التحليل العددي

الموسوعة الحرة

لوح طيني بابلي YBC 7289 (حوالي 1800-1600 قبل الميلاد) مع شروح. يُقارب الجذر التربيعي للعدد 2 أربعة أرقام ستينية ، أي ما يُعادل ستة أرقام عشرية تقريبًا . 1 + 24/60 + 51/60 2 + 10/60 3 = 1.41421296... [ 1 ]

التحليل العددي هو دراسة الخوارزميات لحل مسائل الرياضيات المتصلة . [ 2 ] تتضمن هذه الخوارزميات متغيرات حقيقية أو مركبة (على عكس الرياضيات المتقطعة )، وتستخدم عادةً التقريب العددي بالإضافة إلى المعالجة الرمزية .

تُستخدم التحليلات العددية في جميع مجالات الهندسة والعلوم الفيزيائية، وفي القرن الحادي والعشرين، امتد استخدامها ليشمل علوم الحياة والعلوم الاجتماعية كالاقتصاد والطب وإدارة الأعمال، وحتى الفنون. وقد أتاح التطور الحالي في القدرة الحاسوبية استخدام تحليلات عددية أكثر تعقيدًا، مما يوفر نماذج رياضية مفصلة وواقعية في العلوم والهندسة. ومن أمثلة التحليلات العددية: المعادلات التفاضلية العادية المستخدمة في علم الميكانيكا السماوية (للتنبؤ بحركة الكواكب والنجوم والمجرات)، والجبر الخطي العددي في تحليل البيانات، [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] والمعادلات التفاضلية العشوائية وسلاسل ماركوف لمحاكاة الخلايا الحية في الطب وعلم الأحياء.

قبل ظهور الحواسيب الحديثة، كانت الطرق العددية تعتمد في كثير من الأحيان على معادلات الاستيفاء اليدوي ، باستخدام بيانات من جداول مطبوعة كبيرة. ومنذ منتصف القرن العشرين، أصبحت الحواسيب تحسب الدوال المطلوبة بدلاً من ذلك، ولكن لا تزال العديد من المعادلات نفسها تُستخدم في خوارزميات البرمجيات. [ 6 ]

يعود المنظور العددي إلى أقدم الكتابات الرياضية. يقدم لوح من مجموعة ييل البابلية ( YBC 7289 ) تقريبًا عدديًا ستينيًا للجذر التربيعي للعدد 2 ، وهو طول القطر في مربع الوحدة .

يستمر التحليل العددي في هذا التقليد الطويل: فبدلاً من إعطاء إجابات رمزية دقيقة مترجمة إلى أرقام وقابلة للتطبيق فقط على القياسات الواقعية، يتم استخدام حلول تقريبية ضمن حدود خطأ محددة.

التطبيقات

يتمثل الهدف العام لمجال التحليل العددي في تصميم وتحليل التقنيات التي تقدم حلولاً تقريبية ولكن دقيقة لمجموعة واسعة من المشكلات الصعبة، والتي يستحيل حل العديد منها رمزياً:

  • تُعد الأساليب العددية المتقدمة ضرورية لجعل التنبؤ العددي بالطقس أمراً ممكناً.
  • يتطلب حساب مسار المركبة الفضائية الحل العددي الدقيق لنظام من المعادلات التفاضلية العادية.
  • بإمكان شركات السيارات تحسين سلامة مركباتها في حالات التصادم باستخدام محاكاة حاسوبية لحوادث السيارات. وتتألف هذه المحاكاة أساساً من حل المعادلات التفاضلية الجزئية عددياً.
  • في المجال المالي، تستخدم صناديق الاستثمار الخاصة وغيرها من المؤسسات المالية أدوات التمويل الكمي المستمدة من التحليل العددي لمحاولة حساب قيمة الأسهم والمشتقات بدقة أكبر من المشاركين الآخرين في السوق . [ 7 ]
  • تستخدم شركات الطيران خوارزميات تحسين متطورة لتحديد أسعار التذاكر، وتوزيع الطائرات والطاقم، واحتياجات الوقود. تاريخياً، طُوّرت هذه الخوارزميات ضمن مجال بحوث العمليات المتداخل .
  • تستخدم شركات التأمين برامج رقمية للتحليل الاكتواري .

تاريخ

يسبق مجال التحليل العددي اختراع الحواسيب الحديثة بعدة قرون. فقد كان الاستيفاء الخطي مستخدمًا منذ أكثر من ألفي عام. وانشغل العديد من علماء الرياضيات العظام في الماضي بالتحليل العددي، [ 6 ] كما يتضح من أسماء خوارزميات مهمة مثل طريقة نيوتن ، ومتعددة حدود لاغرانج للاستيفاء ، وحذف غاوس ، وطريقة أويلر . غالبًا ما تُنسب أصول التحليل العددي الحديث إلى ورقة بحثية نُشرت عام 1947 لجون فون نيومان وهيرمان غولدستاين ، [ 8 ] [ 9 ] بينما يرى آخرون أن التحليل العددي الحديث يعود إلى أعمال إي تي ويتاكر عام 1912. [ 8 ]

منشور المعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا

لتسهيل الحسابات اليدوية، طُبعت كتب ضخمة تتضمن صيغًا وجداول بيانات، مثل نقاط الاستيفاء ومعاملات الدوال. وباستخدام هذه الجداول، التي غالبًا ما تُحسب بدقة تصل إلى 16 منزلة عشرية أو أكثر لبعض الدوال، يُمكن البحث عن قيم لإدخالها في الصيغ المُعطاة والحصول على تقديرات عددية دقيقة جدًا لبعض الدوال. ويُعدّ كتاب المعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا (NIST) الذي حرّره أبراموفيتز وستيجون ، العمل المرجعي في هذا المجال، وهو كتاب يزيد عن ألف صفحة، ويضم عددًا كبيرًا جدًا من الصيغ والدوال شائعة الاستخدام وقيمها عند نقاط متعددة. لم تعد قيم الدوال مفيدة جدًا عند توفر الحاسوب، لكن قائمة الصيغ الكبيرة لا تزال مفيدة للغاية.

طُوِّرت الآلة الحاسبة الميكانيكية كأداة للحساب اليدوي. وتطورت هذه الآلات الحاسبة إلى حواسيب إلكترونية في أربعينيات القرن العشرين، حيث تبيّن حينها أن هذه الحواسيب مفيدة أيضًا للأغراض الإدارية. كما أثّر اختراع الحاسوب على مجال التحليل العددي، [ 6 ] إذ أصبح بالإمكان إجراء حسابات أطول وأكثر تعقيدًا.

تم إطلاق جائزة ليزلي فوكس للتحليل العددي في عام 1985 من قبل معهد الرياضيات وتطبيقاتها .

المفاهيم الأساسية

الأساليب المباشرة والتكرارية

تحسب الطرق المباشرة حل المسألة في عدد محدود من الخطوات. وتعطي هذه الطرق الإجابة الدقيقة لو تم تطبيقها بدقة حسابية غير محدودة . ومن أمثلتها طريقة الحذف الغاوسي ، وطريقة تحليل QR لحل أنظمة المعادلات الخطية ، وطريقة السمبلكس للبرمجة الخطية . عمليًا، تُستخدم دقة محدودة ، وتكون النتيجة تقريبًا للحل الحقيقي (بافتراض الاستقرار ).

على عكس الطرق المباشرة، لا يُتوقع أن تنتهي الطرق التكرارية في عدد محدود من الخطوات، حتى لو أمكن تحقيق دقة لا نهائية. تبدأ هذه الطرق بتخمين أولي، ثم تُشكّل تقريبات متتالية تتقارب مع الحل الدقيق فقط في النهاية. يُحدد اختبار التقارب، الذي غالبًا ما يتضمن الباقي ، لتحديد متى تم التوصل إلى حل دقيق بما فيه الكفاية (نأمل ذلك). حتى باستخدام حسابات ذات دقة لا نهائية، لن تصل هذه الطرق إلى الحل في غضون عدد محدود من الخطوات (بشكل عام). من الأمثلة على ذلك طريقة نيوتن، وطريقة التنصيف ، وتكرار جاكوبي . في جبر المصفوفات الحسابي، تُعد الطرق التكرارية ضرورية عمومًا للمسائل الكبيرة. [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ]

تُعدّ الطرق التكرارية أكثر شيوعًا من الطرق المباشرة في التحليل العددي. بعض الطرق مباشرة من حيث المبدأ، ولكنها تُستخدم عادةً كما لو لم تكن كذلك، مثل طريقة GMRES وطريقة التدرج المترافق . في هذه الطرق، يكون عدد الخطوات اللازمة للحصول على الحل الدقيق كبيرًا جدًا لدرجة أنه يتم قبول تقريب كما هو الحال في الطرق التكرارية.

كمثال على ذلك، لننظر في مشكلة حل

3 × 3 + 4 = 28

بالنسبة للكمية المجهولة x .

الطريقة المباشرة
3 × 3 + 4 = 28.
اطرح 43 × 3 = 24.
اقسم على 3× 3 =  8.
خذ الجذور التكعيبيةس =  2.

بالنسبة للطريقة التكرارية، قم بتطبيق طريقة التنصيف على f ( x ) = 3 x 3 − 24. القيم الأولية هي a = 0، b = 3، f ( a ) = − 24، f ( b ) = 57.

طريقة التكرار
أبمنتصفf (منتصف)
031.5- 13.875
1.532.2510.17...
1.52.251.875- 4.22...
1.8752.252.06252.32...

من هذا الجدول، يمكن استنتاج أن الحل يقع بين 1.875 و2.0625. قد تُرجع الخوارزمية أي رقم ضمن هذا النطاق مع هامش خطأ أقل من 0.2.

تكييف

مسألة سيئة التكييف: لنأخذ الدالة f ( x ) = 1/( x - 1)   . لاحظ أن f (1.1) = 10 و f (1.001) = 1000: أي أن تغيرًا في x أقل من 0.1 يؤدي إلى تغير في f ( x ) يقارب 1000. وبالتالي، فإن حساب f ( x ) بالقرب من x = 1 يُعد مسألة سيئة التكييف.

المسألة ذات الحالة الجيدة: على النقيض من ذلك، فإن حساب قيمة الدالة نفسها f ( x ) = 1/( x - 1)   بالقرب من x = 10 يُعد مسألة ذات حالة جيدة. على سبيل المثال، f (10) = 1/9 ≈ 0.111 و f (11) = 0.1: يؤدي تغيير طفيف في x إلى تغيير طفيف في f ( x ).

التجزئة

علاوة على ذلك، قد يتطلب الأمر أحيانًا استبدال المسائل المتصلة بمسألة منفصلة يكون حلها معروفًا بأنه يقارب حل المسألة المتصلة؛ وتُسمى هذه العملية " التقطيع ". على سبيل المثال، حل المعادلة التفاضلية هو دالة . يجب تمثيل هذه الدالة بكمية محدودة من البيانات، كقيمتها عند عدد محدود من النقاط في مجالها، حتى وإن كان هذا المجال متصلًا .

توليد الأخطاء وانتشارها

تُشكّل دراسة الأخطاء جزءًا هامًا من التحليل العددي. وهناك عدة طرق يمكن من خلالها إدخال الخطأ في حل المسألة.

التقريب

تنشأ أخطاء التقريب لأنه من المستحيل تمثيل جميع الأعداد الحقيقية بدقة على جهاز ذي ذاكرة محدودة (وهو ما تمثله جميع أجهزة الكمبيوتر الرقمية العملية ).

خطأ الاقتطاع والتقطيع

تحدث أخطاء الاقتطاع عند إنهاء طريقة تكرارية أو تقريب إجراء رياضي، حيث يختلف الحل التقريبي عن الحل الدقيق. وبالمثل، يؤدي التقطيع إلى خطأ تقطيع لأن حل المسألة المتقطعة لا يتطابق مع حل المسألة المستمرة. في المثال أعلاه لحساب حل3x3+4=28{\displaystyle 3x^{3}+4=28}بعد عشر تكرارات، يكون الجذر المحسوب حوالي 1.99. وبالتالي، فإن خطأ الاقتطاع هو حوالي 0.01.

بمجرد حدوث خطأ، ينتشر عبر العملية الحسابية. على سبيل المثال، عملية الجمع (+) على الحاسوب غير دقيقة. عملية حسابية من النوعأ+ب+ج+د+هـ{\displaystyle a+b+c+d+e}بل إنها أكثر عدم دقة.

ينشأ خطأ الاقتطاع عند تقريب إجراء رياضي. ولإجراء التكامل الدقيق لدالة، يجب إيجاد مجموع لانهائي من المناطق، ولكن عدديًا لا يمكن إيجاد سوى مجموع محدود من المناطق، ومن ثمّ تقريب الحل الدقيق. وبالمثل، لاشتقاق دالة، يقترب العنصر التفاضلي من الصفر، ولكن عدديًا لا يمكن اختيار سوى قيمة غير صفرية للعنصر التفاضلي.

الاستقرار العددي والمسائل المحددة جيدًا

يُطلق على الخوارزمية اسم "مستقرة عدديًا" إذا لم يتفاقم الخطأ، مهما كان سببه، بشكل كبير أثناء الحساب. [ 14 ] ويتحقق ذلك إذا كانت المسألة " جيدة التكييف" ، أي أن الحل يتغير بمقدار ضئيل فقط عند تغيير بيانات المسألة بمقدار ضئيل. [ 14 ] وعلى النقيض من ذلك، إذا كانت المسألة "سيئة التكييف"، فإن أي خطأ صغير في البيانات سيتفاقم ليصبح خطأً كبيرًا. [ 14 ] يمكن أن تكون كل من المسألة الأصلية والخوارزمية المستخدمة لحلها جيدة التكييف أو سيئة التكييف، وأي مزيج من الحالتين ممكن. لذا، قد تكون الخوارزمية التي تحل مسألة جيدة التكييف مستقرة عدديًا أو غير مستقرة عدديًا. ومن فنون التحليل العددي إيجاد خوارزمية مستقرة لحل مسألة رياضية محددة جيدًا.

مجالات الدراسة

يشمل مجال التحليل العددي العديد من التخصصات الفرعية. ومن أهمها ما يلي:

حساب قيم الدوال

الاستيفاء: بملاحظة أن درجة الحرارة تتراوح من 20 درجة مئوية في الساعة 1:00 إلى 14 درجة في الساعة 3:00، فإن الاستيفاء الخطي لهذه البيانات سيخلص إلى أنها كانت 17 درجة في الساعة 2:00 و 18.5 درجة في الساعة 1:30 مساءً.

الاستقراء: إذا كان الناتج المحلي الإجمالي لبلد ما ينمو بمعدل 5٪ سنوياً وكان 100 مليار في العام الماضي، فمن الممكن استقراء أنه سيكون 105 مليار هذا العام.

خط يمر بعشرين نقطة
خط يمر بعشرين نقطة

الانحدار: في الانحدار الخطي، يتم حساب خط يمر بأقرب ما يمكن إلى تلك النقاط n، مع إعطاء n نقطة .

كم سعر كوب من عصير الليمون؟
كم سعر كوب من عصير الليمون؟

التحسين: لنفترض أن عصير الليمون يُباع في كشك بسعر دولار واحد للكوب، وأنه يمكن بيع 197 كوبًا يوميًا، وأنه مقابل كل زيادة قدرها 0.01 دولار، سيقل عدد الأكواب المباعة يوميًا بمقدار كوب واحد. إذا أمكن رفع السعر إلى 1.485 دولار، فسيتم تحقيق أقصى ربح، ولكن نظرًا لشرط أن يكون السعر سنتًا صحيحًا، فإن رفع السعر إلى 1.48 دولار أو 1.49 دولار للكوب سيحقق أقصى دخل وهو 220.52 دولار يوميًا.

اتجاه الرياح باللون الأزرق، والمسار الحقيقي باللون الأسود، وطريقة أويلر باللون الأحمر
اتجاه الرياح باللون الأزرق، والمسار الحقيقي باللون الأسود، وطريقة أويلر باللون الأحمر

المعادلة التفاضلية: إذا وُضعت 100 مروحة لدفع الهواء من أحد طرفي الغرفة إلى الطرف الآخر، ثم أُسقطت ريشة في الهواء، فماذا يحدث؟ ستتبع الريشة تيارات الهواء، التي قد تكون معقدة للغاية. يتمثل أحد الحلول التقريبية في قياس سرعة هبوب الهواء بالقرب من الريشة كل ثانية، ثم تحريك الريشة كما لو كانت تتحرك في خط مستقيم بنفس السرعة لمدة ثانية واحدة، قبل قياس سرعة الرياح مرة أخرى. تُسمى هذه الطريقة طريقة أويلر لحل المعادلات التفاضلية العادية.

من أبسط المسائل حساب قيمة دالة عند نقطة معينة. والطريقة المباشرة، وهي مجرد التعويض بالعدد في الصيغة، قد لا تكون فعّالة دائمًا. بالنسبة لكثيرات الحدود، يُعد استخدام طريقة هورنر خيارًا أفضل، لأنها تُقلل عدد عمليات الضرب والجمع اللازمة. عمومًا، من المهم تقدير أخطاء التقريب الناتجة عن استخدام حسابات الفاصلة العائمة والتحكم بها .

الاستيفاء، والاستقراء، والانحدار

يحل الاستيفاء المشكلة التالية: إذا كانت لدينا قيمة دالة غير معروفة عند عدد من النقاط، فما هي قيمة تلك الدالة عند نقطة أخرى بين النقاط المعطاة؟

الاستقراء يشبه إلى حد كبير الاستيفاء، إلا أنه يجب الآن إيجاد قيمة الدالة المجهولة عند نقطة تقع خارج النقاط المعطاة. [ 15 ]

الانحدار مشابه أيضاً، لكنه يأخذ في الاعتبار عدم دقة البيانات. فبمعرفة بعض النقاط، وقياس قيمة دالة ما عند هذه النقاط (مع هامش خطأ)، يمكن إيجاد الدالة المجهولة. وتُعدّ طريقة المربعات الصغرى إحدى طرق تحقيق ذلك.

حل المعادلات وأنظمة المعادلات

تتمثل إحدى المشكلات الأساسية الأخرى في حساب حل معادلة معينة. ويُفرّق عادةً بين حالتين، اعتمادًا على ما إذا كانت المعادلة خطية أم لا. على سبيل المثال، المعادلة2x+5=3{\displaystyle 2x+5=3}خطي بينما2x2+5=3{\displaystyle 2x^{2}+5=3}ليس كذلك.

بُذلت جهودٌ كبيرة في تطوير طرقٍ لحلّ أنظمة المعادلات الخطية . تشمل الطرق المباشرة القياسية، أي الطرق التي تستخدم نوعًا من تحليل المصفوفات ، طريقة الحذف الغاوسي ، وتحليل LU ، وتحليل Cholesky للمصفوفات المتناظرة (أو الهيرميتية ) والموجبة المحددة ، وتحليل QR للمصفوفات غير المربعة. أما الطرق التكرارية، مثل طريقة جاكوبي ، وطريقة غاوس-سيدل ، وطريقة الاسترخاء المتتالي ، وطريقة التدرج المترافق [ 16 ]، فتُفضّل عادةً للأنظمة الكبيرة. ويمكن تطوير طرق تكرارية عامة باستخدام تجزئة المصفوفات .

تُستخدم خوارزميات إيجاد الجذور لحل المعادلات غير الخطية (وسُميت كذلك لأن جذر الدالة هو قيمة المتغير الذي عنده تُصبح الدالة صفرًا). إذا كانت الدالة قابلة للتفاضل وكانت مشتقتها معلومة، فإن طريقة نيوتن تُعد خيارًا شائعًا. [ 17 ] [ 18 ] والتقريب الخطي هو أسلوب آخر لحل المعادلات غير الخطية.

حل مسائل القيم الذاتية أو القيم المفردة

يمكن صياغة العديد من المشكلات المهمة باستخدام تحليل القيم الذاتية أو تحليل القيم المفردة . على سبيل المثال، تعتمد خوارزمية ضغط الصور الطيفية [ 19 ] على تحليل القيم المفردة. وتُسمى الأداة المقابلة في الإحصاء تحليل المكونات الرئيسية .

تحسين

تطلب مسائل التحسين إيجاد النقطة التي تكون عندها دالة معينة في أقصى قيمة لها (أو في أدنى قيمة لها). وغالبًا ما يتعين على هذه النقطة أيضًا أن تستوفي بعض القيود .

ينقسم مجال التحسين إلى عدة فروع، وذلك تبعاً لشكل دالة الهدف والقيود. فعلى سبيل المثال، تتعامل البرمجة الخطية مع الحالة التي تكون فيها كل من دالة الهدف والقيود خطية. ومن أشهر طرق البرمجة الخطية طريقة السمبلكس .

يمكن استخدام طريقة مضاعفات لاغرانج لتقليل مشاكل التحسين ذات القيود إلى مشاكل تحسين غير مقيدة.

تقييم التكاملات

يُطلب من التكامل العددي، الذي يُعرف أحيانًا بالتكامل العددي التربيعي ، إيجاد قيمة تكامل محدد . [ 20 ] تستخدم الطرق الشائعة إحدى صيغ نيوتن-كوتس (مثل قاعدة نقطة المنتصف أو قاعدة سيمبسون ) أو التكامل التربيعي الغاوسي . [ 21 ] تعتمد هذه الطرق على استراتيجية "فرق تسد"، حيث يُقسّم التكامل على مجموعة كبيرة نسبيًا إلى تكاملات على مجموعات أصغر. في الأبعاد الأعلى، حيث تصبح هذه الطرق مكلفة للغاية من حيث الجهد الحسابي، يمكن استخدام طرق مونت كارلو أو شبه مونت كارلو (انظر تكامل مونت كارلو [ 22 ] )، أو، في الأبعاد الكبيرة نسبيًا، طريقة الشبكات المتفرقة .

المعادلات التفاضلية

يهتم التحليل العددي أيضًا بحساب (بطريقة تقريبية) حل المعادلات التفاضلية ، سواء المعادلات التفاضلية العادية أو المعادلات التفاضلية الجزئية . [ 23 ]

تُحل المعادلات التفاضلية الجزئية بتقسيم المعادلة أولاً إلى فضاء جزئي محدود الأبعاد. [ 24 ] ويمكن القيام بذلك باستخدام طريقة العناصر المحدودة ، [ 25 ] [ 26 ] [ 27 ] أو طريقة الفروق المحدودة ، [ 28 ] أو (خاصة في الهندسة) طريقة الحجم المحدود . [ 29 ] غالبًا ما يستند التبرير النظري لهذه الطرق إلى نظريات من التحليل الوظيفي . وهذا يُختزل المسألة إلى حل معادلة جبرية.

برمجة

منذ أواخر القرن العشرين، تُنفَّذ معظم الخوارزميات بلغات برمجة متنوعة. يحتوي مستودع Netlib على مجموعات مختلفة من البرامج الروتينية للمسائل العددية، مكتوبة في الغالب بلغة فورتران ولغة سي . تشمل المنتجات التجارية التي تُنفِّذ العديد من الخوارزميات العددية مكتبتي IMSL و NAG ؛ أما مكتبة GNU العلمية فهي بديل مجاني .

على مر السنين، نشرت الجمعية الإحصائية الملكية العديد من الخوارزميات في مجلتها "الإحصاء التطبيقي " (رمز هذه الدوال "AS" موجود هنا )؛ وبالمثل، نشرت جمعية آلات الحوسبة (ACM) في مجلتها "معاملات البرمجيات الرياضية " ("TOMS" رمزها هنا ). كما نشر مركز الحرب السطحية البحرية عدة مرات مكتبة البرامج الفرعية الرياضية (رمزها هنا ).

توجد العديد من تطبيقات الحوسبة العددية الشائعة، مثل MATLAB [ 30 ] [ 31 ] [ 32 ] و TK Solver و S-PLUS و IDL [ 33 ] ، بالإضافة إلى بدائل مجانية ومفتوحة المصدر مثل FreeMat و Scilab [ 34 ] [ 35 ] وGNU Octave (المشابه لـ MATLAB) و IT++ (مكتبة C++). كما توجد لغات برمجة مثل R [ 36 ] (المشابهة لـ S-PLUS) و Julia [37 ] و Python ، مع مكتبات مثل NumPy و SciPy [ 38 ] [ 39 ] [ 40 ] و SymPy . يتباين الأداء بشكل كبير: فبينما تكون عمليات المتجهات والمصفوفات سريعة عادةً، قد تختلف سرعة الحلقات العددية بأكثر من عشرة أضعاف [ 41 ] [ 42 ] .

تستفيد العديد من أنظمة الجبر الحاسوبي، مثل Mathematica، من توفر العمليات الحسابية ذات الدقة العالية، والتي يمكن أن توفر نتائج أكثر دقة. [ 43 ] [ 44 ] [ 45 ] [ 46 ]

كذلك، يمكن استخدام أي برنامج جداول بيانات لحل مسائل بسيطة تتعلق بالتحليل العددي. على سبيل المثال، يحتوي برنامج إكسل على مئات الدوال المتاحة ، بما في ذلك دوال المصفوفات، والتي يمكن استخدامها مع أداة "الحل" المدمجة فيه .

انظر أيضاً

ملحوظات

مراجع

الاقتباسات

  1. ↑ «صورة فوتوغرافية ورسم توضيحي ووصف للوح الجذر (2) من مجموعة ييل البابلية» . مؤرشف من الأصل في 13 أغسطس 2012. تم الاطلاع عليه في 2 أكتوبر 2006 .
  2. ↑ تريفثين، لويد ن. "تعريف التحليل العددي" (ملف PDF) . نشرة معهد الرياضيات والتطبيقات .
  3. ↑ ديميل، جيمس و. (1997). الجبر الخطي العددي التطبيقي . doi : 10.1137/1.9781611971446 . ISBN 978-0-89871-389-3.
  4. ↑ سيارليت، بي جي ؛ ميارا، بي؛ توماس، جي إم (1989). مقدمة في الجبر الخطي العددي والتحسين . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-32788-6. OCLC 877155729 . 
  5. ↑ تريفثين، لويد؛ باو الثالث، ديفيد (1997). الجبر الخطي العددي . سيام. رقم ISBN 978-0-89871-361-9.
  6. 1 2 3 بريزينسكي، سي.؛ وويتاك، إل. (2012). التحليل العددي: التطورات التاريخية في القرن العشرين . إلسيفير. ISBN 978-0-444-59858-5.
  7. ↑ ستيفن بليث. "مقدمة في التمويل الكمي" . 2013. الصفحة السابعة.
  8. 1 2 واتسون، جي إيه (2010). "تاريخ وتطور التحليل العددي في اسكتلندا: منظور شخصي" (ملف PDF) . نشأة التحليل العددي . وورلد ساينتيفيك. ص 161-177 . ISBN  9789814469456.
  9. ↑ بولثيل، أدهيمار ؛ كولز، رونالد، محرران. (2010). نشأة التحليل العددي . المجلد 10. وورلد ساينتيفيك. ISBN  978-981-283-625-0.
  10. ↑ سعد، ي. (2003). الطرق التكرارية للأنظمة الخطية المتفرقة . SIAM. ISBN 978-0-89871-534-7.
  11. ↑ هاجمان، إل إيه؛ يونغ، دي إم (2012). الأساليب التكرارية التطبيقية ( الطبعة الثانية). شركة كورير. ISBN  978-0-8284-0312-2.
  12. ↑ تراوب، جيه إف (1982). الطرق التكرارية لحل المعادلات ( الطبعة الثانية). الجمعية الأمريكية للرياضيات. ISBN  978-0-8284-0312-2.
  13. ↑ غرينباوم، أ. (1997). الطرق التكرارية لحل الأنظمة الخطية . سيام. ISBN 978-0-89871-396-1.
  14. 1 2 3 هايام 2002
  15. ↑ بريزينسكي، سي.؛ زاجليا، إم آر (2013). أساليب الاستقراء: النظرية والتطبيق . إلسيفير. ISBN 978-0-08-050622-7.
  16. ↑ هيستينز، ماغنوس ر.؛ ستيفل، إدوارد (ديسمبر 1952). "طرق التدرجات المترافقة لحل الأنظمة الخطية" (ملف PDF) . مجلة البحوث التابعة للمكتب الوطني للمعايير . 49 (6): 409–. doi : 10.6028/jres.049.044 .
  17. ^ إزكيرو فرنانديز، جا؛ هيرنانديز فيرون، M.Á. (2017). طريقة نيوتن: نهج محدث لنظرية كانتوروفيتش . بيركهوسر. رقم ISBN 978-3-319-55976-6.
  18. ↑ دويفلهارد، بيتر (2006). طرق نيوتن للمسائل غير الخطية. الثبات الأفيني والخوارزميات التكيفية . الرياضيات الحاسوبية. المجلد 35 ( الطبعة الثانية). سبرينغر. ISBN   978-3-540-21099-3.
  19. ↑ أوجدن، سي جيه؛ هاف، تي. (1997). "تحليل القيم المفردة وتطبيقاته في ضغط الصور" (ملف PDF) . الرياضيات 45. كلية ريدوودز. مؤرشف من الأصل (ملف PDF) في 25 سبتمبر 2006.
  20. ↑ ديفيس، بي جيه؛ رابينوفيتز، بي. (2007). طرق التكامل العددي . شركة كورير. ISBN 978-0-486-45339-2.
  21. ↑ وايسشتاين، إريك دبليو. "التكامل العددي الغاوسي" . عالم الرياضيات .
  22. ↑ جيوك، جون (1996). "15. محاكاة مونت كارلو والتكامل العددي" . دليل الاقتصاد الحسابي . المجلد 1. إلسيفير. الصفحات 731-800 . doi : 10.1016/S1574-0021(96)01017-9 . ISBN   9780444898579.
  23. ↑ إيزرليس، أ. (2009). مدخل إلى التحليل العددي للمعادلات التفاضلية ( الطبعة الثانية). مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN  978-0-521-73490-5.
  24. ↑ أميس، دبليو إف (2014). الطرق العددية للمعادلات التفاضلية الجزئية ( الطبعة الثالثة). دار النشر الأكاديمية. رقم ISBN  978-0-08-057130-0.
  25. ↑ جونسون، سي. (2012). الحل العددي للمعادلات التفاضلية الجزئية باستخدام طريقة العناصر المحدودة . شركة كورير. ISBN 978-0-486-46900-3.
  26. ↑ برينر، س.؛ سكوت، ر. (2013). النظرية الرياضية لطرق العناصر المحدودة ( الطبعة الثانية). سبرينغر. ISBN  978-1-4757-3658-8.
  27. ↑ سترانج، جي.؛ فيكس، جي. جي. (2018) [1973]. تحليل طريقة العناصر المحدودة (الطبعة الثانية ). مطبعة ويليسلي-كامبريدج. ISBN  9780980232783. OCLC 1145780513 . 
  28. ↑ ستريكويردا، جيه سي (2004). مخططات الفروق المحدودة والمعادلات التفاضلية الجزئية ( الطبعة الثانية). سيام. رقم ISBN  978-0-89871-793-8.
  29. ↑ ليفيك، راندال (2002). طرق الحجم المحدود للمسائل الزائدية . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-1-139-43418-8.
  30. ↑ كوارتيروني، أ.؛ ساليري، ف.؛ جيرفاسيو، ب. (2014). الحوسبة العلمية باستخدام MATLAB وOctave (الطبعة الرابعة ). سبرينغر. ISBN  978-3-642-45367-0.
  31. ↑ غاندر، دبليو؛ هريبسيك، جيه، محرران. (2011). حل المشكلات في الحوسبة العلمية باستخدام مابل وماتلاب® . سبرينغر. ISBN 978-3-642-18873-2.
  32. ↑ بارنز، ب.؛ فولفورد، ج. ر. (2011). النمذجة الرياضية مع دراسات الحالة: منهج المعادلات التفاضلية باستخدام مابل وماتلاب (الطبعة الثانية ). مطبعة سي آر سي. رقم ISBN  978-1-4200-8350-7. OCLC 1058138488 . 
  33. ↑ غاملي، إل إي (2001). برمجة IDL العملية . إلسيفير. ISBN 978-0-08-051444-4.
  34. ↑ بانكس، سي.؛ شانسيلييه، جيه بي؛ ديليبيك، إف.؛ غورسات، إم.؛ نيكوخاه، آر.؛ ستير، إس. (2012). الحوسبة الهندسية والعلمية باستخدام سايلاب . سبرينغر. ISBN 978-1-4612-7204-5.
  35. ↑ ثانكي، آر إم؛ كوثاري، إيه إم (2019). معالجة الصور الرقمية باستخدام برنامج SCILAB . سبرينغر. ISBN 978-3-319-89533-8.
  36. ↑ إيهاكا، ر.؛ جنتلمان، ر. (1996). "R: لغة لتحليل البيانات والرسومات" (ملف PDF) . مجلة الإحصاءات الحاسوبية والرسومية . 5 (3): 299-314 . doi : 10.1080/10618600.1996.10474713 . S2CID 60206680 . 
  37. ↑ بيزانسون، جيف؛ إيدلمان، آلان؛ كاربينسكي، ستيفان؛ شاه، فيرال ب. (1 يناير 2017). "جوليا: منهج جديد للحوسبة العددية" . مجلة SIAM Review . 59 (1): 65-98 . arXiv : 1411.1607 . doi : 10.1137/141000671 . hdl : 1721.1/110125 . ISSN 0036-1445 . S2CID 13026838 .  
  38. ↑ جونز، إي.، أوليفانت، تي.، وبيترسون، بي. (2001). SciPy: أدوات علمية مفتوحة المصدر للغة بايثون.
  39. ↑ بريسرت، إي. (2012). SciPy وNumPy: نظرة عامة للمطورين . أورايلي. ISBN 9781306810395.
  40. ↑ بلانكو-سيلفا، إف جيه (2013). تعلم SciPy للحوسبة العددية والعلمية . Packt. ISBN 9781782161639.
  41. ↑ مقارنة سرعة حزم معالجة البيانات المختلفة. مؤرشف في 5 أكتوبر 2006 على موقع Wayback Machine.
  42. ↑ مقارنة البرامج الرياضية لتحليل البيانات. مؤرشف في 18 مايو 2016 في الأرشيف البرتغالي للويب. ستيفان شتاينهاوس، ScientificWeb.com
  43. ↑ مايدر، ر. إي. (1997). البرمجة في ماثيماتيكا ( الطبعة الثالثة). أديسون-ويسلي. رقم ISBN  9780201854497. OCLC 1311056676 . 
  44. ↑ وولفرام، ستيفن (1999). كتاب MATHEMATICA®، الإصدار 4. مطبعة جامعة كامبريدج . ISBN 978-1-57955-004-2.
  45. ↑ شو، ويليام ت.؛ تيغ، جيسون (1994). الرياضيات التطبيقية: البدء، الإنجاز . شركة أديسون-ويسلي للنشر. ISBN 978-0-201-54217-2.
  46. ↑ ماراسكو، أ.؛ رومانو، أ. (2001). الحوسبة العلمية باستخدام ماثيماتيكا: مسائل رياضية للمعادلات التفاضلية العادية . سبرينغر. ISBN 978-0-8176-4205-1.

مصادر

المجلات

النصوص الإلكترونية

مواد الدورة التدريبية عبر الإنترنت