مكعبات رباعية الأضلاع ممزقة

يمكن بناء المكعب الفائق الممتد عن طريق توسيع خلايا المكعب الفائق شعاعيًا، وملء الفراغات بأشكال رباعية الأوجه (أشكال الرؤوس)، ومكعبات (موشورات الأوجه)، وموشورات مثلثة (موشورات أشكال الحواف). وتؤدي العملية نفسها المطبقة على مكعب ذي 16 خلية إلى الحصول على الشكل نفسه.

جميع الإحداثيات الديكارتية لرؤوس المكعب الرباعي الأضلاع ذي طول الحافة 2 هي تباديل لما يلي:

${\displaystyle \left(\pm 1,\ \pm 1,\ \pm 1,\ \pm (1+{\sqrt {2}})\right)}$

تتصل ثماني خلايا مكعبة بالخلايا المكعبة الأربع والعشرين الأخرى عبر جميع أوجهها المربعة الستة. وتتصل الخلايا المكعبة الأربع والعشرون الأخرى بالخلايا الثماني الأولى عبر وجهين مربعين متقابلين فقط؛ أما الأوجه الأربعة المتبقية فتتصل بالموشورات المثلثية. وتتصل الموشورات المثلثية بالهرم الرباعي الأوجه عبر أوجهها المثلثية.

يمكن تقسيم المكعب الرباعي الأضلاع إلى قبتين مكعبتين ومنشور ثماني الأوجه مكعب معيني بينهما. ويمكن تشبيه هذا التقسيم بتقسيم المكعب ثماني الأوجه مكعب معيني ثلاثي الأبعاد إلى قبتين مربعتين ومنشور ثماني مركزي .

قبة مكعبة

منشور ثماني الأوجه مكعب معيني

يُحيط بالمكعب المُقسّم إلى مكعبات، عند إسقاطه المتعامد على الفضاء ثلاثي الأبعاد، غلافٌ (صغير) على شكل معين مكعب ثماني الأوجه . وتُرتب صور خلاياه داخل هذا الغلاف على النحو التالي:

• أقرب مكعب وأبعد مكعب من وجهة نظر رباعية الأبعاد يسقطان على حجم مكعب في مركز الغلاف.
• تربط ستة مجسمات متوازية الأضلاع هذا المكعب المركزي بالوجوه المربعة المحورية الستة للمكعب الثماني الأوجه المعيني. هذه هي صور 12 خلية مكعبة (يشترك كل زوج من المكعبات في صورة واحدة).
• تمثل الأوجه المربعة الثمانية عشر للظرف صور الخلايا المكعبة الأخرى.
• إن الأحجام الـ 12 ذات الشكل الإسفيني التي تربط حواف المكعب المركزي بالوجوه المربعة غير المحورية للغلاف هي صور لـ 24 من الموشورات المثلثية (زوج من الخلايا لكل صورة).
• الأوجه المثلثية الثمانية للظرف هي صور المنشورات المثلثية الثمانية المتبقية.
• وأخيرًا، فإن الأحجام الرباعية الأوجه الثمانية التي تربط رؤوس المكعب المركزي بالوجوه المثلثية للغلاف هي صور الأوجه الرباعية الأوجه الستة عشر (مرة أخرى، زوج من الخلايا لكل صورة).

يُشابه هذا الترتيب للخلايا في الإسقاط ترتيب أوجه المكعب الثماني الأوجه (الصغير) عند إسقاطه على بُعدين. كما يُبنى المكعب الثماني الأوجه من المكعب أو الثماني الأوجه بطريقة مماثلة للمكعب الفائق المُقسّم. لذا، يُمكن اعتبار المكعب الفائق المُقسّم نظيرًا رباعي الأبعاد للمكعب الثماني الأوجه.

يمكن بناء المكعب الفائق المقطوع من المكعب الفائق المقطوع عن طريق توسيع خلايا المكعب المقطوع شعاعيًا للخارج، وإدخال موشورات ثمانية الأضلاع بينها. وفي هذه العملية، تتوسع الأوجه الرباعية إلى أوجه ثمانية مكعبة، وتملأ الموشورات المثلثية الفراغات المتبقية.

تُعطى الإحداثيات الديكارتية لرؤوس المكعب الفائق المقطوع الذي يبلغ طول ضلعه 2 بواسطة جميع التباديل لـ : 

${\displaystyle \left(\pm 1,\ \pm (1+{\sqrt {2}}),\ \pm (1+{\sqrt {2}}),\ \pm (1+2{\sqrt {2}})\right)}$

في المكعب المقطوع، يتم أولاً إسقاط صورة المكعب الرباعي الأبعاد المقطوع بشكل متوازٍ على الفضاء ثلاثي الأبعاد، ويتم ترتيب صورة الإسقاط على النحو التالي:

• غلاف الإسقاط عبارة عن مجسم ثماني الأوجه مكعب معيني غير منتظم (صغير) ، وله 6 أوجه مربعة و 12 وجهًا مستطيلًا.
• تقوم خليتان من خلايا المكعب المبتورة بإسقاط مكعب مبتور في مركز غلاف الإسقاط.
• تربط ستة موشورات ثمانية الأضلاع هذا المكعب المركزي المبتور بالأوجه المربعة للغلاف. هذه صور لاثنتي عشرة خلية من خلايا الموشورات الثمانية، خليتان لكل صورة.
• أما المنشورات الثمانية المتبقية وعددها 12، فتُسقط على الأوجه المستطيلة للغلاف.
• تمثل الأوجه المربعة الستة للظرف صور الخلايا المكعبة الستة المتبقية بعد اقتطاعها.
• تتصل اثنا عشر موشورًا مثلثيًا قائم الزاوية بالموشورات الثمانية الداخلية. هذه هي صور 24 خلية من خلايا الموشور المثلثي. أما الموشورات المثلثية الثمانية المتبقية فتسقط على الأوجه المثلثية للغلاف.
• أما المجلدات الثمانية المتبقية الواقعة بين الأوجه المثلثية للغلاف والمكعب الداخلي المقطوع فهي صور للخلايا المكعبة الثمانية السطوح الـ 16، زوج من الخلايا لكل صورة.

الإسقاطات المتعامدة

طائرة كوكسيتر	ب 4	ب 3 / د 4 / أ 2	ب ٢ / د ٣
الرسم البياني
التناظر ثنائي السطوح	[8]	[6]	[4]
طائرة كوكسيتر	F 4	أ 3
الرسم البياني
التناظر ثنائي السطوح	[12/3]	[4]

إسقاط مجسم ذو 128 وجهًا مثلثيًا أزرق و192 وجهًا رباعيًا أخضر.

يمكن بناء الشكل الرباعي المقطّع ذي الـ 16 خلية عن طريق تقليص الخلايا الصغيرة ذات الشكل المعيني المكعب الثماني السطوح في الشكل الرباعي المضلع شعاعيًا، وملء الفراغات بينها بمكعبات. في هذه العملية، تتمدد الخلايا الثمانية السطوح إلى أشكال رباعية السطوح مقطوعة (حيث تتمدد نصف وجوهها المثلثية إلى أشكال سداسية عن طريق فصل الحواف)، وتتمدد الموشورات المثلثية إلى موشورات سداسية (حيث تتصل وجوهها المربعة الثلاثة الأصلية، كما في السابق، بأشكال معينية مكعبة ثمانية السطوح صغيرة، وتتصل وجوهها المربعة الثلاثة الجديدة بمكعبات).

تُعطى رؤوس خلية مقطوعة مكونة من 16 خلية بطول ضلع 2 من خلال جميع تباديل الإحداثيات الديكارتية التالية :

${\displaystyle \left(\pm 1,\ \pm 1,\ \pm (1+{\sqrt {2}}),\ \pm (1+2{\sqrt {2}})\right)}$

تتصل الخلايا الصغيرة ذات الشكل المعيني المكعب الثماني الأوجه بالخلايا المكعبة عبر أوجهها المربعة الستة المحورية، وتتصل بالموشورات السداسية عبر أوجهها المربعة الاثني عشر غير المحورية. تتصل الخلايا المكعبة بالمعينات المكعبة الثمانية الأوجه عبر وجهين متقابلين، وبالموشورات السداسية عبر الأوجه الأربعة المتبقية. تتصل الموشورات السداسية بالرباعيات الأوجه المقطوعة عبر أوجهها السداسية، وبالمعينات المكعبة الثمانية الأوجه عبر ثلاثة من أوجهها المربعة، وبالمكعبات عبر الأوجه المربعة الثلاثة الأخرى. تتصل الرباعيات الأوجه المقطوعة بالمعينات المكعبة الثمانية الأوجه عبر أوجهها المثلثية، وبالموشورات السداسية عبر أوجهها السداسية.

فيما يلي تخطيط خلايا الشكل المختصر ذي الـ 16 خلية تحت الإسقاط المتوازي، بدءًا من الشكل المكعب الثماني الأوجه الصغير، في الفضاء ثلاثي الأبعاد:

• غلاف الإسقاط عبارة عن مكعب ثماني الأوجه مقطوع .
• ستة من الأشكال الثمانية السطوح المعينية الصغيرة تبرز على الوجوه الثمانية السطوح الستة لهذا الغلاف، والاثنان الآخران يبرزان على شكل ثماني السطوح معيني صغير يقع في مركز هذا الغلاف.
• تتوافق الأحجام المكعبة الستة التي تربط الوجوه المربعة المحورية للمكعب الثماني المركزي الصغير بمركز المثمنات مع صورة 12 من الخلايا المكعبة (كل زوج من الاثني عشر يشترك في نفس الصورة).
• أما الخلايا المكعبة الـ 12 المتبقية فتقع على الوجوه المربعة الـ 12 للغلاف المكعب الثماني الأوجه الكبير.
• المجلدات الثمانية التي تربط الأشكال السداسية للغلاف بالوجوه المثلثية للمكعب الثماني المركزي هي صور للأشكال الرباعية السطوح المقطوعة الستة عشر.
• أما المساحات الـ 12 المتبقية التي تربط الوجوه المربعة غير المحورية للمكعب الثماني المركزي الصغير بالوجوه المربعة للغلاف فهي صور 24 من الموشورات السداسية.
• وأخيراً، تتساقط الموشورات السداسية الثمانية الأخيرة على الأوجه السداسية للغلاف.

يشبه هذا الترتيب للخلايا ترتيب أوجه المكعب الثماني الأوجه المعيني الكبير عند إسقاطه في فضاء ثنائي الأبعاد. لذا، يمكن اعتبار المكعب ذو الست عشرة خلية المقطوعة أحد نظائر المكعب الثماني الأوجه المعيني الكبير في الفضاء رباعي الأبعاد. أما النظير الآخر فهو المكعب الفائق المقطوع بالكامل .

يمكن بناء المكعب الفائق المقطّع بالكامل من المكعب الفائق المقطّع جزئيًا عن طريق إزاحة الخلايا المكعبة الثمانية الأوجه المقطوعة شعاعيًا بحيث يمكن إدخال موشورات ثمانية الأضلاع بين أوجهها الثمانية. ونتيجة لذلك، تتمدد الموشورات المثلثية لتصبح موشورات سداسية، وتتمدد رباعيات الأوجه المقطوعة لتصبح ثمانيات أوجه مقطوعة.

تُعطى الإحداثيات الديكارتية لرؤوس مكعب رباعي الأبعاد مقطوع بالكامل بطول ضلع  2 من خلال جميع تباديل الإحداثيات وإشارة:

${\displaystyle \left(1,\ 1+{\sqrt {2}},\ 1+2{\sqrt {2}},\ 1+3{\sqrt {2}}\right)}$

تتصل خلايا المكعبات الثمانية المبتورة بالموشورات الثمانية عبر وجوهها الثمانية، وتتصل المكعبات الثمانية المبتورة عبر وجوهها السداسية، وتتصل الموشورات السداسية عبر وجوهها المربعة. وتتصل الموشورات الثمانية بالموشورات السداسية والمكعبات الثمانية المبتورة عبر وجوهها المربعة، وتتصل الموشورات السداسية بالمكعبات الثمانية المبتورة عبر وجوهها السداسية.

عند عرضها في مصفوفة التكوين ، تظهر جميع أعداد التداخل بين العناصر. تُستنتج أعداد متجهات f القطرية من خلال بناء وايثوف ، بتقسيم رتبة المجموعة الكاملة لرتبة مجموعة فرعية عن طريق إزالة مرآة واحدة في كل مرة. توجد الحواف في 4 مواضع تناظر. توجد المربعات في 3 مواضع، والسداسيات في موضعين، والثمانيات في موضع واحد. وأخيرًا، توجد الأنواع الأربعة من الخلايا متمركزة على الزوايا الأربع للمجسم البسيط الأساسي. ^{[ 1 ]}

ب 4		الوجه k	ف ك	f 0	f 1				f 2						f 3				شكل k	ملحوظات
		( )	f 0	384	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	4. ( )	ب 4 = 384
أ 1		{ }	f 1	2	192	*	*	*	1	1	1	0	0	0	1	1	1	0	3.( )	B 4 /A 1 = 192
أ 1		{ }		2	*	192	*	*	1	0	0	1	1	0	1	1	0	1		B 4 /A 1 = 192
أ 1		{ }		2	*	*	192	*	0	1	0	1	0	1	1	0	1	1		B 4 /A 1 = 192
أ 1		{ }		2	*	*	*	192	0	0	1	0	1	1	0	1	1	1		B 4 /A 1 = 192
أ 2		{6}	f 2	6	3	3	0	0	64	*	*	*	*	*	1	1	0	0	{ }	B 4 /A 2 = 64
أ 1 أ 1		{4}		4	2	0	2	0	*	96	*	*	*	*	1	0	1	0		ب ٤ / أ ١ أ ١ = ٩٦
أ 1 أ 1		{4}		4	2	0	0	2	*	*	96	*	*	*	0	1	1	0		ب ٤ / أ ١ أ ١ = ٩٦
أ 2		{6}		6	0	3	3	0	*	*	*	64	*	*	1	0	0	1		B 4 /A 2 = 64
أ 1 أ 1		{4}		4	0	2	0	2	*	*	*	*	96	*	0	1	0	1		ب ٤ / أ ١ أ ١ = ٩٦
ب 2		{8}		8	0	0	4	4	*	*	*	*	*	48	0	0	1	1		B 4 /B 2 = 48
أ 3		tr{3,3}	f 3	24	12	12	12	0	4	6	0	4	0	0	16	*	*	*	( )	B 4 /A 3 = 16
أ ٢ أ ١		{6}×{ }		12	6	6	0	6	2	0	3	0	3	0	*	32	*	*		B 4 /A 2 A 1 = 32
ب ٢ أ ١		{8}×{ }		16	8	0	8	8	0	4	4	0	0	2	*	*	24	*		B 4 /B 2 A 1 = 24
ب 3		tr{4,3}		48	0	24	24	24	0	0	0	8	12	6	*	*	*	8		B 4 /B 3 = 8

في المجسم المكعب الثماني الأوجه المبتور، أول إسقاط متوازٍ للمكعب الفائق البُعد الكامل إلى ثلاثة أبعاد، يتم وضع صور خلاياه على النحو التالي:

• يكون غلاف الإسقاط على شكل مكعب ثماني الأوجه مقطوع غير منتظم.
• اثنان من الأشكال المكعبة الثمانية المبتورة تبرزان إلى مركز غلاف الإسقاط.
• تُسقط الأشكال المكعبة الثمانية المتبقية، ذات الشكل المقطوع، على الأوجه الثمانية (غير المنتظمة) للغلاف. وترتبط هذه الأشكال بالمكعب الثماني المركزي المقطوع عبر ستة موشورات ثمانية، وهي صور لخلايا الموشور الثماني، زوج لكل صورة.
• الأوجه السداسية الثمانية للظرف هي صور لثمانية من الموشورات السداسية.
• تُسقط الموشورات السداسية المتبقية على 12 صورة لموشورات سداسية غير منتظمة، تقع في أماكن حواف المكعب. كل صورة تتوافق مع خليتين.
• وأخيرًا، فإن الأحجام الثمانية الواقعة بين الأوجه السداسية لغلاف الإسقاط والأوجه السداسية للمكعب الثماني الأوجه المركزي المبتور هي صور الأوجه الثمانية الأوجه المبتورة الستة عشر، خليتان لكل صورة.

يشبه هذا الترتيب للخلايا في الإسقاط ترتيب الخلايا في المجسم ذي الـ 16 خلية المقطوعة ، والذي بدوره يُشابه ترتيب الأوجه في الإسقاط الثماني الأضلاع للمكعب الثماني الأوجه المقطوع في بعدين. وبالتالي، يمكن اعتبار المكعب الرباعي الأبعاد المقطوع بالكامل نظيراً آخر للمكعب الثماني الأوجه المقطوع في أربعة أبعاد.

لا يمكن جعل المكعب الفائق المقطوع بالكامل، أو المكعب الفائق المقطوع كليًا، والذي يُعرَّف بأنه تناوب للمكعب الفائق المقطوع كليًا، منتظمًا، ولكن يمكن إعطاؤه مخطط كوكسيتر ، وتناظرًا [ 4,3,3 ] + ، ويتكون من ⁸ مكعبات مقطوعة ، و16 مجسمًا عشرينيًا ، و24 منشورًا مربعًا مضادًا ، و32 مجسمًا ثماني الأوجه (كمنشورات مثلثة مضادة)، و192 مجسمًا رباعي الأوجه تملأ الفراغات عند الرؤوس المحذوفة. يحتوي على 272 خلية، و944 وجهًا، و864 حافة، و192 رأسًا. ^{[ 2 ]}

إنّ المجسم ثنائي الخلايا ذي الـ 16 خلية، أو المجسم ذو الـ 16 خلية المُقوَّم ، والذي يُنشأ بإزالة مستطيلات طويلة متناوبة من المثمنات، ليس منتظمًا أيضًا. ومثل المجسم الرباعي الأبعاد ذي الـ 16 خلية، يتمتع هذا المجسم بأعلى درجة تناظر من الرتبة 192، حيث يتكون من 8 مجسمات ثمانية الأوجه مكعبة معينية ( بتناظر T _h )، و16 مجسمًا عشريني الأوجه ( بتناظر T )، و24 منشورًا شبه منحرف مستطيل (مكافئ طوبولوجيًا للمكعب ولكن بتناظر D _2d )، و32 منشورًا مثلثيًا ، مع 96 منشورًا مثلثيًا (كأوتاد بتناظر C _s ) تملأ الفراغات. ^{[ 3 ]}

يوجد نوع متغير ذو أشكال عشرينية منتظمة وموشورات مثلثة منتظمة له طولان للحافة بنسبة 1  : 2، ويظهر على شكل تجليخ رأسي للشكل المتقشر ذي 24 خلية .