الرقم التوافقي

هناك العديد من عمليات الجمع اللانهائية التي تتضمن الأعداد التوافقية وقوى π : ^{[ 4 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}}{n\cdot 2^{n}}}&={\frac {\pi ^{2}}{12}}\\\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}^{2}}{n^{2}}}&={\frac {17}{360}}\pi ^{4}\\\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}^{2}}{(n+1)^{2}}}&={\frac {11}{360}}\pi ^{4}\\\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}}{n^{3}}}&={\frac {\pi ^{4}}{72}}\end{aligned}}}$$

يُعطى العدد التوافقي المعمم من الرتبة m بالصيغة التالية :$${\displaystyle H_{n,m}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{m}}}.}$$

(في بعض المصادر، قد يُشار إلى ذلك أيضًا بـ${\textstyle H_{n}^{(m)}}$أو${\textstyle H_{m}(n).}$)

الحالة الخاصة m = 0 تعطي${\displaystyle H_{n,0}=n.}$ الحالة الخاصة m = 1 تختزل إلى العدد التوافقي المعتاد: $${\displaystyle H_{n,1}=H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}.}$$

حد${\textstyle H_{n,m}}$عندما n → ∞ تكون القيمة محدودة إذا كان m > 1 ، مع كون العدد التوافقي المعمم محدودًا ويتقارب مع دالة زيتا لريمان$${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }H_{n,m}=\zeta (m).}$$

أصغر عدد طبيعي k بحيث لا يقسم k ⁿ مقام العدد التوافقي المعمم H ( k , n ) ولا مقام العدد التوافقي المعمم المتناوب H′ ( k , n ) هو، بالنسبة لـ n = 1, 2, ...  :

77، 20، 94556602، 42، 444، 20، 104، 42، 76، 20، 77، 110، 3504، 20، 903، 42، 1107، 20، 104، 42، 77، 20، 2948، 110، 136، 20، 76، 42، 903، 20، 77، 42، 268، 20، 7004، 110، 1752، 20، 19203، 42، 77، 20، 104، 42، 76، 20، 370، 110، 1107، 20، ... (التسلسل A128670) (في OEIS )

المجموع ذو الصلة${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{m}}$يظهر في دراسة أعداد برنولي ؛ كما تظهر الأعداد التوافقية في دراسة أعداد ستيرلينغ .

بعض تكاملات الأعداد التوافقية المعممة هي $${\displaystyle \int _{0}^{a}H_{x,2}\,dx=a{\frac {\pi ^{2}}{6}}-H_{a}}$$ و $${\displaystyle \int _{0}^{a}H_{x,3}\,dx=aA-{\frac {1}{2}}H_{a,2},}$$حيث A هو ثابت أبيري ζ (3)، و $${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}H_{k,m}=(n+1)H_{n,m}-H_{n,m-1}{\text{ for }}m\geq 0.}$$

يمكن كتابة كل عدد توافقي معمّم من الرتبة m كدالة للأعداد التوافقية من الرتبة${\displaystyle m-1}$استخدام $${\displaystyle H_{n,m}=\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {H_{k,m-1}}{k(k+1)}}+{\frac {H_{n,m-1}}{n}}}$$ على سبيل المثال:${\displaystyle H_{4,3}={\frac {H_{1,2}}{1\cdot 2}}+{\frac {H_{2,2}}{2\cdot 3}}+{\frac {H_{3,2}}{3\cdot 4}}+{\frac {H_{4,2}}{4}}}$

الدالة المولدة للأعداد التوافقية المعممة هي $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }z^{n}H_{n,m}={\frac {\operatorname {Li} _{m}(z)}{1-z}},}$$ أين${\displaystyle \operatorname {Li} _{m}(z)}$هي متعددة اللوغاريتمات ، و | z | < 1. الدالة المولدة المذكورة أعلاه لـ m = 1 هي حالة خاصة من هذه الصيغة.

يمكن تقديم حجة كسرية للأعداد التوافقية المعممة على النحو التالي :

لكل${\displaystyle p,q>0}$عدد صحيح، و${\displaystyle m>1}$سواء كان العدد صحيحًا أم لا، لدينا من دوال بوليغاما: $${\displaystyle H_{q/p,m}=\zeta (m)-p^{m}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{(q+pk)^{m}}}}$$ أين${\displaystyle \zeta (m)}$هي دالة زيتا لريمان . العلاقة التكرارية ذات الصلة هي $${\displaystyle H_{a,m}=H_{a-1,m}+{\frac {1}{a^{m}}}.}$$ بعض القيم الخاصة هي$${\displaystyle {\begin{aligned}H_{{\frac {1}{4}},2}&=16-{\tfrac {5}{6}}\pi ^{2}-8G\\H_{{\frac {1}{2}},2}&=4-{\frac {\pi ^{2}}{3}}\\H_{{\frac {3}{4}},2}&={\frac {16}{9}}-{\frac {5}{6}}\pi ^{2}+8G\\H_{{\frac {1}{4}},3}&=64-\pi ^{3}-27\zeta (3)\\H_{{\frac {1}{2}},3}&=8-6\zeta (3)\\H_{{\frac {3}{4}},3}&=\left({\frac {4}{3}}\right)^{3}+\pi ^{3}-27\zeta (3)\end{aligned}}}$$حيث G هو ثابت كاتالان . في الحالة الخاصة التي${\displaystyle p=1}$، نحصل $${\displaystyle H_{n,m}=\zeta (m,1)-\zeta (m,n+1),}$$

أين${\displaystyle \zeta (m,n)}$هي دالة زيتا لهورويتز . تُستخدم هذه العلاقة لحساب الأعداد التوافقية عدديًا.

تنطبق نظرية الضرب على الأعداد التوافقية. وباستخدام دوال متعددة غاما ، نحصل على $${\displaystyle {\begin{aligned}H_{2x}&={\frac {1}{2}}\left(H_{x}+H_{x-{\frac {1}{2}}}\right)+\ln 2\\H_{3x}&={\frac {1}{3}}\left(H_{x}+H_{x-{\frac {1}{3}}}+H_{x-{\frac {2}{3}}}\right)+\ln 3,\end{aligned}}}$$ أو بشكل أعم، $${\displaystyle H_{nx}={\frac {1}{n}}\left(H_{x}+H_{x-{\frac {1}{n}}}+H_{x-{\frac {2}{n}}}+\cdots +H_{x-{\frac {n-1}{n}}}\right)+\ln n.}$$

بالنسبة للأعداد التوافقية المعممة، لدينا $${\displaystyle {\begin{aligned}H_{2x,2}&={\frac {1}{2}}\left(\zeta (2)+{\frac {1}{2}}\left(H_{x,2}+H_{x-{\frac {1}{2}},2}\right)\right)\\H_{3x,2}&={\frac {1}{9}}\left(6\zeta (2)+H_{x,2}+H_{x-{\frac {1}{3}},2}+H_{x-{\frac {2}{3}},2}\right),\end{aligned}}}$$ أين${\displaystyle \zeta (n)}$هي دالة زيتا لريمان .

ناقش جيه إتش كونواي وآر كيه جاي التعميم التالي في كتابهما "كتاب الأعداد " الصادر عام 1995. ^{[ 2 ] : 258}$${\displaystyle H_{n}^{(0)}={\frac {1}{n}}.}$$ ثم يُعرَّف العدد التوافقي الفائق من الرتبة r (حيث r>0 ) بشكل تكراري على النحو التالي$${\displaystyle H_{n}^{(r)}=\sum _{k=1}^{n}H_{k}^{(r-1)}.}$$ بخاصة،${\displaystyle H_{n}^{(1)}}$هو العدد التوافقي العادي${\displaystyle H_{n}}$.

الأعداد التوافقية الرومانية ، ^{[ 14 ]} التي سُميت نسبةً إلى ستيفن رومان ، قدمها دانيال لوب وجيان كارلو روتا في سياق تعميم حساب التفاضل والتكامل الظلي باستخدام اللوغاريتمات. ^{[ 15 ]} هناك العديد من التعريفات الممكنة، ولكن أحدها، لـ ${\displaystyle n,k\geq 0}$، يكون$${\displaystyle c_{n}^{(0)}=1,}$$و$${\displaystyle c_{n}^{(k+1)}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {c_{i}^{(k)}}{i}}.}$$بالطبع،$${\displaystyle c_{n}^{(1)}=H_{n}.}$$

لو${\displaystyle n\neq 0}$إنها تُرضي$${\displaystyle c_{n}^{(k+1)}-{\frac {c_{n}^{(k)}}{n}}=c_{n-1}^{(k+1)}.}$$الصيغ المغلقة هي$${\displaystyle c_{n}^{(k)}=n!(-1)^{k}s(-n,k),}$$أين${\displaystyle s(-n,k)}$أعداد ستيرلينغ من النوع الأول معممة إلى وسيط أول سالب، و$${\displaystyle c_{n}^{(k)}=\sum _{j=1}^{n}{\binom {n}{j}}{\frac {(-1)^{j-1}}{j^{k}}},}$$والتي عثر عليها دونالد كنوث .

في الواقع، تم تعريف هذه الأرقام بطريقة أكثر عمومية باستخدام الأرقام الرومانية والمضروب الروماني ، والتي تتضمن قيمًا سالبة لـ${\displaystyle n}$كان هذا التعميم مفيدًا في دراستهم لتحديد اللوغاريتمات التوافقية .

توجد صيغة تقريبية تُعطي نفس نتيجة الاستمرار التحليلي للتكامل الموصوف آنفًا. عند محاولة تقريب H _{_x} لعدد مركب x ، من المفيد أولًا حساب H _{_m} لعدد صحيح كبير m . ثم استخدام هذه القيمة كتقريب لقيمة H _{_{m + x}}. بعد ذلك، نستخدم علاقة التكرار H _{_n} = H _{_{n -1}} + 1/ n عكسيًا m مرة، للوصول إلى تقريب لـ H _{_x} . علاوة على ذلك، يكون هذا التقريب دقيقًا عندما يؤول m إلى اللانهاية.        

وبالتحديد، بالنسبة لعدد صحيح ثابت n ، فإن الأمر هو أن  $${\displaystyle \lim _{m\rightarrow \infty }\left[H_{m+n}-H_{m}\right]=0.}$$

إذا لم يكن n عددًا صحيحًا، فلا يمكن الجزم بصحة هذه المعادلة لأننا لم نُعرّف بعد (في هذا القسم) الأعداد التوافقية للأعداد غير الصحيحة. مع ذلك، نحصل على امتداد فريد للأعداد التوافقية للأعداد غير الصحيحة من خلال اشتراط استمرار صحة هذه المعادلة عند استبدال العدد الصحيح n بأي عدد مركب x .   

$${\displaystyle \lim _{m\rightarrow \infty }\left[H_{m+x}-H_{m}\right]=0\,.}$$ بتبديل ترتيب طرفي هذه المعادلة ثم طرحهما من H _x نحصل على  $${\displaystyle {\begin{aligned}H_{x}&=\lim _{m\rightarrow \infty }\left[H_{m}-(H_{m+x}-H_{x})\right]\\[6pt]&=\lim _{m\rightarrow \infty }\left[\left(\sum _{k=1}^{m}{\frac {1}{k}}\right)-\left(\sum _{k=1}^{m}{\frac {1}{x+k}}\right)\right]\\[6pt]&=\lim _{m\rightarrow \infty }\sum _{k=1}^{m}\left({\frac {1}{k}}-{\frac {1}{x+k}}\right)=x\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k(x+k)}}\,.\end{aligned}}}$$

تتقارب هذه المتسلسلة اللانهائية لجميع الأعداد المركبة x باستثناء الأعداد الصحيحة السالبة، حيث لا تتقارب لأن محاولة استخدام علاقة التكرار H _{_n} = H _{_{n -1}} + 1/ n عكسيًا حتى القيمة n = 0 تتضمن القسمة على صفر. وبناءً على هذا البناء، فإن الدالة التي تُعرّف العدد التوافقي للأعداد المركبة هي الدالة الوحيدة التي تُحقق في آنٍ واحد ما يلي: (1) H _₀ = 0 ، (2) H _{_x} = H _{_{x -1}} + 1/ x لجميع الأعداد المركبة x باستثناء الأعداد الصحيحة غير الموجبة، و(3) lim _{m → +∞} ( H_{_m + x} − H _{_m} ) = 0 لجميع الأعداد المركبة x .    

يمكن استخدام هذه الصيغة الأخيرة لإثبات أن $${\displaystyle \int _{0}^{1}H_{x}\,dx=\gamma ,}$$ حيث γ هو ثابت أويلر-ماسكيروني، أو بشكل أعم، لكل n لدينا:   $${\displaystyle \int _{0}^{n}H_{x}\,dx=n\gamma +\ln(n!).}$$

توجد القيم التحليلية الخاصة التالية للوسائط الكسرية بين 0 و1، والتي تُعطى بواسطة التكامل $${\displaystyle H_{\alpha }=\int _{0}^{1}{\frac {1-x^{\alpha }}{1-x}}\,dx\,.}$$

قد يتم توليد المزيد من القيم من علاقة التكرار $${\displaystyle H_{\alpha }=H_{\alpha -1}+{\frac {1}{\alpha }}\,,}$$ أو من علاقة الانعكاس $${\displaystyle H_{-\alpha }-H_{\alpha -1}=\pi \cot {(\pi \alpha )}.}$$

على سبيل المثال: $${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\frac {1}{2}}&=2-2\ln 2\\H_{\frac {1}{3}}&=3-{\frac {\pi }{2{\sqrt {3}}}}-{\frac {3}{2}}\ln 3\\H_{\frac {2}{3}}&={\frac {3}{2}}+{\frac {\pi }{2{\sqrt {3}}}}-{\frac {3}{2}}\ln 3\\H_{\frac {1}{4}}&=4-{\frac {\pi }{2}}-3\ln 2\\H_{\frac {1}{5}}&=5-{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {1+{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}-{\frac {5}{4}}\ln 5-{\frac {\sqrt {5}}{2}}\ln \left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)\\H_{\frac {3}{4}}&={\frac {4}{3}}+{\frac {\pi }{2}}-3\ln 2\\H_{\frac {1}{6}}&=6-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\pi -2\ln 2-{\frac {3}{2}}\ln 3\\H_{\frac {1}{8}}&=8-{\frac {1+{\sqrt {2}}}{2}}\pi -4\ln {2}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\ln \left(2+{\sqrt {2}}\right)-\ln \left(2-{\sqrt {2}}\right)\right)\\H_{\frac {1}{12}}&=12-\left(1+{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)\pi -3\ln {2}-{\frac {3}{2}}\ln {3}+{\sqrt {3}}\ln \left(2-{\sqrt {3}}\right)\end{aligned}}}$$

والتي يتم حسابها عبر نظرية غاوس ديغاما ، والتي تنص أساسًا على أنه بالنسبة للأعداد الصحيحة الموجبة p و q حيث p < q$${\displaystyle H_{\frac {p}{q}}={\frac {q}{p}}+2\sum _{k=1}^{\lfloor {\frac {q-1}{2}}\rfloor }\cos \left({\frac {2\pi pk}{q}}\right)\ln \left({\sin \left({\frac {\pi k}{q}}\right)}\right)-{\frac {\pi }{2}}\cot \left({\frac {\pi p}{q}}\right)-\ln \left(2q\right)}$$

بعض مشتقات الأعداد التوافقية الكسرية معطاة بواسطة $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{n}H_{x}}{dx^{n}}}&=(-1)^{n+1}n!\left[\zeta (n+1)-H_{x,n+1}\right]\\[6pt]{\frac {d^{n}H_{x,2}}{dx^{n}}}&=(-1)^{n+1}(n+1)!\left[\zeta (n+2)-H_{x,n+2}\right]\\[6pt]{\frac {d^{n}H_{x,3}}{dx^{n}}}&=(-1)^{n+1}{\frac {1}{2}}(n+2)!\left[\zeta (n+3)-H_{x,n+3}\right].\end{aligned}}}$$

وباستخدام متسلسلة ماكلورين ، لدينا بالنسبة لـ x < 1 ما يلي: $${\displaystyle {\begin{aligned}H_{x}&=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}x^{n}\zeta (n+1)\\[5pt]H_{x,2}&=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}(n+1)x^{n}\zeta (n+2)\\[5pt]H_{x,3}&={\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}(n+1)(n+2)x^{n}\zeta (n+3).\end{aligned}}}$$

بالنسبة للقيم الكسرية بين 0 و 1، وعندما تكون قيمة a أكبر من 1، $${\displaystyle {\begin{aligned}H_{1/a}&={\frac {1}{a}}\left(\zeta (2)-{\frac {1}{a}}\zeta (3)+{\frac {1}{a^{2}}}\zeta (4)-{\frac {1}{a^{3}}}\zeta (5)+\cdots \right)\\[6pt]H_{1/a,\,2}&={\frac {1}{a}}\left(2\zeta (3)-{\frac {3}{a}}\zeta (4)+{\frac {4}{a^{2}}}\zeta (5)-{\frac {5}{a^{3}}}\zeta (6)+\cdots \right)\\[6pt]H_{1/a,\,3}&={\frac {1}{2a}}\left(2\cdot 3\zeta (4)-{\frac {3\cdot 4}{a}}\zeta (5)+{\frac {4\cdot 5}{a^{2}}}\zeta (6)-{\frac {5\cdot 6}{a^{3}}}\zeta (7)+\cdots \right).\end{aligned}}}$$