تحليل القيم الذاتية للمصفوفة

الـ​${\displaystyle 2\times 2}$مصفوفة حقيقية

$${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}}}$$

يمكن تحويلها إلى شكل قطري على النحو التالي :${\displaystyle \mathbf {Q} ^{-1}\mathbf {A} \mathbf {Q} }$، حيث​${\displaystyle \mathbf {Q} }$⁠ هي مصفوفة غير منفردة يجب تحديدها:

$${\displaystyle \mathbf {Q} ={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2\times 2}.}$$

ثم $${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x&0\\0&y\end{bmatrix}},}$$

لبعض الأرقام الحقيقية${\displaystyle x}$و​${\displaystyle y}$⁠ .

بضرب طرفي المعادلة على اليسار في${\displaystyle \mathbf {Q} }$،​

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x&0\\0&y\end{bmatrix}}.}$$

يمكن تحليل المعادلة أعلاه إلى معادلتين آنيتين :

$${\displaystyle {\begin{cases}{\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a\\c\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}ax\\cx\end{bmatrix}}\\[1.2ex]{\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b\\d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}by\\dy\end{bmatrix}}.\end{cases}}}$$

استخراج القيم الذاتية${\displaystyle x}$و​​${\displaystyle y}$،​

$${\displaystyle {\begin{cases}{\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a\\c\end{bmatrix}}=x{\begin{bmatrix}a\\c\end{bmatrix}}\\[1.2ex]{\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b\\d\end{bmatrix}}=y{\begin{bmatrix}b\\d\end{bmatrix}}.\end{cases}}}$$

تأجير

$${\displaystyle \mathbf {a} ={\begin{bmatrix}a\\c\end{bmatrix}}\quad {\text{and}}\quad \mathbf {b} ={\begin{bmatrix}b\\d\end{bmatrix}}}$$

يعطينا نظامًا من معادلتين متجهتين:

$${\displaystyle {\begin{cases}\mathbf {A} \mathbf {a} =x\mathbf {a} \\\mathbf {A} \mathbf {b} =y\mathbf {b} .\end{cases}}}$$

يمكن تمثيل ذلك بمعادلة متجهة واحدة تتضمن حلين كقيم ذاتية:

$${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {u} =\lambda \mathbf {u} ,}$$

أين​${\displaystyle \lambda }$يمثل أيًا من القيم الذاتية ،${\displaystyle x}$أو​​${\displaystyle y}$، و​${\displaystyle \mathbf {u} }$يمثل المتجه الذاتي المقابل ،${\displaystyle \mathbf {a} }$أو​​${\displaystyle \mathbf {b} }$⁠ .

التحول​${\displaystyle \lambda \mathbf {u} }$إلى الجانب الأيسر والتحليل إلى عوامل${\displaystyle \mathbf {u} }$خارج ،

$${\displaystyle \left(\mathbf {A} -\lambda \mathbf {I} \right)\mathbf {u} =\mathbf {0} .}$$

منذ​${\displaystyle \mathbf {Q} }$بما أن ⁠ غير مفرد، فمن الضروري أن ⁠${\displaystyle \mathbf {u} }$⁠ غير صفري. لذلك،

$${\displaystyle \det(\mathbf {A} -\lambda \mathbf {I} )=0.}$$

هكذا

$${\displaystyle (1-\lambda )(3-\lambda )=0,}$$

مما يعطينا حلول القيم الذاتية للمصفوفة${\displaystyle \mathbf {A} }$كما​​${\displaystyle \lambda =1}$أو​​${\displaystyle \lambda =3}$. المصفوفة القطرية الناتجة عن تحليل القيم الذاتية لـ${\displaystyle \mathbf {A} }$وبالتالي​​${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&0\\0&3\end{smallmatrix}}\right]}$⁠ .

بإعادة الحلول إلى المعادلات الآنية المذكورة أعلاه،

$${\displaystyle {\begin{cases}{\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a\\c\end{bmatrix}}=1{\begin{bmatrix}a\\c\end{bmatrix}}\\[1.2ex]{\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b\\d\end{bmatrix}}=3{\begin{bmatrix}b\\d\end{bmatrix}}.\end{cases}}}$$

بحل المعادلات، نحصل على

$${\displaystyle a=-2c\quad {\text{and}}\quad b=0,\qquad c,d\in \mathbb {R} \setminus \{0\}.}$$

وبالتالي فإن المصفوفة${\displaystyle \mathbf {Q} }$مطلوب لتحليل القيم الذاتية لـ${\displaystyle \mathbf {A} }$هو​

$${\displaystyle \mathbf {Q} ={\begin{bmatrix}-2c&0\\c&d\end{bmatrix}},\quad {\text{where}}\quad c,d\in \mathbb {R} \setminus \{0\}.}$$

وأخيرًا، عملية تحويل ⁠ إلى شكل قطري${\displaystyle \mathbf {A} }$هو :

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}-2c&0\\c&d\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-2c&0\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&3\end{bmatrix}},\quad {\text{where}}\quad c,d\in \mathbb {R} \setminus \{0\}.}$$

في هذا المثال ،${\displaystyle \mathbf {u} _{1}}$و​​${\displaystyle \mathbf {u} _{2}}$، لا يمكن أن تكون المتجهات الذاتية المرتبطة بقيم ذاتية مختلفة متعامدة مع بعضها البعض. في الواقع:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \mathbf {u} _{1},\mathbf {u} _{2}\rangle =0&\iff -2c\!\times \!0+cd=0\\&\iff c=0\quad {\text{or}}\quad d=0\\&\iff \mathbf {u} _{1}=0\quad {\text{or}}\quad \mathbf {u} _{2}=0,\end{aligned}}}$$

مما سيجعل${\displaystyle \mathbf {Q} }$مفرد .

إذا كانت المصفوفة${\displaystyle \mathbf {A} }$يمكن تحليل المصفوفة إلى عناصرها الذاتية ، وإذا لم تكن أي من قيمها الذاتية تساوي صفرًا، فإن${\displaystyle \mathbf {A} }$المصفوفة قابلة للعكس، ومعكوسها يُعطى بالعلاقة التالية:

$${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}=\mathbf {Q} \mathbf {\Lambda } ^{-1}\mathbf {Q} ^{-1}.}$$

لو${\displaystyle \mathbf {A} }$هي مصفوفة متناظرة، لأن${\displaystyle \mathbf {Q} }$يتم تشكيلها من المتجهات الذاتية لـ${\displaystyle \mathbf {A} }$ثم​${\displaystyle \mathbf {Q} }$مضمون أن تكون مصفوفة متعامدة ؛ لذلك${\displaystyle \mathbf {Q} ^{-1}=\mathbf {Q} ^{\mathsf {T}}}$علاوة على ذلك ، لأن${\displaystyle \mathbf {\Lambda } }$هي مصفوفة قطرية ، ومن السهل حساب معكوسها:

$${\displaystyle \left[\mathbf {\Lambda } ^{-1}\right]_{ii}={\frac {1}{\lambda _{i}}}.}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} ^{2}&=\left(\mathbf {Q} \mathbf {\Lambda } \mathbf {Q} ^{-1}\right)\left(\mathbf {Q} \mathbf {\Lambda } \mathbf {Q} ^{-1}\right)=\mathbf {Q} \mathbf {\Lambda } \left(\mathbf {Q} ^{-1}\mathbf {Q} \right)\mathbf {\Lambda } \mathbf {Q} ^{-1}=\mathbf {Q} \mathbf {\Lambda } ^{2}\mathbf {Q} ^{-1}\\[1.2ex]\mathbf {A} ^{n}&=\mathbf {Q} \mathbf {\Lambda } ^{n}\mathbf {Q} ^{-1}\\[1.2ex]\exp \mathbf {A} &=\mathbf {Q} \exp(\mathbf {\Lambda } )\mathbf {Q} ^{-1}\end{aligned}}}$$ وهي أمثلة على الدوال${\displaystyle f(x)=x^{2},\;f(x)=x^{n},\;f(x)=\exp {x}}$. بالإضافة إلى،${\displaystyle \exp {\mathbf {A} }}$هي الدالة الأسية للمصفوفة .

مصفوفة مربعة ذات قيم مركبة${\displaystyle A}$هذا طبيعي ( بمعنى${\displaystyle \mathbf {A} ^{*}\mathbf {A} =\mathbf {A} \mathbf {A} ^{*}}$، حيث${\displaystyle \mathbf {A} ^{*}}$هو المنقول المرافق لـ${\displaystyle \mathbf {A} }$) إذا وفقط إذا كان من الممكن تحليله إلى${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {U} \mathbf {\Lambda } \mathbf {U} ^{*}}$، حيث${\displaystyle \mathbf {U} }$هي مصفوفة وحدوية (بمعنى ⁠${\displaystyle \mathbf {U} ^{*}=\mathbf {U} ^{-1}}$) و${\displaystyle \mathbf {\Lambda } =\mathrm {diag} (\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n})}$هي مصفوفة قطرية . ^{[ 7 ]} الأعمدة${\displaystyle \mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{n}}$ل${\displaystyle \mathbf {U} }$تشكل أساسًا متعامدًا وهي متجهات ذاتية لـ${\displaystyle \mathbf {A} }$مع القيم الذاتية المقابلة ⁠${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}}$[ ⁸ ]^​​

على سبيل المثال، ضع في اعتبارك ⁠${\displaystyle 2\times 2}$مصفوفة طبيعية​${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&2\\2&1\end{bmatrix}}}$⁠ .

القيم الذاتية هي ⁠${\displaystyle \lambda _{1}=3}$و​​${\displaystyle \lambda _{2}=-1}$⁠ .

المتجهات الذاتية المعيارية المحتملة المقابلة لهذه القيم الذاتية هي ⁠${\displaystyle \mathbf {u} _{1}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}}$و​​${\displaystyle \mathbf {u} _{2}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}-1\\1\end{bmatrix}}}$⁠ .

التحليل إلى عوامل هو${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {U} \mathbf {\Lambda } \mathbf {U} ^{*}}$، حيث

⁠${\displaystyle \mathbf {U} ={\begin{bmatrix}1/{\sqrt {2}}&-1/{\sqrt {2}}\\1/{\sqrt {2}}&1/{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}}$،​​${\displaystyle \mathbf {\Lambda } ={\begin{bmatrix}3&0\\0&-1\end{bmatrix}}}$، و​${\displaystyle \mathbf {U} ^{*}=\mathbf {U} ^{-1}={\begin{bmatrix}1/{\sqrt {2}}&1/{\sqrt {2}}\\-1/{\sqrt {2}}&1/{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}}$⁠ .

التحقق هو${\displaystyle \mathbf {U} \mathbf {\Lambda } \mathbf {U} ^{*}=}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}1/{\sqrt {2}}&-1/{\sqrt {2}}\\1/{\sqrt {2}}&1/{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}3&0\\0&-1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1/{\sqrt {2}}&1/{\sqrt {2}}\\-1/{\sqrt {2}}&1/{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}}$⁠${\displaystyle ={\begin{bmatrix}1&2\\2&1\end{bmatrix}}=\mathbf {A} }$⁠ .

يوضح هذا المثال عملية تحويل المصفوفة العادية إلى مصفوفة قطرية${\displaystyle \mathbf {A} }$من خلال إيجاد قيمها الذاتية ومتجهاتها الذاتية، وتشكيل المصفوفة الوحدوية${\displaystyle \mathbf {U} }$، المصفوفة القطرية${\displaystyle \mathbf {\Lambda } }$والتحقق من التحلل.

كحالة خاصة، لكل${\displaystyle n\times n}$المصفوفة المتناظرة الحقيقية هي مصفوفة ذات قيم ذاتية حقيقية، ويمكن اختيار المتجهات الذاتية على أنها حقيقية ومتعامدة . وبالتالي، فإن المصفوفة المتناظرة الحقيقية هي مصفوفة متناظرةحقيقية .${\displaystyle \mathbf {A} }$يمكن تحليلها إلى${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {Q} \mathbf {\Lambda } \mathbf {Q} ^{\mathsf {T}}}$، حيث​${\displaystyle \mathbf {Q} }$⁠ هي مصفوفة متعامدة أعمدتها هي المتجهات الذاتية الحقيقية والمتعامدة لـ ⁠${\displaystyle \mathbf {A} }$، و​${\displaystyle \mathbf {\Lambda } }$⁠ هي مصفوفة قطرية عناصرها هي القيم الذاتية لـ ⁠${\displaystyle \mathbf {A} }$[ ⁹ ]^​​

يمكن تحليل المصفوفات القابلة للتقطير باستخدام تحليل القيم الذاتية، بشرط أن يكون لها مجموعة كاملة من المتجهات الذاتية المستقلة خطيًا. ويمكن التعبير عنها على النحو التالي :${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {P} \mathbf {D} \mathbf {P} ^{-1}}$، حيث${\displaystyle \mathbf {P} }$هي مصفوفة أعمدتها هي المتجهات الذاتية لـ${\displaystyle \mathbf {A} }$، و${\displaystyle \mathbf {D} }$هي مصفوفة قطرية تتكون من القيم الذاتية المقابلة لـ ⁠${\displaystyle \mathbf {A} }$[ ⁸ ]^​​

المصفوفات الموجبة المحددة هي مصفوفات تكون جميع قيمها الذاتية موجبة. ويمكن تحليلها إلى:${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {L} \mathbf {L} ^{\mathsf {T}}}$باستخدام تحليل تشوليسكي ، حيث${\displaystyle \mathbf {L} }$هي مصفوفة مثلثية سفلية. ^{[ 10 ]}

المصفوفات المتعامدة تحقق${\displaystyle \mathbf {Q} \mathbf {Q} ^{\mathsf {T}}=\mathbf {I} }$(الحالة الحقيقية) والمصفوفات الوحدوية تحقق${\displaystyle \mathbf {U} \mathbf {U} ^{\dagger }=\mathbf {I} }$(حالة معقدة)، حيث${\displaystyle \mathbf {Q} ^{\mathsf {T}}}$يشير إلى منقولة${\displaystyle \mathbf {Q} }$و${\displaystyle \mathbf {U} ^{\dagger }}$يشير إلى منقولة المرافق لـ${\displaystyle \mathbf {U} }$. يقومون بتحويلها قطريًا باستخدام التحويلات الوحدوية . ^{[ 8 ]}

تحقق المصفوفات الهرميتية ⁠${\displaystyle \mathbf {H} =\mathbf {H} ^{\dagger }}$، حيث${\displaystyle \mathbf {H} ^{\dagger }}$يشير إلى منقولة المرافق لـ${\displaystyle \mathbf {H} }$. يمكن تحويلها إلى مصفوفات قطرية باستخدام المصفوفات الوحدوية أو المتعامدة. ^{[ 8 ]}

• حاصل ضرب القيم الذاتية يساوي محدد المصفوفة A :$${\displaystyle \det \left(\mathbf {A} \right)=\prod _{i=1}^{N_{\lambda }}\lambda _{i}^{n_{i}}.}$$لاحظ أن كل قيمة ذاتية مرفوعة إلى القوة n _i ، وهي تعددها الجبري .
• مجموع القيم الذاتية يساوي أثر المصفوفة A :$${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\mathbf {A} \right)=\sum _{i=1}^{N_{\lambda }}n_{i}\lambda _{i}.}$$لاحظ أن كل قيمة ذاتية مضروبة في n _i ، وهو تعددها الجبري.
• إذا كانت القيم الذاتية لـ A هي λ _i ، و A قابلة للعكس، فإن القيم الذاتية لـ A ⁻¹ هي ببساطة λ ⁻¹ _i .
• إذا كانت القيم الذاتية لـ A هي λ _i ، فإن القيم الذاتية لـ f ( A ) هي ببساطة f ( λ _i ) ، لأي دالة هولومورفية f وأي A التي تكون f ( A ) معرفة جيدًا لها.

• إذا كانت A مصفوفة هيرميتية ولها رتبة كاملة، فيمكن اختيار أساس المتجهات الذاتية بحيث تكون متعامدة فيما بينها . القيم الذاتية حقيقية.
• المتجهات الذاتية لـ A ⁻¹ هي نفسها المتجهات الذاتية لـ A.
• لا تُعرَّف المتجهات الذاتية إلا حتى ثابت ضربي. أي، إذا كان Av = λ v ، فإن c v هو أيضًا متجه ذاتي لأي عدد قياسي c ≠ 0. وعلى وجه الخصوص، فإن − v و e ^iθ v (لأي θ ) هما أيضًا متجهان ذاتيان.
• في حالة القيمة الذاتية المنحلة (القيمة الذاتية التي لها أكثر من متجه ذاتي واحد)، تتمتع المتجهات الذاتية بحرية إضافية للتحويل الخطي؛ أي أن أي تركيبة خطية (متعامدة) من المتجهات الذاتية التي تشترك في هذه القيمة الذاتية (في الفضاء الفرعي المنحل) هي في حد ذاتها متجه ذاتي (في هذا الفضاء الفرعي).

• يمكن تحليل المصفوفة A إلى قيم ذاتية إذا وفقط إذا كان عدد المتجهات الذاتية المستقلة خطيًا، N _v ، يساوي بُعد المتجه الذاتي: N _v = N .
• إذا كان حقل الأعداد القياسية مغلقًا جبريًا، وإذا لم يكن للدالة p ( λ ) جذور مكررة، أي إذا${\displaystyle N_{\lambda }=N,}$عندئذٍ يمكن تحليل المصفوفة A إلى قيم ذاتية.
• إن عبارة " يمكن تحليل A إلى قيم ذاتية" لا تعني أن A لها معكوس، حيث قد تكون بعض القيم الذاتية صفرًا، مما يجعل A غير قابلة للعكس.
• لا تعني عبارة " لـ A معكوس" إمكانية تحليل A إلى قيم ذاتية. ومن الأمثلة المضادة على ذلك:${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&1\\0&1\end{smallmatrix}}\right]}$، وهي مصفوفة معيبة قابلة للعكس .

• يمكن عكس المصفوفة A إذا وفقط إذا كانت جميع القيم الذاتية غير صفرية:$${\displaystyle \lambda _{i}\neq 0\quad \forall \,i.}$$
• إذا كان λ _i ≠ 0 و N _v = N ، فإن المعكوس يُعطى بواسطة$${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}=\mathbf {Q} \mathbf {\Lambda } ^{-1}\mathbf {Q} ^{-1}.}$$

لنفترض أننا نريد حساب القيم الذاتية لمصفوفة معينة. إذا كانت المصفوفة صغيرة، فيمكننا حسابها رمزياً باستخدام متعددة الحدود المميزة . ومع ذلك، غالباً ما يكون هذا مستحيلاً بالنسبة للمصفوفات الأكبر حجماً، وفي هذه الحالة يجب علينا استخدام طريقة عددية .

عمليًا، لا تُحسب القيم الذاتية للمصفوفات الكبيرة باستخدام متعددة الحدود المميزة. فحساب متعددة الحدود يصبح مكلفًا بحد ذاته، وقد يصعب حساب الجذور الدقيقة (الرمزية) لمتعددة حدود من الدرجة العالية والتعبير عنها: إذ تنص نظرية أبيل-روفيني على أنه لا يمكن عمومًا التعبير عن جذور متعددات الحدود من الدرجة العالية (5 أو أعلى) ببساطة باستخدام الجذور النونية . لذلك، فإن الخوارزميات العامة لإيجاد المتجهات الذاتية والقيم الذاتية هي خوارزميات تكرارية .

توجد خوارزميات عددية تكرارية لتقريب جذور كثيرات الحدود، مثل طريقة نيوتن ، ولكن من غير العملي عمومًا حساب كثيرة الحدود المميزة ثم تطبيق هذه الطرق. أحد الأسباب هو أن أخطاء التقريب الصغيرة في معاملات كثيرة الحدود المميزة قد تؤدي إلى أخطاء كبيرة في القيم الذاتية والمتجهات الذاتية: فالجذور دالة سيئة التكييف للغاية للمعاملات. ^{[ 11 ]}

تُعدّ طريقة القوة طريقة تكرارية بسيطة ودقيقة : حيث يتم اختيار متجه عشوائي v ، ثم يتم حساب سلسلة من متجهات الوحدة على النحو التالي:$${\displaystyle {\frac {\mathbf {A} \mathbf {v} }{\left\|\mathbf {A} \mathbf {v} \right\|}},{\frac {\mathbf {A} ^{2}\mathbf {v} }{\left\|\mathbf {A} ^{2}\mathbf {v} \right\|}},{\frac {\mathbf {A} ^{3}\mathbf {v} }{\left\|\mathbf {A} ^{3}\mathbf {v} \right\|}},\ldots }$$

ستتقارب هذه المتتالية دائمًا تقريبًا إلى متجه ذاتي يُطابق القيمة الذاتية ذات القيمة المطلقة الأكبر، شريطة أن يكون للمتجه v مُركّبة غير صفرية من هذا المتجه الذاتي في أساس المتجهات الذاتية (وشريطة أيضًا أن تكون هناك قيمة ذاتية واحدة فقط ذات قيمة مطلقة أكبر). تُعدّ هذه الخوارزمية البسيطة مفيدة في بعض التطبيقات العملية؛ على سبيل المثال، تستخدمها جوجل لحساب ترتيب الصفحات للمستندات في محرك بحثها. ^{[ 12 ]} كما تُشكّل طريقة القوة نقطة انطلاق للعديد من الخوارزميات الأكثر تعقيدًا. فعلى سبيل المثال، من خلال الاحتفاظ ليس فقط بالمتجه الأخير في المتتالية، بل بالنظر إلى مدى جميع المتجهات في المتتالية، يُمكن الحصول على تقريب أفضل (أسرع تقاربًا) للمتجه الذاتي، وهذه الفكرة هي أساس تكرار أرنولدي . ^{[ 11 ]} وبدلاً من ذلك، تعتمد خوارزمية QR المهمة أيضًا على تحويل دقيق لطريقة القوة. ^{[ 11 ]}

بمجرد حساب القيم الذاتية، يمكن حساب المتجهات الذاتية عن طريق حل المعادلة $${\displaystyle \left(\mathbf {A} -\lambda _{i}\mathbf {I} \right)\mathbf {v} _{i,j}=\mathbf {0} }$$ باستخدام طريقة الحذف الغاوسي أو أي طريقة أخرى لحل المعادلات المصفوفية .

مع ذلك، في طرق القيم الذاتية العملية واسعة النطاق، تُحسب المتجهات الذاتية عادةً بطرق أخرى، كناتج ثانوي لحساب القيم الذاتية. ففي تكرار القوة ، على سبيل المثال، يُحسب المتجه الذاتي قبل القيمة الذاتية (التي تُحسب عادةً باستخدام حاصل قسمة رايلي للمتجه الذاتي). ^{[ 11 ]} في خوارزمية QR للمصفوفة الهرميتية (أو أي مصفوفة طبيعية)، تُستخرج المتجهات الذاتية المتعامدة كحاصل ضرب مصفوفات Q من خطوات الخوارزمية. ^{[ 11 ]} (بالنسبة للمصفوفات الأكثر عمومية، تُنتج خوارزمية QR تحليل شور أولًا، والذي يمكن من خلاله استخراج المتجهات الذاتية باستخدام إجراء التعويض العكسي . ^{[ 13 ]} ) بالنسبة للمصفوفات الهرميتية، تُعد خوارزمية القيم الذاتية "فرق تسد" أكثر كفاءة من خوارزمية QR إذا كان المطلوب هو كل من المتجهات الذاتية والقيم الذاتية. ^{[ 11 ]}

تذكر أن التعدد الهندسي للقيمة الذاتية يمكن وصفه بأنه بُعد الفضاء الذاتي المرتبط بها، أي الفضاء الصفري لـ${\displaystyle A-\lambda I}$. يمكن أيضًا اعتبار التعدد الجبري بُعدًا: فهو بُعد الفضاء الذاتي المعمم المرتبط به (بالمعنى الأول)، وهو الفضاء الصفري للمصفوفة ⁠${\displaystyle (A-\lambda I)^{k}}$لأي شيء كبير بما فيه الكفاية${\displaystyle k}$أي أنها فضاء المتجهات الذاتية المعممة (بالمعنى الأول)، حيث المتجه الذاتي المعمم هو أي متجهيصبح في النهاية${\displaystyle 0}$إذا​​${\displaystyle A-\lambda I}$يُطبَّق عليها عدد كافٍ من المرات المتتالية. أي متجه ذاتي هو متجه ذاتي مُعمَّم، وبالتالي فإن كل فضاء ذاتي مُحتوى في الفضاء الذاتي المُعمَّم المرتبط به. وهذا يُقدِّم برهانًا بسيطًا على أن التعدد الهندسي دائمًا أقل من أو يساوي التعدد الجبري.

لا ينبغي الخلط بين هذا الاستخدام ومسألة القيم الذاتية المعممة الموضحة أدناه.

المتجه الذاتي المرافق أو المتجه الذاتي المخروطي هو متجه يُحوّل بعد التحويل إلى مضاعف عددي لمرافقه، حيث يُسمى هذا العدد بالقيمة الذاتية المرافقة أو القيمة الذاتية المخروطية للتحويل الخطي. تمثل المتجهات الذاتية المخروطية والقيم الذاتية المخروطية نفس المعلومات والمعنى الذي تمثله المتجهات الذاتية والقيم الذاتية العادية، ولكنها تظهر عند استخدام نظام إحداثيات بديل. المعادلة المقابلة هي $${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} ^{*}.}$$ على سبيل المثال، في نظرية التشتت الكهرومغناطيسي المتماسك، يُمثل التحويل الخطي A الفعل الذي يقوم به الجسم المُشتِّت، وتمثل المتجهات الذاتية حالات استقطاب الموجة الكهرومغناطيسية. في علم البصريات ، يُحدد نظام الإحداثيات من منظور الموجة، ويُعرف باسم محاذاة التشتت الأمامي (FSA)، وينتج عنه معادلة قيم ذاتية منتظمة. أما في الرادار ، فيُحدد نظام الإحداثيات من منظور الرادار، ويُعرف باسم محاذاة التشتت الخلفي (BSA)، وينتج عنه معادلة قيم ذاتية مخروطية.

مسألة القيم الذاتية المعممة (بالمعنى الثاني) هي مسألة إيجاد متجه (غير صفري) v يحقق $${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {v} =\lambda \mathbf {B} \mathbf {v} }$$ حيث A و B مصفوفتان. إذا كان v يحقق هذه المعادلة، مع قيمة λ معينة ، فإننا نسمي v المتجه الذاتي المعمم لـ A و B (بالمعنى الثاني)، ونسمي λ القيمة الذاتية المعممة لـ A و B (بالمعنى الثاني) التي تقابل المتجه الذاتي المعمم v . يجب أن تحقق القيم الممكنة لـ λ المعادلة التالية $${\displaystyle \det(\mathbf {A} -\lambda \mathbf {B} )=0.}$$

إذا أمكن إيجاد n متجهات مستقلة خطيًا { v ₁ , …, v _n } ، بحيث يكون لكل i ∈ {1, …, n } ، Av _i = λ _i Bv _i ، فإننا نُعرّف المصفوفتين P و D بحيث $${\displaystyle P={\begin{bmatrix}|&&|\\\mathbf {v} _{1}&\cdots &\mathbf {v} _{n}\\|&&|\end{bmatrix}}\equiv {\begin{bmatrix}(\mathbf {v} _{1})_{1}&\cdots &(\mathbf {v} _{n})_{1}\\\vdots &&\vdots \\(\mathbf {v} _{1})_{n}&\cdots &(\mathbf {v} _{n})_{n}\end{bmatrix}}}$$$${\displaystyle (D)_{ij}={\begin{cases}\lambda _{i},&{\text{if }}i=j\\0,&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$ ثم تتحقق المساواة التالية $${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {B} \mathbf {P} \mathbf {D} \mathbf {P} ^{-1}}$$ والدليل هو $${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {P} =\mathbf {A} {\begin{bmatrix}|&&|\\\mathbf {v} _{1}&\cdots &\mathbf {v} _{n}\\|&&|\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}|&&|\\A\mathbf {v} _{1}&\cdots &A\mathbf {v} _{n}\\|&&|\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}|&&|\\\lambda _{1}B\mathbf {v} _{1}&\cdots &\lambda _{n}B\mathbf {v} _{n}\\|&&|\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}|&&|\\B\mathbf {v} _{1}&\cdots &B\mathbf {v} _{n}\\|&&|\end{bmatrix}}\mathbf {D} =\mathbf {B} \mathbf {P} \mathbf {D} }$$

وبما أن P قابلة للعكس، فإننا نضرب المعادلة من اليمين بمعكوسها، وبذلك ننهي البرهان.

تُسمى مجموعة المصفوفات التي تأخذ الشكل A − λ B ، حيث λ عدد مركب ، بالقلم ؛ ويمكن أن يشير مصطلح قلم المصفوفات أيضًا إلى زوج المصفوفات ( A ، B ) . ^{[ 14 ]}

إذا كانت B قابلة للعكس، فيمكن كتابة المسألة الأصلية على الصورة التالية: $${\displaystyle \mathbf {B} ^{-1}\mathbf {A} \mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} }$$ وهي مسألة قيم ذاتية قياسية. مع ذلك، في معظم الحالات، يُفضّل عدم إجراء عملية القلب، بل حلّ مسألة القيم الذاتية المعممة كما هي مُوضّحة أصلاً. يكتسب هذا أهمية خاصة إذا كانت A و B مصفوفتين هيرميتيتين ، لأنه في هذه الحالة، لا تكون B ⁻¹ A هيرميتياً بشكل عام، وبالتالي تختفي خصائص مهمة للحل.

إذا كانت المصفوفتان A و B متناظرتين أو هيرميتيتين، وكانت B مصفوفة موجبة التحديد ، فإن القيم الذاتية λᵢ تكون حقيقية، والمتجهان الذاتيان _v₁ و v₂ ذوا القيم الذاتية المختلفة يكونان متعامدين _{بالنسبة} لـ B ( v₁ ^* Bv₂ = 0 ). ^{[ 15 ]} في هذه الحالة، يمكن اختيار المتجهات الذاتية بحيث تحقق المصفوفة P المعرفة أعلاه _{الشرط التالي :}$${\displaystyle \mathbf {P} ^{*}\mathbf {B} \mathbf {P} =\mathbf {I} }$$ أو $${\displaystyle \mathbf {P} \mathbf {P} ^{*}\mathbf {B} =\mathbf {I} ,}$$ ويوجد أساس من المتجهات الذاتية المعممة (إنها ليست مسألة ناقصة ). ^{[ 14 ]} تُسمى هذه الحالة أحيانًا بالقلم المحدد الهيرميتي أو القلم المحدد . ^{[ 14 ]}