متجه رباعي

المتجه الرباعي A هو متجه له مكون "زمني" وثلاثة مكونات "مكانية"، ويمكن كتابته بصيغ مكافئة مختلفة: ^{[ 4 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &=\left(A^{0},\,A^{1},\,A^{2},\,A^{3}\right)\\&=A^{0}\mathbf {E} _{0}+A^{1}\mathbf {E} _{1}+A^{2}\mathbf {E} _ {2}+A^{3}\mathbf {E} _{3}\\&=A^{0}\mathbf {E} _{0}+A^{i}\mathbf {E} _{i}\\&=A^{\alpha }\mathbf {E} _{\alpha }\end{محاذاة}}}$$ حيث A ^α هو مضاعف المكونات و E _α هو متجه الأساس ؛ لاحظ أن كلاهما ضروري لتكوين متجه ، وعندما يُرى A ^α بمفرده ، فإنه يشير بدقة إلى مكونات المتجه.

تشير المؤشرات العلوية إلى المكونات المتغايرة . هنا، يُعتمد الاصطلاح القياسي بأن تأخذ المؤشرات اللاتينية قيمًا للمكونات المكانية، بحيث يكون i = 1، 2، 3 ، بينما تأخذ المؤشرات اليونانية قيمًا لمكونات الزمان والمكان، بحيث يكون α = 0، 1، 2، 3 ، ويُستخدم هذا الاصطلاح مع اصطلاح الجمع . يُعد الفصل بين المكون الزمني والمكونات المكانية مفيدًا عند تحديد انكماشات متجه رباعي مع كميات موترية أخرى، كما هو الحال في حساب ثوابت لورنتز في الضرب القياسي (أمثلة واردة أدناه)، أو عند رفع وخفض المؤشرات .

في النسبية الخاصة، غالباً ما تكون الأساسات المكانية E ₁ و E ₂ و E ₃ والمكونات A ¹ و A ² و A ³ أساسات ومكونات ديكارتية :$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &=\left(A_{t},\,A_{x},\,A_{y},\,A_{z}\right)\\&=A_{t}\mathbf {E} _{t}+A_{x}\mathbf {E} _{x}+A_{y}\mathbf {E} _{y}+A_{z}\mathbf {E} _{z}\\\end{aligned}}}$$ مع ذلك، بالطبع، يمكن استخدام أي أساس ومكونات أخرى، مثل الإحداثيات القطبية الكروية.$$// }\mathbf {E} _{\theta}+A_{\phi}\mathbf {E} _{\phi}\\\end{محاذاة}}}$$ أو الإحداثيات القطبية الأسطوانية ، $$// _ {\theta}+A_{z}\mathbf {E} _{z}\\\end{محاذاة}}}$$ أو أي إحداثيات متعامدة أخرى ، أو حتى إحداثيات منحنية عامة . لاحظ أن رموز الإحداثيات تُكتب دائمًا كرموز فرعية وليست مؤشرات تأخذ قيمًا عددية. في النسبية العامة، يجب استخدام الإحداثيات المنحنية المحلية في أساس محلي. هندسيًا، يمكن تفسير المتجه الرباعي كسهم، ولكن في الزمكان - وليس في المكان فقط. في النسبية، تُرسَم الأسهم كجزء من مخطط مينكوفسكي (يُسمى أيضًا مخطط الزمكان ). في هذه المقالة، سيُشار إلى المتجهات الرباعية ببساطة باسم المتجهات.

ومن المعتاد أيضاً تمثيل القواعد بواسطة متجهات عمودية : $$\displaystyle \mathbf {E} _{0}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {E} _{1}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {E} _{2}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {E} _{3}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}}}$$ لهذا السبب: $${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}A^{0}\\A^{1}\\A^{2}\\A^{3}\end{pmatrix}}}$$

العلاقة بين الإحداثيات المتغيرة والمتغيرة عكسياً تتم من خلال موتر مينكوفسكي المتري (المشار إليه بالمقياس)، η الذي يرفع ويخفض المؤشرات على النحو التالي: $${\displaystyle A_{\mu }=\eta _{\mu \nu }A^{\nu }\,,}$$ وفي مختلف الرموز المكافئة، تكون المكونات المتغيرة هي: $${\displaystyle {\begin{align}\mathbf {A} &=(A_{0},\,A_{1},\,A_{2},\,A_{3})\\&=A_{0}\mathbf {E} ^{0}+A_{1}\mathbf {E} ^{1}+A_{2}\mathbf {E} ^{2}+A_{3}\mathbf {E} ^{3}\\&=A_{0}\mathbf {E} ^{0}+A_{i}\mathbf {E} ^{i}\\&=A_{\alpha }\mathbf {E} ^{\alpha }\\\end{محاذاة}}}$$ حيث يشير المؤشر المنخفض إلى أنه متغير مشترك . غالبًا ما يكون المقياس قطريًا، كما هو الحال بالنسبة للإحداثيات المتعامدة (انظر عنصر الخط )، ولكن ليس بشكل عام الإحداثيات المنحنية .

يمكن تمثيل القواعد بواسطة متجهات صفية : $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} ^{0}&={\begin{pmatrix}1&0&0&0\end{pmatrix}}\,,&\mathbf {E} ^{1}&={\begin{pmatrix}0&1&0&0\end{pmatrix}}\,,\\[1ex]\mathbf {E} ^{2}&={\begin{pmatrix}0&0&1&0\end{pmatrix}}\,,&\mathbf {E} ^{3}&={\begin{pmatrix}0&0&0&1\end{pmatrix}},\end{aligned}}}$$ لهذا السبب: $${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}A_{0}&A_{1}&A_{2}&A_{3}\end{pmatrix}}}$$

إن الدافع وراء الاتفاقيات المذكورة أعلاه هو أن الضرب القياسي هو كمية قياسية، انظر أدناه لمزيد من التفاصيل.

بالنظر إلى إطارين مرجعيين قصوريين أو مُدارين ، يتم تعريف المتجه الرباعي على أنه كمية تتحول وفقًا لمصفوفة تحويل لورنتز Λ :  $${\displaystyle \mathbf {A} '={\boldsymbol {\Lambda }}\mathbf {A} }$$

في تدوين المؤشر، تتحول المكونات المتغايرة والمتغايرة وفقًا لما يلي على التوالي: $${\displaystyle {A'}^{\mu }=\Lambda ^{\mu }{}_{\nu }A^{\nu }\,,\quad {A'}_{\mu }=\Lambda _{\mu }{}^{\nu }A_{\nu }}$$ حيث تحتوي المصفوفة Λ على مكونات Λ ^μ _ν في الصف μ والعمود ν ، والمصفوفة ( Λ ⁻¹ ) ^T تحتوي على مكونات Λ _μ ^ν في الصف μ والعمود ν .    

للحصول على معلومات أساسية حول طبيعة تعريف هذا التحويل، انظر إلى الموتر . تتحول جميع المتجهات الرباعية بنفس الطريقة، ويمكن تعميم ذلك على الموترات النسبية رباعية الأبعاد؛ انظر إلى النسبية الخاصة .

تعزيزات نقية في أي اتجاه

بالنسبة لإطارين يتحركان بسرعة نسبية ثلاثية ثابتة v (وليس سرعة رباعية، انظر أدناه )، من الملائم الإشارة إلى السرعة النسبية وتحديدها بوحدات c كما يلي: $${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}=(\beta _{1},\,\beta _{2},\,\beta _{3})={\frac {1}{c}}(v_{1},\,v_{2},\,v_{3})={\frac {1}{c}}\mathbf {v} \,.}$$

ثم بدون دوران، فإن المصفوفة Λ لها مكونات معطاة بواسطة: ^{[ 6 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\Lambda _{00}&=\gamma ,\\\Lambda _{0i}=\Lambda _{i0}&=-\gamma \beta _{i},\\\Lambda _{ij}=\Lambda _{ji}&=(\gamma -1){\frac {\beta _{i}\beta _{j}}{\beta ^{2}}}+\delta _{ij}=(\gamma -1){\frac {v_{i}v_{j}}{v^{2}}}+\delta _{ij},\\\end{aligned}}}$$ حيث يتم تعريف عامل لورنتز بواسطة:$${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\boldsymbol {\beta }}\cdot {\boldsymbol {\beta }}}}}\,,}$$ و δ _ij هي دلتا كرونكر . على عكس حالة الدورانات البحتة، فإن المكونات المكانية والزمانية تختلط معًا تحت تأثير التعزيزات.

في حالة التعزيز في الاتجاه x فقط، تختزل المصفوفة إلى؛ ^{[ 7 ] [ 8 ]}$${\displaystyle {\begin{pmatrix}A'^{0}\\A'^{1}\\A'^{2}\\A'^{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cosh \phi &-\sinh \phi &0&0\\-\sinh \phi &\cosh \phi &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A^{0}\\A^{1}\\A^{2}\\A^{3}\end{pmatrix}}}$$

حيث تم استخدام تعبير السرعة ϕ ، مكتوبًا بدلالة الدوال الزائدية : $${\displaystyle \gamma =\cosh \phi .}$$

توضح مصفوفة لورنتز هذه أن التعزيز هو دوران زائد في الزمكان رباعي الأبعاد، على غرار الدوران الدائري المذكور أعلاه في الفضاء ثلاثي الأبعاد.

في النسبية الخاصة (وليس النسبية العامة)، يكون مشتق متجه رباعي بالنسبة إلى كمية قياسية λ (ثابتة) متجهًا رباعيًا بحد ذاته. ومن المفيد أيضًا أخذ تفاضل المتجه الرباعي، dA ، وقسمته على تفاضل الكمية القياسية، dλ . $${\displaystyle {\underset {\text{differential}}{d\mathbf {A} }}={\underset {\text{derivative}}{\frac {d\mathbf {A} }{d\lambda }}}{\underset {\text{differential}}{d\lambda }}}$$ حيث تكون المكونات المتغايرة هي: $${\displaystyle d\mathbf {A} =\left(dA^{0},dA^{1},dA^{2},dA^{3}\right)}$$ بينما المكونات المتغيرة هي: $${\displaystyle d\mathbf {A} =\left(dA_{0},dA_{1},dA_{2},dA_{3}\right)}$$

في الميكانيكا النسبية، غالبًا ما يأخذ المرء تفاضل متجه رباعي ويقسمه على التفاضل في الزمن الخاص (انظر أدناه).

النقطة في فضاء مينكوفسكي هي موضع زمني ومكاني، يسمى "حدثًا"، أو أحيانًا الموضع رباعي المتجهات أو الموضع الرباعي أو الموضع 4 ، ويتم وصفها في إطار مرجعي ما بواسطة مجموعة من أربعة إحداثيات: $${\displaystyle \mathbf {R} =\left(ct,\mathbf {r} \right)}$$ حيث r هو متجه الموضع ^في الفضاء ثلاثي الأبعاد . إذا كان r دالةً للزمن الإحداثي t في الإطار المرجعي نفسه، أي r = r ( t ) ، فإن هذا يُشير إلى سلسلة من الأحداث مع تغير t . يضمن التعريف R₀ = ct أن جميع الإحداثيات لها نفس البعد ( الطول ) والوحدات. ^{[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ]} هذه الإحداثيات هي مركبات متجه الموضع الرباعي للحدث.

يُعرَّف متجه الإزاحة الرباعي بأنه "سهم" يربط بين حدثين: $${\displaystyle \Delta \mathbf {R} =\left(c\Delta t,\Delta \mathbf {r} \right)}$$

بالنسبة للموضع التفاضلي الرباعي على خط العالم، لدينا، باستخدام رمز المعيار : $${\displaystyle \|d\mathbf {R} \|^{2}=\mathbf {dR\cdot dR} =dR^{\mu }dR_{\mu }=c^{2}d\tau ^{2}=ds^{2}\,,}$$ تعريف عنصر الخط التفاضلي d s والزيادة الزمنية التفاضلية الخاصة d τ ، ولكن هذا "المعيار" هو أيضًا: $${\displaystyle \|d\mathbf {R} \|^{2}=(cdt)^{2}-d\mathbf {r} \cdot d\mathbf {r} \,,}$$ لهذا السبب: $${\displaystyle (cd\tau )^{2}=(cdt)^{2}-d\mathbf {r} \cdot d\mathbf {r} \,.}$$

عند دراسة الظواهر الفيزيائية، تنشأ المعادلات التفاضلية بشكل طبيعي؛ ومع ذلك، عند دراسة مشتقات الدوال المكانية والزمانية، يبقى غير واضح أي إطار مرجعي تُحسب هذه المشتقات بالنسبة إليه. ويُتفق على أن المشتقات الزمنية تُحسب بالنسبة إلى الزمن الخاص.${\displaystyle \tau }$بما أن الزمن الخاص ثابت، فإن هذا يضمن أن مشتقة الزمن الخاص لأي متجه رباعي هي متجه رباعي بحد ذاته. ومن المهم إذن إيجاد علاقة بين هذه المشتقة ومشتقة زمنية أخرى (باستخدام إحداثيات الزمن t لإطار مرجعي قصوري). تُعطى هذه العلاقة بأخذ فترة الزمكان الثابتة التفاضلية المذكورة أعلاه، ثم القسمة على ( cdt ) ^² للحصول على $${\displaystyle \left({\frac {cd\tau }{cdt}}\right)^{2}=1-\left({\frac {d\mathbf {r} }{cdt}}\cdot {\frac {d\mathbf {r} }{cdt}}\right)=1-{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} }{c^{2}}}={\frac {1}{\gamma (\mathbf {u} )^{2}}}\,,}$$ حيث u = d r / dt هي سرعة الجسم في الإحداثيات 3، مقاسة في نفس الإطار المرجعي للإحداثيات x و y و z ، والزمن t ، و $${\displaystyle \gamma (\mathbf {u} )={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} }{c^{2}}}}}}}$$ هو عامل لورنتز . يوفر هذا علاقة مفيدة بين التفاضلات في الزمن الإحداثي والزمن الخاص: $${\displaystyle dt=\gamma (\mathbf {u} )d\tau \,.}$$

ويمكن إيجاد هذه العلاقة أيضاً من خلال تحويل الزمن في تحويلات لورنتز .

يمكن تعريف المتجهات الرباعية المهمة في نظرية النسبية من خلال تطبيق هذا التفاضل ⁠ d / dτ ⁠ .

بما أن المشتقات الجزئية هي مؤثرات خطية ، يمكن تكوين تدرج رباعي من المشتق الزمني الجزئي ∂/ ∂t ومؤثر التدرج المكاني ∇ . باستخدام الأساس القياسي، وبالرموز المختصرة والفهرسية، تكون المكونات المتغايرة كما يلي: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\partial }}&=\left({\frac {\partial }{\partial x_{0}}},\,-{\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\,-{\frac {\partial }{\partial x_{2}}},\,-{\frac {\partial }{\partial x_{3}}}\right)\\&=(\partial ^{0},\,-\partial ^{1},\,-\partial ^{2},\,-\partial ^{3})\\&=\mathbf {E} _{0}\partial ^{0}-\mathbf {E} _{1}\partial ^{1}-\mathbf {E} _{2}\partial ^{2}-\mathbf {E} _{3}\partial ^{3}\\&=\mathbf {E} _{0}\partial ^{0}-\mathbf {E} _{i}\partial ^{i}\\&=\mathbf {E} _{\alpha }\partial ^{\alpha }\\&=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},\,-\nabla \right)\\&=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-\nabla \right)\\&=\mathbf {E} _{0}{\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}-\nabla \\\end{aligned}}}$$

لاحظ أن متجهات الأساس موضوعة أمام المركبات، لتجنب الخلط بين حساب مشتقة متجه الأساس، أو مجرد الإشارة إلى أن المشتقة الجزئية هي مركبة من هذا المتجه الرباعي. المركبات المتغيرة هي: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\partial }}&=\left({\frac {\partial }{\partial x^{0}}},\,{\frac {\partial }{\partial x^{1}}},\,{\frac {\partial }{\partial x^{2}}},\,{\frac {\partial }{\partial x^{3}}}\right)\\&=(\partial _{0},\,\partial _{1},\,\partial _{2},\,\partial _{3})\\&=\mathbf {E} ^{0}\partial _{0}+\mathbf {E} ^{1}\partial _{1}+\mathbf {E} ^{2}\partial _{2}+\mathbf {E} ^{3}\partial _{3}\\&=\mathbf {E} ^{0}\partial _{0}+\mathbf {E} ^{i}\partial _{i}\\&=\mathbf {E} ^{\alpha }\partial _{\alpha }\\&=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},\,\nabla \right)\\&=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},\nabla \right)\\&=\mathbf {E} ^{0}{\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}+\nabla \\\end{aligned}}}$$

بما أن هذا عامل، فليس له "طول"، ولكن تقييم الضرب القياسي للعامل مع نفسه يعطي عاملاً آخر: $${\displaystyle \partial ^{\mu }\partial _{\mu }={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}={\frac {{\partial _{t}}^{2}}{c^{2}}}-\nabla ^{2}}$$ يُطلق عليه اسم عامل دالمبير .

تُعرَّف السرعة الرباعية للجسيم كما يلي: $${\displaystyle \mathbf {U} ={\frac {d\mathbf {X} }{d\tau }}={\frac {d\mathbf {X} }{dt}}{\frac {dt}{d\tau }}=\gamma (\mathbf {u} )\left(c,\mathbf {u} \right),}$$

هندسياً، U هو متجه معياري مماس لخط العالم للجسيم. باستخدام تفاضل الموضع الرباعي، يمكن الحصول على مقدار السرعة الرباعية: $${\displaystyle \|\mathbf {U} \|^{2}=U^{\mu }U_{\mu }={\frac {dX^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dX_{\mu }}{d\tau }}={\frac {dX^{\mu }dX_{\mu }}{d\tau ^{2}}}=c^{2}\,,}$$

باختصار، مقدار السرعة الرباعية لأي جسم هو دائمًا ثابت: $${\displaystyle \|\mathbf {U} \|^{2}=c^{2}}$$

القاعدة هي أيضاً: $${\displaystyle \|\mathbf {U} \|^{2}={\gamma (\mathbf {u} )}^{2}\left(c^{2}-\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} \right)\,,}$$ لهذا السبب: $${\displaystyle c^{2}={\gamma (\mathbf {u} )}^{2}\left(c^{2}-\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} \right)\,,}$$ والذي يختزل إلى تعريف عامل لورنتز .

وحدات السرعة الرباعية هي متر/ثانية في النظام الدولي للوحدات، و1 في نظام الوحدات الهندسي . السرعة الرباعية هي متجه متغاير.

التسارع الرباعي يُعطى بالصيغة التالية: $${\displaystyle \mathbf {A} ={\frac {d\mathbf {U} }{d\tau }}=\gamma (\mathbf {u} )\left({\frac {d{\gamma }(\mathbf {u} )}{dt}}c,{\frac {d{\gamma }(\mathbf {u} )}{dt}}\mathbf {u} +\gamma (\mathbf {u} )\mathbf {a} \right).}$$ حيث a = d u / dt هو التسارع في الإحداثيات 3. وبما أن مقدار U ثابت، فإن التسارع في الإحداثيات 4 متعامد مع السرعة في الإحداثيات 4، أي أن حاصل الضرب القياسي لمينكوفسكي للتسارع في الإحداثيات 4 والسرعة في الإحداثيات 4 يساوي صفرًا. $${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {U} =A^{\mu }U_{\mu }={\frac {dU^{\mu }}{d\tau }}U_{\mu }={\frac {1}{2}}\,{\frac {d}{d\tau }}\left(U^{\mu }U_{\mu }\right)=0\,}$$ وهذا ينطبق على جميع خطوط العالم. المعنى الهندسي للتسارع الرباعي هو متجه انحناء خط العالم في فضاء مينكوفسكي.

بالنسبة لجسيم ضخم ذي كتلة سكون (أو كتلة ثابتة ) m ₀ ، فإن الزخم الرباعي يُعطى بالصيغة التالية: $${\displaystyle \mathbf {P} =m_{0}\mathbf {U} =m_{0}\gamma (\mathbf {u} )(c,\mathbf {u} )=\left({\frac {E}{c}},\mathbf {p} \right)}$$ حيث تكون الطاقة الكلية للجسيم المتحرك هي: $${\displaystyle E=\gamma (\mathbf {u} )m_{0}c^{2}}$$ويكون الزخم النسبي الكلي هو: $${\displaystyle \mathbf {p} =\gamma (\mathbf {u} )m_{0}\mathbf {u} }$$

بأخذ حاصل الضرب القياسي للزخم الرباعي مع نفسه: $${\displaystyle \|\mathbf {P} \|^{2}=P^{\mu }P_{\mu }=m_{0}^{2}U^{\mu }U_{\mu }=m_{0}^{2}c^{2}}$$ وأيضًا: $${\displaystyle \|\mathbf {P} \|^{2}={\frac {E^{2}}{c^{2}}}-\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} }$$ مما يؤدي إلى علاقة الطاقة بالزخم : $${\displaystyle E^{2}=c^{2}\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} +\left(m_{0}c^{2}\right)^{2}\,.}$$

تُعد هذه العلاقة الأخيرة مفيدة في الميكانيكا النسبية ، وضرورية في ميكانيكا الكم النسبية ونظرية حقل الكم النسبية ، وكلها لها تطبيقات في فيزياء الجسيمات .

يتم تعريف القوة الرباعية المؤثرة على الجسيم بشكل مماثل للقوة الثلاثية باعتبارها المشتق الزمني للزخم الثلاثي في ​​قانون نيوتن الثاني : $${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {d\mathbf {P} }{d\tau }}=\gamma (\mathbf {u} )\left({\frac {1}{c}}{\frac {dE}{dt}},{\frac {d\mathbf {p} }{dt}}\right)=\gamma (\mathbf {u} )\left({\frac {P}{c}},\mathbf {f} \right)}$$ حيث P هي القدرة المنقولة لتحريك الجسيم، و f هي القوة المؤثرة على الجسيم. بالنسبة لجسيم ذي كتلة ثابتة m₀ _، فإن هذا يكافئ ما يلي: $${\displaystyle \mathbf {F} =m_{0}\mathbf {A} =m_{0}\gamma (\mathbf {u} )\left({\frac {d{\gamma }(\mathbf {u} )}{dt}}c,\left({\frac {d{\gamma }(\mathbf {u} )}{dt}}\mathbf {u} +\gamma (\mathbf {u} )\mathbf {a} \right)\right)}$$

الثابت المشتق من القوة الرباعية هو: $${\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathbf {U} =F^{\mu }U_{\mu }=m_{0}A^{\mu }U_{\mu }=0}$$ من النتيجة المذكورة أعلاه.

إن حقل متجه تدفق الحرارة الرباعي يشبه بشكل أساسي حقل متجه تدفق الحرارة ثلاثي الأبعاد q ، في الإطار المحلي للسائل: ^{[ 13 ]}$${\displaystyle \mathbf {Q} =-k{\boldsymbol {\partial }}T=-k\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial T}{\partial t}},\nabla T\right)}$$ حيث T هي درجة الحرارة المطلقة و k هي الموصلية الحرارية .

تدفق الباريونات هو: ^{[ 14 ]}$${\displaystyle \mathbf {S} =n\mathbf {U} }$$ حيث n هي الكثافة العددية للباريونات في الإطار المرجعي المحلي لسائل الباريون (قيم موجبة للباريونات، وسالبة للباريونات المضادة )، و U هو حقل السرعة الرباعي (للسائل) كما هو مذكور أعلاه.

يتم تعريف متجه الإنتروبيا الرباعي بواسطة: ^{[ 15 ]}$${\displaystyle \mathbf {s} =s\mathbf {S} +{\frac {\mathbf {Q} }{T}}}$$ حيث s هي الإنتروبيا لكل باريون، و T هي درجة الحرارة المطلقة ، في الإطار المرجعي المحلي للسائل. ^{[ 16 ]}

يُعرَّف التيار الكهرومغناطيسي الرباعي (أو بشكل أدق كثافة التيار الرباعي) ^{[ 17 ] بواسطة}$${\displaystyle \mathbf {J} =\left(\rho c,\mathbf {j} \right)}$$ تتكون من كثافة التيار j وكثافة الشحنة ρ .

الجهد الكهرومغناطيسي الرباعي (أو بشكل أدق جهد متجه كهرومغناطيسي رباعي) المحدد بواسطة $${\displaystyle \mathbf {A} =\left({\frac {\phi }{c}},\mathbf {a} \right)}$$ تتكون من الجهد الشعاعي a والجهد القياسي ϕ .

إن الجهد الرباعي ليس محددًا بشكل فريد، لأنه يعتمد على اختيار المقياس .

في معادلة الموجة للمجال الكهرومغناطيسي:

• في الفراغ،$${\displaystyle ({\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }})\mathbf {A} =0}$$
• باستخدام مصدر تيار رباعي وباستخدام شرط مقياس لورنز${\displaystyle ({\boldsymbol {\partial }}\cdot \mathbf {A} )=0}$،$${\displaystyle ({\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }})\mathbf {A} =\mu _{0}\mathbf {J} }$$

يمكن وصف الموجة المستوية الفوتونية بأربعة ترددات ، تُعرَّف على النحو التالي: $${\displaystyle \mathbf {N} =\nu \left(1,{\hat {\mathbf {n} }}\right)}$$ حيث ν هو تردد الموجة و${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$هو متجه وحدة في اتجاه انتشار الموجة. الآن، $${\displaystyle \|\mathbf {N} \|=N^{\mu }N_{\mu }=\nu ^{2}\left(1-{\hat {\mathbf {n} }}\cdot {\hat {\mathbf {n} }}\right)=0}$$ لذا فإن التردد الرباعي للفوتون هو دائمًا متجه صفري.

الكميتان المقلوبتان للزمن t والمكان r هما التردد الزاوي ω ومتجه الموجة الزاوي k على التوالي. وهما يشكلان مركبات متجه الموجة الرباعي أو متجه الموجة الرباعي . $${\displaystyle \mathbf {K} =\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {\mathbf {k} }}\right)=\left({\frac {\omega }{c}},{\frac {\omega }{v_{p}}}{\hat {\mathbf {n} }}\right)\,.}$$

يحتوي متجه الموجة الرباعي على وحدة مشتقة متماسكة من الأمتار المتبادلة في النظام الدولي للوحدات. ^{[ 18 ]}

يمكن وصف حزمة موجية من الضوء أحادي اللون تقريبًا بما يلي:$${\displaystyle \mathbf {K} ={\frac {2\pi }{c}}\mathbf {N} ={\frac {2\pi }{c}}\nu \left(1,{\hat {\mathbf {n} }}\right)={\frac {\omega }{c}}\left(1,{\hat {\mathbf {n} }}\right)~.}$$

ثم أظهرت علاقات دي برولي أن متجه الموجة الرباعي ينطبق على موجات المادة وكذلك على موجات الضوء: $${\displaystyle \mathbf {P} =\hbar \mathbf {K} =\left({\frac {E}{c}},{\vec {p}}\right)=\hbar \left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right),}$$ الاستسلام${\displaystyle E=\hbar \omega }$و${\displaystyle {\vec {p}}=\hbar {\vec {k}}}$، حيث ħ هو ثابت بلانك مقسومًا على 2 π .

مربع المعيار هو: $${\displaystyle \|\mathbf {K} \|^{2}=K^{\mu }K_{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}}\right)^{2}-\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} \,,}$$ وبموجب علاقة دي برولي: $${\displaystyle \|\mathbf {K} \|^{2}={\frac {1}{\hbar ^{2}}}\|\mathbf {P} \|^{2}=\left({\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}\,,}$$ لدينا نظير الموجة المادية لعلاقة الطاقة بالزخم: $${\displaystyle \left({\frac {\omega }{c}}\right)^{2}-\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} =\left({\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}~.}$$

لاحظ أنه بالنسبة للجسيمات عديمة الكتلة، وفي هذه الحالة m ₀ = 0 ، لدينا: $${\displaystyle \left({\frac {\omega }{c}}\right)^{2}=\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} \,,}$$ أو ‖ k ‖ = ω / c . لاحظ أن هذا يتوافق مع الحالة المذكورة أعلاه؛ بالنسبة للفوتونات ذات متجه الموجة الثلاثي ذي القيمة المطلقة ω / c ، في اتجاه انتشار الموجة المحدد بواسطة متجه الوحدة${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}~.}$

في ميكانيكا الكم ، فإن التيار ذو الاحتمالات الأربعة أو التيار ذو الاحتمالات الأربعة مماثل للتيار الكهرومغناطيسي ذو الاحتمالات الأربعة : ^{[ 19 ]}$${\displaystyle \mathbf {J} =(\rho c,\mathbf {j} )}$$ حيث ρ هي دالة كثافة الاحتمال الموافقة للمكون الزمني، و j هو متجه تيار الاحتمال . في ميكانيكا الكم غير النسبية، يكون هذا التيار مُعرَّفًا دائمًا تعريفًا دقيقًا لأن تعبيرات الكثافة والتيار موجبة تمامًا ويمكن تفسيرها احتماليًا. أما في ميكانيكا الكم النسبية ونظرية الحقل الكمومي ، فليس من الممكن دائمًا إيجاد تيار، خاصةً عند وجود تفاعلات.

باستبدال الطاقة بمؤثر الطاقة والزخم بمؤثر الزخم في الزخم الرباعي، نحصل على مؤثر الزخم الرباعي ، المستخدم في معادلات الموجة النسبية .

يُعرَّف اللف المغزلي الرباعي للجسيم في إطار سكون الجسيم على النحو التالي: $${\displaystyle \mathbf {S} =(0,\mathbf {s} )}$$ حيث s هو متجه الدوران الزائف. في ميكانيكا الكم، لا يمكن قياس جميع مكونات هذا المتجه الثلاثة في آن واحد، بل يمكن قياس مكون واحد فقط. المكون الزمني يساوي صفرًا في إطار سكون الجسيم، ولكنه يساوي صفرًا في أي إطار آخر. يمكن إيجاد هذا المكون من خلال تحويل لورنتز مناسب.

مربع المعيار هو (سالب) مربع مقدار الدوران، ووفقًا لميكانيكا الكم لدينا $${\displaystyle \|\mathbf {S} \|^{2}=-|\mathbf {s} |^{2}=-\hbar ^{2}s(s+1)}$$

هذه القيمة قابلة للملاحظة ومكممة، حيث يمثل s العدد الكمي للدوران ( وليس مقدار متجه الدوران).

يمكن أيضًا تعريف المتجه الرباعي A باستخدام مصفوفات باولي كأساس ، مرة أخرى في العديد من الرموز المكافئة: ^{[ 20 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &=\left(A^{0},\,A^{1},\,A^{2},\,A^{3}\right)\\&=A^{0}{\boldsymbol {\sigma }}_{0}+A^{1}{\boldsymbol {\sigma }}_{1}+A^{2}{\boldsymbol {\sigma }}_{2}+A^{3}{\boldsymbol {\sigma }}_{3}\\&=A^{0}{\boldsymbol {\sigma }}_{0}+A^{i}{\boldsymbol {\sigma }}_{i}\\&=A^{\alpha }{\boldsymbol {\sigma }}_{\alpha }\\\end{aligned}}}$$ أو بشكل صريح: $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &=A^{0}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}+A^{1}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}+A^{2}{\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}+A^{3}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}A^{0}+A^{3}&A^{1}-iA^{2}\\A^{1}+iA^{2}&A^{0}-A^{3}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$$ وفي هذه الصيغة، يُمثَّل المتجه الرباعي كمصفوفة هيرميتية ( حيث لا يتغير المتجه الرباعي عند نقله أو إجراء المرافق المركب له)، بدلاً من كونه متجهًا عموديًا أو صفيًا حقيقي القيمة. ومحدد المصفوفة هو معيار المتجه الرباعي، لذا فإن المحدد ثابت. $${\displaystyle {\begin{aligned}|\mathbf {A} |&={\begin{vmatrix}A^{0}+A^{3}&A^{1}-iA^{2}\\A^{1}+iA^{2}&A^{0}-A^{3}\end{vmatrix}}\\[1ex]&=\left(A^{0}+A^{3}\right)\left(A^{0}-A^{3}\right)-\left(A^{1}-iA^{2}\right)\left(A^{1}+iA^{2}\right)\\[1ex]&=\left(A^{0}\right)^{2}-\left(A^{1}\right)^{2}-\left(A^{2}\right)^{2}-\left(A^{3}\right)^{2}\end{aligned}}}$$

تُستخدم فكرة استخدام مصفوفات باولي كمتجهات أساسية في جبر الفضاء الفيزيائي ، وهو مثال على جبر كليفورد .

في جبر الزمكان ، وهو مثال آخر على جبر كليفورد، يمكن لمصفوفات غاما أن تشكل أساسًا أيضًا . (تُسمى أيضًا مصفوفات ديراك، نظرًا لظهورها في معادلة ديراك ). توجد أكثر من طريقة للتعبير عن مصفوفات غاما، موضحة بالتفصيل في تلك المقالة الرئيسية.

تُعد صيغة فاينمان المائلة اختصارًا لمتجه رباعي A مُختزل مع مصفوفات جاما: $${\displaystyle \mathbf {A} \!\!\!\!/=A_{\alpha }\gamma ^{\alpha }=A_{0}\gamma ^{0}+A_{1}\gamma ^{1}+A_{2}\gamma ^{2}+A_{3}\gamma ^{3}}$$

يُعدّ الزخم الرباعي المُختزل مع مصفوفات غاما حالةً مهمةً في ميكانيكا الكم النسبية ونظرية حقل الكم النسبية . في معادلة ديراك ومعادلات الموجة النسبية الأخرى ، توجد حدودٌ على الشكل التالي: $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {P} \!\!\!\!/=P_{\alpha }\gamma ^{\alpha }&=P_{0}\gamma ^{0}+P_{1}\gamma ^{1}+P_{2}\gamma ^{2}+P_{3}\gamma ^{3}\\[4pt]&={\dfrac {E}{c}}\gamma ^{0}-p_{x}\gamma ^{1}-p_{y}\gamma ^{2}-p_{z}\gamma ^{3}\\\end{aligned}}}$$ تظهر، حيث يتم استبدال مكونات الطاقة E والزخم ( p _x ، p _y ، p _z ) بمؤثراتها الخاصة .