إسقاط مركاتور

إسقاط مركاتور ( يُلفظ / mərˈkeɪtər / ) هو إسقاط أسطواني متطابق للخرائط، قدمه لأول مرة الجغرافي ورسام الخرائط الفلمنكي جيراردوس مركاتور عام 1569. في القرن الثامن عشر، أصبح الإسقاط القياسي للخرائط المستخدمة في الملاحة نظرًا لقدرته على تمثيل خطوط الرومب كخطوط مستقيمة. عند تطبيقه على خرائط العالم، يُضخّم إسقاط مركاتور مساحة الأراضي كلما ابتعدت عن خط الاستواء . لذلك، تبدو كتل أرضية مثل غرينلاند والقارة القطبية الجنوبية أكبر بكثير من حجمها الحقيقي مقارنةً بالكتل الأرضية القريبة من خط الاستواء. تراجع استخدامه في الخرائط غير البحرية خلال القرن العشرين، لكنه عاد بقوة في القرن الحادي والعشرين نظرًا لخصائصه الملائمة لخرائط شبكة الإنترنت العالمية .

تاريخ

تكهن جوزيف نيدهام ، المؤرخ المتخصص في تاريخ الصين، بأن بعض الخرائط النجمية لسلالة سونغ الصينية ربما رُسمت باستخدام إسقاط مركاتور؛ ^{[ 1 ]} إلا أن هذا الادعاء قُدِّم دون دليل، وخلص المؤرخ الفلكي كازوهيكو مياجيما، باستخدام التحليل الخرائطي، إلى أن هذه الخرائط استخدمت إسقاطًا مستطيليًا متساوي القياس بدلاً من ذلك. ^{[ 2 ]}

في القرن الثالث عشر، تضمنت أقدم الخرائط الملاحية الباقية للبحر الأبيض المتوسط، والتي يُعتقد عمومًا أنها لا تستند إلى أي إسقاط خرائطي مُتعمّد، شبكات من خطوط متقاطعة تُشبه بوصلات الرياح، والتي يُمكن استخدامها لتحديد اتجاه السفينة أثناء الإبحار بين المواقع على الخريطة؛ وكانت المنطقة التي تُغطيها هذه الخرائط صغيرة بما يكفي بحيث يكون مسار الاتجاه الثابت مستقيمًا تقريبًا على الخريطة. ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]} تتميز هذه الخرائط بدقة مذهلة لا تُوجد في الخرائط التي وضعها علماء أوروبيون أو عرب معاصرون، ولا يزال بناؤها غامضًا؛ واستنادًا إلى تحليل قياس الخرائط الذي يبدو أنه يُناقض الإجماع العلمي، يُعتقد أنها نشأت في تقليد خرائطي غير معروف يعود إلى ما قبل العصور الوسطى، وربما يكون ذلك دليلًا على فهم قديم لإسقاط مركاتور. ^{[ 5 ]}

قام العالم الألماني الموسوعي إرهارد إتزلاوب بنقش خرائط مصغرة (حوالي 10×8 سم) لأوروبا وأجزاء من أفريقيا، تغطي خطوط العرض من 0° إلى 67°، وذلك لتسهيل ضبط ساعاته الشمسية المحمولة صغيرة الحجم . وذكر جون سنايدر في عام 1987 أن الإسقاط الموجود على هذه الخرائط، التي يعود تاريخها إلى عام 1511، هو نفس إسقاط ميركاتور. ^{[ 6 ]} ومع ذلك، ونظرًا لهندسة الساعة الشمسية، فمن المحتمل أن تكون هذه الخرائط قد استندت إلى الإسقاط الأسطواني المركزي المماثل ، وهو حالة خاصة من الإسقاط الزنوموني ، الذي يُعد أساس الساعة الشمسية. وقد عدّل سنايدر تقييمه إلى "إسقاط مماثل" في عام 1993. ^{[ 7 ]}

وصف عالم الرياضيات والجغرافيا البرتغالي بيدرو نونيس لأول مرة المبدأ الرياضي لخط الرومب أو اللوكسودروم، وهو مسار ذو اتجاه ثابت يُقاس بالنسبة للشمال الحقيقي، ويمكن استخدامه في الملاحة البحرية لتحديد اتجاه البوصلة المطلوب. في عام 1537، اقترح نونيس إنشاء أطلس بحري يتألف من عدة خرائط كبيرة الحجم في الإسقاط المستطيل المتساوي كوسيلة لتقليل تشوه الاتجاهات. إذا تم توحيد مقياس هذه الخرائط وتجميعها، فإنها ستقارب إسقاط مركاتور.

في عام 1541، أدرج الجغرافي وصانع الخرائط الفلمنكي جيراردوس ميركاتور شبكة من خطوط الرومب على مجسم أرضي صنعه لنيكولاس بيرينو . ^{[ 8 ]}

في عام ١٥٦٩، أعلن ميركاتور عن إسقاط جديد بنشر خريطة عالمية كبيرة بقياس ٢٠٢ × ١٢٤ سم (٨٠ × ٤٩ بوصة) مطبوعة على ثماني عشرة ورقة منفصلة. عنون ميركاتور الخريطة بـ Nova et Aucta Orbis Terrae Descriptio ad Usum Navigantium Emendata : "وصف جديد ومُحسّن للأرض مُصحّح لاستخدام البحارة". يُظهر هذا العنوان، إلى جانب شرح مُفصّل لاستخدام الإسقاط يظهر كجزء من نص الخريطة، أن ميركاتور كان يُدرك تمامًا ما أنجزه، وأنه كان ينوي أن يُساعد الإسقاط في الملاحة. لم يُفصح ميركاتور قط عن طريقة بناء الخريطة أو كيف توصل إليها. طُرحت فرضيات مُختلفة على مر السنين، ولكن على أي حال، من المُرجّح أن صداقة ميركاتور مع بيدرو نونيس، وإمكانية وصوله إلى جداول الإحداثيات التي وضعها نونيس، قد ساعدته في جهوده. ^[^٩^]

نشر عالم الرياضيات الإنجليزي إدوارد رايت أولى الجداول الدقيقة لإنشاء الإسقاط عام 1599، ثم نشرها بتفصيل أكبر عام 1610، تحت عنوان "أخطاء معينة في الملاحة". أما الصياغة الرياضية الأولى فقد نُشرت حوالي عام 1645 على يد عالم الرياضيات هنري بوند ( حوالي 1600-1678 ). ومع ذلك، فإن الرياضيات المستخدمة في هذه العملية طُوّرت، ولكن لم تُنشر، على يد عالم الرياضيات توماس هاريوت بدءًا من حوالي عام 1589. ^{[ 10 ]}

مثّل تطوير إسقاط مركاتور طفرةً نوعيةً في رسم الخرائط البحرية في القرن السادس عشر. إلا أنه كان سابقًا لعصره، إذ لم تكن تقنيات الملاحة والمسح القديمة متوافقةً مع استخدامه في الملاحة. وقد حالت مشكلتان رئيسيتان دون تطبيقه الفوري: استحالة تحديد خط الطول في البحر بدقة كافية، واستخدام الاتجاهات المغناطيسية بدلًا من الاتجاهات الجغرافية في الملاحة. ولم يتسنَّ للملاحين اعتماد إسقاط مركاتور بشكل كامل إلا في منتصف القرن الثامن عشر، بعد اختراع الكرونومتر البحري ومعرفة التوزيع المكاني للانحراف المغناطيسي .

على الرغم من تلك القيود المتعلقة بتحديد المواقع، لا يزال إسقاط مركاتور مستخدمًا في العديد من خرائط العالم في القرون التي تلت نشره الأول. مع ذلك، لم يبدأ بالهيمنة على خرائط العالم إلا في القرن التاسع عشر، عندما تم حل مشكلة تحديد المواقع إلى حد كبير. وبمجرد أن أصبح إسقاط مركاتور هو الإسقاط المعتاد للخرائط التجارية والتعليمية، تعرض لانتقادات مستمرة من رسامي الخرائط بسبب تمثيله غير المتوازن للكتل الأرضية وعجزه عن إظهار المناطق القطبية بشكل مفيد.

أدت الانتقادات الموجهة إلى الاستخدام غير المناسب لإسقاط مركاتور إلى ظهور موجة من الاختراعات الجديدة في أواخر القرن التاسع عشر وأوائل القرن العشرين، والتي رُوِّج لها في كثير من الأحيان كبدائل مباشرة لإسقاط مركاتور. وبسبب هذه الضغوط، قلل الناشرون تدريجيًا من استخدامهم لهذا الإسقاط على مدار القرن العشرين. ومع ذلك، أدى ظهور خرائط الويب إلى عودة مفاجئة للإسقاط في شكل إسقاط مركاتور على الويب .

اليوم، يُمكن العثور على إسقاط مركاتور في الخرائط البحرية، وبعض خرائط العالم، وخدمات الخرائط الإلكترونية، لكن الأطالس التجارية تخلت عنه إلى حد كبير، وتُستخدم إسقاطات بديلة عديدة في خرائط العالم الجدارية. خرائط جوجل ، التي اعتمدت عليه منذ عام ٢٠٠٥، لا تزال تستخدمه لخرائط المناطق المحلية، لكنها أزالت هذا الإسقاط من منصات سطح المكتب عام ٢٠١٧ للخرائط التي تُعرض على نطاق أوسع من المناطق المحلية. ولا تزال العديد من خدمات الخرائط الإلكترونية الأخرى تستخدم إسقاط مركاتور الإلكتروني حصريًا.

ملكيات

يمكن تصور إسقاط مركاتور كنتيجة للف أسطوانة بإحكام حول كرة، بحيث يكون سطحا الكرة متماسين على طول دائرة تقع في منتصف المسافة بين قطبي محورهما المشترك، ثم فرد سطح الكرة بشكل متطابق على الأسطوانة، مما يعني أن الإسقاط عند كل نقطة يُكبّر صورة جزء صغير من سطح الكرة بشكل منتظم دون تشويهها، مع الحفاظ على الزوايا بين المنحنيات المتقاطعة. بعد ذلك، تُفرد هذه الأسطوانة على سطح مستوٍ لرسم خريطة. في هذا التفسير، يُحفظ مقياس السطح بدقة على طول الدائرة التي تلامس فيها الأسطوانة الكرة، ولكنه يزداد بشكل غير خطي للنقاط الأبعد عن دائرة التماس. مع ذلك، من خلال تقليص الخريطة المستوية الناتجة بشكل منتظم، كخطوة أخيرة، يمكن اختيار أي زوج من الدوائر الموازية لدائرة التماس والمتساوية البعد عنها بحيث يُحفظ مقياسها، وتُسمى هذه الدوائر بالدوائر المتوازية القياسية ؛ عندئذٍ، سيكون مقياس المنطقة بين الدوائر المختارة أصغر من مقياسها على الكرة، ليصل إلى أدنى قيمة له عند دائرة التماس. يُصوَّر هذا أحيانًا على أنه إسقاط على أسطوانة قاطعة للكرة ، إلا أن هذه الصورة مضللة لأن خطوط العرض القياسية لا تتباعد بنفس المسافة على الخريطة كما تتباعد أقصر مسافة بينها عبر باطن الكرة. ^{[ 11 ]}

يُعدّ إسقاط مركاتور، وهو الإسقاط الأصلي والأكثر شيوعًا لخرائط الأرض، هو الإسقاط العمودي، حيث يكون محور الأسطوانة هو محور دوران الأرض المارّ بالقطبين الشمالي والجنوبي، ودائرة التماس هي خط استواء الأرض . وكما هو الحال في جميع الإسقاطات الأسطوانية العمودية، تكون دوائر العرض وخطوط الطول مستقيمة ومتعامدة على الخريطة، مُشكّلةً شبكة من المستطيلات. وبينما تصغر دوائر العرض على الأرض كلما اقتربت من القطبين، فإنها تمتدّ في اتجاه شرق-غرب لتكون متساوية الطول على أي إسقاط أسطواني. ومن بين الإسقاطات الأسطوانية، يُعدّ إسقاط مركاتور الإسقاط الفريد الذي يُوازن هذا التمدد الشرقي-الغربي بتمدد شمالي-جنوبي مُطابق له بدقة، بحيث يكون المقياس موحدًا محليًا في كل موقع، وتُحفظ الزوايا.

إن إسقاط ميركاتور في الوضع الطبيعي يرسم مسارات ذات اتجاه ثابت (تسمى خطوط الرومب أو اللوكسودروم ) على الكرة إلى خطوط مستقيمة على الخريطة، وبالتالي فهو مناسب بشكل فريد للملاحة البحرية : يتم قياس المسارات والاتجاهات باستخدام بوصلة أو منقلة، ويتم نقل الاتجاهات المقابلة بسهولة من نقطة إلى أخرى على الخريطة، على سبيل المثال بمساعدة مسطرة متوازية .

نظرًا لأن المقياس الخطي لخريطة مركاتور في وضعها الطبيعي يزداد مع خط العرض، فإنه يشوه حجم الأجرام الجغرافية البعيدة عن خط الاستواء، ويعطي تصورًا مشوهًا للهندسة العامة للكوكب. عند خطوط عرض أكبر من 70 درجة شمالًا أو جنوبًا، يصبح إسقاط مركاتور غير عملي، لأن المقياس الخطي يصبح كبيرًا جدًا عند القطبين. لذلك، لا يمكن لخريطة مركاتور أن تُظهر المناطق القطبية بشكل كامل (ولكن انظر قسم الاستخدامات أدناه للاطلاع على تطبيقات إسقاطات مركاتور المائلة والمستعرضة).

كثيراً ما تُقارن إسقاطة مركاتور بالإسقاطة الأسطوانية المركزية ، التي تنتج عن إسقاط نقاط من الكرة الأرضية على أسطوانة مماسية على طول خطوط شعاعية مستقيمة، كما لو كانت من مصدر ضوئي موضوع في مركز الأرض، مما يؤدي إلى الخلط بينهما. ^{[ 12 ]} يُظهر كلا الإسقاطين تشوهاً شديداً بعيداً عن خط الاستواء، ولا يُمكنهما إظهار القطبين. ومع ذلك، فهما إسقاطان مختلفان ولهما خصائص مختلفة.

تشوه الأحجام

الإسقاطات الأسطوانية بزاوية 360 درجة: الإسقاط المستطيل المتساوي، وإسقاط ميلر، وإسقاط ميركاتور، والإسقاط الأسطواني الحقيقي.

كما هو الحال مع جميع إسقاطات الخرائط ، فإن الأشكال أو الأحجام تمثل تشويهاً للتخطيط الحقيقي لسطح الأرض. يُبالغ إسقاط مركاتور في إظهار المناطق البعيدة عن خط الاستواء ؛ وكلما اقتربنا من قطبي الأرض، زاد التشويه.

أمثلة على تشوه الحجم

تبدو غرينلاند بنفس حجم أفريقيا ، بينما في الواقع تبلغ مساحة أفريقيا 14 ضعف مساحة غرينلاند. ^{[ 13 ]}
- تبلغ مساحة غرينلاند الحقيقية ما يعادل مساحة جمهورية الكونغو الديمقراطية وحدها.
تبدو أفريقيا بحجم أمريكا الجنوبية تقريباً ، بينما في الواقع تبلغ مساحة أفريقيا أكثر من مرة ونصف.
تبدو ألاسكا بنفس حجم أستراليا ، على الرغم من أن أستراليا في الواقع أكبر بـ 4.5 مرة.
- تشغل ألاسكا مساحة على الخريطة تعادل مساحة البرازيل ، في حين أن مساحة البرازيل تبلغ حوالي 5 أضعاف مساحة ألاسكا.
تبدو مدغشقر وبريطانيا العظمى متقاربتين في الحجم، بينما في الواقع تبلغ مساحة مدغشقر أكثر من ضعف مساحة بريطانيا العظمى.
تبدو القارة القطبية الجنوبية ، كونها تقع في أقصى نقطة جنوبية على الأرض حيث تلتقي جميع خطوط الطول، كبيرة بشكل لا نهائي.

نقد

بسبب التشوهات الكبيرة في مساحة الأرض، يعتبر نقاد مثل جورج كيلاواي وإيرفينغ فيشر هذا الإسقاط غير مناسب لخرائط العالم العامة. ويُعتقد أنه أثر على نظرة الناس للعالم: فبما أنه يُظهر الدول القريبة من خط الاستواء أصغر من اللازم مقارنةً بدول أوروبا وأمريكا الشمالية، فقد يُفترض أنه جعل الناس ينظرون إلى تلك الدول على أنها أقل أهمية. ^{[ 14 ]} استخدم ميركاتور نفسه الإسقاط الجيبي متساوي المساحة لإظهار المساحات النسبية. ومع ذلك، وعلى الرغم من هذه الانتقادات، كان إسقاط ميركاتور، خاصةً في أواخر القرن التاسع عشر وأوائل القرن العشرين، ربما الإسقاط الأكثر شيوعًا في خرائط العالم. ^{[ 15 ]}^{[ 16 ]}^{[ 17 ]} توقفت الأطالس إلى حد كبير عن استخدام إسقاط ميركاتور لخرائط العالم أو للمناطق البعيدة عن خط الاستواء في أربعينيات القرن العشرين، مفضلةً إسقاطات أسطوانية أخرى ، أو أشكالًا من الإسقاط متساوي المساحة . ومع ذلك، لا يزال إسقاط مركاتور شائع الاستخدام في المناطق القريبة من خط الاستواء حيث يكون التشوه ضئيلاً. كما أنه يُستخدم بكثرة في خرائط المناطق الزمنية. ^{[ 18 ]}

أثار أرنو بيترز جدلاً واسعاً بدءاً من عام 1972 عندما اقترح ما يُعرف الآن بإسقاط غال-بيترز لمعالجة مشاكل إسقاط مركاتور، مدعياً أنه عمله الأصلي دون الإشارة إلى أعمال سابقة لرسامي الخرائط، مثل عمل غال من عام 1855. ويُعدّ الإسقاط الذي روّج له عبارة عن تحديد مُعاملات مُحددة للإسقاط الأسطواني متساوي المساحة . ورداً على ذلك، أصدرت سبع مجموعات جغرافية من أمريكا الشمالية قراراً عام 1989 ينتقد استخدام الإسقاطات الأسطوانية في خرائط العالم العامة، والتي تشمل كلاً من إسقاط مركاتور وإسقاط غال-بيترز. ^{[ 19 ]}

اعتبارًا من عام 2025يدعم الاتحاد الأفريقي حملةً تُفضّل إسقاط الأرض المتساوية على إسقاط مركاتور. ^{[ 20 ]}

الاستخدامات

تعتمد جميع الخرائط البحرية المطبوعة تقريبًا على إسقاط مركاتور نظرًا لخصائصه الفريدة والملائمة للملاحة. كما يُستخدم هذا الإسقاط على نطاق واسع في خدمات خرائط الشوارع على الإنترنت، نظرًا لخصائصه الفريدة والملائمة لخرائط المناطق المحلية التي تُحسب عند الطلب. ^{[ 21 ]} وكان لإسقاط مركاتور دورٌ هامٌ أيضًا في التطور الرياضي لنظرية الصفائح التكتونية في ستينيات القرن العشرين. ^{[ 22 ]}

الملاحة البحرية

صُمم إسقاط مركاتور خصيصًا للملاحة البحرية نظرًا لخاصيته الفريدة في تمثيل أي مسار ذي اتجاه ثابت كقطعة مستقيمة. يُفضل استخدام هذا المسار، المعروف باسم خط الرومب (أو خط الرومب أو اللوكسودروم)، في الملاحة البحرية لأنه يسمح للسفن بالإبحار في اتجاه ثابت للبوصلة. وهذا يقلل من صعوبة تصحيح المسار، وما يترتب عليه من أخطاء، والتي قد تكون ضرورية عند الإبحار في مسار مختلف.

بالنسبة للمسافات القصيرة (مقارنةً بنصف قطر الأرض)، يكون الفرق بين مسار الرومب ومسار الدائرة العظمى ضئيلاً. حتى بالنسبة للمسافات الأطول، فإن بساطة الاتجاه الثابت تجعله جذابًا. وكما لاحظ مركاتور، فإن السفينة على مثل هذا المسار لن تصل عبر أقصر طريق، لكنها ستصل حتمًا. كان الإبحار على مسار الرومب يعني أن كل ما على البحارة فعله هو الحفاظ على مسار ثابت طالما كانوا يعرفون موقعهم عند الانطلاق، وموقعهم المقصود عند الوصول، ولديهم خريطة بإسقاط مركاتور تُظهر هذين الإحداثيين بدقة. ^{[ 23 ]}

ويب ميركاتور

تستخدم العديد من خدمات خرائط الشوارع الرئيسية على الإنترنت ( مثل خرائط بينج ، وخرائط جوجل ، وماب بوكس ، وماب كويست ، وأوبن ستريت ماب ، وخرائط ياهو ، وغيرها) نوعًا مختلفًا من إسقاط ميركاتور لصور خرائطها ^{[ 24 ]} ، يُعرف باسم ويب ميركاتور أو جوجل ويب ميركاتور. على الرغم من اختلاف المقياس الواضح على مستوى العالم (المقاييس الصغيرة)، يُعد هذا الإسقاط مناسبًا تمامًا كخريطة عالمية تفاعلية يمكن تكبيرها بسلاسة إلى خرائط محلية (واسعة النطاق)، حيث يكون التشوه ضئيلًا نسبيًا نظرًا لتوافقه شبه التام مع البيانات المكانية .

تعرض أنظمة تقسيم الخرائط الرئيسية لخدمات رسم خرائط الشوارع عبر الإنترنت معظم أنحاء العالم عند أدنى مستوى تكبير كصورة مربعة واحدة، باستثناء المناطق القطبية عن طريق اقتطاعها عند خطوط العرض $φ max = \pm85.05113°$ . (انظر أدناه ). يتم رسم قيم خطوط العرض خارج هذا النطاق باستخدام علاقة مختلفة لا تختلف عند $φ$ $=$ $\pm90°$ .

ميركاتور المستعرض

يُغيّر إسقاط مركاتور المستعرض محور الأسطوانة بحيث يصبح عموديًا على محور الأرض. ويتطابق خط المماس القياسي مع خط الزوال وخط الزوال المقابل له، مما يُعطي عامل قياس ثابتًا على طول هذين الخطين، وعامل قياس شبه ثابت ضمن نطاق بضع درجات من خط الطول حولهما. هذه الخاصية تجعل هذا الإسقاط مفيدًا لرسم خرائط المناطق المدمجة أو الممتدة في الغالب من الشمال إلى الجنوب. في شكله الإهليلجي الأكثر تعقيدًا، تستخدم معظم أنظمة الإحداثيات الوطنية حول العالم إسقاط مركاتور المستعرض، كما هو الحال في نظام الإحداثيات العالمي لمركاتور المستعرض .

أوبليك ميركاتور

يُغيّر إسقاط ميركاتور المائل محور الأسطوانة بعيدًا عن محور الأرض بزاوية مُختارة، بحيث تكون خطوط التماس أو القواطع دوائر مائلة أيضًا بالنسبة لخطوط العرض الأرضية. ^{[ 25 ]} تستخدم التطبيقات العملية للإسقاط المائل، مثل أنظمة الشبكات الوطنية، أشكالًا بيضاوية لإسقاط ميركاتور المائل للحفاظ على انخفاض تباين المقياس على طول إسقاط محور الأسطوانة على السطح.

يُظهر الرسم المتحرك أدناه تحولًا مستمرًا بين إسقاط مركاتور العمودي والإسقاط المستعرض، مرورًا بالحالات المائلة الوسيطة. يتغير خط الرومب (الأزرق) والدائرة العظمى (الأحمر) من طوكيو، اليابان، إلى كالاو، بيرو، وفقًا لزاوية الإسقاط. يكون خط الرومب بينهما مستقيمًا فقط في الإسقاط العمودي. في أحد الإسقاطات المائلة الوسيطة، يكون مسار الدائرة العظمى بين المدينتين مستقيمًا. في هذا الرسم، يُمثل المحور الصادي دائمًا المحور المُسقط للأسطوانة. تدور الكرة داخل الأسطوانة لتغيير زاوية الإسقاط. في البداية، يكون المحور عموديًا على خط الاستواء (المُسقط كخط أخضر سميك)، ولكنه ينتهي مستعرضًا عليه، عندما يمتد خط الاستواء المُسقط إلى ما لا نهاية في الاتجاه الرأسي.

الرياضيات

التعبير البسيط للشكل الكروي لإسقاط ميركاتور هو: ^{[ 26 ]} $$$ أين $R$ ⁠ هو عامل قياس اعتباطي يحدد حجم الخريطة الناتجة، و $ln$ هو اللوغاريتم الطبيعي ، و $tan$ هي دالة الظل المثلثية .

إسقاطات أسطوانية

على الرغم من أن سطح الأرض يُنمذج بشكل أفضل باستخدام شكل بيضاوي مفلطح دوراني ، إلا أنه في الخرائط ذات المقياس الصغير ، يُقارب هذا الشكل بكرة نصف قطرها $a$ ، حيث $a$ تساوي تقريبًا 6371 كيلومترًا. ويمكن نمذجة هذا التقريب الكروي للأرض بكرة أصغر نصف قطرها $R$ ، تُسمى الكرة الأرضية في هذا القسم. وتحدد الكرة الأرضية مقياس الخريطة. وتُحدد الإسقاطات الأسطوانية المختلفة كيفية نقل التفاصيل الجغرافية من الكرة الأرضية إلى أسطوانة مماسية لها عند خط الاستواء. ثم تُفرد الأسطوانة للحصول على الخريطة المستوية. $[$ ^{27 ] [}^{28 ] ويُسمى} $الكسر$ R $/ a بالكسر$ التمثيلي ( RF) أو المقياس الرئيسي للإسقاط. على سبيل المثال، قد يكون لخريطة ميركاتور المطبوعة في كتاب عرض استوائي يبلغ 13.4 سم، وهو ما يتوافق مع نصف قطر الكرة الأرضية البالغ 2.13 سم و RF يبلغ حوالي 1 / 300M ( يتم استخدام M كاختصار لـ 1,000,000 في كتابة RF)، بينما يبلغ عرض خريطة ميركاتور الأصلية لعام 1569 198 سم ، وهو ما يتوافق مع نصف قطر الكرة الأرضية البالغ 31.5 سم و RF يبلغ حوالي 1 / 20M .

يُحدد إسقاط الخريطة الأسطواني بصيغ تربط الإحداثيات الجغرافية لخط العرض $φ$ وخط الطول $λ$ بالإحداثيات الديكارتية على الخريطة، حيث يكون الأصل على خط الاستواء والمحور $x$ موازياً له. وبحسب التصميم، تقع جميع النقاط على خط الزوال نفسه على نفس المولد ^[^a^] للأسطوانة عند قيمة ثابتة لـ $x$ ، لكن المسافة $y$ على طول المولد (مقاسة من خط الاستواء) هي دالة اختيارية ^[^b^] لخط العرض، $y$ $($ $φ$ $)$ . عموماً، لا تصف هذه الدالة الإسقاط الهندسي (كما هو الحال مع أشعة الضوء على شاشة) من مركز الكرة الأرضية إلى الأسطوانة، وهو مجرد واحد من عدد لا حصر له من الطرق لإسقاط خريطة أسطوانية.

بما أن الأسطوانة مماسية للكرة الأرضية عند خط الاستواء، فإن معامل المقياس بين الكرة الأرضية والأسطوانة يساوي واحدًا عند خط الاستواء فقط. وبما أن نصف قطر دائرة العرض يساوي $R cos φ ،$ $فإن$ دائرة العرض المقابلة على الخريطة يجب أن تكون قد مُدِّدت بمعامل $1$ $/$ $cos$ $φ$ $=$ $sec$ $φ$ . يُرمز إلى معامل المقياس هذا على دائرة العرض بالرمز $k$ ، ويُرمز إلى معامل المقياس المقابل على خط الزوال بالرمز $h$ . ^[²⁹^]

عامل المقياس

إسقاط مركاتور متطابق . ومن تبعات ذلك "تماثل عوامل المقياس"، ما يعني أن عامل مقياس النقطة مستقل عن الاتجاه، وبالتالي يحافظ الإسقاط على الأشكال الصغيرة. وهذا يعني أن عامل المقياس الرأسي، $h$ ، يساوي عامل المقياس الأفقي، $k$ . وبما أن $k = sec φ$ ، فإن $h$ يساويه أيضاً .

يُظهر الرسم البياني تغير عامل المقياس هذا مع خط العرض. بعض القيم العددية مذكورة أدناه.

عند خط عرض 30 درجة، يكون عامل المقياس $k$ $=$ $sec$ $30°$ $\approx$ $1.15$ ،
عند خط عرض 45 درجة، يكون عامل المقياس $k$ $=$ $sec$ $45°$ $\approx$ $1.41$ ،
عند خط عرض 60 درجة، يكون عامل المقياس $k$ $=$ $sec$ $60°$ $=$ $2$ ،
عند خط عرض 80 درجة، يكون عامل المقياس $k$ $=$ $sec$ $80°$ $\approx$ $5.76$ ،
عند خط عرض 85 درجة، يكون عامل المقياس $k$ $=$ $sec$ $85°$ $\approx$ $11.5$

معامل مقياس المنطقة هو حاصل ضرب مقياسَي خطوط العرض والزوال $hk = sec²φ . بالنسبة لغرينلاند، بافتراض أن$ 73° هو خط العرض المتوسط، فإن $hk \approx 11.7$ . وبالنسبة لأستراليا، بافتراض أن 25° هو خط العرض المتوسط، $فإن hk \approx 1.2$ . وبالنسبة لبريطانيا العظمى، بافتراض أن 55° هو خط العرض المتوسط، $فإن hk \approx 3.04$ .

يُشار أحيانًا إلى التباين مع خط العرض بواسطة مقاييس شريطية متعددة كما هو موضح أدناه.

الطريقة الكلاسيكية لإظهار التشوه المتأصل في الإسقاط هي استخدام مؤشر تيسو . لاحظ نيكولاس تيسو أن معاملات المقياس عند نقطة ما على إسقاط الخريطة، والمحددة بالرقمين $h$ و $k$ ، تُحدد شكلًا بيضاويًا عند تلك النقطة. في الإسقاطات الأسطوانية، تتطابق محاور القطع الناقص مع خطوط الطول والعرض. ^{[ 30 ]}^{[ ج ]} أما في إسقاط مركاتور، فإن $h = k$ ، لذا تتحول الأشكال البيضاوية إلى دوائر نصف قطرها يتناسب مع قيمة معامل المقياس لخط العرض هذا. تظهر هذه الدوائر على الخريطة المسقطة بأحجام متفاوتة للغاية، مما يدل على اختلافات مقياس مركاتور.

تحويلات إسقاط ميركاتور

تكامل القاطع

كما نوقش أعلاه، فإن شرط التناظر يعني أن $h=k=\sec \varphi$ لنفترض نقطة على الكرة الأرضية نصف قطرها $R$ مع خط الطول $\lambda$ وخط العرض $\varphi$ ، معبرًا عنها بالراديان . إذا $\varphi$ تزداد بمقدار ضئيل للغاية $d\varphi$ تتحرك النقطة $R\,d\varphi$ على طول خط زوال الكرة الأرضية بنصف قطر $R$ ، وبالتالي فإن التغيير المقابل في $y$ هو $dy=hR\,d\varphi =R\sec \varphi \,d\varphi$ لذلك $y'(\varphi )=R\sec \varphi$ وبالمثل ، زيادة $\lambda$ بواسطة $d\lambda$ يحرك النقطة $R\cos \varphi \,d\lambda$ على طول خط عرضي للكرة الأرضية، لذلك $dx=kR\cos \varphi \,d\lambda =Rd\lambda$ أي أن $x'(\lambda )=R$ بدمج هاتين المعادلتين $x'(\lambda )=R,\qquad y'(\varphi )=R\sec \varphi ,$ مع $x(\lambda _{0})=0$ و $y(0)=0$ يعطي $x(\lambda )=\int _{\lambda _{0}}^{\lambda }R\,du,\qquad y(\varphi )=\int _{0}^{\varphi }R\sec v\,dv.$ القيمة $\lambda _{0}$ يمثل خط الطول خط زوال مركزي اعتباطي، وغالبًا ما يكون خط الزوال الرئيسي . $\lambda _{0}=0$ التكامل المحدد لدالة القاطع حتى زاوية معينة $\varphi$ ⁠ هي زاوية زائدية مرتبطةتسمى الزاوية المضادة لجودرمان أو الزاوية اللامبرتية لـ ⁠ $\varphi$ ⁠ ,^{[ 31 ]}^{[ 32 ]} $x=R(\lambda -\lambda _{0}),\qquad y=R\operatorname {gd} ^{-1}(\varphi )=R\,{\ln }{\bigl (}{\tan }{\bigl (}{\tfrac {1}{4}}\pi +{\tfrac {1}{2}}\varphi {\bigr )}{\bigr )}.$ الإحداثي الرأسي $y$ كان يُطلق عليه تاريخياً اسم الجزء الميريديوني من $\varphi$ في الشكل ، $y$ يتم رسمها مقابل $\varphi$ في هذه الحالة $R=1$ بحيث يساوي مضاد غودرمان لـ $\varphi$ ⁠ ؛ يؤول إلى اللانهاية عند القطبين. القيمة العددية لـ ⁠ $y$ لا يتم عرضها عادة على الخرائط المطبوعة؛ بعض الخرائط تظهر مقياسًا غير خطي لخطوط العرض، ولكن في أغلب الأحيان لا تظهر الخرائط سوى شبكة من خطوط الطول والعرض المختارة.

اللوغاريتم المركب

باعتبارها خريطة مطابقة ، يمكن التعبير عن إسقاط مركاتور بسهولة باستخدام عدد مركب واحد لتمثيل كل نقطة على الكرة بدلاً من زوج من الإحداثيات الحقيقية . يُحسب العدد المركب الذي يمثل كل نقطة على ما يُسمى بكرة ريمان هذه عن طريق تحويل الكرة مطابقةً إلى المستوى المركب عبر الإسقاط المجسم . ومن ثم ، يصبح إسقاط مركاتور هو اللوغاريتم المركب . $z\mapsto \log z$ ، وهي خريطة مطابقة للمستوى المركب (باستثناء نقطة الأصل، التي يكون لوغاريتمها غير مُعرَّف) على أسطوانة ذات طرفين لانهائيين.^{[ 33 ]} بدءًا من الإحداثيات الجغرافية $(\lambda ,\varphi )$ بالراديان، ينتج عن الإسقاط المجسم عدد مركب $\textstyle z=e^{\lambda i}\tan {\bigl (}{\tfrac {1}{4}}\pi -{\tfrac {1}{2}}\varphi {\bigr )}$ ، مع إسقاط القطب الشمالي على نقطة الأصل. وبالتالي، تكون الدالة التالية $M$ ⁠ هو إسقاط ميركاتور ذو القيم المركبة للإحداثيات الجغرافية: ${\begin{aligned}M(\lambda ,\varphi )&={\log }{\bigl (}e^{\lambda i}\,{\tan }{\bigl (}{\tfrac {1}{4}}\pi -{\tfrac {1}{2}}\varphi {\bigr )}{\bigr )}\\[3mu]&={\log }{\bigl (}{\tan }{\bigl (}{\tfrac {1}{4}}\pi -{\tfrac {1}{2}}\varphi {\bigr )}{\bigr )}+\lambda i.\end{aligned}}$ يمثل الجزء التخيلي من العدد المركب الناتج خط الطول، بينما يمثل الجزء الحقيقي خط العرض المسقط السالب. ^{[ 33 ]} ولمواءمة تمثيل الأعداد المركبة وخرائط العالم بشكل أفضل مع الاصطلاحات السائدة، يمكن تدويره ربع دورة وتغيير حجمه بشكل تعسفي عن طريق الضرب بمعامل تغيير الحجم . $-Ri$ ⁠ .

التحويلات العكسية

إيجاد خط الطول كمعكوس لـ $x$ إحداثيات الموقع بسيطة. يمكن إيجاد خط العرض كمعكوس لـ $y$ باعتباره غودرمانيًامن $y/R$ [ ³¹ ]

$\lambda =\lambda _{0}+{\frac {x}{R}},\qquad \varphi =\operatorname {gd} \left({\frac {y}{R}}\right)=2\tan ^{-1}\left(\exp \left({\frac {y}{R}}\right)\right)-{\frac {\pi }{2}}.$

تعابير بديلة

توجد العديد من المتطابقات المتعلقة بالزاوية الدائرية $\varphi$ إلى معارضتها لجودرمان $\operatorname {gd} ^{-1}\varphi =y/R$ ، وهي زاوية زائدية، يمكن استخدامها لإنشاء تعبيرات بديلة للدوال من واحدة إلى أخرى.^{[ 32 ]} (انظر دالة غودرمان ). لقيمة حقيقية لـ $\varphi$ ، التعبير السليم للحساب هو: ${\begin{aligned}y/R=\operatorname {gd} ^{-1}(\varphi )&=\sinh ^{-1}(\tan \varphi ),\\[5mu]\varphi =\operatorname {gd} (y/R)&={\tan ^{-1}}{\bigl (}{\sinh(y/R)}{\bigr )},\end{aligned}}$ حيث $sinh$ هي دالة الجيب الزائدي . وهناك تعبير بديل، صالح في جميع أنحاء المستوى المركب، وهو ${\begin{aligned}y/R=\operatorname {gd} ^{-1}\varphi &={2\tanh ^{-1}}{\bigl (}{\tan {\tfrac {1}{2}}\varphi }{\bigr )},\\[5mu]\varphi =\operatorname {gd} (y/R)&={2\tan ^{-1}}{\bigl (}{\tanh {\tfrac {1}{2}}(y/R)}{\bigr )},\end{aligned}}$ حيث $tanh$ هي دالة الظل الزائدي .

الصيغ المذكورة أعلاه مكتوبة بدلالة نصف قطر الكرة الأرضية . $R$ غالباً ما يكون من الملائم العمل مباشرةً مع عرض الخريطة . $W$ وبناءً على ذلك ، وبافتراض أن الخريطة تُظهر الكرة الأرضية بأكملها ، $R=W/2\pi$ ⁠ .

الاقتطاع ونسبة العرض إلى الارتفاع

يصبح الإحداثي $y$ لإسقاط مركاتور لانهائيًا عند القطبين، ولذا يجب اقتطاع الخريطة عند خط عرض أقل من 90 درجة. ولا يشترط أن يكون هذا الاقتطاع متناظرًا. فقد اقتُطعت خريطة مركاتور الأصلية عند خط عرض 80° شمالًا وخط طول 66° جنوبًا، مما أدى إلى تحريك الدول الأوروبية نحو مركز الخريطة. ونسبة $أبعاد خريطته هي 198/120$ = 1.65 $.$ $وقد$ $استُخدمت$ اقتطاعات أكثر تطرفًا: فقد اقتُطع أطلس مدرسي فنلندي عند $خط$ $عرض$ 76° شمالًا وخط طول 56° جنوبًا تقريبًا، بنسبة أبعاد 1.97.

$تستخدم العديد من$ الخرائط الإلكترونية نسخة قابلة للتكبير من إسقاط مركاتور بنسبة عرض إلى ارتفاع تساوي واحدًا. في هذه الحالة، يجب أن يتوافق أقصى خط عرض تم الوصول إليه مع $y = \pm W$ $/ 2 ، أو بصورة مكافئة y$ / $R$ $=$ $π$ $.$ $يمكن استخدام أي$ $من$ صيغ التحويل العكسي لحساب خطوط العرض المقابلة. $\varphi =\tan ^{-1}\left[\sinh \left({\frac {y}{R}}\right)\right]=\tan ^{-1}\left[\sinh \pi \right]\approx \tan ^{-1}\left[11.5487\right]\approx 85.05113^{\circ }.$

هندسة العناصر الصغيرة

تُستنتج العلاقات بين $y (φ)$ وخصائص الإسقاط، مثل تحويل الزوايا وتغير المقياس، من هندسة العناصر الصغيرة المتناظرة على الكرة الأرضية والخريطة. يوضح الشكل أدناه نقطة $P$ عند خط عرض $φ$ وخط طول $λ$ على الكرة الأرضية، ونقطة قريبة $Q$ عند خط عرض $φ$ $+$ $δφ$ وخط طول $λ$ $+$ $δλ$ . الخطان الرأسيان $PK$ و $MQ$ هما قوسان من خطوط الطول بطول $Rδφ$ . ^[^د^] الخطان الأفقيان $PM$ و $KQ$ هما قوسان من خطوط العرض بطول $R$ $(cos$ $φ$ $)$ $δλ$ . تُحدد النقاط المتناظرة على الإسقاط مستطيلاً عرضه $δx$ وارتفاعه $δy$ .

بالنسبة للعناصر الصغيرة، تكون الزاوية $PKQ$ زاوية قائمة تقريبًا، وبالتالي $\tan \alpha \approx {\frac {R\cos \varphi \,\delta \lambda }{R\,\delta \varphi }},\qquad \qquad \tan \beta ={\frac {\delta x}{\delta y}},$

تُعطى عوامل القياس المذكورة سابقًا من الكرة الأرضية إلى الأسطوانة بواسطة

عامل المقياس المتوازي $\quad k(\varphi )\;=\;{\frac {P'M'}{PM}}\;=\;{\frac {\delta x}{R\cos \varphi \,\delta \lambda }},$
عامل مقياس خط الزوال $\quad h(\varphi )\;=\;{\frac {P'K'}{PK}}\;=\;{\frac {\delta y}{R\delta \varphi \,}}.$

بما أن خطوط الطول تُسقط على خطوط ذات قيمة ثابتة $x$ ، فلا بد أن يكون لدينا $x = R (λ - λ₀)$ و $δx = Rδλ$ (حيث $λ$ $بالراديان$ ). لذلك، في حالة العناصر متناهية الصغر $\tan \beta ={\frac {R\sec \varphi }{y'(\varphi )}}\tan \alpha \,,\qquad k=\sec \varphi \,,\qquad h={\frac {y'(\varphi )}{R}}.$

في حالة إسقاط مركاتور، يكون $y' (φ) = R sec φ$ ، مما يعطينا $h = k$ و $α = β$ . إن كون $h = k$ هو تماثل عوامل المقياس المذكور سابقًا. أما كون $α = β$ فيعكس دلالة أخرى لكون الإسقاط متطابقًا، وهي أن مسار الإبحار ذي السمت الثابت على الكرة الأرضية يُسقط على نفس اتجاه الشبكة الثابت على الخريطة.

صيغ حساب المسافة

يُعدّ تحويل المسافة المقاسة على خريطة مركاتور إلى المسافة الحقيقية ( الدائرة العظمى ) على الكرة الأرضية أمرًا بسيطًا على طول خط الاستواء، ولكنه ليس كذلك عند خطوط العرض الأخرى. إحدى المشكلات تكمن في اختلاف المقياس مع خط العرض. مشكلة أخرى هي أن الخطوط المستقيمة على الخريطة ( خطوط الرومب )، بخلاف خطوط الطول أو خط الاستواء، لا تتطابق مع الدوائر العظمى.

أدرك ميركاتور الفرق بين مسافة خط الرومب (المسافة الملاحية) ومسافة الدائرة العظمى (المسافة الحقيقية). (انظر مفتاح الخريطة رقم ١٢ على خريطة ١٥٦٩). وأكد أن مسافة خط الرومب تُعد تقريبًا مقبولًا لمسافة الدائرة العظمى الحقيقية للمسارات القصيرة أو المتوسطة، لا سيما عند خطوط العرض المنخفضة. وقد وضح ذلك قائلًا: "عندما لا تتجاوز مسافات الدائرة العظمى المراد قياسها بالقرب من خط الاستواء ٢٠ درجة من الدائرة العظمى، أو ١٥ درجة بالقرب من إسبانيا وفرنسا، أو ٨ درجات أو حتى ١٠ درجات في المناطق الشمالية، فمن المناسب استخدام مسافات خط الرومب".

لقياس خط قصير باستخدام مسطرة ، مع نقطة المنتصف عند خط العرض $φ$ $،$ حيث يكون عامل المقياس $k$ $=$ $sec$ $φ$ $=$ $1$ $/$ $cos$ $φ$ $:$

المسافة الحقيقية = مسافة الرومب ≅ مسافة المسطرة \times جتا φ / RF

. (خطوط قصيرة)

بنصف قطر يبلغ 6371 كم ومحيط دائرة عظمى يبلغ 40030 كم ، فإن قيمة RF تساوي 1 / 300M ، حيث $R$ $=$ $2.12$ $سم$ و $W$ $=$ $13.34$ $سم$ ، مما يعني أن قياسًا بالمسطرة مقداره 3 مم في أي اتجاه من نقطة على خط الاستواء يُعادل تقريبًا 900 كم. أما المسافات المقابلة لخطوط العرض 20° و40° و60° و80° فهي 846 كم و689 كم و450 كم و156 كم على التوالي.

تتطلب المسافات الأطول أساليب مختلفة.

على خط الاستواء

يكون المقياس موحدًا على خط الاستواء (في حالة الإسقاط غير القاطع). لذا، فإن تفسير قياسات المسطرة على خط الاستواء يكون كالتالي:

المسافة الحقيقية = المسافة بالمسطرة / RF

(خط الاستواء)

بالنسبة للنموذج أعلاه، مع $RF = 1 / 300M ، فإن$ 1 سم يتوافق مع 3000 كم.

وفي أوجه تشابه أخرى

في أي خط عرض آخر، يكون عامل المقياس هو sec φ بحيث

المسافة الموازية = مسافة المسطرة \times cos φ / RF

(موازية).

بالنسبة للنموذج المذكور أعلاه، يتوافق 1 سم مع 1500 كم عند خط عرض 60 درجة.

هذه ليست أقصر مسافة بين النقطتين المختارتين على خط العرض، لأن خط العرض ليس دائرة عظمى. يكون الفرق ضئيلاً للمسافات القصيرة، ولكنه يزداد مع ازدياد المسافة الطولية $(λ)$ . بالنسبة لنقطتين، أ و ب، تفصل بينهما مسافة 10 درجات طولية على خط العرض عند خط عرض 60 درجة، فإن المسافة على طول خط العرض تزيد بمقدار 0.5 كيلومتر تقريبًا عن المسافة على طول الدائرة العظمى. $($ المسافة AB على طول خط العرض هي $(a cos φ) λ$ . طول الوتر AB هو $2(a cos φ) sin λ / 2.$ هذا الوتر يقابل زاوية مركزية تساوي $2arcsin(cos φ sin$ $λ$ $/$ $2$ $)$ $،$ والمسافة على الدائرة العظمى بين A وB هي $2a arcsin (cos φ sin λ / 2) .)$ $في الحالة القصوى حيث يكون الفصل الطولي 180 درجة،$ $تكون$ المسافة على طول خط العرض نصف محيط ذلك الخط؛ أي 10007.5 كم. من جهة أخرى، فإن الخط الجيوديسي بين هاتين النقطتين هو قوس دائرة عظمى يمر بالقطب ويقابل زاوية 60 درجة عند المركز: يبلغ طول هذا القوس سدس محيط الدائرة العظمى، أي حوالي 6672 كيلومترًا. والفرق هو 3338 كيلومترًا، لذا فإن المسافة المقاسة بالمسطرة من الخريطة مضللة إلى حد كبير حتى بعد تصحيح تغير عامل المقياس تبعًا لخط العرض.

على خط الزوال

خط الزوال على الخريطة هو دائرة عظمى على الكرة الأرضية، لكن التغير المستمر في المقياس يعني أن القياس بالمسطرة وحده لا يكفي لتحديد المسافة الحقيقية بين النقاط البعيدة على خط الزوال. مع ذلك، إذا كانت الخريطة مزودة بمقياس خطوط عرض دقيق ومتدرج، يمكن من خلاله قراءة خط العرض مباشرةً - كما هو الحال في خريطة العالم لمركاتور لعام 1569 (الصفحات 3، 9، 15) وجميع الخرائط البحرية اللاحقة - $فإن$ مسافة خط الزوال بين خطي عرض $φ1$ و $φ2$ تكون $ببساطة$ $m_{12}=a|\varphi _{1}-\varphi _{2}|.$

إذا تعذر تحديد خطوط عرض النقطتين النهائيتين بدقة، فيمكن إيجادها بدلاً من ذلك بحساب المسافة على المسطرة. وباعتبار المسافة على المسطرة بين النقطتين النهائيتين على خط الزوال في الخريطة، والمقاسة من خط الاستواء، هي $y1$ $و$ y2 $، فإن$ المسافة الحقيقية بين هاتين النقطتين على الكرة الأرضية تُعطى باستخدام أي من صيغ ميركاتور العكسية. $m_{12}=a\left|\tan ^{-1}\left[\sinh \left({\frac {y_{1}}{R}}\right)\right]-\tan ^{-1}\left[\sinh \left({\frac {y_{2}}{R}}\right)\right]\right|,$ حيث يمكن حساب $R$ من عرض الخريطة $W باستخدام$ $المعادلة$ $R = W / 2π .$ على سبيل المثال، في خريطة $R = 1،$ $تتوافق$ قيم y = 0، 1، 2، 3 مع خطوط العرض φ $= 0 °$ $، 50 °، 75°، 84°$ ، وبالتالي فإن الفترات المتتالية التي تبلغ 1 سم على الخريطة تتوافق مع خطوط العرض على الكرة الأرضية 50°، 25°، 9°، والمسافات 5560 كم، 2780 كم، و1000 كم على سطح الأرض.

على الرومب

الخط المستقيم على خريطة مركاتور بزاوية $α$ مع خطوط الطول يُسمى خط الرومب . عندما تكون $α$ $= π / 2 أو 3π$ $/$ $2$ $،$ $يُقابل$ خط الرومب أحد خطوط العرض؛ خط واحد فقط، وهو خط الاستواء، يُمثل دائرة عظمى. عندما تكون $α$ $=$ $0$ $أو$ π $،$ $يُقابل$ خط الرومب دائرة طول عظمى (إذا امتد حول الكرة الأرضية). أما بالنسبة لجميع القيم الأخرى، فهو عبارة عن لولب من القطب إلى القطب على الكرة الأرضية يتقاطع مع جميع خطوط الطول بنفس الزاوية، وبالتالي فهو ليس دائرة عظمى. ^[³²^] يناقش هذا القسم الحالة الأخيرة فقط.

إذا لم تكن $α$ تساوي صفرًا ولا $π،$ فإن الشكل أعلاه للعناصر المتناهية الصغر يُظهر أن طول خط الرومب المتناهي الصغر على الكرة الأرضية بين خطي العرض $φ$ و $φ + δφ$ يساوي $sec α δφ$ . وبما أن $α ثابتة على خط الرومب$ $،$ يمكن تكامل هذا التعبير للحصول على، بالنسبة لخطوط الرومب المحدودة على الأرض: $r_{12}=a\sec \alpha \,|\varphi _{1}-\varphi _{2}|=a\,\sec \alpha \;\Delta \varphi .$

مرة أخرى، إذا أمكن قراءة $Δφ$ مباشرةً من مقياس خط عرض دقيق على الخريطة، فإن المسافة الرومبية بين نقطتي الخريطة عند خطي العرض $φ1 و$ $φ2$ تُعطى بالمعادلة المذكورة أعلاه. أما إذا لم يتوفر مثل هذا المقياس، فإن المسافات باستخدام المسطرة بين النقطتين النهائيتين وخط الاستواء، $y1$ و $y2$ $،$ تُعطي $النتيجة$ $عبر$ صيغة عكسية $.$ $r_{12}=a\sec \alpha \left|\tan ^{-1}\sinh \left({\frac {y_{1}}{R}}\right)-\tan ^{-1}\sinh \left({\frac {y_{2}}{R}}\right)\right|.$

تعطي هذه الصيغ مسافات تقريبية على الكرة، والتي قد تختلف اختلافًا كبيرًا عن المسافات الحقيقية التي يتطلب تحديدها حسابات أكثر تعقيدًا. ^{[ هـ ]}

تعميم على القطع الناقص

عندما يتم تمثيل الأرض بنموذج كروي ( إهليلجي دوراني)، يجب تعديل إسقاط مركاتور للحفاظ على تطابقه . معادلات التحويل ومعامل المقياس للنسخة غير القاطعة هي ^{[ 34 ].} ${\begin{aligned}x&=R\left(\lambda -\lambda _{0}\right),\\y&=R\ln \left[\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\varphi }{2}}\right)\left({\frac {1-e\sin \varphi }{1+e\sin \varphi }}\right)^{\frac {e}{2}}\right]=R\left(\sinh ^{-1}\left(\tan \varphi \right)-e\tanh ^{-1}(e\sin \varphi )\right),\\k&=\sec \varphi {\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\varphi }}.\end{aligned}}$

معامل المقياس $k$ يساوي واحدًا عند خط الاستواء، كما هو متوقع لأن الأسطوانة مماسية للقطع الناقص عند خط الاستواء. يزداد تصحيح القطع الناقص لمعامل المقياس مع خط العرض، ولكنه لا يتجاوز $e²$ $،$ وهو تصحيح أقل من 1%. تبلغ قيمة $e²$ حوالي 0.006 لجميع القطع الناقصة المرجعية. هذه القيمة أصغر بكثير من عدم دقة المقياس، باستثناء المناطق القريبة جدًا من خط الاستواء. ولن تتطلب تصحيحات القطع الناقص إلا إسقاطات ميركاتور الدقيقة للمناطق القريبة من خط الاستواء $.$

يتم حل المعكوس بشكل تكراري، حيث أن خط العرض المتساوي القياس متضمن.

انظر أيضاً

رسم الخرائط
الإسقاط الأسطواني المركزي – أكثر تشوهاً؛ ويوصف أحياناً خطأً بأنه طريقة بناء إسقاط ميركاتور.
إسقاط الخريطة المطابق
الإسقاط المستطيل المتساوي – أقل تشوهًا، ولكنه ليس متساوي المساحة
إسقاط غال-بيترز – إسقاط أسطواني متساوي المساحة
قائمة إسقاطات الخرائط
خريطة العالم لمركاتور 1569
خريطة بحرية
إسقاط ميركاتور المائل
حذف نيوزيلندا من الخرائط - يُعتقد غالباً أن السبب هو إسقاط مركاتور
شبكة الرومبلاين
مؤشر تيسو
إسقاط ميركاتور المستعرض
نظام الإحداثيات العالمي المستعرض ميركاتور
إسقاط ويب ميركاتور

ملحوظات

↑ مولد الأسطوانة هو خط مستقيم على السطح موازٍ لمحور الأسطوانة.
↑ الدالة $y (φ)$ ليست عشوائية تمامًا: يجب أن تكون متزايدة بشكل رتيب ومتناظرة عكسيًا ( $y (- φ) = - y (φ)$ ، بحيث يكون $y (0) = 0$ ): وهي عادةً ما تكون متصلة مع مشتقة أولى متصلة.
↑ مثال أكثر عمومية لمؤشر تيسو: إسقاط وينكل الثلاثي .
↑ $R$ هو نصف قطر الكرة الأرضية.
↑ انظر مسافة الدائرة العظمى ، أو صيغ فينسنتي ، أو عالم الرياضيات .

مراجع

↑ نيدهام، جوزيف (1959). العلم والحضارة في الصين . المجلد 3. مطبعة جامعة كامبريدج. الصفحات 277، 545.
↑ مياجيما، كازوهيكو (1998). "طرق الإسقاط في خرائط النجوم الصينية والكورية واليابانية" . أبرز ما في علم الفلك . 11 (2): 712-715 . doi : 10.1017/s1539299600018554 .
↑ شالويتز، آرون ل. (1969). "الخريطة التي صنعت تاريخ الملاحة". مجلة أكاديمية واشنطن للعلوم . 59 ( 7-9 ): 180-186 . JSTOR 24535986 .
↑ نيكولاي، ر. (2015). "الأصل ما قبل العصور الوسطى للخرائط الملاحية: أدلة جيوديسية جديدة". مجلة إيزيس . 106 (3): 517-543 . doi : 10.1086/683532 . hdl : 1874/327279 . PMID 26685516 .
↑ نيكولاي، ر. (2015). "الأصل ما قبل العصور الوسطى للخرائط الملاحية: أدلة جيوديسية جديدة". مجلة إيزيس . 106 (3): 517-543 . doi : 10.1086/683532 . hdl : 1874/327279 . PMID 26685516 .
↑ سنايدر 1987 ، ص 38.
↑ سنايدر 1993 ، ص 48.
↑ كرين، نيكولاس (2002). ميركاتور: الرجل الذي رسم خريطة الكوكب . لندن: وايدنفيلد ونيكلسون. الفصل 9.
^ ليتاو ، هنريكي. جاسبار ، يواكيم ألفيس (2014/07/03). "الكرات الأرضية، وجداول المعينات، وما قبل التاريخ لإسقاط مركاتور" . إيماجو موندي . 66 (2): 180– 195. دوى : 10.1080/03085694.2014.902580 . ردمك 0308-5694 .
↑ مونمونير 2004 ، ص 72.
↑ لابين، ميلينكو (2024). "مشكلة في 'علم الخرائط الأساسي'"". المجلة الدولية لرسم الخرائط . 10 (1): 118– 131. Bibcode : 2024IJCar..10..118L . doi : 10.1080/23729333.2022.2157106 .
كيركوفيتس، كريستيان (2024). "الأسطوانات القاطعة شريرة - دراسة حالة على الخطوط القياسية للإسقاطات المستعرضة العالمية لمركاتور والإسقاطات القطبية المجسمة العالمية" . المجلة الدولية لنظم المعلومات الجغرافية التابعة للجمعية الدولية للاستشعار عن بعد والتصوير المساحي . 13 (2): 56. رمز Bibcode : 2024IJGI...13...56K . doi : 10.3390/ijgi13020056 .
↑ فريدريك ريكي، ف.؛ توشينسكي، فيليب م. (مايو 1980). "تطبيق الجغرافيا على الرياضيات: تاريخ تكامل القاطع" . مجلة الرياضيات . 53 (3): 164. doi : 10.2307/2690106 . JSTOR 2690106. تاريخ الاسترجاع: 18 أغسطس 2022 .
↑ "تُظهر هذه الخريطة المتحركة الحجم الحقيقي لكل دولة" . مؤشر الطبيعة . 27 أغسطس 2019. تاريخ الاسترجاع: 20 يونيو 2023 .
↑ "إسقاط ميركاتور مقابل إسقاط بيترز، الجزء 1" . مات تي. روزنبرغ، about.com.
↑ كيلاواي، جي بي (1946). إسقاطات الخرائط ، ص 37-38. لندن: ميثوين وشركاه المحدودة. (وفقًا لهذا المصدر، زُعم أن إسقاط مركاتور استُخدم "لأغراض إمبريالية").
↑ أبيلسون، سي إي (1954). إسقاطات الخرائط الشائعة ، ص 4. سيفينوكس: دبليو إتش سميث وأولاده.
↑ تشامبرلين، ويلمان (1947). الأرض الكروية على ورق مسطح ، ص 99. واشنطن العاصمة: الجمعية الجغرافية الوطنية.
↑ مونمونير 2004 ، ص 124-128.
↑ American Cartographer. 1989. 16(3): 222–223.
↑ جاويد، ماهام؛ كاي تشين، جانيس؛ ميكو، تيم (26 أغسطس/آب 2025). "هكذا تريد أفريقيا إعادة رسم خريطة العالم" . صحيفة واشنطن بوست . تاريخ الاسترجاع: 28 أغسطس/آب 2025 .
↑ "لماذا استخدام إسقاط ميركاتور على الويب؟ أليس إسقاط ميركاتور سيئًا؟" . www.mapthematics.com . تاريخ الاسترجاع: 12 نوفمبر 2024 .
↑ كوكس، آلان، محرر. (1973). تكتونيات الصفائح والانعكاسات المغناطيسية الأرضية . دبليو إتش فريمان. ص 46.
↑ أوزبورن 2013 ، ص 39-40.
↑ باترسبي، سارة إي.؛ فين، مايكل ب.؛ أوسيري، إي. لين؛ ياماموتو، كريستينا هـ. (1 يونيو 2014). "آثار استخدام إسقاط ميركاتور على الويب في رسم الخرائط عبر الإنترنت" . كارتاغرافيكا: المجلة الدولية للمعلومات الجغرافية والتصور الجغرافي . 49 (2): 85-101 . doi : 10.3138/carto.49.2.2313 . ISSN 0317-7173 .
↑ "إسقاط ميركاتور" .
↑ سنايدر، جون ب.؛ فيليب م.، فوكسلاند (1989). ألبوم إسقاطات الخرائط . ورقة بحثية احترافية 1453. مكتب الطباعة الحكومي. ص 218.
^ سنايدر 1987 ، ص 37-95.
↑ سنايدر 1993 .
↑ سنايدر. دليل العمل، الصفحة 20.
^ سنايدر 1987 ، ص. 20؛ سنايدر 1993 ، ص 147 – 149.
1 2 المعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا (NIST). انظر القسمين 4.26#ii و 4.23#viii
1 2 3 أوزبورن 2013 ، الفصل 2
1 2 كلاين، فيليكس (2004). الرياضيات الابتدائية من منظور متقدم: الهندسة . مينولا، نيويورك: منشورات دوفر. ص 103-104 . ISBN 978-0-486-43481-0.
↑ أوزبورن 2013 ، الفصلان 5 و6

فهرس

مالينغ، ديريك هيلتون (1992)، أنظمة الإحداثيات وإسقاطات الخرائط ( الطبعة الثانية)، دار بيرغامون للنشر، رقم ISBN 0-08-037233-3.
مونمونير، مارك (2004)، خطوط الرومب وحروب الخرائط: تاريخ اجتماعي لإسقاط مركاتور ( طبعة غلاف مقوى)، شيكاغو: مطبعة جامعة شيكاغو، رقم ISBN 0-226-53431-6
أولفر، إف دبليو جيه؛ لوزير، دي دبليو؛ بويسفيرت، آر إف؛ وآخرون ، محررو (2010)، دليل المعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا للدوال الرياضية ، مطبعة جامعة كامبريدج
أوزبورن ، بيتر (14 نوفمبر 2013)، توقعات مركاتور ، دوى : 10.5281/zenodo.35392(الملحقات: ملفات ماكسيما وشفرة لاتكس والرسومات )
سنايدر، جون ب. (1993)، تسطيح الأرض: ألفا عام من إسقاطات الخرائط ، مطبعة جامعة شيكاغو، رقم ISBN 0-226-76747-7
سنايدر، جون ب. (1987)، إسقاطات الخرائط - دليل عملي. ورقة بحثية مهنية رقم 1395 صادرة عن هيئة المسح الجيولوجي الأمريكية ، مكتب الطباعة الحكومي الأمريكي، واشنطن العاصمة.يمكن تحميل هذه الورقة من صفحات هيئة المسح الجيولوجي الأمريكية. وهي تقدم تفاصيل كاملة عن معظم التوقعات، بالإضافة إلى أقسام تمهيدية شيقة، لكنها لا تستنتج أيًا من هذه التوقعات من المبادئ الأساسية.

للمزيد من القراءة

راب، ريتشارد هـ (1991)، الجيوديسيا الهندسية، الجزء الأول ، قسم علوم الجيوديسيا والمساحة، جامعة ولاية أوهايو، hdl : 1811/24333

روابط خارجية

Ad maiorem Gerardi Mercatoris gloriam – يحتوي على صور عالية الدقة لخريطة العالم لعام 1569 من تصميم مركاتور.
جدول أمثلة وخصائص جميع الإسقاطات الشائعة ، من radicalcartography.net.
تطبيق جافا تفاعلي لدراسة التشوهات المترية لإسقاط ميركاتور .
إسقاط ميركاتور في جامعة كولومبيا البريطانية
إحداثيات خرائط جوجل
ميركاتور إكستريم

[29] مولد الأسطوانة هو خط مستقيم على السطح موازٍ لمحور الأسطوانة.

[30] الدالة $y (φ)$ ليست عشوائية تمامًا: يجب أن تكون متزايدة بشكل رتيب ومتناظرة عكسيًا ( $y (- φ) = - y (φ)$ ، بحيث يكون $y (0) = 0$ ): وهي عادةً ما تكون متصلة مع مشتقة أولى متصلة.

[33] مثال أكثر عمومية لمؤشر تيسو: إسقاط وينكل الثلاثي .

[37] $R$ هو نصف قطر الكرة الأرضية.

[38] انظر مسافة الدائرة العظمى ، أو صيغ فينسنتي ، أو عالم الرياضيات .

[1] نيدهام، جوزيف (1959). العلم والحضارة في الصين . المجلد 3. مطبعة جامعة كامبريدج. الصفحات 277، 545.

[2] مياجيما، كازوهيكو (1998). "طرق الإسقاط في خرائط النجوم الصينية والكورية واليابانية" . أبرز ما في علم الفلك . 11 (2): 712-715 . doi : 10.1017/s1539299600018554 .

[3] شالويتز، آرون ل. (1969). "الخريطة التي صنعت تاريخ الملاحة". مجلة أكاديمية واشنطن للعلوم . 59 ( 7-9 ): 180-186 . JSTOR 24535986 .

[4] نيكولاي، ر. (2015). "الأصل ما قبل العصور الوسطى للخرائط الملاحية: أدلة جيوديسية جديدة". مجلة إيزيس . 106 (3): 517-543 . doi : 10.1086/683532 . hdl : 1874/327279 . PMID 26685516 .

[5] نيكولاي، ر. (2015). "الأصل ما قبل العصور الوسطى للخرائط الملاحية: أدلة جيوديسية جديدة". مجلة إيزيس . 106 (3): 517-543 . doi : 10.1086/683532 . hdl : 1874/327279 . PMID 26685516 .

[FOOTNOTESnyder198738-6] سنايدر 1987 ، ص 38.

[FOOTNOTESnyder199348-7] سنايدر 1993 ، ص 48.

[8] كرين، نيكولاس (2002). ميركاتور: الرجل الذي رسم خريطة الكوكب . لندن: وايدنفيلد ونيكلسون. الفصل 9.

[9] ليتاو ، هنريكي. جاسبار ، يواكيم ألفيس (2014/07/03). "الكرات الأرضية، وجداول المعينات، وما قبل التاريخ لإسقاط مركاتور" . إيماجو موندي . 66 (2): 180– 195. دوى : 10.1080/03085694.2014.902580 . ردمك 0308-5694 .

[FOOTNOTEMonmonier200472-10] مونمونير 2004 ، ص 72.

[11] لابين، ميلينكو (2024). "مشكلة في 'علم الخرائط الأساسي'"". المجلة الدولية لرسم الخرائط . 10 (1): 118– 131. Bibcode : 2024IJCar..10..118L . doi : 10.1080/23729333.2022.2157106 .
كيركوفيتس، كريستيان (2024). "الأسطوانات القاطعة شريرة - دراسة حالة على الخطوط القياسية للإسقاطات المستعرضة العالمية لمركاتور والإسقاطات القطبية المجسمة العالمية" . المجلة الدولية لنظم المعلومات الجغرافية التابعة للجمعية الدولية للاستشعار عن بعد والتصوير المساحي . 13 (2): 56. رمز Bibcode : 2024IJGI...13...56K . doi : 10.3390/ijgi13020056 .

[12] فريدريك ريكي، ف.؛ توشينسكي، فيليب م. (مايو 1980). "تطبيق الجغرافيا على الرياضيات: تاريخ تكامل القاطع" . مجلة الرياضيات . 53 (3): 164. doi : 10.2307/2690106 . JSTOR 2690106. تاريخ الاسترجاع: 18 أغسطس 2022 .

[13] "تُظهر هذه الخريطة المتحركة الحجم الحقيقي لكل دولة" . مؤشر الطبيعة . 27 أغسطس 2019. تاريخ الاسترجاع: 20 يونيو 2023 .

[14] "إسقاط ميركاتور مقابل إسقاط بيترز، الجزء 1" . مات تي. روزنبرغ، about.com.

[Kellaway-15] كيلاواي، جي بي (1946). إسقاطات الخرائط ، ص 37-38. لندن: ميثوين وشركاه المحدودة. (وفقًا لهذا المصدر، زُعم أن إسقاط مركاتور استُخدم "لأغراض إمبريالية").

[Abelson-16] أبيلسون، سي إي (1954). إسقاطات الخرائط الشائعة ، ص 4. سيفينوكس: دبليو إتش سميث وأولاده.

[Chamberlin-17] تشامبرلين، ويلمان (1947). الأرض الكروية على ورق مسطح ، ص 99. واشنطن العاصمة: الجمعية الجغرافية الوطنية.

[FOOTNOTEMonmonier2004124–128-18] مونمونير 2004 ، ص 124-128.

[19] American Cartographer. 1989. 16(3): 222–223.

[20] جاويد، ماهام؛ كاي تشين، جانيس؛ ميكو، تيم (26 أغسطس/آب 2025). "هكذا تريد أفريقيا إعادة رسم خريطة العالم" . صحيفة واشنطن بوست . تاريخ الاسترجاع: 28 أغسطس/آب 2025 .

[21] "لماذا استخدام إسقاط ميركاتور على الويب؟ أليس إسقاط ميركاتور سيئًا؟" . www.mapthematics.com . تاريخ الاسترجاع: 12 نوفمبر 2024 .

[22] كوكس، آلان، محرر. (1973). تكتونيات الصفائح والانعكاسات المغناطيسية الأرضية . دبليو إتش فريمان. ص 46.

[FOOTNOTEOsborne201339–40-23] أوزبورن 2013 ، ص 39-40.

[24] باترسبي، سارة إي.؛ فين، مايكل ب.؛ أوسيري، إي. لين؛ ياماموتو، كريستينا هـ. (1 يونيو 2014). "آثار استخدام إسقاط ميركاتور على الويب في رسم الخرائط عبر الإنترنت" . كارتاغرافيكا: المجلة الدولية للمعلومات الجغرافية والتصور الجغرافي . 49 (2): 85-101 . doi : 10.3138/carto.49.2.2313 . ISSN 0317-7173 .

[25] "إسقاط ميركاتور" .

[26] سنايدر، جون ب.؛ فيليب م.، فوكسلاند (1989). ألبوم إسقاطات الخرائط . ورقة بحثية احترافية 1453. مكتب الطباعة الحكومي. ص 218.

[FOOTNOTESnyder198737–95-27] سنايدر 1987 ، ص 37-95.

[FOOTNOTESnyder1993-28] سنايدر 1993 .

[SnyderManual-31] سنايدر. دليل العمل، الصفحة 20.

[FOOTNOTESnyder198720Snyder1993147–149-32] سنايدر 1987 ، ص. 20؛ سنايدر 1993 ، ص 147 – 149.

[gudermannian-34] 1 2 المعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا (NIST). انظر القسمين 4.26#ii و 4.23#viii

[osborne-35] 1 2 3 أوزبورن 2013 ، الفصل 2

[Klein-36] 1 2 كلاين، فيليكس (2004). الرياضيات الابتدائية من منظور متقدم: الهندسة . مينولا، نيويورك: منشورات دوفر. ص 103-104 . ISBN 978-0-486-43481-0.

[39] أوزبورن 2013 ، الفصلان 5 و6

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[ 21 ]

[ 22 ]

[ 23 ]

[ 24 ]

[ 25 ]

[ 26 ]

27 ] [

28 ] ويُسمى

[

[

[

[ 30 ]

[ ج ]

[ 31 ]

[ 32 ]

[ 33 ]

[

[ هـ ]

[ 34 ].

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗