التوتر السطحي

يُقاس التوتر السطحي، الذي يُرمز له بالرمز γ (أو σ أو T )، بوحدة القوة لكل وحدة طول . ووحدته في النظام الدولي للوحدات هي نيوتن لكل متر، ولكن تُستخدم أيضًا وحدة الداين لكل سنتيمتر في النظام السنتيغرامي- الغرامي -الثاني، خاصةً في المراجع القديمة. على سبيل المثال، ^{[ 5 ]}$$// =0.001~\mathrm {\frac {J}{m^{2}}} .}$$

يمكن تعريف التوتر السطحي من حيث القوة أو الطاقة.

يمكن ملاحظة العديد من تأثيرات التوتر السطحي في الماء العادي:

• 
  أ. قطرات الماء تتجمع على ورقة شجر
• 
  ب. الماء يتساقط من الصنبور
• 
  ج- تبقى حشرات الماء على سطح السائل بسبب التوتر السطحي
• 
  د. مصباح الحمم البركانية مع تفاعل بين سوائل مختلفة: الماء والشمع السائل
• 
  هـ. صورة توضح ظاهرة " دموع النبيذ ".

يظهر التوتر السطحي في ظواهر شائعة أخرى، خاصة عند استخدام المواد الخافضة للتوتر السطحي لتقليله:

• تتميز فقاعات الصابون بمساحة سطحية كبيرة جدًا وكتلة ضئيلة للغاية. وتكون الفقاعات في الماء النقي غير مستقرة. إلا أن إضافة المواد الفعالة سطحيًا قد تُسهم في استقرار الفقاعات (انظر تأثير مارانغوني ). في الواقع، تُقلل هذه المواد التوتر السطحي للماء بمقدار ثلاثة أضعاف أو أكثر.
• المستحلبات نوع من أنواع التشتت الغرواني حيث يلعب التوتر السطحي دورًا هامًا. تتجمع قطرات الزيت الصغيرة المنتشرة في الماء النقي تلقائيًا وتنفصل إلى طورين. يؤدي إضافة المواد الفعالة سطحيًا إلى تقليل التوتر السطحي البيني، مما يسمح بتكوين قطرات الزيت في الوسط المائي (أو العكس). يعتمد استقرار قطرات الزيت المتكونة على العديد من العوامل الكيميائية والبيئية المختلفة.

إذا لم تؤثر أي قوة عمودية على سطح مشدود، فسيظل السطح مستويًا. ولكن إذا اختلف الضغط على أحد جانبي السطح عن الضغط على الجانب الآخر، فإن حاصل ضرب فرق الضغط في مساحة السطح ينتج عنه قوة عمودية. ولكي تلغي قوى التوتر السطحي قوة الضغط، يجب أن يكون السطح منحنيًا. يوضح الرسم التخطيطي كيف يؤدي انحناء سطح رقعة صغيرة إلى وجود مركبة صافية لقوى التوتر السطحي تؤثر عموديًا على مركز الرقعة. عندما تتوازن جميع القوى، تُعرف المعادلة الناتجة بمعادلة يونغ-لابلاس : ^{[ 11 ]}$${\displaystyle \Delta p=\gamma \left({\frac {1}{R_{x}}}+{\frac {1}{R_{y}}}\right)}$$ أين:

• Δ p هو فرق الضغط، المعروف باسم ضغط لابلاس . ^{[ 12 ]}
• γ هو التوتر السطحي.
• R _x و R _y هما نصفا قطر الانحناء في كل محور من المحاور الموازية للسطح.

الكمية بين قوسين على الجانب الأيمن هي في الواقع (ضعف) متوسط ​​انحناء السطح (بحسب المعايرة). تحدد حلول هذه المعادلة شكل قطرات الماء، والبرك، والهلالات، وفقاعات الصابون، وجميع الأشكال الأخرى التي يحددها التوتر السطحي (مثل شكل آثار أقدام حشرة الماء على سطح البركة). يوضح الجدول أدناه كيف يزداد الضغط الداخلي لقطرة الماء مع تناقص نصف قطرها. بالنسبة للقطرات غير الصغيرة جدًا، يكون التأثير طفيفًا، لكن فرق الضغط يصبح هائلًا عندما تقترب أحجام القطرات من حجم الجزيء. (في حالة الجزيء الواحد، يصبح المفهوم بلا معنى).

عند وضع جسم على سائل، يضغط وزنه (Fw ₎ على السطح، وإذا تساوى التوتر السطحي مع القوة المؤثرة لأسفل، فإنهما يتوازنان بفعل قوى التوتر السطحي على كلا الجانبين (Fs ₎ ، والتي تكون كل منها موازية لسطح الماء عند نقاط التلامس مع الجسم. لاحظ أن أي حركة طفيفة في الجسم قد تتسبب في غرقه. مع انخفاض زاوية التلامس، يقل التوتر السطحي. تشير المركبات الأفقية لسهمي _Fs في اتجاهين متعاكسين، لذا فهي تلغي بعضها بعضًا، بينما تشير المركبات الرأسية في الاتجاه نفسه، وبالتالي تتجمع ^{[ 4 ]} لتوازن Fw _. يجب ألا يكون سطح الجسم قابلاً للبلل حتى يحدث هذا، ويجب أن يكون وزنه منخفضًا بما يكفي ليتحمله التوتر السطحي. إذا رمزنا لكتلة الإبرة (m) وتسارع الجاذبية الأرضية (g) ، فإننا نحصل على:

$${\displaystyle F_{\mathrm {w}}=2F_{\mathrm {s} }\sin \theta \quad \Leftrightarrow \quad mg=2\gamma L\sin \theta }$$

قد يكون إيجاد شكل السطح الأدنى المحصور بإطار ذي شكل عشوائي باستخدام الوسائل الرياضية البحتة مهمة شاقة. ولكن، بتشكيل الإطار من سلك وغمره في محلول صابون، سيظهر سطح أدنى محليًا في طبقة الصابون الناتجة في غضون ثوانٍ. ^{[ 8 ] [ 13 ]}

يعود السبب في ذلك إلى أن فرق الضغط عبر سطح التماس بين سائلين يتناسب طرديًا مع متوسط ​​الانحناء ، كما هو موضح في معادلة يونغ-لابلاس . بالنسبة لغشاء صابون مفتوح، يكون فرق الضغط صفرًا، وبالتالي يكون متوسط ​​الانحناء صفرًا، وتتميز الأسطح الدنيا بخاصية انعدام متوسط ​​الانحناء.

سطح أي سائل هو سطح فاصل بين ذلك السائل ووسط آخر. ^{[ ملاحظة 1 ]} على سبيل المثال، السطح العلوي لبركة ماء هو سطح فاصل بين ماء البركة والهواء. إذن، التوتر السطحي ليس خاصية للسائل وحده، بل هو خاصية لسطحه الفاصل مع وسط آخر. إذا كان السائل في وعاء، فإلى جانب السطح الفاصل بين السائل والهواء عند سطحه العلوي، يوجد أيضًا سطح فاصل بين السائل وجدران الوعاء. عادةً ما يكون التوتر السطحي بين السائل والهواء مختلفًا (أكبر) من التوتر السطحي بينه وبين جدران الوعاء. وعند نقطة التقاء السطحين، يجب أن يكون شكلهما الهندسي بحيث تتوازن جميع القوى. ^{[ 8 ] [ 11 ]}

عند التقاء السطحين، تتشكل زاوية تماس θ ، وهي الزاوية التي يصنعها المماس للسطح مع السطح الصلب. لاحظ أن الزاوية تُقاس عبر السائل ، كما هو موضح في الرسوم البيانية أعلاه. يوضح الرسم البياني على اليمين مثالين. تُظهر قوى الشد عند سطح التماس بين السائل والهواء، وسطح التماس بين السائل والصلب، وسطح التماس بين الصلب والهواء. في المثال على اليسار، يكون الفرق بين توتر السطح بين السائل والصلب وتوتر السطح بين الصلب والهواء، _{γls −} γsa ، أقل _من توتر السطح بين السائل والهواء، γla ، ولكنه مع ذلك موجب.

$${\displaystyle \gamma _{\mathrm {la} }>\gamma _{\mathrm {ls} }-\gamma _{\mathrm {sa} }>0}$$

في الرسم التوضيحي، يجب أن تتلاشى كل من القوى الرأسية والأفقية تمامًا عند نقطة التلامس، وهو ما يُعرف بالتوازن . يتم إلغاء المركبة الأفقية للقوة f_{_la} بواسطة قوة الالتصاق f _{_A} . ^{[ 8 ]}

$${\displaystyle f_{\mathrm {A} }=f_{\mathrm {la} }\sin \theta }$$

لكن التوازن الأكثر دلالة للقوى يكمن في الاتجاه الرأسي. يجب أن يلغي المكون الرأسي لـ f _la تمامًا الفرق بين القوى على طول السطح الصلب، f _ls − f _sa . ^{[ 8 ]}

$${\displaystyle f_{\mathrm {ls} }-f_{\mathrm {sa} }=-f_{\mathrm {la} }\cos \theta }$$

وبما أن القوى تتناسب طردياً مع توتراتها السطحية، فإننا نحصل أيضاً على: ^{[ 11 ]}

$${\displaystyle \gamma _{\mathrm {ls} }-\gamma _{\mathrm {sa} }=-\gamma _{\mathrm {la} }\cos \theta }$$

أين

• يمثل γ _ls التوتر السطحي بين السائل والصلب،
• γ _la هو التوتر السطحي بين السائل والهواء،
• γ _sa هو التوتر السطحي بين المادة الصلبة والهواء،
• θ هي زاوية التلامس، حيث يكون للهلالة المقعرة زاوية تلامس أقل من 90 درجة، ويكون للهلالة المحدبة زاوية تلامس أكبر من 90 درجة. ^{[ 8 ]}

وهذا يعني أنه على الرغم من صعوبة قياس الفرق بين التوتر السطحي بين السائل والصلب والتوتر السطحي بين الصلب والهواء، γ _ls − γ _{sa ، بشكل مباشر، إلا أنه يمكن استنتاجه من التوتر السطحي بين السائل والهواء،} γ _la ، وزاوية التلامس عند التوازن، θ ، وهي دالة لزوايا التلامس المتقدمة والمتراجعة التي يسهل قياسها (انظر المقالة الرئيسية زاوية التلامس ).

توجد هذه العلاقة نفسها في الرسم البياني على اليمين. ولكن في هذه الحالة، نرى أنه نظرًا لأن زاوية التلامس أقل من 90 درجة، فإن فرق التوتر السطحي بين السائل والصلب/الصلب والهواء يجب أن يكون سالبًا:

$${\displaystyle \gamma _{\mathrm {la} }>0>\gamma _{\mathrm {ls} }-\gamma _{\mathrm {sa} }}$$

يتكون البارومتر الزئبقي القديم من أنبوب زجاجي رأسي قطره حوالي 1 سم، مملوء جزئيًا بالزئبق، مع وجود فراغ (يُسمى فراغ توريتشيلي ) في الجزء غير المملوء (انظر الرسم التوضيحي على اليمين). لاحظ أن مستوى الزئبق في مركز الأنبوب أعلى منه عند الحواف، مما يجعل السطح العلوي للزئبق على شكل قبة. سيكون مركز كتلة عمود الزئبق بأكمله أقل قليلاً لو كان السطح العلوي للزئبق مستويًا على كامل المقطع العرضي للأنبوب. لكن السطح العلوي المقبب يقلل قليلاً من مساحة السطح المتاحة لكتلة الزئبق بأكملها. مرة أخرى، يجتمع هذان التأثيران لتقليل طاقة الوضع الكلية. يُعرف هذا الشكل السطحي باسم الهلال المحدب. 

نأخذ في الاعتبار مساحة سطح كتلة الزئبق بأكملها، بما في ذلك الجزء الملامس للزجاج، لأن الزئبق لا يلتصق بالزجاج إطلاقًا. لذا، يؤثر التوتر السطحي للزئبق على كامل مساحة سطحه، بما في ذلك منطقة التلامس مع الزجاج. لو كان الأنبوب مصنوعًا من النحاس بدلًا من الزجاج، لكان الوضع مختلفًا تمامًا. يلتصق الزئبق بالنحاس بشدة. لذا، في أنبوب نحاسي، سيكون مستوى الزئبق في مركز الأنبوب أقل منه عند الحواف (أي أنه سيكون على شكل هلال مقعر). في حالة التصاق السائل بجدران الوعاء، نعتبر أن الجزء من سطح السائل الملامس للوعاء ذو ​​توتر سطحي سالب . يعمل السائل حينها على زيادة مساحة التلامس إلى أقصى حد. لذا، في هذه الحالة، تؤدي زيادة مساحة التلامس مع الوعاء إلى تقليل طاقة الوضع بدلًا من زيادتها. هذا النقص كافٍ لتعويض زيادة طاقة الوضع المرتبطة برفع السائل بالقرب من جدران الوعاء.

إذا كان الأنبوب ضيقًا بما يكفي وكان التصاق السائل بجدرانه قويًا بما يكفي، فإن التوتر السطحي يمكن أن يسحب السائل إلى أعلى الأنبوب في ظاهرة تُعرف بالخاصية الشعرية . ويُحدد قانون جورين ارتفاع عمود السائل : ^{[ 8 ]}

$${\displaystyle h={\frac {2\gamma _{\mathrm {la} }\cos \theta }{\rho gr}}}$$

أين

• يمثل h الارتفاع الذي يرتفع إليه السائل،
• γ _la هو التوتر السطحي بين السائل والهواء،
• ρ هي كثافة السائل،
• يمثل r نصف قطر الأنبوب الشعري،
• g هو تسارع الجاذبية الأرضية،
• θ هي زاوية التلامس الموصوفة أعلاه. إذا كانت θ أكبر من 90 درجة، كما هو الحال مع الزئبق في وعاء زجاجي، فسوف ينخفض ​​السائل بدلاً من أن يرتفع.

عند سكب الزئبق على سطح زجاجي أفقي مسطح، تتكون بركة ذات سمك ملحوظ. لا تتسع هذه البركة إلا حتى يصل سمكها إلى أقل من نصف سنتيمتر بقليل، ولا تقل عن ذلك. ويعود هذا إلى تأثير التوتر السطحي القوي للزئبق. تتسطح الكتلة السائلة لأن ذلك يُقلل من كمية الزئبق إلى أدنى مستوى ممكن، بينما يعمل التوتر السطحي في الوقت نفسه على تقليل مساحة السطح الكلية. والنتيجة النهائية هي بركة ذات سمك ثابت تقريبًا.

يمكن إجراء تجربة التوتر السطحي نفسها باستخدام الماء أو ماء الجير أو حتى المحلول الملحي، ولكن فقط على سطح مصنوع من مادة لا يلتصق بها الماء. الشمع مثال على هذه المادة. فالماء المسكوب على سطح شمعي أملس ومستوٍ وأفقي، كلوح زجاجي مشمع مثلاً، سيتصرف بشكل مشابه للزئبق المسكوب على الزجاج.

يتم تحديد سمك بركة من السائل على سطح تكون زاوية التلامس فيه 180 درجة من خلال: ^{[ 11 ]}

$${\displaystyle h=2{\sqrt {\frac {\gamma }{g\rho }}}}$$

أين

• يمثل h عمق البركة بالسنتيمترات أو الأمتار.
• γ هو التوتر السطحي للسائل بوحدة داين لكل سنتيمتر أو نيوتن لكل متر.
• g هو تسارع الجاذبية الأرضية ويساوي 980  سم/ث² ^أو 9.8  م/ ^ث²
• ρ هي كثافة السائل بالجرام لكل سنتيمتر مكعب أو بالكيلوجرام لكل متر مكعب

في الواقع، ستكون سماكة البرك أقل قليلاً مما هو متوقع وفقًا للصيغة المذكورة أعلاه، لأن عددًا قليلاً جدًا من الأسطح يكون له زاوية تلامس 180 درجة مع أي سائل. عندما تكون زاوية التلامس أقل من 180 درجة، تُعطى السماكة بالمعادلة التالية: ^{[ 11 ]}

$${\displaystyle h={\sqrt {\frac {2\gamma _{\mathrm {la} }\left(1-\cos \theta \right)}{g\rho }}}.}$$

بالنسبة للزئبق على الزجاج، γ _Hg = 487 داين/سم، ρ _Hg = 13.5 جم/سم³ ^، و θ = 140°، مما يعطي h _Hg = 0.36  سم. أما بالنسبة للماء على البارافين عند 25  درجة مئوية، γ = 72 داين/سم، ρ = 1.0 جم/سم³ ^، و θ = 107° _، مما يعطي h _H₂O = 0.44 _سم  .

وتتوقع الصيغة أيضاً أنه عندما تكون زاوية التلامس صفراً، سينتشر السائل على شكل طبقة رقيقة جداً فوق السطح. ويُقال إن هذا السطح قابل للتبليل تماماً بواسطة السائل.

في حياتنا اليومية، نلاحظ جميعًا أن تدفق الماء من الصنبور يتفتت إلى قطرات، مهما كان تدفقه سلسًا. ويعود ذلك إلى ظاهرة تُعرف باسم عدم استقرار بلاتو-رايلي ، ^{[ 11 ]} وهي نتيجة مباشرة لتأثيرات التوتر السطحي.

يبدأ تفسير هذا الاضطراب بوجود اضطرابات دقيقة في التيار. هذه الاضطرابات موجودة دائمًا، مهما كان التيار سلسًا. إذا تم تحليل هذه الاضطرابات إلى مكونات جيبية ، نجد أن بعض المكونات تنمو مع مرور الوقت بينما يتلاشى البعض الآخر. ومن بين المكونات التي تنمو مع الوقت، ينمو بعضها بمعدلات أسرع من غيرها. إن ما إذا كان المكون يتلاشى أو ينمو، وسرعة نموه، يعتمد كليًا على عدد موجاته (وهو مقياس لعدد القمم والقيعان لكل سنتيمتر) ونصف قطر التيار الأسطواني الأصلي.

• 
  تفكك طبقة متحركة من الماء ترتد عن ملعقة.
• 
  صورة لماء متدفق يلتصق بيد. التوتر السطحي يخلق طبقة من الماء بين التدفق واليد.
• 
  تعمل فقاعة الصابون على موازنة قوى التوتر السطحي مع الضغط الهوائي الداخلي .
• 
  يمنع التوتر السطحي العملة المعدنية من الغرق: فالعملة المعدنية بلا شك أكثر كثافة من الماء، لذلك يجب أن تزيح حجماً أكبر من حجمها حتى يتوازن الطفو مع الكتلة.
• 
  تطفو عملة معدنية من الألومنيوم على سطح الماء عند درجة حرارة 10  درجات مئوية. أي وزن إضافي سيؤدي إلى سقوط العملة إلى القاع.
• 
  زهرة الأقحوان. تقع الزهرة بأكملها تحت مستوى السطح الحر (غير المضطرب). يرتفع الماء بسلاسة حول حافتها. يمنع التوتر السطحي الماء من إزاحة الهواء بين البتلات واحتمال غمر الزهرة.
• 
  تطفو مشابك الورق المعدنية على الماء. ويمكن عادةً إضافة عدة مشابك بحرص دون أن يفيض الماء.
• 
  مشبك ورق معدني يطفو على الماء. وقد خلقت شبكة أمام الضوء "خطوطًا محيطية" تُظهر التشوه في سطح الماء الناتج عن مشبك الورق المعدني.

طوّر جيه دبليو جيبس ​​النظرية الديناميكية الحرارية للخاصية الشعرية استنادًا إلى فكرة أسطح عدم الاستمرارية. ^{[ 14 ]} درس جيبس ​​حالة سطح رياضي حاد يقع في مكان ما ضمن الواجهة الفيزيائية الضبابية مجهريًا الموجودة بين مادتين متجانستين. وإدراكًا منه أن الاختيار الدقيق لموقع السطح كان تعسفيًا إلى حد ما، تركه مرنًا. ولأن الواجهة موجودة في حالة توازن حراري وكيميائي مع المواد المحيطة بها (ذات درجة حرارة T وجهود كيميائية μ _i )، فقد درس جيبس ​​الحالة التي قد يمتلك فيها السطح طاقة فائضة، وإنتروبيا فائضة، وجسيمات فائضة، ووجد أن دالة الطاقة الحرة الطبيعية في هذه الحالة هي${\displaystyle U-TS-\mu _{1}N_{1}-\mu _{2}N_{2}\cdots }$وهي كمية سُميت فيما بعد بالإمكانات الكبرى وأُعطيت الرمز${\displaystyle \Omega }$.

بالنظر إلى حجم فرعي معين${\displaystyle V}$يحتوي على سطح عدم استمرارية، ويتم تقسيم الحجم بواسطة السطح الرياضي إلى جزأين A و B، بحجمين${\displaystyle V_{\text{A}}}$و${\displaystyle V_{\text{B}}}$، مع${\displaystyle V=V_{\text{A}}+V_{\text{B}}}$بالضبط. الآن، إذا كان الجزآن أ و ب سائلين متجانسين (بضغوط${\displaystyle p_{\text{A}}}$،${\displaystyle p_{\text{B}}}$وظلت متجانسة تمامًا حتى الحد الرياضي، دون أي تأثيرات سطحية، فإن إجمالي الإمكانات الكلية لهذا الحجم سيكون ببساطة${\displaystyle -p_{\text{A}}V_{\text{A}}-p_{\text{B}}V_{\text{B}}}$تُعدّ التأثيرات السطحية محل الاهتمام تعديلاً على ذلك، ويمكن جمعها جميعاً في مصطلح طاقة السطح الحرة.${\displaystyle \Omega _{\text{S}}}$وبذلك يصبح إجمالي الإمكانات الكبرى للحجم كما يلي: $${\displaystyle \Omega =-p_{\text{A}}V_{\text{A}}-p_{\text{B}}V_{\text{B}}+\Omega _{\text{S}}.}$$

بالنسبة للأسطح الكبيرة والمنحنية بلطف، يجب أن تكون طاقة السطح الحرة متناسبة ببساطة مع مساحة السطح: ^{[ 14 ] [ 15 ]}$${\displaystyle \Omega _{\text{S}}=\gamma A,}$$ للتوتر السطحي${\displaystyle \gamma }$ومساحة السطح${\displaystyle A}$.

كما ذُكر أعلاه، فإن هذا يعني أن الشغل الميكانيكي اللازم لزيادة مساحة السطح A هو dW = γ dA ، بافتراض ثبات الأحجام على كل جانب. وتقتضي الديناميكا الحرارية أنه بالنسبة للأنظمة التي تُحفظ عند جهد كيميائي ودرجة حرارة ثابتين، فإن جميع التغيرات التلقائية في الحالة يصاحبها انخفاض في هذه الطاقة الحرة.${\displaystyle \Omega }$أي زيادة في الإنتروبيا الكلية مع الأخذ في الاعتبار الحركة المحتملة للطاقة والجسيمات من السطح إلى السوائل المحيطة. ومن هذا يتضح سبب كون انخفاض مساحة سطح كتلة من السائل تلقائيًا دائمًا ، شريطة ألا يقترن بأي تغيرات أخرى في الطاقة. ويترتب على ذلك أنه لزيادة مساحة السطح، يجب إضافة كمية معينة من الطاقة.

لقد واجه جيبس ​​وعلماء آخرون صعوبة في تحديد الموضع الدقيق للسطح على المستوى المجهري. ^{[ 16 ]} بالنسبة للأسطح المجهرية ذات الانحناءات الشديدة، لا يصح افتراض أن التوتر السطحي مستقل عن الحجم، وهنا تبرز أهمية مفاهيم مثل طول تولمان . أما بالنسبة للأسطح ذات الحجم العياني (والأسطح المستوية)، فإن موضع السطح لا يؤثر بشكل كبير على قيمة γ ؛ ومع ذلك، فإنه يؤثر بشكل كبير على قيم إنتروبيا السطح، وكثافة الكتلة الزائدة السطحية، والطاقة الداخلية السطحية، ^{[ 14 ] : 237} ، وهي المشتقات الجزئية لدالة التوتر السطحي.${\displaystyle \gamma (T,\mu _{1},\mu _{2},\cdots )}$.

أكد جيبس ​​أن طاقة السطح الحرة للمواد الصلبة قد تختلف تمامًا عن إجهاد السطح (ما أسماه التوتر السطحي): ^{[ 14 ] : 315} طاقة السطح الحرة هي الشغل اللازم لتشكيل السطح ، بينما إجهاد السطح هو الشغل اللازم لتمديده . في حالة سطح فاصل بين سائلين، لا يوجد فرق بين التشكيل والتمديد لأن السوائل والسطح يستعيدون حالتهم تمامًا عند تمديد السطح. بالنسبة للمادة الصلبة، يؤدي تمديد السطح، حتى لو كان مرنًا، إلى تغيير جذري فيه. علاوة على ذلك، فإن إجهاد السطح على المادة الصلبة كمية اتجاهية ( موتر إجهاد )، بينما طاقة السطح كمية قياسية.

بعد خمسة عشر عامًا من جيبس، طور جيه دي فان دير فالس نظرية التأثيرات الشعرية بناءً على فرضية التغير المستمر في الكثافة. ^{[ 17 ]} وقد أضاف إلى كثافة الطاقة مصطلحًا${\displaystyle c(\nabla \rho )^{2},}$حيث c هو معامل الخاصية الشعرية و ρ هي الكثافة. بالنسبة لتوازنات الأطوار المتعددة ، تتطابق نتائج منهج فان دير فالس عمليًا مع معادلات جيبس، ولكن لنمذجة ديناميكيات التحولات الطورية، يُعد منهج فان دير فالس أكثر ملاءمة. ^{[ 18 ] [ 19 ]} تُستخدم طاقة الخاصية الشعرية لفان دير فالس الآن على نطاق واسع في نماذج مجال الطور للتدفقات متعددة الأطوار. كما تم اكتشاف هذه المصطلحات في ديناميكيات الغازات غير المتوازنة. ^{[ 20 ]}

يمكن اشتقاق الضغط داخل فقاعة كروية مثالية من اعتبارات الطاقة الحرة الديناميكية الحرارية. ^{[ 15 ]} ويمكن كتابة الطاقة الحرة المذكورة أعلاه على النحو التالي: $${\displaystyle \Omega =-\Delta PV_{\text{A}}-p_{\text{B}}V+\gamma A}$$ أين${\displaystyle \Delta P=p_{\text{A}}-p_{\text{B}}}$يمثل فرق الضغط بين داخل الفقاعة (أ) وخارجها (ب)، و${\displaystyle V_{\text{A}}}$يمثل حجم الفقاعة. في حالة التوازن، يكون dΩ = 0 ، وبالتالي، $${\displaystyle \Delta P\,dV_{\text{A}}=\gamma \,dA.}$$

بالنسبة للفقاعة الكروية، يُعطى الحجم ومساحة السطح ببساطة بواسطة $${\displaystyle V_{\text{A}}={\tfrac {4}{3}}\pi R^{3}\quad \rightarrow \quad dV_{\text{A}}=4\pi R^{2}\,dR,}$$ و $${\displaystyle A=4\pi R^{2}\quad \rightarrow \quad dA=8\pi R\,dR.}$$

وبإدخال هذه العلاقات في التعبير السابق، نجد $${\displaystyle \Delta P={\frac {2}{R}}\gamma ,}$$ وهو ما يعادل معادلة يونغ-لابلاس عندما R _x = R _y .

تأثير درجة الحرارة

يعتمد التوتر السطحي على درجة الحرارة. لذا، عند تحديد قيمة التوتر السطحي لسطح فاصل، يجب ذكر درجة الحرارة صراحةً. ويشير الاتجاه العام إلى أن التوتر السطحي يتناقص مع ارتفاع درجة الحرارة، ليصل إلى الصفر عند درجة الحرارة الحرجة . لمزيد من التفاصيل، راجع قاعدة إيوتفوس . ولا توجد سوى معادلات تجريبية تربط بين التوتر السطحي ودرجة الحرارة.

• الوقائع: ^{[ 21 ] [ 22 ] [ 23 ]}$${\displaystyle \gamma V^{2/3}=k(T_{\mathrm {C} }-T).}$$هنا ، V هو الحجم المولي للمادة، _وTC هي درجة الحرارة الحرجة ، و k ثابت صالح لجميع المواد تقريبًا. ^{[ 21 ]} القيمة النموذجية لـ k هي :2.1 × 10⁻⁷ جول/ ^كلفن / ^{مول⁻² / 3. [  21 ] [ 23 ]} بالنسبة للماء ^، يمكن استخدام V = 18 مل ^/  مول و T _C = 647  كلفن (374  درجة مئوية). ^{[ 24 ]} وصف راماي وشيلدز صيغة معدلة لمعادلة إيوتفوس: ^{[ 25 ]}$${\displaystyle \gamma V^{2/3}=k\left(T_{\mathrm {C} }-T-6\,\mathrm {K} \right)}$$حيث أن فرق درجة الحرارة بمقدار 6 كلفن يوفر للصيغة ملاءمة أفضل للواقع عند درجات الحرارة المنخفضة.
• غوغنهايم-كاتاياما: ^{[ 22 ]}$${\displaystyle \gamma =\gamma ^{\circ }\left(1-{\frac {T}{T_{\mathrm {C} }}}\right)^{n}}$$γ ° ثابت لكل سائل، و n عامل تجريبي، قيمته 11/9 للسوائل العضوية . وقد اقترح فان دير فالس هذه المعادلة أيضًا ، واقترح كذلك أن γ ° يمكن التعبير عنها بالصيغة التالية :$${\displaystyle K_{2}T_{\mathrm {C} }^{1/3}P_{\mathrm {C} }^{2/3},}$$حيث K2 ثابت عالمي لجميع السوائل، و PC هو الضغط الحرج للسائل (على الرغم من أن التجارب اللاحقة وجدت _أن K2 يختلف إلى حد ما من سائل إلى آخر _{) .} ^{[ 22 ]}

يأخذ كل من غوغنهايم-كاتاياما وإيوتفوس في الاعتبار حقيقة أن التوتر السطحي يصل إلى 0 عند درجة الحرارة الحرجة، في حين أن راماي وشيلدز يفشلان في مطابقة الواقع عند هذه النقطة النهائية.

تأثير حجم الجسيمات على ضغط البخار

تؤدي علاقة كلاوزيوس -كلابيرون إلى معادلة أخرى تُنسب أيضًا إلى كلفن، وهي معادلة كلفن . تُفسر هذه المعادلة سبب كون ضغط بخار قطرات السائل الصغيرة المعلقة أكبر من ضغط بخار السائل نفسه عندما يكون السطح مستويًا، وذلك بسبب التوتر السطحي. أي أنه عندما يتشكل سائل على هيئة قطرات صغيرة، يكون تركيز بخاره في محيطه عند التوازن أكبر. ويعود ذلك إلى أن الضغط داخل القطرة أكبر من الضغط خارجها. ^{[ 25 ]}

$${\displaystyle P_{\mathrm {v} }^{\mathrm {fog} }=P_{\mathrm {v} }^{\circ }e^{V2\gamma /(RTr_{\mathrm {k} })}}$$

• P _v ° هو ضغط البخار القياسي لهذا السائل عند درجة الحرارة والضغط المذكورين.
• V هو الحجم المولي.
• R هو ثابت الغاز
• r _k هو نصف قطر كلفن، وهو نصف قطر القطرات.

تُفسر هذه الظاهرة فرط تشبع الأبخرة. ففي غياب مواقع التبلور ، يجب أن تتشكل قطرات صغيرة قبل أن تتطور إلى قطرات أكبر. ويتطلب ذلك ضغط بخار أعلى بكثير من ضغط البخار عند نقطة التحول الطوري . ^{[ 25 ]}

تُستخدم هذه المعادلة أيضًا في كيمياء المحفزات لتقييم المسامية المتوسطة للمواد الصلبة. ^{[ 26 ]}

يمكن النظر إلى التأثير من حيث متوسط ​​عدد الجزيئات المجاورة لجزيئات السطح (انظر الرسم التخطيطي).

يُظهر الجدول بعض القيم المحسوبة لهذا التأثير للماء بأحجام قطرات مختلفة:

P / P 0 لقطرات الماء ذات أنصاف أقطار مختلفة عند STP [ 22 ]
نصف قطر القطرة (نانومتر)	1000	100	10	1
P / P 0​​	1.001	1.011	1.114	2.95

يصبح التأثير واضحًا بالنسبة لأحجام القطرات الصغيرة جدًا، حيث  تحتوي قطرة نصف قطرها 1 نانومتر على حوالي 100 جزيء في الداخل، وهي كمية صغيرة بما يكفي لتتطلب تحليلًا ميكانيكيًا كميًا .

تم تحديد التوتر السطحي للماء السائل النقي عند ملامسته لبخاره بواسطة الرابطة الدولية لفيزياء الماء ^{[ 41 ]} على النحو التالي:

$${\displaystyle \gamma _{\text{w}}=235.8\left(1-{\frac {T}{T_{\text{C}}}}\right)^{1.256}\left[1-0.625\left(1-{\frac {T}{T_{\text{C}}}}\right)\right]~{\text{mN/m}},}$$

حيث تُقاس كل من درجة الحرارة T ودرجة الحرارة الحرجة T_{_C} = 647.096 كلفن بالكلفن . ويشمل نطاق الصلاحية منحنى تشبع البخار-السائل بالكامل، من النقطة الثلاثية (0.01 درجة مئوية) إلى النقطة الحرجة. كما يُعطي نتائج معقولة عند استقراء النتائج إلى ظروف شبه مستقرة (تبريد فائق)، وصولاً إلى -25 درجة مئوية على الأقل. وقد اعتمدت الجمعية الدولية لعلوم وفيزياء المواد الصلبة (IAPWS) هذه الصيغة في الأصل عام 1976، وتم تعديلها عام 1994 لتتوافق مع المقياس الدولي لدرجة الحرارة لعام 1990.   

تم تحديد نسبة عدم اليقين في هذه الصيغة على كامل نطاق درجات الحرارة بواسطة IAPWS. ^{[ 41 ]} بالنسبة لدرجات الحرارة الأقل من 100  درجة مئوية، فإن نسبة عدم اليقين هي ±0.5%.

نشر نايار وآخرون ^{[ 42 ]} بيانات مرجعية للتوتر السطحي لمياه البحر ضمن نطاق ملوحة يتراوح بين 20 و 131 غ/كغ ، ونطاق درجة حرارة يتراوح بين 1 و 92 درجة مئوية عند الضغط الجوي. يشمل نطاق درجة الحرارة والملوحة كلاً من النطاق الأوقيانوغرافي ونطاق الظروف المستخدمة في تقنيات التحلية الحرارية . تراوحت نسبة عدم اليقين في القياسات بين 0.18 و0.37  ملي نيوتن/متر، بمتوسط ​​0.22  ملي نيوتن/متر.

قام نايار وآخرون بربط البيانات بالمعادلة التالية $${\displaystyle \gamma _{\mathrm {sw} }=\gamma _{\mathrm {w} }\left(1+3.766\times 10^{-4}S+2.347\times 10^{-6}St\right)}$$ حيث γsw هو التوتر السطحي لمياه البحر بوحدة ملي نيوتن/متر، _و γw هو التوتر السطحي للماء بوحدة ملي نيوتن/متر، و _S هي الملوحة المرجعية ^{[ 43 ]} بوحدة غرام/كيلوغرام، و t هي درجة الحرارة بالدرجات المئوية. بلغ متوسط ​​الانحراف المطلق المئوي بين القياسات والارتباط 0.19%، بينما بلغ أقصى انحراف 0.60%.

اعتمدت الرابطة الدولية لخواص الماء والبخار (IAPWS) هذه العلاقة كدليل إرشادي معياري دولي. ^{[ 44 ]}