مطارق فيثاغورس

📅 آخر تحديث: ٢ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 50 صور
الموسوعة الحرة
جافوريوس ، Theorica musicae (1492): فيثاغورس يستكشف الانسجام والنسبة مع الآلات الموسيقية المختلفة

تقول الأسطورة إن فيثاغورس اكتشف أسس التناغم الموسيقي بالاستماع إلى أصوات أربعة مطارق حداد، والتي كانت تُصدر تناغمًا وتنافرًا عند ضربها في آنٍ واحد. ووفقًا لما ذكره نيكوماخوس في كتابه "دليل التناغم" (Enchiridion harmonices) الذي يعود إلى القرن الثاني الميلادي ، [ 1 ] لاحظ فيثاغورس أن المطرقة (أ) تُصدر تناغمًا مع المطرقة (ب) عند ضربهما معًا، وأن المطرقة (ج) تُصدر تناغمًا مع المطرقة (أ)، بينما تُصدر المطرقتان (ب) و(ج) تنافرًا فيما بينهما. أما المطرقة (د) فقد أصدرت تناغمًا تامًا مع المطرقة (أ) لدرجة أنهما بدتا وكأنهما تُغنيان النوتة نفسها. سارع فيثاغورس إلى ورشة الحدادة ليكتشف السبب، فوجد أن التفسير يكمن في نسب الأوزان. كانت أوزان المطارق 12 و9 و8 و6 أرطال على التوالي. وكانت نسبة وزن المطرقتين (أ) و(د) 2:1، وهي نسبة الأوكتاف . أما وزن المطرقتين (ب) و(ج) فكان 8 و9 أرطال على التوالي. كانت نسبها مع المطرقة D هي (12:8 = 3:2 = خامسة تامة ) و(12:9 = 4:3 = رابعة تامة ). المسافة بين B وC هي نسبة 9:8، وهي تساوي النغمة الكاملة الموسيقية، أو فاصل الخطوة الكاملة (عزف 9/8ⓘ ).

مطرقةوزنفاصلةإزميلشركة
أ6العب 1/1ⓘتشغيل P1ⓘج
ب8العب 3/2ⓘالعب P5ⓘجي
ج9تشغيل 4/3ⓘالعب P4ⓘF
د12العب 2/1ⓘالعب P8ⓘج

الأسطورة، على الأقل فيما يتعلق بالمطارق، خاطئة بشكل واضح. من المحتمل أنها حكاية شعبية من الشرق الأوسط. [ 2 ] هذه النسب مهمة بالفعل لطول الوتر (مثل طول الوتر الأحادي ) - باستخدام هذه الفواصل الأساسية، من الممكن بناء السلم الكروماتي والسلم الدياتوني الأساسي ذي السبع نغمات المستخدم في الموسيقى الحديثة، وربما كان لفيثاغورس دور مؤثر في اكتشاف هذه النسب (لذا يُشار إليها أحيانًا باسم الضبط الفيثاغوري ) - لكن هذه النسب لا ترتبط بنفس العلاقة بوزن المطرقة والنغمات التي تُصدرها. [ 3 ] [ 4 ] مع ذلك، تُظهر الأزاميل التي تعمل بالمطارق ذات المقطع العرضي المتساوي نسبة دقيقة بين الطول أو الوزن والتردد الذاتي . [ 5 ]

تشير مصادر سابقة إلى اهتمام فيثاغورس بالتناغم والنسبة. وصف زينوقراطيس (القرن الرابع قبل الميلاد)، وإن لم يذكر قصة الحداد على حد علمنا، اهتمام فيثاغورس بشكل عام: "اكتشف فيثاغورس أيضًا أن الفواصل الموسيقية لا تنشأ بمعزل عن العدد؛ لأنها علاقة متبادلة بين الكميات. لذلك شرع في البحث عن الشروط التي تُنتج الفواصل المتناغمة، والفواصل المتنافرة، وكل ما هو متناغم وغير متناغم." [ 6 ] وبغض النظر عن تفاصيل اكتشاف العلاقة بين الموسيقى والنسبة، يُعتبر [ 7 ] تاريخيًا أول وصف رياضي موثوق تجريبيًا لحقيقة فيزيائية. وعلى هذا النحو، فهو يرمز إلى المفهوم الفيثاغورسي للرياضيات باعتبارها آلية عمل الطبيعة، وربما يؤدي إليه . [ 8 ] وكما كتب أرسطو لاحقًا: "يبني الفيثاغوريون الكون بأكمله من الأرقام". [ 9 ] يكرر كتاب "ميكرولوجوس" لغيدو من أريتسو الأسطورة في الفصل 20. [ 10 ]

محتويات الشرح

بحسب أقدم رواية مسجلة [ 11 ] للأسطورة، سعى فيثاغورس، الذي عاش في القرن السادس قبل الميلاد، إلى إيجاد أداة لقياس الإدراكات الصوتية، على غرار قياس الكميات الهندسية بالبوصلة أو الأوزان بالميزان. وبينما كان يمرّ بجوار ورشة حدادة يعمل فيها أربعة حرفيين (أو خمسة، وفقًا لرواية لاحقة) بالمطارق، لاحظ أن كل ضربة تُصدر نغمات مختلفة الحدة، مما ينتج عنه تناغمات عند اقترانها. استطاع التمييز بين الأوكتاف والخامسة والرابعة . لكن زوجًا واحدًا فقط ، وهو الفاصل بين الرابعة والخامسة (ثانية كبيرة ) ، اعتبره نشازًا . فاندفع بحماس إلى ورشة الحدادة لإجراء تجارب. وهناك، اكتشف أن اختلاف الحدة لا يعتمد على شكل المطرقة، أو موضع الحديد المضروب، أو قوة الضربة. بل كان بإمكانه ربط النغمات بأوزان المطارق، التي قاسها بدقة. ثم عاد إلى منزله لمواصلة التجارب.

He hung four equally long, equally strong, and equally twisted strings in succession on a peg attached diagonally to the corner of the walls, weighting them differently by attaching different weights at the bottom. Then he struck the strings in pairs, and the same harmonies resonated as in the forge. The string with the heaviest load of twelve units, when paired with the least burdened string carrying six units, produced an octave. Thus, it was evident that the octave was based on the ratio 12:6, or 2:1. The most tense string yielded a fifth with the second loosest string (eight units), and a fourth with the second tightest string (nine units). From this, it followed that the fifth was based on the ratio 12:8, or 3:2, and the fourth on the ratio 12:9, or 4:3. Again, the ratio of the second tightest string to the loosest, with 9:6, or 3:2, yielded a fifth, and the ratio of the second loosest to the loosest, with 8:6, or 4:3, yielded a fourth. For the dissonant interval between fifth and fourth, it was revealed that it was based on the ratio 9:8, which coincided with the weight measurements carried out in the forge. The octave proved to be the product of the fifth and fourth:

32⋅43=126=21=2{\displaystyle {\frac {3}{2}}\cdot {\frac {4}{3}}={\frac {12}{6}}={\frac {2}{1}}=2}

Pythagoras then extended the experiment to various instruments, experimented with vessels, flutes, triangles, the Monochord, etc., always finding the same numerical ratios. Finally, he introduced the commonly used terminology for relative pitch.

Further traditions

With the invention of the monochord to investigate and demonstrate the harmonies of pairs of strings with different integer length ratios, Pythagoras is said to have introduced a convenient means of illustrating the mathematical foundation of music theory that he discovered. The monochord, called κανών (kanōn) in Greek and regula in Latin, is a resonating box with a string stretched over it. A measurement scale is attached to the box. The device is equipped with a movable bridge, which allows the vibrating length of the string to be divided; the division can be precisely determined using the measurement scale. This enables measurement of intervals. Despite the name "monochord", which means "one-stringed", there were also multi-stringed monochords that could produce simultaneous intervals. However, it is unclear when the monochord was invented. Walter Burkert dates this achievement to a time after the era of Aristotle, who apparently did not know the device; thus, it was introduced long after Pythagoras' death.[12] On the other hand, Leonid Zhmud suggests that Pythagoras probably conducted his experiment, which led to the discovery of numerical ratios, using the monochord.[13]

أجرى هيباسوس الميتابونتي ، أحد أوائل الفلاسفة الفيثاغوريين (أواخر القرن السادس وأوائل القرن الخامس قبل الميلاد)، دراسات كمية حول الفواصل الموسيقية. وتُعدّ التجربة المنسوبة إليه، والتي تضمنت صفائح دائرية متذبذبة بحرية ذات سماكات متفاوتة، صحيحة من الناحية الفيزيائية، على عكس التجارب المنسوبة إلى فيثاغورس. ولا يزال من غير الواضح ما إذا كان أرخيتاس التارينتومي ، وهو فيثاغوري بارز من القرنين الخامس والرابع قبل الميلاد، قد أجرى تجارب مماثلة. وربما كان أقرب إلى المنظّر منه إلى الممارس الموسيقي، لكنه أشار إلى الملاحظات الصوتية لأسلافه. وتتضمن الأمثلة الموسيقية التي استشهد بها لدعم نظريته الصوتية آلات النفخ؛ ولم يذكر تجارب على الآلات الوترية أو الأوتار الفردية. وقد انطلق أرخيتاس من فرضية خاطئة مفادها أن درجة الصوت تعتمد على سرعة انتشار الصوت وقوة تأثيره على الجسم المُصدر للصوت؛ في الواقع، سرعة الصوت ثابتة في وسط معين، والقوة تؤثر فقط على شدة الصوت. [ 14 ]

تفسير الأسطورة

يرى والتر بوركيرت أنه على الرغم من استحالة حدوثها من الناحية الفيزيائية، لا ينبغي اعتبار الأسطورة اختراعًا عشوائيًا، بل تحمل معنىً يمكن استنباطه من الأساطير اليونانية . فـ "داكتيل" الإيديين ، المخترعون الأسطوريون للحدادة، كانوا أيضًا، وفقًا للأسطورة، مخترعي الموسيقى. وهكذا، كان هناك تقليد قديم جدًا يربط الحدادة بالموسيقى، حيث صُوِّر الحدادون الأسطوريون على أنهم يمتلكون سر الموسيقى السحرية. ويرى بوركيرت أن أسطورة فيثاغورس في الحدادين هي تحوّل متأخر وتفسير منطقي لأسطورة "داكتيل" القديمة: ففي أسطورة فيثاغورس، لم يعد الحدادون يظهرون كحاملين للمعرفة السحرية القديمة، بل أصبحوا، دون قصد، "معلمين" لفيثاغورس. [ 15 ]

في أوائل العصور الوسطى ، أشار إيسيدور الإشبيلي إلى الحداد توبال التوراتي باعتباره مخترع الموسيقى؛ وقد حذا حذوه مؤلفون لاحقون. يُظهر هذا التقليد مرة أخرى فكرة العلاقة بين الحدادة والموسيقى، والتي تظهر أيضًا في الأساطير والحكايات غير الأوروبية. [ 16 ] كان توبال الأخ غير الشقيق ليوبال ، الذي كان يُعتبر سلف جميع الموسيقيين. كلاهما كانا ابني لامك ، وبالتالي حفيدي قايين . في بعض التقاليد المسيحية في العصور الوسطى، تمّت مساواة يوبال، الذي كان يراقب أخاه توبال، بفيثاغورس. [ 17 ]

يقترح يورغن راستيد تفسيراً آخر، استناداً إلى ليونيد زمود. تنص فرضية راستيد على أن نقطة انطلاق نشأة الأسطورة كانت تقريراً عن تجارب هيباسوس. استخدم هيباسوس أوانٍ تُسمى "سفيراي". وقد اختلطت هذه الكلمة خطأً بكلمة "سفيراي" (المطارق) نتيجة خطأ كتابي، وبدلاً من اسم هيباسوس، استُخدم اسم فيثاغورس كمُنشئ للتجارب. ومن هنا، نشأت أسطورة المسبك. [ 18 ]

أساسيات نظرية الموسيقى

الأرقام الصحيحة 6 و8 و9 و12، بالنسبة لأدنى نغمة (الرقم 12)، تتوافق مع الفواصل النقية الرابعة (الرقم 9) والخامسة (الرقم 8) والأوكتاف (الرقم 6) صعودًا:

عدد صحيحالنسبة إلى أكبر عدد 12النسبة، مخفضةرقم النسبةتحديد الفترة
1212:121:11.000برايم
99:123:40.750رابعاً
88:122:30.667الخامس
66:121:20.500أوكتاف

تُدرك الأذن البشرية هذه الفواصل النقية على أنها خالية من النبض ، حيث لا يتغير مستوى صوت النغمات. في النوتة الموسيقية ، يمكن التعبير عن هذه النغمات الفيثاغورية الأربع، على سبيل المثال، بالتسلسل اللحني دو' – فا' – صول' – دو":

\relative c' { \time 4/4 cfgc}

إذا لم يتم اعتبار هذا التسلسل من النغمات من أدنى نغمة، ولكن من أعلى نغمة (الرقم 6)، فإن الفترات التالية تنتج أيضًا: رابعة (الرقم 8)، وخامسة (الرقم 9)، وأوكتاف (الرقم 12) - ولكن في هذه الحالة، نزولًا:

عدد صحيحالنسبة إلى أصغر عدد 6النسبة، مخفضةرقم النسبةتحديد الفترة
66:61:11.000برايم
88:64:31.333رابعاً
99:63:21.500الخامس
1212:62:12000أوكتاف

تظهر النغمة الخامسة والأوكتاف بالنسبة للنغمة الأساسية في سلسلة التوافقيات الطبيعية ، ولكن لا تظهر النغمة الرابعة أو ما يعادلها من الأوكتاف . وتظهر هذه المسافة الرابعة في آلات النفخ النحاسية عديمة الفتحات المعروفة منذ العصور القديمة، وفي النغمات التوافقية للآلات الوترية.

أهمية ذلك بالنسبة للتطور اللاحق للأنظمة النغمية

أدى المزيد من البحث في الفواصل الموسيقية المكونة من الأوكتافات والخماسيات والأرباع ومضاعفاتها، في نهاية المطاف، من السلالم الموسيقية الديوتونية ذات السبع نغمات المختلفة ( السلم السباعي ) في الضبط الفيثاغورسي إلى سلم موسيقي كروماتي ذي اثنتي عشرة نغمة. وقد شكلت فواصل "الذئب" في الضبط الفيثاغورسي مشكلة: فبدلاً من الخماسيات النقية A♭-E♭ و D♭-A♭، كانت تُسمع الخماسيات G♯-E♭ و C♯-A♭، التي تم خفض ترددها بواسطة الفاصلة الفيثاغورسية .

مع ظهور التعدد الصوتي في النصف الثاني من القرن الخامس عشر، بالإضافة إلى الأوكتاف والخامسة، أصبحت الثالثة النقية أساسيةً للثلاثيات الكبيرة والصغيرة. ورغم أن هذا الضبط لم يكن قابلاً للتطبيق على لوحة مفاتيح ذات اثنتي عشرة نغمة، إلا أنه كان بالإمكان تحقيقه بشكل جيد في نظام الضبط المتوسط. لكن عيبه كان عدم إمكانية عزف جميع مفاتيح دائرة الخمسات . ولتدارك هذا القصور، تم إدخال أنظمة الضبط المعدلة، وإن كان ذلك على حساب أن الثالثة النقية بدت أكثر حدة في بعض المفاتيح. أما اليوم، فمعظم الآلات الموسيقية تُضبط بنظام الضبط المتساوي ذي الاثنتي عشرة مفتاحًا، بحيث تكون الأوكتافات نقية تمامًا، والخامسات شبه نقية، بينما تبدو الثالثة خشنة.

النغمات الأربع الفيثاغورية في الموسيقى

في الموسيقى، تلعب النغمات التوافقية الأربع الفيثاغورية دورًا بارزًا في السلم الخماسي ، لا سيما في الدرجات الأولى والرابعة والخامسة والثامنة من السلالم الموسيقية (خاصة الكبيرة والصغيرة)، وفي تأليف النهايات الموسيقية كنغمات أساسية للنغمة الأساسية، والنغمة الفرعية ، والنغمة الرئيسية. غالبًا ما يظهر هذا التسلسل من النغمات في النهايات الموسيقية مع الأوتار المقابلة.

مثال صوتيⓘ تسلسل كامل في سلم دو الكبير مع تسلسل الدرجات: الدرجة الأساسية (دو الكبير) – الدرجة الفرعية (فا الكبير) – الدرجة المهيمنة (صول الكبير) – الدرجة الأساسية (دو الكبير)

تظهر النغمات الفيثاغورية الأربع في العديد من المؤلفات الموسيقية. تتألف النغمات الأولى من الترانيم التي تعود إلى العصور الوسطى "Ad te levavi" و "Factus est repente" بشكل أساسي من النغمات الفيثاغورية الأربع، باستثناء بعض الزخارف والنغمات العالية. [ 19 ]

لحن الباساكاليا من تأليف يوهان سيباستيان باخ

مثال آخر هو بداية مقطوعة باساكاليا في سلم دو الصغير ليوهان سيباستيان باخ . يتألف اللحن من خمس عشرة نغمة، منها عشر نغمات، وخاصة النغمات الأربع الأخيرة، مشتقة من التسلسل.

دحض

التردد المطلق للمطارق: عادةً ما يكون تردد الرنين للمطارق الفولاذية التي يمكن تحريكها باليد البشرية ضمن نطاق الموجات فوق الصوتية، وبالتالي فهو غير مسموع. لم يكن بإمكان فيثاغورس إدراك هذه النغمات، خاصةً عندما كان هناك فرق في تردد المطارق يصل إلى أوكتاف واحد.

يعتمد تردد اهتزاز الجسم الصلب المتذبذب بحرية، مثل الموجة الطولية ، على وزنه أو حجمه، ولكنه يتناسب مع طوله، الذي يتغير بنفس الشكل الهندسي فقط مع الجذر التكعيبي للحجم.

بالنسبة لمطارق فيثاغورس، تنطبق نسب الأرقام التالية على الأشكال الهندسية المتشابهة (القيم بوحدات اعتباطية):

الوزن / الحجمنسبة إلى أكبر مطرقةطول رأس المطرقة / تردد الاهتزازنسبة إلى أكبر مطرقة
121.0002.2891.000
90.7502.0800.909
80.66720000.874
60.5001.8170.794

درجة الصوت وعلاقتها بتوتر الوتر: إن افتراض أن تردد اهتزاز الوتر يتناسب طرديًا مع توتره غير صحيح. بل إن تردد الاهتزاز يتناسب طرديًا مع الجذر التربيعي للتوتر. لمضاعفة تردد الاهتزاز، يجب تطبيق توتر أكبر بأربعة أضعاف، وبالتالي يجب تعليق وزن أكبر بأربعة أضعاف على الوتر.

الاعتبارات المادية

التناغم

نسب الترددات الصحيحة

نسبة الترددات الصحيحةو2و1=ن1{\displaystyle {\frac {f_{2}}{f_{1}}}={\frac {n}{1}}}نتردد النبضوS=(ن-1)⋅و1{\displaystyle f_{S}=(n-1)\cdot f_{1}}
2:12وS=و1{\displaystyle f_{S}=f_{1}}
3:13وS=2و1{\displaystyle f_{S}=2f_{1}}
4:14وS=3و1{\displaystyle f_{S}=3f_{1}}
5:15وS=4و1{\displaystyle f_{S}=4f_{1}}

حقيقة أن نغمة ذات تردد أساسيو1{\displaystyle f_{1}}يتوافق مع نغمة ثانية ذات مضاعف صحيحن{\displaystyle {n}}(معن∈شمال{\displaystyle n\in \mathbb {N} }ون>1{\displaystyle {n}>{1}}) من هذا التردد الأساسيو2=ن⋅و1{\displaystyle f_{2}=n\cdot f_{1}}ويتضح ذلك على الفور من حقيقة أن القيم القصوى والدنيا لاهتزازات النغمة متزامنة في الوقت، ولكن يمكن تفسير ذلك أيضًا على النحو التالي:

تردد النبضوS{\displaystyle f_{S}}يتم حساب الفرق بين ترددات النغمتين المتزامنتين رياضياً، ويمكن سماعهما كنغمة مركبة:

وS=و2-و1{\displaystyle f_{S}=f_{2}-f_{1}}

(انظر الوصف الرياضي للنبض ).

وهذا الفرق نفسه يمثل نسبة عددية صحيحة إلى التردد الأساسيو1{\displaystyle f_{1}}:

وS=ن⋅و1-و1=(ن-1)⋅و1{\displaystyle {\begin{aligned}f_{S}&=n\cdot f_{1}-f_{1}\\&=(n-1)\cdot f_{1}\end{aligned}}}

بالنسبة لجميع المضاعفات الصحيحة للتردد الأساسي في النغمة الثانية، توجد أيضًا مضاعفات صحيحة لتردد الخفقان (انظر الجدول على اليمين)، بحيث تبدو جميع النغمات متناغمة.

نسب التردد العقلاني

النسبة المنطقية للتردداتو2و1=ن+1ن{\displaystyle {\frac {f_{2}}{f_{1}}}={\frac {n+1}{n}}}نتردد النبضوS=1ن⋅و1{\displaystyle f_{S}={\frac {1}{n}}\cdot f_{1}}التردد الأساسيو1=ن⋅وS{\displaystyle f_{1}=n\cdot f_{S}}
2:11وS=و1{\displaystyle f_{S}=f_{1}}و1=وS{\displaystyle f_{1}=f_{S}}
3:22وS=12و1{\displaystyle f_{S}={\frac {1}{2}}f_{1}}و1=2وS{\displaystyle f_{1}=2f_{S}}
4:33وS=13و1{\displaystyle f_{S}={\frac {1}{3}}f_{1}}و1=3وS{\displaystyle f_{1}=3f_{S}}
5:44وS=14و1{\displaystyle f_{S}={\frac {1}{4}}f_{1}}و1=4وS{\displaystyle f_{1}=4f_{S}}

حتى بالنسبة لنغمتين تردداتهما بنسبة منطقية من(ن+1){\displaystyle {(n+1)}}لن{\displaystyle {n}}يوجد توافق صوتي. ويُعطى تردد النغمة الثانية بالصيغة التالية:

و2=ن+1ن⋅و1{\displaystyle f_{2}={\frac {n+1}{n}}\cdot f_{1}}

وبالتالي، فإن تردد الخفقان للنغمتين اللتين تصدران في وقت واحد يُعطى بالمعادلة التالية:

⇒وS=ن+1ن⋅و1-و1=(1+1ن-1)⋅و1=1ن⋅و1⇔ن⋅وS=و1\displaystyle \begin{aligned}\Rightarrow f_{S}&=\frac {n+1}{n}}\cdot f_{1}-f_{1}\\&=(1+\frac {1}{n}}-1)\cdot f_{1}\\&=\frac {1}{n}}\cdot f_{1}\\\Leftrightarrow n\cdot f_{S}&=f_{1}\end{aligned}}}

في ظل هذه الحالة، يكون التردد الأساسي دائمًا مضاعفًا صحيحًا لتردد الخفقان (انظر الجدول على اليمين). لذلك، لا يحدث أي تنافر .

التذبذبات الطولية والتردد الطبيعي للأجسام الصلبة

لتقدير كتلة معدنية، دعونا نعتبر منشورًا مستطيلًا متجانسًا بطول أقصىل{\displaystyle {l}}ومصنوع من مادة بسرعة الصوتv{\displaystyle {v}}أما بالنسبة لنمط الاهتزاز على طول أطول جانب له ( التذبذب الطولي )، فإنه يمتلك أدنى تردد طبيعيو{\displaystyle {f}}مع وجود عقد مضادة في كلا الطرفين وعقدة في المنتصف. [ 20 ]

و=v2⋅ل{\displaystyle {f={\frac {v}{2\cdot l}}}}.

لذا، فإن درجة الصوت مستقلة عن كتلة المنشور ومساحة مقطعه العرضي، بل إن مساحة المقطع العرضي قد تتغير. علاوة على ذلك، لا تؤثر القوة والسرعة عند اصطدام المنشور بالجسم. على الأقل، تتوافق هذه الحقيقة مع الملاحظة المنسوبة إلى فيثاغورس بأن درجة الصوت المُدركة لا تعتمد على يدي (وبالتالي القوى) التي يبذلها الحرفيون.

تتميز الأجسام ذات الأشكال الهندسية الأكثر تعقيدًا ، كالأجراس والأكواب والأوعية ، والتي قد تكون مملوءة بالسوائل، بترددات طبيعية تتطلب وصفًا فيزيائيًا أكثر تفصيلًا، إذ لا يقتصر الأمر على الشكل فحسب، بل يشمل أيضًا سمك الجدار وموقع الضرب. وفي هذه الحالات، قد تُثار اهتزازات عرضية وتكون مسموعة.

المطارق

رأس مطرقة الحدادة ، رسم توضيحي من كتاب أمريكي عن الحدادة صدر عام 1899

مطرقة ثقيلة ضخمة جدًا (سرعة الصوت في الفولاذ تقريبًاv{\displaystyle {v}}(5000 متر في الثانية) بطول رأس مطرقةل{\displaystyle {l}}يبلغ طول المطرقة 0.2 متر، وترددها الطبيعي 12.5 كيلوهرتز. وبمساحة مقطع عرضي مربعة تبلغ 0.1 متر مربع (0.1 متر × 0.1 متر)، ستكون كتلتها كبيرة بشكل غير عادي، تقارب 16 كيلوغرامًا، بكثافة 7.86 غرام لكل سنتيمتر مكعب. لا يستطيع الكثير من الناس سماع الترددات التي تزيد عن 15 كيلوهرتز تقريبًا (انظر عتبة السمع )؛ لذلك، يكاد يكون التردد الطبيعي لمطرقة بهذا الحجم غير مسموع. أما المطارق ذات الرؤوس الأقصر، فلها ترددات طبيعية أعلى، وبالتالي فهي غير مسموعة أيضًا.

السندان

سندان فولاذي كبير بطولل{\displaystyle {l}}يبلغ التردد الطبيعي لـ 0.5 متر 5 كيلوهرتز فقط، وبالتالي يمكن سماعه بسهولة.

توجد العديد من المقطوعات الموسيقية التي يحدد فيها المؤلف استخدام السندان كآلات موسيقية. ومن أشهرها على وجه الخصوص أوبرا " خاتم النيبلونغ" لريتشارد فاغنر :

  • داس راينغولد ، المشهد  3، 18 سندانًا في فا بثلاثة أوكتافات
  • سيغفريد ، الفصل  الأول، أغنية سيغفريد للحدادة نوثونغ! لا شيء! نيدليشيس شويرت!

المواد التي تتميز بسرعة صوت أقل من الفولاذ، مثل الجرانيت أو النحاس الأصفر ، تُصدر ترددات أقل بكثير عند استخدام هندسة متطابقة. على أي حال، لم تُذكر السنادين في الروايات القديمة، ونُسبت الأصوات المسموعة للسندان إلى المطارق في النسخ اللاحقة من الأسطورة.

قضبان معدنية

قضيب معدني طوله l ومساحة مقطعه العرضي A
أربعة أزاميل بأطوال مختلفة (12، 9، 8، و6 وحدات) ومساحة مقطع عرضي متساوية، تهتز على طول محورها الطولي بترددات اهتزاز تتناسب مع طولها وكتلتها. أمثلة صوتية لأزاميل بترددات اهتزاز نسبية صحيحة:
أساسي (12 وحدة دراسية)
الرابع (طوله 9 وحدات)
الخامس (طوله 8 وحدات)
أوكتاف (طوله 6 وحدات)
النحت بنسبة غير صحيحة إلى النغمة الأساسية ( التريتون = 1/2 أوكتاف ) :
تريتون (طوله 8.485 وحدة)

يمكن مقارنة قضبان معدنية ، مثل الأزاميل التي يستخدمها البناؤون أو أوتاد التكسير، للوصول إلى ملاحظة مشابهة لتلك المنسوبة إلى فيثاغورس، وهي أن تردد اهتزاز الأدوات يتناسب طرديًا مع وزنها . إذا كانت جميع القضبان المعدنية، مع إهمال حواف القطع المدببة، لها نفس مساحة المقطع العرضي المنتظمة (A) ولكن بأطوال مختلفة (l) ، فإن وزنها يتناسب طرديًا مع طولها، وبالتالي مع تردد اهتزازها، بشرط أن تُثار هذه القضبان المعدنية إلى اهتزازات طولية عن طريق الضرب على طول محورها الطولي (يمكن إيجاد أمثلة صوتية في المربع على اليمين). [ 21 ]

بالنسبة للمذبذبات المنحنية ، مثل الشوكات الرنانة أو صفائح الميتالوفونات ، تنطبق شروط وقوانين مختلفة؛ لذلك، لا تنطبق هذه الاعتبارات عليها.

اهتزازات الأوتار

مبدأ المونوكورد: وتر مهتز بطول l وتوتر F بين جسرين على صندوق رنين

يمكن تثبيت الأوتار من طرفين، كل منهما على جسر . على عكس الجسم الصلب ذي الاهتزازات الطولية، يحدد الجسران الشروط الحدية لنقطتي اهتزاز عقديتين ؛ وبالتالي، تقع عقدة الاهتزاز في المنتصف.

التردد الطبيعيو{\displaystyle {f}}وبالتالي فإن درجة صوت الأوتار ذات الطولل{\displaystyle {l}}لا تتناسب مع التوترF{\displaystyle {F}}، ولكن إلى الجذر التربيعي للشد. علاوة على ذلك، يزداد التردد مع زيادة وزن الشد وبالتالي زيادة الشد، بدلاً من أن يتناقص: [ 22 ]

و∝Fل{\displaystyle f\propto {\frac {\sqrt {F}}{l}}}

ومع ذلك، فإن تردد الاهتزاز يتناسب عكسياً مع طول الوتر عند شد ثابت، وهو ما يمكن إثباته مباشرة باستخدام المونوكورد - الذي يُزعم أن فيثاغورس قد اخترعه.

استقبال

PythagorasPhilolausNicomachus of GerasaBoethiusGuido of ArezzoJohannes de GrocheioFranchinus GaffuriusGioseffo Zarlino
الجدول الزمني: المؤلفون الذين ينقلون نسخًا من أسطورة الحدادة ( باللون الأخضر ). الفلاسفة الذين تم تمييزهم باللون الأزرق تناولوا العلاقة بين الرياضيات والموسيقى.

العصور القديمة

أقدم ذكر لاكتشاف فيثاغورس للأساس الرياضي للفواصل الموسيقية ورد في كتاب زينوقراطيس الأفلاطوني (القرن الرابع قبل الميلاد)؛ ولأنه مجرد اقتباس من عمل مفقود لهذا المفكر، فمن غير الواضح ما إذا كان على دراية بأسطورة الحدادة. [ 23 ] في القرن الرابع قبل الميلاد، وُجهت انتقادات لنظرية فيثاغورس للفواصل الموسيقية، وإن لم تُشر إلى أسطورة فيثاغورس؛ فقد اعتبرها الفيلسوف وعالم الموسيقى أريستوكسينوس خاطئة.

نيكوماخوس الجراسي في تصوير من العصور الوسطى يعود إلى القرن الثاني عشر، مكتبة جامعة كامبريدج ، المخطوطة رقم 12.3.12، الورقة 61 ظهرًا

أقدم نسخة مسجلة من الأسطورة عُرضت بعد قرون من زمن فيثاغورس على يد نيكوماخوس الجراسي ، أحد أتباع فيثاغورس الجدد ، الذي وثّق القصة في كتابه " هارمونيك إنتشيريديون " (دليل التناغم) في القرن الأول أو الثاني الميلادي. وقد اعتمد في عرضه للنسب العددية في نظرية الموسيقى على الفيلسوف فيلولاوس ، وهو فيثاغورسي من القرن الخامس قبل الميلاد. [ 24 ]

كان عالم الرياضيات ونظرية الموسيقى الشهير بطليموس (القرن الثاني الميلادي) على دراية بطريقة الوزن التي نقلتها الأسطورة، لكنه رفضها. مع ذلك، لم يُقرّ بطليموس بزيف تجارب الوزن، بل انتقد فقط عدم دقتها مقارنةً بالقياسات الدقيقة على آلة المونوكورد. [ 25 ] من المحتمل أنه استقى معلوماته عن هذه الرواية الأسطورية ليس من نيكوماخوس، بل من مصدر أقدم مفقود الآن. [ 26 ]

وصف غاودنتيوس ، المنظّر الموسيقي الذي يصعب تحديد تاريخه الزمني في العصر الإمبراطوري، الأسطورة في كتابه "مقدمة في التناغم" ( Harmonicḗ Eisagōgḗ )، بنسخة أقصر قليلاً من نسخة نيكوماخوس. أما الفيلسوف الأفلاطوني المحدث يامبليخوس الخالكيسي ، الذي عمل مدرساً للفلسفة في أواخر القرن الثالث وأوائل القرن الرابع، فقد كتب سيرة فيثاغورس بعنوان " في حياة فيثاغورس" ، حيث أعاد فيها سرد أسطورة الحداد بنسخة نيكوماخوس.

في النصف الأول من القرن الخامس، ناقش الكاتب ماكروبيوس أسطورة الحداد بشكل موسع في تعليقه على كتاب شيشرون " Somnium Scipionis" ، والذي وصفه بطريقة مماثلة لأسطورة نيكوماخوس. [ 27 ]

بوثيوس (يسارًا) يتنافس مع فيثاغورس (يمينًا، يحمل عدادًا ). ​​رسم غريغور رايش يصور شخصية أنثوية رمزية تحمل كتابين ونقشًا بعنوان Typus arithmeticae ، Margarita philosophica ، 1508

كان لبوثيوس ، من خلال كتابه "مقدمة في الموسيقى" ( De Institutione musica )، الذي كتبه في أوائل القرن السادس قبل الميلاد، التأثير الأكبر على منظري الموسيقى القدماء الذين تبنوا هذه الرواية. يصف بوثيوس في البداية جهود فيثاغورس لفهم الموسيقى في ورشة الحدادة، ثم في منزله. [ 28 ] من غير الواضح ما إذا كان قد اعتمد على رواية نيكوماخوس أم على مصدر آخر. وخلافًا للتقاليد السابقة، يذكر بوثيوس استخدام خمس مطارق بدلًا من الأربع التي افترضها مؤلفون سابقون. ويزعم أن فيثاغورس رفض استخدام المطرقة الخامسة لأنها أحدثت تنافرًا مع المطارق الأخرى. ووفقًا لرواية بوثيوس (كما هو الحال مع ماكروبيوس)، اختبر فيثاغورس فرضيته الأولية بأن اختلاف الصوت يعود إلى اختلاف قوة أذرع الحدادين، وذلك بجعلهم يتبادلون المطارق، مما أدى إلى دحض هذه الفرضية. فيما يتعلق بالتجارب التي أجراها فيثاغورس في منزله، يذكر بوثيوس أن الفيلسوف علّق أولًا خيوطًا بأوزان تُعادل أوزان المطارق في ورشة الحدادة، ثم جرّب أنابيب وأكوابًا، فأعطت جميع التجارب النتائج نفسها التي أسفرت عنها التجارب الأولية بالمطارق. وانطلاقًا من هذه الأسطورة، يتناول بوثيوس مسألة موثوقية الإدراكات الحسية من منظور علمي ومعرفي. وتكمن النقطة المحورية في أن الإدراك الحسي هو ما دفع فيثاغورس في البداية إلى صياغة أسئلته وفرضياته، ومن خلال الاختبار التجريبي لهذه الفرضيات، وصل إلى يقين لا جدال فيه. لقد مرّ مسار المعرفة من الإدراك الحسي إلى الفرضية الأولية، التي تبيّن خطؤها، ثم إلى تكوين رأي صحيح، وأخيرًا إلى التحقق منه. يُقرّ بوثيوس بضرورة وقيمة الإدراك الحسي وتكوين الرأي في مسيرة الوصول إلى الفهم، مع أنه، كفيلسوف أفلاطوني ، كان متشككًا بطبيعته في الإدراك الحسي نظرًا لميله إلى الخطأ. يرى الباحث أن المعرفة الحقيقية لا تنشأ إلا عند إدراك النظام، مما يسمح له بالتحرر من اعتماده الأولي على الإدراك الحسي غير الموثوق. ولا ينبغي أن يستند حكم الباحث إلى الحكم الحسي المستمد من التجربة فحسب، بل يجب أن يصدر فقط بعد أن يتوصل إلى قاعدة من خلال التأمل تمكنه من تجاوز نطاق الخداع الحسي المحتمل. [ 29 ]

في القرن السادس الميلادي، كتب العالم كاسيودوروس في كتابه " المؤسسات " أن غاودنتيوس نسب بدايات "الموسيقى" إلى فيثاغورس في روايته لأسطورة الحداد. وكان يشير إلى نظرية الموسيقى، كما فعل يامبليخوس أيضًا، الذي أشار، في معرض حديثه عن رواية الحداد والتجارب الموصوفة فيها، إلى فيثاغورس باعتباره مخترع "الموسيقى". [ 30 ]

العصور الوسطى

في أوائل العصور الوسطى ، ذكر إيزيدور الإشبيلي أسطورة الحداد في كتابه "الأصول" ، الذي أصبح مرجعًا أساسيًا للمثقفين في تلك الحقبة. وقد أشار إيزيدور بإيجاز إلى الأسطورة، معتمدًا صياغة كاسيودوروس، ومُنسبًا فيثاغورس إلى كونه مخترع الموسيقى. [ 31 ] ولأن كاسيودوروس وإيزيدور كانا من أبرز علماء الموسيقى في العصور الوسطى، انتشرت فكرة أن فيثاغورس هو من اكتشف القانون الأساسي للموسيقى، وبالتالي فهو مؤسسها. وعلى الرغم من هذه التصريحات العامة، افترض منظرو الموسيقى في العصور الوسطى أن الموسيقى كانت موجودة قبل فيثاغورس، وأن "اختراع الموسيقى" كان يُشير إلى اكتشاف مبادئها. [ 32 ]

في القرن التاسع، روى عالم الموسيقى أوريليان الريوميه الأسطورة في كتابه " Musica disciplina " (نظرية الموسيقى). وفي القرن العاشر، تبعه ريجينو البرومي في كتابه " De harmonica institutione " (مقدمة في نظرية التناغم). وأكد كلاهما أن فيثاغورس أُتيحت له فرصة اكتشافه في ورشة الحدادة بفضل عناية إلهية. [ 33 ] في العصور القديمة، كان نيكوماخوس ويامبليخوس قد تحدثا عن عناية إلهية ، وحوّلها بوثيوس إلى مرسوم إلهي.

في القرن الحادي عشر، تمت معالجة المادة الأسطورية في كارمينا كانتابريجيينسيا . [ 34 ]

غيدو من أريتسو (يسار) يُعلّم أسقفًا العزف على المونوكورد. فيينا، المكتبة الوطنية النمساوية ، المخطوطة اللاتينية 51، الورقة 35v (القرن الثاني عشر)

في النصف الأول من القرن الحادي عشر، روى غيدو الأريتسو ، أشهر منظري الموسيقى في العصور الوسطى، أسطورة الحداد في الفصل الأخير من كتابه "ميكرولوجوس" ، مستندًا إلى رواية بوثيوس، الذي ذكره بالاسم. وأشار غيدو في البداية: " ما كان لأحد أن يكتشف شيئًا مؤكدًا عن هذا الفن (الموسيقى) لولا أن العناية الإلهية هي التي أدت في النهاية إلى هذا الحدث". وعزا غيدو حقيقة أن المطارق كانت تزن 12 و9 و8 و6 وحدات، وبالتالي تُصدر صوتًا متناغمًا، إلى العناية الإلهية. [ 35 ] كما ذكر أن فيثاغورس، انطلاقًا من اكتشافه، قد اخترع المونوكورد، لكنه لم يُفصّل خصائصه.

تم تزيين كتاب De musica للمؤلف يوهانس كوتو (المعروف أيضًا باسم جون كوتون أو يوهانس أفليغيمينسيس) بمشهد الحدادة حوالي عام 1250 بواسطة رسام كتب مجهول في دير سيسترسيان في ألديرسباخ . [ 36 ]

ومن بين منظري الموسيقى في العصور الوسطى الذين رووا أسطورة المسبك وفقًا لرواية بوثيوس، كان هناك أيضًا خوان جيل دي زامورا (يوهانس إيجيديوس فون زامورا)، الذي كان نشطًا في أواخر القرن الثالث عشر وأوائل القرن الرابع عشر، ويوهانس دي موريس وسيمون تونستيد في القرن الرابع عشر، وآدم فون فولدا على عتبة العصر الحديث المبكر في القرن الخامس عشر.

في القرن الثالث عشر، برز يوهانس دي غروشيو ، معارضًا للمفهوم الفيثاغورسي الذي كان يرى أن التناغمات الموسيقية مبنية على نسب عددية محددة، منطلقًا من منظور أرسطو. ورغم أنه صرّح صراحةً بأن فيثاغورس هو من اكتشف مبادئ الموسيقى، وروى أسطورة الحداد مستشهدًا ببويثيوس الذي اعتبره جديرًا بالثقة، إلا أنه رفض نظرية فيثاغورس في التناغم، التي أراد اختزالها إلى مجرد تعبير مجازي. [ 37 ]

العصر الحديث المبكر

فرانشينو غافوريو، نظرية الموسيقى (1492): المخترع التوراتي للموسيقى، يوبال ، مع ستة حدادين حول سندان (أعلى اليسار)؛ فيثاغورس يجرب ستة أجراس وستة أكواب (أعلى اليمين)، مع ستة أوتار (أسفل اليسار)، ومع فيلولاوس مع ستة مزمار (أسفل اليمين).
رسم توضيحي للمطارق الفيثاغورية الأربع بنسب وزن 12:9:8:6، وفقًا لعالم الرياضيات هاينريش شرايبر في كتابه Ayn new kunstlich Buech welches gar gewiss vnd behend lernet nach der gemainen Regel detre Grammateum oder Schreyber ، المنشور عام 1521.

نشر فرانشينو غافوريو كتابه "نظرية الموسيقى النظرية" ( Theoricum opus musice discipline ) في نابولي عام 1480، ثم نُقّح وأُعيد نشره عام 1492 تحت عنوان "نظرية الموسيقى" ( Theorica musice ). وقدّم فيه روايةً لأسطورة الحداد تفوقت على جميع الروايات السابقة من حيث التفاصيل. استند في روايته إلى رواية بوثيوس، وأضاف مطرقة سادسة ليشمل أكبر عدد ممكن من نغمات الأوكتاف في السرد. وفي أربعة رسومات توضيحية، عرض آلات موسيقية أو مولدات صوتية، لكل منها ست نغمات متناغمة، وأشار إلى الأرقام 4 و6 و8 و9 و12 و16 المرتبطة بهذه النغمات في الملصقات. وإلى جانب النسب الأربع التقليدية في الأسطورة (6 و8 و9 و12)، أضاف الرقمين 4 و16، اللذين يمثلان نغمةً أدنى بخمس نغمات ونغمة أخرى أعلى بأربع نغمات. يمتد التسلسل الكامل للنغمات الآن ليس فقط على أوكتاف واحد، بل على أوكتافين. تتوافق هذه الأرقام، على سبيل المثال، مع النغمات: فا - دو' - فا' - صول' - دو" - فا:

\relative c' { \time 6/4 f, c' f g c f}

تم تكليف الرسام إرهارد سانسدورفر في عام 1546 بإنشاء جدارية في قلعة هيسن بودينجن ، وهي محفوظة جيدًا وتمثل تاريخ الموسيقى بدءًا من ورشة فيثاغورس مثل موسوعة شاملة. [ 38 ]

وقد روى جيوسيفو زارلينو أيضاً الأسطورة في كتابه "أسس الانسجام" ( Le istitutioni harmoniche )، الذي نشره عام 1558؛ ومثل غافوريو، استند في روايته إلى نسخة بوثيوس. [ 39 ]

نشر فينتشنزو غاليلي، والد غاليليو غاليلي، وهو منظّر موسيقي، رسالته "Discorso intorno all'opere di messer Gioseffo Zarlino" ("مقال في أعمال السيد جيوسيفو زارلينو") عام 1589، والتي انتقد فيها آراء أستاذه زارلينو. وأشار فيها إلى أن المعلومات الواردة في الأسطورة حول تحميل الأوتار بالأوزان غير دقيقة.[1]

نقش نحاسي بعنوان "دويينكيرشن" للفنان إيبرهارد كيسر

في عام 1626، تضمن كتاب "Thesaurus philopoliticus" لدانيال مايسنر نقشًا نحاسيًا بعنوان "Duynkirchen" لإيبرهارد كيسر، يصور ثلاثة حدادين فقط عند سندان. ويقول التعليق اللاتيني والألماني:[2]

Triplicibus percussa sonat varie ictibus incus.
موسيقى فيثاغورس سترويت هينك فوندامينا برينك (eps).
يصدر السندان صوتاً مع كل ضربة ثلاثية، مما ينتج عنه ثلاث نغمات مختلفة.
الموسيقى هي الأساس الذي بناه فيثاغورس، والذي لم يكن ليتحقق برأس حمار.

بعد بضع سنوات، تم توضيح الأمر بشكل قاطع بعد أن اكتشف غاليليو غاليلي ومارين ميرسين قوانين اهتزاز الأوتار. في عام 1636، نشر ميرسين كتابه "هارموني يونيفرسيل"، الذي شرح فيه الخطأ الفيزيائي في الأسطورة: تردد الاهتزاز لا يتناسب مع الشد، بل مع جذره التربيعي.[3]

قام العديد من الملحنين بتضمين هذا الموضوع في أعمالهم، بما في ذلك جورج موفات في نهاية القرن السابع عشر. [ 40 ] وروبرت إغناز ماير . [ 41 ]

العصر الحديث

حتى في القرن التاسع عشر، افترض هيجل الدقة الفيزيائية للقياسات المزعومة المذكورة في أسطورة فيثاغورس في محاضراته عن تاريخ الفلسفة. [ 42 ]

أكد فيرنر هايزنبرغ في مقال نُشر لأول مرة عام 1937 أن "اكتشاف فيثاغورس للحتمية الرياضية للتناغم" يستند إلى "فكرة القوة الدلالية للبنى الرياضية"، وهي "فكرة أساسية ورثتها العلوم الدقيقة الحديثة من العصور القديمة"؛ ويُعد الاكتشاف المنسوب إلى فيثاغورس "من أقوى دوافع العلوم الإنسانية عمومًا". [ 43 ]

وفي الآونة الأخيرة، نُشرت رواياتٌ تُعيد إنتاج الأسطورة دون نقد، دون الإشارة إلى زيفها المادي والتاريخي. [ 44 ] على سبيل المثال، في كتاب " المطرقة الخامسة: فيثاغورس وتنافر العالم" لدانيال هيلر-روزن . [ 45 ]

مصادر

  • جوتفريد فريدلين (Hrsg.): Anicii Manlii Torquati Severini Boetii من مؤسسة الكتاب الحسابي الثنائي، من مؤسسة الكتب الموسيقية الخمسة. مينيرفا، فرانكفورت أم ماين 1966 (Nachdruck der Ausgabe Leipzig 1867، عبر الإنترنت ؛ deutsche Übersetzung عبر الإنترنت )
  • مايكل هيرميسدورف (Übersetzer): Micrologus Guidonis de Disciplina artis musicae، di Kurze Abhandlung Guidos über die Regeln der musikalischen Kunst . ترير 1876 ( على الانترنت )
  • Ilde Illuminati، Fabio Bellissima (Hrsg.): فرانشينو جافوريو: موسيقى Theorica. إديزيوني ديل غالوزو، فلورنسا 2005، ISBN 88-8450-161-X, S.66–71 (latinischer Text und italienische Übersetzung)

للمزيد من القراءة

  • والتر بيركيرت: Weisheit und Wissenschaft. Studien zu Pythagoras, Philolaos und Platon (= Erlanger Beiträge zur Sprach- und Kunstwissenschaft . الفرقة 10). هانز كارل، نورنبرغ 1962
  • أنجا هيلمان: Musiktheorie und das Quadrivium لبوثيوس. Eine Einführung in den neuplatonischen Hintergrund von "Destitutee musica" . فاندينهوك وروبريشت، غوتنغن 2007، ISBN 978-3-525-25268-0، ص 203–222 ((في كتب جوجل )
  • فيرنر كيل (Hrsg.): Basistexte Musikästhetik und Musiktheorie. فيلهلم فينك، بادربورن 2007، ISBN 978-3-8252-8359-9، ص 342–346 ((في كتب جوجل )
  • باربرا مونكسلهاوس: موسيقى فيثاغورس. Zur Rezeption der pythagoreischen Musiktheorie als Quadrivialer Wissenschaft im lateinischen Mittelalter (= Orpheus-Schriftenreihe zu Grundfragen der Musik . Band 19). Verlag für systematische Musikwissenschaft، بون – باد جوديسبيرج 1976
  • يورغن راستيد: نسخة مهملة من حكاية تجربة مطرقة فيثاغورس. في: Cahiers de l'Institut du Moyen-Âge grec et latin . الفرقة 31 أ، 1979، س.1-9
  • ليونيد زمود: المعرفة والفلسفة والدين من فيثاغورس. أكاديمية فيرلاغ، برلين 1997، ISBN 3-05-003090-9

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ فايس، بييرو، وريتشارد تاروسكين، محرران. الموسيقى في العالم الغربي: تاريخ موثق . الطبعة الثانية. دار النشر: تومسون شيرمر، 1984. 3. ISBN 9780534585990.
  2. ↑ كينيث سيلفان غوثري، ديفيد ر. فيديلر (1987). كتاب ومكتبة المصادر الفيثاغورية: مختارات من الكتابات القديمة المتعلقة بفيثاغورس والفلسفة الفيثاغورية ، ص 24. ريد ويل/وايزر. ISBN 9780933999510.
  3. ↑ كريستنسن، توماس، محرر. تاريخ كامبريدج لنظرية الموسيقى الغربية . كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج، 2002. 143. ISBN 9780521623711.
  4. ^ بوركيرت والتر (1972). المعرفة والعلم في الفيثاغورية القديمة ، ص 375. رقم ISBN 9780674539181. ورد ذكره في كريستنسن 2002، ص 143.
  5. ^ ماركوس باوتش: Über die pythagoreischen Wurzeln der gregorianischen Modi ، الإنجليزية: حول الجذور الفيثاغورية للأنماط الغريغورية ، ماتر دولوروسا (برلين-لانكويتز) ، مارس 2012، تم استرجاعها في 31 أغسطس 2017
  6. ↑ باركر (2004). أندرو (محرر). الكتابات الموسيقية اليونانية (الطبعة الأولى ذات الغلاف الورقي). كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج . ص 30. ISBN   978-0-521-61697-3.
  7. ↑ لوكاس إن إتش بونت؛ فيليب إس جونز؛ جاك دي بيدينت (1988). الجذور التاريخية للرياضيات الابتدائية (طبعة مُعاد طباعتها). نيويورك: منشورات دوفر . ص 72. ISBN   978-0-486-25563-7.
  8. ↑ كريستيان، جيمس (26 يناير 2011). الفلسفة: مدخل إلى فن التساؤل . دار وادزورث للنشر، ص 517. ISBN  978-1-111-29808-1.
  9. ↑Waterfield, transl. with commentary by Robin (2000). The first philosophers : the Presocratics and Sophists (1. publ. as an Oxford world's classics paperback ed.). Oxford: Oxford Univ. Press. p. 103. ISBN 978-0-19-282454-7. the pythagoreans construct the whole universe out of numbers.
  10. ↑"GUIMICB_MBBR2784". chmtl.indiana.edu. Retrieved 2023-05-09. Erant antiquitus instrumenta incerta. et canentium multitudo sed ceca. Nullus enim hominum uocum differentias. et simphoniae descriptionem poterat aliqua argumentatione colligere. neque posset unquam certum aliquid de hac arte cognoscere. nisi diuina pietas tandem quod sequitur suo nutu disponeret. Cum Phitagoras quidam magnus philosophus forte iter ageret. uentum est ad fabricam. in qua super unam incudem quinque mallei feriebant. Quorum suauem miratus concordiam philosophus accessit. primumque in manuum uarietate sperans [f.20r] uim soni ac modulationis existere. mutauit malleos. Quo facto. sua uis quemque secuta est. Subtracto itaque uno qui dissonus erat a ceteris. alios ponderauit. Mirumque in modum diuino nutu primus .XII. secundus .VIIII. tertius .VIII. quartus .VI. nescio quibus ponderibus appendebant. Cognouit itaque in numerorum proportione et collatione musicae uersari scientiam. Erat enim ea constitutio in quattuor malleis. quae modo est in quattuor litteris .A.D.E.a. Denique si A habeat .XII. et D VIIII. sintque quaternarii in pro passu. habebit .A. in .XII. ternarios .IIII. et D. in .VIIII. ternarios .III. Ecce diatessaron. Rursus cum habeat A .XII. si teneat E. VIII. quaternarios passus tres habebit .A. duos uero E. et diapente patet. Sint iterum .XII in A. et .VI. in alteram a. Senarius medietas est duodenarii. sicut et a acuta alterius A medietate colligitur. Adest ergo diapason. Cum igitur ipsa .a. ad D. diatessaron ad e diapente. alteri uero a diapason reddit. D quoque ad e tonum. ad utrumque A a diatessaron. et diapente sonat. Et E etiam ad D. tonum utrique A.a. diapente et diatessaron mandat. a uero acuta cum A diapason. cum D diapente. cum E diatessaron sonat. quae in supra dictis numeris curiosus perscrutator inuenit. Hinc enim incipiens Boetius panditor huius artis. multam miramque et difficillimam huius artis cum numerorum proportione concordiam demonstrauit. [f.20v] Quid plura? Per supra dictas species uoces ordinans. monocordum primus ille Phitagoras quattuor neruorum composuit. in quo quia non est lasciuia. sed diligenter aperta artis notitia. sapientibus in commune placuit. atque usque in hunc diem ars paulatim crescendo conualuit. ipso doctore semper humanas tenebras illustrante. cuius summa sapientia per cuncta uiget secula.
  11. ↑ نيكوماخوس فون جيراسا، دليل التناغمات 6، ترجمة أنيا هيلمان: نظرية بوثيوس الموسيقية والرباعية ، غوتنغن 2007، ص 345-347، نقلاً حرفياً في يامبليخوس فون خالكيس، في الحياة الفيثاغورية 115-121، ترجمة مايكل فون ألبريشت: يامبليخوس. فيثاغورس: أسطورة - مذهب - أسلوب حياة ، دارمشتات 2002، ص 109-113.
  12. ^ والتر بيركيرت: Weisheit und Wissenschaft ، نورمبرغ 1962، ص. 353 والملاحظة 28.
  13. ^ ليونيد زمود: Wissenschaft، Philosophie und Religion im frühen Pythagoreismus ، Berlin 1997، pp. 193–196؛ انظر أيضًا Barbara Münxelhaus: Pythagoras musicus ، Bonn–Bad Godesberg 1976، ص. 28 ص.
  14. ^ والتر بيركيرت: Weisheit und Wissenschaft ، نورمبرغ 1962، ص 362-364 ؛ ليونيد زمود: Wissenschaft، Philosophie und Religion im frühen Pythagoreismus ، برلين 1997، ص 196-199. تم التعبير عن الشكوك المتعلقة بتجارب Archytas الصوتية بواسطة Carl A. Huffman : Archytas of Tarentum ، Cambridge 2005، pp. 129–148؛ انظر أيضًا الصفحات من 473 إلى 475. ويشير إلى أن أرخيتاس يعتمد بشكل أساسي على المعلومات من أسلافه والخبرة اليومية.
  15. ^ والتر بيركيرت: Weisheit und Wissenschaft ، نورمبرغ 1962، ص. 355.
  16. ^ والتر بيركيرت: Weisheit und Wissenschaft ، نورمبرغ 1962، ص. 355؛ باربرا مونكسلهاوس: موسيقى فيثاغورس ، بون – باد جوديسبيرج 1976، ص 38 وما يليها، 46.
  17. ^ جيمس دبليو ماكينون: جبل فيل فيثاغورس، من يجلس مخترع الموسيقى؟ في: الفصلية الموسيقية ، المجلد. 64، لا. 1، 1978، ص 1-28؛ بول إي. بيتشنر: ممثل الموسيقى في العصور الوسطى، جوبال أم توبالكين؟ (= نصوص ودراسات في تاريخ التعليم في العصور الوسطى 2)، نوتردام، إنديانا، 1954؛ فرانسيس أوليفييه زيمرمان: La forge et l'harmonie. دي فيثاغورس في توبالكين وجبال. في: زيمرمان: Orphée: Arts vivants، Arts de Parole et Mélodie ( عبر الإنترنت ).
  18. ↑ يورغن راستيد: "نسخة مهملة من الحكاية حول تجربة مطرقة فيثاغورس". في: Cahiers de l'Institut du Moyen-Âge grec et latin 31a, 1979, pp. 1–9, here: 6 f.; ليونيد زمود: "الحكمة والفلسفة والدين من فيثاغورسموس"، برلين 1997، ص. 192. (مترجم من الألمانية)
  19. ^ نرى حقيقة التوبة ، العلاقات بين الكلمات واللحن في الترنيمة الغريغوري؛ Der erste Gesang des Kirchenjahres .
  20. ^ لودفيج بيرجمان، كليمنس شيفر: Lehrbuch der Experimentalphysik. الفرقة 1, 9. أوفلاج. برلين 1974، الفصل 83: شالسيندر ، أبشنيت لونجيتودينالشوينغونغن .
  21. ↑ ماركوس باوتش: Über die pythagoreischen Wurzeln der gregorianischen Modi ( على الانترنت ).
  22. ^ لودفيج بيرجمان، كليمنس شيفر: Lehrbuch der Experimentalphysik. الفرقة 1, 9. أوفلاج. برلين 1974، الفصل 83: شالسندر ، أبشنيت سايت .
  23. ^ جزء Xenocrates 9 H. انظر والتر بوركيرت: Weisheit und Wissenschaft ، نورمبرغ 1962، ص. 57 وليونيد زمود: Wissenschaft، Philosophie und Religion im frühen Pythagoreismus ، برلين 1997، ص. 193.
  24. ↑ تم تحرير هذا المقطع من عمل نيكوماخوس وترجمته إلى الإنجليزية والتعليق عليه بواسطة كارل أ. هوفمان: فيلولاوس الكروتوني ، كامبريدج 1993، ص 145-165.
  25. ^ باربرا مونكسلهاوس: موسيقى فيثاغورس ، بون – باد جوديسبيرج 1976، ص. 52.
  26. ^ والتر بيركيرت: Weisheit und Wissenschaft ، نورمبرغ 1962، ص. 355.
  27. ^ ماكروبيوس، Commentarii in somnium Scipionis 2،1،8–13.
  28. ^ بوثيوس، مؤسسة الموسيقى 1،10–11، ترجمة آنيا هيلمان: Boethius ‘Musiktheorie und das Quadrivium ، Göttingen 2007، pp. 342–345.
  29. ^ للحصول على الخلفية العلمية والمعرفية، انظر Anja Heilmann: Boethius’ Musiktheorie und das Quadrivium ، Göttingen 2007، pp. 205–218.
  30. ^ كاسيودوروس، المؤسسات 2،5،1؛ راجع. امبليخوس، الحياة فيثاغوريكا 121.
  31. ^ إيزيدور، أصل الكلمة 3،16،1.
  32. ^ باربرا مونكسلهاوس: فيثاغورس ميوزيك ، بون – باد جوديسبيرج 1976، ص 15-17.
  33. ^ هانز مارتن كلينكنبرج : Der Verfall des Quadriviums im frühen Mittelalter. في: جوزيف كوخ (محرر): Artes Liberes. Von der antiken Bildung zur Wissenschaft des Mittelalters ، Leiden 1976، الصفحات من 1 إلى 32، هنا: 24 ص.
  34. ↑ كارمينا كانتابريجيينسيا ، الأغنية 45 وتسلسل فيثاغورس (النصف الأول من القرن الحادي عشر)؛ انظر والتر كرانز: فيثاغورس في كارمينا كانتابريجيينسيا ( عبر الإنترنت ؛ PDF؛ 2.3 ميجابايت).
  35. ↑ غيدو من أريتسو، ميكرولوجوس 20 ( الترجمة الألمانية على الإنترنت ).
  36. ^ مخطوطة مجموعة ألدرسباخ، Clm 2599، المجلد. 96v، مكتبة Bayerische Staatsbibliothek، ميونيخ
  37. ^ باربرا مونكسلهاوس: موسيقى فيثاغورس ، بون – باد جوديسبيرج 1976، ص. 16، 76؛ فرانك هنتشيل: Sinnlichkeit und Vernunft in der mittelalterlichen Musiktheorie ، شتوتغارت 2000، الصفحات من 148 إلى 150 ( عبر الإنترنت ).
  38. ^ والتر سالمين : Musikleben im 16. Jahrhundert (الحياة الموسيقية في القرن السادس عشر)، لايبزيغ 1976؛ صورة بالأبيض والأسود على الإنترنت .
  39. ^ فيرنر كيل (محرر): Basistexte Musikästhetik und Musiktheorie (نصوص أساسية في جماليات الموسيقى ونظرية الموسيقى)، Paderborn 2007، p. 56 (ترجمة نص زارلينو).
  40. ^ جورج موفات: نوفا سيكلوبياس هارمونيكا (1690).
  41. ^ روبرت إجناز ماير: فيثاغورس شميدس فوينكلين (1692).
  42. ^ فيرنر كيل (محرر): Basistexte Musikästhetik und Musiktheorie ، بادربورن 2007، ص. 343.
  43. ^ فيرنر هايزنبرغ: Gedanken der Antiken Naturphilosophie in der Modernen Physik . في: Werner Heisenberg: Wandlungen in den Grundlagen der Naturwissenschaft ، الطبعة الثامنة، شتوتغارت 1949، الصفحات من 47 إلى 53، هنا: 50.
  44. ↑ أرنولد كيسرلينج: Geschichte der Denkstile. 3. Das logische Denken ( عبر الإنترنت )؛ كارل سوميريدير: الموسيقى والرياضيات ( عبر الانترنت )؛ أرنولد كيسيرلينج: الاسم الجديد هو Gottes. Die Weltformel und ihre Analogien in der Wirklichkeit ، فيينا 2002، ص. 71 ( مطارق فيثاغورس ، ص 71، في كتب جوجل ).
  45. ↑ دانيال هيلر-روزن: المطرقة الخامسة: فيثاغورس وعدم انسجام العالم ، فرانكفورت أم ماين 2014، ص 14-22 ( عبر الإنترنت ).