تمثيل المذبذب

في الرياضيات ، يُعدّ تمثيل المذبذب تمثيلًا إسقاطيًا وحدويًا للمجموعة التبسيطية ، وقد درسه لأول مرة إيرفينغ سيغال ، وديفيد شيل ، وأندريه ويل . ويؤدي امتداد طبيعي لهذا التمثيل إلى شبه مجموعة من مؤثرات الانكماش ، والتي قدمها روجر هاو عام 1988 باسم شبه مجموعة المذبذب . وقد سبق أن درس هذه الشبه مجموعة علماء رياضيات وفيزياء آخرين، أبرزهم فيليكس بيريزين في ستينيات القرن العشرين. وأبسط مثال في بُعد واحد هو SU(1,1) . وهي تعمل كتحويلات موبيوس على المستوى العقدي الممتد ، مع الحفاظ على ثبات دائرة الوحدة . في هذه الحالة، يكون تمثيل المذبذب تمثيلًا وحدويًا لغطاء مزدوج لـ SU(1,1)، وتتوافق شبه مجموعة المذبذب مع تمثيل بواسطة مؤثرات الانكماش لشبه المجموعة في SL(2, C ) التي تُقابل تحويلات موبيوس التي تأخذ قرص الوحدة إلى داخله.

تتميز معاملات الانكماش، التي تُحدد فقط حتى الإشارة، بنوى دوال غاوسية . على مستوى متناهي الصغر، تُوصف شبه المجموعة بمخروط في جبر لي لـ SU(1,1) يمكن تعريفه بمخروط ضوئي . يُعمم الإطار نفسه على المجموعة التبادلية في الأبعاد الأعلى، بما في ذلك نظيرتها في الأبعاد اللانهائية. تشرح هذه المقالة نظرية SU(1,1) بالتفصيل وتلخص كيفية توسيعها.

كانت الصياغة الرياضية لميكانيكا الكم التي وضعها فيرنر هايزنبرغ وإرفين شرودنغر في الأصل بدلالة المؤثرات الذاتية المرافقة غير المحدودة على فضاء هيلبرت . وتخضع المؤثرات الأساسية المقابلة للموضع والزخم لعلاقات التبادل لهايزنبرغ . كما أن كثيرات الحدود التربيعية في هذه المؤثرات، والتي تشمل المذبذب التوافقي ، تكون مغلقة عند أخذ المبدلات.

طُوِّر قدر كبير من نظرية المؤثرات في عشرينيات وثلاثينيات القرن العشرين لتوفير أساس متين لميكانيكا الكم. وقد صِيغت بعض هذه النظرية بدلالة مجموعات وحدوية من المؤثرات، ويعود الفضل في ذلك إلى حد كبير إلى إسهامات هيرمان فايل ومارشال ستون وجون فون نيومان . وبدورها، أُدمجت هذه النتائج في الفيزياء الرياضية ضمن التحليل الرياضي، بدءًا من محاضرات نوربرت وينر عام 1933 ، الذي استخدم نواة الحرارة للمذبذب التوافقي لاستنتاج خصائص تحويل فورييه .

تم تفسير تفرد علاقات التبادل لهايزنبرغ، كما وردت في نظرية ستون-فون نيومان ، لاحقًا ضمن نظرية تمثيل الزمر ، وتحديدًا نظرية التمثيلات المستحثة التي بدأها جورج ماكي . فُهمت المؤثرات التربيعية من منظور تمثيل وحدوي إسقاطي للزمرة SU(1,1) وجبر لي الخاص بها . عمم إيرفينغ سيغال وديفيد شيل هذا البناء ليشمل الزمرة التبادلية في الأبعاد المحدودة وغير المحدودة - ويُشار إلى هذا في الفيزياء غالبًا باسم التكميم البوزوني : حيث يُبنى كجبر متناظر لفضاء غير محدود الأبعاد. كما تناول سيغال وشيل حالة التكميم الفرميوني ، الذي يُبنى كجبر خارجي لفضاء هيلبرت غير محدود الأبعاد. في الحالة الخاصة لنظرية الحقل المطابق في بُعدين (1+1)، يصبح الشكلان متكافئين عبر ما يُسمى "تناظر البوزون-الفرميون". لا يقتصر هذا على التحليل الذي توجد فيه مؤثرات وحدوية بين فضاءات هيلبرت البوزونية والفيرميونية فحسب، بل ينطبق أيضًا على النظرية الرياضية لجبر مؤثرات الرؤوس . وقد ظهرت مؤثرات الرؤوس نفسها في أواخر الستينيات في الفيزياء النظرية ، وتحديدًا في نظرية الأوتار .

قام أندريه ويل لاحقًا بتوسيع هذا البناء ليشمل زمر لي p-adic ، موضحًا كيفية تطبيق هذه الأفكار في نظرية الأعداد ، ولا سيما لتقديم تفسير نظري للزمر لدوال ثيتا والتبادلية التربيعية . لاحظ العديد من الفيزيائيين والرياضيين أن مؤثرات نواة الحرارة المقابلة للمذبذب التوافقي مرتبطة بتكوين معقد لـ SU(1,1): لم يكن هذا هو SL(2, C ) بأكمله ، بل كان شبه زمرة معقدة مُعرَّفة بشرط هندسي طبيعي. لنظرية تمثيل شبه الزمرة هذه، وتعميماتها في الأبعاد المحدودة وغير المحدودة، تطبيقات في كل من الرياضيات والفيزياء النظرية. ^{[ 1 ]}

المجموعة

${\displaystyle G=\operatorname {SU} (1,1)=\left\{\left.{\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\{\overline {\beta }}&{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}}\right||\alpha |^{2}-|\beta |^{2}=1\right\}}$

هي مجموعة فرعية من

${\displaystyle G_{c}=\operatorname {SL} (2,\mathbb {C} )}$،

مجموعة المصفوفات المركبة من الرتبة 2 × 2 ذات المحدد 1. المجموعة الجزئية الحقيقية من   ${\displaystyle G_{c}}$

${\displaystyle G_{1}=\operatorname {SL(2,\mathbb {R} )} }$

هو مرافق لـ${\displaystyle G}$

${\displaystyle G=CG_{1}C^{-1},\quad C={\begin{pmatrix}1&i\\i&1\end{pmatrix}},}$

كما يظهر في عملية ضرب المصفوفات.

${\displaystyle G_{1}}$يتم إنشاؤه بواسطة

${\displaystyle J={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}}$

والمجموعة الفرعية${\displaystyle P}$من المصفوفات المثلثية السفلية

${\displaystyle P=\left\{\left.{\begin{pmatrix}a&0\\b&a^{-1}\end{pmatrix}}\right|a,b\in \mathbf {R} ,a>0\right\}.}$

مدار المتجه​

${\displaystyle v={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}}$

من السهل ملاحظة أن المجموعة الفرعية الناتجة عن هذه المصفوفات هي${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}-0}$ويقع مثبت v في G 1 _داخل هذه المجموعة الفرعية .

جبر لي${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$تتكون مجموعة SU(1,1) من مصفوفات

${\displaystyle {\begin{pmatrix}ix&w\\{\overline {w}}&-ix\end{pmatrix}},\quad x\in \mathbf {R} .}$

التماثل الذاتي الدوري 2 σ لـ G _c

${\displaystyle \sigma (g)=M{\overline {g}}M^{-1},}$

مع

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},}$

لديها مجموعة نقاط ثابتة G منذ

${\displaystyle \sigma {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\overline {d}}&{\overline {c}}\\{\overline {b}}&{\overline {a}}\end{pmatrix}}.}$

وبالمثل، تحدد الصيغة نفسها تشاكلًا ذاتيًا دوريًا من الدرجة الثانية σ لجبر لي${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{c}}$من G _c ، المصفوفات المركبة ذات الأثر الصفري. أساس قياسي لـ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{c}}$يُعطى على C بواسطة

${\displaystyle L_{0}={\begin{pmatrix}{1 \over 2}&0\\0&-{1 \over 2}\end{pmatrix}},\quad L_{-1}={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}},\quad L_{1}={\begin{pmatrix}0&0\\-1&0\end{pmatrix}}.}$

إنها تحقق جبر ويت

${\displaystyle [L_{m},L_{n}]=(m-n)L_{m+n},\quad m,n\in \{1,0,-1\}.}$

جبر لي لـ${\displaystyle G_{c}}$هو مجموع مباشر

${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{c}={\mathfrak {g}}\oplus i{\mathfrak {g}},}$

أين${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$يمثل الفضاء الذاتي +1 لـ σ. الفضاء الذاتي -1${\displaystyle i{\mathfrak {g}}}$ هي جبر لي لـ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$، مجموعة فرعية مضغوطة قصوى من${\displaystyle G_{c}}$.

المصفوفات X في${\displaystyle i{\mathfrak {g}}}$يكون على شكل

${\displaystyle X={\begin{pmatrix}x&w\\-{\overline {w}}&-x\end{pmatrix}}.}$

لاحظ أن

${\displaystyle -\det X=x^{2}-|w|^{2}.}$

المخروط ج في${\displaystyle i{\mathfrak {g}}}$يتم تحديده من خلال شرطين. الأول هو${\displaystyle \det X<0.}$بحسب التعريف، يُحفظ هذا الشرط تحت الاقتران بواسطة G. ولأن G متصلة، فإنها تُبقي المكونين x > 0 و x < 0 ثابتين. الشرط الثاني هو${\displaystyle x<0.}$

تؤثر المجموعة G ^c بتحويلات موبيوس على المستوى العقدي الممتد. وتعمل المجموعة الفرعية G كتشاكلات ذاتية للقرص الواحدي D. ويمكن تعريف شبه المجموعة H من G ^c ، التي تناولها أولشانسكي (1981) لأول مرة ، بالشرط الهندسي التالي:

${\displaystyle g({\overline {D}})\subset D.}$

يمكن وصف شبه المجموعة بشكل صريح من حيث المخروط C : ^{[ 2 ]}

${\displaystyle H=G\cdot \exp(C)=\exp(C)\cdot G.}$

في الواقع، يمكن إقران المصفوفة X بمصفوفة G بواسطة عنصر منها.

${\displaystyle Y={\begin{pmatrix}-y&0\\0&y\end{pmatrix}}}$

مع

${\displaystyle y={\sqrt {x^{2}-|w|^{2}}}>0.}$

بما أن تحويل موبيوس الموافق لـ exp Y يُرسل z إلى e ^{−2 y} z ، فإنه يترتب على ذلك أن الطرف الأيمن يقع في شبه المجموعة. وعلى العكس، إذا كانت g تقع في H، فإنها تنقل القرص المغلق ذي الوحدة إلى قرص مغلق أصغر في داخله. وبمرافقة عنصر من G ، يمكن اعتبار مركز القرص الأصغر 0. ولكن عندئذٍ، بالنسبة لـ y المناسب ، يكون العنصر${\displaystyle e^{-Y}g}$يحمل D على نفسه ، لذا فهو يقع في G.

تُظهر حجة مماثلة أن إغلاق H ، وهو أيضًا شبه مجموعة، يُعطى بواسطة

${\displaystyle {\overline {H}}=\{g\in \operatorname {SL} (2,\mathbf {C} )|gD\subseteq D\}=G\cdot \exp {\overline {C}}=\exp {\overline {C}}\cdot G.}$

يستنتج مما سبق ذكره بشأن الاقتران ما يلي:

${\displaystyle H=GA_{+}G,}$

أين

${\displaystyle A_{+}=\left\{\left.{\begin{pmatrix}e^{-y}&0\\0&e^{y}\end{pmatrix}}\right|y>0\right\}.}$

لو

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in H}$

ثم

${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\overline {a}}&{\overline {b}}\\{\overline {c}}&{\overline {d}}\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}a&-c\\-b&d\end{pmatrix}}\in H,}$

بما أن الأخيرة تُحصل عليها بأخذ منقولة المصفوفة ومرافقتها بالمصفوفة القطرية ذات العناصر ±1. وبالتالي، فإن H تحتوي أيضًا على

${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\overline {a}}&-{\overline {c}}\\-{\overline {b}}&{\overline {d}}\end{pmatrix}}.}$

والتي تعطي المصفوفة العكسية إذا كانت المصفوفة الأصلية تقع في SU(1,1).

وتنتج نتيجة أخرى تتعلق بالاقتران من خلال ملاحظة أن كل عنصر من H يجب أن يثبت نقطة في D ، والتي يمكن اعتبارها، بالاقتران مع عنصر من G،  مساوية للصفر. عندئذٍ يكون لعنصر H الشكل التالي:

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}a&0\\b&a^{-1}\end{pmatrix}},\qquad |a|<1\quad {\text{and}}\quad |b|<|a|^{-1}-|a|.}$

تشكل مجموعة هذه المصفوفات المثلثية السفلية شبه مجموعة فرعية H ₀ من H.

منذ

${\displaystyle M{\begin{pmatrix}x&0\\0&x^{-1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x&0\\ba^{-1}(x-x^{-1})&x^{-1}\end{pmatrix}}M,}$

كل مصفوفة في H ₀ تكون مترافقة مع مصفوفة قطرية بواسطة مصفوفة M في H ₀ .

وبالمثل، فإن كل شبه مجموعة ذات معلمة واحدة S ( t ) في H تثبت نفس النقطة في D، لذا فهي مترافقة بواسطة عنصر من G مع شبه مجموعة ذات معلمة واحدة في H ₀ .

ويترتب على ذلك وجود مصفوفة M في H ₀ بحيث

${\displaystyle MS(t)=S_{0}(t)M,}$

مع _كون S0 ( t ) قطريًا. وبالمثل _، توجد مصفوفة N في H0 بحيث

${\displaystyle S(t)N=NS_{0}(t),}$

تُولّد شبه المجموعة H _{0 المجموعة الفرعية} L من المصفوفات المثلثية السفلية المركبة ذات المحدد 1 (المعطى بالصيغة أعلاه مع a ≠ 0). ويتكون جبر لي الخاص بها من مصفوفات من الشكل

${\displaystyle Z={\begin{pmatrix}z&0\\w&-z\end{pmatrix}}.}$

على وجه الخصوص، تقع شبه المجموعة ذات المعامل الواحد exp tZ في H ₀ لجميع t > 0 إذا وفقط إذا${\displaystyle \Re z<0}$و${\displaystyle |\Re z|>{\tfrac {1}{2}}|w|.}$

وينتج هذا من معيار H أو مباشرة من الصيغة

${\displaystyle \exp Z={\begin{pmatrix}e^{z}&0\\f(z)w&e^{-z}\end{pmatrix}},\qquad f(z)={\sinh z \over z}.}$

من المعروف أن الدالة الأسية ليست شاملة في هذه الحالة، على الرغم من أنها شاملة على المجموعة L بأكملها . ويعود ذلك إلى أن عملية التربيع ليست شاملة في H. في الواقع، بما أن مربع عنصر ما يثبت الصفر فقط إذا كان العنصر الأصلي يثبت الصفر، يكفي إثبات ذلك في H₀ _. خذ α حيث |α| < 1 و

${\displaystyle \left|\alpha +\alpha ^{-1}\right|<|\alpha |+|\alpha ^{-1}|.}$

إذا كانت a = α ² و

${\displaystyle b=(1-\delta )(|a|^{-1}-|a|),}$

مع

${\displaystyle (1-\delta )^{2}={|\alpha +\alpha ^{-1}| \over |\alpha |+|\alpha ^{-1}|},}$

ثم المصفوفة

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&0\\b&a^{-1}\end{pmatrix}}}$

ليس لها جذر تربيعي في H _0. لأن الجذر التربيعي سيكون على الصورة

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\alpha &0\\\beta &\alpha ^{-1}\end{pmatrix}}.}$

على الجانب الآخر،

${\displaystyle |\beta |={b \over |\alpha +\alpha ^{-1}|}={|\alpha |^{-1}-|\alpha | \over 1-\delta }>|\alpha |^{-1}-|\alpha |.}$

شبه المجموعة المغلقة${\displaystyle {\overline {H}}}$تكون المجموعة القصوى في SL(2, C ): أي شبه مجموعة أكبر يجب أن تكون المجموعة الكاملة SL(2, C ). ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]}

باستخدام حسابات مستوحاة من الفيزياء النظرية، قدم فيرارا وآخرون (1973) شبه المجموعة${\displaystyle H}$، مُعرَّفة من خلال مجموعة من المتباينات. بدون تحديد${\displaystyle H}$بصفتهم شبه مجموعة ضغط، فقد أثبتوا الحد الأقصى لـ ${\displaystyle {\overline {H}}}$باستخدام التعريف كشبه مجموعة ضغط، فإنّ مفهوم الحد الأقصى يختزل إلى التحقق مما يحدث عند إضافة تحويل كسري جديد${\displaystyle g}$ل${\displaystyle {\overline {H}}}$تعتمد فكرة البرهان على النظر في مواقع القرصين.${\displaystyle g(D)}$و${\displaystyle D}$في الحالات الرئيسية، إما أن يحتوي أحد القرصين على الآخر أو يكونان منفصلين. في أبسط الحالات،${\displaystyle g}$هو عكس تحويل القياس أو${\displaystyle g(z)=-1/z}$في كلتا الحالتين${\displaystyle g}$و${\displaystyle H}$توليد جوار مفتوح للعدد 1، وبالتالي توليد كامل SL(2,C)

في وقت لاحق، قدم لوسون (1998) طريقة أخرى أكثر مباشرة لإثبات الحد الأقصى من خلال إظهار وجود دالة g في S ترسل D إلى القرص D ^c ، | z | > 1. في الواقع، إذا${\displaystyle x\in S\setminus {\overline {H}},}$_{إذن ،} يوجد قرص صغير D1 في D بحيث يقع xD1 في Dc . بالتالي _، بالنسبة لبعض h في H ، _{فإن D1} = hD . وبالمثل _، yxD1 = Dc لبعض y في H. لذا، فإن ^g = yxh يقع في S ويرسل D إلى Dc . ويترتب على ذلك أن g2 يثبت قرص الوحدة D، ^{لذا فهو} يقع في SU(1,1). إذن ، g ^-1 يقع في S. إذا كان t يقع في H، ^فإن tgD يحتوي على gD . ومن ثم${\displaystyle g^{-1}t^{-1}g\in {\overline {H}}.}$إذن t ⁻¹ يقع في S وبالتالي فإن S يحتوي على جوار مفتوح لـ 1. ومن ثم S = SL(2, C ).

ينطبق نفس المنطق تمامًا على تحويلات موبيوس على Rⁿ ^وشبه المجموعة المفتوحة التي تأخذ الكرة المغلقة ذات البعد || x || ≤ 1 إلى الكرة المفتوحة ذات البعد || x || < 1. الإغلاق هو شبه مجموعة فعلية قصوى في مجموعة جميع تحويلات موبيوس. عندما n = 1، يتوافق الإغلاق مع تحويلات موبيوس للخط الحقيقي التي تأخذ الفترة المغلقة [–1,1] إلى نفسها. ^{[ 8 ]}

تتمتع المجموعة شبه الزمرة H وإغلاقها ببنية إضافية موروثة من G ، وهي أن الانعكاس على G يمتد إلى تشاكل مضاد لـ H وإغلاقها، مما يثبت العناصر في exp C وإغلاقها.

${\displaystyle g={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}},}$

يُعطى التماثل العكسي بواسطة

${\displaystyle g^{+}={\begin{pmatrix}{\overline {a}}&-{\overline {c}}\\-{\overline {b}}&{\overline {d}}\end{pmatrix}}}$

ويمتد إلى شكل مضاد للتماثل الذاتي لـ SL(2, C ).

وبالمثل، فإن التماثل العكسي

${\displaystyle g^{\dagger }={\begin{pmatrix}{\overline {d}}&-{\overline {b}}\\-{\overline {c}}&{\overline {a}}\end{pmatrix}}}$

يترك G ₁ ثابتًا ويثبت العناصر في exp C ₁ وإغلاقها، لذلك لديه خصائص مماثلة لشبه المجموعة في G ₁ .

يترك${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ليكن فضاء دوال شوارتز على R. وهو كثيف في فضاء هيلبرت L² ( ^R ) للدوال القابلة للتكامل التربيعي على R. ووفقًا لمصطلحات ميكانيكا الكم ، يُعرَّف مؤثر "الزخم" P ومؤثر "الموضع" Q على${\displaystyle {\mathcal {S}}}$بواسطة

${\displaystyle Pf(x)=if'(x),\qquad Qf(x)=xf(x).}$

تحقق هذه المؤثرات علاقة التبادل لهايزنبرغ

${\displaystyle PQ-QP=iI.}$

كل من P و Q ذاتي الترافق بالنسبة للجداء الداخلي على${\displaystyle {\mathcal {S}}}$موروث من L ² ( R ).

يمكن تعريف مجموعتين وحدويتين أحاديتي المعلمة U ( s ) و V ( t ) على${\displaystyle {\mathcal {S}}}$و L ² ( R ) بواسطة

${\displaystyle U(s)f(x)=f(x-s),\qquad V(t)f(x)=e^{ixt}f(x).}$

بحسب التعريف

${\displaystyle {d \over ds}U(s)f=iPU(s)f,\qquad {d \over dt}V(t)f=iQV(t)f}$

ل${\displaystyle f\in {\mathcal {S}}}$، بحيث يكون ذلك رسمياً

${\displaystyle U(s)=e^{iPs},\qquad V(t)=e^{iQt}.}$

يتضح من التعريف مباشرةً أن مجموعتي المعامل الواحد U و V تحققان علاقة التبادل لـ Weyl

${\displaystyle U(s)V(t)=e^{-ist}V(t)U(s).}$

يُطلق على تحقيق U و V على L ² ( R ) اسم تمثيل شرودنغر .

يُعرَّف تحويل فورييه على${\displaystyle {\mathcal {S}}}$بواسطة ^{[ 9 ]}

${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi )={1 \over {\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-ix\xi }\,dx.}$

إنها تحدد خريطة متصلة لـ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$إلى حد ذاتها بسبب بنيتها الطوبولوجية الطبيعية .

يُظهر التكامل الكفافي أن الدالة

${\displaystyle H_{0}(x)={e^{-x^{2}/2} \over {\sqrt {2\pi }}}}$

هو تحويل فورييه الخاص به.

من ناحية أخرى، التكامل بالتجزئة أو التفاضل تحت التكامل،

${\displaystyle {\widehat {Pf}}=-Q{\widehat {f}},\qquad {\widehat {Qf}}=P{\widehat {f}}.}$

ويترتب على ذلك أن المشغل على${\displaystyle {\mathcal {S}}}$محدد بواسطة

${\displaystyle Tf(x)={\widehat {\widehat {f}}}(-x)}$

يتنقل مع كل من Q (و P ). من ناحية أخرى،

${\displaystyle TH_{0}=H_{0}}$

ومنذ ذلك الحين

${\displaystyle g(x)={f(x)-f(a)H_{0}(x)/H_{0}(a) \over x-a}}$

يكمن في${\displaystyle {\mathcal {S}}}$وبناءً على ذلك

${\displaystyle T(x-a)g|_{x=a}=(x-a)Tg|_{x=a}=0}$

وبالتالي

${\displaystyle Tf(a)=f(a).}$

وهذا يستلزم صيغة تحويل فورييه العكسي :

${\displaystyle f(x)={1 \over {\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}(\xi )e^{ix\xi }\,d\xi }$

ويُبين أن تحويل فورييه هو تماثل لـ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$على نفسه.

بحسب نظرية فوبيني

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x){\widehat {g}}(x)\,dx={1 \over {\sqrt {2\pi }}}\iint f(x)g(\xi )e^{-ix\xi }\,dxd\xi =\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}(\xi )g(\xi )\,d\xi .}$

عند دمجها مع صيغة الانعكاس، فإن هذا يعني أن تحويل فورييه يحافظ على الضرب الداخلي

${\displaystyle \left({\widehat {f}},{\widehat {g}}\right)=(f,g)}$

وبالتالي يحدد ذلك تماثلًا لـ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$على نفسه.

بحسب الكثافة، يمتد إلى عامل وحدوي على L ² ( R )، كما أكدته نظرية بلانشيريل .

لنفترض أن U ( s ) و V ( t ) عبارة عن مجموعات وحدوية ذات مُعامل واحد على فضاء هيلبرت${\displaystyle {\mathcal {H}}}$تحقيق علاقات التبادل لـ Weyl

${\displaystyle U(s)V(t)=e^{-ist}V(t)U(s).}$

ل${\displaystyle F(s,t)\in {\mathcal {S}}(\mathbf {R} \times \mathbf {R} ),}$let ^{[ 10 ] [ 11 ]}

${\displaystyle F^{\vee }(x,y)={1 \over {\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }F(t,y)e^{-itx}\,dt}$

وعرّف عاملًا محدودًا على${\displaystyle {\mathcal {H}}}$بواسطة

${\displaystyle T(F)=\iint F^{\vee }(x,x+y)U(x)V(y)\,dxdy.}$

ثم

${\displaystyle {\begin{aligned}T(F)T(G)&=T(F\star G)\\T(F)^{*}&=T(F^{*})\end{aligned}}}$

أين

${\displaystyle {\begin{aligned}(F\star G)(x,y)&=\int F(x,z)G(z,y)\,dz\\F^{*}(x,y)&={\overline {F(y,x)}}\end{aligned}}}$

تتمتع المؤثرات T ( F ) بخاصية عدم الانحلال المهمة : الامتداد الخطي لجميع المتجهات T ( F )ξ كثيف في${\displaystyle {\mathcal {H}}}$.

في الواقع، إذا كانت fds و gdt تُعرّفان مقاييس احتمالية ذات دعم مضغوط، فإن المؤثرات المُشوشة

${\displaystyle U(f)=\int U(s)f(s)\,ds,\qquad V(g)=\int V(t)g(t)\,dt}$

مُرضٍ

${\displaystyle \|U(f)\|,\|V(g)\|\leq 1}$

وتتقارب في بنية المؤثر القوي إلى مؤثر الهوية إذا انخفضت دعامات المقاييس إلى 0.

بما أن U ( f ) V ( g ) لها الشكل T ( F )، فإن عدم الانحلال يتبع ذلك.

متى${\displaystyle {\mathcal {H}}}$يمثل تمثيل شرودنغر على L ² ( R )، ويُعطى المؤثر T ( F ) بواسطة

${\displaystyle T(F)f(x)=\int F(x,y)f(y)\,dy.}$

يستنتج من هذه الصيغة أن U و V تؤثران معًا بشكل غير قابل للاختزال على تمثيل شرودنغر، إذ ينطبق هذا على المؤثرات المعطاة بواسطة النوى التي هي دوال شوارتز. ويُقدّم وصفٌ مُفصّلٌ لذلك في التحويلات القانونية الخطية .

وبالعكس، بالنظر إلى تمثيل علاقات التبادل لـ Weyl على${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ينتج عن ذلك تمثيل غير منحل للجبر النجمي لمؤثرات النواة. لكن جميع هذه التمثيلات تقع على مجموع مباشر متعامد لنسخ من ^L² ( R ) مع التأثير على كل نسخة كما سبق. هذا تعميم مباشر للحقيقة الأساسية القائلة بأن تمثيلات ^{المصفوفات} N × N تقع على مجاميع مباشرة للتمثيل القياسي على CⁿN . البرهان باستخدام وحدات المصفوفة يعمل بكفاءة مماثلة في الأبعاد اللانهائية.

تترك المجموعات الوحدوية ذات المعلمة الواحدة U و V كل مكون ثابتًا، مما يؤدي إلى الفعل القياسي على تمثيل شرودنغر.

وهذا يستلزم على وجه الخصوص نظرية ستون-فون نيومان : تمثيل شرودنغر هو التمثيل الوحيد غير القابل للاختزال لعلاقات التبادل فيل على فضاء هيلبرت.

بفرض أن U و V تحققان علاقات التبادل لـ Weyl، عرّف

${\displaystyle W(x,y)=e^{\frac {ixy}{2}}U(x)V(y).}$

ثم

${\displaystyle W(x_{1},y_{1})W(x_{2},y_{2})=e^{i(x_{1}y_{2}-y_{1}x_{2})}W(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2}),}$

بحيث يُعرّف W تمثيلاً وحدوياً إسقاطياً لـ ^R² مع دورة مشتركة معطاة بواسطة

${\displaystyle \omega (z_{1},z_{2})=e^{iB(z_{1},z_{2})},}$

أين${\displaystyle z=x+iy=(x,y)}$و B هي الصيغة التبسيطية على R² ^{المعطاة} بواسطة

${\displaystyle B(z_{1},z_{2})=x_{1}y_{2}-y_{1}x_{2}=\Im z_{1}{\overline {z_{2}}}.}$

بحسب نظرية ستون-فون نيومان، يوجد تمثيل فريد غير قابل للاختزال يتوافق مع هذه الدورة المشتركة.

يترتب على ذلك أنه إذا كان g تشاكلاً ذاتياً لـ R² يحافظ على الشكل B ، أي عنصراً من SL(2, R )، فإنه يوجد عنصر وحدوي π( g ) على L² ⁽ R ) يحقق علاقة التغاير ^.

${\displaystyle \pi (g)W(z)\pi (g)^{*}=W(g(z)).}$

بحسب ليمّة شور، فإن π( g ) الوحدوي فريد حتى الضرب في عدد قياسي ζ مع |ζ| = 1، بحيث يحدد π تمثيلًا وحدويًا إسقاطيًا لـ SL(2, R ).

يمكن إثبات ذلك مباشرةً باستخدام خاصية عدم اختزال تمثيل شرودنغر فقط. وكانت خاصية عدم الاختزال نتيجة مباشرة لحقيقة أن المؤثرات

${\displaystyle \iint K(x,y)U(x)V(y)\,dxdy,}$

مع K، تتوافق دالة شوارتز تمامًا مع المؤثرات المعطاة بواسطة النوى ذات دوال شوارتز.

هذه كثيفة في فضاء مؤثرات هيلبرت-شميدت ، والتي، نظرًا لاحتوائها على مؤثرات الرتبة المحدودة، تعمل بشكل غير قابل للاختزال.

يمكن إثبات وجود π باستخدام عدم اختزال تمثيل شرودنغر فقط. وتكون المؤثرات فريدة حتى إشارة معينة.

${\displaystyle \pi (gh)=\pm \pi (g)\pi (h),}$

بحيث تأخذ الدورة الثنائية للتمثيل الإسقاطي لـ SL(2, R ) القيم ±1.

في الواقع، يتم توليد المجموعة SL(2, R ) بواسطة مصفوفات من الشكل

${\displaystyle g_{1}={\begin{pmatrix}a&0\\0&a^{-1}\end{pmatrix}},\,\,g_{2}={\begin{pmatrix}1&0\\b&1\end{pmatrix}},\,\,g_{3}={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}},}$

ويمكن التحقق مباشرة من أن العوامل التالية تحقق علاقات التغاير المذكورة أعلاه:

${\displaystyle \pi (g_{1})f(x)=\pm a^{-{\frac {1}{2}}}f(a^{-1}x),\,\,\pi (g_{2})f(x)=\pm e^{-ibx^{2}}f(x),\,\,\pi (g_{3})f(x)=\pm e^{\frac {i\pi }{8}}{\widehat {f}}(x).}$

تحقق المولدات g _i علاقات Bruhat التالية ، والتي تحدد بشكل فريد المجموعة SL(2, R ): ^{[ 12 ]}

${\displaystyle g_{3}^{2}=g_{1}(-1),\,\,g_{3}g_{1}(a)g_{3}^{-1}=g_{1}(a^{-1}),\,\,g_{1}(a)g_{2}(b)g_{1}(a)^{-1}=g_{2}(a^{-2}b),\,\,g_{1}(a)=g_{3}g_{2}(a^{-1})g_{3}g_{2}(a)g_{3}g_{2}(a^{-1}).}$

يمكن التحقق من خلال الحساب المباشر أن هذه العلاقات يتم استيفاؤها حتى إشارة معينة بواسطة العوامل المقابلة، مما يثبت أن الدورة المشتركة تأخذ القيم ±1.

يوجد تفسير مفاهيمي أكثر باستخدام بناء صريح لمجموعة الميتابليكتيك كغطاء مزدوج لـ SL(2, R ). ^{[ 13 ]} تعمل SL(2, R ) بتحويلات موبيوس على النصف العلوي من المستوى H. علاوة على ذلك، إذا

${\displaystyle g={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}},}$

ثم

${\displaystyle {dg(z) \over dz}={1 \over (cz+d)^{2}}.}$

الوظيفة

${\displaystyle m(g,z)=cz+d}$

يحقق علاقة الدورة الواحدة

${\displaystyle m(gh,z)=m(g,hz)m(h,z).}$

لكل دالة g ، تكون الدالة m ( g , z ) غير معدومة على H ، وبالتالي لها جذران تربيعيان هولومورفيان محتملان. تُعرَّف المجموعة الميتابليكتية بأنها المجموعة

${\displaystyle \operatorname {Mp} (2,\mathbf {R} )=\{(g,G)|G(z)^{2}=m(g,z)\}.}$

بحسب التعريف، هو غطاء مزدوج لـ SL(2, R ) وهو متصل. عملية الضرب معطاة بـ

${\displaystyle (g,G)\cdot (h,H)=(gh,K),}$

أين

${\displaystyle K(z)=G(hz)H(z).}$

وبالتالي بالنسبة لعنصر g من مجموعة الميتابليكتيك، توجد دالة محددة بشكل فريد m ( g , z ) ^1/2 تحقق علاقة الدورة المشتركة 1.

لو${\displaystyle \Im z>0}$، ثم

${\displaystyle f_{z}(x)=e^{izx^{2}/2}}$

يقع في L ² ويسمى حالة متماسكة .

تقع هذه الدوال في مدار واحد من SL(2, R ) تم إنشاؤه بواسطة

${\displaystyle f_{i}(x)=e^{-{\frac {x^{2}}{2}}},}$

بما أن g في SL(2, R )

${\displaystyle \pi ((g^{t})^{-1})f_{z}(x)=\pm m(g,z)^{-1/2}f_{gz}(x).}$

وبشكل أكثر تحديدًا، إذا كانت g تقع في Mp(2, R )، فإن

${\displaystyle \pi ((g^{t})^{-1})f_{z}(x)=m(g,z)^{-1/2}f_{gz}(x).}$

في الواقع، إذا كان هذا صحيحًا بالنسبة لـ g و h ، فإنه ينطبق أيضًا على حاصل ضربهما. من ناحية أخرى، يمكن التحقق من الصيغة بسهولة إذا كان g ^t على الصورة g _i وكانت هذه مولدات.

هذا يُعرّف تمثيلاً وحدوياً عادياً للمجموعة الميتابليكتية.

يعمل العنصر (1،–1) كضرب في –1 على L ² ( R )، ومن ثم يترتب على ذلك أن الدورة المشتركة على SL(2، R ) تأخذ القيم ±1 فقط.

كما هو موضح في Lion & Vergne (1980) ، فإن الدورة 2 على SL(2, R ) المرتبطة بالتمثيل الميتابليكتي، والتي تأخذ القيم ±1، يتم تحديدها بواسطة مؤشر ماسلوف .

بفرض وجود ثلاثة متجهات غير صفرية u و v و w في المستوى، فإن مؤشر ماسلوف الخاص بها${\displaystyle \tau (u,v,w)}$يُعرَّف بأنه ^توقيع الشكل التربيعي على R³ المحدد بواسطة

${\displaystyle Q(a,b,c)=abB(u,v)+bcB(v,w)+caB(w,u).}$

خصائص مؤشر ماسلو :

• يعتمد ذلك على الفضاءات الفرعية أحادية البعد التي تمتد عليها المتجهات.
• وهو ثابت تحت SL(2, R )
• تتناوب في وسائطها، أي أن إشارتها تتغير إذا تم تبديل اثنين من الوسائط.
• يختفي إذا تطابقت اثنتان من الفضاءات الفرعية
• يأخذ القيم -1، 0، و+1: إذا كان u و v يحققان B ( u , v ) = 1 و w = au + bv ، فإن مؤشر ماسلوف يساوي صفرًا إذا كان ab = 0، وإلا فإنه يساوي سالب إشارة ab.
• ${\displaystyle \displaystyle {\tau (v,w,z)-\tau (u,w,z)+\tau (u,v,z)-\tau (u,v,w)=0}}$

باختيار متجه غير صفري u ₀ ، يترتب على ذلك أن الدالة

${\displaystyle \Omega (g,h)=\exp -{\pi i \over 4}\tau (u_{0},gu_{0},ghu_{0})}$

يُعرّف دورة ثنائية على SL(2, R ) بقيم في الجذور الثامنة للوحدة.

يمكن استخدام تعديل للدورة الثنائية لتعريف دورة ثنائية بقيم في نطاق ±1 مرتبطة بالدورة الميتابليكتية. ^{[ 14 ]}

في الواقع، إذا كانت لدينا متجهات غير صفرية u و v في المستوى، فإن f ( u , v ) تُعرَّف على النحو التالي:

• i مضروبة في إشارة B ( u , v ) إذا لم يكن u و v متناسبين
• إشارة λ إذا كانت u = λ v .

لو

${\displaystyle b(g)=f(u_{0},gu_{0}),}$

ثم

${\displaystyle \Omega (g,h)^{2}=b(gh)b(g)^{-1}b(h)^{-1}.}$

يمكن اختيار الممثلين π( g ) في التمثيل الميتابليكتي بحيث

${\displaystyle \pi (gh)=\omega (g,h)\pi (g)\pi (h)}$

حيث تُعطى الدورة الثنائية ω بالعلاقة التالية

${\displaystyle \omega (g,h)=\Omega (g,h)\beta (gh)^{-1}\beta (g)\beta (h),}$

مع

${\displaystyle \beta (g)^{2}=b(g).}$

يُعرَّف فضاء فوك الهولومورفي (المعروف أيضًا باسم فضاء سيغال-بارغمان ) بأنه فضاء متجهي${\displaystyle {\mathcal {F}}}$من الدوال التحليلية f ( z ) على C مع

${\displaystyle {1 \over \pi }\iint _{\mathbf {C} }|f(z)|^{2}e^{-|z|^{2}}\,dxdy}$

محدود. له جداء داخلي

${\displaystyle (f_{1},f_{2})={1 \over \pi }\iint _{\mathbf {C} }f_{1}(z){\overline {f_{2}(z)}}e^{-|z|^{2}}\,dxdy.}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}}$هي فضاء هيلبرت ذو أساس متعامد

${\displaystyle e_{n}(z)={z^{n} \over {\sqrt {n!}}},\quad n\geq 0.}$

علاوة على ذلك، فإن توسيع متسلسلة القوى لدالة هولومورفية في${\displaystyle {\mathcal {F}}}$^{[ 15 ]} وبالتالي، بالنسبة لـ z في C

${\displaystyle |f(z)|=\left|\sum _{n\geq 0}a_{n}z^{n}\right|\leq \|f\|e^{|z|^{2}/2},}$

بحيث يعطي التقييم عند z دالة خطية متصلة على${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$في الحقيقة

${\displaystyle f(a)=(f,E_{a})}$

حيث ^{[ 16 ]}

${\displaystyle E_{a}(z)=\sum _{n\geq 0}{(E_{a},e_{n})z^{n} \over {\sqrt {n!}}}=\sum _{n\geq 0}{z^{n}{\overline {a}}^{n} \over n!}=e^{z{\overline {a}}}.}$

وبالتالي على وجه الخصوص${\displaystyle {\mathcal {F}}}$هي فضاء هيلبرت ذو نواة قابلة للتكرار .

لـ f في${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ و z في C تحدد

${\displaystyle W_{\mathcal {F}}(z)f(w)=e^{-|z|^{2}/2}e^{w{\overline {z}}}f(w-z).}$

ثم

${\displaystyle W_{\mathcal {F}}(z_{1})W_{\mathcal {F}}(z_{2})=e^{-i\Im z_{1}{\overline {z_{2}}}}W_{\mathcal {F}}(z_{1}+z_{2}),}$

وهذا يعطي تمثيلاً موحداً لعلاقات التبادل في نظرية فايل. ^{[ 17 ]} الآن

${\displaystyle W_{\mathcal {F}}(a)E_{0}=e^{-|a|^{2}/2}E_{a}.}$

ويترتب على ذلك أن التمثيل${\displaystyle W_{\mathcal {F}}}$لا يمكن اختزاله.

في الواقع، أي دالة متعامدة مع جميع عناصر E _a يجب أن تتلاشى، بحيث يكون مداها الخطي كثيفًا في${\displaystyle {\mathcal {F}}}$.

إذا كان P إسقاطًا متعامدًا يتبادل مع W ( z )، فلنفرض أن f = PE0 _. عندئذٍ

${\displaystyle f(z)=(PE_{0},E_{z})=e^{|z|^{2}}(PE_{0},W_{\mathcal {F}}(z)E_{0})=(PE_{-z},E_{0})={\overline {f(-z)}}.}$

الدالة التحليلية الوحيدة التي تحقق هذا الشرط هي الدالة الثابتة.

${\displaystyle PE_{0}=\lambda E_{0},}$

مع λ = 0 أو 1. وبما أن E ₀ دورية، فإنه يترتب على ذلك أن P = 0 أو I.

بحسب نظرية ستون-فون نيومان، يوجد مؤثر وحدوي${\displaystyle {\mathcal {U}}}$من L ² ( R ) إلى${\displaystyle {\mathcal {F}}}$فريد من نوعه حتى الضرب بعدد قياسي، يربط بين تمثيلي علاقات تبادل فايل. وفقًا لفرضية شور وبناء جيلفاند-نايمارك ، فإن معامل المصفوفة لأي متجه يحدد المتجه حتى مضاعف قياسي. بما أن معاملات المصفوفة لـ F = E ₀ و f = H ₀ متساوية، فإنه يترتب على ذلك أن المصفوفة الوحدوية${\displaystyle {\mathcal {U}}}$يتم تحديدها بشكل فريد من خلال الخصائص

${\displaystyle W_{\mathcal {F}}(a){\mathcal {U}}={\mathcal {U}}W(a)}$

و

${\displaystyle {\mathcal {U}}H_{0}=E_{0}.}$

وبالتالي، بالنسبة لـ f في L ² ( R )

${\displaystyle {\mathcal {U}}f(z)=({\mathcal {U}}f,E_{z})=(f,{\mathcal {U}}^{*}E_{z})=e^{-|z|^{2}}(f,{\mathcal {U}}^{*}W_{\mathcal {F}}(z)E_{0})=e^{-|z|^{2}}(W(-z)f,H_{0}),}$

لهذا السبب.

${\displaystyle {\mathcal {U}}f(z)={1 \over {\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-(x^{2}+y^{2})}e^{-2ixy}f(t+x)e^{-t^{2}/2}\,dt={1 \over {\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }B(z,t)f(t)\,dt,}$

أين

${\displaystyle B(z,t)=\exp[-z^{2}-t^{2}/2+zt].}$

المشغل${\displaystyle {\mathcal {U}}}$يُطلق عليه اسم تحويل سيغال-بارغمان ^{[ 18 ]} ويُطلق على B اسم نواة بارغمان . ^{[ 19 ]}

نظير${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ويتم حسابه بالصيغة التالية:

${\displaystyle {\mathcal {U}}^{*}F(t)={1 \over \pi }\iint _{\mathbf {C} }B({\overline {z}},t)F(z)\,dxdy.}$

تم وصف تأثير SU(1,1) على فضاء فوك الهولومورفي بواسطة بارغمان (1970) وإتزيكسون (1967) .

يمكن بناء الغطاء المزدوج الميتابليكتي لـ SU(1,1) بشكل صريح كأزواج ( g , γ) مع

${\displaystyle g={\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\{\overline {\beta }}&{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}}}$

و

${\displaystyle \gamma ^{2}=\alpha .}$

إذا كانت g = g₁ _g₂ ، _فإن

${\displaystyle \gamma =\gamma _{1}\gamma _{2}\left(1+{\beta _{1}{\overline {\beta _{2}}} \over \alpha _{1}\alpha _{2}}\right)^{1/2},}$

باستخدام متسلسلة القوى لـ (1 + z ) ^1/2 لـ | z | < 1.

التمثيل الميتابليكتي هو تمثيل وحدوي π( g , γ) لهذه المجموعة يحقق علاقات التغاير

${\displaystyle \pi (g,\gamma )W_{\mathcal {F}}(z)\pi (g,\gamma )^{*}=W_{\mathcal {F}}(g\cdot z),}$

أين

${\displaystyle g\cdot z=\alpha z+\beta {\overline {z}}.}$

منذ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$إذا كانت فضاء هيلبرت ذو نواة مُولِّدة ، فإن أي مؤثر محدود T عليه يُقابل نواة مُعطاة بواسطة متسلسلة قوى لمتغيريه. في الواقع، إذا

${\displaystyle K_{T}(a,b)=(TE_{\overline {b}},E_{a}),}$

و F في${\displaystyle {\mathcal {F}}}$، ثم

${\displaystyle TF(a)=(TF,E_{a})=(F,T^{*}E_{a})={\frac {1}{\pi }}\iint _{\mathbf {C} }F(z){\overline {(T^{*}E_{a},E_{z})}}e^{-|z|^{2}}\,dxdy={\frac {1}{\pi }}\iint _{\mathbf {C} }K_{T}(a,{\overline {z}})F(z)e^{-|z|^{2}}\,dxdy.}$

تشير علاقات التغاير والتحليلية للنواة إلى أنه بالنسبة لـ S = π( g , γ)،

${\displaystyle K_{S}(a,z)=C\cdot \exp \,{1 \over 2\alpha }({\overline {\beta }}z^{2}+2az-\beta a^{2})}$

بالنسبة لثابت ما C. تُظهر الحسابات المباشرة أن

${\displaystyle C=\gamma ^{-1}}$

يؤدي ذلك إلى تمثيل عادي للغلاف المزدوج. ^{[ 20 ]}

يمكن تعريف الحالات المتماسكة مرة أخرى على أنها مدار E ₀ تحت المجموعة الميتابليكتية.

بالنسبة للعقدة w ، ضع

${\displaystyle F_{w}(z)=e^{wz^{2}/2}.}$

ثم${\displaystyle F_{w}\in {\mathcal {F}}}$إذا وفقط إذا كانت | w | < 1. على وجه الخصوص _، F0 = 1 = E0 _. علاوة على ذلك،

${\displaystyle \pi (g,\gamma )F_{w}=({\overline {\alpha }}+{\overline {\beta }}w)^{-{\frac {1}{2}}}F_{gw}={\frac {1}{\overline {\gamma }}}\left(1+{{\overline {\beta }} \over {\overline {\alpha }}}w\right)^{-1/2}F_{gw},}$

أين

${\displaystyle gw={\alpha w+\beta \over {\overline {\beta }}w+{\overline {\alpha }}}.}$

وبالمثل، تقع الدوال zF _w في${\displaystyle {\mathcal {F}}}$وتشكل مدارًا لمجموعة الميتابليكتيك:

${\displaystyle \pi (g,\gamma )[zF_{w}](z)=({\overline {\alpha }}+{\overline {\beta }}w)^{-3/2}zF_{gw}(z).}$

بما أن ( F _w , E ₀ ) = 1 ، فإن معامل المصفوفة للدالة E ₀ = 1 يُعطى بواسطة ^{[ 21 ]}

${\displaystyle (\pi (g,\gamma )1,1)=\gamma ^{-1}.}$

التمثيل الإسقاطي لـ SL(2, R ) على L ² ( R ) أو على${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ينقسم إلى مجموع مباشر لتمثيلين غير قابلين للاختزال، يُقابلان دالتين زوجية وفردية لـ x أو z . يمكن تحقيق هذين التمثيلين على فضاءات هيلبرت للدوال التحليلية على قرص الوحدة؛ أو، باستخدام تحويل كايلي، على النصف العلوي من المستوى المركب. ^{[ 22 ] [ 23 ]}

تتوافق الدوال الزوجية مع الدوال التحليلية F ₊ التي

${\displaystyle {1 \over 2\pi }\iint |F_{+}(z)|^{2}(1-|z|^{2})^{-1/2}\,dxdy+{2 \over \pi }\iint |F'_{+}(z)|^{2}(1-|z|^{2})^{\frac {1}{2}}\,dxdy}$

هي محدودة؛ والدوال الفردية إلى دوال هولومورفية F _- والتي

${\displaystyle {1 \over 2\pi }\iint |F_{-}(z)|^{2}(1-|z|^{2})^{-1/2}\,dxdy}$

هي محدودة. تحدد الأشكال المستقطبة لهذه التعبيرات الضرب الداخلي.

يُعطى تأثير المجموعة الميتابليكتية بالصيغة التالية

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{\pm }(g^{-1})F_{\pm }(z)&=\left({\overline {\beta }}z+{\overline {\alpha }}\right)^{-1\pm {\frac {1}{2}}}F_{\pm }(gz)\\&=\left(-{\overline {\beta }}z+\alpha \right)^{-1\pm {\frac {1}{2}}}F_{\pm }\left({{\overline {\alpha }}z-\beta \over -{\overline {\beta }}z+\alpha }\right)&&g={\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\{\overline {\beta }}&{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$

تم إثبات عدم اختزال هذه التمثيلات بطريقة قياسية. ^{[ 24 ]} ينقسم كل تمثيل إلى مجموع مباشر لفضاءات ذاتية أحادية البعد لمجموعة الدوران، كل منها مُوَلَّد بواسطة متجه C∞ للمجموعة بأكملها. ويترتب على ذلك أن أي فضاء جزئي مغلق وثابت مُوَلَّد بواسطة المجموع الجبري المباشر للفضاءات الذاتية التي يحتويها ^، وأن هذا المجموع ثابت تحت التأثير المتناهي الصغر لجبر لي.${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$من ناحية أخرى، فإن هذا الفعل لا يمكن اختزاله.

التشاكل مع الدوال الزوجية والفردية في${\displaystyle {\mathcal {F}}}$يمكن إثبات ذلك باستخدام بناء جيلفاند-نايمارك، حيث أن معاملات المصفوفة المرتبطة بـ 1 و z في التمثيلات المقابلة متناسبة. وقدّم إيتزيكسون (1967) طريقة أخرى تبدأ من الخرائط.

${\displaystyle U_{+}(F)(w)={\frac {1}{\pi }}\iint _{\mathbf {C} }F(z)e^{{\frac {1}{2}}w{\overline {z}}^{2}}e^{-|z|^{2}}\,dxdy,}$

${\displaystyle U_{-}(F)(w)={\frac {1}{\pi }}\iint _{\mathbf {C} }F(z){\overline {z}}e^{{\frac {1}{2}}w{\overline {z}}^{2}}e^{-|z|^{2}}\,dxdy,}$

من الأجزاء الزوجية والفردية إلى الدوال على قرص الوحدة. تتشابك هذه الخرائط مع تأثيرات المجموعة الميتابليكتية المذكورة أعلاه، وترسل z ⁿ إلى مضاعف w ⁿ . إن اشتراط أن تكون U _± وحدوية يحدد الضرب الداخلي للدوال على القرص، والذي يمكن التعبير عنه بالشكل أعلاه. ^{[ 25 ]}

على الرغم من أن المؤثر L₀ في هذه التمثيلات له طيف موجب - وهي السمة التي تميز تمثيلات المتسلسلات المنفصلة الهولومورفية لـ SU(1,1) _- فإن هذه التمثيلات لا تقع ضمن المتسلسلات المنفصلة للمجموعة الميتابليكتية. في الواقع، لاحظ كاشيوارا وفيرن (1978) أن معاملات المصفوفة غير قابلة للتكامل التربيعي، على الرغم من أن قوتها الثالثة قابلة للتكامل التربيعي. ^{[ 26 ]}

لنعتبر الفضاء الجزئي التالي من L ² ( R ):

${\displaystyle {\mathcal {H}}=\left\{f\in L^{2}(\mathbf {R} )\left|f(x)=p(x)e^{-{\frac {x^{2}}{2}}},p(x)\in \mathbf {R} [x]\right.\right\}.}$

المشغلون

${\displaystyle {\begin{aligned}X&=Q-iP={d \over dx}+x\\Y&=Q+iP=-{d \over dx}+x\end{aligned}}}$

العمل على${\displaystyle {\mathcal {H}}.}$يُطلق على X اسم عامل الإفناء، وعلى Y اسم عامل الإنشاء . وهما يحققان المعادلة التالية: