التكميم الكنسي

📅 آخر تحديث: ٢٢ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٢ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 59 صور
الموسوعة الحرة

في الفيزياء ، التكميم الكنسي هو إجراء لتكميم نظرية كلاسيكية ، مع محاولة الحفاظ على البنية الرسمية، مثل التناظرات ، للنظرية الكلاسيكية إلى أقصى حد ممكن.

تاريخيًا، لم يكن هذا هو المسار الذي سلكه فيرنر هايزنبرغ للوصول إلى ميكانيكا الكم ، لكن بول ديراك قدّمه في أطروحته للدكتوراه عام 1926، بعنوان "طريقة القياس الكلاسيكي" للتكميم، [ 1 ] وشرحه بالتفصيل في كتابه الكلاسيكي " مبادئ ميكانيكا الكم" . [ 2 ] كلمة "كانوني" مشتقة من منهج هاميلتون في الميكانيكا الكلاسيكية، حيث تُولّد ديناميكيات النظام عبر أقواس بواسون الكانونية ، وهو هيكل لا يُحفظ إلا جزئيًا في التكميم الكانوني.

استُخدمت هذه الطريقة لاحقًا من قِبل بول ديراك في سياق نظرية الحقل الكمومي ، في بناء الديناميكا الكهربائية الكمومية . وفي سياق نظرية الحقل، تُسمى أيضًا بالتكميم الثاني للحقول، على عكس التكميم الأول شبه الكلاسيكي للجسيمات المفردة.

تاريخ

عندما تم تطويرها لأول مرة، تعاملت فيزياء الكم فقط مع تكميم حركة الجسيمات، تاركة المجال الكهرومغناطيسي كلاسيكيًا ، ومن هنا جاء اسم ميكانيكا الكم . [ 3 ]

لاحقًا، تم تكميم المجال الكهرومغناطيسي أيضًا، بل وأصبحت الجسيمات نفسها ممثلة من خلال مجالات مُكمّمة، مما أدى إلى تطوير الديناميكا الكهربائية الكمومية (QED) ونظرية المجال الكمومي بشكل عام. [ 4 ] وبالتالي، اصطلاحًا، يُشار إلى الشكل الأصلي لميكانيكا الجسيمات الكمومية بالتكميم الأول ، بينما تُصاغ نظرية المجال الكمومي بلغة التكميم الثاني .

التكميم الأول

أنظمة الجسيمات المفردة

يستند الشرح التالي إلى أطروحة ديراك في ميكانيكا الكم. [ 2 ] في الميكانيكا الكلاسيكية للجسيمات، توجد متغيرات ديناميكية تُسمى الإحداثيات ( x ) والزخم ( p ). تُحدد هذه المتغيرات حالة النظام الكلاسيكي. يتكون الهيكل الكنسي (المعروف أيضًا بالهيكل التبادلي ) للميكانيكا الكلاسيكية من أقواس بواسون التي تُحيط بهذه المتغيرات، مثل { x , p } = 1. جميع تحويلات المتغيرات التي تحافظ على هذه الأقواس مسموح بها كتحويلات كنسية في الميكانيكا الكلاسيكية. الحركة نفسها هي أحد هذه التحويلات الكنسية.

على النقيض من ذلك، في ميكانيكا الكم ، فإن جميع السمات المهمة للجسيم موجودة في حالة واحدة.|ψ⟩{\displaystyle |\psi \rangle }، وتسمى حالة كمومية . يتم تمثيل الكميات القابلة للرصد بواسطة مؤثرات تعمل على فضاء هيلبرت لهذه الحالات الكمومية .

تمثل القيمة الذاتية لمؤثر يؤثر على إحدى حالاته الذاتية قيمة قياس على الجسيم المُمثَّل. على سبيل المثال، تُقرأ الطاقة بواسطة مؤثر هاميلتونيح^{\displaystyle {\hat {H}}}التصرف على مستوى الدولة|ψن⟩{\displaystyle |\psi _{n}\rangle }، مما يؤدي إلى ح^|ψن⟩=هـن|ψن⟩،{\displaystyle {\hat {H}}|\psi _{n}\rangle =E_{n}|\psi _{n}\rangle ,} حيث تمثل En الطاقة المميزة المرتبطة بهذا|ψن⟩{\displaystyle |\psi _{n}\rangle }الحالة الذاتية .

يمكن تمثيل أي حالة كمزيج خطي من حالات الطاقة الذاتية؛ على سبيل المثال، |ψ⟩=∑ن=0∞أن|ψن⟩،{\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{n=0}^{\infty}a_{n}|\psi _{n}\rangle ,}حيث أن a و n معاملات ثابتة.

كما هو الحال في الميكانيكا الكلاسيكية، يمكن تمثيل جميع المؤثرات الديناميكية بدوال تعتمد على الموضع والزخم.X^{\displaystyle {\hat {X}}}وP^{\displaystyle {\hat {P}}}على التوالي. وتُعطى الصلة بين هذا التمثيل وتمثيل دالة الموجة الأكثر شيوعًا بواسطة الحالة الذاتية لمؤثر الموضع.X^{\displaystyle {\hat {X}}}يمثل جسيمًا في الموضعx{\displaystyle x}، والذي يُشار إليه بعنصر|x⟩{\displaystyle |x\rangle }في فضاء هيلبرت، والذي يحققX^|x⟩=x|x⟩{\displaystyle {\hat {X}}|x\rangle =x|x\rangle }. ثم،ψ(x)=⟨x|ψ⟩{\displaystyle \psi (x)=\langle x|\psi \rangle }.

وبالمثل، الحالات الذاتية|ص⟩{\displaystyle |p\rangle }مؤثر الزخمP^{\displaystyle {\hat {P}}}حدد تمثيل الزخم :ψ(ص)=⟨ص|ψ⟩{\displaystyle \psi (p)=\langle p|\psi \rangle }.

العلاقة المركزية بين هذه المؤثرات هي نظير كمي لقوس بواسون المذكور أعلاه في الميكانيكا الكلاسيكية، وهي علاقة التبادل المتعارف عليها . [X^،P^]=X^P^-P^X^=أناℏ.{\displaystyle [{\hat {X}},{\hat {P}}]={\hat {X}}{\hat {P}}-{\hat {P}}{\hat {X}}=i\hbar .}

تُشفّر هذه العلاقة (وتؤدي رسميًا إلى) مبدأ عدم اليقين ، في الصورة Δ x Δ p ≥ ħ /2 . وبالتالي، يمكن اعتبار هذا التركيب الجبري بمثابة النظير الكمي للتركيب المتعارف عليه للميكانيكا الكلاسيكية.

أنظمة الجسيمات المتعددة

عند الانتقال إلى أنظمة الجسيمات المتعددة، أي الأنظمة التي تحتوي على N جسيمًا متطابقًا (جسيمات تتميز بنفس الأعداد الكمية مثل الكتلة والشحنة والدوران ) ، فمن الضروري توسيع دالة حالة الجسيم الواحدψ(ر){\displaystyle \psi (\mathbf {r} )}إلى دالة حالة الجسيمات Nψ(ر1،ر2،...،رشمال){\displaystyle \psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\dots ,\mathbf {r} _{N})}يتمثل أحد الاختلافات الجوهرية بين الميكانيكا الكلاسيكية والميكانيكا الكمية في مفهوم عدم إمكانية التمييز بين الجسيمات المتطابقة. وبالتالي، لا يوجد في الفيزياء الكمية سوى نوعين من الجسيمات، وهما ما يُعرف بالبوزونات والفيرميونات ، والتي تخضع للقواعد التالية لكل نوع من الجسيمات:

  • بالنسبة للبوزونات:ψ(ر1،...،رج،...،رك،...،رشمال)=+ψ(ر1،...،رك،...،رج،...،رشمال)،{\displaystyle \psi (\mathbf {r} _{1},\dots ,\mathbf {r} _{j},\dots ,\mathbf {r} _{k},\dots ,\mathbf {r} _{N})=+\psi (\mathbf {r} _{1},\dots ,\mathbf {r} _{k},\dots ,\mathbf {r} _{j},\dots ,\mathbf {r} _{N}),}
  • بالنسبة للفيرميونات:ψ(ر1،...،رج،...،رك،...،رشمال)=-ψ(ر1،...،رك،...،رج،...،رشمال)،{\displaystyle \psi (\mathbf {r} _{1},\dots ,\mathbf {r} _{j},\dots ,\mathbf {r} _{k},\dots ,\mathbf {r} _{N})=-\psi (\mathbf {r} _{1},\dots ,\mathbf {r} _{k},\dots ,\mathbf {r} _{j},\dots ,\mathbf {r} _{N}),}

حيث قمنا بتبديل إحداثيين(رج،رك){\displaystyle (\mathbf {r} _{j},\mathbf {r} _{k})}دالة الحالة . تُحسب دالة الموجة المعتادة باستخدام محدد سلاتر ونظرية الجسيمات المتطابقة . وباستخدام هذا الأساس، يُمكن حل مسائل متعددة الجسيمات.

المشكلات والقيود

الأقواس الكلاسيكية والكمية

يشرح كتاب ديراك [ 2 ] بالتفصيل قاعدته الشائعة المتمثلة في استبدال أقواس بواسون بالمبدلات :

{أ،ب}⟼1أناℏ[أ^،ب^] .{\displaystyle \{A,B\}\longmapsto {\tfrac {1}{i\hbar }}[{\hat {A}},{\hat {B}}]~.}

يمكن تفسير هذا الاقتراح على أنه يعني أنه ينبغي علينا البحث عن "خريطة تكميم".سؤال{\displaystyle Q}رسم دالةو{\displaystyle f}على فضاء الطور الكلاسيكي إلى مؤثرسؤالو{\displaystyle Q_{f}}على فضاء هيلبرت الكمومي بحيث سؤال{و،ز}=1أناℏ[سؤالو،سؤالز]{\displaystyle Q_{\{f,g\}}={\frac {1}{i\hbar }}[Q_{f},Q_{g}]} من المعروف الآن أنه لا توجد خريطة تكميم معقولة تحقق المتطابقة المذكورة أعلاه بدقة لجميع الدوال.و{\displaystyle f}وز{\displaystyle g}.

نظرية غرونيفولد

إحدى الصيغ الملموسة لادعاء الاستحالة المذكور أعلاه هي نظرية غرونيفولد (نسبةً إلى الفيزيائي النظري الهولندي هيلبراند ج. غرونيفولد )، والتي سنصفها لنظام ذي درجة حرية واحدة تبسيطًا للأمر. لنفترض "القواعد الأساسية" التالية للخريطةسؤال{\displaystyle Q}. أولاً،سؤال{\displaystyle Q}يجب إرسال الدالة الثابتة 1 إلى عامل الهوية. ثانيًا،سؤال{\displaystyle Q}ينبغي أن يأخذx{\displaystyle x}وص{\displaystyle p}إلى عوامل الموضع والزخم المعتادةX{\displaystyle X}وP{\displaystyle P}. ثالث،سؤال{\displaystyle Q}ينبغي أن يأخذ متعدد الحدود فيx{\displaystyle x}وص{\displaystyle p}إلى "متعدد الحدود" فيX{\displaystyle X}وP{\displaystyle P}أي، مجموعة خطية محدودة من نواتجX{\displaystyle X}وP{\displaystyle P}والتي يمكن أخذها بأي ترتيب مرغوب. في أبسط صورها، تنص نظرية غرونيفولد على أنه لا يوجد تطبيق يحقق القواعد الأساسية المذكورة أعلاه، وكذلك شرط الأقواس. سؤال{و،ز}=1أناℏ[سؤالو،سؤالز]{\displaystyle Q_{\{f,g\}}={\frac {1}{i\hbar }}[Q_{f},Q_{g}]} لجميع كثيرات الحدودو{\displaystyle f}وز{\displaystyle g}.

في الواقع، يختفي هذا التطبيق بمجرد الوصول إلى كثيرات الحدود من الدرجة الرابعة. لاحظ أن قوس بواسون لكثيرتي حدود من الدرجة الرابعة له درجة سادسة، لذا فليس من المنطقي تمامًا اشتراط أن يحترم تطبيق على كثيرات الحدود من الدرجة الرابعة شرط القوس. ومع ذلك، يمكننا اشتراط تحقق شرط القوس عندماو{\displaystyle f}وز{\displaystyle g}لها درجة ثالثة. يمكن صياغة نظرية غرونيفولد [ 5 ] على النحو التالي:

نظرية — لا توجد خريطة تكميمسؤال{\displaystyle Q}(باتباع القواعد الأساسية المذكورة أعلاه) على كثيرات الحدود من الدرجة الرابعة أو أقل والتي تحقق سؤال{و،ز}=1أناℏ[سؤالو،سؤالز]{\displaystyle Q_{\{f,g\}}={\frac {1}{i\hbar }}[Q_{f},Q_{g}]} حينماو{\displaystyle f}وز{\displaystyle g}يكون لها درجة أقل من أو تساوي ثلاثة. (لاحظ أنه في هذه الحالة،{و،ز}{\displaystyle \{f,g\}}(درجة أقل من أو تساوي أربعة.)

يمكن تلخيص البرهان على النحو التالي. [ 6 ] [ 7 ] لنفترض أننا نحاول أولاً إيجاد دالة تكميم على كثيرات الحدود من الدرجة الأقل من أو تساوي ثلاثة، بحيث تحقق شرط الأقواس عندماو{\displaystyle f}له درجة أقل من أو تساوي اثنين وز{\displaystyle g}إذا كانت درجة الدالة أقل من أو تساوي اثنين، فإنه يوجد تطبيق واحد فقط من هذا النوع، وهو تكميم فايل . ويمكن الحصول على نتيجة الاستحالة الآن بكتابة نفس متعددة الحدود من الدرجة الرابعة على شكل قوس بواسون لمتعددات حدود من الدرجة الثالثة بطريقتين مختلفتين . وبالتحديد، لدينا x2ص2=19{x3،ص3}=13{x2ص،xص2}{\displaystyle x^{2}p^{2}={\frac {1}{9}}\{x^{3},p^{3}\}={\frac {1}{3}}\{x^{2}p,xp^{2}\}} من ناحية أخرى، لقد رأينا بالفعل أنه إذا كان هناك خريطة تكميم على كثيرات الحدود من الدرجة الثالثة، فيجب أن تكون تكميم ويل؛ أي أننا حددنا بالفعل التكميم الوحيد الممكن لجميع كثيرات الحدود التكعيبية المذكورة أعلاه.

تُختتم الحجة بحساب ذلك باستخدام القوة الغاشمة 19[سؤال(x3)،سؤال(ص3)]{\displaystyle {\frac {1}{9}}[Q(x^{3}),Q(p^{3})]} لا يتطابق مع 13[سؤال(x2ص)،سؤال(xص2)].{\displaystyle {\frac {1}{3}}[Q(x^{2}p),Q(xp^{2})].} وبالتالي، لدينا شرطان متعارضان لقيمةسؤال(x2ص2){\displaystyle Q(x^{2}p^{2})}.

بديهيات التكميم

إذا كانت Q تمثل خريطة التكميم التي تعمل على الدوال f في فضاء الطور الكلاسيكي، فإن الخصائص التالية تعتبر مرغوبة عادة: [ 8 ]

  1. سؤالxψ=xψ{\displaystyle Q_{x}\psi =x\psi }وسؤالصψ=-أناℏ∂xψ  {\displaystyle Q_{p}\psi =-i\hbar \partial _{x}\psi ~~} (مؤثرات الموضع/الزخم الأساسية)
  2. و⟼سؤالو  {\displaystyle f\longmapsto Q_{f}~~} هي خريطة خطية
  3. [سؤالو،سؤالز]=أناℏسؤال{و،ز}  {\displaystyle [Q_{f},Q_{g}]=i\hbar Q_{\{f,g\}}~~} (قوس بواسون)
  4. سؤالز∘و=ز(سؤالو)  {\displaystyle Q_{g\circ f}=g(Q_{f})~~} (قاعدة فون نيومان).

مع ذلك، لا تقتصر المشكلة على تناقض هذه الخصائص الأربع فيما بينها، بل إن أي ثلاث منها تتناقض أيضًا! [ 9 ] وكما اتضح، فإن أزواج هذه الخصائص الوحيدة التي تؤدي إلى حلول متسقة ذاتيًا وغير تافهة هي 2 و3، وربما 1 و3 أو 1 و4. إن قبول الخاصيتين 1 و2، مع شرط أضعف يتمثل في أن تكون الخاصية 3 صحيحة فقط تقاربًا في حالة ħ → 0 (انظر قوس مويال )، يؤدي إلى تكميم التشوه ، ويجب توفير بعض المعلومات الخارجية، كما هو الحال في النظريات القياسية المستخدمة في معظم فروع الفيزياء. أما قبول الخصائص 1 و2 و3 مع تقييد فضاء الكميات القابلة للتكميم لاستبعاد حدود مثل الحدود التكعيبية في المثال السابق، فيُعد تكميمًا هندسيًا .

التكميم الثاني: نظرية المجال

نجحت ميكانيكا الكم في وصف الأنظمة غير النسبية ذات الأعداد الثابتة من الجسيمات، ولكن كان لا بد من إطار عمل جديد لوصف الأنظمة التي يمكن فيها خلق الجسيمات أو تدميرها، مثل المجال الكهرومغناطيسي الذي يُعتبر مجموعة من الفوتونات. وفي نهاية المطاف، تبيّن أن النسبية الخاصة تتعارض مع ميكانيكا الكم أحادية الجسيم، ولذلك تُوصف جميع الجسيمات الآن بشكل نسبي بواسطة الحقول الكمومية .

عند تطبيق إجراء التكميم الكلاسيكي على مجال، كالمجال الكهرومغناطيسي، تتحول متغيرات المجال الكلاسيكية إلى مؤثرات كمومية . وبالتالي، فإن الأنماط الطبيعية التي تشكل سعة المجال هي مذبذبات بسيطة، كل منها مُكمّم في التكميم الأول القياسي المذكور أعلاه، دون أي لبس. تُعرَّف الكمات الناتجة بجسيمات أو إثارات فردية. على سبيل المثال، تُعرَّف كمات المجال الكهرومغناطيسي بالفوتونات. على عكس التكميم الأول، فإن التكميم الثاني التقليدي واضح تمامًا، وهو في الواقع دالة ، لأن مجموعة مكونات مذبذباته مُكمَّمة بشكل لا لبس فيه.

تاريخيًا، أدى تكميم النظرية الكلاسيكية لجسيم منفرد إلى ظهور دالة موجية. عادةً ما تكون معادلات الحركة الكلاسيكية للحقل متطابقة في شكلها مع المعادلات (الكمومية) للدالة الموجية لأحد كمات هذا الحقل . على سبيل المثال، تُعد معادلة كلاين-غوردون معادلة الحركة الكلاسيكية لحقل قياسي حر، وهي أيضًا المعادلة الكمومية للدالة الموجية لجسيم قياسي. هذا يعني أن تكميم الحقل بدا مشابهًا لتكميم نظرية مُكمّمة بالفعل، مما أدى إلى ظهور مصطلح " التكميم الثاني" في الأدبيات المبكرة، والذي لا يزال يُستخدم لوصف تكميم الحقل، على الرغم من اختلاف التفسير الحديث المُفصّل.

من عيوب التكميم الكنسي للحقل النسبي أنه بالاعتماد على الهاميلتوني لتحديد التغير الزمني، يختفي الثبات النسبي . لذا، من الضروري التحقق من عدم فقدان هذا الثبات . في المقابل، يتوفر نهج تكامل فاينمان لتكميم الحقول النسبية، وهو ثابت بشكل واضح. أما بالنسبة لنظريات الحقول غير النسبية، كتلك المستخدمة في فيزياء المادة المكثفة ، فلا يُمثل ثبات لورنتز مشكلة.

مشغلي الميدان

في ميكانيكا الكم، تُمثَّل متغيرات الحقل (مثل سعة الحقل عند نقطة معينة) بمؤثرات على فضاء هيلبرت . وبشكل عام، تُبنى جميع الكميات القابلة للرصد كمؤثرات على فضاء هيلبرت، ويخضع التطور الزمني لهذه المؤثرات للهاميلتوني ، الذي يجب أن يكون مؤثرًا موجبًا . حالة|0⟩{\displaystyle |0\rangle }يجب تحديد حالة الفراغ، التي تُفنى بواسطة الهاميلتوني، على أنها حالة الفراغ ، وهي الأساس لبناء جميع الحالات الأخرى. في نظرية المجال غير التفاعلي (الحر)، يُعرَّف الفراغ عادةً بأنه حالة لا تحتوي على أي جسيمات. أما في نظرية تحتوي على جسيمات متفاعلة، فإن تحديد الفراغ يكون أكثر تعقيدًا، نظرًا لاستقطاب الفراغ ، مما يعني أن الفراغ الفيزيائي في نظرية المجال الكمومي ليس فارغًا تمامًا. لمزيد من التفاصيل، انظر المقالات المتعلقة بالفراغ في ميكانيكا الكم وفراغ الديناميكا اللونية الكمومية . تعتمد تفاصيل التكميم الكنسي على المجال المراد تكميمه، وما إذا كان حرًا أم متفاعلًا.

حقل قياسي حقيقي

تُقدّم نظرية الحقل القياسي مثالًا جيدًا على إجراء التكميم المتعارف عليه. [ 10 ] كلاسيكيًا، الحقل القياسي هو مجموعة من عدد لا نهائي من الأنماط الطبيعية للمذبذب . ويكفي النظر إلى فضاء-زمن ذي بُعدين (1+1).R×S1،{\displaystyle \mathbb {R} \times S_{1},}حيث يتم ضغط الاتجاه المكاني إلى دائرة محيطها 2π ، مما يجعل الزخم منفصلاً.

تصف كثافة لاغرانج الكلاسيكية عددًا لا نهائيًا من المذبذبات التوافقية المقترنة ، والتي يُشار إليها بالرمز x، وهو الآن مجرد رمز (وليس متغير الإزاحة الديناميكي المراد تكميمه)، ويُرمز إليه بالمجال الكلاسيكي φ . ل(ϕ)=12(∂تϕ)2-12(∂xϕ)2-12م2ϕ2-V(ϕ)،{\displaystyle {\mathcal {L}}(\phi )={\tfrac {1}{2}}(\partial _{t}\phi )^{2}-{\tfrac {1}{2}}(\partial _{x}\phi )^{2}-{\tfrac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}-V(\phi ),} حيث V ( φ ) هو حد كامن، وغالبًا ما يُفترض أنه متعدد حدود أو حد أحادي من الدرجة 3 أو أعلى. دالة الفعل هي S(ϕ)=∫ل(ϕ)دxدت=∫ل(ϕ،∂تϕ)دت.{\displaystyle S(\phi )=\int {\mathcal {L}}(\phi )dxdt=\int L(\phi ,\partial _{t}\phi )dt\,.}الزخم الكنسي الذي يتم الحصول عليه عبر تحويل ليجندر باستخدام الفعل L هوπ=∂تϕ{\displaystyle \pi =\partial _{t}\phi }وقد وُجد أن الهاميلتوني الكلاسيكي هو ح(ϕ،π)=∫دx[12π2+12(∂xϕ)2+12م2ϕ2+V(ϕ)].{\displaystyle H(\phi ,\pi )=\int dx\left[{\tfrac {1}{2}}\pi ^{2}+{\tfrac {1}{2}}(\partial _{x}\phi )^{2}+{\tfrac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}+V(\phi )\right].}

تُعامل عملية التكميم الكنسي المتغيرات φ و π كمؤثرات ذات علاقات تبادل كنسية عند الزمن t = 0، معطاة بواسطة [ϕ(x)،ϕ(y)]=0،  [π(x)،π(y)]=0،  [ϕ(x)،π(y)]=أناℏدلتا(x-y).{\displaystyle [\phi (x),\phi (y)]=0,\ \ [\pi (x),\pi (y)]=0,\ \ [\phi (x),\pi (y)]=i\hbar \delta (x-y).} يمكن بعد ذلك تعريف المؤثرات المُنشأة من φ و π بشكل رسمي في أوقات أخرى عبر التطور الزمني الناتج عن الهاميلتوني، يا(ت)=هـأناتحياهـ-أناتح.{\displaystyle {\mathcal {O}}(t)=e^{itH}{\mathcal {O}}e^{-itH}.}

لكن بما أن φ و π لم يعودا يتبادلان، فإن هذا التعبير غامض على المستوى الكمومي. تكمن المشكلة في بناء تمثيل للمؤثرات ذات الصلة.يا{\displaystyle {\mathcal {O}}}في مساحة هيلبرتح{\displaystyle {\mathcal {H}}}وبناء مؤثر موجب H كمؤثر كمومي على فضاء هيلبرت هذا بطريقة تعطي هذا التطور للمؤثراتيا{\displaystyle {\mathcal {O}}}كما هو موضح في المعادلة السابقة، ولإثبات ذلكح{\displaystyle {\mathcal {H}}}يحتوي على حالة فراغ|0⟩{\displaystyle |0\rangle }حيث يكون لـ H قيمة ذاتية صفرية. عمليًا، يُعدّ هذا البناء مشكلةً معقدةً لنظريات الحقول التفاعلية، ولم يُحلّ حلاً كاملاً إلا في حالاتٍ قليلةٍ وبسيطةٍ باستخدام أساليب نظرية الحقول الكمومية البنّاءة . يمكن تجاوز العديد من هذه المشكلات باستخدام تكامل فاينمان كما هو موضح لـ V ( φ ) معين في مقالة نظرية الحقول العددية .

في حالة المجال الحر، حيث V ( φ ) = 0 ، تكون عملية التكميم بسيطة نسبيًا. ومن الملائم إجراء تحويل فورييه للمجالات، بحيث ϕك=∫ϕ(x)هـ-أناكxدx،  πك=∫π(x)هـ-أناكxدx.{\displaystyle \phi _{k}=\int \phi (x)e^{-ikx}dx,\ \ \pi _{k}=\int \pi (x)e^{-ikx}dx.} إن واقع هذه المجالات يعني أن ϕ-ك=ϕك†،   π-ك=πك†.{\displaystyle \phi _{-k}=\phi _{k}^{\dagger },~~~\pi _{-k}=\pi _{k}^{\dagger }.}يمكن توسيع الهاميلتوني الكلاسيكي في أنماط فورييه كما يلي ح=12∑ك=-∞∞[πكπك†+ωك2ϕكϕك†]،{\displaystyle H={\frac {1}{2}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left[\pi _{k}\pi _{k}^{\dagger }+\omega _{k}^{2}\phi _{k}\phi _{k}^{\dagger }\right],} أينωك=ك2+م2{\displaystyle \omega _{k}={\sqrt {k^{2}+m^{2}}}}.

وبالتالي، يمكن التعرف على هذا الهاميلتوني كمجموع لانهائي من إثارات الأنماط الطبيعية الكلاسيكية φk ، حيث يتم تكميم كل منها بالطريقة القياسية ، لذا يبدو الهاميلتوني الكمي الحر مطابقًا. إن φk هي التي أصبحت مؤثرات تخضع لعلاقات التبادل القياسية، [ φk , πk † ] = [ φk † , πk ] = iħ ، مع تلاشي جميع المؤثرات الأخرى. وهكذا ، يتم بناء فضاء هيلبرت الجماعي لجميع هذه المذبذبات باستخدام مؤثرات الإنشاء والإفناء المُنشأة من هذه الأنماط .أك=12ℏωك(ωكϕك+أناπك)،  أك†=12ℏωك(ωكϕك†-أناπك†)،{\displaystyle a_{k}={\frac {1}{\sqrt {2\hbar \omega _{k}}}}\left(\omega _{k}\phi _{k}+i\pi _{k}\right),\ \ a_{k}^{\dagger }={\frac {1}{\sqrt {2\hbar \omega _{k}}}}\left(\omega _{k}\phi _{k}^{\dagger }-i\pi _{k}^{\dagger }\right),} والتي يكون فيها [ a k , a k † ] = 1 لجميع قيم k ، مع تلاشي جميع المبدلات الأخرى.

الفراغ|0⟩{\displaystyle |0\rangle }يُعتقد أنه قد تم إبادته بواسطة جميع الـ a k ، وح{\displaystyle {\mathcal {H}}}الفضاء هيلبرت هو الفضاء الذي تم إنشاؤه بتطبيق أي توليفة من المجموعة اللانهائية من عوامل الإنشاء a k † على|0⟩{\displaystyle |0\rangle }يُطلق على فضاء هيلبرت هذا اسم فضاء فوك . لكل قيمة k ، يكون هذا البناء مطابقًا للمذبذب التوافقي الكمومي . الحقل الكمومي عبارة عن مصفوفة لانهائية من المذبذبات الكمومية. وبالتالي، فإن الهاميلتوني الكمومي يُختزل إلى ح=∑ك=-∞∞ℏωكأك†أك=∑ك=-∞∞ℏωكشمالك،{\displaystyle H=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\hbar \omega _{k}a_{k}^{\dagger }a_{k}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\hbar \omega _{k}N_{k},}حيث يمكن تفسير N k على أنه عامل العدد الذي يعطي عدد الجسيمات في حالة ذات زخم k .

يختلف هذا الهاميلتوني عن الصيغة السابقة بطرح طاقة النقطة الصفرية ħω k /2 لكل مذبذب توافقي. وهذا يحقق شرط أن H يجب أن يفني الفراغ، دون التأثير على التطور الزمني للمؤثرات عبر عملية الأس المذكورة أعلاه. يمكن اعتبار طرح طاقة النقطة الصفرية هذا بمثابة حل لغموض ترتيب المؤثرات الكمومية، لأنه يكافئ اشتراط ظهور جميع مؤثرات الإنشاء على يسار مؤثرات الإفناء في توسيع الهاميلتوني. تُعرف هذه العملية بترتيب ويك أو الترتيب الطبيعي .

مجالات أخرى

يمكن تكميم جميع الحقول الأخرى بتعميم هذه العملية. ببساطة، تحتوي حقول المتجهات أو الموترات على عدد أكبر من المكونات، ويجب إدخال عوامل إنشاء وتدمير مستقلة لكل مكون مستقل. إذا كان للحقل أي تناظر داخلي ، فيجب إدخال عوامل إنشاء وتدمير لكل مكون من مكونات الحقل المرتبط بهذا التناظر أيضًا. في حالة وجود تناظر قياسي ، يجب تحليل عدد المكونات المستقلة للحقل بدقة لتجنب الإفراط في حساب التكوينات المتكافئة، ويمكن تطبيق تثبيت القياس عند الحاجة.

اتضح أن علاقات التبادل مفيدة فقط لتكميم البوزونات ، حيث يكون عدد حالاتها غير محدود. أما لتكميم الفرميونات ، التي تحقق مبدأ استبعاد باولي ، فنحتاج إلى مضادات التبادل. تُعرَّف هذه المضادات بالعلاقة { A , B } = AB + BA .

عند تكميم الفرميونات، يتم توسيع الحقول في عوامل الإنشاء والإفناء، θ k † ، θ k ، والتي تحقق {θك،θل†}=دلتاكل،  {θك،θل}=0،  {θك†،θل†}=0.{\displaystyle \{\theta _{k},\theta _{l}^{\dagger }\}=\delta _{kl},\ \ \{\theta _{k},\theta _{l}\}=0,\ \ \{\theta _{k}^{\dagger },\theta _{l}^{\dagger }\}=0.}

الدول مبنية على فراغ|0⟩{\displaystyle |0\rangle }يتم إفناء الفضاء بواسطة θ k ، ويتم بناء فضاء فوك بتطبيق جميع نواتج عوامل الإنشاء θ k † على | 0 ⟩ . يتحقق مبدأ استبعاد باولي، لأن(θك†)2|0⟩=0{\displaystyle (\theta _{k}^{\dagger })^{2}|0\rangle =0}، بحكم علاقات عدم التبادل.

المكثفات

يفترض بناء حالات المجال القياسي المذكورة أعلاه أن الجهد يصل إلى أدنى قيمة له عند φ = 0، بحيث يحقق الفراغ الذي يقلل الهاميلتوني المعادلة ⟨φ⟩ = 0 ، مما يشير إلى أن القيمة المتوقعة للفراغ (VEV) للمجال تساوي صفرًا. في الحالات التي تتضمن كسرًا تلقائيًا للتناظر ، من الممكن أن تكون قيمة VEV غير صفرية، لأن الجهد يصل إلى أدنى قيمة له عند φ = v . يحدث هذا ، على سبيل المثال، إذا كان V ( φ ) = gφ⁴ - 2m²φ² حيث g > 0 و m² > 0 ، حيث تُوجد أدنى طاقة عند v = ± m / √g . يمكن اعتبار قيمة v في أحد هذه الفراغات مكثفًا للمجال φ . يمكن بعد ذلك إجراء التكميم الكنسي للحقل المُزاح φ ( x , t ) − v ، وتُحدد حالات الجسيمات بالنسبة للفراغ المُزاح بتكميم الحقل المُزاح. يُستخدم هذا البناء في آلية هيغز في النموذج القياسي لفيزياء الجسيمات .

التكميم الرياضي

تكميم التشوه

تُوصَف النظرية الكلاسيكية باستخدام توريق مكاني للزمكان ، حيث تُوصَف الحالة عند كل شريحة بعنصر من مشعب سيمبليكتيكي، ويُعطى التطور الزمني بواسطة التماثل السيمبليكتومي المُوَلَّد بواسطة دالة هاميلتونية على المشعب السيمبليكتيكي. الجبر الكمومي للمؤثرات هو تشويه ħ لجبر الدوال الملساء على الفضاء السيمبليكتيكي، بحيث يكون الحد الرئيسي في متسلسلة تايلور على ħ للمبدل [ A , B ] المُعَبَّر عنه في صيغة فضاء الطور هو iħ { A , B } . (هنا، تُشير الأقواس المعقوفة إلى قوس بواسون . جميع الحدود الثانوية مُشفَّرة في قوس مويال ، وهو التشويه الكمومي المناسب لقوس بواسون). بشكل عام، بالنسبة للكميات (المُرصَدة) المعنية، ومع توفير وسائط هذه الأقواس، فإن التشويهات ħ غير فريدة إلى حد كبير - التكميم "فن"، ويُحدَّد بالسياق الفيزيائي. ( قد يمثل نظامان كميان مختلفان تشوهين مختلفين وغير متكافئين لنفس الحد الكلاسيكي ، ħ → 0. )

الآن، نبحث عن تمثيلات وحدوية لهذا الجبر الكمومي. بالنسبة لهذا التمثيل الوحدوي، يتحول التماثل التبسيطي في النظرية الكلاسيكية إلى تحويل وحدوي (ميتابليكتي) . على وجه الخصوص، يتحول التماثل التبسيطي لتطور الزمن الناتج عن الهاميلتوني الكلاسيكي إلى تحويل وحدوي ناتج عن الهاميلتوني الكمومي المقابل.

يتمثل التعميم الإضافي في اعتبار مشعب بواسون بدلاً من الفضاء التبسيطي للنظرية الكلاسيكية وإجراء تشويه ħ لجبر بواسون المقابل أو حتى مشعبات بواسون الفائقة .

التكميم الهندسي

على النقيض من نظرية التكميم التشوهي الموصوفة أعلاه، يسعى التكميم الهندسي إلى بناء فضاء هيلبرت فعلي ومؤثرات عليه. بدءًا من مشعب تماثليم{\displaystyle M}في البداية، يتم إنشاء فضاء هيلبرت ما قبل الكمي، والذي يتكون من فضاء المقاطع القابلة للتكامل التربيعي لحزمة خطية مناسبة فوقم{\displaystyle M}في هذا الفضاء، يمكن ربط جميع الكميات القابلة للرصد الكلاسيكية بمؤثرات على فضاء هيلبرت ما قبل الكمومي، حيث يتطابق المبدل تمامًا مع قوس بواسون. ومع ذلك، من الواضح أن فضاء هيلبرت ما قبل الكمومي كبير جدًا بحيث لا يمكنه وصف تكميمم{\displaystyle M}.

ثم يشرع المرء في اختيار الاستقطاب، أي (تقريبًا)، اختيارن{\displaystyle n}المتغيرات على2ن{\displaystyle 2n}فضاء الطور ذو الأبعاد n. فضاء هيلبرت الكمومي هو فضاء المقاطع التي تعتمد فقط علىن{\displaystyle n}المتغيرات المختارة، بمعنى أنها ثابتة بشكل متباين في المتغيرات الأخرىن{\displaystyle n}إذا كانت المتغيرات المختارة حقيقية، فسنحصل على شيء يشبه فضاء شرودنغر هيلبرت التقليدي. أما إذا كانت المتغيرات المختارة مركبة، فسنحصل على شيء يشبه فضاء سيغال-بارغمان .

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ ديراك، بام (1925). "المعادلات الأساسية لميكانيكا الكم" . وقائع الجمعية الملكية أ: العلوم الرياضية والفيزيائية والهندسية . 109 (752): 642-653 . رمز Bibcode : 1925RSPSA.109..642D . doi : 10.1098/rspa.1925.0150 .
  2. 1 2 3 ديراك، بام (1982). مبادئ ميكانيكا الكم . الولايات المتحدة الأمريكية: مطبعة جامعة أكسفورد. ISBN 0-19-852011-5.
  3. ^ فان دير وايردن، بي إل (1968). مصادر ميكانيكا الكم . نيويورك: منشورات دوفر. رقم ISBN 0486618811.
  4. ↑ شويبر، إس إس (1983). نظرية الكهروديناميكا الكمية والرجال الذين صنعوها . برينستون: مطبعة جامعة برينستون. ISBN 0691033277.
  5. ↑ هول 2013 نظرية 13.13
  6. ↑ غرونيفولد، هـ. ج. (1946). "حول مبادئ ميكانيكا الكم الأولية". فيزيكا . 12 (7). إلسيفير بي في: 405-460 . رمز Bibcode : 1946Phy....12..405G . doi : 10.1016/s0031-8914(46)80059-4 . ISSN 0031-8914 . 
  7. ↑ هول 2013 القسم 13.4
  8. ↑ شيويل، جون روبرت (1959). "حول تكوين المؤثرات الميكانيكية الكمية". المجلة الأمريكية للفيزياء . 27 (1). الرابطة الأمريكية لمعلمي الفيزياء (AAPT): 16-21 . Bibcode : 1959AmJPh..27...16S . doi : 10.1119/1.1934740 . ISSN 0002-9505 . 
  9. ↑ علي، س. توارقي؛ إنجليش، ميروسلاف (2005). "أساليب التكميم: دليل للفيزيائيين والمحللين". مراجعات في الفيزياء الرياضية . 17 (4): 391-490 . arXiv : math-ph/0405065 . doi : 10.1142/s0129055x05002376 . ISSN 0129-055X . S2CID 119152724 .  
  10. ↑ يستند هذا التحليل بشكل أساسي إلى الفصل الأول من كتاب كونز، آلان ؛ ماركولي، ماتيلد (2008). الهندسة غير التبادلية، الحقول الكمومية، والدوافع (ملف PDF) . الجمعية الأمريكية للرياضيات. ISBN 978-0-8218-4210-2أُرشف من النسخة الأصلية (PDF) بتاريخ 29-12-2009 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 16-05-2010 .

المراجع التاريخية

  • سيلفان إس. شويبر : نظرية الكهروديناميكا الكمية والرجال الذين صنعوها ، مطبعة جامعة برينستون، 1994، رقم ISBN 0-691-03327-7

المراجع التقنية العامة

  • ألكسندر ألتلاند، بن سيمونز: نظرية مجال المادة المكثفة ، مطبعة جامعة كامبريدج، 2009، ISBN 978-0-521-84508-3
  • جيمس د. بيوركن، سيدني د. دريل: ميكانيكا الكم النسبية ، نيويورك، ماكجرو هيل، 1964
  • هول، برايان سي. (2013)، نظرية الكم للرياضيين ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، المجلد  267، سبرينغر، رمز Bibcode : 2013qtm..book.....H ، ISBN 978-1461471158.
  • مقدمة في نظرية الحقل الكمومي ، بقلم إم إي بيسكين وإتش دي شرودر، رقم ISBN 0-201-50397-2
  • فرانز شفابل: ميكانيكا الكم المتقدمة ، برلين وأماكن أخرى، سبرينغر، 2009، رقم ISBN 978-3-540-85061-8