الخوارزمية

الموسوعة الحرة

في حلقة تكرارية، اطرح العدد الأكبر من العدد الأصغر. أوقف الحلقة عندما ينتج عن عملية الطرح عدد سالب. قيّم عددين، هل أحدهما يساوي صفرًا أم لا؟ إذا كان يساوي صفرًا، فاعتبر العدد الآخر القاسم المشترك الأكبر. إذا كان لا يساوي صفرًا، فأعد العددين إلى حلقة الطرح.
مخطط انسيابي لخوارزمية لإيجاد القاسم المشترك الأكبر لعددين.

في الرياضيات وعلوم الكمبيوتر ، الخوارزمية ( / ˈælɡərɪðəm /​​​​​​​​ⓘ ) عبارة عنسلسلة منتهية [ 1 ] منالدقيقة رياضياً، تُستخدم عادةً لحل فئة منالمشكلاتأو لإجراءعملية حسابية. [ 2 ] تُستخدم الخوارزميات كمواصفات لإجراءالعمليات الحسابيةومعالجةالبيانات. يمكن للخوارزميات الأكثر تقدماً استخدامالشروطلتوجيه تنفيذ التعليمات البرمجية عبر مسارات مختلفة (يُشار إليه باسماتخاذ القرار الآلي) واستنتاجاستنتاجات(يُشار إليه باسمالاستدلال الآلي).

في المقابل، تُعدّ الطريقة الاستدلالية منهجًا لحل المشكلات دون وجود نتائج صحيحة أو مثالية محددة بدقة. [ 3 ] على سبيل المثال، على الرغم من أن أنظمة التوصية في وسائل التواصل الاجتماعي تُسمى عادةً "خوارزميات"، إلا أنها في الواقع تعتمد على الطرق الاستدلالية لعدم وجود توصية "صحيحة" تمامًا.

كطريقة فعّالة ، يمكن التعبير عن الخوارزمية ضمن مساحة ووقت محدودين [ 4 ] وبلغة رسمية محددة جيدًا [ 5 ] لحساب دالة . [ 6 ] تبدأ الخوارزمية بحالة ابتدائية ومدخلات، وتُجرى عملية حسابية في كل خطوة، لتُنتج في النهاية مخرجات [ 7 ] وتنتهي. قد يكون الانتقال بين الحالات غير حتمي ؛ إذ تتضمن الخوارزميات العشوائية مدخلات عشوائية. [ 8 ]

أصل الكلمة

حوالي عام 825 ميلادي، كتب العالم الفارسي الموسوعي محمد بن موسى الخوارزمي كتاب الحساب الهندي وكتاب الجمع والطرح في الحساب الهندي. في أوائل القرن الثاني عشر، ظهرت ترجمات لاتينية لهذه النصوص تتضمن نظام الأرقام الهندي العربي والحساب ، على سبيل المثال كتاب الخوارزمي في الممارسة الحسابية ، المنسوب إلى يوحنا الإشبيلي ، وكتاب الخوارزمي في الأرقام الهندية ، المنسوب إلى أديلارد الباثي . [ 9 ] هنا، الخوارزمي أو الخوارزمي هو ترجمة لاتينية لاسم الخوارزمي؛ [ 2 ] يبدأ النص بعبارة " قال الخوارزمي". [ 3 ]

محمد بن موسى الخوارزمي : عالم الرياضيات الذي عاش في القرن التاسع الميلادي والذي اشتُق اسم "الخوارزمية" من اسمه.

أصبح مصطلح "algorism" في اللغة الإنجليزية يُشير إلى استخدام ترميز القيمة المكانية في العمليات الحسابية؛ وقد ورد في كتاب "Ancrene Wisse" حوالي عام 1225. [ 10 ] وبحلول الوقت الذي كتب فيه جيفري تشوسر " حكايات كانتربري" في أواخر القرن الرابع عشر، استخدم صيغةً مختلفةً من الكلمة نفسها لوصف أحجار "augrym" ، وهي أحجار تُستخدم لحساب القيمة المكانية. [ 11 ] [ 12 ] وفي القرن الخامس عشر، وتحت تأثير الكلمة اليونانية "ἀριθμός" ( أريثموس ، وتعني "عدد"؛ انظر "حسابي")، تم تحريف الكلمة اللاتينية إلى " algorithmus " . [ 13 ] وبحلول عام 1596، استُخدم هذا الشكل من الكلمة في اللغة الإنجليزية، بصيغة "algorithm "، من قِبل توماس هود . [ 14 ]

تعريف

أحد التعريفات غير الرسمية هو "مجموعة من القواعد التي تحدد بدقة تسلسل العمليات"، [ 15 ] وهو ما يشمل جميع برامج الحاسوب ، وأي إجراء بيروقراطي ، [ 16 ] أو وصفة طعام . [ 17 ] بشكل عام، يُعتبر البرنامج خوارزمية فقط إذا توقف في النهاية. [ 18 ] رسميًا، الخوارزمية هي مجموعة صريحة من التعليمات لإنتاج مُخرَج، يمكن للحاسوب أو الإنسان اتباعها لتنفيذ عمليات محددة على الرموز . [ 19 ]

تاريخ

الخوارزميات القديمة

سُجّلت إجراءات حل المسائل الرياضية خطوة بخطوة منذ القدم. ويشمل ذلك الرياضيات البابلية (حوالي 2500 قبل الميلاد)، [ 20 ] والرياضيات المصرية (حوالي 1550 قبل الميلاد)، [ 20 ] والرياضيات الهندية (حوالي 800 قبل الميلاد وما بعدها)، [ 21 ] [ 22 ] وكتاب إيفا (حوالي 500 قبل الميلاد)، [ 23 ] والرياضيات اليونانية (حوالي 240 قبل الميلاد)، [ 24 ] والرياضيات الصينية (حوالي 200 قبل الميلاد وما بعدها) ، [ 25 ] والرياضيات العربية (حوالي 800 ميلادي). [ 26 ]

تُوجد أقدم الأدلة على استخدام الخوارزميات في الرياضيات الميزوبوتامية القديمة. فقد وُجد لوح طيني سومري في شوروباك بالقرب من بغداد ، ويعود تاريخه إلى حوالي 2500 قبل الميلاد ، يصف أقدم خوارزمية للقسمة . [ 20 ] وخلال عهد أسرة حمورابي ( حوالي 1800-1600 قبل الميلاد ) ، وصفت ألواح طينية بابلية خوارزميات لحساب الصيغ الرياضية. [ 27 ] كما استُخدمت الخوارزميات في علم الفلك البابلي ، حيث تصف الألواح الطينية البابلية إجراءات خوارزمية وتُوظفها لحساب وقت ومكان الأحداث الفلكية الهامة. [ 28 ] 

تُوجد خوارزميات الحساب أيضًا في الرياضيات المصرية القديمة ، ويعود تاريخها إلى بردية ريند الرياضية حوالي 1550 قبل الميلاد . [ 20 ] استُخدمت الخوارزميات لاحقًا في الرياضيات الهلنستية القديمة . ومن الأمثلة على ذلك غربال إراتوستينس ، الذي وُصف في مقدمة الحساب لنيكوماخوس ، [ 29 ] [ 24 ] : الفصل 9.2 ، وخوارزمية إقليدس ، التي وُصفت لأول مرة في كتاب أصول إقليدس ( حوالي 300 قبل الميلاد ). [ 24 ] : الفصل 9.1. ومن أمثلة الرياضيات الهندية القديمة: شولبا سوتراس ، ومدرسة كيرالا ، وبراهماسفوتاسيدانتا . [ 21 ]

في القرن التاسع الميلادي، أحدث محمد بن موسى الخوارزمي ثورة في مجال الرياضيات بتأسيسه الخوارزمية كسلسلة منهجية ومحدودة من الخطوات المنطقية لحل المسائل الرياضية. في كتابه المؤثر " الكتاب المختصر في الحساب بالإكمال والموازنة "، تجاوز الحلول العددية المحددة ليقدم إجراءات عامة للاختزال الجبري والموازنة. وقد حوّل هذا الرياضيات إلى عملية "ميكانيكية" ذات قواعد محددة بدقة، وهو تحول جذري وضع الأسس لنظرية الخوارزميات الحديثة. وقد أدت الترجمة اللاتينية لرسالته في الحساب، بعنوان "Algoritmi de numero Indorum"، إلى اشتقاق مصطلح "الخوارزمية" من ترجمة اسمه اللاتينية، "Algoritmi"، وذلك تحديدًا لوصف هذا النهج الجديد القائم على القواعد في الرياضيات. [ 30 ]

طوّر الكندي ، وهو عالم رياضيات عربي من القرن التاسع، أول خوارزمية تشفير لفك تشفير الشفرات المشفرة، وذلك في كتابه "مخطوطة في فك تشفير الرسائل المشفرة" . وقدّم الكندي أول وصف لتحليل الشفرات باستخدام تحليل التردد ، وهي أقدم خوارزمية لفك الشفرات. [ 26 ]

أجهزة الكمبيوتر

الساعات التي تعمل بالوزن

كانت الساعات التي تعمل بالأثقال اختراعًا أوروبيًا رئيسيًا في العصور الوسطى ، وتحديدًا آلية ميزان الساعة [ 31 ] التي تُصدر صوت دقات الساعات الميكانيكية. أدت الآلات الأوتوماتيكية الدقيقة [ 32 ] إلى ظهور الأوتوماتا الميكانيكية في القرن الثالث عشر، والآلات الحسابية - محركا الفرق والتحليل لتشارلز باباج وآدا لوفليس في منتصف القرن التاسع عشر. [ 33 ] صممت لوفليس أول خوارزمية مُخصصة للحاسوب، ومحرك باباج التحليلي، وهو أول حاسوب كامل تورينج حقيقي ، متفوقًا على الآلات الحاسبة الميكانيكية في ذلك الوقت. على الرغم من أن التنفيذ الكامل لجهاز باباج الثاني لم يُبنَ إلا بعد عقود من وفاتها، فقد لُقّبت لوفليس بـ"أول مُبرمجة في التاريخ".

المرحل الكهروميكانيكي

أدى استخدام نول جاكارد ، وهو سلف البطاقات المثقبة ، وآلات تحويل المكالمات الهاتفية إلى تطوير أولى الحواسيب. [ 34 ] وبحلول منتصف القرن التاسع عشر، كان التلغراف مستخدمًا في جميع أنحاء العالم. وفي أواخر القرن التاسع عشر، طُوِّرت أشرطة التلغراف ( حوالي سبعينيات القرن التاسع عشر ) والبطاقات المثقبة (حوالي تسعينيات القرن التاسع عشر). ثم ظهرت آلة الطباعة عن بُعد ( حوالي عام 1910 ) التي تستخدم الورق المثقب ورمز بودو على الشريط.

اختُرعت شبكات تحويل الهاتف التي تعتمد على المرحلات الكهروميكانيكية عام 1835. وقد أدى ذلك إلى اختراع جهاز الجمع الرقمي على يد جورج ستيبتز عام 1937. أثناء عمله في مختبرات بيل، لاحظ ستيبتز الاستخدام "المُرهِق" للآلات الحاسبة الميكانيكية ذات التروس، مما دفعه إلى ابتكار جهاز جمع رقمي تجريبي في منزله. [ 35 ] [ 36 ]

الإضفاء الطابع الرسمي

رسم تخطيطي من آدا لوفليس من " ملاحظة G "، أول خوارزمية حاسوبية منشورة

في عام 1928، بدأت عملية صياغة جزئية للمفهوم الحديث للخوارزميات بمحاولات لحل مسألة القرار ( Entscheidungsproblem ) لديفيد هيلبرت . لاحقًا، تم تأطير الصياغات الرسمية كمحاولات لتعريف " الحسابية الفعالة " [ 37 ] أو "الطريقة الفعالة" [ 38 ] . وشملت هذه الصياغات دوال غودل - هيربراند - كلين التكرارية في أعوام 1930 و1934 و1935، وحساب لامدا لألونزو تشيرش في عام 1936، والصيغة الأولى لإميل بوست في عام 1936، وآلات تورينج لآلان تورينج في الأعوام 1936-1937 و1939.

الخوارزميات الحديثة

لعقود طويلة، ساد الاعتقاد بأن تطور الخوارزميات ينتقل من الأساليب الاستدلالية إلى الخوارزميات الرسمية. ويُعدّ التكامل الرمزي مثالًا كلاسيكيًا على ذلك. ففي عام 1961، استخدم برنامج SAINT الذي ابتكره جيمس سلاجل أساليب استدلالية لحل 52 من أصل 54 تمرينًا في حساب التفاضل والتكامل لطلاب السنة الأولى من كتاب دراسي في معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا (بنسبة نجاح تقارب 96%). وفي عام 1967، حسّن برنامج SIN الذي ابتكره لاري موسى الأساليب الاستدلالية وحقق نجاحًا بنسبة 100%، مع أنه ظلّ قائمًا على الأساليب الاستدلالية. وأخيرًا، في عام 1969، قدّم روبرت ريش خوارزمية ريش مع ضمانات رسمية. وقد حدّد هذا المسار الطريق التقليدي: تطور الأساليب الاستدلالية حتى ظهور خوارزمية نهائية مضمونة النتائج.

ومع ذلك، فإن صعود الذكاء الاصطناعي القائم على المحولات قد قلب هذا التسلسل رأساً على عقب - حيث يتم الآن استبدال الخوارزميات الكلاسيكية بالأساليب الاستدلالية مرة أخرى.

تطورت الخوارزميات وتحسنت بشكل ملحوظ مع مرور الوقت. ومن الاستخدامات الشائعة لها اليوم تطبيقات التواصل الاجتماعي مثل إنستغرام ويوتيوب . تُستخدم الخوارزميات لتحليل ما يُفضّله المستخدمون ، وعرض المزيد من المحتوى الذي يُناسبهم. كما تستخدم الحوسبة الكمومية إجراءات الخوارزميات الكمومية لحل المشكلات بسرعة أكبر. وفي عام 2024، قام المعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا (NIST) بتحديث معايير التشفير ما بعد الكمومية، والتي تتضمن خوارزميات تشفير جديدة لتعزيز الحماية ضد الهجمات التي تستخدم الحوسبة الكمومية.

التمثيلات

يمكن التعبير عن الخوارزميات بأنواع عديدة من الترميز، بما في ذلك اللغات الطبيعية ، والرموز الزائفة ، ومخططات التدفق ، ومخططات دراكون ، ولغات البرمجة ، وجداول التحكم . تميل التعبيرات اللغوية الطبيعية للخوارزميات إلى أن تكون مطولة وغامضة، ونادرًا ما تُستخدم للخوارزميات المعقدة أو التقنية. أما الرموز الزائفة، ومخططات التدفق، ومخططات دراكون، وجداول التحكم، فهي تعبيرات منظمة للخوارزميات تتجنب الغموض الشائع في اللغة الطبيعية. تُستخدم لغات البرمجة في المقام الأول للتعبير عن الخوارزميات بصيغة قابلة للتنفيذ بواسطة الحاسوب، ولكنها تُستخدم أيضًا لتعريف الخوارزميات وتوثيقها.

آلات تورينج

توجد العديد من التمثيلات الممكنة، ويمكن التعبير عن برامج آلة تورينج كسلسلة من جداول الآلة (انظر آلة الحالة المحدودة ، وجدول انتقال الحالة ، وجدول التحكم لمزيد من المعلومات)، أو كمخططات انسيابية ومخططات دراكون (انظر مخطط الحالة لمزيد من المعلومات)، أو كشكل من أشكال لغة الآلة أو لغة التجميع البدائية المسماة "مجموعات من الرباعيات"، وغير ذلك. ويمكن تصنيف تمثيلات الخوارزميات إلى ثلاثة مستويات مقبولة لوصف آلة تورينج: الوصف عالي المستوى، ووصف التنفيذ، والوصف الرسمي. [ 39 ] يصف الوصف عالي المستوى خصائص الخوارزمية نفسها، متجاهلاً كيفية تنفيذها على آلة تورينج. [ 39 ] يصف وصف التنفيذ الطريقة العامة التي تحرك بها الآلة رأسها وتخزن البيانات لتنفيذ الخوارزمية، ولكنه لا يحدد الحالات بدقة. [ 39 ] أما الوصف الرسمي، فيقدم جدول الحالة الدقيق وقائمة انتقالات آلة تورينج. [ 39 ]

تمثيل المخطط الانسيابي

مخطط التدفق هو أداة بيانية تصف وتوثق خوارزمية ما. يتكون من أربعة رموز أساسية: أسهم توضح مسار البرنامج، ومستطيلات (لعبارات مثل SEQUENCE وGOTO)، ومعينات تمثل القرارات، ونقاط (لعبارات مثل OR). يمكن أن تتداخل البنى الفرعية داخل المستطيلات، ولكن فقط إذا كان هناك مخرج واحد فقط من البنية الفوقية.

التحليل الخوارزمي

من المهم غالبًا معرفة الوقت أو مساحة التخزين أو أي تكلفة أخرى قد تتطلبها الخوارزمية. وقد طُوّرت طرق لتحليل الخوارزميات لتقدير هذه الاحتياجات. على سبيل المثال، تتطلب خوارزمية جمع عناصر قائمة من n عددًا وقتًا قدره ⁠يا(ن){\displaystyle O(n)}باستخدام ترميز Big O ، لا يحتاج الخوارزمية إلا إلى تذكر قيمتين: مجموع جميع العناصر حتى الآن، وموقعها الحالي في قائمة الإدخال. إذا لم يتم احتساب المساحة المطلوبة لتخزين أرقام الإدخال، فإن متطلبات المساحة هييا(1){\displaystyle O(1)}وإلا​​يا(ن){\displaystyle O(n)}مطلوب .

قد تُنجز خوارزميات مختلفة المهمة نفسها بمجموعة تعليمات مختلفة في وقت أو مساحة أو " جهد " أقل أو أكثر من غيرها. على سبيل المثال، خوارزمية البحث الثنائي (بتكلفة ⁠يا(سجل⁡ن){\displaystyle O(\log n)}يتفوق على البحث التسلسلي ( التكلفة )يا(ن){\displaystyle O(n)}) عند استخدامها للبحث في الجداول على القوائم المصنفة.

الشكلي مقابل التجريبي

يُعد تحليل ودراسة الخوارزميات فرعًا من فروع علوم الحاسوب . غالبًا ما تُدرس الخوارزميات بشكل مجرد، دون الرجوع إلى لغة برمجة أو تطبيق محدد. وكغيرها من الفروع الرياضية، يركز هذا الفرع على خصائص الخوارزمية، لا على تطبيقها. يُعدّ استخدام الشفرة الزائفة شائعًا في التحليل نظرًا لبساطتها وشموليتها. تُطبّق معظم الخوارزميات على منصات برمجية/مادية محددة، ويتم اختبار كفاءتها باستخدام شفرة حقيقية. قد تكون كفاءة خوارزمية معينة غير مهمة في العديد من المسائل الفردية، لكنها قد تكون حاسمة للخوارزميات المصممة للاستخدام السريع، أو التفاعلي، أو التجاري، أو العلمي طويل الأمد. غالبًا ما يؤدي زيادة حجم المدخلات إلى كشف خوارزميات غير فعالة، حتى وإن كانت سليمة في الأصل.

يُعدّ الاختبار التجريبي مفيدًا للكشف عن التفاعلات غير المتوقعة التي تؤثر على الأداء. ويمكن استخدام المعايير المرجعية لمقارنة التحسينات المحتملة على الخوارزمية قبل وبعد تحسين البرنامج. ولا يمكن للاختبارات التجريبية أن تحل محل التحليل الرسمي بشكل كامل، ويصعب إجراؤها بنزاهة. [ 40 ]

كفاءة التنفيذ

لتوضيح التحسينات المحتملة حتى في الخوارزميات الراسخة، يمكن لابتكار حديث هام، يتعلق بخوارزميات تحويل فورييه السريع المستخدمة في معالجة الصور، أن يقلل وقت المعالجة بما يصل إلى 1000 مرة في التصوير الطبي. [ 41 ] وبشكل عام، تعتمد تحسينات السرعة على خصائص محددة للمسألة، وهي خصائص شائعة جدًا في التطبيقات العملية. [ 42 ]

أفضل الحالات وأسوأ الحالات

يشير أفضل أداء للخوارزمية إلى السيناريو أو المدخلات التي تستغرق فيها الخوارزمية أو بنية البيانات أقل وقت وموارد لإنجاز مهامها. [ 43 ] أما أسوأ أداء للخوارزمية فهو الحالة التي تستهلك فيها الخوارزمية أو بنية البيانات أقصى وقت وموارد حاسوبية. [ 44 ]

تصميم

قد يستفيد تصميم الخوارزميات من العديد من الأساليب المختلفة، مثل أسلوب فرق تسد أو البرمجة الديناميكية . تُعرف تقنيات تصميم الخوارزميات وتنفيذها أيضًا بأنماط تصميم الخوارزميات. [ 45 ] ومن الأمثلة على ذلك نمط طريقة القالب ونمط المُزخرف. يُعد الاستخدام الأمثل للموارد، مثل الذاكرة أو الوقت، جانبًا مهمًا من جوانب تصميم الخوارزميات؛ ويُستخدم رمز Big O لوصف كيفية تغير استخدام الموارد مع زيادة حجم المدخلات. [ 46 ]

البرمجة الهيكلية

يمكن حساب أي خوارزمية باستخدام أي نموذج كامل تورينج . لا يتطلب اكتمال تورينج سوى أربعة أنواع من التعليمات: الانتقال المشروط، والانتقال غير المشروط، والتخصيص، والتوقف. يُضيف تاوسورثي إلى البنى الأساسية الثلاث لبوم-جاكوبيني : [ 47 ] التسلسل، إذا-ثم-إلا، وطالما-افعل، بنيتين إضافيتين: افعل-طالما وحالة. [ 48 ] ومن المزايا الإضافية للبرنامج المهيكل أنه يُسهّل إثبات صحته باستخدام الاستقراء الرياضي . [ 49 ]

لا تُعتبر الخوارزميات، في حد ذاتها، قابلةً للتسجيل كبراءات اختراع عادةً. ففي الولايات المتحدة، لا يُعدّ الادعاء الذي يقتصر على معالجة بسيطة لمفاهيم مجردة أو أرقام أو إشارات "عمليات"، وبالتالي لا تُعتبر الخوارزميات قابلةً للتسجيل كبراءات اختراع (كما في قضية غوتشالك ضد بنسون ). مع ذلك، يُمكن تسجيل التطبيقات العملية للخوارزميات كبراءات اختراع. على سبيل المثال، في قضية دايموند ضد ديهر ، اعتُبر تطبيق خوارزمية تغذية راجعة بسيطة للمساعدة في معالجة المطاط الصناعي قابلاً للتسجيل كبراءات اختراع. يُعدّ تسجيل براءات اختراع البرمجيات أمرًا مثيرًا للجدل، [ 50 ] وهناك براءات اختراع مُنتقدة تتعلق بالخوارزميات، لا سيما خوارزميات ضغط البيانات ، مثل براءة اختراع LZW لشركة يونيسيس . إضافةً إلى ذلك، تخضع بعض خوارزميات التشفير لقيود تصدير (انظر تصدير التشفير ).

تصنيف

عن طريق التنفيذ

التكرار
تُنفّذ الخوارزمية التكرارية نفسها مرارًا وتكرارًا حتى تحقق شرط التوقف، وهي تقنية شائعة في البرمجة الوظيفية . تستخدم الخوارزميات التكرارية عمليات التكرار، مثل الحلقات أو هياكل البيانات كالمكدسات، لحل المشكلات. قد تكون بعض المشكلات مناسبة لأحد النوعين من الخوارزميات دون الآخر. تُعدّ لعبة برج هانوي مثالًا على لغز يُحلّ عادةً باستخدام الخوارزمية التكرارية. لكل نسخة تكرارية نسخة مكافئة (قد تكون أكثر أو أقل تعقيدًا)، والعكس صحيح.
التسلسلي أو المتوازي أو الموزع
تُناقش الخوارزميات عادةً بافتراض أن الحواسيب تُنفذ تعليمة واحدة من الخوارزمية في كل مرة على الحواسيب التسلسلية. صُممت الخوارزميات التسلسلية خصيصًا لهذه البيئات، على عكس الخوارزميات المتوازية أو الموزعة . تستفيد الخوارزميات المتوازية من بنية الحواسيب التي تسمح لمعالجات متعددة بالعمل على مشكلة واحدة في الوقت نفسه. أما الخوارزميات الموزعة فتستخدم أجهزة متعددة متصلة عبر شبكة حاسوب. تُقسّم الخوارزميات المتوازية والموزعة المشكلة إلى مشاكل فرعية، ثم تجمع النتائج معًا. لا يقتصر استهلاك الموارد في هذه الخوارزميات على دورات المعالج في كل معالج فحسب، بل يشمل أيضًا تكلفة الاتصال بين المعالجات. يمكن موازاة بعض خوارزميات الفرز بكفاءة، لكن تكلفة الاتصال فيها باهظة. الخوارزميات التكرارية قابلة للتوازي عمومًا، لكن بعض المشاكل لا توجد لها خوارزميات متوازية، وتُسمى حينها مشاكل تسلسلية بطبيعتها.
حتمية أو غير حتمية
تحل الخوارزميات الحتمية المشكلة بقرارات دقيقة في كل خطوة، بينما تحل الخوارزميات غير الحتمية المشاكل عن طريق التخمين. وعادةً ما تُحسَّن دقة التخمينات باستخدام أساليب استدلالية .
دقيق أو تقريبي
بينما تصل العديد من الخوارزميات إلى حل دقيق، تسعى خوارزميات التقريب إلى إيجاد حل قريب من الحل الحقيقي. لهذه الخوارزميات قيمة عملية في العديد من المسائل المعقدة. على سبيل المثال، مسألة حقيبة الظهر ، حيث توجد مجموعة من العناصر، والهدف هو تعبئة الحقيبة للحصول على أقصى قيمة إجمالية. لكل عنصر وزن وقيمة. الوزن الإجمالي الذي يمكن حمله لا يتجاوز قيمة ثابتة X. لذا، يجب أن يأخذ الحل في الاعتبار أوزان العناصر وقيمها. [ 51 ]
الخوارزمية الكمومية
تعتمد الخوارزميات الكمومية على نموذج واقعي للحوسبة الكمومية . ويُستخدم هذا المصطلح عادةً للإشارة إلى الخوارزميات التي تبدو كمومية بطبيعتها أو تستخدم بعض الخصائص الأساسية للحوسبة الكمومية مثل التراكب الكمومي أو التشابك الكمومي .

نموذج التصميم

هناك طريقة أخرى لتصنيف الخوارزميات وهي تصنيفها حسب منهجية تصميمها أو نموذجها . ومن النماذج الشائعة ما يلي:

البحث الشامل أو البحث عن طريق القوة الغاشمة
أسلوب التجربة والخطأ هو طريقة لحل المشكلات تعتمد على تجربة جميع الخيارات الممكنة بشكل منهجي حتى الوصول إلى الحل الأمثل. قد يستغرق هذا الأسلوب وقتًا طويلاً، حيث يتم اختبار كل توليفة ممكنة من المتغيرات. غالبًا ما يُستخدم عندما تكون الطرق الأخرى غير متاحة أو معقدة للغاية. يمكن لأسلوب التجربة والخطأ حل مجموعة متنوعة من المشكلات، بما في ذلك إيجاد أقصر مسار بين نقطتين واختراق كلمات المرور.
فرق تسد
تُختزل خوارزمية فرق تسد المشكلة بشكل متكرر إلى نسخة واحدة أو أكثر من نسخها الأصغر (عادةً بشكل تكراري ) حتى تصبح هذه النسخ صغيرة بما يكفي لحلها بسهولة. يُعد فرز الدمج مثالًا على خوارزمية فرق تسد، حيث تُقسّم قائمة غير مرتبة بشكل متكرر إلى قوائم أصغر، تُفرز بنفس الطريقة ثم تُدمج. [ 52 ] يوجد نوع أبسط من خوارزمية فرق تسد يُسمى خوارزمية التقليم والبحث أو خوارزمية التناقص والتغلب ، والتي تحل نسخة واحدة أصغر من نفسها، ولا تتطلب خطوة دمج. [ 53 ] من أمثلة خوارزمية التقليم والبحث خوارزمية البحث الثنائي .
البحث والحصر
يمكن نمذجة العديد من المشكلات (مثل لعب الشطرنج ) كمشكلات على الرسوم البيانية . تحدد خوارزمية استكشاف الرسوم البيانية قواعد التنقل داخل الرسم البياني، وهي مفيدة لمثل هذه المشكلات. تشمل هذه الفئة أيضًا خوارزميات البحث ، وخوارزمية التفرع والتقييد ، وخوارزمية التراجع .
خوارزمية عشوائية
تُجري هذه الخوارزميات بعض الاختيارات عشوائيًا (أو شبه عشوائيًا). وهي تجد حلولًا تقريبية عندما يكون إيجاد الحلول الدقيقة غير عملي (انظر الطريقة الاستدلالية أدناه). بالنسبة لبعض المسائل، يجب أن تتضمن أسرع التقريبات قدرًا من العشوائية . [ 54 ] يُعدّ ما إذا كانت الخوارزميات العشوائية ذات التعقيد الزمني متعدد الحدود هي الأسرع لبعض المسائل سؤالًا مفتوحًا يُعرف بمسألة P مقابل NP . يوجد فئتان رئيسيتان من هذه الخوارزميات:
  1. تُعيد خوارزميات مونت كارلو إجابة صحيحة باحتمالية عالية. على سبيل المثال، تُعدّ RP فئة فرعية من هذه الخوارزميات التي تعمل في وقت متعدد الحدود .
  2. تُعيد خوارزميات لاس فيغاس دائمًا الإجابة الصحيحة، ولكن وقت تشغيلها محدود احتماليًا فقط، على سبيل المثال ZPP .
تقليل التعقيد
تحوّل هذه التقنية المشكلات المعقدة إلى مشكلات معروفة يمكن حلها باستخدام خوارزميات مثالية تقاربياً (على الأرجح) . والهدف هو إيجاد خوارزمية اختزال لا تهيمن تعقيداتها على تعقيدات الخوارزميات المختزلة الناتجة. على سبيل المثال، تجد إحدى خوارزميات الاختيار الوسيط لقائمة غير مرتبة عن طريق فرز القائمة أولاً (الجزء المكلف)، ثم استخراج العنصر الأوسط في القائمة المرتبة (الجزء الأقل تكلفة). تُعرف هذه التقنية أيضاً باسم "التحويل والغزو" .
التراجع إلى الوراء
في هذا النهج، يتم بناء حلول متعددة بشكل تدريجي ويتم التخلي عنها عندما يتم تحديد أنها لا يمكن أن تؤدي إلى حل كامل صالح.

مشاكل التحسين

بالنسبة لمشاكل التحسين، يوجد تصنيف أكثر تحديدًا للخوارزميات؛ قد تندرج خوارزمية مثل هذه المشاكل ضمن فئة واحدة أو أكثر من الفئات العامة المذكورة أعلاه، بالإضافة إلى واحدة مما يلي:

البرمجة الخطية
عند البحث عن الحلول المثلى لدالة خطية مقيدة بقيود خطية من المساواة والمتباينة، يمكن استخدام هذه القيود مباشرةً لإيجاد الحلول المثلى. توجد خوارزميات قادرة على حل أي مسألة ضمن هذه الفئة، مثل خوارزمية سيمبلكس الشهيرة . [ 55 ] تشمل المسائل التي يمكن حلها باستخدام البرمجة الخطية مسألة التدفق الأقصى للرسوم البيانية الموجهة. إذا تطلبت المسألة أيضًا أن تكون أي من المجاهيل أعدادًا صحيحة ، فإنها تُصنف ضمن البرمجة العددية الصحيحة . يمكن لخوارزمية البرمجة الخطية حل هذه المسألة إذا أمكن إثبات أن جميع القيود المفروضة على القيم الصحيحة سطحية، أي أن الحلول تُحقق هذه القيود على أي حال. في الحالة العامة، تُستخدم خوارزمية متخصصة أو خوارزمية لإيجاد حلول تقريبية، وذلك حسب صعوبة المسألة.
البرمجة الديناميكية
عندما تُظهر المسألة بنى فرعية مثلى - أي أن الحل الأمثل يُمكن بناؤه من حلول مثلى لمسائل فرعية - ومسائل فرعية متداخلة ، أي أن نفس المسائل الفرعية تُستخدم لحل العديد من حالات المسألة المختلفة، فإن أسلوبًا أسرع يُسمى البرمجة الديناميكية يتجنب إعادة حساب الحلول. على سبيل المثال، في خوارزمية فلويد-وارشال ، يُمكن إيجاد أقصر مسار بين رأس البداية ورأس الهدف في رسم بياني مُثقّل باستخدام أقصر مسار إلى الهدف من جميع الرؤوس المجاورة. البرمجة الديناميكية والتخزين المؤقت مُرتبطان. على عكس أسلوب فرق تسد، غالبًا ما تتداخل المسائل الفرعية في البرمجة الديناميكية. الفرق بين البرمجة الديناميكية والتكرار البسيط هو التخزين المؤقت أو التخزين المؤقت للاستدعاءات التكرارية. عندما تكون المسائل الفرعية مستقلة ولا تتكرر، لا يُفيد التخزين المؤقت؛ لذا فإن البرمجة الديناميكية غير قابلة للتطبيق على جميع المسائل المعقدة. باستخدام التخزين المؤقت، تُقلل البرمجة الديناميكية من تعقيد العديد من المسائل من أُسّي إلى مُتعدد الحدود.
الأسلوب الجشع
تعمل الخوارزميات الجشعة ، على غرار البرمجة الديناميكية، من خلال فحص البنى الفرعية، ليس للمشكلة نفسها، بل لحل مُعطى. تبدأ هذه الخوارزميات بحل مُعين وتُحسّنه بإجراء تعديلات طفيفة. في بعض المسائل، تجد هذه الخوارزميات الحل الأمثل دائمًا، بينما في مسائل أخرى قد تتوقف عند الحلول المثلى المحلية . يُعدّ إيجاد الأشجار الممتدة الدنيا للرسوم البيانية الخالية من الدورات السالبة الاستخدام الأكثر شيوعًا للخوارزميات الجشعة. ومن أمثلة هذه الخوارزميات: شجرة هوفمان ، وكروكسال ، وبريم ، وسولين .
الطريقة الاستدلالية
في مسائل التحسين ، تجد الخوارزميات الاستدلالية حلولًا قريبة من الحل الأمثل عندما يكون إيجاد الحل الأمثل غير عملي. تقترب هذه الخوارزميات من الحل الأمثل تدريجيًا مع تقدمها. من حيث المبدأ، إذا تم تشغيلها لفترة غير محدودة، فستجد الحل الأمثل. ويمكنها نظريًا إيجاد حل قريب جدًا من الحل الأمثل في وقت قصير نسبيًا. تشمل هذه الخوارزميات البحث المحلي ، والبحث المحظور ، والتقسية المحاكاة ، والخوارزميات الجينية . بعضها، مثل التقسية المحاكاة، خوارزميات غير حتمية، بينما البعض الآخر، مثل البحث المحظور، خوارزميات حتمية. عندما يكون حد خطأ الحل غير الأمثل معروفًا، تُصنف الخوارزمية على أنها خوارزمية تقريبية .

أمثلة

إحدى أبسط الخوارزميات هي إيجاد أكبر عدد في قائمة أعداد مرتبة عشوائيًا. يتطلب إيجاد الحل النظر إلى كل عدد في القائمة. ومن هنا، تنبثق خوارزمية بسيطة، يمكن وصفها بلغة بسيطة كما يلي:

وصف عام:

  1. إذا كانت مجموعة الأرقام فارغة، فلا يوجد رقم أعلى.
  2. افترض أن الرقم الأول في المجموعة هو الأكبر.
  3. لكل رقم متبقٍ في المجموعة: إذا كان هذا الرقم أكبر من الرقم الأكبر الحالي، فإنه يصبح الرقم الأكبر الجديد.
  4. عندما لا يتبقى أي أرقام غير مفحوصة في المجموعة، اعتبر أكبر رقم حالي هو الأكبر في المجموعة.

الوصف (شبه) الرسمي: مكتوبة بأسلوب نثري ولكنها أقرب بكثير إلى لغة البرمجة عالية المستوى لبرنامج الكمبيوتر، فيما يلي الترميز الأكثر رسمية للخوارزمية بلغة شبه رمزية أو لغة هجينة :

خوارزمية أكبر عددالمدخلات : قائمة من الأرقام L.الناتج: أكبر رقم في القائمة L.
إذا كان حجم L يساوي صفرًا، فأرجع قيمة فارغة. أكبر عنصر ← L [0] لكل عنصر في L ، إذا كان العنصر أكبر من أكبر عنصر ، فأرجع أكبر عنصر ← العنصر. أرجع أكبر عنصر
  • يشير الرمز " ← " إلى عملية التخصيص . على سبيل المثال، " الأكبر ← عنصر " يعني أن قيمة الأكبر تتغير إلى قيمة العنصر .
  • " return " ينهي الخوارزمية ويخرج القيمة التالية.

اكتشاف الخوارزميات بمساعدة الذكاء الاصطناعي

استُخدمت أنظمة الذكاء الاصطناعي لاكتشاف الخوارزميات وتحسينها. في عام 2023، قدّمت جوجل ديب مايند نظام ألفا ديف ، وهو نظام تعلّم معزز قائم على ألفا زيرو، والذي اكتشف خوارزميات فرز وتجزئة محسّنة. [ 56 ] في ورقة بحثية نُشرت في مجلة نيتشر ، ذُكر أن ألفا ديف اكتشف خوارزميات فرز صغيرة تفوقت على المعايير البشرية المعروفة سابقًا، وتم دمجها في مكتبة فرز LLVM القياسية للغة C++ . [ 57 ]

في عام 2025، قدمت جوجل ديب مايند برنامج ألفا إيفولف ، وهو وكيل برمجة تطوري مدعوم بنماذج لغوية ضخمة لاكتشاف الخوارزميات العامة وتحسينها. [ 58 ] يستخدم ألفا إيفولف النماذج اللغوية لاقتراح تغييرات في الشفرة، ومقيّمين آليين لاختبار الحلول المرشحة، وعملية تطورية لتحسين الخوارزميات الواعدة عبر عدة دورات. [ 59 ]

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ "يمكن تسمية الإجراء الذي يحتوي على جميع خصائص الخوارزمية باستثناء أنه قد يفتقر إلى التناهي بـ "طريقة حسابية " " (Knuth 1971:5).
  2. 1 2 "تعريف الخوارزمية" . قاموس ميريام-ويبستر الإلكتروني . مؤرشف من الأصل في 14 فبراير 2020. تم الاطلاع عليه في 14 نوفمبر 2019 .
  3. 1 2 ديفيد أ. غروسمان، أوفير فريدر، استرجاع المعلومات: الخوارزميات والأساليب الاستدلالية ، الطبعة الثانية، 2004، ISBN 1402030045
  4. ↑ "يمكن وصف أي خوارزمية رياضية كلاسيكية، على سبيل المثال، بعدد محدود من الكلمات الإنجليزية" (روغرز 1987:2).
  5. ↑ تم تعريفها بشكل جيد فيما يتعلق بالعامل الذي ينفذ الخوارزمية: "هناك عامل حاسوبي، عادة ما يكون بشريًا، يمكنه التفاعل مع التعليمات وتنفيذ العمليات الحسابية" (روغرز 1987:2).
  6. ↑ "الخوارزمية هي إجراء لحساب دالة (تتعلق ببعض الرموز المختارة للأعداد الصحيحة) ... هذا القيد (للدوال العددية) لا يؤدي إلى فقدان العمومية" (روغرز 1977:1).
  7. ↑ "للخوارزمية مخرج واحد أو أكثر، أي كميات لها علاقة محددة بالمدخلات" (Knuth 1973:5).
  8. ↑ إن مسألة ما إذا كانت العملية التي تتضمن عمليات داخلية عشوائية (باستثناء المدخلات) تُعتبر خوارزمية أم لا، أمرٌ قابل للنقاش. يرى روجرز أن: "الحساب يتم بطريقة منفصلة متدرجة، دون استخدام أساليب متصلة أو أجهزة تناظرية ... يتم تنفيذه بشكل حتمي، دون اللجوء إلى أساليب أو أجهزة عشوائية، مثل النرد" (روجرز 1987:2).
  9. ↑ بلير، آن، دوغيد، بول، غوينغ، أنيا سيلفيا، وغرافتون، أنتوني. المعلومات: دليل تاريخي، برينستون: مطبعة جامعة برينستون، 2021. ص 247
  10. ↑ "algorism" . قاموس أكسفورد الإنجليزي . تم الاطلاع عليه في 18 مايو 2025 .
  11. ↑ تشوسر، جيفري. "حكاية الطحان" . السطر 3210.
  12. ↑ سكيت، والتر ويليام (1914). "agrim, agrum" . في: مايهيو، أنتوني لوسون (محرر). معجم مصطلحات تيودور وستيوارت: خاصة من كتاب المسرحيات . مطبعة كلارندون. ص 5-6 . 
  13. ↑ غرابينر، جوديث ف. (ديسمبر 2013). "دور الرياضيات في تعليم الفنون الليبرالية". في ماثيوز، مايكل ر. (محرر). الدليل الدولي للبحوث في تدريس التاريخ والفلسفة والعلوم . سبرينغر. ص 793-836 . doi : 10.1007/978-94-007-7654-8_25 . ISBN  9789400776548.
  14. ↑ "خوارزمية" . قاموس أكسفورد الإنجليزي . تم الاطلاع عليه في 18 مايو 2025 .
  15. ↑ ستون (1971) ، ص 8.
  16. ↑ سيمانوفسكي، روبرتو (2018). خوارزمية الموت ومعضلات رقمية أخرى . تأملات في غير أوانها. المجلد 14. ترجمة جيفرسون تشيس. كامبريدج، ماساتشوستس: مطبعة معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا. ص 147. ISBN   9780262536370أُرشف من الأصل في 22 ديسمبر 2019. تم الاطلاع عليه في 27 مايو 2019. [...] المستوى التالي من تجريد البيروقراطية المركزية: خوارزميات تعمل على مستوى عالمي .
  17. ↑ ديتريش، إريك (1999). "الخوارزمية". في ويلسون، روبرت أندرو؛ كيل، فرانك سي. (محرران). موسوعة معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا للعلوم المعرفية . مكتبة معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا المعرفية. كامبريدج، ماساتشوستس: مطبعة معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا (نُشرت عام 2001). ص 11. ISBN  9780262731447تم الاطلاع عليه بتاريخ 22 يوليو 2020. الخوارزمية هي وصفة أو طريقة أو أسلوب للقيام بشيء ما .
  18. ↑ يشترط ستون أن "ينتهي الأمر بعدد محدود من الخطوات" (ستون 1973:7-8).
  19. ↑ بولوس وجيفري 1974، 1999:19
  20. 1 2 3 4 شابير، جان لوك (2012). تاريخ الخوارزميات: من الحصاة إلى الشريحة الإلكترونية . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. الصفحات 7-8 . ISBN  9783642181924.
  21. 1 2 سريرام، إم إس (2005). "الخوارزميات في الرياضيات الهندية" . في إمتش، جيرارد جي؛ سريدهاران، آر؛ سرينيفاس، إم دي (محررون). مساهمات في تاريخ الرياضيات الهندية . سبرينغر. ص 153. ISBN  978-93-86279-25-5.
  22. ↑ هاياشي، ت. (1 يناير 2023). براهمغوبتا . موسوعة بريتانيكا.
  23. ↑ زاسلافسكي، كلوديا (1970). "رياضيات شعب اليوروبا وجيرانهم في جنوب نيجيريا" . مجلة الرياضيات للكليات المتوسطة . 1 (2): 76-99 . doi : 10.2307/3027363 . ISSN 0049-4925 . JSTOR 3027363 .  
  24. 1 2 3 كوك، روجر ل. (2005). تاريخ الرياضيات: دورة موجزة . جون وايلي وأولاده. ISBN 978-1-118-46029-0.
  25. ^ تشابيرت، جان لوك، أد. (1999). تاريخ الخوارزميات . دوى : 10.1007/978-3-642-18192-4 . رقم ISBN 978-3-540-63369-3.
  26. 1 2 دولي، جون ف. (2013). تاريخ موجز لعلم التشفير وخوارزميات التشفير . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 12-13 . ISBN  9783319016283.
  27. ↑ كنوت، دونالد إي. (1972). "خوارزميات بابلية قديمة" (ملف PDF) . مجلة الاتصالات ACM . 15 (7): 671-677 . doi : 10.1145/361454.361514 . ISSN 0001-0782 . S2CID 7829945. مؤرشف من النسخة الأصلية (ملف PDF) بتاريخ 24 ديسمبر 2012.  
  28. ↑ آبو، أسجر (2001). حلقات من التاريخ المبكر لعلم الفلك . نيويورك: سبرينغر. ص 40-62 . ISBN  978-0-387-95136-2.
  29. ↑ آست، كورتني. "إراتوستينس" . جامعة ولاية ويتشيتا: قسم الرياضيات والإحصاء. مؤرشف من الأصل في 27 فبراير 2015. تم الاطلاع عليه في 27 فبراير 2015 .
  30. ↑ كنوت، دونالد إي. (1996). أوراق مختارة في علوم الحاسوب . منشورات CSLI. ص 1-2 . كان عمل الخوارزمي هو الأول الذي قدم نهجًا منهجيًا قائمًا على القواعد لحل المعادلات، ولهذا السبب تم صياغة كلمة "خوارزمية" من اسمه لوصف هذه العملية المنهجية. 
  31. ↑ بولتر 1984:24
  32. ↑ بولتر 1984:26
  33. ^ بولتر 1984: 33–34، 204–206.
  34. ↑ مخطط بيل ونيويل 1971:39، انظر ديفيس 2000
  35. ↑ ميلينا هيل، مراسلة فالي نيوز، هاوية تحصل على مكان في التاريخ ، فالي نيوز ويست لبنان، نيو هامبشاير، الخميس، 31 مارس 1983، ص 13.
  36. ↑ ديفيس 2000:14
  37. ↑ كلين 1943 في ديفيس 1965:274
  38. ↑ روسر 1939 في ديفيس 1965:225
  39. 1 2 3 4 سيبسر 2006:157
  40. ↑ كريغل، هانز-بيتر ؛ شوبرت، إريك؛ زيمك، آرثر (2016). "فن (الأسود) لتقييم وقت التشغيل: هل نقارن الخوارزميات أم التطبيقات؟". نظم المعرفة والمعلومات . 52 (2): 341-378 . doi : 10.1007/s10115-016-1004-2 . ISSN 0219-1377 . S2CID 40772241 .  
  41. ↑ جيليان كوناهان (يناير 2013). "رياضيات أفضل تُسرّع شبكات البيانات" . discovermagazine.com. مؤرشف من الأصل في 13 مايو 2014. تم الاطلاع عليه في 13 مايو 2014 .
  42. ↑ هيثم حسنية، بيوتر إنديك ، دينا كاتابي، وإريك برايس، " ندوة ACM-SIAM حول الخوارزميات المنفصلة (SODA) مؤرشفة في 4 يوليو 2013، في Wayback Machine ، كيوتو، يناير 2012. انظر أيضًا صفحة الويب sFFT المؤرشفة في 21 فبراير 2012، في Wayback Machine .
  43. ↑ "أفضل حالة" . قاموس الخوارزميات وهياكل البيانات . المعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا (NIST). المعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا . تم الاطلاع عليه بتاريخ 29 مايو 2025 .
  44. ↑ "أسوأ الحالات" . قاموس الخوارزميات وهياكل البيانات . المعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا (NIST). المعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا (NIST) . تم الاطلاع عليه بتاريخ 29 مايو 2025 .
  45. ↑ غودريتش، مايكل ت .؛ تاماسيا، روبرتو (2002). تصميم الخوارزميات: الأسس والتحليل وأمثلة الإنترنت . جون وايلي وأولاده، رقم ISBN 978-0-471-38365-9أُرشف من الأصل في 28 أبريل 2015. تم الاطلاع عليه في 14 يونيو 2018 .
  46. ↑ "ترميز Big-O (مقالة) | الخوارزميات" . أكاديمية خان . تم الاطلاع عليه في 3 يونيو 2024 .
  47. ↑ تاوسورث 1977:101
  48. ↑ تاوسورث 1977:142
  49. ↑ كنوت 1973 القسم 1.2.1، تم توسيعه بواسطة تاوسورث 1977 في الصفحات 100 وما بعدها والفصل 9.1
  50. ↑ "الخبراء: هل يشجع نظام براءات الاختراع الابتكار؟" . صحيفة وول ستريت جورنال . 16 مايو 2013. ISSN 0099-9660 . تاريخ الاطلاع: 29 مارس 2017 . 
  51. ^ كيلير، هانز. فرشي، أولريش؛ بيسنجر ، ديفيد (2004). مشاكل الحقيبة | هانز كيلير | سبرينغر . سبرينغر. دوى : 10.1007/978-3-540-24777-7 . رقم ISBN 978-3-540-40286-2S2CID 28836720. مؤرشف من الأصل بتاريخ 18 أكتوبر 2017. تم الاطلاع عليه بتاريخ 19 سبتمبر 2017 . 
  52. ↑ غودريتش، مايكل ت.؛ تاماسيا، روبرتو (2001). "5.2 فرق تسد". تصميم الخوارزميات: الأسس والتحليل وأمثلة الإنترنت . جون وايلي وأولاده. ص 263. ISBN  9780471383659.
  53. ↑ جودريتش وتاماسيا (2001) ، ص 245، 4.7.1 التقليم والبحث.
  54. على سبيل المثال، يمكن تقريب حجم متعدد السطوح المحدب (الموصوف باستخدام أوراكل العضوية) بدقة عالية باستخدام خوارزمية عشوائية متعددة الحدود، ولكن ليس باستخدام خوارزمية حتمية: انظر: داير، مارتن؛ فريز، آلان؛ كانان، رافي (يناير 1991). " خوارزمية عشوائية متعددة الحدود لتقريب حجم الأجسام المحدبة". مجلة ACM . 38 (1): 1-17 . CiteSeerX 10.1.1.145.4600 . doi : 10.1145/102782.102783 . S2CID 13268711 .  
  55. ↑ جورج ب. دانتزيج وموكند ن. ثابا. 2003. البرمجة الخطية 2: النظرية والتوسعات . سبرينغر-فيرلاغ.
  56. ↑ "AlphaDev يكتشف خوارزميات فرز أسرع" . جوجل ديب مايند . 7 يونيو 2023. تم الاطلاع عليه في 29 أبريل 2026 .
  57. ↑ مانكويتز، دانيال جيه؛ ميشالسكي، أندريا؛ زيرنوف، أنطون؛ جيلمي، ماركو؛ سيلفي، ماركو؛ وآخرون . (يونيو 2023). "اكتشاف خوارزميات فرز أسرع باستخدام التعلم العميق المعزز". مجلة نيتشر . 618 (7964): 257-263 . doi : 10.1038/s41586-023-06004-9 . PMID 37286649 .  
  58. ↑ "ألفا إيفولف: وكيل برمجة مدعوم بتقنية جيميني لتصميم خوارزميات متقدمة" . جوجل ديب مايند . ١٤ مايو ٢٠٢٥. تم الاطلاع عليه في ٢٩ أبريل ٢٠٢٦ .
  59. ^ نوفيكوف، الكسندر. فو، نجان؛ أيزنبرجر، مارفن؛ دوبونت، إميليان؛ هوانغ، بو سين؛ وآخرون . (2025). “AlphaEvolve: عامل ترميز للاكتشاف العلمي والخوارزمي”. أرخايف : 2506.13131 [ cs.AI ]. 

فهرس

  • أكس، ب. (1959). "حول التسلسل الهرمي شبه التكراري ودرجات التكرار الأولية" . معاملات الجمعية الرياضية الأمريكية . 92 (1): 85-105 . doi : 10.2307/1993169 . JSTOR 1993169 . 
  • بيل، سي. جوردون ونيويل، ألين (1971)، هياكل الحاسوب: قراءات وأمثلة ، شركة ماكجرو هيل للنشر، نيويورك. ISBN 0-07-004357-4.
  • بلاس ، أندرياس ؛ غوريفيتش، يوري (2003). "الخوارزميات: بحث عن تعريفات مطلقة" (ملف PDF) . نشرة الرابطة الأوروبية لعلوم الحاسوب النظرية . 81. مؤرشف (ملف PDF) من الأصل في 9 أكتوبر 2022.يتضمن الكتاب قائمة مراجع تضم 56 مرجعاً.
  • بولتر، ديفيد ج. (1984). إنسان تورينج: الثقافة الغربية في عصر الحاسوب (طبعة 1984  ). تشابل هيل، كارولاينا الشمالية: مطبعة جامعة كارولاينا الشمالية. ISBN 978-0-8078-1564-9.، ISBN 0-8078-4108-0
  • بولوس، جورج ؛ جيفري، ريتشارد (1999) [1974]. الحوسبة والمنطق (  الطبعة الرابعة). مطبعة جامعة كامبريدج، لندن. ISBN 978-0-521-20402-6.انظر الفصل 3 آلات تورينج حيث يناقشون "مجموعات معينة قابلة للعد غير قابلة للعد بشكل فعال (ميكانيكيًا)".
  • بورغين، مارك (2004). الخوارزميات فائقة التكرار . سبرينغر. ISBN 978-0-387-95569-8.
  • كامبانيولو، إم إل، ومور، سي ، وكوستا، جيه إف (2000). توصيف تناظري للدوال شبه المتكررة. في وقائع المؤتمر الرابع حول الأعداد الحقيقية والحواسيب ، جامعة أودنسه، ص  91-109 .
  • تشرش، ألونسو (1936). "مسألة غير قابلة للحل في نظرية الأعداد الأولية" . المجلة الأمريكية للرياضيات . 58 (2): 345-363 . doi : 10.2307/2371045 . JSTOR 2371045 . أُعيد طبعه في كتاب "غير القابل للحسم " ، صفحة  89 وما بعدها. وهو أول تعبير عن "أطروحة تشيرش". انظر تحديدًا الصفحة 100 (من كتاب " غير القابل للحسم ") حيث يُعرّف مفهوم "الحساب الفعال" من حيث "الخوارزمية"، ويستخدم كلمة "ينتهي"، إلخ.
  • تشرش، ألونسو (1936). " ملاحظة حول مشكلة القرار". مجلة المنطق الرمزي . 1 (1): 40-41 . doi : 10.2307/2269326 . JSTOR 2269326. S2CID 42323521 .  تشرش، ألونسو (1936). " تصحيح لملاحظة حول مسألة القرار". مجلة المنطق الرمزي . 1 (3): 101-102 . doi : 10.2307/2269030 . JSTOR 2269030. S2CID 5557237 .  أُعيد طبعه في كتاب The Undecidable ، صفحة  110 وما بعدها. يوضح تشرش أن مشكلة Entscheidungsproblem غير قابلة للحل في حوالي 3 صفحات من النص و3 صفحات من الحواشي.
  • دافّا، علي عبد الله (1977). إسهام المسلمين في الرياضيات . لندن: كروم هيلم. ISBN 978-0-85664-464-1.
  • ديفيس، مارتن (1965). غير القابل للتقرير: أوراق أساسية حول القضايا غير القابلة للتقرير، والمسائل غير القابلة للحل، والدوال القابلة للحساب . نيويورك: دار رافين للنشر. ISBN 978-0-486-43228-1.يقدم ديفيس تعليقاً قبل كل مقال. تتضمن هذه المجموعة أوراقاً بحثية لكل من غودل ، وألونزو تشيرش ، وتورينج ، وروسر ، وكلين ، وإميل بوست ؛ أما تلك المذكورة في المقال فهي مدرجة هنا حسب اسم المؤلف.
  • ديفيس، مارتن (2000). محركات المنطق: علماء الرياضيات وأصل الحاسوب . نيويورك: دبليو دبليو نورتون. ISBN 978-0-393-32229-3.يقدم ديفيس سيرًا موجزة لكل من لايبنتز ، وبول ، وفريجه ، وكانتور ، وهيلبرت ، وغودل، وتورينغ، مع تصوير فون نيومان كشخصية شريرة تخطف الأضواء. كما يقدم نبذات مختصرة جدًا عن جوزيف ماري جاكارد ، وباباج ، وآدا لوفليس ، وكلود شانون ، وهوارد أيكن ، وغيرهم.
  • المجال العام تتضمن هذه المقالة موادًا متاحة للعموم من بول إي. بلاك. "خوارزمية" . قاموس الخوارزميات وهياكل البيانات . المعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا (NIST) .
  • دين، تيم (2012). "التطور والتنوع الأخلاقي" . حولية البلطيق الدولية للإدراك والمنطق والتواصل . 7. doi : 10.4148/biyclc.v7i0.1775 .
  • دينيت، دانيال (1995). فكرة داروين الخطيرة . نيويورك: تاتشستون/سايمون وشوستر. الصفحات 32-36 . ISBN  978-0-684-80290-9.
  • ديلسون، جيسي (2007). العداد ((1968، 1994)  طبعة). مطبعة سانت مارتن، نيويورك. رقم ISBN 978-0-312-10409-2.، ISBN 0-312-10409-X
  • يوري غوريفيتش ، آلات الحالة المجردة المتسلسلة تلتقط الخوارزميات المتسلسلة ، معاملات ACM في المنطق الحسابي، المجلد 1، العدد 1 (يوليو 2000)، الصفحات  77-111. يتضمن قائمة مراجع تضم 33 مصدراً.
  • فان هيجينورت، جان (2001). من فريجه إلى غودل، كتاب مرجعي في المنطق الرياضي، 1879-1931 (طبعة 1967)  . مطبعة جامعة هارفارد، كامبريدج. ISBN 978-0-674-32449-7.الطبعة الثالثة 1976[؟]، رقم ISBN 0-674-32449-8(غلاف ورقي)
  • هودجز، أندرو (1983). آلان تورينج: اللغز . نيويورك: سيمون وشوستر . ISBN 978-0-671-49207-6.، ISBN 0-671-49207-1انظر الفصل "روح الحقيقة" للاطلاع على تاريخ يؤدي إلى برهانه ومناقشته.
  • كلين، ستيفن سي. (1936). "الدوال التكرارية العامة للأعداد الطبيعية" . حوليات الرياضيات . 112 (5): 727-742 . doi : 10.1007/BF01565439 . S2CID 120517999. مؤرشف من الأصل في 3 سبتمبر 2014. تم الاطلاع عليه في 30 سبتمبر 2013 . قُدِّمَت إلى الجمعية الرياضية الأمريكية، سبتمبر 1935. أُعيد طبعها في كتاب The Undecidable ، ص  237 وما بعدها. استخدم تشيرش تعريف كلين لـ "الاستدعاء الذاتي العام" (المعروف الآن باسم الاستدعاء الذاتي mu) في ورقته البحثية لعام 1935 بعنوان An Unsolvable Problem of Elementary Number The Proper that prove the "decision problem" to the "undecidable" (أي، نتيجة سلبية).
  • كلين، ستيفن سي. (1943). "المسندات والمكممات الاسترجاعية" . معاملات الجمعية الرياضية الأمريكية . 53 (1): 41-73 . doi : 10.2307/1990131 . JSTOR 1990131 .  Reprinted in The Undecidable, p. 255ff. Kleene refined his definition of "general recursion" and proceeded in his chapter "12. Algorithmic theories" to posit "Thesis I" (p. 274); he would later repeat this thesis (in Kleene 1952:300) and name it "Church's Thesis"(Kleene 1952:317) (i.e., the Church thesis).
  • Kleene, Stephen C. (1991) [1952]. Introduction to Metamathematics (Tenth ed.). North-Holland Publishing Company. ISBN 978-0-7204-2103-3.
  • Knuth, Donald (1997). Fundamental Algorithms, Third Edition. Reading, Massachusetts: Addison–Wesley. ISBN 978-0-201-89683-1.
  • Knuth, Donald (1969). Volume 2/Seminumerical Algorithms, The Art of Computer Programming First Edition. Reading, Massachusetts: Addison–Wesley.
  • Kosovsky, N.K. Elements of Mathematical Logic and its Application to the theory of Subrecursive Algorithms, LSU Publ., Leningrad, 1981
  • Kowalski, Robert (1979). "Algorithm=Logic+Control". Communications of the ACM. 22 (7): 424–436. doi:10.1145/359131.359136. S2CID 2509896.
  • A.A. Markov (1954) Theory of algorithms. [Translated by Jacques J. Schorr-Kon and PST staff] Imprint Moscow, Academy of Sciences of the USSR, 1954 [i.e., Jerusalem, Israel Program for Scientific Translations, 1961; available from the Office of Technical Services, U.S. Dept. of Commerce, Washington] Description 444 p. 28 cm. Added t.p. in Russian Translation of Works of the Mathematical Institute, Academy of Sciences of the USSR, v. 42. Original title: Teoriya algerifmov. [QA248.M2943 Dartmouth College library. U.S. Dept. of Commerce, Office of Technical Services, number OTS 60-51085.]
  • Minsky, Marvin (1967). Computation: Finite and Infinite Machines (First ed.). Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ. ISBN 978-0-13-165449-5. Minsky expands his "...idea of an algorithm – an effective procedure..." in chapter 5.1 Computability, Effective Procedures and Algorithms. Infinite machines.
  • Post, Emil (1936). "Finite Combinatory Processes, Formulation I". The Journal of Symbolic Logic. 1 (3): 103–105. doi:10.2307/2269031. JSTOR 2269031. S2CID 40284503.أُعيد نشرها في كتاب "غير القابل للحسم" ، الصفحات  289 وما بعدها. يُعرّف بوست عمليةً بسيطةً أشبه بالخوارزمية، حيث يقوم رجلٌ بكتابة علامات أو مسحها، وينتقل من مربعٍ إلى آخر، ويتوقف في النهاية، مُتبعًا قائمةً من التعليمات البسيطة. وقد استشهد كلين بهذا كأحد مصادر "أطروحته الأولى"، أو ما يُعرف بأطروحة تشيرش-تورينغ .
  • روغرز، هارتلي الابن (1987). نظرية الدوال التكرارية والحوسبة الفعالة . مطبعة معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا. ISBN 978-0-262-68052-3.
  • روسر، ج. ب. (1939). "عرض غير رسمي لبراهين نظرية غودل ونظرية تشرش". مجلة المنطق الرمزي . 4 (2): 53-60 . doi : 10.2307/2269059 . JSTOR 2269059. S2CID 39499392 .  أُعيد طبعه في كتاب "غير القابل للحسم " ، صفحة  223 وما بعدها. وفيما يلي تعريف روسر الشهير لـ "الطريقة الفعالة": "...طريقة تكون كل خطوة من خطواتها محددة مسبقًا بدقة، ومن المؤكد أنها ستنتج الإجابة في عدد محدود من الخطوات... آلة ستحل أي مشكلة من المجموعة دون أي تدخل بشري سوى إدخال السؤال وقراءة الإجابة (لاحقًا)" (صفحة  225-226، كتاب "غير القابل للحسم ").
  • سانتوس-لانغ، كريستوفر (2015). "مناهج علم البيئة الأخلاقية لأخلاقيات الآلة" (ملف PDF) . في: فان ريزويك، سيمون؛ بونتير، ماتيس (محرران). أخلاقيات الآلة الطبية . الأنظمة الذكية، والتحكم، والأتمتة: العلوم والهندسة. المجلد  74. سويسرا: سبرينغر. الصفحات 111-127 . doi : 10.1007/978-3-319-08108-3_8 . ISBN  978-3-319-08107-6تمت أرشفة الملف (PDF) من النسخة الأصلية في 9 أكتوبر 2022.
  • سكوت، مايكل ل. (2009). براغماتية لغات البرمجة (  الطبعة الثالثة). دار مورغان كوفمان للنشر/إلسيفير. رقم ISBN 978-0-12-374514-9.
  • سيبسر، مايكل (2006). مقدمة في نظرية الحوسبة . شركة بي دبليو إس للنشر. رقم ISBN 978-0-534-94728-6.
  • سوبر، إليوت؛ ويلسون، ديفيد سلون (1998). للآخرين: تطور وعلم نفس السلوك غير الأناني . كامبريدج: مطبعة جامعة هارفارد. ISBN 9780674930469.
  • ستون، هارولد س. (1971). مقدمة في تنظيم الحاسوب وهياكل البيانات . ماكجرو هيل، نيويورك. ISBN 9780070617261.انظر على وجه الخصوص الفصل الأول بعنوان: الخوارزميات، وآلات تورينج، والبرامج . تعريفه الموجز غير الرسمي: "... أي سلسلة من التعليمات التي يمكن أن يتبعها الروبوت تسمى خوارزمية " (ص  4).
  • تاوسورث، روبرت سي (1977). التطوير المعياري لبرمجيات الحاسوب، الجزء الأول: الأساليب . إنجلوود كليفس، نيوجيرسي: برنتيس هول، إنك. ISBN 978-0-13-842195-3.
  • تورينج، آلان م. (1936-1937). "حول الأعداد القابلة للحساب، مع تطبيق على مسألة القرار". وقائع الجمعية الرياضية بلندن . السلسلة 2. 42 : 230-265 . doi : 10.1112/plms/s2-42.1.230 . S2CID 73712 . . تصحيحات، المرجع نفسه، المجلد 43 (1937)، الصفحات  544-546. أعيد طبعه في كتاب "غير القابل للحسم" ، الصفحة  116 وما بعدها. ورقة تورينج الشهيرة التي أنجزها كرسالة ماجستير أثناء دراسته في كلية كينجز، كامبريدج، المملكة المتحدة.
  • تورينج، آلان م. (1939). "أنظمة المنطق القائمة على الأعداد الترتيبية". وقائع الجمعية الرياضية بلندن . 45 : 161-228 . doi : 10.1112/plms/s2-45.1.161 . hdl : 21.11116/0000-0001-91CE-3 .أُعيد طبعه في كتاب "غير القابل للتقرير "، الصفحات  155 وما بعدها. كانت ورقة تورينج التي عرّفت "العرافة" هي أطروحته للدكتوراه أثناء وجوده في برينستون.
  • مكتب براءات الاختراع والعلامات التجارية الأمريكي (2006)، 2106.02 **>الخوارزميات الرياضية: 2100 قابلية البراءة ، دليل إجراءات فحص براءات الاختراع (MPEP). آخر مراجعة أغسطس 2006

للمزيد من القراءة

مستودعات الخوارزميات