نظرية الحقل الكمومي

نظرية الحقل الكمومي هي نتاج دمج نظرية الحقل الكلاسيكية ، وميكانيكا الكم ، والنسبية الخاصة . ^{[ 1 ] : xi} فيما يلي لمحة موجزة عن هذه النظريات التمهيدية.

تُعدّ نظرية الحقول الكلاسيكية الأولى الناجحة تلك التي انبثقت من قانون نيوتن للجاذبية الكونية ، على الرغم من الغياب التام لمفهوم الحقول في أطروحته "الأصول الرياضية للفلسفة الطبيعية" (Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica ) عام 1687. يصف إسحاق نيوتن قوة الجاذبية بأنها " فعل عن بُعد "، أي أن تأثيرها على الأجسام البعيدة فوري، بغض النظر عن المسافة. إلا أن نيوتن ذكر في مراسلات مع ريتشارد بنتلي أنه "من غير المتصور أن تؤثر المادة الجامدة، دون وسيط غير مادي، على مادة أخرى دون تلامس مباشر". ^{[ 2 ] : 4} لم يكتشف الفيزيائيون الرياضيون وصفًا مناسبًا للجاذبية قائمًا على الحقول إلا في القرن الثامن عشر، حيث تُخصص كمية عددية ( متجه في حالة حقل الجاذبية ) لكل نقطة في الفضاء، تُشير إلى تأثير الجاذبية على أي جسيم عند تلك النقطة. ومع ذلك، اعتُبر هذا مجرد حيلة رياضية. ^{[ 3 ] : 18}

بدأت الحقول تكتسب وجودًا مستقلًا مع تطور الكهرومغناطيسية في القرن التاسع عشر. وقد صاغ مايكل فاراداي المصطلح الإنجليزي "field" عام 1845. عرّف الحقول بأنها خصائص للفضاء (حتى عندما يكون خاليًا من المادة) ذات تأثيرات فيزيائية. جادل ضد مفهوم "التأثير عن بُعد"، واقترح أن التفاعلات بين الأجسام تحدث عبر "خطوط قوة" تملأ الفضاء. ولا يزال هذا الوصف للحقول ساريًا حتى يومنا هذا. ^{[ 2 ] [ 4 ] : ​​301 [ 5 ] : 2}

اكتملت نظرية الكهرومغناطيسية الكلاسيكية عام 1864 بمعادلات ماكسويل ، التي وصفت العلاقة بين المجال الكهربائي ، والمجال المغناطيسي ، والتيار الكهربائي ، والشحنة الكهربائية . وأشارت معادلات ماكسويل إلى وجود الموجات الكهرومغناطيسية ، وهي ظاهرة ينتشر فيها المجالان الكهربائي والمغناطيسي من نقطة مكانية إلى أخرى بسرعة محددة، والتي تبين أنها سرعة الضوء . وبذلك، تم دحض نظرية التأثير عن بُعد بشكل قاطع. ^{[ 2 ] : 19}

على الرغم من النجاح الهائل للكهرومغناطيسية الكلاسيكية، إلا أنها عجزت عن تفسير الخطوط المنفصلة في الأطياف الذرية ، ولا عن توزيع إشعاع الجسم الأسود بأطوال موجية مختلفة. ^{[ 6 ]} مثّلت دراسة ماكس بلانك لإشعاع الجسم الأسود بداية ميكانيكا الكم. فقد تعامل مع الذرات، التي تمتص وتبعث الإشعاع الكهرومغناطيسي ، كمذبذبات صغيرة ذات خاصية جوهرية، وهي أن طاقاتها لا يمكن أن تأخذ إلا سلسلة من القيم المنفصلة، ​​وليست متصلة. تُعرف هذه الذرات بالمذبذبات التوافقية الكمومية . تُسمى عملية تقييد الطاقات بقيم منفصلة بالتكميم. ^{[ 7 ] : الفصل 2.} بناءً على هذه الفكرة، اقترح ألبرت أينشتاين في عام 1905 تفسيرًا للتأثير الكهروضوئي ، مفاده أن الضوء يتكون من حزم فردية من الطاقة تُسمى الفوتونات (كمّات الضوء). وهذا يعني أن الإشعاع الكهرومغناطيسي، إلى جانب كونه موجات في المجال الكهرومغناطيسي الكلاسيكي، موجود أيضًا في صورة جسيمات. ^{[ 6 ]}

في عام 1913، قدّم نيلز بور نموذج بور لبنية الذرة، حيث لا تستطيع الإلكترونات داخل الذرات إلا أن تتخذ سلسلة من الطاقات المنفصلة، ​​بدلاً من الطاقات المتصلة. وهذا مثال آخر على التكميم. وقد نجح نموذج بور في تفسير الطبيعة المنفصلة لخطوط الطيف الذري. في عام 1924، اقترح لويس دي بروي فرضية ازدواجية الموجة والجسيم ، والتي تنص على أن الجسيمات المجهرية تُظهر خصائص موجية وجسيمية في ظل ظروف مختلفة. ^{[ 6 ]} وبدمج هذه الأفكار المتفرقة، تم صياغة فرع متماسك، هو ميكانيكا الكم ، بين عامي 1925 و1926، بمساهمات مهمة من ماكس بلانك ، ولويس دي بروي ، وفيرنر هايزنبرغ ، وماكس بورن ، وإرفين شرودنغر ، وبول ديراك ، وولفغانغ باولي . ^{[ 3 ] : 22-23}

في العام نفسه الذي نشر فيه بحثه عن التأثير الكهروضوئي، نشر آينشتاين نظريته النسبية الخاصة ، المبنية على نظرية ماكسويل في الكهرومغناطيسية. وقد وُضعت قواعد جديدة، تُعرف بتحويلات لورنتز ، لوصف كيفية تغير إحداثيات الزمان والمكان لحدث ما بتغير سرعة الراصد، مما أدى إلى تلاشي التمييز بين الزمان والمكان. ^{[ 3 ] : 19} وقد طُرحت فرضية مفادها أن جميع القوانين الفيزيائية يجب أن تكون متطابقة بالنسبة للراصدين ذوي السرعات المختلفة، أي أن القوانين الفيزيائية ثابتة تحت تحويلات لورنتز.

بقيت صعوبتان. فمن الناحية الرصدية، استطاعت معادلة شرودنغر، التي يقوم عليها ميكانيكا الكم، تفسير الانبعاث المحفز للإشعاع من الذرات، حيث ينبعث فوتون جديد من الإلكترون تحت تأثير مجال كهرومغناطيسي خارجي، لكنها عجزت عن تفسير الانبعاث التلقائي ، حيث تنخفض طاقة الإلكترون تلقائيًا وينبعث منه فوتون حتى بدون تأثير مجال كهرومغناطيسي خارجي. أما من الناحية النظرية، فلم تستطع معادلة شرودنغر وصف الفوتونات، وكانت تتعارض مع مبادئ النسبية الخاصة، إذ تعامل الزمن كرقم عادي بينما تُحوّل الإحداثيات المكانية إلى مؤثرات خطية . ^{[ 6 ]}

بدأت نظرية الحقل الكمومي بشكل طبيعي بدراسة التفاعلات الكهرومغناطيسية، حيث كان الحقل الكهرومغناطيسي هو الحقل الكلاسيكي الوحيد المعروف حتى عشرينيات القرن العشرين. ^{[ 8 ] : 1}

من خلال أعمال بورن، وهايزنبرغ، وباسكوال جوردان في الفترة 1925-1926، طُوِّرت نظرية كمومية للمجال الكهرومغناطيسي الحر (أي المجال الذي لا يتفاعل مع المادة) عبر التكميم الكنسي، وذلك بمعاملة المجال الكهرومغناطيسي كمجموعة من المذبذبات التوافقية الكمومية . ^{[ 8 ] : 1} ومع ذلك، وباستثناء التفاعلات، ظلت هذه النظرية عاجزة عن تقديم تنبؤات كمية حول العالم الحقيقي. ^{[ 3 ] : 22}

في بحثه الرائد عام 1927 بعنوان "النظرية الكمومية لانبعاث وامتصاص الإشعاع" ، صاغ ديراك مصطلح " الديناميكا الكهربائية الكمومية " (QED)، وهي نظرية تُضيف إلى المصطلحات التي تصف المجال الكهرومغناطيسي الحرّ حدًا تفاعليًا إضافيًا بين كثافة التيار الكهربائي والجهد الشعاعي الكهرومغناطيسي . وباستخدام نظرية الاضطراب من الرتبة الأولى ، نجح في تفسير ظاهرة الانبعاث التلقائي. ووفقًا لمبدأ عدم اليقين في ميكانيكا الكم، لا يمكن للمذبذبات التوافقية الكمومية أن تبقى ثابتة، بل تمتلك حدًا أدنى غير صفري من الطاقة، ويجب أن تكون دائمًا في حالة تذبذب، حتى في أدنى حالة طاقة ( الحالة الأرضية ). لذلك، حتى في الفراغ التام ، يبقى مجال كهرومغناطيسي متذبذب ذو طاقة نقطة الصفر . هذا التذبذب الكمومي للمجالات الكهرومغناطيسية في الفراغ هو ما "يحفز" الانبعاث التلقائي للإشعاع من الإلكترونات في الذرات. حققت نظرية ديراك نجاحًا باهرًا في تفسير انبعاث وامتصاص الإشعاع بواسطة الذرات؛ فباستخدام نظرية الاضطراب من الرتبة الثانية، تمكنت من تفسير تشتت الفوتونات، والتألق الرنيني ، وتشتت كومبتون غير النسبي . ومع ذلك، واجه تطبيق نظرية الاضطراب من الرتب العليا مشكلة اللانهاية في الحسابات. ^{[ 6 ] : 71}

في عام ١٩٢٨، صاغ ديراك معادلة موجية تصف الإلكترونات النسبية: معادلة ديراك . وقد أسفرت هذه المعادلة عن النتائج المهمة التالية: دوران الإلكترون يساوي ١/٢؛ ومعامل g للإلكترون يساوي ٢؛ وأدت إلى صيغة سومرفيلد الصحيحة للبنية الدقيقة لذرة الهيدروجين ؛ كما أمكن استخدامها لاستنتاج صيغة كلاين-نيشينا لتشتت كومبتون النسبي. ورغم أن النتائج كانت مثمرة، إلا أن النظرية أشارت ضمنيًا إلى وجود حالات طاقة سالبة، مما يجعل الذرات غير مستقرة، إذ يمكنها دائمًا أن تتحلل إلى حالات طاقة أدنى عن طريق انبعاث الإشعاع. ^{[ ٦ ] : ٧١-٧٢}

كان الرأي السائد آنذاك أن العالم يتكون من عنصرين مختلفين تمامًا: جسيمات مادية (مثل الإلكترونات) وحقول كمومية (مثل الفوتونات). كان يُعتقد أن الجسيمات المادية خالدة، وأن حالتها الفيزيائية تُحدد باحتمالات وجود كل جسيم في أي منطقة معينة من الفضاء أو ضمن نطاق سرعات محدد. أما الفوتونات، فكانت تُعتبر مجرد حالات مثارة للحقل الكهرومغناطيسي الكمومي الأساسي، ويمكن إنشاؤها أو تدميرها بحرية. بين عامي 1928 و1930، اكتشف كل من جوردان، ويوجين ويغنر ، وهايزنبرغ، وباولي، وإنريكو فيرمي أن الجسيمات المادية يمكن اعتبارها أيضًا حالات مثارة للحقول الكمومية. وكما أن الفوتونات حالات مثارة للحقل الكهرومغناطيسي الكمومي، فإن لكل نوع من الجسيمات حقله الكمومي المقابل: حقل الإلكترون، وحقل البروتون، وهكذا. وبوجود طاقة كافية، أصبح من الممكن الآن إنشاء جسيمات مادية. انطلاقًا من هذه الفكرة، اقترح فيرمي في عام 1932 تفسيرًا لتحلل بيتا يُعرف بتفاعل فيرمي . لا تحتوي نوى الذرات على إلكترونات بحد ذاتها ، ولكن في عملية التحلل، يتولد إلكترون من المجال الإلكتروني المحيط، على غرار الفوتون المتولد من المجال الكهرومغناطيسي المحيط في التحلل الإشعاعي لذرة مثارة. ^{[ 3 ] : 22-23}

أدرك ديراك وآخرون عام 1929 أن حالات الطاقة السالبة التي تشير إليها معادلة ديراك يمكن إزالتها بافتراض وجود جسيمات لها نفس كتلة الإلكترونات ولكن بشحنة كهربائية معاكسة. لم يضمن هذا استقرار الذرات فحسب، بل كان أيضًا أول اقتراح لوجود المادة المضادة . في الواقع، اكتُشفت أدلة وجود البوزيترونات عام 1932 على يد كارل ديفيد أندرسون في الأشعة الكونية . مع طاقة كافية، مثل امتصاص فوتون، يمكن تكوين زوج إلكترون-بوزيترون، وهي عملية تُسمى إنتاج الأزواج ؛ ويمكن أن تحدث العملية العكسية، وهي الإفناء، بانبعاث فوتون. أظهر هذا أن عدد الجسيمات ليس بالضرورة ثابتًا أثناء التفاعل. تاريخيًا، مع ذلك، اعتُبرت البوزيترونات في البداية "ثقوبًا" في بحر إلكتروني لا نهائي، بدلًا من كونها نوعًا جديدًا من الجسيمات، وأُشير إلى هذه النظرية باسم نظرية ثقب ديراك . ^{[ 6 ] : 72 [ 3 ] : 23} تضمنت نظرية الحقول الكمومية بشكل طبيعي الجسيمات المضادة في صياغتها. ^{[ 3 ] : 24}

أظهر روبرت أوبنهايمر في عام 1930 أن حسابات الاضطراب من الرتبة العليا في الديناميكا الكهربائية الكمية (QED) تُنتج دائمًا كميات لانهائية، مثل طاقة الإلكترون الذاتية وطاقة نقطة الصفر الفراغية لحقول الإلكترون والفوتون، ^{[ 6 ]} مما يشير إلى أن الطرق الحسابية في ذلك الوقت لم تكن قادرة على التعامل بشكل صحيح مع التفاعلات التي تشمل فوتونات ذات زخم عالٍ للغاية. ^{[ 3 ] : 25} ولم يتم تطوير منهجية منهجية لإزالة هذه الكميات اللانهائية إلا بعد 20 عامًا.

نُشرت سلسلة من الأبحاث بين عامي 1934 و1938 بقلم إرنست ستوكلبرغ، والتي أرست صياغةً ثابتةً نسبيًا لنظرية الحقل الكمومي. وفي عام 1947، طوّر ستوكلبرغ أيضًا، بشكلٍ مستقل، إجراءً كاملاً لإعادة التطبيع. لم تُفهم هذه الإنجازات ولم تُقدّر من قِبل المجتمع النظري. ^{[ 6 ]}

في مواجهة هذه اللامتناهيات، اقترح جون أرشيبالد ويلر وهايزنبرغ، في عامي 1937 و1943 على التوالي، استبدال نظرية الحقل الكمومي الإشكالية بما يُسمى بنظرية مصفوفة التشتت (S-matrix) . ولأن التفاصيل الدقيقة للتفاعلات المجهرية غير قابلة للرصد، ينبغي أن تقتصر النظرية على وصف العلاقات بين عدد قليل من الكميات القابلة للرصد ( مثل طاقة الذرة) في التفاعل، بدلاً من الاهتمام بالتفاصيل المجهرية الدقيقة للتفاعل. وفي عام 1945، اقترح ريتشارد فاينمان وويلر بجرأة التخلي عن نظرية الحقل الكمومي تمامًا، واقترحا آلية التأثير عن بُعد كآلية لتفاعلات الجسيمات. ^{[ 3 ] : 26}

في عام ١٩٤٧، قاس ويليس لامب وروبرت ريثرفورد الفرق الطفيف بين مستويي الطاقة ^2S 1/2 _و ² P _1/2 لذرة الهيدروجين، والذي يُعرف أيضًا باسم إزاحة لامب . وبإهمال مساهمة الفوتونات التي تتجاوز طاقتها كتلة الإلكترون، نجح هانز بيث في تقدير القيمة العددية لإزاحة لامب. ^{[ ٦ ] [ ٣ ] : ٢٨.} لاحقًا، أكد نورمان مايلز كرول ، ولامب، وجيمس بروس فرينش ، وفيكتور فايسكوف هذه القيمة مرة أخرى باستخدام منهجية تلغي فيها اللانهاية بعضها بعضًا، مما ينتج عنه كميات محدودة. مع ذلك، كانت هذه الطريقة غير عملية وغير موثوقة، ولم يكن من الممكن تعميمها على حسابات أخرى. ^{[ ٦ ]}

تحقق الإنجاز في نهاية المطاف حوالي عام 1950 عندما طوّر جوليان شوينجر ، وريتشارد فاينمان ، وفريمان دايسون ، وشينيتشيرو توموناغا طريقةً أكثر فعاليةً للتخلص من القيم اللانهائية . وتتلخص الفكرة الرئيسية في استبدال القيم المحسوبة للكتلة والشحنة، مهما بلغت لانهائيتها، بقيمها المقاسة المحدودة. يُعرف هذا الإجراء الحسابي المنهجي بإعادة التطبيع ، ويمكن تطبيقه على أي رتبة في نظرية الاضطراب. ^{[ 6 ]} وكما قال توموناغا في محاضرته عند استلام جائزة نوبل:

بما أن أجزاء الكتلة والشحنة المعدلة نتيجةً لتفاعلات المجال [تصبح لانهائية]، فإنه من المستحيل حسابها نظريًا. مع ذلك، فإن الكتلة والشحنة المرصودة في التجارب ليستا الكتلة والشحنة الأصليتين، بل هما الكتلة والشحنة بعد تعديلهما بفعل تفاعلات المجال، وهما محدودتان. من جهة أخرى، فإن الكتلة والشحنة الظاهرتين في النظرية هما... القيم المعدلة بفعل تفاعلات المجال. ولأن هذا هو الحال، ولا سيما أن النظرية عاجزة عن حساب الكتلة والشحنة المعدلتين، يمكننا اعتماد إجراء استبدال القيم التجريبية بهما ظاهريًا  ... يُسمى هذا الإجراء إعادة تطبيع الكتلة والشحنة  ... بعد حسابات طويلة وشاقة، أقل دقة من حسابات شوينجر، حصلنا على نتيجة  ... تتفق مع نتائج الأمريكيين. ^{[ 9 ]}

بتطبيق إجراء إعادة التطبيع، أُجريت حساباتٌ أخيرًا لتفسير العزم المغناطيسي الشاذ للإلكترون (انحراف عامل g للإلكترون عن 2) واستقطاب الفراغ . وقد توافقت هذه النتائج مع القياسات التجريبية بدرجة ملحوظة، مما مثّل نهاية "حرب اللانهاية". ^{[ 6 ]}

في الوقت نفسه، قدّم فاينمان صياغة التكامل المساري لميكانيكا الكم ومخططات فاينمان . ^{[ 8 ] : 2} يمكن استخدام هذه المخططات لتنظيم الحدود في التوسع الاضطرابي بصريًا وبديهيًا، وللمساعدة في حسابها. يمكن تفسير كل مخطط على أنه مسارات جسيمات في تفاعل، حيث يمتلك كل رأس وخط تعبيرًا رياضيًا مقابلًا، ويعطي حاصل ضرب هذه التعبيرات سعة تشتت التفاعل المُمثَّل بالمخطط. ^{[ 1 ] : 5}

مع اختراع إجراء إعادة التطبيع ومخططات فاينمان، ظهرت نظرية الحقول الكمومية أخيرًا كإطار نظري متكامل. ^{[ 8 ] : 2}

نظراً للنجاح الهائل الذي حققته نظرية الكهروديناميكا الكمية، اعتقد العديد من المنظرين، في السنوات القليلة التي تلت عام 1949، أن نظرية الحقول الكمومية ستوفر قريباً فهماً لجميع الظواهر المجهرية، وليس فقط التفاعلات بين الفوتونات والإلكترونات والبوزيترونات. وعلى عكس هذا التفاؤل، دخلت نظرية الحقول الكمومية في فترة ركود أخرى استمرت لما يقرب من عقدين من الزمن. ^{[ 3 ] : 30}

كانت العقبة الأولى هي محدودية تطبيق إجراء إعادة التطبيع. ففي حسابات الاضطراب في الديناميكا الكهربائية الكمية، يمكن التخلص من جميع الكميات اللانهائية بإعادة تعريف عدد صغير (محدود) من الكميات الفيزيائية (أي كتلة وشحنة الإلكترون). وقد أثبت دايسون في عام 1949 أن هذا ممكن فقط لفئة صغيرة من النظريات تُسمى "النظريات القابلة لإعادة التطبيع"، والتي تُعد الديناميكا الكهربائية الكمية مثالًا عليها. ومع ذلك، فإن معظم النظريات، بما في ذلك نظرية فيرمي للتفاعل الضعيف ، هي "غير قابلة لإعادة التطبيع". وأي حساب اضطرابي في هذه النظريات يتجاوز الرتبة الأولى سيؤدي إلى قيم لانهائية لا يمكن إزالتها بإعادة تعريف عدد محدود من الكميات الفيزيائية. ^{[ 3 ] : 30}

تمثلت المشكلة الرئيسية الثانية في محدودية صلاحية طريقة مخطط فاينمان، التي تعتمد على متسلسلة في نظرية الاضطراب. ولكي تتقارب المتسلسلة وتكون الحسابات منخفضة الرتبة تقريبًا جيدًا، يجب أن يكون ثابت الاقتران ، الذي تُوسّع فيه المتسلسلة، صغيرًا بما يكفي. ثابت الاقتران في الديناميكا الكهربائية الكمية هو ثابت البنية الدقيقة α ≈ 1/137 ، وهو صغير بما يكفي بحيث لا يلزم في الحسابات الواقعية إلا النظر في أبسط مخططات فاينمان وأدنى رتبة. في المقابل، يكون ثابت الاقتران في التفاعل القوي من رتبة الواحد تقريبًا، مما يجعل مخططات فاينمان المعقدة ذات الرتب الأعلى بنفس أهمية المخططات البسيطة. وبالتالي، لم يكن من الممكن استخلاص تنبؤات كمية موثوقة للتفاعل القوي باستخدام طرق نظرية الحقل الكمومي الاضطرابية. ^{[ 3 ] : 31}

مع تزايد هذه الصعوبات، بدأ العديد من المنظرين بالابتعاد عن نظرية الحقول الكمومية. ركز بعضهم على مبادئ التناظر وقوانين الحفظ ، بينما عاد آخرون إلى نظرية مصفوفة التشتت القديمة لويلر وهايزنبرغ. استُخدمت نظرية الحقول الكمومية بشكل استدلالي كمبادئ توجيهية، ولكن ليس كأساس للحسابات الكمية. ^{[ 3 ] : 31}

لكن شوينجر سلك مسارًا مختلفًا. لأكثر من عقد من الزمان، كان هو وطلابه تقريبًا المدافعين الوحيدين عن نظرية المجال، ^{[ 10 ] : 454،} ولكن في عام 1951 ^{[ 11 ] [ 12 ]} وجد حلًا لمشكلة اللانهاية باستخدام طريقة جديدة تعتمد على مصادر خارجية كتيارات مقترنة بحقول قياس . ^{[ 13 ]} مدفوعًا بالنتائج السابقة، واصل شوينجر اتباع هذا النهج من أجل تعميم العملية الكلاسيكية لربط القوى الخارجية بمعاملات فضاء التكوين المعروفة باسم مضاعفات لاغرانج، وذلك بطريقة "كمية". لخص نظريته عن المصادر في عام 1966 ^{[ 14 ]} ، ثم وسع نطاق تطبيقاتها لتشمل الديناميكا الكهربائية الكمية في مجموعته المكونة من ثلاثة مجلدات بعنوان: الجسيمات، والمصادر، والحقول. ^{[ 15 ] [ 16 ] [ 17 ]} وقد أقنعته التطورات في فيزياء البيون، التي طُبقت فيها وجهة النظر الجديدة بنجاح كبير، بالمزايا العظيمة للبساطة الرياضية والوضوح المفاهيمي الذي يمنحه استخدامها. ^{[ 15 ]}

في نظرية المصادر، لا توجد تباعدات ولا إعادة تطبيع. يمكن اعتبارها أداة حسابية لنظرية المجال، لكنها أكثر عمومية. ^{[ 18 ]} باستخدام نظرية المصادر، تمكن شوينجر من حساب العزم المغناطيسي الشاذ للإلكترون، وهو ما فعله عام 1947، ولكن هذه المرة دون أي "ملاحظات مشتتة" حول الكميات اللانهائية. ^{[ 10 ] : 467}

طبّق شوينجر أيضًا نظرية المصادر على نظريته الكمومية للحقول في الجاذبية، وتمكّن من إعادة إنتاج جميع نتائج أينشتاين الكلاسيكية الأربع: الانزياح الأحمر التثاقلي، وانحراف الضوء وتباطئه بفعل الجاذبية، وتقدّم نقطة الحضيض لكوكب عطارد. ^{[ 19 ]} شكّل إهمال نظرية المصادر من قِبل مجتمع الفيزياء خيبة أمل كبيرة لشوينجر.

كان عدم تقدير الآخرين لهذه الحقائق أمراً محبطاً، ولكنه مفهوم.

في عام 1954، عمّم يانغ تشن نينغ وروبرت ميلز التناظر الموضعي لنظرية الكهروديناميكا الكمية، مما أدى إلى ظهور نظريات القياس غير الأبيلية (المعروفة أيضًا بنظريات يانغ-ميلز)، والتي تستند إلى مجموعات تناظر موضعي أكثر تعقيدًا . ^{[ 20 ] : 5} في نظرية الكهروديناميكا الكمية، تتفاعل الجسيمات المشحونة (كهربائيًا) عبر تبادل الفوتونات، بينما في نظرية القياس غير الأبيلية، تتفاعل الجسيمات التي تحمل نوعًا جديدًا من " الشحنة " عبر تبادل بوزونات القياس عديمة الكتلة . وعلى عكس الفوتونات، تحمل بوزونات القياس هذه شحنة في حد ذاتها. ^{[ 3 ] : 32 [ 21 ]}

طوّر شيلدون غلاشو نظرية قياس غير أبيلية وحّدت التفاعلات الكهرومغناطيسية والضعيفة في عام 1960. وفي عام 1964، توصّل عبد السلام وجون كلايف وارد إلى النظرية نفسها عبر مسار مختلف. ومع ذلك، كانت هذه النظرية غير قابلة لإعادة التطبيع. ^{[ 22 ]}

اقترح بيتر هيغز ، وروبرت براوت ، وفرانسوا إنجليرت ، وجيرالد غورالنيك ، وكارل هاغن ، وتوم كيبل في أبحاثهم الشهيرة المنشورة في مجلة Physical Review Letters أن تناظر القياس في نظريات يانغ-ميلز يمكن كسره بواسطة آلية تسمى كسر التناظر التلقائي ، والتي من خلالها يمكن للبوزونات القياسية عديمة الكتلة في الأصل أن تكتسب كتلة. ^{[ 20 ] : 5-6}

بدمج نظرية غلاشو وسلام وورد السابقة مع فكرة كسر التناظر التلقائي، وضع ستيفن واينبرغ في عام 1967 نظرية تصف التفاعلات الكهروضعيفة بين جميع اللبتونات وتأثيرات بوزون هيغز . في البداية، تم تجاهل نظريته إلى حد كبير، ^{[ 22 ] [ 20 ] : 6،} إلى أن أعيد تسليط الضوء عليها في عام 1971 بفضل برهان جيرارد هوفت على أن نظريات القياس غير الأبيلية قابلة لإعادة التطبيع. وفي عام 1970، قام غلاشو وجون إيليوبولوس ولوسيانو ماياني بتوسيع نظرية واينبرغ وسلام الكهروضعيفة لتشمل الكواركات بدلاً من اللبتونات، مما يمثل اكتمالها. ^{[ 22 ]}

في عام 1971، اكتشف هارالد فريتش ، وموراي جيل مان ، وهينريش لوتويلر أن بعض الظواهر المتعلقة بالتفاعل القوي يمكن تفسيرها أيضًا بنظرية القياس غير الأبيلية. وهكذا وُلدت الديناميكا اللونية الكمومية (QCD). وفي عام 1973، بيّن ديفيد غروس ، وفرانك ويلكزك ، وهيو ديفيد بوليتزر أن نظريات القياس غير الأبيلية " حرة تقاربياً "، أي أنه في ظل إعادة التطبيع، يتناقص ثابت اقتران التفاعل القوي مع ازدياد طاقة التفاعل. (وقد تم التوصل إلى اكتشافات مماثلة عدة مرات سابقًا، ولكن تم تجاهلها إلى حد كبير). ^{[ 20 ] : 11} لذلك، على الأقل في التفاعلات عالية الطاقة، يصبح ثابت الاقتران في الديناميكا اللونية الكمومية صغيرًا بما يكفي لتبرير توسيع متسلسلة اضطرابية، مما يجعل التنبؤات الكمية للتفاعل القوي ممكنة. ^{[ 3 ] : 32}

أدت هذه الاكتشافات النظرية إلى نهضة في نظرية الحقول الكمومية. تُعرف النظرية الكاملة، التي تشمل نظرية التفاعل الكهروضعيف والديناميكا اللونية، اليوم باسم النموذج القياسي للجسيمات الأولية. ^{[ 23 ]} يصف النموذج القياسي بنجاح جميع التفاعلات الأساسية باستثناء الجاذبية ، وقد حظيت العديد من تنبؤاته بتأكيد تجريبي ملحوظ في العقود اللاحقة. ^{[ 8 ] : 3} تم أخيرًا اكتشاف بوزون هيغز ، وهو عنصر أساسي في آلية كسر التناظر التلقائي، في عام 2012 في مركز سيرن ، مما يمثل التحقق الكامل من وجود جميع مكونات النموذج القياسي. ^{[ 24 ]}

شهدت سبعينيات القرن العشرين تطور أساليب غير اضطرابية في نظريات القياس غير الأبيلية. وقد اكتُشف أحادي القطب لـ'ت هوفت-بولياكوف نظريًا على يد 'ت هوفت وألكسندر بولياكوف ، وأنابيب التدفق على يد هولجر بيش نيلسن وبول أولسن ، والجسيمات الفورية على يد بولياكوف وزملاؤه. هذه الأجسام غير قابلة للوصول إليها من خلال نظرية الاضطراب. ^{[ 8 ] : 4}

ظهرت نظرية التناظر الفائق أيضًا في الفترة نفسها. وقد بنى يوري غولفاند وإيفغيني ليختمان أول نظرية حقل كمومي متناظرة فائقة في أربعة أبعاد عام 1970، إلا أن نتائجهما لم تحظَ باهتمام واسع النطاق بسبب الستار الحديدي . ولم تنتشر نظريات التناظر الفائق في الأوساط النظرية إلا بعد عمل يوليوس ويس وبرونو زومينو عام 1973، ^{[ 8 ] : 7،} ولكنها لم تُقبل على نطاق واسع حتى الآن كجزء من النموذج القياسي بسبب نقص الأدلة التجريبية. ^{[ 25 ]}

من بين التفاعلات الأساسية الأربعة، تبقى الجاذبية التفاعل الوحيد الذي يفتقر إلى وصف متسق لنظرية الحقل الكمومي. وقد أدت محاولات عديدة لوضع نظرية للجاذبية الكمومية إلى تطوير نظرية الأوتار ، ^{[ 8 ] : [ 6]} وهي بحد ذاتها نوع من نظرية الحقل الكمومي ثنائية الأبعاد ذات تناظر توافقي . ^{[ 26 ]} وقد اقترح جويل شيرك وجون شوارتز لأول مرة عام 1974 أن نظرية الأوتار يمكن أن تكون النظرية الكمومية للجاذبية. ^{[ 27 ]}

على الرغم من أن نظرية المجال الكمومي نشأت من دراسة التفاعلات بين الجسيمات الأولية، إلا أنها طُبقت بنجاح على أنظمة فيزيائية أخرى، وخاصة على أنظمة الأجسام المتعددة في فيزياء المادة المكثفة .

تاريخياً، كانت آلية هيغز لكسر التناظر التلقائي نتيجة لتطبيق يويتشيرو نامبو لنظرية الموصلات الفائقة على الجسيمات الأولية، بينما نشأ مفهوم إعادة التطبيع من دراسة انتقالات الطور من الدرجة الثانية في المادة. ^{[ 28 ]}

بعد فترة وجيزة من اكتشاف الفوتونات، أجرى أينشتاين عملية التكميم على الاهتزازات في البلورة، مما أدى إلى اكتشاف أول جسيم شبه حقيقي - الفونونات . وادعى ليف لانداو أن الإثارات منخفضة الطاقة في العديد من أنظمة المادة المكثفة يمكن وصفها بدلالة التفاعلات بين مجموعة من الجسيمات شبه الحقيقية. وكانت طريقة مخطط فاينمان في نظرية الحقل الكمومي مناسبة تمامًا لتحليل مختلف الظواهر في أنظمة المادة المكثفة. ^{[ 29 ]}

تُستخدم نظرية القياس لوصف تكميم التدفق المغناطيسي في الموصلات الفائقة، والمقاومة في تأثير هول الكمي ، بالإضافة إلى العلاقة بين التردد والجهد في تأثير جوزيفسون للتيار المتردد . ^{[ 29 ]}

الحقل الكلاسيكي هو دالة للإحداثيات المكانية والزمانية. ^{[ 30 ]} ومن الأمثلة على ذلك حقل الجاذبية g ( x , t ) في الجاذبية النيوتونية، والحقل الكهربائي E ( x , t ) والحقل المغناطيسي B ( x , t ) في الكهرومغناطيسية الكلاسيكية . يمكن اعتبار الحقل الكلاسيكي كمية عددية تُسند إلى كل نقطة في الفضاء تتغير مع الزمن. ولذلك، فإنه يمتلك عددًا لا نهائيًا من درجات الحرية . ^{[ 30 ] [ 31 ]}

لا يمكن تفسير العديد من الظواهر التي تُظهر خصائص ميكانيكا الكم باستخدام الحقول الكلاسيكية وحدها. فظواهر مثل التأثير الكهروضوئي تُفسَّر على نحو أفضل باستخدام جسيمات منفصلة ( فوتونات )، بدلاً من حقل متصل مكانيًا. ويهدف علم نظرية الحقول الكمومية إلى وصف مختلف الظواهر الكمومية باستخدام مفهوم مُعدَّل للحقول.

يُعدّ التكميم الكنسي وتكاملات المسار من الصيغ الشائعة لنظرية الحقول الكمومية. ^{[ 32 ] : 61} ولتوضيح أساسيات نظرية الحقول الكمومية، نورد فيما يلي نظرة عامة على نظرية الحقول الكلاسيكية.

أبسط حقل كلاسيكي هو حقل قياسي حقيقي - عدد حقيقي عند كل نقطة في الفضاء يتغير مع الزمن. يُرمز له بـ ϕ ( x , t ) ، حيث x هو متجه الموضع، و t هو الزمن. لنفترض أن لاغرانجيان الحقل،${\displaystyle L}$، يكون $${\displaystyle L=\int d^{3}x\,{\mathcal {L}}=\int d^{3}x\,\left[{\frac {1}{2}}{\dot {\phi }}^{2}-{\frac {1}{2}}(\nabla \phi )^{2}-{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}\right],}$$ أين${\displaystyle {\mathcal {L}}}$هي كثافة لاغرانج،${\displaystyle {\dot {\phi }}}$يمثل المشتق الزمني للحقل، و∇ هو مؤثر التدرج، و m هو معامل حقيقي (كتلة الحقل). بتطبيق معادلة أويلر-لاغرانج على لاغرانجيان: ^{[ 1 ] : 16}$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial \phi /\partial t)}}\right]+\sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial \phi /\partial x^{i})}}\right]-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}=0,}$$ نحصل على معادلات الحركة للحقل، والتي تصف الطريقة التي يتغير بها في الزمان والمكان: $${\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}+m^{2}\right)\phi =0.}$$ تُعرف هذه المعادلة باسم معادلة كلاين-غوردون . ^{[ 1 ] : 17}

معادلة كلاين-غوردون هي معادلة موجية ، لذا يمكن التعبير عن حلولها كمجموع للأوضاع الطبيعية (التي تم الحصول عليها عن طريق تحويل فورييه ) على النحو التالي: $$// }t+i\mathbf {p} \cdot \mathbf {x} }+a_{\mathbf {p} }^{*}e^{i\omega _{\mathbf {p} }ti\mathbf {p} \cdot \mathbf {x} }\right)،}$$ حيث a هو عدد مركب (مُعَيَّر حسب الاصطلاح)، و * تشير إلى المرافق المركب ، و ω _p هو تردد النمط الطبيعي: $${\displaystyle \omega _{\mathbf {p} }={\sqrt {|\mathbf {p} |^{2}+m^{2}}}.}$$وبالتالي، يمكن اعتبار كل نمط طبيعي يتوافق مع قيمة p واحدة بمثابة مذبذب توافقي كلاسيكي بتردد ωp . _[ ^{1 ] : 21 ، 26}

إن إجراء التكميم للحقل الكلاسيكي المذكور أعلاه إلى حقل عامل كمي مماثل لترقية المذبذب التوافقي الكلاسيكي إلى مذبذب توافقي كمي .

يتم وصف إزاحة المذبذب التوافقي الكلاسيكي بواسطة $${\displaystyle x(t)={\frac {1}{\sqrt {2\omega }}}ae^{-i\omega t}+{\frac {1}{\sqrt {2\omega }}}a^{*}e^{i\omega t},}$$ حيث a عدد مركب (مُعَيَّر اصطلاحًا)، و ω تردد المذبذب. لاحظ أن x هو إزاحة جسيم في حركة توافقية بسيطة من موضع الاتزان، ولا ينبغي الخلط بينه وبين الموضع المكاني x لحقل كمومي.

بالنسبة للمذبذب التوافقي الكمومي، يتم تحويل x ( t ) إلى مؤثر خطي${\displaystyle {\hat {x}}(t)}$: $${\displaystyle {\hat {x}}(t)={\frac {1}{\sqrt {2\omega }}}{\hat {a}}e^{-i\omega t}+{\frac {1}{\sqrt {2\omega }}}{\hat {a}}^{\dagger }e^{i\omega t}.}$$يتم استبدال الأعداد المركبة a و a ^* بعامل الإفناء${\displaystyle {\hat {a}}}$وعامل الإنشاء${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }}$على التوالي، حيث تشير † إلى الاقتران الهرميتي . علاقة التبادل بينهما هي $${\displaystyle \left[{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }\right]=1.}$$ يمكن كتابة هاميلتونيان المذبذب التوافقي البسيط على النحو التالي$${\displaystyle {\hat {H}}=\hbar \omega {\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+{\frac {1}{2}}\hbar \omega .}$$حالة الفراغ${\displaystyle |0\rangle }$يتم تعريف الحالة ذات أدنى طاقة، بواسطة $${\displaystyle {\hat {a}}|0\rangle =0}$$ ولديه طاقة${\displaystyle {\frac {1}{2}}\hbar \omega .}$ يمكن للمرء أن يتحقق من ذلك بسهولة${\displaystyle [{\hat {H}},{\hat {a}}^{\dagger }]=\hbar \omega {\hat {a}}^{\dagger },}$مما يعني أن${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }}$يزيد من طاقة المذبذب التوافقي البسيط عن طريق${\displaystyle \hbar \omega }$على سبيل المثال، الدولة${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }|0\rangle }$هي حالة ذاتية للطاقة${\displaystyle 3\hbar \أوميغا /2}$يمكن الحصول على أي حالة طاقة ذاتية لمذبذب توافقي واحد من${\displaystyle |0\rangle }$من خلال تطبيق عامل الإنشاء بشكل متتابع${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }}$: ^{[ 1 ] : 20} ويمكن التعبير عن أي حالة من حالات النظام كمزيج خطي من الحالات $${\displaystyle |n\rangle \propto \left({\hat {a}}^{\dagger }\right)^{n}|0\rangle .}$$

يمكن تطبيق إجراء مماثل على الحقل القياسي الحقيقي ϕ ، عن طريق تحويله إلى مؤثر حقل كمومي${\displaystyle {\hat {\phi }}}$، بينما عامل الإفناء${\displaystyle {\hat {a}}_{\mathbf {p} }}$، عامل الإنشاء${\displaystyle {\hat {a}}_{\mathbf {p} }^{\dagger }}$والتردد الزاوي${\displaystyle \omega _{\mathbf {p} }}$هي الآن لـ p معين : $${\displaystyle {\hat {\phi }}(\mathbf {x} ,t)=\int {\frac {d^{3}p}{(2\pi )^{3}}}{\frac {1}{\sqrt {2\omega _{\mathbf {p} }}}}\left({\hat {a}}_{\mathbf {p} }e^{-i\omega _{\mathbf {p} }t+i\mathbf {p} \cdot \mathbf {x} }+{\hat {a}}_{\mathbf {p} }^{\dagger }e^{i\omega _{\mathbf {p} }t-i\mathbf {p} \cdot \mathbf {x} }\right).}$$ علاقات التبادل الخاصة بهما هي: ^{[ 1 ] : 21}$${\displaystyle \left[{\hat {a}}_{\mathbf {p} },{\hat {a}}_{\mathbf {q} }^{\dagger }\right]=(2\pi )^{3}\delta (\mathbf {p} -\mathbf {q} ),\quad \left[{\hat {a}}_{\mathbf {p} },{\hat {a}}_{\mathbf {q} }\right]=\left[{\hat {a}}_{\mathbf {p} }^{\dagger },{\hat {a}}_{\mathbf {q} }^{\dagger }\right]=0,}$$ حيث δ هي دالة ديراك دلتا . حالة الفراغ${\displaystyle |0\rangle }$يتم تعريفها بواسطة $${\displaystyle {\hat {a}}_{\mathbf {p} }|0\rangle =0,\quad {\text{for all }}\mathbf {p} .}$$ يمكن الحصول على أي حالة كمومية للمجال من${\displaystyle |0\rangle }$من خلال تطبيق عوامل الإنشاء بشكل متتابع${\displaystyle {\hat {a}}_{\mathbf {p} }^{\dagger }}$(أو عن طريق توليفة خطية من هذه الحالات)، على سبيل المثال ^{[ 1 ] : 22}$${\displaystyle \left({\hat {a}}_{\mathbf {p} _{3}}^{\dagger }\right)^{3}{\hat {a}}_{\mathbf {p} _{2}}^{\dagger }\left({\hat {a}}_{\mathbf {p} _{1}}^{\dagger }\right)^{2}|0\rangle .}$$

بينما يحتوي فضاء حالة المذبذب التوافقي الكمومي المفرد على جميع حالات الطاقة المنفصلة لجسيم واحد متذبذب، فإن فضاء حالة الحقل الكمومي يحتوي على مستويات الطاقة المنفصلة لعدد عشوائي من الجسيمات. يُعرف هذا الفضاء الأخير باسم فضاء فوك ، وهو ما يفسر حقيقة أن عدد الجسيمات غير ثابت في الأنظمة الكمومية النسبية. ^{[ 33 ]} تُسمى عملية تكميم عدد عشوائي من الجسيمات بدلاً من جسيم واحد غالبًا بالتكميم الثاني . ^{[ 1 ] : 19}

الإجراء المذكور أعلاه هو تطبيق مباشر لميكانيكا الكم غير النسبية، ويمكن استخدامه لتكميم الحقول العددية (المركبة)، وحقول ديراك ، ^{[ 1 ] : 52} والحقول المتجهة ( مثل الحقل الكهرومغناطيسي)، وحتى الأوتار . ^{[ 34 ]} مع ذلك، فإن مؤثرات الإنشاء والإفناء لا تُعرَّف تعريفًا دقيقًا إلا في أبسط النظريات التي لا تحتوي على تفاعلات (ما يُسمى بالنظرية الحرة). في حالة الحقل العددي الحقيقي، كان وجود هذه المؤثرات نتيجةً لتحليل حلول معادلات الحركة الكلاسيكية إلى مجموع أنماط طبيعية. لإجراء حسابات على أي نظرية تفاعلية واقعية، ستكون نظرية الاضطراب ضرورية.

تحتوي لاغرانجية أي حقل كمومي في الطبيعة على حدود تفاعل بالإضافة إلى حدود النظرية الحرة. على سبيل المثال، يمكن إدخال حد تفاعل من الدرجة الرابعة إلى لاغرانجية الحقل القياسي الحقيقي: ^{[ 1 ] : 77}$${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }\phi )\left(\partial ^{\mu }\phi \right)-{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}-{\frac {\lambda }{4!}}\phi ^{4},}$$ حيث μ هو مؤشر الزمكان،${\displaystyle \partial _{0}=\partial /\partial t,\ \partial _{1}=\partial /\partial x^{1}}$إلخ. تم حذف عملية الجمع على المؤشر μ وفقًا لترميز أينشتاين . إذا كانت قيمة المعامل λ صغيرة بما يكفي، فيمكن اعتبار نظرية التفاعل الموصوفة بواسطة لاغرانجيان أعلاه بمثابة اضطراب صغير من النظرية الحرة.

The path integral formulation of QFT is concerned with the direct computation of the scattering amplitude of a certain interaction process, rather than the establishment of operators and state spaces. To calculate the probability amplitude for a system to evolve from some initial state ${\displaystyle |\phi _{I}\rangle }$ at time t = 0 to some final state ${\displaystyle |\phi _{F}\rangle }$ at t = T, the total time T is divided into N small intervals. The overall amplitude is the product of the amplitude of evolution within each interval, integrated over all intermediate states. Let H be the Hamiltonian (i.e.generator of time evolution), then^[32]:10$${\displaystyle \langle \phi _{F}|e^{-iHT}|\phi _{I}\rangle =\int d\phi _{1}\int d\phi _{2}\cdots \int d\phi _{N-1}\,\langle \phi _{F}|e^{-iHT/N}|\phi _{N-1}\rangle \cdots \langle \phi _{2}|e^{-iHT/N}|\phi _{1}\rangle \langle \phi _{1}|e^{-iHT/N}|\phi _{I}\rangle .}$$ Taking the limit N → ∞, the above product of integrals becomes the Feynman path integral:^{[1]:282[32]:12}$${\displaystyle \langle \phi _{F}|e^{-iHT}|\phi _{I}\rangle =\int {\mathcal {D}}\phi (t)\,\exp \left\{i\int _{0}^{T}dt\,L\right\},}$$ where L is the Lagrangian involving ϕ and its derivatives with respect to spatial and time coordinates, obtained from the Hamiltonian H via Legendre transformation. The initial and final conditions of the path integral are respectively $${\displaystyle \phi (0)=\phi _{I},\quad \phi (T)=\phi _{F}.}$$ In other words, the overall amplitude is the sum over the amplitude of every possible path between the initial and final states, where the amplitude of a path is given by the exponential in the integrand.

In calculations, one often encounters expression like$${\displaystyle \langle 0|T\{\phi (x)\phi (y)\}|0\rangle \quad {\text{or}}\quad \langle \Omega |T\{\phi (x)\phi (y)\}|\Omega \rangle }$$in the free or interacting theory, respectively. Here, ${\displaystyle x}$ and ${\displaystyle y}$ are position four-vectors, ${\displaystyle T}$ is the time ordering operator that shuffles its operands so the time-components ${\displaystyle x^{0}}$ and ${\displaystyle y^{0}}$ increase from right to left, and ${\displaystyle |\Omega \rangle }$ is the ground state (vacuum state) of the interacting theory, different from the free ground state ${\displaystyle |0\rangle }$. This expression represents the probability amplitude for the field to propagate from y to x, and goes by multiple names, like the two-point propagator, two-point correlation function, two-point Green's function or two-point function for short.^[1]:82

يمكن إيجاد دالة النقطتين الحرة، والمعروفة أيضًا باسم مُوَصِّل فاينمان ، للحقل القياسي الحقيقي إما عن طريق التكميم الكنسي أو تكاملات المسار لتكون ^{[ 1 ] : 31,288 [ 32 ] : 23}$${\displaystyle \langle 0|T\{\phi (x)\phi (y)\}|0\rangle \equiv D_{F}(x-y)=\lim _{\epsilon \to 0}\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {i}{p_{\mu }p^{\mu }-m^{2}+i\epsilon }}e^{-ip_{\mu }(x^{\mu }-y^{\mu })}.}$$ في نظرية تفاعلية، حيث يحتوي لاغرانجيان أو هاميلتونيان على حدود${\displaystyle L_{I}(t)}$أو${\displaystyle H_{I}(t)}$عند وصف التفاعلات، يكون تعريف دالة النقطتين أكثر صعوبة. ومع ذلك، من خلال كل من صياغة التكميم الكلاسيكية وصياغة التكامل المساري، يمكن التعبير عنها من خلال سلسلة اضطراب لانهائية لدالة النقطتين الحرة .

في التكميم الكنسي، يمكن كتابة دالة الارتباط ثنائية النقاط على النحو التالي: ^{[ 1 ] : 87}$${\displaystyle \langle \Omega |T\{\phi (x)\phi (y)\}|\Omega \rangle =\lim _{T\to \infty (1-i\epsilon )}{\frac {\left\langle 0\left|T\left\{\phi _{I}(x)\phi _{I}(y)\exp \left[-i\int _{-T}^{T}dt\,H_{I}(t)\right]\right\}\right|0\right\rangle }{\left\langle 0\left|T\left\{\exp \left[-i\int _{-T}^{T}dt\,H_{I}(t)\right]\right\}\right|0\right\rangle }},}$$ حيث ε عدد متناهي الصغر و ϕI _هو مؤثر المجال في النظرية الحرة. هنا، يجب فهم الدالة الأسية على أنها متسلسلة قوى لها . على سبيل المثال، في${\displaystyle \phi ^{4}}$- في النظرية، يكون الحد التفاعلي للهاميلتوني هو${\textstyle H_{I}(t)=\int d^{3}x\,{\frac {\lambda }{4!}}\phi _{I}(x)^{4}}$، ^{[ 1 ] : 84} وتوسيع مُرتبط النقطتين بدلالة${\displaystyle \lambda }$يصبح$${\displaystyle \langle \Omega |T\{\phi (x)\phi (y)\}|\Omega \rangle ={\frac {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-i\lambda )^{n}}{(4!)^{n}n!}}\int d^{4}z_{1}\cdots \int d^{4}z_{n}\langle 0|T\{\phi _{I}(x)\phi _{I}(y)\phi _{I}(z_{1})^{4}\cdots \phi _{I}(z_{n})^{4}\}|0\rangle }{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-i\lambda )^{n}}{(4!)^{n}n!}}\int d^{4}z_{1}\cdots \int d^{4}z_{n}\langle 0|T\{\phi _{I}(z_{1})^{4}\cdots \phi _{I}(z_{n})^{4}\}|0\rangle }}.}$$يعبّر هذا التوسع الاضطرابي عن دالة التفاعل بين نقطتين بدلالة الكميات${\displaystyle \langle 0|\cdots |0\rangle }$التي يتم تقييمها في النظرية الحرة .

في صيغة التكامل المساري، يمكن كتابة دالة الارتباط بين نقطتين على النحو التالي ^{[ 1 ] : 284}$${\displaystyle \langle \Omega |T\{\phi (x)\phi (y)\}|\Omega \rangle =\lim _{T\to \infty (1-i\epsilon )}{\frac {\int {\mathcal {D}}\phi \,\phi (x)\phi (y)\exp \left[i\int _{-T}^{T}d^{4}z\,{\mathcal {L}}\right]}{\int {\mathcal {D}}\phi \,\exp \left[i\int _{-T}^{T}d^{4}z\,{\mathcal {L}}\right]}},}$$ أين${\displaystyle {\mathcal {L}}}$هي كثافة لاغرانج. وكما في الفقرة السابقة، يمكن توسيع الدالة الأسية كمتسلسلة في λ ، مما يؤدي إلى اختزال دالة التفاعل ثنائية النقاط إلى كميات في النظرية الحرة.

تُختزل نظرية ويك أي دالة ارتباط من n نقطة في النظرية الحرة إلى مجموع حاصل ضرب دوال ارتباط من نقطتين. على سبيل المثال، $${\displaystyle {\begin{aligned}\langle 0|T\{\phi (x_{1})\phi (x_{2})\phi (x_{3})\phi (x_{4})\}|0\rangle &=\langle 0|T\{\phi (x_{1})\phi (x_{2})\}|0\rangle \langle 0|T\{\phi (x_{3})\phi (x_{4})\}|0\rangle \\&+\langle 0|T\{\phi (x_{1})\phi (x_{3})\}|0\rangle \langle 0|T\{\phi (x_{2})\phi (x_{4})\}|0\rangle \\&+\langle 0|T\{\phi (x_{1})\phi (x_{4})\}|0\rangle \langle 0|T\{\phi (x_{2})\phi (x_{3})\}|0\rangle .\end{aligned}}}$$ بما أن دوال الارتباط التفاعلية يُمكن التعبير عنها بدلالة دوال الارتباط الحرة، فإن حساب جميع الكميات الفيزيائية في نظرية التفاعل (الاضطرابية) لا يتطلب سوى تقييم الأخيرة. ^{[ 1 ] : 90} وهذا ما يجعل مُوَصِّل فاينمان أحد أهم الكميات في نظرية الحقل الكمومي.

يمكن كتابة دوال الارتباط في نظرية التفاعل على شكل متسلسلة اضطراب. كل حد في هذه المتسلسلة هو ناتج ضرب مُوَصِّلات فاينمان في النظرية الحرة، ويمكن تمثيله بصريًا بواسطة مخطط فاينمان . على سبيل المثال، الحد λ ¹ في دالة الارتباط ثنائية النقاط في نظرية ϕ ⁴ هو $${\displaystyle {\frac {-i\lambda }{4!}}\int d^{4}z\,\langle 0|T\{\phi (x)\phi (y)\phi (z)\phi (z)\phi (z)\phi (z)\}|0\rangle .}$$ بعد تطبيق نظرية ويك، يكون أحد المصطلحات هو $${\displaystyle 12\cdot {\frac {-i\lambda }{4!}}\int d^{4}z\,D_{F}(x-z)D_{F}(y-z)D_{F}(z-z).}$$ ويمكن الحصول على هذا المصطلح بدلاً من ذلك من مخطط فاينمان

.

يتكون الرسم التخطيطي من

• الرؤوس الخارجية المتصلة بحافة واحدة وممثلة بنقاط (مُصنفة هنا)${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$).
• الرؤوس الداخلية متصلة بأربعة حواف وممثلة بنقاط (مُشار إليها هنا بـ${\displaystyle z}$).
• الحواف التي تربط الرؤوس وتمثلها الخطوط.

كل رأس يمثل نقطة واحدة${\displaystyle \phi }$يمثل عامل المجال عند النقطة المقابلة في الزمكان، بينما تمثل الحواف عوامل الانتشار بين نقاط الزمكان. ويُستنتج الحد في سلسلة الاضطراب المقابلة للمخطط من خلال كتابة التعبير الناتج عن ما يُعرف بقواعد فاينمان.

1. لكل رأس داخلي${\displaystyle z_{i}}$اكتب أحد العوامل${\textstyle -i\lambda \int d^{4}z_{i}}$.
2. لكل حافة تربط رأسين${\displaystyle z_{i}}$و${\displaystyle z_{j}}$اكتب أحد العوامل${\displaystyle D_{F}(z_{i}-z_{j})}$.
3. اقسم على عامل التناظر الخاص بالرسم التخطيطي.

مع عامل التناظر${\displaystyle 2}$باتباع هذه القواعد، نحصل على التعبير المذكور أعلاه تمامًا. وبتحويل فورييه للمُوَصِّل، يمكن إعادة صياغة قواعد فاينمان من فضاء الموضع إلى فضاء الزخم. ^{[ 1 ] : 91-94}

لحساب دالة الارتباط ذات النقاط n حتى الرتبة k ، اذكر جميع مخططات فاينمان الصالحة التي تحتوي على n نقطة خارجية و k رأس أو أقل، ثم استخدم قواعد فاينمان للحصول على صيغة كل حد. بتعبير أدق، $${\displaystyle \langle \Omega |T\{\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\}|\Omega \rangle }$$ يساوي مجموع (التعبيرات المقابلة لـ) جميع المخططات المتصلة ذات n نقطة خارجية. (المخططات المتصلة هي تلك التي يكون فيها كل رأس متصلاً بنقطة خارجية عبر خطوط. تُسمى المكونات المنفصلة تمامًا عن الخطوط الخارجية أحيانًا "فقاعات فراغ"). في نظرية التفاعل ϕ ⁴ المذكورة أعلاه، يجب أن يكون لكل رأس أربعة أرجل. ^{[ 1 ] : 98}

في التطبيقات العملية، يمكن حساب سعة التشتت لتفاعل معين أو معدل اضمحلال جسيم من مصفوفة التشتت (S-matrix )، والتي يمكن إيجادها بدورها باستخدام طريقة مخطط فاينمان. ^{[ 1 ] : 102-115}

تُسمى مخططات فاينمان الخالية من "الحلقات" بمخططات مستوى الشجرة، والتي تصف عمليات التفاعل من أدنى رتبة؛ أما تلك التي تحتوي على n حلقة فتُسمى مخططات n- حلقة، والتي تصف المساهمات من الرتب العليا، أو التصحيحات الإشعاعية، للتفاعل. ^{[ 32 ] : 44} يمكن اعتبار الخطوط التي تمثل نقاط نهايتها رؤوسًا بمثابة انتشار للجسيمات الافتراضية . ^{[ 1 ] : 31}

يمكن استخدام قواعد فاينمان لتقييم مخططات مستوى الشجرة مباشرةً. مع ذلك، فإن الحساب البسيط لمخططات الحلقات، مثل المخطط الموضح أعلاه، سيؤدي إلى تكاملات زخم متباعدة، مما يوحي بأن جميع حدود التوسع الاضطرابي تقريبًا لانهائية. إجراء إعادة التطبيع هو عملية منهجية لإزالة هذه اللانهائيات.

لا تحمل المعاملات الظاهرة في لاغرانجيان، مثل الكتلة m وثابت الاقتران λ ، أي معنى فيزيائي؛ إذ لا يمكن قياس m و λ وشدة المجال ϕ تجريبيًا، ويُشار إليها هنا على التوالي بالكتلة المجردة وثابت الاقتران المجرد والمجال المجرد. تُقاس الكتلة الفيزيائية وثابت الاقتران في عملية تفاعل ما، وهما يختلفان عمومًا عن الكميات المجردة. عند حساب الكميات الفيزيائية من عملية التفاعل هذه، يمكن حصر نطاق تكاملات الزخم المتباعدة بحيث يكون أقل من حد قطع الزخم Λ ، والحصول على تعابير للكميات الفيزيائية، ثم أخذ النهاية Λ → ∞ . هذا مثال على التنظيم ، وهو فئة من الطرق لمعالجة التباعدات في نظرية الحقل الكمومي، حيث يمثل Λ المُنظِّم.

يُطلق على المنهج الموضح أعلاه اسم نظرية الاضطراب المجرد، حيث تقتصر الحسابات على الكميات المجردة مثل الكتلة وثابت الاقتران. أما المنهج المختلف، والذي يُسمى نظرية الاضطراب المُعاد تطبيعها، فيعتمد على استخدام كميات ذات دلالة فيزيائية منذ البداية. في حالة ^نظرية ϕ⁴ ، يُعاد تعريف شدة المجال أولًا. $${\displaystyle \phi =Z^{1/2}\phi _{r},}$$ حيث ϕ هو الحقل الأصلي، _و ϕr هو الحقل المُعاد تطبيعه، و Z ثابت يُحدد لاحقًا. تصبح كثافة لاغرانج كما يلي: $${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }\phi _{r})(\partial ^{\mu }\phi _{r})-{\frac {1}{2}}m_{r}^{2}\phi _{r}^{2}-{\frac {\lambda _{r}}{4!}}\phi _{r}^{4}+{\frac {1}{2}}\delta _{Z}(\partial _{\mu }\phi _{r})(\partial ^{\mu }\phi _{r})-{\frac {1}{2}}\delta _{m}\phi _{r}^{2}-{\frac {\delta _{\lambda }}{4!}}\phi _{r}^{4},}$$ حيث تمثل m _{_r} و λ _{_r} الكتلة وثابت الاقتران القابلين للقياس تجريبياً، والمُعاد ضبطهما، على التوالي، و $${\displaystyle \delta _{Z}=Z-1,\quad \delta _{m}=m^{2}Z-m_{r}^{2},\quad \delta _{\lambda }=\lambda Z^{2}-\lambda _{r}}$$ هي ثوابت يجب تحديدها. تمثل الحدود الثلاثة الأولى كثافة لاغرانج ϕ⁴ مكتوبة بدلالة الكميات المُعاد تطبيعها، بينما تُسمى الحدود الثلاثة الأخيرة "الحدود المضادة". ولأن لاغرانج يحتوي الآن على حدود أكثر، يجب أن تتضمن مخططات فاينمان عناصر إضافية، لكل منها قواعد فاينمان الخاصة بها. يُوضح الإجراء كما يلي: أولًا، اختر مخطط تنظيم (مثل تنظيم القطع المذكور أعلاه أو ^{التنظيم} البُعدي )؛ سمِّ المُنظِّم Λ . احسب مخططات فاينمان، حيث تعتمد الحدود المتباعدة على Λ . ثم، حدد δZ و δm _و δλ بحيث تلغي مخططات فاينمان للحدود المضادة الحدود المتباعدة في مخططات فاينمان العادية تمامًا عند أخذ النهاية Λ → ∞ . بهذه الطريقة، نحصل على كميات محدودة ذات _{معنى .} ^{[ 1 ] : 323-326}

لا يمكن إزالة جميع اللانهائيات للحصول على نتيجة محدودة إلا في النظريات القابلة لإعادة التطبيع، بينما في النظريات غير القابلة لإعادة التطبيع، لا يمكن إزالة اللانهائيات بإعادة تعريف عدد قليل من المعاملات. يُعد النموذج القياسي للجسيمات الأولية نظرية حقل كمومي قابلة لإعادة التطبيع، ^{[ 1 ] : 719-727،} بينما تُعد جاذبية الكم نظرية غير قابلة لإعادة التطبيع. ^{[ 1 ] : 798 [ 32 ] : 421}

تُجرى عمليات التكميم وإعادة التطبيع الموضحة في الأقسام السابقة لنظرية الحقل القياسي الحقيقي ونظرية ϕ⁴ . ويمكن تطبيق عملية مماثلة على أنواع أخرى من الحقول، بما في ذلك الحقل القياسي المركب ، والحقل المتجهي ^، وحقل ديراك ، بالإضافة إلى أنواع أخرى من حدود التفاعل، بما في ذلك التفاعل الكهرومغناطيسي وتفاعل يوكاوا .

على سبيل المثال، تحتوي الديناميكا الكهربائية الكمومية على حقل ديراك ψ يمثل حقل الإلكترون ، وحقل متجه A ^μ يمثل الحقل الكهرومغناطيسي ( حقل الفوتون ). (على الرغم من اسمه، فإن "الحقل" الكهرومغناطيسي الكمومي يُطابق في الواقع الجهد الرباعي الكهرومغناطيسي الكلاسيكي ، وليس الحقلين الكهربائي والمغناطيسي الكلاسيكيين). كثافة لاغرانجيان الديناميكا الكهربائية الكمومية الكاملة هي: $${\displaystyle {\mathcal {L}}={\bar {\psi }}\left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m\right)\psi -{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }-e{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi A_{\mu },}$$ حيث γ و ^μ هما مصفوفات ديراك ،${\displaystyle {\bar {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}}$، و${\displaystyle F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }}$يمثل شدة المجال الكهرومغناطيسي . أما المعاملات في هذه النظرية فهي كتلة الإلكترون (الخالية) m والشحنة الأولية (الخالية) e . يتوافق الحدان الأول والثاني في كثافة لاغرانج مع مجال ديراك الحر ومجالات المتجهات الحرة، على التوالي. يصف الحد الأخير التفاعل بين مجالي الإلكترون والفوتون، والذي يُعامل كاضطراب من النظريات الحرة. ^{[ 1 ] : 78}

يوضح الشكل أعلاه مثالاً على مخطط فاينمان ذي المستوى الشجري في الديناميكا الكهربائية الكمية. يصف هذا المخطط تفاعل إلكترون وبوزيترون يفنيان بعضهما، مُنتجين فوتونًا خارج الغلاف ، ثم يتحللان إلى زوج جديد من الإلكترون والبوزيترون. يمتد الزمن من اليسار إلى اليمين. تمثل الأسهم المتجهة للأمام في الزمن انتشار الإلكترونات، بينما تمثل الأسهم المتجهة للخلف انتشار البوزيترونات. يمثل الخط المتموج انتشار الفوتون. يجب أن يحتوي كل رأس في مخططات فاينمان في الديناميكا الكهربائية الكمية على فرعين: فرع للفيرميون (بوزيترون/إلكترون) وفرع للفوتون.

باستخدام نظرية الاضطراب ، يمكن تقريب التأثير الكلي لحد تفاعل صغير، رتبةً تلو الأخرى، بتوسيع متسلسلة بدلالة عدد الجسيمات الافتراضية المشاركة في التفاعل. يُمكن فهم كل حد في التوسيع على أنه إحدى الطرق الممكنة لتفاعل الجسيمات (الفيزيائية) مع بعضها البعض عبر جسيمات افتراضية، مُعبَّر عنها بصريًا باستخدام مخطط فاينمان . تُمثَّل القوة الكهرومغناطيسية بين إلكترونين في الديناميكا الكهربائية الكمية (حتى الرتبة الأولى في نظرية الاضطراب) بانتشار فوتون افتراضي. وبالمثل، تحمل بوزونات W وZ التفاعل الضعيف، بينما تحمل الغلوونات التفاعل القوي. لا يكون تفسير التفاعل كمجموع حالات وسيطة تتضمن تبادل جسيمات افتراضية مختلفة منطقيًا إلا في إطار نظرية الاضطراب. في المقابل، تُعامل الطرق غير الاضطرابية في نظرية الحقول الكمومية لاغرانجيان التفاعل ككل دون أي توسيع متسلسلة. بدلاً من الجسيمات التي تحمل التفاعلات، أدت هذه الأساليب إلى ظهور مفاهيم مثل أحادي القطب 'ت هوفت-بولياكوف ، وجدار المجال ، وأنبوب التدفق ، واللحظة الآنية . ^{[ 8 ]} تشمل أمثلة نظريات الحقول الكمومية القابلة للحل الكامل بطريقة غير اضطرابية النماذج الدنيا لنظرية الحقل المطابق ^{[ 52 ]} ونموذج ثيرينغ . ^{[ 53 ]}