+1)a}$بالإضافة إلى ذلك، تتبسط صيغة أقصر قطر في حالة x = 1:

${\displaystyle \sin \left({\frac {2\pi }{n}}\right)\csc \left({\frac {\pi }{n}}\right)\cdot a=2\cos \left({\frac {\pi }{n}}\right)\cdot a}$

إذا كان عدد الأضلاع زوجيًا، فسيكون أطول قطر مساويًا لقطر الدائرة المحيطة بالمضلع لأن الأقطار الطويلة تتقاطع جميعها عند مركز المضلع.

تشمل الحالات الخاصة ما يلي:

للمربع قطران متساويان في الطول، يتقاطعان في مركز المربع. نسبة طول القطر إلى طول الضلع هي${\displaystyle {\sqrt {2}}\approx 1.414.}$

الخماسي المنتظم له خمسة أقطار متساوية الطول. نسبة طول القطر إلى طول الضلع هي النسبة الذهبية .${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1.618.}$

يمكن حساب أطوال أقطار المكعب الفائق ذي الأبعاد n باستخدام الاستقراء الرياضي . أطول قطر في مكعب ذي أبعاد n هو${\displaystyle {\sqrt {n}}}$بالإضافة إلى ذلك، هناك${\displaystyle 2^{n-1}{\binom {n}{x+1}}}$من أقصر قطر رقم x . على سبيل المثال، مكعب ذو 5 أقطار سيكون له:

يبلغ إجمالي عدد أقطاره 416. وبشكل عام، يحتوي المكعب ذو البعد n على إجمالي عدد${\displaystyle 2^{n-1}(2^{n}-n-1)}$الأقطار. وهذا يتبع الشكل الأكثر عمومية لـ${\displaystyle {\frac {v(v-1)}{2}}-e}$والذي يصف العدد الإجمالي للأوجه والأقطار الفراغية في متعددات الوجوه المحدبة . ^{[ 9 ]} هنا، يمثل v عدد الرؤوس ويمثل e عدد الحواف.