دالة لامبرت دبليو

في الرياضيات ، دالة لامبرت دبليو ، والتي تسمى أيضًا دالة أوميجا أو حاصل ضرب اللوغاريتم ، ^[1] هي دالة متعددة القيم ، وهي فروع العلاقة العكسية للدالة f ( w ) = we ^w ، حيث w هو أي عدد مركب و e ^w هي الدالة الأسية . سميت الدالة على اسم يوهان لامبرت ، الذي فكر في مشكلة ذات صلة في عام 1758. بناءً على عمل لامبرت، وصف ليونهارد أويلر دالة دبليو في حد ذاتها في عام 1783. ^{[ بحاجة لمصدر ]}

لكل عدد صحيح k يوجد فرع واحد، يُشار إليه بـ W _k ( z ) ، وهو دالة ذات قيمة مركبة لحجة مركبة واحدة. يُعرف W ₀ بالفرع الرئيسي . تتمتع هذه الدوال بالخاصية التالية: إذا كان z و w أي عددين مركبين، فإن

${\displaystyle نحن^{w}=z}$

ينطبق إذا وفقط إذا

${\displaystyle w=W_{k}(z)\ \ {\text{ لبعض الأعداد الصحيحة }}k.}$

عند التعامل مع الأعداد الحقيقية فقط، يكفي الفرعان W ₀ و W ₋₁ : بالنسبة للأعداد الحقيقية x و y ، المعادلة

${\displaystyle y=x}$

يمكن حلها لـ y فقط إذا كان x ≥ −1/هـ⁠ ؛ ينتج y = W ₀ ( x ) إذا كان x ≥ 0 والقيمتين y = W ₀ ( x ) و y = W ₋₁ ( x ) إذا كان − ⁠1/هـ≤ x < 0 .

لا يمكن التعبير عن فروع دالة لامبرت W من حيث الدوال الأولية . ^[2] وهي مفيدة في التركيبات ، على سبيل المثال، في تعداد الأشجار . ويمكن استخدامها لحل معادلات مختلفة تتضمن أُسيًا (على سبيل المثال، الحدود القصوى لتوزيعات بلانك وبوز-أينشتاين وفيرمي -ديراك ) وتحدث أيضًا في حل معادلات التفاضل المتأخرة ، مثل y ′( t ) = a y ( t − 1) . في الكيمياء الحيوية ، وخاصة حركية الإنزيم ، يتم وصف حل مفتوح الشكل لتحليل حركية المسار الزمني لحركية ميكايليس-مينتن من حيث دالة لامبرت W.

تتبع اتفاقية التدوين المختارة هنا (مع W ₀ و W ₋₁ ) المرجع القانوني لدالة Lambert W بواسطة Corless و Gonnet و Hare و Jeffrey و Knuth . ^[3]

يمكن فهم اسم "ضرب اللوغاريتم" على النحو التالي: بما أن الدالة العكسية لـ f ( w ) = e ^w تسمى اللوغاريتم ، فمن المنطقي أن نطلق على "الدالة" العكسية للضرب we w ^اسم "ضرب اللوغاريتم". (ملاحظة فنية: مثل اللوغاريتم المركب ، فهي متعددة القيم وبالتالي يوصف W بأنها العلاقة العكسية وليس الدالة العكسية.) وهي مرتبطة بثابت أوميجا ، الذي يساوي W ₀ (1) .

كان لامبرت أول من نظر في معادلة لامبرت المتعالية ذات الصلة في عام 1758، ^[4] مما أدى إلى مقال كتبه ليونهارد أويلر في عام 1783 ^[5] والذي ناقش الحالة الخاصة لـ we ^w .

المعادلة التي اعتبرها لامبرت كانت

${\displaystyle x=x^{m}+q.}$

قام أويلر بتحويل هذه المعادلة إلى الشكل

${\displaystyle x^{a}-x^{b}=(ab)cx^{a+b}.}$

توصل كلا المؤلفين إلى حل متسلسل لمعادلاتهم.

بمجرد أن حل أويلر هذه المعادلة، نظر في الحالة ⁠ ⁠${\displaystyle أ=ب}$ . وبأخذ الحدود، استنتج المعادلة

${\displaystyle \ln x=cx^{a}.}$

ثم وضع ⁠ ⁠${\displaystyle a=1}$ وحصل على حل متسلسل متقارب للمعادلة الناتجة، معبرًا عنها من${\displaystyle x}$ حيث ⁠ ${\displaystyle c}$⁠ .

بعد أخذ المشتقات بالنسبة إلى ⁠ ⁠${\displaystyle x}$ وبعض التلاعب، يتم الحصول على الشكل القياسي لدالة لامبرت.

في عام 1993، تم الإبلاغ عن أن دالة لامبرت توفر حلاً${\displaystyle W}$ دقيقًا لنموذج دالة ديراك دلتا ثنائية البئر في ميكانيكا الكم للشحنات المتساوية ^[6] - وهي مشكلة أساسية في الفيزياء. ونتيجة لهذا، أدرك روب كورليس ومطورو نظام الجبر الحاسوبي Maple أن "دالة لامبرت دبليو كانت مستخدمة على نطاق واسع في العديد من المجالات، ولكن بسبب اختلاف التدوين وغياب اسم قياسي، لم يكن الوعي بالدالة مرتفعًا كما ينبغي أن يكون". ^{[3] [7]}

مثال آخر حيث تم العثور على هذه الوظيفة هو في حركية ميكايليس-مينتن . ^[8]

على الرغم من الاعتقاد السائد بأن دالة لامبرت لا يمكن${\displaystyle W}$ التعبير عنها من حيث الدوال الأولية ( ليوفيلية )، إلا أن أول دليل منشور لم يظهر حتى عام 2008. ^[9]

هناك فروع عديدة لدالة W ، يشار إليها بـ W _k ( z ) ، للعدد الصحيح k ؛ حيث يكون W ₀ ( z ) هو الفرع الرئيسي (أو الرئيسي). يتم تعريف W ₀ ( z ) لجميع الأعداد المركبة z بينما يتم تعريف W _k ( z ) مع k ≠ 0 لجميع الأعداد غير الصفرية z . مع W ₀ (0) = 0 وليمز →0 W _k ( z ) = −∞ لجميع k ≠ 0 .

نقطة التفرع للفرع الرئيسي هي عند z = −1/هـ⁠ ، مع قطع فرع يمتد إلى −∞ على طول المحور الحقيقي السالب. يفصل قطع الفرع هذا الفرع الرئيسي عن الفرعين W ₋₁ و W _1. في جميع الفروع W _k مع k ≠ 0 ، توجد نقطة فرع عند z = 0 وقطع فرع على طول المحور الحقيقي السالب بالكامل.

الدوال W _k ( z )، k ∈ Z كلها دوال حقنية ونطاقاتها منفصلة. نطاق الدالة متعددة القيم W بالكامل هو المستوى المركب. صورة المحور الحقيقي هي اتحاد المحور الحقيقي ومربع هيبياس ، المنحنى البارامترى w = − t cot t + it .

يوضح مخطط النطاق أعلاه أيضًا المناطق في المستوى المركب حيث تكون العلاقة العكسية البسيطة صحيحة. وهذا يعني وجود مثل ⁠ ⁠ ${\displaystyle W(n,ze^{z})=z}$، حيث ⁠ ⁠ يعتمد على قيمة ⁠ ⁠ . تتغير قيمة العدد الصحيح ⁠ ⁠ فجأة عندما ⁠ ⁠ عند قطع الفرع من ⁠ ⁠ ، مما يعني أن ⁠ ≤ 0 ، باستثناء ⁠ ⁠ حيث يكون ≤ −1 / ⁠ ⁠ . ${\displaystyle f=ze^{z}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle z=W(n,f)=W(n,ze^{z})}$${\displaystyle n}$${\displaystyle z}$${\displaystyle n}$${\displaystyle ze^{z}}$${\displaystyle W(n,ze^{z})}$${\displaystyle ze^{z}}$${\displaystyle n=0}$${\displaystyle ze^{z}}$ ${\displaystyle e}$

من خلال تعريف ⁠ ⁠${\displaystyle z=x+iy}$ ، حيث ⁠ ⁠${\displaystyle x}$ و ⁠ ⁠${\displaystyle y}$ حقيقيان، والتعبير عن ⁠ ⁠${\displaystyle e^{z}}$ بالإحداثيات القطبية، نرى أن

${\displaystyle {\begin{aligned}ze^{z}&=(x+iy)e^{x}(\cos y+i\sin y)\\&=e^{x}(x\cos yy \sin y)+ie^{x}(x\sin y+y\cos y)\\\end{محاذاة}}}$

بالنسبة لـ ، فإن قطع الفرع لـ ⁠ ⁠ هو المحور الحقيقي غير الموجب، بحيث ${\displaystyle n\neq 0}$${\displaystyle W(n,ze^{z})}$

${\displaystyle x\sin y+y\cos y=0\Rightarrow x=-y/\tan(y),}$

و

${\displaystyle (x\cos yy\sin y)e^{x}\leq 0.}$

بالنسبة لـ ، فإن قطع الفرع لـ ⁠ ⁠ هو المحور الحقيقي مع ، بحيث تصبح المتباينة ${\displaystyle n=0}$${\displaystyle W[n,ze^{z}]}$${\displaystyle -\infty <z\leq -1/e}$

${\displaystyle (x\cos yy\sin y)e^{x}\leq -1/e.}$

داخل المناطق المحددة بما ورد أعلاه، لا توجد تغييرات متقطعة في ⁠ ⁠${\displaystyle W(n,ze^{z})}$ ، وتحدد هذه المناطق المكان الذي تكون فيه الدالة ⁠ ⁠${\displaystyle W}$ قابلة للعكس ببساطة، أي ⁠ ⁠${\displaystyle W(n,ze^{z})=z}$ .

من خلال التفاضل الضمني ، يمكننا أن نظهر أن جميع فروع W تلبي المعادلة التفاضلية

${\displaystyle z(1+W){\frac {dW}{dz}}=W\quad {\text{for}}z\neq -{\frac {1}{e}}.}$

( W غير قابلة للاشتقاق بالنسبة لـ z = −1/هـ. ) ونتيجة لذلك، نحصل على الصيغة التالية للمشتق لـ W :

${\displaystyle {\frac {dW}{dz}}={\frac {W(z)}{z(1+W(z))}}\quad {\text{for}}z\not \in \ يسار\{0,-{\frac {1}{e}}\يمين\}.}$

باستخدام الهوية e ^{W ( z )} = ⁠ز/و ( ز )⁠ ، يعطي الصيغة المكافئة التالية:

${\displaystyle {\frac {dW}{dz}}={\frac {1}{z+e^{W(z)}}}\quad {\text{for}}z\neq -{\frac { 1}{ه}}.}$

في الأصل لدينا

${\displaystyle W'_{0}(0)=1.}$

يمكن تكامل الدالة W ( x ) والعديد من التعبيرات الأخرى التي تتضمن W ( x ) باستخدام التعويض w = W ( x ) أي x = we ^w :

${\displaystyle {\begin{aligned}\int W(x)\,dx&=xW(x)-x+e^{W(x)}+C\\&=x\left(W(x)-1+{\frac {1}{W(x)}}\right)+C.\end{aligned}}}$

(المعادلة الأخيرة أكثر شيوعًا في الأدبيات ولكنها غير محددة عند x = 0 ). إحدى عواقب ذلك (باستخدام حقيقة أن W ₀ ( e ) = 1 ) هي الهوية

${\displaystyle \int _{0}^{e}W_{0}(x)\,dx=e-1.}$

يمكن إيجاد متسلسلة تايلور لـ W 0 حول 0 باستخدام نظرية عكس لاغرانج _ويتم إعطاؤها بواسطة

${\displaystyle W_{0}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-n)^{n-1}}{n!}}x^{n}=x-x^{2}+{\tfrac {3}{2}}x^{3}-{\tfrac {8}{3}}x^{4}+{\tfrac {125}{24}}x^{5}-\cdots .}$

نصف قطر التقارب هو1/هـكما يمكن رؤيته من خلال اختبار النسبة . يمكن توسيع الدالة المحددة بواسطة هذه السلسلة إلى دالة مجسمة محددة على جميع الأعداد المركبة مع قطع فرع على طول الفاصل (−∞، −1/هـ] ؛ تحدد هذه الدالة الشكلية الفرع الرئيسي لدالة لامبرت W.

بالنسبة للقيم الكبيرة لـ x ، فإن W ₀ مقارب لـ

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{0}(x)&=L_{1}-L_{2}+{\frac {L_{2}}{L_{1}}}+{\frac {L_{2}\left(-2+L_{2}\right)}{2L_{1}^{2}}}+{\frac {L_{2}\left(6-9L_{2}+2L_{2}^{2}\right)}{6L_{1}^{3}}}+{\frac {L_{2}\left(-12+36L_{2}-22L_{2}^{2}+3L_{2}^{3}\right)}{12L_{1}^{4}}}+\cdots \\[5pt]&=L_{1}-L_{2}+\sum _{l=0}^{\infty }\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{l}\left[{\begin{smallmatrix}l+m\\l+1\end{smallmatrix}}\right]}{m!}}L_{1}^{-l-m}L_{2}^{m},\end{aligned}}}$

حيث L ₁ = ln x ، L ₂ = ln ln x ، و [^{ل + م}
_{ل + 1}] هو عدد ستيرلينج غير سلبيمن النوع الأول.^[3]مع الاحتفاظ فقط بالحدين الأولين للتوسع،

${\displaystyle W_{0}(x)=\ln x-\ln \ln x+{\mathcal {o}}(1).}$

الفرع الحقيقي الآخر، W ₋₁ ، المحدد في الفاصل الزمني [ −1/هـ⁠ ، 0) ، له تقريب بنفس الشكل عندما يقترب x من الصفر، مع في هذه الحالة L ₁ = ln(− x ) و L ₂ = ln(−ln(− x )) . ^[3]

القوى الصحيحة لـ W ₀ تسمح أيضًا بتوسعات سلسلة تايلور (أو لوران ) البسيطة عند الصفر:

${\displaystyle W_{0}(x)^{2}=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {-2\left(-n\right)^{n-3}}{(n-2)!}}x^{n}=x^{2}-2x^{3}+4x^{4}-{\tfrac {25}{3}}x^{5}+18x^{6}-\cdots .}$

بشكل عام، بالنسبة لـ r ∈ Z ، تعطي صيغة عكس لاغرانج

${\displaystyle W_{0}(x)^{r}=\sum _{n=r}^{\infty }{\frac {-r\left(-n\right)^{n-r-1}}{(n-r)!}}x^{n},}$

وهو، بشكل عام، عبارة عن متسلسلة لوران من الدرجة r . وعلى نحو مكافئ، يمكن كتابة الأخيرة في شكل توسع تايلور لقوى W ₀ ( x ) / x :

${\displaystyle \left({\frac {W_{0}(x)}{x}}\right)^{r}=e^{-rW_{0}(x)}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {r\left(n+r\right)^{n-1}}{n!}}\left(-x\right)^{n},}$

الذي ينطبق على أي r ∈ C و | x | < ⁠1/هـ⁠ .

هناك عدد من الحدود غير المقاربة لدالة لامبرت.

أظهر هورفار وحسني ^[10] أن الحد التالي ينطبق على x ≥ e :

${\displaystyle \ln x-\ln \ln x+{\frac {\ln \ln x}{2\ln x}}\leq W_{0}(x)\leq \ln x-\ln \ln x+{\frac {e}{e-1}}{\frac {\ln \ln x}{\ln x}}.}$

كما أظهروا الحدود العامة

${\displaystyle W_{0}(x)\leq \ln \left({\frac {x+y}{1+\ln(y)}}\right),}$

لكل و ، مع المساواة فقط لـ . يسمح الحد بإنشاء العديد من الحدود الأخرى، مثل أخذ الذي يعطي الحد ${\displaystyle y>1/e}$${\displaystyle x\geq -1/e}$${\displaystyle x=y\ln(y)}$${\displaystyle y=x+1}$

${\displaystyle W_{0}(x)\leq \ln \left({\frac {2x+1}{1+\ln(x+1)}}\right).}$

في عام 2013 ثبت ^[11] أنه يمكن تحديد الفرع W _{−1 على النحو التالي:}

${\displaystyle -1-{\sqrt {2u}}-u<W_{-1}\left(-e^{-u-1}\right)<-1-{\sqrt {2u}}-{\tfrac {2}{3}}u\quad {\text{for }}u>0.}$

قام روبرتو إياكونو وجون ب. بويد ^[12] بتعزيز الحدود على النحو التالي:

${\displaystyle \ln \left({\frac {x}{\ln x}}\right)-{\frac {\ln \left({\frac {x}{\ln x}}\right)}{1+\ln \left({\frac {x}{\ln x}}\right)}}\ln \left(1-{\frac {\ln \ln x}{\ln x}}\right)\leq W_{0}(x)\leq \ln \left({\frac {x}{\ln x}}\right)-\ln \left(\left(1-{\frac {\ln \ln x}{\ln x}}\right)\left(1-{\frac {\ln \left(1-{\frac {\ln \ln x}{\ln x}}\right)}{1+\ln \left({\frac {x}{\ln x}}\right)}}\right)\right).}$

هناك عدد قليل من الهويات التي تترتب على التعريف:

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{0}(xe^{x})&=x&{\text{for }}x&\geq -1,\\W_{-1}(xe^{x})&=x&{\text{for }}x&\leq -1.\end{aligned}}}$

لاحظ أنه نظرًا لأن f ( x ) = xe ^x ليست معادلة حقنية ، فإنها لا تنطبق دائمًا على أن W ( f ( x )) = x ، تمامًا كما هو الحال مع الدوال المثلثية العكسية . بالنسبة إلى x < 0 و x ≠ −1 ، فإن المعادلة xe ^x = ye ^y لها حلين حقيقيين في y ، أحدهما بالطبع هو y = x . ثم بالنسبة إلى i = 0 و x < −1 ، وكذلك بالنسبة إلى i = −1 و x ∈ (−1, 0) ، فإن y = W _i ( xe ^x ) هو الحل الآخر.

بعض الهويات الأخرى: ^[13]

${\displaystyle {\begin{aligned}&W(x)e^{W(x)}=x,\quad {\text{therefore:}}\\[5pt]&e^{W(x)}={\frac {x}{W(x)}},\qquad e^{-W(x)}={\frac {W(x)}{x}},\qquad e^{nW(x)}=\left({\frac {x}{W(x)}}\right)^{n}.\end{aligned}}}$

${\displaystyle \ln W_{0}(x)=\ln x-W_{0}(x)\quad {\text{for }}x>0.}$^[14]

${\displaystyle W_{0}\left(x\ln x\right)=\ln x\quad {\text{and}}\quad e^{W_{0}\left(x\ln x\right)}=x\quad {\text{for }}{\frac {1}{e}}\leq x.}$

${\displaystyle W_{-1}\left(x\ln x\right)=\ln x\quad {\text{and}}\quad e^{W_{-1}\left(x\ln x\right)}=x\quad {\text{for }}0<x\leq {\frac {1}{e}}.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&W(x)=\ln {\frac {x}{W(x)}}&&{\text{for }}x\geq -{\frac {1}{e}},\\[5pt]&W\left({\frac {nx^{n}}{W\left(x\right)^{n-1}}}\right)=nW(x)&&{\text{for }}n,x>0\end{aligned}}}$

(والتي يمكن تمديدها إلى n و x أخرى إذا تم اختيار الفرع الصحيح).

${\displaystyle W(x)+W(y)=W\left(xy\left({\frac {1}{W(x)}}+{\frac {1}{W(y)}}\right)\right)\quad {\text{for }}x,y>0.}$

استبدال −ln x في التعريف: ^[15]

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{0}\left(-{\frac {\ln x}{x}}\right)&=-\ln x&{\text{for }}0&<x\leq e,\\[5pt]W_{-1}\left(-{\frac {\ln x}{x}}\right)&=-\ln x&{\text{for }}x&>e.\end{aligned}}}$

مع الأسي المتكرر لأويلر h ( x ) :

${\displaystyle {\begin{aligned}h(x)&=e^{-W(-\ln x)}\\&={\frac {W(-\ln x)}{-\ln x}}\quad {\text{for }}x\neq 1.\end{aligned}}}$

وفيما يلي القيم الخاصة بالفرع الرئيسي: $${\displaystyle W_{0}\left(-{\frac {\pi }{2}}\right)={\frac {i\pi }{2}}}$$ $${\displaystyle W_{0}\left(-{\frac {1}{e}}\right)=-1}$$ $${\displaystyle W_{0}\left(2\ln 2\right)=\ln 2}$$ $${\displaystyle W_{0}\left(x\ln x\right)=\ln x\quad \left(x\geqslant {\tfrac {1}{e}}\approx 0.36788\right)}$$ $${\displaystyle W_{0}\left(x^{x+1}\ln x\right)=x\ln x\quad \left(x>0\right)}$$ $${\displaystyle W_{0}(0)=0}$$

${\displaystyle W_{0}(1)=\Omega =\left(\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dt}{\left(e^{t}-t\right)^{2}+\pi ^{2}}}\right)^{\!-1}\!\!\!\!-\,1\approx 0.56714329\quad }$( ثابت أوميجا )

$${\displaystyle W_{0}(1)=e^{-W_{0}(1)}=\ln {\frac {1}{W_{0}(1)}}=-\ln W_{0}(1)}$$ $${\displaystyle W_{0}(e)=1}$$ $${\displaystyle W_{0}\left(e^{1+e}\right)=e}$$ $${\displaystyle W_{0}\left({\frac {\sqrt {e}}{2}}\right)={\frac {1}{2}}}$$ $${\displaystyle W_{0}\left({\frac {\sqrt[{n}]{e}}{n}}\right)={\frac {1}{n}}}$$ $${\displaystyle W_{0}(-1)\approx -0.31813+1.33723i}$$

القيم الخاصة للفرع W ₋₁ : $${\displaystyle W_{-1}\left(-{\frac {\ln 2}{2}}\right)=-\ln 4}$$

يمكن تمثيل الفرع الرئيسي لدالة لامبرت بواسطة تكامل صحيح، بسبب بواسون: ^[16]

${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}W_{0}(-x)=\int _{0}^{\pi }{\frac {\sin \left({\tfrac {3}{2}}t\right)-xe^{\cos t}\sin \left({\tfrac {5}{2}}t-\sin t\right)}{1-2xe^{\cos t}\cos(t-\sin t)+x^{2}e^{2\cos t}}}\sin \left({\tfrac {1}{2}}t\right)\,dt\quad {\text{for }}|x|<{\frac {1}{e}}.}$

تم العثور على تمثيل آخر للفرع الرئيسي بواسطة Kalugin–Jeffrey–Corless: ^[17]

${\displaystyle W_{0}(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\ln \left(1+x{\frac {\sin t}{t}}e^{t\cot t}\right)dt.}$

ينطبق التمثيل المستمر للكسر التالي أيضًا على الفرع الرئيسي: ^[18]

${\displaystyle W_{0}(x)={\cfrac {x}{1+{\cfrac {x}{1+{\cfrac {x}{2+{\cfrac {5x}{3+{\cfrac {17x}{10+{\cfrac {133x}{17+{\cfrac {1927x}{190+{\cfrac {13582711x}{94423+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}.}$

أيضًا، إذا كان | W ₀ ( x ) | < 1 : ^[19]

${\displaystyle W_{0}(x)={\cfrac {x}{\exp {\cfrac {x}{\exp {\cfrac {x}{\ddots }}}}}}.}$

في المقابل، إذا كان | W ₀ ( x ) | > e ، إذن

${\displaystyle W_{0}(x)=\ln {\cfrac {x}{\ln {\cfrac {x}{\ln {\cfrac {x}{\ddots }}}}}}.}$

هناك العديد من صيغ التكامل المحدد المفيدة التي تتضمن الفرع الرئيسي للدالة W ، بما في ذلك ما يلي:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{\pi }W_{0}\left(2\cot ^{2}x\right)\sec ^{2}x\,dx=4{\sqrt {\pi }}.\\[5pt]&\int _{0}^{\infty }{\frac {W_{0}(x)}{x{\sqrt {x}}}}\,dx=2{\sqrt {2\pi }}.\\[5pt]&\int _{0}^{\infty }W_{0}\left({\frac {1}{x^{2}}}\right)\,dx={\sqrt {2\pi }}.\end{aligned}}}$

يمكن إيجاد الهوية الأولى عن طريق كتابة التكامل الغاوسي في الإحداثيات القطبية .

يمكن اشتقاق الهوية الثانية عن طريق إجراء الاستبدال u = W ₀ ( x ) ، والذي يعطي

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=ue^{u},\\[5pt]{\frac {dx}{du}}&=(u+1)e^{u}.\end{aligned}}}$

هكذا

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {W_{0}(x)}{x{\sqrt {x}}}}\,dx&=\int _{0}^{\infty }{\frac {u}{ue^{u}{\sqrt {ue^{u}}}}}(u+1)e^{u}\,du\\[5pt]&=\int _{0}^{\infty }{\frac {u+1}{\sqrt {ue^{u}}}}du\\[5pt]&=\int _{0}^{\infty }{\frac {u+1}{\sqrt {u}}}{\frac {1}{\sqrt {e^{u}}}}du\\[5pt]&=\int _{0}^{\infty }u^{\tfrac {1}{2}}e^{-{\frac {u}{2}}}du+\int _{0}^{\infty }u^{-{\tfrac {1}{2}}}e^{-{\frac {u}{2}}}du\\[5pt]&=2\int _{0}^{\infty }(2w)^{\tfrac {1}{2}}e^{-w}\,dw+2\int _{0}^{\infty }(2w)^{-{\tfrac {1}{2}}}e^{-w}\,dw&&\quad (u=2w)\\[5pt]&=2{\sqrt {2}}\int _{0}^{\infty }w^{\tfrac {1}{2}}e^{-w}\,dw+{\sqrt {2}}\int _{0}^{\infty }w^{-{\tfrac {1}{2}}}e^{-w}\,dw\\[5pt]&=2{\sqrt {2}}\cdot \Gamma \left({\tfrac {3}{2}}\right)+{\sqrt {2}}\cdot \Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)\\[5pt]&=2{\sqrt {2}}\left({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}\right)+{\sqrt {2}}\left({\sqrt {\pi }}\right)\\[5pt]&=2{\sqrt {2\pi }}.\end{aligned}}}$

يمكن اشتقاق الهوية الثالثة من الثانية عن طريق إجراء الاستبدال u = x ⁻² ويمكن أيضًا اشتقاق الهوية الأولى من الثالثة عن طريق الاستبدال z = ⁠1/√ 2تان × . ​

باستثناء z على طول قطع الفرع (−∞، −1/هـ] (حيث لا يتقارب التكامل)، يمكن حساب الفرع الرئيسي لدالة لامبرت W بالتكامل التالي: ^[20]

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{0}(z)&={\frac {z}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }{\frac {\left(1-\nu \cot \nu \right)^{2}+\nu ^{2}}{z+\nu \csc \nu e^{-\nu \cot \nu }}}\,d\nu \\[5pt]&={\frac {z}{\pi }}\int _{0}^{\pi }{\frac {\left(1-\nu \cot \nu \right)^{2}+\nu ^{2}}{z+\nu \csc \nu e^{-\nu \cot \nu }}}\,d\nu ,\end{aligned}}}$

حيث تكون التعبيرات التكاملية متكافئة بسبب تماثل المتكامل.

$${\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x}}\,dx\;=\;{\frac {W(x)^{2}}{2}}+W(x)+C}$$

$${\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {W\left(Ae^{Bx}\right)^{2}}{2B}}+{\frac {W\left(Ae^{Bx}\right)}{B}}+C}$$

$${\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x^{2}}}\,dx\;=\;\operatorname {Ei} \left(-W(x)\right)-e^{-W(x)}+C}$$

تُستخدم دالة لامبرت W لحل المعادلات التي تظهر فيها الكمية المجهولة في كل من القاعدة والأس، أو داخل وخارج اللوغاريتم. وتتلخص الإستراتيجية في تحويل مثل هذه المعادلة إلى صيغة ze ^z = w ثم حلها لإيجاد قيمة z باستخدام دالة W.

على سبيل المثال، المعادلة

${\displaystyle 3^{x}=2x+2}$

(حيث x هو عدد حقيقي غير معروف) يمكن حله عن طريق إعادة كتابته على النحو التالي

${\displaystyle {\begin{aligned}&(x+1)\ 3^{-x}={\frac {1}{2}}&({\mbox{multiply by }}3^{-x}/2)\\\Leftrightarrow \ &(-x-1)\ 3^{-x-1}=-{\frac {1}{6}}&({\mbox{multiply by }}{-}1/3)\\\Leftrightarrow \ &(\ln 3)(-x-1)\ e^{(\ln 3)(-x-1)}=-{\frac {\ln 3}{6}}&({\mbox{multiply by }}\ln 3)\end{aligned}}}$

المعادلة الأخيرة لها الشكل المطلوب والحلول لـ x الحقيقي هي:

${\displaystyle (\ln 3)(-x-1)=W_{0}\left({\frac {-\ln 3}{6}}\right)\ \ \ {\textrm {or}}\ \ \ (\ln 3)(-x-1)=W_{-1}\left({\frac {-\ln 3}{6}}\right)}$

وهكذا:

${\displaystyle x=-1-{\frac {W_{0}\left(-{\frac {\ln 3}{6}}\right)}{\ln 3}}=-0.79011\ldots \ \ {\textrm {or}}\ \ x=-1-{\frac {W_{-1}\left(-{\frac {\ln 3}{6}}\right)}{\ln 3}}=1.44456\ldots }$

بشكل عام، الحل هو

${\displaystyle x=a+b\,e^{cx}}$

يكون:

${\displaystyle x=a-{\frac {1}{c}}W(-bc\,e^{ac})}$

حيث أن a و b و c هي ثوابت مركبة، حيث أن b و c لا يساويان الصفر، والدالة W من أي ترتيب صحيح.

يمكن وصف جبهات التدفق الحبيبي والحطامي والرواسب، وجبهات السوائل اللزجة في الأحداث الطبيعية وفي التجارب المعملية باستخدام دالة أوميجا لامبرت-أويلر على النحو التالي:

${\displaystyle H(x)=1+W\left((H(0)-1)e^{(H(0)-1)-{\frac {x}{L}}}\right),}$

حيث H ( x ) هو ارتفاع تدفق الحطام، x هو موضع القناة في اتجاه مجرى النهر، L هو معلمة النموذج الموحد المكونة من العديد من المعلمات الفيزيائية والهندسية للتدفق، وارتفاع التدفق، وتدرج الضغط الهيدروليكي.

في تدفق الأنابيب ، تعد دالة لامبرت دبليو جزءًا من الصياغة الصريحة لمعادلة كولبروك لإيجاد عامل احتكاك دارسي . يستخدم هذا العامل لتحديد انخفاض الضغط عبر مسار مستقيم للأنابيب عندما يكون التدفق مضطربًا . ^[21]

يتم استخدام الفرع الرئيسي لدالة لامبرت W في مجال الهندسة الميكانيكية ، في دراسة النقل المعتمد على الوقت للسوائل النيوتونية بين خزانين بمستويات سطح حرة مختلفة، باستخدام مضخات الطرد المركزي. ^[22] قدمت دالة لامبرت W حلاً دقيقًا لمعدل تدفق السوائل في كل من الأنظمة الصفائحية والمضطربة: حيث هو معدل التدفق الأولي و هو الوقت. $${\displaystyle {\begin{aligned}Q_{\text{turb}}&={\frac {Q_{i}}{\zeta _{i}}}W_{0}\left[\zeta _{i}\,e^{(\zeta _{i}+\beta t/b)}\right]\\Q_{\text{lam}}&={\frac {Q_{i}}{\xi _{i}}}W_{0}\left[\xi _{i}\,e^{\left(\xi _{i}+\beta t/(b-\Gamma _{1})\right)}\right]\end{aligned}}}$$${\displaystyle Q_{i}}$${\displaystyle t}$

يتم استخدام دالة لامبرت دبليو في مجال التصوير العصبي لربط تدفق الدم الدماغي وتغيرات استهلاك الأكسجين داخل فوكسل الدماغ ، بإشارة مستوى أكسجين الدم المقابلة (BOLD). ^[23]

تُستخدم دالة لامبرت W في مجال الهندسة الكيميائية لنمذجة سمك غشاء القطب المسامي في مكثف فائق زجاجي قائم على الكربون لتخزين الطاقة الكهروكيميائية. توفر دالة لامبرت W حلاً دقيقًا لعملية تنشيط حراري في الطور الغازي حيث يتنافس نمو غشاء الكربون واحتراق نفس الغشاء مع بعضهما البعض. ^{[24] [25]}

في نمو البلورات، يمكن استخدام المبدأ السالب لدالة لامبرت W لحساب معامل التوزيع، ، وتركيز المذاب في المصهور، ، ^{[26] [27]} من معادلة شيل : ${\textstyle k}$${\textstyle C_{L}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&k={\frac {W_{0}(Z)}{\ln(1-fs)}}\\&C_{L}={\frac {C_{0}}{(1-fs)}}e^{W_{0}(Z)}\\&Z={\frac {C_{S}}{C_{0}}}(1-fs)\ln(1-fs)\end{aligned}}}$

تُستخدم دالة لامبرت دبليو في مجال نمو الفيلم الطلائي لتحديد سمك الفيلم عند بداية الخلع الحرج . هذا هو السمك المحسوب لفيلم طلائي، حيث سيتطور الفيلم بسبب المبادئ الديناميكية الحرارية إلى خلع بلورية من أجل تقليل الطاقة المرنة المخزنة في الأفلام. قبل تطبيق لامبرت دبليو لهذه المشكلة، كان لابد من تحديد السمك الحرج من خلال حل معادلة ضمنية. يحولها لامبرت دبليو إلى معادلة صريحة للتعامل التحليلي بسهولة. ^[28]

تم استخدام دالة لامبرت دبليو في مجال تدفق السوائل في الوسائط المسامية لنمذجة إمالة السطح الفاصل بين سائلين منفصلين جاذبيًا في فراش مسامي مائل متجانس بانحدار وسمك ثابتين حيث يزيح السائل الأثقل، المحقون في الطرف السفلي، السائل الأخف الذي يتم إنتاجه بنفس المعدل من الطرف العلوي. يتوافق الفرع الرئيسي للحل مع الإزاحات المستقرة بينما ينطبق الفرع −1 إذا كان الإزاحة غير مستقرة مع السائل الأثقل الذي يجري أسفل السائل الأخف. ^[29]

المعادلة (المرتبطة بالوظائف المولدة لأرقام برنولي وجنس تود ):

${\displaystyle Y={\frac {X}{1-e^{X}}}}$

يمكن حلها عن طريق الفرعين الحقيقيين W ₀ و W ₋₁ :

${\displaystyle X(Y)={\begin{cases}W_{-1}\left(Ye^{Y}\right)-W_{0}\left(Ye^{Y}\right)=Y-W_{0}\left(Ye^{Y}\right)&{\text{for }}Y<-1,\\W_{0}\left(Ye^{Y}\right)-W_{-1}\left(Ye^{Y}\right)=Y-W_{-1}\left(Ye^{Y}\right)&{\text{for }}-1<Y<0.\end{cases}}}$

يوضح هذا التطبيق أنه يمكن استخدام فرق الفروع لدالة W لحل المعادلات المتسامية الأخرى. ^[30]

يحتوي مركز ثقل مجموعة من المدرجات البيانية المحددة فيما يتعلق بتباعد كولباك-ليبلر المتماثل (يُسمى أيضًا تباعد جيفريز ^[31] ) على شكل مغلق باستخدام دالة لامبرت دبليو . ^[32]

يتضمن حل الحجم الأمثل للمجموعة لتجميع الاختبارات بحيث يصاب فرد واحد على الأقل دالة لامبرت دبليو . ^{[33] [34] [35]}

تظهر دالة لامبرت دبليو في إمكانات ميكانيكية كمية، والتي توفر الحل الخامس - بجانب تلك الخاصة بالمذبذب التوافقي بالإضافة إلى الطرد المركزي، وكولومب بالإضافة إلى التربيع العكسي، ومورس، والجذر التربيعي العكسي - الحل الدقيق لمعادلة شرودنجر أحادية البعد الثابتة من حيث الدوال الهندسية الفائقة المتلاقية. يتم إعطاء الإمكانات على النحو التالي

${\displaystyle V={\frac {V_{0}}{1+W\left(e^{-{\frac {x}{\sigma }}}\right)}}.}$

من خصائص الحل أن كلًا من الحلول الأساسية التي تشكل الحل العام لمعادلة شرودنجر يتم إعطاؤه من خلال مزيج من دالتين هندسيتين مترابطتين من وسيطة متناسبة مع ^[36]

${\displaystyle z=W\left(e^{-{\frac {x}{\sigma }}}\right).}$

تظهر دالة لامبرت W أيضًا في الحل الدقيق لطاقة الحالة المقيدة لمعادلة شرودنغر أحادية البعد مع جهد دلتا المزدوج .

في الديناميكا اللونية الكمومية ، نظرية المجال الكمومي للتفاعل القوي ، يتم حساب ثابت الاقتران بشكل مضطرب، والترتيب n يتوافق مع مخططات فاينمان التي تتضمن n حلقة كمية. ^[37] الحل من الدرجة الأولى، n = 1، دقيق (عند هذا الترتيب) وتحليلي. في الرتب الأعلى، n> 1، لا يوجد حل دقيق وتحليلي وعادةً ما يستخدم المرء طريقة تكرارية لتقديم حل تقريبي. ومع ذلك، بالنسبة للترتيب الثاني، n = 2، توفر دالة لامبرت حلاً دقيقًا (إذا لم يكن تحليليًا). ^[37]${\displaystyle \alpha _{\text{s}}}$

في حل مقياس شوارزشيلد لمعادلات فراغ أينشتاين، هناك حاجة إلى دالة W للانتقال من إحداثيات إدينجتون-فينكلشتاين إلى إحداثيات شوارزشيلد. ولهذا السبب، تظهر أيضًا في بناء إحداثيات كروسكال-سكيريس .

يمكن كتابة رنينات الموجة s لإمكانات غلاف الدلتا بدقة من حيث دالة لامبرت W. ^[38]

إذا كان التفاعل يتضمن متفاعلات ونواتج لها سعات حرارية ثابتة مع درجة الحرارة، فإن ثابت التوازن K يطيع

${\displaystyle \ln K={\frac {a}{T}}+b+c\ln T}$

لبعض الثوابت a و b و c . عندما c (تساوي ⁠Δ ج _ص/ر) ليس صفرًا ، يمكن إيجادقيمة أو قيم T حيث يساوي K قيمة معينة على النحو التالي، حيثيمكن استخدام L لـ ln T.

${\displaystyle {\begin{aligned}-a&=(b-\ln K)T+cT\ln T\\&=(b-\ln K)e^{L}+cLe^{L}\\[5pt]-{\frac {a}{c}}&=\left({\frac {b-\ln K}{c}}+L\right)e^{L}\\[5pt]-{\frac {a}{c}}e^{\frac {b-\ln K}{c}}&=\left(L+{\frac {b-\ln K}{c}}\right)e^{L+{\frac {b-\ln K}{c}}}\\[5pt]L&=W\left(-{\frac {a}{c}}e^{\frac {b-\ln K}{c}}\right)+{\frac {\ln K-b}{c}}\\[5pt]T&=\exp \left(W\left(-{\frac {a}{c}}e^{\frac {b-\ln K}{c}}\right)+{\frac {\ln K-b}{c}}\right).\end{aligned}}}$

إذا كان لـ a و c نفس الإشارة، فسيكون هناك حلين أو لا يوجد حل (أو حل واحد إذا كانت وسيطة W هي بالضبط −1/هـ( قد لا يكون الحل العلوي ذا صلة.) إذا كانت لديهما علامات معاكسة، فسيكون هناك حل واحد.

في حساب مخطط الطور لمخاليط البوليمر غير المتوافقة ترموديناميكيًا وفقًا لنموذج إدموند-أوجستون ، يتم صياغة حلول الخطوط الثنائية وخطوط الربط من حيث وظائف لامبرت دبليو . ^[39]

يتم التعبير عن قانون إزاحة وين على النحو التالي . مع و ، حيث كثافة طاقة الطاقة الطيفية، نجد ، حيث هو عدد درجات الحرية للترجمة المكانية. يوضح الحل أن كثافة طاقة الطيف تعتمد على أبعاد الكون. ^[40]${\displaystyle \nu _{\max }/T=\alpha =\mathrm {const} }$${\displaystyle x=h\nu _{\max }/k_{\mathrm {B} }T}$${\displaystyle d\rho _{T}\left(x\right)/dx=0}$${\displaystyle \rho _{T}}$${\displaystyle e^{-x}=1-{\frac {x}{D}}}$${\displaystyle D}$${\displaystyle x=D+W\left(-De^{-D}\right)}$

يمكن التعبير عن التصحيحات الكلاسيكية ذات الحجم المحدود لعلاقات التشتت للمغنونات العملاقة والمسامير الفردية وسلاسل GKP من حيث دالة لامبرت W. ^{[41] [42]}

في حد t → ∞ لنموذج SIR ، فإن نسبة الأفراد المعرضين للإصابة والمتعافين لها حل من حيث دالة لامبرت W. ^[43]

يمكن تحديد الوقت الإجمالي لرحلة المقذوف الذي يتعرض لمقاومة الهواء تتناسب مع سرعته بشكل دقيق باستخدام دالة لامبرت W.

المعادلة المتعالية التي تظهر في تحديد رقم موجة الانتشار لموجة سطحية متماثلة محوريًا كهرومغناطيسية (وضع TM01 أحادي منخفض التوهين) تنتشر في سلك معدني أسطواني تؤدي إلى معادلة مثل u ln u = v (حيث تجمع u و v العوامل الهندسية والفيزيائية للمشكلة معًا)، والتي يتم حلها بواسطة دالة لامبرت W. الحل الأول لهذه المشكلة، الذي يرجع إلى سومرفيلد حوالي عام 1898، احتوى بالفعل على طريقة تكرارية لتحديد قيمة دالة لامبرت W. ^[44]

يتم تحديد عائلة القطع الناقص التي يقع مركزها عند بواسطة الانحراف . يتم تحديد المسارات المتعامدة لهذه العائلة بواسطة المعادلة التفاضلية التي يكون حلها العام هو العائلة . ${\displaystyle x^{2}+(1-\varepsilon ^{2})y^{2}=\varepsilon ^{2}}$${\displaystyle (0,0)}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \left({\frac {1}{y}}+y\right)dy=\left({\frac {1}{x}}-x\right)dx}$${\displaystyle y^{2}=}$${\displaystyle W_{0}(x^{2}\exp(-2C-x^{2}))}$

تعبر دالة لامبرت W القياسية عن حلول دقيقة للمعادلات الجبرية المتعالية (في x ) من النموذج:

$${\displaystyle e^{-cx}=a_{0}(x-r)}$$

( 1 )

حيث a ₀ و c و r هي ثوابت حقيقية. الحل هو تعميمات دالة لامبرت W ^{[45] [46] [47]} تشمل: $${\displaystyle x=r+{\frac {1}{c}}W\left({\frac {c\,e^{-cr}}{a_{0}}}\right).}$$

• تطبيق على النسبية العامة وميكانيكا الكم ( الجاذبية الكمومية ) في أبعاد أقل، في الواقع رابط (غير معروف قبل عام 2007 ^[48] ) بين هاتين المنطقتين، حيث يتم استبدال الجانب الأيمن من ( 1 ) بمتعددة حدود تربيعية في x :

  $${\displaystyle e^{-cx}=a_{0}\left(x-r_{1}\right)\left(x-r_{2}\right),}$$

  ( 2 )

  حيث r ₁ و r ₂ هما ثابتان حقيقيان متميزان، جذور كثيرة الحدود التربيعية. هنا، الحل هو دالة لها وسيطة واحدة x ولكن المصطلحات مثل r _i و a ₀ هي معلمات لتلك الدالة. في هذا الصدد، يشبه التعميم الدالة فوق الهندسية ودالة ماير G ولكنها تنتمي إلى فئة مختلفة من الدوال. عندما r ₁ = r ₂ ، يمكن تحليل كلا جانبي ( 2 ) واختزالهما إلى ( 1 ) وبالتالي يتم اختزال الحل إلى حل دالة W القياسية . تعبر المعادلة ( 2 ) عن المعادلة التي تحكم مجال الديلاتون ، والتي يشتق منها مقياس R = T أو مشكلة الجاذبية الخطية للجسمين في أبعاد 1 + 1 (بعد مكاني واحد وبعد زمني واحد) لحالة كتل السكون غير المتساوية، بالإضافة إلى الطاقات الذاتية لنموذج دالة دلتا ديراك ذات البئر المزدوجة الميكانيكية الكمومية للشحنات غير المتساوية في بعد واحد.

• الحلول التحليلية للطاقات الذاتية لحالة خاصة من مشكلة الأجسام الثلاثة في ميكانيكا الكم، وهي جزيء الهيدروجين-أيون (ثلاثي الأبعاد) . ^[49] هنا يتم استبدال الجانب الأيمن من ( 1 ) بنسبة من متعددات الحدود من الدرجة اللانهائية في x :

  $${\displaystyle e^{-cx}=a_{0}{\frac {\displaystyle \prod _{i=1}^{\infty }(x-r_{i})}{\displaystyle \prod _{i=1}^{\infty }(x-s_{i})}}}$$

  ( 3 )

  حيث r _i و s _i ثابتان حقيقيان متميزان و x دالة للطاقة الذاتية والمسافة بين النواة R. ترتبط المعادلة ( 3 ) مع حالاتها المتخصصة المعبر عنها في ( 1 ) و( 2 ) بفئة كبيرة من معادلات التفاضل المتأخرة . يوفر مفهوم GH Hardy عن "المشتق الكاذب" جذورًا متعددة دقيقة لحالات خاصة من ( 3 ). ^[50]

لم يتم استنفاد تطبيقات دالة لامبرت دبليو في المشاكل الفيزيائية الأساسية حتى بالنسبة للحالة القياسية المعبر عنها في ( 1 ) كما شوهدت مؤخرًا في مجال الفيزياء الذرية والجزيئية والبصرية . ^[51]

• مخططات دالة لامبرت دبليو على المستوى المركب
• 
  z = Re( W ₀ ( x + iy ))
• 
  z = Im( W ₀ ( x + iy ))
• 
  ز = | و ₀ ( س + ي ) |
• 
  تراكب المخططات الثلاثة السابقة

يمكن تقريب الدالة W باستخدام طريقة نيوتن ، مع التقريبات المتتالية لـ w = W ( z ) (لذا فإن z = we ^w )

${\displaystyle w_{j+1}=w_{j}-{\frac {w_{j}e^{w_{j}}-z}{e^{w_{j}}+w_{j}e^{w_{j}}}}.}$

يمكن أيضًا تقريب الدالة W باستخدام طريقة هالي ،

${\displaystyle w_{j+1}=w_{j}-{\frac {w_{j}e^{w_{j}}-z}{e^{w_{j}}\left(w_{j}+1\right)-{\dfrac {\left(w_{j}+2\right)\left(w_{j}e^{w_{j}}-z\right)}{2w_{j}+2}}}}}$

كما هو موضح في Corless et al. ^[3 ] لحساب W.

في الواقع ، يمكن تقريبه باستخدام صيغة التكرار ذات المعدل التربيعي لـ R. Iacono وJP Boyd: ^[12]${\displaystyle x\geq -1/e}$

${\displaystyle w_{n+1}(x)={\frac {w_{n}(x)}{1+w_{n}(x)}}\left(1+\log \left({\frac {x}{w_{n}(x)}}\right)\right).}$

يثبت لاجوس لوكزي ^[52] أنه باستخدام هذا التكرار بقيمة بداية مناسبة ، ${\displaystyle w_{0}(x)}$

• للفرع الرئيسي${\displaystyle W_{0}:}$
  • لو :${\displaystyle x\in (e,\infty )}$${\displaystyle w_{0}(x)=\log(x)-\log(\log(x)),}$
  • لو${\displaystyle x\in (0,e):}$ ${\displaystyle w_{0}(x)=x/e,}$
  • لو${\displaystyle x\in (-1/e,0):}$ ${\displaystyle w_{0}(x)={\frac {ex\log(1+{\sqrt {1+ex}})}{1+ex+{\sqrt {1+ex}}}},}$
• للفرع${\displaystyle W_{-1}:}$
  • لو${\displaystyle x\in (-1/4,0):}$ ${\displaystyle w_{0}(x)=\log(-x)-\log(-\log(-x)),}$
  • لو${\displaystyle x\in (-1/e,-1/4]:}$ ${\displaystyle w_{0}(x)=-1-{\sqrt {2}}{\sqrt {1+ex}},}$

من الممكن تحديد الحد الأقصى لعدد خطوات التكرار مسبقًا لأي دقة:

• إذا (نظرية 2.4):${\displaystyle x\in (e,\infty )}$${\displaystyle 0<W_{0}(x)-w_{n}(x)<\left(\log(1+1/e)\right)^{2^{n}},}$
• إذا (نظرية 2.9):${\displaystyle x\in (0,e)}$${\displaystyle 0<W_{0}(x)-w_{n}(x)<{\frac {\left(1-1/e\right)^{2^{n}-1}}{5}},}$
• لو${\displaystyle x\in (-1/e,0):}$
  • للفرع الرئيسي (نظرية 2.17):${\displaystyle W_{0}}$${\displaystyle 0<w_{n}(x)-W_{0}(x)<\left(1/10\right)^{2^{n}},}$
  • للفرع (نظرية 2.23):${\displaystyle W_{-1}}$${\displaystyle 0<W_{-1}(x)-w_{n}(x)<\left(1/2\right)^{2^{n}}.}$

قدم توشيو فوكوشيما طريقة سريعة لتقريب الأجزاء ذات القيمة الحقيقية للفروع الرئيسية والثانوية لدالة W دون استخدام أي تكرار. ^[53] في هذه الطريقة، يتم تقييم دالة W كتحويل مشروط للوظائف النسبية على المتغيرات المحولة: حيث x و u و y و v هي تحويلات لـ z : $${\displaystyle W_{0}(z)={\begin{cases}X_{k}(x),&(z_{k-1}<=z<z_{k},\quad k=1,2,\ldots ,17),\\U_{k}(u),&(z_{k-1}<=z<z_{k},\quad k=18,19),\end{cases}}}$$ $${\displaystyle W_{-1}(z)={\begin{cases}Y_{k}(y),&(z_{k-1}<=z<z_{k},\quad k=-1,-2,\ldots ,-7),\\V_{k}(u),&(z_{k-1}<=z<z_{k},\quad k=-8,-9,-10),\end{cases}}}$$

${\displaystyle x={\sqrt {z+1/e}},\quad u=\ln {z},\quad y=-z/(x+1/{\sqrt {e}}),\quad v=\ln(-z)}$.

هنا ،،،، و هي دوال نسبية يتم سرد معاملاتها لقيم k المختلفة في الورقة المرجعية مع القيم التي تحدد المجالات الفرعية. مع كثيرات الحدود ذات الدرجة الأعلى في هذه الدوال النسبية، يمكن للطريقة تقريب دالة W بدقة أكبر. ${\displaystyle X_{k}(x)}$${\displaystyle U_{k}(u)}$${\displaystyle Y_{k}(y)}$${\displaystyle V_{k}(v)}$${\displaystyle z_{k}}$

على سبيل المثال، عندما يمكن تقريب ، إلى 24 بت من الدقة على قيم النقطة العائمة 64 بت كما هو موضح حيث يتم تعريف x باستخدام التحويل أعلاه ويتم إعطاء المعاملات و في الجدول أدناه. ${\displaystyle -1/e\leq z\leq 2.0082178115844727}$${\displaystyle W_{0}(z)}$${\displaystyle W_{0}(z)\approx X_{1}(x)={\frac {\sum _{i}^{4}P_{i}x^{i}}{\sum _{i}^{3}Q_{i}x^{i}}}}$${\displaystyle P_{i}}$${\displaystyle Q_{i}}$

المعاملات

${\displaystyle i}$	${\displaystyle P_{i}}$	${\displaystyle Q_{i}}$
0	-0.9999999403954019	1
1	0.0557300521617778	2.275906559863465
2	2.1269732491053173	1.367597013868904
3	0.8135112367835288	0.18615823452831623
4	0.01632488014607016	0

تقدم فوكوشيما أيضًا تقريبًا بدقة 50 بتًا على أعداد عائمة 64 بتًا تستخدم كثيرات الحدود من الدرجة الثامنة والسابعة.

يتم تنفيذ دالة Lambert W في العديد من لغات البرمجة. فيما يلي بعض منها:

لغة	اسم الوظيفة	المكتبة المطلوبة
القيقب	LambertW[54]
طبيب عام	lambertw
باري	glambertW
ماتلاب	lambertw[55]
أوكتاف	lambertw	specfun[56]
ماكسيما	lambert_w[57]
الرياضيات	ProductLog(مع LambertWكاسم مستعار صامت) [58]
بايثون	lambertw	scipy[59]
بيرل	LambertW	ntheory[60]
سي / سي++	gsl_sf_lambert_W0وgsl_sf_lambert_Wm1	قسم الوظائف الخاصة في مكتبة جنو العلمية (GSL) [61]
	lambert_w0، lambert_wm1، lambert_w0_prime، وlambert_wm1_prime	مكتبات Boost C++ [62]
ر	lambertW0وlambertWm1	lamW[63]
الصدأ	lambert_w0وlambert_wm1	lambert_w[64]

يتوفر أيضًا كود C++ لجميع فروع دالة Lambert W المعقدة على الصفحة الرئيسية لـ István Mező. ^[65]

• دالة رايت أوميجا
• معادلة لامبرت الثلاثية
• نظرية عكس لاغرانج
• الرياضيات التجريبية
• طريقة هولشتاين-هيرنج
• نموذج R = T
• مبرهنة روس​

• كورليس، ر.؛ جونيت، ج.؛ هير، د.؛ جيفري، د.؛ كنوث، دونالد (1996). "حول دالة لامبرت دبليو" (PDF) . التقدم في الرياضيات الحسابية . 5 : 329-359. doi :10.1007/BF02124750. ISSN  1019-7168. S2CID  29028411. مؤرشف من الأصل (PDF) في 2010-12-14 . تم الاسترجاع في 2007-03-10 .
• شابو بلوندو، ف.؛ مونير، أ. (2002). "تقييم دالة لامبرت دبليو وتطبيقها على توليد الضوضاء الغوسية المعممة ذات الأس 1/2" (PDF) . IEEE Trans. Signal Process . 50 (9). doi :10.1109/TSP.2002.801912. مؤرشف من الأصل (PDF) في 2012-03-28 . تم الاسترجاع في 2004-03-10 .
• فرانسيس وآخرون (2000). "النظرية العامة الكمية للتنفس الدوري". الدورة الدموية . 102 (18): 2214-2221. CiteSeerX  10.1.1.505.7194 . doi :10.1161/01.cir.102.18.2214. PMID  11056095. S2CID  14410926.(يتم استخدام دالة لامبرت لحل ديناميكيات التأخير التفاضلي في الأمراض البشرية.)
• هايز، ب. (2005). "لماذا W؟" (PDF) . العالم الأمريكي . 93 (2): 104–108. doi :10.1511/2005.2.104. مؤرشف من الأصل (PDF) في 2022-10-10.
• روي، ر.؛ أولفر، ف.و.ج. (2010)، "دالة لامبرت دبليو"، في أولفر، فرانك دبليو.ج .؛ لوزير، دانيال م.؛ بويسفرت، رونالد ف.؛ كلارك، تشارلز دبليو. (المحررون)، دليل الوظائف الرياضية للمعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا ، مطبعة جامعة كامبريدج، رقم ISBN 978-0-521-19225-5السيد 2723248 ​.
• ستيوارت، شون م. (2005). "وظيفة ابتدائية جديدة لمناهجنا الدراسية؟" (PDF) . المجلة الأسترالية لكبار السن في الرياضيات . 19 (2): 8-26. ISSN  0819-4564. مؤرشف (PDF) من الأصل في 2022-10-10.
• Veberic, D., "Having Fun with Lambert W(x) Function" arXiv:1003.1628 (2010); Veberic, D. (2012). "Lambert W function for applications in physics". Computer Physics Communications . 183 (12): 2622–2628. arXiv : 1209.0735 . Bibcode :2012CoPhC.183.2622V. doi :10.1016/j.cpc.2012.07.008. S2CID  315088.
• Chatzigeorgiou, I. (2013). "حدود دالة لامبرت وتطبيقها على تحليل انقطاع تعاون المستخدم". رسائل اتصالات معهد مهندسي الكهرباء والإلكترونيات . 17 (8): 1505-1508. arXiv : 1601.04895 . doi :10.1109/LCOMM.2013.070113.130972. S2CID  10062685.

• المكتبة الرقمية للمعهد الوطني للعلوم والتكنولوجيا – لامبرت دبليو
• MathWorld – دالة لامبرت W
• حساب دالة لامبرت W
• ملاحظات كورليس وآخرون حول بحث لامبرت دبليو
• تنفيذ GPL C++ باستخدام تكرار Halley و Fritsch.
• الوظائف الخاصة لمكتبة جنو العلمية – GSL
• [3]