دالة غودرمان

في الرياضيات، تربط دالة غودرمان قياس الزاوية الزائدية${\textstyle \psi }$قياس الزاوية الدائرية${\textstyle \phi }$يُطلق عليه اسم غودرماني${\textstyle \psi }$ورمزت إلى${\textstyle \اسم المشغل {gd} \psi }$[ ^{1 ]} تكشف دالة غودرمان عن علاقة وثيقة بين الدوال الدائرية والدوال الزائدية . وقد طُرحت في ستينيات القرن الثامن عشر الميلادي على يد يوهان هاينريش لامبرت ، وسُميت لاحقًا نسبةً إلى كريستوف غودرمان الذي وصف أيضًا العلاقة بين الدوال الدائرية والزائدية في عام 1830. ^{[ 2 ]} استُخدمت دالة غودرمان ومعكوسها تاريخيًا لإنشاء جداول الدوال الزائدية أو لحساب الدوال الزائدية بمعرفة جدول الدوال الدائرية فقط. تُسمى دالة غودرمان أحيانًا بالسعة الزائدية كحالة حدية لسعة جاكوبي الإهليلجية ^.${\textstyle \operatorname {am} (\psi ,m)}$عندما يكون المعامل$m=1.$

تُعرَّف دالة غودرمان الحقيقية عادةً لـ${\textstyle -\infty <\psi <\infty }$أن يكون تكامل القاطع الزائدي ^{[ 3 ]}

${\displaystyle \phi =\operatorname {gd} \psi \equiv \int _{0}^{\psi }\operatorname {sech} t\,\mathrm {d} t=\operatorname {arctan} (\sinh \psi ).}$

يمكن تعريف دالة غودرمان العكسية الحقيقية لـ${\textstyle -{\tfrac {1}{2}}\pi <\phi <{\tfrac {1}{2}}\pi }$باعتباره تكامل القاطع (الدائري)

${\displaystyle \psi =\operatorname {gd} ^{-1}\phi =\int _{0}^{\phi }\operatorname {sec} t\,\mathrm {d} t=\operatorname {arsinh} (\tan \phi ).}$

قياس الزاوية الزائدية${\displaystyle \psi =\operatorname {gd} ^{-1}\phi }$يُطلق عليه اسم "مضاد غودرمان "${\displaystyle \phi }$أو أحيانًا لامبرتيان من${\displaystyle \phi }$، المشار إليه${\displaystyle \psi =\operatorname {lam} \phi .}$^{[ 4 ]} في سياقالجيوديسياوالملاحةلتحديدخطوط العرض${\textstyle \phi }$،${\displaystyle k\operatorname {gd} ^{-1}\phi }$(مُقاسًا بثابت اختياري)${\textstyle k}$كان يُطلق عليه تاريخياً اسم الجزء الميريدياني من${\displaystyle \phi }$( بالفرنسية : latitude croissance ). وهو الإحداثي الرأسي لإسقاط مركاتور .

قياسات الزاويتين${\textstyle \phi }$و${\textstyle \psi }$ترتبط هذه العناصر ببعضها البعض من خلال إسقاط مجسم مشترك.

${\displaystyle s=\tan {\tfrac {1}{2}}\phi =\tanh {\tfrac {1}{2}}\psi ,}$

ويمكن أن تكون هذه الهوية بمثابة تعريف بديل لـ${\textstyle \اسم المشغل {gd} }$و${\textstyle \اسم المشغل {gd} ^{-1}}$صالحة في جميع أنحاء المستوى المركب :

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {gd} \psi &={2\arctan }{\bigl (}\tanh {\tfrac {1}{2}}\psi \,{\bigr )},\\[5mu]\operatorname {gd} ^{-1}\phi &={2\operatorname {artanh} }{\bigl (}\tan {\tfrac {1}{2}}\phi \,{\bigr )}.\end{aligned}}}$

يمكننا تقييم تكامل القاطع الزائدي باستخدام الإسقاط المجسم ( نصف الظل الزائدي ) كتغيير للمتغيرات : ^{[ 5 ]}

$\begin{aligned}\operatorname {gd} \psi &\equiv \int _{0}^{\psi }{\frac {1}{\operatorname {cosh} t}}\mathrm {d} t=\int _{0}^{\tanh {\frac {1}{2}}\psi }{\frac {1-u^{2}}{1+u^{2}}}{\frac {2\,\mathrm {d} u}{1-u^{2}}}\qquad {\bigl (}u=\tanh {\tfrac {1}{2}}t{\bigr )}\\[8mu]&=2\int _{0}^{\tanh {\frac {1}{2}}\psi }{\frac {1}{1+u^{2}}}\mathrm {d} u={2\arctan }{\bigl (}\tanh {\tfrac {1}{2}}\psi \,{\bigr )},\\[5mu]\tan {\tfrac {1}{2}}{\operatorname {gd} \psi }&=\tanh {\tfrac {1}{2}}\psi .\end{aligned}}}$

تأجير${\textstyle \phi =\operatorname {gd} \psi }$و${\textstyle s=\tan {\tfrac {1}{2}}\phi =\tanh {\tfrac {1}{2}}\psi }$يمكننا استنتاج عدد من المتطابقات بين الدوال الزائدية لـ${\textstyle \psi }$والوظائف الدائرية لـ${\textstyle \phi .}$^{[ 6 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}s&=\tan {\tfrac {1}{2}}\phi =\tanh {\tfrac {1}{2}}\psi ,\\[6mu]{\frac {2s}{1+s^{2}}}&=\sin \phi =\tanh \psi ,\quad &{\frac {1+s^{2}}{2s}}&=\csc \phi =\coth \psi ,\\[10mu]{\frac {1-s^{2}}{1+s^{2}}}&=\cos \phi =\operatorname {sech} \psi ,\quad &{\frac {1+s^{2}}{1-s^{2}}}&=\sec \phi =\cosh \psi ,\\[10mu]{\frac {2s}{1-s^{2}}}&=\tan \phi =\sinh \psi ,\quad &{\frac {1-s^{2}}{2s}}&=\cot \phi =\operatorname {csch} \psi .\\[8mu]\end{aligned}}}$

تُستخدم هذه عادةً كتعبيرات عن${\displaystyle \operatorname {gd} }$و${\displaystyle \operatorname {gd} ^{-1}}$للقيم الحقيقية لـ${\displaystyle \psi }$و${\displaystyle \phi }$مع${\displaystyle |\phi |<{\tfrac {1}{2}}\pi .}$على سبيل المثال، الصيغ ذات السلوك العددي الجيد

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {gd} \psi &=\operatorname {arctan} (\sinh \psi ),\\[6mu]\operatorname {gd} ^{-1}\phi &=\operatorname {arsinh} (\tan \phi ).\end{aligned}}}$

(ملاحظة، لـ)${\displaystyle |\phi |>{\tfrac {1}{2}}\pi }$(وفي حالة الحجج المعقدة، يجب توخي الحذر عند اختيار فروع الدوال العكسية.) ^{[ 7 ]}

يمكننا أيضًا التعبير${\textstyle \psi }$و${\textstyle \phi }$من ناحية${\textstyle s\colon }$

${\displaystyle {\begin{aligned}2\arctan s&=\phi =\operatorname {gd} \psi ,\\[6mu]2\operatorname {artanh} s&=\operatorname {gd} ^{-1}\phi =\psi .\\[6mu]\end{aligned}}}$

إذا قمنا بالتوسع${\textstyle \tan {\tfrac {1}{2}}}$و${\textstyle \tanh {\tfrac {1}{2}}}$من حيث الدالة الأسية ، يمكننا أن نرى أن${\textstyle s,}$${\displaystyle \exp \phi i,}$و${\displaystyle \exp \psi }$جميعها تحويلات موبيوس لبعضها البعض (وتحديداً، دوران كرة ريمان ):

${\displaystyle {\begin{aligned}s&=i{\frac {1-e^{\phi i}}{1+e^{\phi i}}}={\frac {e^{\psi }-1}{e^{\psi }+1}},\\[10mu]i{\frac {s-i}{s+i}}&=\exp \phi i\quad ={\frac {e^{\psi }-i}{e^{\psi }+i}},\\[10mu]{\frac {1+s}{1-s}}&=i{\frac {i+e^{\phi i}}{i-e^{\phi i}}}\,=\exp \psi .\end{aligned}}}$

بالنسبة للقيم الحقيقية لـ${\textstyle \psi }$و${\textstyle \phi }$مع${\displaystyle |\phi |<{\tfrac {1}{2}}\pi }$يمكن كتابة تحويلات موبيوس هذه بدلالة الدوال المثلثية بعدة طرق.

${\displaystyle {\begin{aligned}\exp \psi &=\sec \phi +\tan \phi =\tan {\tfrac {1}{2}}{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\pi +\phi {\bigr )}\\[6mu]&={\frac {1+\tan {\tfrac {1}{2}}\phi }{1-\tan {\tfrac {1}{2}}\phi }}={\sqrt {\frac {1+\sin \phi }{1-\sin \phi }}},\\[12mu]\exp \phi i&=\operatorname {sech} \psi +i\tanh \psi =\tanh {\tfrac {1}{2}}{\bigl (}{-{\tfrac {1}{2}}}\pi i+\psi {\bigr )}\\[6mu]&={\frac {1+i\tanh {\tfrac {1}{2}}\psi }{1-i\tanh {\tfrac {1}{2}}\psi }}={\sqrt {\frac {1+i\sinh \psi }{1-i\sinh \psi }}}.\end{aligned}}}$

وهذه تعطي تعبيرات إضافية لـ${\displaystyle \operatorname {gd} }$و${\displaystyle \operatorname {gd} ^{-1}}$للمناقشات الحقيقية مع${\displaystyle |\phi |<{\tfrac {1}{2}}\pi .}$على سبيل المثال، ^{[ 8 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {gd} \psi &=2\arctan e^{\psi }-{\tfrac {1}{2}}\pi ,\\[6mu]\operatorname {gd} ^{-1}\phi &=\log(\sec \phi +\tan \phi ).\end{aligned}}}$

كدالة لمتغير مركب ،${\textstyle z\mapsto w=\operatorname {gd} z}$يرسم بشكل متطابق الشريط اللانهائي${\textstyle \left|\operatorname {Im} z\right|\leq {\tfrac {1}{2}}\pi }$إلى الشريط اللانهائي${\textstyle \left|\operatorname {Re} w\right|\leq {\tfrac {1}{2}}\pi ,}$بينما${\textstyle w\mapsto z=\operatorname {gd} ^{-1}w}$يرسم بشكل متطابق الشريط اللانهائي${\textstyle \left|\operatorname {Re} w\right|\leq {\tfrac {1}{2}}\pi }$إلى الشريط اللانهائي${\textstyle \left|\operatorname {Im} z\right|\leq {\tfrac {1}{2}}\pi .}$

ويستمر التحليل بالانعكاسات إلى المستوى المركب بأكمله،${\textstyle z\mapsto w=\operatorname {gd} z}$هي دالة دورية ذات دورة${\textstyle 2\pi i}$والذي يرسل أي شريط لانهائي من "الارتفاع"${\textstyle 2\pi i}$على الشريط${\textstyle -\pi <\operatorname {Re} w\leq \pi .}$وبالمثل، عند امتدادها إلى المستوى المركب بأكمله،${\textstyle w\mapsto z=\operatorname {gd} ^{-1}w}$هي دالة دورية ذات دورة${\textstyle 2\pi }$والذي يرسل أي شريط لا نهائي من "العرض"${\textstyle 2\pi }$على الشريط${\textstyle -\pi <\operatorname {Im} z\leq \pi .}$^{[ 9 ]} بالنسبة لجميع النقاط في المستوى المركب، يمكن كتابة هذه الدوال بشكل صحيح على النحو التالي:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {gd} z&={2\arctan }{\bigl (}\tanh {\tfrac {1}{2}}z\,{\bigr )},\\[5mu]\operatorname {gd} ^{-1}w&={2\operatorname {artanh} }{\bigl (}\tan {\tfrac {1}{2}}w\,{\bigr )}.\end{aligned}}}$

لـ${\textstyle \operatorname {gd} }$و${\textstyle \operatorname {gd} ^{-1}}$إذا أردنا أن تظل الدوال قابلة للعكس مع هذه المجالات الموسعة، فيمكننا اعتبار كل دالة متعددة القيم (ربما${\textstyle \operatorname {Gd} }$و${\textstyle \operatorname {Gd} ^{-1}}$، مع${\textstyle \operatorname {gd} }$و${\textstyle \operatorname {gd} ^{-1}}$الفرع الرئيسي ) أو اعتبار مجالاتها ومجالاتها المقابلة كسطوح ريمان .

لو${\textstyle u+iv=\operatorname {gd} (x+iy),}$ثم المكونات الحقيقية والخيالية${\textstyle u}$و${\textstyle v}$يمكن العثور عليه من خلال: ^{[ 10 ]}

${\displaystyle \tan u={\frac {\sinh x}{\cos y}},\quad \tanh v={\frac {\sin y}{\cosh x}}.}$

(في التطبيق العملي، تأكد من استخدام دالة الظل العكسي ذات الوسيطين ،${\textstyle u=\operatorname {atan2} (\sinh x,\cos y)}$.)

وبالمثل، إذا${\textstyle x+iy=\operatorname {gd} ^{-1}(u+iv),}$ثم المكونات${\textstyle x}$و${\textstyle y}$يمكن العثور عليه من خلال: ^{[ 11 ]}

${\displaystyle \tanh x={\frac {\sin u}{\cosh v}},\quad \tan y={\frac {\sinh v}{\cos u}}.}$

بضرب هذه معًا، يتضح الهوية الإضافية ^{[ 8 ]}

${\displaystyle \tanh x\,\tan y=\tan u\,\tanh v.}$

بما أن دالتي غودرمان ودالة غودرمان العكسية يمكن تعريفهما على أنهما الدوال الأصلية للقاطع الزائدي والقاطع الدائري، على التوالي، فإن مشتقاتهما هي دوال القاطع هذه:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {gd} z&=\operatorname {sech} z,\\[10mu]{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {gd} ^{-1}z&=\sec z.\end{aligned}}}$

من خلال الجمع بين متطابقات الجمع الزائدية والدائرية ،

${\displaystyle {\begin{aligned}\tanh(z+w)&={\frac {\tanh z+\tanh w}{1+\tanh z\,\tanh w}},\\[10mu]\tan(z+w)&={\frac {\tan z+\tan w}{1-\tan z\,\tan w}},\end{aligned}}}$

باستخدام متطابقة القطع الزائد الدائرية ،

${\displaystyle \tan {\tfrac {1}{2}}(\operatorname {gd} z)=\tanh {\tfrac {1}{2}}z,}$

لدينا متطابقات جمع الحجج الخاصة بجودرمان:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {gd} (z+w)&=2\arctan {\frac {\tan {\tfrac {1}{2}}(\operatorname {gd} z)+\tan {\tfrac {1}{2}}(\operatorname {gd} w)}{1+\tan {\tfrac {1}{2}}(\operatorname {gd} z)\,\tan {\tfrac {1}{2}}(\operatorname {gd} w)}},\\[12mu]\operatorname {gd} ^{-1}(z+w)&=2\operatorname {artanh} {\frac {\tanh {\tfrac {1}{2}}(\operatorname {gd} ^{-1}z)+\tanh {\tfrac {1}{2}}(\operatorname {gd} ^{-1}w)}{1-\tanh {\tfrac {1}{2}}(\operatorname {gd} ^{-1}z)\,\tanh {\tfrac {1}{2}}(\operatorname {gd} ^{-1}w)}}.\end{aligned}}}$

يمكن كتابة متطابقات جمع الوسائط الإضافية بدلالة دوال دائرية أخرى، ^{[ 15 ]} لكنها تتطلب عناية أكبر في اختيار الفروع في الدوال العكسية. والجدير بالذكر،

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {gd} (z+w)&=u+v,\quad {\text{where}}\ \tan u={\frac {\sinh z}{\cosh w}},\ \tan v={\frac {\sinh w}{\cosh z}},\\[10mu]\operatorname {gd} ^{-1}(z+w)&=u+v,\quad {\text{where}}\ \tanh u={\frac {\sin z}{\cos w}},\ \tanh v={\frac {\sin w}{\cos z}},\end{aligned}}}$

والتي يمكن استخدامها لاستنتاج الحساب لكل مكون من مكونات غودرمانيان المركب وغودرمانيان العكسي. ^{[ 16 ]}

في هذه الحالة المحددة${\textstyle z=w,}$المتطابقات ذات الوسيطين هي

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {gd} (2z)&=2\arctan(\sin(\operatorname {gd} z)),\\[5mu]\operatorname {gd} ^{-1}(2z)&=2\operatorname {artanh} (\sinh(\operatorname {gd} ^{-1}z)).\end{aligned}}}$

متسلسلة تايلور بالقرب من الصفر، صالحة للقيم المركبة${\textstyle z}$مع${\textstyle |z|<{\tfrac {1}{2}}\pi ,}$هي ^{[ 17 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {gd} z&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {E_{k}}{(k+1)!}}z^{k+1}=z-{\frac {1}{6}}z^{3}+{\frac {1}{24}}z^{5}-{\frac {61}{5040}}z^{7}+{\frac {277}{72576}}z^{9}-\dots ,\\[10mu]\operatorname {gd} ^{-1}z&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {|E_{k}|}{(k+1)!}}z^{k+1}=z+{\frac {1}{6}}z^{3}+{\frac {1}{24}}z^{5}+{\frac {61}{5040}}z^{7}+{\frac {277}{72576}}z^{9}+\dots ,\end{aligned}}}$

حيث الأرقام${\textstyle E_{k}}$هي أعداد قاطع أويلر ، 1، 0، -1، 0، 5، 0، -61، 0، 1385 ... (المتتاليات A122045 ، A000364 ، و A028296 في OEIS ). تم حساب هذه المتسلسلات لأول مرة بواسطة جيمس غريغوري في عام 1671. ^{[ 18 ]}

بما أن دالتي غودرمان ودالة غودرمان العكسية هما تكاملات دالتي القاطع الزائدي والقاطع، فإن البسطين${\textstyle E_{k}}$و${\textstyle |E_{k}|}$هي نفسها بسط متسلسلة تايلور لـ sech و sec على التوالي، ولكن تم إزاحتها بمقدار خانة واحدة.

البسط المختزلة غير الموقعة هي 1، 1، 1، 61، 277، ... والمقامات المختزلة هي 1، 6، 24، 5040، 72576، ... (المتتاليات A091912 و A136606 في OEIS ).

ترتبط الدالة ومعكوسها بإسقاط مركاتور . يُطلق على الإحداثي الرأسي في إسقاط مركاتور اسم خط العرض المتساوي القياس ، ويُرمز إليه غالبًا بـ${\textstyle \psi .}$من حيث خط العرض${\textstyle \phi }$على الكرة (معبرًا عنها بالراديان ) يمكن كتابة خط العرض المتساوي القياس

${\displaystyle \psi =\operatorname {gd} ^{-1}\phi =\int _{0}^{\phi }\sec t\,\mathrm {d} t.}$

المقلوب من خط العرض المتساوي القياس إلى خط العرض الكروي هو${\textstyle \phi =\operatorname {gd} \psi .}$(ملاحظة: على سطح إهليلجي دوراني ، تكون العلاقة بين خط العرض الجيوديسي وخط العرض المتساوي القياس أكثر تعقيدًا بعض الشيء.)

رسم جيراردوس ميركاتور خريطته الشهيرة عام 1569، لكن الطريقة الدقيقة لرسمها لم تُكشف. وفي عام 1599، وصف إدوارد رايت طريقةً لرسم إسقاط ميركاتور عدديًا باستخدام جداول الدوال المثلثية، لكنه لم يُقدّم صيغةً مغلقة. نُشرت الصيغة المغلقة عام 1668 على يد جيمس غريغوري .

قدّم يوهان هاينريش لامبرت دالة غودرمان في ستينيات القرن الثامن عشر، بالتزامن مع الدوال الزائدية . أطلق عليها اسم "الزاوية المتسامية"، وحملت أسماءً مختلفة حتى عام 1862، حين اقترح آرثر كايلي تسميتها باسمها الحالي تكريمًا لعمل كريستوف غودرمان في ثلاثينيات القرن التاسع عشر حول نظرية الدوال الخاصة . ^{[ 19 ]} كان غودرمان قد نشر مقالات في مجلة كريل ، جُمعت لاحقًا في كتاب ^{[ 20 ]} شرح فيها${\textstyle \sinh }$و${\textstyle \cosh }$لجمهور واسع (على الرغم من تمثيله بالرموز)${\textstyle {\mathfrak {Sin}}}$و${\textstyle {\mathfrak {Cos}}}$).

الترميز${\textstyle \operatorname {gd} }$تم تقديمها من قبل كايلي التي بدأت بالاتصال${\textstyle \phi =\operatorname {gd} u}$سعة جاكوبي الإهليلجية${\textstyle \operatorname {am} u}$في الحالة المنحلة حيث يكون معامل القطع الناقص${\textstyle m=1,}$لهذا السبب.${\textstyle {\sqrt {1-m\sin \!^{2}\,\phi }}}$يتقلص إلى${\textstyle \cos \phi .}$^{[ 21 ]} هذا هو معكوستكامل دالة القاطع. باستخدام ترميز كايلي،

${\displaystyle u=\int _{0}{\frac {d\phi }{\cos \phi }}={\log \,\tan }{\bigl (}{\tfrac {1}{4}}\pi +{\tfrac {1}{2}}\phi {\bigr )}.}$

ثم يستنتج "تعريف المتعالي".

${\displaystyle \operatorname {gd} u={{\frac {1}{i}}\log \,\tan }{\bigl (}{\tfrac {1}{4}}\pi +{\tfrac {1}{2}}ui{\bigr )},}$

مع ملاحظة أنه "على الرغم من ظهورها في شكل تخيلي، إلا أنها وظيفة حقيقية لـ${\textstyle u}$".

استُخدمت مصفوفة غودرمان ومعكوسها لجعل الجداول المثلثية للدوال الدائرية تعمل أيضًا كجداول للدوال الزائدية. بفرض زاوية زائدية${\textstyle \psi }$يمكن إيجاد الدوال الزائدية من خلال البحث أولاً عن${\textstyle \phi =\operatorname {gd} \psi }$في جدول غودرمان، ثم البحث عن الدالة الدائرية المناسبة لـ${\textstyle \phi }$أو عن طريق تحديد الموقع مباشرة${\textstyle \psi }$في جهاز مساعد${\displaystyle \operatorname {gd} ^{-1}}$عمود من جدول حساب المثلثات. ^{[ 22 ]}

يمكن اعتبار دالة غودرمان بمثابة تحويل نقاط على أحد فرعي القطع الزائد إلى نقاط على نصف دائرة. وبالمثل، يمكن تحويل نقاط على ورقة واحدة من سطح زائد ذي بُعد n مكون من ورقتين إلى نصف كرة ذي بُعد n عبر الإسقاط المجسم. ويستخدم نموذج نصف الكرة للفضاء الزائدي هذا التحويل لتمثيل هذا الفضاء.

• من خلال ربط الدوال الدائرية والزائدية، يمكن استخدام دالة غودرمان للتعبير عن أحد النوعين بدلالة الآخر. وقد استُخدمت تاريخيًا في إنشاء جداول الدوال الزائدية، أو، عند توفيرها كجدول مستقل، كان من الممكن الاستغناء عن الحاجة إلى جداول منفصلة للدوال الزائدية، حيث كان يُمكن حساب كل منها بالبحث في جدول غودرمان متبوعًا بالبحث في جدول الدوال الدائرية. في بعض الحالات، كانت الزاوية الزائدية المقابلة لكل زاوية دائرية تُدرج كعمود في جدول حساب المثلثات القياسي، مما يسمح باستخدام هذا الجدول الواحد لكل من الدوال الدائرية والزائدية.
• دالة زاوية التوازي في الهندسة الزائدية هي مكملة لدالة غودرمان.${\displaystyle {\mathit {\Pi }}(\psi )={\tfrac {1}{2}}\pi -\operatorname {gd} \psi .}$
• في إسقاط ميركاتور، يكون خط العرض الثابت موازياً لخط الاستواء (على الإسقاط) على مسافة تتناسب مع مضاد غودرمان لخط العرض.
• يمكن استخدام دالة غودرمان (مع وسيط مركب ) لتعريف إسقاط ميركاتور المستعرض . ^{[ 23 ]}
• تظهر دالة غودرمان في حل غير دوري للبندول المقلوب . ^{[ 24 ]}
• تظهر دالة غودرمان في حل المرآة المتحركة لتأثير كازيمير الديناميكي . ^{[ 25 ]}
• إذا تم الحفاظ على عدد لا نهائي من الأسلاك المستقيمة المتوازية والمتساوية البعد والمتوازية والمستوية عند جهود متساوية ذات إشارات متناوبة، فإن توزيع الجهد والتدفق في مستوى مقطع عرضي عمودي على الأسلاك هو دالة غودرمان المركبة. ^{[ 26 ]}
• دالة غودرمان هي دالة سيجمويد ، وعلى هذا النحو يتم استخدامها أحيانًا كدالة تنشيط في التعلم الآلي.
• دالة غودرمان (المُقاسة والمُزاحة) هي دالة التوزيع التراكمي لتوزيع القاطع الزائدي .
• توفر دالة تعتمد على غودرمان نموذجًا جيدًا لشكل أذرع المجرات الحلزونية . ^{[ 27 ]}

• تراكتريكس
• سلسلة §  سلسلة متساوية القوة

• بين، مايكل (2020) "دالة غودرمان!" على يوتيوب.