علم المثلثات

📅 آخر تحديث: ٢٤ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٤ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 73 صور
الموسوعة الحرة

علم المثلثات ( من اليونانية القديمة τρίγωνον ( trígōnon ) بمعنى " مثلث " و μέτρον ( métron ) بمعنى " قياس " ) [ 1 ] هو فرع من الرياضيات يهتم بالعلاقات بين زوايا المثلثات وأطوال أضلاعها . وبشكل خاص، تربط الدوال المثلثية زوايا المثلث القائم الزاوية بنسب أطوال أضلاعه. نشأ هذا المجال في العالم الهلنستي خلال القرن الثالث قبل الميلاد من تطبيقات الهندسة في الدراسات الفلكية . [ 2 ] ركز الإغريق على حساب الأوتار ، بينما ابتكر علماء الرياضيات في الهند أقدم جداول معروفة لقيم النسب المثلثية (وتسمى أيضًا الدوال المثلثية ) مثل الجيب . [ 3 ]  

على مر التاريخ، تم تطبيق علم المثلثات في مجالات مثل الجيوديسيا ، والمسح ، والميكانيكا السماوية ، والملاحة . [ 4 ]

تشتهر علم المثلثات بالعديد من المتطابقات . تُستخدم هذه المتطابقات المثلثية [ 5 ] بشكل شائع لإعادة كتابة التعبيرات المثلثية بهدف تبسيط التعبير، أو إيجاد شكل أكثر فائدة للتعبير، أو حل معادلة . [ 6 ]

تاريخ

يُنسب إلى هيبارخوس فضل تجميع أول جدول حسابي مثلثي ، وقد وُصف بأنه " أبو علم المثلثات". [ 7 ]

درس علماء الفلك السومريون قياس الزوايا، باستخدام تقسيم الدوائر إلى 360 درجة. [ 8 ] وقد درسوا، ولاحقًا البابليون ، نسب أضلاع المثلثات المتشابهة واكتشفوا بعض خصائص هذه النسب، لكنهم لم يطوروا ذلك إلى طريقة منهجية لإيجاد أضلاع وزوايا المثلثات. واستخدم النوبيون القدماء طريقة مماثلة. [ 9 ]

في القرن الثالث قبل الميلاد، درس علماء الرياضيات الهلنستيون ، مثل إقليدس وأرخميدس ، خصائص الأوتار والزوايا المحيطية في الدوائر، وأثبتوا نظريات تُكافئ الصيغ المثلثية الحديثة، مع أنهم قدموها هندسيًا لا جبريًا. وفي عام 140 قبل الميلاد، وضع هيبارخوس (من نيقية ، آسيا الصغرى) أول جداول للأوتار، تُشابه جداول قيم الجيب الحديثة ، واستخدمها لحل مسائل في حساب المثلثات وحساب المثلثات الكروية . [ 10 ] وفي القرن الثاني الميلادي، وضع الفلكي اليوناني المصري بطليموس (من الإسكندرية، مصر) جداول مثلثية مفصلة ( جدول بطليموس للأوتار ) في الكتاب الأول، الفصل الحادي عشر من كتابه المجسطي . [ 11 ] استخدم بطليموس طول الوتر لتعريف دواله المثلثية، وهو اختلاف بسيط عن اصطلاح الجيب الذي نستخدمه اليوم. [ 12 ] (يمكن إيجاد القيمة التي نسميها sin(θ) بالبحث عن طول الوتر لضعف الزاوية المطلوبة (2θ) في جدول بطليموس، ثم قسمة تلك القيمة على اثنين). مرت قرون قبل إنتاج جداول أكثر تفصيلاً، وظلت رسالة بطليموس مستخدمة لإجراء الحسابات المثلثية في علم الفلك طوال الـ 1200 عام التالية في العصور البيزنطية والإسلامية ، ولاحقًا في أوروبا الغربية.

ورد التعريف الحديث للجيب لأول مرة في كتاب " سوريا سيدانتا" ، ووُثِّقت خصائصه لاحقًا في القرن الخامس الميلادي على يد عالم الرياضيات والفلك الهندي أريابهاتا . [ 13 ] تُرجمت هذه الأعمال اليونانية والهندية ووُسِّعت على يد علماء الرياضيات المسلمين في العصور الوسطى . في عام 830 ميلادي، وضع عالم الرياضيات الفارسي حبش الحسيب المروزي أول جدول لظل التمام. [ 14 ] [ 15 ] وبحلول القرن العاشر الميلادي، استُخدمت جميع الدوال المثلثية الست في عمل عالم الرياضيات الفارسي أبو الوفاء البوزجاني . [ 16 ] وقد وضع أبو الوفاء جداول للجيب بزيادات قدرها 0.25 درجة، بدقة تصل إلى ثمانية منازل عشرية، بالإضافة إلى جداول دقيقة لقيم الظل. [ 16 ] كما قدم ابتكارات مهمة في حساب المثلثات الكروية. [ 17 ] [ 18 ] [ 19 ] يُوصف العالم الفارسي الموسوعي ناصر الدين الطوسي بأنه مؤسس حساب المثلثات كفرع رياضي مستقل. [ 20 ] [ 21 ] [ 22 ] كان أول من تناول حساب المثلثات كفرع رياضي مستقل عن علم الفلك، وطوّر حساب المثلثات الكروية إلى شكله الحالي. [ 15 ] سرد الحالات الست المختلفة للمثلث القائم الزاوية في حساب المثلثات الكروية، وفي كتابه " حول شكل القطاع" ، ذكر قانون الجيب للمثلثات المستوية والكروية، واكتشف قانون الظل للمثلثات الكروية، وقدم براهين لكلا القانونين. [ 23 ] وصلت معرفة الدوال والأساليب المثلثية إلى أوروبا الغربية عبر الترجمات اللاتينية لكتاب المجسطي اليوناني لبطليموس، بالإضافة إلى أعمال علماء الفلك الفرس والعرب مثل البتاني ونصير الدين الطوسي . [ 24 ] يُعد كتاب "De Triangulis" لعالم الرياضيات الألماني ريجيومونتانوس ، الذي عاش في القرن الخامس عشر، من أوائل الأعمال في علم المثلثات التي كتبها عالم رياضيات من شمال أوروبا، وقد شُجع على الكتابة ووُفرت له نسخة من كتاب المجسطي .عاش مع العالم اليوناني البيزنطي الكاردينال باسيليوس بيساريون لعدة سنوات. [ 25 ] في الوقت نفسه، أنجز الكريتي جورج الطرابزوني ترجمة أخرى لكتاب المجسطي من اليونانية إلى اللاتينية . [ 26 ] كان علم المثلثات لا يزال غير معروف على نطاق واسع في شمال أوروبا في القرن السادس عشر، لدرجة أن نيكولاس كوبرنيكوس خصص فصلين من كتابه "في دوران الأجرام السماوية" لشرح مفاهيمه الأساسية.

بدافع من متطلبات الملاحة والحاجة المتزايدة إلى خرائط دقيقة لمناطق جغرافية واسعة، تطور علم المثلثات ليصبح فرعًا رئيسيًا من فروع الرياضيات. [ 27 ] كان بارثولوميوس بيتيسكوس أول من استخدم هذا المصطلح، حيث نشر كتابه "علم المثلثات" عام 1595. [ 28 ] وصف جيما فريسيوس لأول مرة طريقة التثليث التي لا تزال تُستخدم حتى اليوم في المسح. وكان ليونارد أويلر هو من أدخل الأعداد المركبة بشكل كامل في علم المثلثات. وكان لأعمال عالمي الرياضيات الاسكتلنديين جيمس غريغوري في القرن السابع عشر وكولين ماكلورين في القرن الثامن عشر تأثير كبير في تطوير المتسلسلات المثلثية . [ 29 ] وفي القرن الثامن عشر أيضًا، وضع بروك تايلور تعريفًا لمتسلسلة تايلور العامة . [ 30 ]

النسب المثلثية

في هذا المثلث القائم الزاوية: sin A = a / h ; cos A = b / h ; tan A = a / b .

النسب المثلثية هي النسب بين أضلاع المثلث القائم الزاوية. وتعتمد هذه النسب فقط على زاوية حادة واحدة من زوايا المثلث القائم الزاوية، لأن أي مثلثين قائمي الزاوية لهما نفس الزاوية الحادة يكونان متشابهين . [ 31 ]

إذن، تُعرّف هذه النسب دوالًا لهذه الزاوية تُسمى الدوال المثلثية . وبالتحديد، تُعرّف أدناه كدوال للزاوية المعروفة A ، حيث تشير a و b و h إلى أطوال الأضلاع في الشكل المرفق.

في التعريفات التالية، يُقصد بالوتر الضلع المقابل للزاوية القائمة (90 درجة) في المثلث القائم الزاوية؛ وهو أطول أضلاع المثلث وأحد الضلعين المجاورين للزاوية A. أما الضلع المجاور فهو الضلع الآخر المجاور للزاوية A. والضلع المقابل هو الضلع المقابل للزاوية A. ويُستخدم مصطلحا "العمودي" و "القاعدة" أحيانًا للإشارة إلى الضلعين المقابل والمجاور على التوالي. انظر أدناه في قسم "الوسائل المساعدة على التذكر" .

  • الجيب (يرمز له بـ sin)، وهو يُعرَّف بأنه نسبة الضلع المقابل للزاوية إلى الوتر.
الخطيئة⁡أ=عكسالوتر=أح.{\displaystyle \sin A={\frac {\textrm {المقابل}}{\textrm {الوتر}}}={\frac {a}{h}}.}
  • جيب التمام (يرمز له بـ cos)، وهو يُعرَّف بأنه نسبة الضلع المجاور (ضلع المثلث الذي يصل الزاوية بالزاوية القائمة) إلى الوتر.
كوس⁡أ=مجاورالوتر=بح.{\displaystyle \cos A={\frac {\textrm {المجاور}}{\textrm {الوتر}}}={\frac {b}{h}}.}
  • الظل (يرمز له بـ tan)، وهو يُعرَّف بأنه نسبة الضلع المقابل إلى الضلع المجاور.
لون برونزي⁡أ=عكسمجاور=أب=أ/حب/ح=الخطيئة⁡أكوس⁡أ.{\displaystyle \tan A={\frac {\textrm {المقابل}}{\textrm {المجاور}}}={\frac {a}{b}}={\frac {a/h}{b/h}}={\frac {\sin A}{\cos A}}.}

وتسمى مقلوبات هذه النسب على التوالي: قاطع التمام (csc)، والقاطع (sec)، وظل التمام (cot):

csc⁡أ=1الخطيئة⁡أ=الوترعكس=حأ،{\displaystyle \csc A={\frac {1}{\sin A}}={\frac {\textrm {الوتر}}{\textrm {المقابل}}}={\frac {h}{a}},}
ثانية⁡أ=1كوس⁡أ=الوترمجاور=حب،{\displaystyle \sec A={\frac {1}{\cos A}}={\frac {\textrm {الوتر}}{\textrm {المجاور}}}={\frac {h}{b}},}
سرير أطفال⁡أ=1لون برونزي⁡أ=مجاورعكس=كوس⁡أالخطيئة⁡أ=بأ.{\displaystyle \cot A={\frac {1}{\tan A}}={\frac {\textrm {adjacent}}{\textrm {opposite}}}={\frac {\cos A}{\sin A}}={\frac {b}{a}}.}

تم تسمية جيب التمام وظل التمام وقاطع التمام بهذه الأسماء لأنها تمثل على التوالي جيب وظل وقاطع الزاوية المتممة المختصرة بـ "co-". [ 32 ]

باستخدام هذه الدوال، يمكن الإجابة على جميع الأسئلة المتعلقة بالمثلثات ذات الشكل العشوائي تقريبًا باستخدام قانون الجيب وقانون جيب التمام . [ 33 ] يمكن استخدام هذه القوانين لحساب الزوايا والأضلاع المتبقية لأي مثلث بمجرد معرفة ضلعين والزاوية المحصورة بينهما، أو زاويتين وضلع، أو ثلاثة أضلاع.

تقنيات التذكر

يُستخدم أسلوب التذكر عادةً لحفظ الحقائق والعلاقات في علم المثلثات. على سبيل المثال، يمكن تذكر نسب الجيب وجيب التمام والظل في المثلث القائم الزاوية من خلال تمثيلها وأضلاعها المقابلة بسلاسل من الأحرف. على سبيل المثال، أحد أساليب التذكر هو SOH-CAH-TOA: [ 34 ]

الجيب = المقابل ÷ الوتر​
جيب التمام = المجاور ÷ الوتر
المماس = المقابل ÷ المجاور​

إحدى طرق حفظ الحروف هي نطقها صوتيًا ( مثل / ˌsoʊkəˈtoʊə / ، كما في كلمة Krakatoa ) . [ 35 ] طريقة أخرى هي توسيع الحروف لتكوين جملة ، مثل : " Some Old Hippie Caught A nother Hippie Trippin ' On A cid " . [ 36 ]

دائرة الوحدة والقيم المثلثية الشائعة

الشكل 1أ – جيب وجيب تمام الزاوية θ المعرفة باستخدام دائرة الوحدة
تحديد إشارة وعدد الزوايا الرئيسية وفقًا لاتجاه الدوران

يمكن أيضًا تمثيل النسب المثلثية باستخدام دائرة الوحدة ، وهي دائرة نصف قطرها 1 ومركزها نقطة الأصل في المستوى. [ 37 ] في هذا السياق، يتقاطع الضلع النهائي للزاوية A الموضوعة في الوضع القياسي مع دائرة الوحدة في النقطة (x,y)، حيثx=كوس⁡أ{\displaystyle x=\cos A}وy=الخطيئة⁡أ{\displaystyle y=\sin A}[ 37 ] يسمح هذا التمثيل بحساب القيم المثلثية الشائعة، مثل تلك الموجودة في الجدول التالي : [ 38 ]

المدخلات (بالراديان)0π/6{\displaystyle \pi /6}π/4{\displaystyle \pi /4}π/3{\displaystyle \pi /3}π/2{\displaystyle \pi /2}2π/3{\displaystyle 2\pi /3}3π/4{\displaystyle 3\pi /4}5π/6{\displaystyle 5\pi /6}π{\displaystyle \pi }
إدخال (درجات)0°30 درجة45 درجة60 درجة90 درجة120 درجة135 درجة150 درجة180 درجة
جيب0{\displaystyle 0}1/2{\displaystyle 1/2}2/2{\displaystyle {\sqrt {2}}/2}3/2{\displaystyle {\sqrt {3}}/2}1{\displaystyle 1}3/2{\displaystyle {\sqrt {3}}/2}2/2{\displaystyle {\sqrt {2}}/2}1/2{\displaystyle 1/2}0{\displaystyle 0}
جيب التمام1{\displaystyle 1}3/2{\displaystyle {\sqrt {3}}/2}2/2{\displaystyle {\sqrt {2}}/2}1/2{\displaystyle 1/2}0{\displaystyle 0}-1/2{\displaystyle -1/2}-2/2{\displaystyle -{\sqrt {2}}/2}-3/2{\displaystyle -{\sqrt {3}}/2}-1{\displaystyle -1}
مماس0{\displaystyle 0}3/3{\displaystyle {\sqrt {3}}/3}1{\displaystyle 1}3{\displaystyle {\sqrt {3}}}غير محدد-3{\displaystyle -{\sqrt {3}}}-1{\displaystyle -1}-3/3{\displaystyle -{\sqrt {3}}/3}0{\displaystyle 0}
القاطع1{\displaystyle 1}23/3{\displaystyle 2{\sqrt {3}}/3}2{\displaystyle {\sqrt {2}}}2{\displaystyle 2}غير محدد-2{\displaystyle -2}-2{\displaystyle -{\sqrt {2}}}-23/3{\displaystyle -2{\sqrt {3}}/3}-1{\displaystyle -1}
قاطع التمامغير محدد2{\displaystyle 2}2{\displaystyle {\sqrt {2}}}23/3{\displaystyle 2{\sqrt {3}}/3}1{\displaystyle 1}23/3{\displaystyle 2{\sqrt {3}}/3}2{\displaystyle {\sqrt {2}}}2{\displaystyle 2}غير محدد
ظل التمامغير محدد3{\displaystyle {\sqrt {3}}}1{\displaystyle 1}3/3{\displaystyle {\sqrt {3}}/3}0{\displaystyle 0}-3/3{\displaystyle -{\sqrt {3}}/3}-1{\displaystyle -1}-3{\displaystyle -{\sqrt {3}}}غير محدد

الدوال المثلثية للمتغيرات الحقيقية أو المركبة

باستخدام دائرة الوحدة ، يمكن للمرء أن يوسع تعريفات النسب المثلثية لتشمل جميع الوسائط الموجبة والسالبة [ 39 ] (انظر الدالة المثلثية ).

رسوم بيانية للدوال المثلثية

يلخص الجدول التالي خصائص الرسوم البيانية للدوال المثلثية الرئيسية الست: [ 40 ] [ 41 ]

وظيفةفترةاِختِصاصيتراوحالرسم البياني
جيب2π{\displaystyle 2\pi }(-∞،∞){\displaystyle (-\infty ,\infty )}[-1،1]{\displaystyle [-1,1]}
جيب التمام2π{\displaystyle 2\pi }(-∞،∞){\displaystyle (-\infty ,\infty )}[-1،1]{\displaystyle [-1,1]}
مماسπ{\displaystyle \pi }x≠π/2+نπ{\displaystyle x\neq \pi /2+n\pi }(-∞،∞){\displaystyle (-\infty ,\infty )}
القاطع2π{\displaystyle 2\pi }x≠π/2+نπ{\displaystyle x\neq \pi /2+n\pi }(-∞،-1]∪[1،∞){\displaystyle (-\infty ,-1]\cup [1,\infty )}
قاطع التمام2π{\displaystyle 2\pi }x≠نπ{\displaystyle x\neq n\pi }(-∞،-1]∪[1،∞){\displaystyle (-\infty ,-1]\cup [1,\infty )}
ظل التمامπ{\displaystyle \pi }x≠نπ{\displaystyle x\neq n\pi }(-∞،∞){\displaystyle (-\infty ,\infty )}

الدوال المثلثية العكسية

نظرًا لأن الدوال المثلثية الست الرئيسية دورية، فهي ليست أحادية (أو أحادية)، وبالتالي فهي غير قابلة للعكس. ولكن بتقييد مجال الدالة المثلثية، يمكن جعلها قابلة للعكس. [ 42 ] : 48 وما بعدها

يمكن إيجاد أسماء الدوال المثلثية العكسية، بالإضافة إلى مجالاتها ومداها، في الجدول التالي: [ 42 ] : 48 وما بعدها [ 43 ] : 521 وما بعدها

اسمالترميز المعتادتعريفمجال x للنتيجة الحقيقيةنطاق القيمة الرئيسية المعتادة ( بالراديان )نطاق القيمة الرئيسية المعتادة ( بالدرجات )
دالة الجيب العكسيy = arcsin( x )x = sin ( y )−1 ≤ x ≤ 1− ⁠ π / 2 ⁠ ≥ ذ ≥ ⁠ π / 2 ⁠−90° ≤ y ≤ 90°
دالة الجيب العكسيةy = arccos( x )x = cos ( y )−1 ≤ x ≤ 10 ≤ y ≤ π0° ≤ y ≤ 180°
ظل الزاوية العكسيy = arctan( x )x = tan ( y )جميع الأرقام الحقيقية− ⁠ π / 2 ⁠ < y < ⁠ π / 2 ⁠−90° < y < 90°
arccotangenty = arccot( x )x = cot ( y )جميع الأرقام الحقيقية0 < y < π0° < y < 180°
قاطع القوسy = arcsec( x )x = sec ( y )x ≤ −1 أو 1 ≤ x0 ≤ y < π / 2 أو π / 2 < y ≤ π​​​0° ≤ y < 90° أو 90° < y ≤ 180°
مادة مانعة للتسربy = arccsc( x )x = csc ( y )x ≤ −1 أو 1 ≤ x− π / 2 ≤ y < 0 أو 0 < y ≤ π / 2−90° ≤ y < 0° أو 0° < y ≤ 90°

تمثيلات سلسلة القوى

عند اعتبار النسب المثلثية دوال لمتغير حقيقي، يمكن تمثيلها بواسطة متسلسلات ماكلورين . على سبيل المثال، للجيب وجيب التمام التمثيلات التالية [ 44 ]

الخطيئة⁡x=x-x33!+x55!-x77!+⋯=∑ن=0∞(-1)نx2ن+1(2ن+1)!كوس⁡x=1-x22!+x44!-x66!+⋯=∑ن=0∞(-1)نx2ن(2ن)!\begin{aligned}\sin x&=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots &&=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}\\\cos x&=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots &&=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}\end{aligned}}}

باستخدام هذه التعريفات، يمكن تعريف الدوال المثلثية للأعداد المركبة . [ 45 ] وعند توسيعها كدوال لمتغيرات حقيقية أو مركبة، فإن الصيغة التالية تنطبق على الدالة الأسية المركبة:

هـx+أناy=هـx(كوس⁡y+أناالخطيئة⁡y).{\displaystyle e^{x+iy}=e^{x}(\cos y+i\sin y).}

تُعدّ هذه الدالة الأسية المركبة، المكتوبة بدلالة الدوال المثلثية، مفيدة بشكل خاص. [ 46 ] [ 47 ]

حساب الدوال المثلثية

كانت الدوال المثلثية من أوائل استخدامات الجداول الرياضية . [ 48 ] أُدرجت هذه الجداول في كتب الرياضيات، وتعلّم الطلاب كيفية البحث عن القيم وكيفية حساب القيم المُدرجة للحصول على دقة أعلى. [ 49 ] احتوت المسطرة الحاسبة على مقاييس خاصة للدوال المثلثية. [ 50 ]

تحتوي الآلات الحاسبة العلمية على أزرار لحساب الدوال المثلثية الرئيسية (الجيب، وجيب التمام، والظل، وأحيانًا الجيب العكسي ومعكوساتها). [ 51 ] وتتيح معظمها اختيار طريقة قياس الزاوية: الدرجات ، والراديان، وأحيانًا الغراديان . كما توفر معظم لغات برمجة الحاسوب مكتبات دوال تتضمن الدوال المثلثية. [ 52 ] وتحتوي وحدة الفاصلة العائمة المدمجة في رقائق المعالجات الدقيقة المستخدمة في معظم الحواسيب الشخصية على تعليمات مدمجة لحساب الدوال المثلثية. [ 53 ]

الدوال المثلثية الأخرى

بالإضافة إلى النسب الست المذكورة سابقًا، توجد دوال مثلثية أخرى كانت ذات أهمية تاريخية، وإن كانت نادرة الاستخدام اليوم. وتشمل هذه الدوال: الوتر ( crd θ = 2 sin θ / 2 ) ، وجيب الزاوية العكسي ( vers θ = 1 − cos θ = 2 sin 2 θ / 2 ) (الذي ظهر في أقدم الجداول [ 54 ] )، وجيب الزاوية المغطي ( covers θ = 1 − sin θ = vers π / 2 − θ )، وجيب الزاوية الجزئي ( hav θ = 1 / 2 vers θ = sin 2 θ / 2 ) ، [ 55 ] والقاطع ( exsec θ = sec θ − 1 ) . انظر قائمة المتطابقات المثلثية لمزيد من العلاقات بين هذه الدوال.

التطبيقات

علم الفلك

استُخدمت حساب المثلثات الكروية لقرون لتحديد مواقع الشمس والقمر والنجوم، [ 56 ] والتنبؤ بالكسوف، ووصف مدارات الكواكب. [ 57 ]

في العصر الحديث، تُستخدم تقنية التثليث في علم الفلك لقياس المسافة إلى النجوم القريبة، [ 58 ] وكذلك في أنظمة الملاحة عبر الأقمار الصناعية . [ 19 ]

تُستخدم السدسيات لقياس زاوية الشمس أو النجوم بالنسبة للأفق. وباستخدام علم المثلثات وساعة بحرية ، يمكن تحديد موقع السفينة من هذه القياسات.

تاريخياً، استُخدم علم المثلثات لتحديد خطوط العرض والطول للسفن الشراعية، ورسم المسارات، وحساب المسافات أثناء الملاحة. [ 59 ]

لا يزال علم المثلثات يستخدم في الملاحة من خلال وسائل مثل نظام تحديد المواقع العالمي (GPS) والذكاء الاصطناعي للمركبات ذاتية القيادة . [ 60 ]

المسح

في مسح الأراضي ، تُستخدم حساب المثلثات في حساب الأطوال والمساحات والزوايا النسبية بين الأجسام. [ 61 ]

وعلى نطاق أوسع، تُستخدم حساب المثلثات في الجغرافيا لقياس المسافات بين المعالم. [ 62 ]

الدوال الدورية

وظيفةs(x){\displaystyle s(x)}(باللون الأحمر) هو مجموع ست دوال جيبية ذات سعات مختلفة وترددات مترابطة توافقياً. يُطلق على مجموعها اسم متسلسلة فورييه. تحويل فورييه،S(و){\displaystyle S(f)}(باللون الأزرق)، والذي يوضح السعة مقابل التردد ، يكشف عن الترددات الستة ( عند التوافقيات الفردية ) وسعاتها ( 1/عدد فردي ).

تُعدّ دالتا الجيب وجيب التمام أساسيتين في نظرية الدوال الدورية ، [ 63 ] مثل تلك التي تصف الموجات الصوتية والضوئية . وقد اكتشف فورييه أن كل دالة دورية متصلة يمكن وصفها كمجموع لانهائي من الدوال المثلثية.

حتى الدوال غير الدورية يمكن تمثيلها كتكامل للجيب وجيب التمام من خلال تحويل فورييه . وهذا له تطبيقات في ميكانيكا الكم [ 64 ] والاتصالات [65]، من بين مجالات أخرى.

البصريات والصوتيات

يُعدّ علم المثلثات مفيدًا في العديد من العلوم الفيزيائية ، [ 66 ] بما في ذلك علم الصوتيات ، [ 67 ] وعلم البصريات . [ 67 ] في هذه المجالات، يُستخدم لوصف الموجات الصوتية والضوئية ، ولحلّ المشكلات المتعلقة بالحدود والانتقال. [ 68 ]

تطبيقات أخرى

تشمل المجالات الأخرى التي تستخدم علم المثلثات أو الدوال المثلثية: نظرية الموسيقى ، [ 69 ] والجيوديسيا ، وتوليف الصوت ، [ 70 ] والهندسة المعمارية ، [ 71 ] والإلكترونيات ، [ 69 ] وعلم الأحياء ، [ 72 ] والتصوير الطبي ( الأشعة المقطعية والموجات فوق الصوتية )، [ 73 ] والكيمياء ، [ 74 ] ونظرية الأعداد (وبالتالي علم التشفير )، [ 75 ] وعلم الزلازل ، [ 67 ] والأرصاد الجوية ، [ 76 ] وعلم المحيطات ، [ 77 ] وضغط الصور ، [ 78 ] وعلم الصوتيات ، [ 79 ] والاقتصاد ، [ 80 ] والهندسة الكهربائية ، والهندسة الميكانيكية ، والهندسة المدنية ، [ 69 ] ورسومات الحاسوب ، [ 81 ] ورسم الخرائط ، [ 69 ] وعلم البلورات، [ 82 ] وتطوير الألعاب . [ 81 ]

الهويات

مثلث أضلاعه a و b و c وزواياه المتقابلة A و B و C على التوالي

اشتهر علم المثلثات بالعديد من المتطابقات، أي المعادلات التي تكون صحيحة لجميع المدخلات الممكنة. [ 83 ]

تُعرف المتطابقات التي تتضمن الزوايا فقط باسم المتطابقات المثلثية . أما المعادلات الأخرى، والمعروفة باسم متطابقات المثلث ، [ 84 ] فتربط بين أضلاع وزوايا مثلث معين.

متطابقات المثلث

في المتطابقات التالية، A و B و C هي زوايا المثلث و a و b و c هي أطوال أضلاع المثلث المقابلة للزوايا المعنية (كما هو موضح في الرسم التخطيطي).

قانون الجيب

ينص قانون الجيوب (المعروف أيضًا باسم "قاعدة الجيب") لمثلث عشوائي على ما يلي: [ 85 ]

أالخطيئة⁡أ=بالخطيئة⁡ب=جالخطيئة⁡ج=2R=أبج2Δ،{\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}=2R={\frac {abc}{2\Delta }},}

أينΔ{\displaystyle \Delta }هي مساحة المثلث و R هو نصف قطر الدائرة المحيطة بالمثلث:

R=أبج(أ+ب+ج)(أ-ب+ج)(أ+ب-ج)(ب+ج-أ).{\displaystyle R={\frac {abc}{\sqrt {(a+b+c)(a-b+c)(a+bc)(b+ca)}}}.}

قانون جيب التمام

قانون جيب التمام (المعروف باسم صيغة جيب التمام، أو "قاعدة جيب التمام") هو امتداد لنظرية فيثاغورس إلى المثلثات العشوائية: [ 85 ]

ج2=أ2+ب2-2أبكوس⁡ج،{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C,}

أو ما يعادل ذلك:

كوس⁡ج=أ2+ب2-ج22أب.{\displaystyle \cos C={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}.}

قانون المماسات

يُعدّ قانون الظلال ، الذي وضعه فرانسوا فييت ، بديلاً لقانون جيب التمام عند حساب أطوال أضلاع المثلث المجهولة، مما يُسهّل العمليات الحسابية عند استخدام جداول الدوال المثلثية. [ 86 ] ويُعطى بالصيغة التالية:

أ-بأ+ب=لون برونزي⁡[12(أ-ب)]لون برونزي⁡[12(أ+ب)]{\displaystyle {\frac {ab}{a+b}}={\frac {\tan \left[{\tfrac {1}{2}}(AB)\right]}{\tan \left[{\tfrac {1}{2}}(A+B)\right]}}}

منطقة

بفرض وجود ضلعين a و b والزاوية بين الضلعين C ، فإن مساحة المثلث تُعطى بنصف حاصل ضرب أطوال الضلعين وجيب الزاوية بين الضلعين: [ 85 ]

منطقة=Δ=12أبالخطيئة⁡ج{\displaystyle {\mbox{المساحة}}=\Delta ={\frac {1}{2}}ab\sin C}

المتطابقات المثلثية

الهويات الفيثاغورية

ترتبط المتطابقات المثلثية التالية بنظرية فيثاغورس وتصدق لأي قيمة: [ 87 ]

الخطيئة2⁡أ+كوس2⁡أ=1 {\displaystyle \sin ^{2}A+\cos ^{2}A=1\ }
لون برونزي2⁡أ+1=ثانية2⁡أ {\displaystyle \tan ^{2}A+1=\sec ^{2}A\ }
سرير أطفال2⁡أ+1=csc2⁡أ {\displaystyle \cot ^{2}A+1=\csc ^{2}A\ }

تُشتق المعادلتان الثانية والثالثة من قسمة المعادلة الأولى علىكوس2⁡أ{\displaystyle \cos ^{2}{A}}والخطيئة2⁡أ{\displaystyle \sin ^{2}{A}}، على التوالى.

صيغة أويلر

تنص صيغة أويلر على أنهـأناx=كوس⁡x+أناالخطيئة⁡x{\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}ينتج عن ذلك المتطابقات التحليلية التالية للجيب وجيب التمام والظل بدلالة e والوحدة التخيلية i :

الخطيئة⁡x=هـأناx-هـ-أناx2أنا،كوس⁡x=هـأناx+هـ-أناx2،لون برونزي⁡x=أنا(هـ-أناx-هـأناx)هـأناx+هـ-أناx.{\displaystyle \sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}},\qquad \cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}},\qquad \tan x={\frac {i(e^{-ix}-e^{ix})}{e^{ix}+e^{-ix}}}.}

متطابقات مثلثية أخرى

تشمل المتطابقات المثلثية الأخرى شائعة الاستخدام متطابقات نصف الزاوية، ومتطابقات مجموع وفرق الزوايا، ومتطابقات تحويل الضرب إلى مجموع. [ 31 ]

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ هاربر، دوغلاس. "علم المثلثات" . قاموس أصل الكلمات على الإنترنت . تم الاسترجاع في 18 مارس 2022 .
  2. ↑ ر. ناجل (محرر)، موسوعة العلوم ، الطبعة الثانية، مجموعة غيل (2002)
  3. ↑ بوير (1991) ، ص. 
  4. ↑ تشارلز ويليام هاكلي (1853). رسالة في علم المثلثات، المستوي والكروي: مع تطبيقاته في الملاحة والمسح، وعلم الفلك البحري والعملي، والجيوديسيا، مع جداول لوغاريتمية ومثلثية وملاحية . جي بي بوتنام.
  5. ↑ ماري جين ستيرلينغ (24 فبراير 2014). علم المثلثات للمبتدئين . جون وايلي وأولاده. ص 185. ISBN  978-1-118-82741-3.
  6. ↑ رون لارسون؛ روبرت ب. هوستتلر (10 مارس 2006). علم المثلثات . سينجايج ليرنينج. ص 230. ISBN  0-618-64332-X.
  7. ↑ بوير (1991) ، ص 162 ، "علم المثلثات اليوناني والقياس". 
  8. ↑ بيمينتل، ريك؛ وول، تيري (2018). كامبريدج IGCSE الرياضيات الأساسية ( الطبعة الرابعة). هاشيت المملكة المتحدة. ص 275. ISBN   978-1-5104-2058-8.مقتطف من الصفحة 275
  9. ^ أوتو نيوجيباور (1975). تاريخ علم الفلك الرياضي القديم. 1 . سبرينغر-فيرلاغ. ص. 744. ردمك  978-3-540-06995-9.
  10. ↑ ثورستون (1996) ، ص 235-236 ، "الملحق 1: جدول هيبارخوس للأوتار". 
  11. ↑ تومر، ج. (1998). المجسطي لبطليموس . مطبعة جامعة برينستون. رمز Bibcode : 1998ptal.book.....T . ISBN 978-0-691-00260-6.
  12. ↑ ثورستون (1996) ، ص 239-243 ، "الملحق 3: جدول بطليموس للأوتار". 
  13. ↑ بوير (1991) ، ص 215.
  14. ↑ جاك سيسيانو (2000). "الرياضيات الإسلامية". في: سيلين، هيلين ؛ دامبروسيو، أوبيراتان (محرران). الرياضيات عبر الثقافات: تاريخ الرياضيات غير الغربية . سبرينغر ساينس + بيزنس ميديا . ص 157. ISBN  978-1-4020-0260-1.
  15. 1 2 "علم المثلثات" . موسوعة بريتانيكا . تم الاسترجاع في 21-07-2008 .
  16. 1 2 بوير 1991 ، ص. 238.
  17. ↑ موسى، علي (2011). "الأساليب الرياضية في كتاب المجسطي لأبي الوفاء وتحديد القبلة". العلوم والفلسفة العربية . 21 (1). مطبعة جامعة كامبريدج : 1-56 . doi : 10.1017/S095742391000007X . S2CID 171015175 . 
  18. ↑ جينجيريتش، أوين. "علم الفلك الإسلامي". مجلة ساينتفك أمريكان 254.4 (1986): 74-83
  19. 1 2 مايكل ويلرز (13 فبراير 2018). الجبر النظري: كل ما تحتاج لمعرفته من الأعداد الصحيحة إلى المعادلات . مبيعات الكتب. ص 37. ISBN  978-0-7858-3595-0.
  20. ↑ «ناصر الدين الطوسي» . أرشيف ماك تيوتور لتاريخ الرياضيات . تاريخ الاسترجاع: 8 يناير 2021. من أهم إسهامات الطوسي في الرياضيات تأسيسه علم المثلثات كفرع رياضي مستقل، وليس مجرد أداة للتطبيقات الفلكية. في كتابه «رسالة في الشكل الرباعي»، قدم الطوسي أول شرح وافٍ لنظام حساب المثلثات المستوي والكروي. يُعد هذا العمل الأول من نوعه في التاريخ الذي يتناول حساب المثلثات كفرع مستقل من الرياضيات البحتة، والأول الذي يُبين فيه جميع الحالات الست للمثلث الكروي القائم الزاوية.
  21. ↑ بيرغرين، جيه إل (أكتوبر 2013). "الرياضيات الإسلامية". تاريخ كامبريدج للعلوم . المجلد 2. مطبعة جامعة كامبريدج. الصفحات 62-83 . doi : 10.1017/CHO9780511974007.004 . ISBN   9780521594486.
  22. ↑ «طوسي، نصر الدين ١. السيرة الذاتية» . موسوعة إيرانيكا . تاريخ الاطلاع: ٥ أغسطس ٢٠١٨. يُقال إن إسهامه الأبرز في الرياضيات (نصر، ١٩٩٦، ص ٢٠٨-٢١٤) يكمن في علم المثلثات، الذي قام بتصنيفه لأول مرة كعلم مستقل. كما يُعزى تطور علم المثلثات الكروية إلى جهوده، بما في ذلك مفهوم الصيغ الست الأساسية لحل المثلثات الكروية القائمة الزاوية.
  23. ↑ بيرغرين، ج. لينارت (2007). "الرياضيات في الإسلام في العصور الوسطى". رياضيات مصر وبلاد ما بين النهرين والصين والهند والإسلام: كتاب مرجعي . مطبعة جامعة برينستون. ص 518. ISBN  978-0-691-11485-9.
  24. ↑ بوير (1991) ، ص 237، 274.
  25. ↑ "يوهان مولر ريجيومونتانوس" . أرشيف ماك تيوتور لتاريخ الرياضيات . تم الاطلاع عليه بتاريخ 8 يناير 2021 .
  26. ↑ إن جي ويلسون (1992). من بيزنطة إلى إيطاليا. دراسات يونانية في عصر النهضة الإيطالية ، لندن. ISBN 0-7156-2418-0
  27. ↑ غراتان-غينيس، إيفور (1997). قوس قزح الرياضيات: تاريخ العلوم الرياضية . دبليو دبليو نورتون. رقم ISBN 978-0-393-32030-5.
  28. ↑ روبرت إي. كريبس (2004). التجارب العلمية الرائدة والاختراعات والاكتشافات في العصور الوسطى وعصر النهضة . مجموعة غرينوود للنشر. ص 153. ISBN  978-0-313-32433-8.
  29. ↑ إيوالد، ويليام براغ (21 أبريل 2005). من كانط إلى هيلبرت، المجلد الأول: كتاب مرجعي في أسس الرياضيات . مطبعة جامعة أكسفورد. ص 93. ISBN  978-0-19-152309-0.
  30. ↑ ديمبسكي، كيلي (نوفمبر 2002). التركيز على المنحنيات والأسطح . دار بريمير للنشر. ص 29. ISBN  978-1-59200-007-4.
  31. 1 2 جيمس ستيوارت؛ لوثار ريدلين؛ سليم واتسون (16 يناير 2015). الجبر وعلم المثلثات . سينجايج ليرنينج. ص 448. ISBN  978-1-305-53703-3.
  32. ↑ ديك جاردين؛ إيمي شيل-جيلاش (2011). كبسولات زمنية رياضية: وحدات تاريخية لفصول الرياضيات . جمعية الرياضيات الأمريكية. ص 182. ISBN  978-0-88385-984-1.
  33. ↑ كريستل روز فورسيث؛ كريستوفر برجر؛ ميشيل روز جيلمان؛ ديبورا ج. رومسي (2008). حساب التفاضل والتكامل للمبتدئين . جون وايلي وأولاده. ص 218. ISBN  978-0-470-16984-1.
  34. ^ وايسستين، إريك دبليو. “SOHCAHTOA” . عالم الرياضيات .
  35. ↑ همبل، كريس (2001). الرياضيات الأساسية : شهادة الثانوية العامة، المستوى المتقدم . فيونا ماكجيل. تشيلتنهام: دار نشر ستانلي ثورنز. ص 51. ISBN   0-7487-3396-5. OCLC 47985033 . 
  36. ↑ الجملة الأنسب للمدارس الثانوية هي: "جاء حصان عجوز يقفز عبر زقاقنا " . فوستر ، جوناثان ك . (2008). الذاكرة : مقدمة قصيرة جدًا . أكسفورد . ص 128. ISBN  978-0-19-280675-8.
  37. 1 2 ديفيد كوهين؛ لي ب. ثيودور؛ ديفيد سكلار (17 يوليو 2009). حساب التفاضل والتكامل التمهيدي: منهج قائم على حل المشكلات، طبعة محسنة . سينجايج ليرنينج. ISBN 978-1-4390-4460-5.
  38. ↑ دبليو. مايكل كيلي (2002). الدليل الكامل للمبتدئين في حساب التفاضل والتكامل . دار ألفا للنشر. ص 45. ISBN  978-0-02-864365-6.
  39. ↑ جيني أوليف (18 سبتمبر 2003). الرياضيات: دليل الطالب للبقاء: كتاب تمارين للمساعدة الذاتية لطلاب العلوم والهندسة . مطبعة جامعة كامبريدج. ص 175. ISBN  978-0-521-01707-7.
  40. ↑ ماري ب. أتينبورو (30 يونيو 2003). الرياضيات للهندسة الكهربائية والحوسبة . إلسيفير. ص 418. ISBN  978-0-08-047340-6.
  41. ↑ رون لارسون؛ بروس هـ. إدواردز (10 نوفمبر 2008). حساب التفاضل والتكامل لمتغير واحد . سينجايج ليرنينج. ص 21. ISBN  978-0-547-20998-2.
  42. 1 2 إليزابيث ج. بريميجان؛ رالف ج. بريميجان؛ جون د. لورش (2011). الرياضيات لمعلمي المرحلة الثانوية . جمعية الرياضيات الأمريكية. ISBN 978-0-88385-773-1.
  43. ↑ مارتن بروكيت؛ بامي مانشاندا؛ أبو الحسن صديقي (3 أغسطس 2019). حساب التفاضل والتكامل للعلماء والمهندسين . سبرينغر. ISBN 9789811384646.
  44. ↑ سيرج لانغ (14 مارس 2013). التحليل المركب . سبرينغر. ص 63. ISBN  978-3-642-59273-7.
  45. ↑ سيلفيا ماريا أليسيو (9 ديسمبر 2015). معالجة الإشارات الرقمية والتحليل الطيفي للعلماء: المفاهيم والتطبيقات . سبرينغر. ص 339. ISBN  978-3-319-25468-5.
  46. ^ ك. راجا راجيسواري. ب. فيسفيسفارا راو (24 مارس 2014). الإشارات والأنظمة . تعلم فاي. ص. 263. ردمك  978-81-203-4941-4.
  47. ↑ جون ستيلويل (23 يوليو 2010). الرياضيات وتاريخها . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 313. ISBN  978-1-4419-6053-5.
  48. ↑ مارتن كامبل كيلي ؛ ماري كرواركن ؛ ريموند فلود ؛ إليانور روبسون (2 أكتوبر 2003). تاريخ الجداول الرياضية: من سومر إلى جداول البيانات . مطبعة جامعة أكسفورد. ISBN 978-0-19-850841-0.
  49. ↑ جورج س. دونوفان؛ بيفرلي بيرويثر جيمستاد (1980). حساب المثلثات باستخدام الآلات الحاسبة . بريندل، ويبر وشميدت. ISBN 978-0-87150-284-1.
  50. ↑ روس ريموند ميدلميس (1945). تعليمات استخدام المسطرة الحاسبة من نوع بوست-تريج ومانهايم-تريج . شركة فريدريك بوست.
  51. ↑ "مفاتيح الآلة الحاسبة - ما هي وظائفها" . مجلة العلوم الشعبية . مؤسسة بونير. أبريل 1974. ص 125. 
  52. ↑ ستيفن س. سكينا؛ ميغيل أ. ريفيلا (18 أبريل 2006). تحديات البرمجة: دليل تدريب مسابقة البرمجة . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 302. ISBN  978-0-387-22081-9.
  53. ↑ دليل مطوري البرامج لبنيتي Intel® 64 و IA-32، المجلدات المجمعة: 1، 2A، 2B، 2C، 3A، 3B و 3C (ملف PDF) . Intel. 2013.
  54. ↑ بوير (1991) ، ص. xxiii–xxiv.
  55. ^ نيلسن (1966) ، ص .
  56. ↑ أولينثوس غريغوري (1816). عناصر حساب المثلثات المستوية والكروية: مع تطبيقاتها على الارتفاعات والمسافات، إسقاطات الكرة، والقياس، وعلم الفلك، وحل المعادلات، والعمليات الجيوديسية . بالدوين، كرادوك، وجوي.
  57. ↑ نويغباور، أوتو (1948). "الأساليب الرياضية في علم الفلك القديم" . نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية . 54 (11): 1013-1041 . doi : 10.1090/S0002-9904-1948-09089-9 .
  58. ↑ مايكل سيدز؛ دانا باكمان (5 يناير 2009). علم الفلك: النظام الشمسي وما وراءه . سينجايج ليرنينج. ص 254. ISBN  978-0-495-56203-0.
  59. ↑ جون سابين (1800). عالم الرياضيات العملي، يحتوي على اللوغاريتمات والهندسة وعلم المثلثات والقياس والجبر والملاحة وعلم الكرات والفلسفة الطبيعية، إلخ . ص 1. 
  60. ^ مردخاي بن آري. فرانشيسكو موندادا (2018). عناصر الروبوتات . سبرينغر. ص. 16. رقم ISBN  978-3-319-62533-1.
  61. ↑ جورج روبرتس بيركنز (1853). حساب المثلثات المستوية وتطبيقاته في القياس ومسح الأراضي: مصحوبًا بجميع الجداول اللوغاريتمية والمثلثية اللازمة . دي. أبليتون وشركاه.
  62. ↑ تشارلز دبليو جيه ويذرز؛ هايدن لوريمر (14 ديسمبر 2015). الجغرافيون: دراسات بيوبيبليوغرافية . دار نشر أند سي بلاك. ص 6. ISBN  978-1-4411-0785-5.
  63. ^ إتش جي تير مورش؛ جي سي فان دن بيرج؛ إي إم فان دي فري (7 أغسطس 2003). تحويلات فورييه ولابلاس . مطبعة جامعة كامبريدج. ص. 61. ردمك  978-0-521-53441-3.
  64. ↑ بيرند ثالر (8 مايو 2007). ميكانيكا الكم المرئية: مواضيع مختارة مع رسوم متحركة مولدة بالحاسوب لظواهر ميكانيكا الكم . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 15. ISBN  978-0-387-22770-2.
  65. ↑ م. رحمن (2011). تطبيقات تحويلات فورييه على الدوال المعممة . دار نشر WIT. ISBN 978-1-84564-564-9.
  66. ↑ لورانس بورنشتاين؛ شركة الأنظمة الأساسية (1966). علم المثلثات للعلوم الفيزيائية . أبليتون-سينشري-كروفتس.
  67. 1 2 3 جون ج. شيلر؛ ماري أ. ورستر (1988). الجبر الجامعي وعلم المثلثات: الأساسيات من خلال حساب التفاضل والتكامل . سكوت، فورسمان. رقم ISBN 978-0-673-18393-4.
  68. ↑ دادلي هـ. تاون (5 مايو 2014). ظواهر الموجات . منشورات دوفر. ISBN 978-0-486-14515-0.
  69. 1 2 3 4 إي. ريتشارد هاينمان؛ ج. دالتون تارووتر (1 نوفمبر 1992). حساب المثلثات المستوية . ماكجرو هيل. ISBN 978-0-07-028187-5.
  70. ↑ مارك كارز؛ كارلهاينز براندنبورغ (18 أبريل 2006). تطبيقات معالجة الإشارات الرقمية في الصوت وعلم الصوتيات . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 404. ISBN  978-0-306-47042-4.
  71. ↑ كيم ويليامز ؛ مايكل ج. أوستوالد (9 فبراير 2015). العمارة والرياضيات من العصور القديمة إلى المستقبل: المجلد الأول: من العصور القديمة إلى القرن السادس عشر الميلادي . بيركهاوزر. ص 260. ISBN  978-3-319-00137-1.
  72. ↑ دان فولدر (15 يوليو 2019). المهارات الأساسية لامتحان شهادة التعليم العام في الأحياء . دار هودر للتعليم. ص 78. ISBN  978-1-5104-6003-4.
  73. ↑ لوتشيانو بيولكي؛ مايكل هـ. كون (1995). التصوير الطبي: تحليل الصور ثنائية وثلاثية الأبعاد متعددة الوسائط . دار نشر IOS. ص 122. ISBN  978-90-5199-210-6.
  74. ↑ ماركوس فريدريك تشارلز لاد (2014). تناظر البلورات والجزيئات . مطبعة جامعة أكسفورد. ص 13. ISBN  978-0-19-967088-8.
  75. ^ جينادي آي. أرخيبوف؛ فلاديمير ن. تشوباريكوف؛ أناتولي أ. كاراتسوبا (22 أغسطس 2008). المجاميع المثلثية في نظرية الأعداد وتحليلها . والتر دي جرويتر. رقم ISBN 978-3-11-019798-3.
  76. ↑ دليل دراسة لمقرر الرياضيات الأرصادية: آخر مراجعة، 1 فبراير 1943. 1943.
  77. ↑ ماري سيرز؛ دانيال ميريمان؛ مؤسسة وودز هول لعلوم المحيطات (1980). علم المحيطات، الماضي . سبرينغر-فيرلاغ. ISBN 978-0-387-90497-9.
  78. ↑ "معيار JPEG (JPEG ISO/IEC 10918-1 توصية ITU-T T.81)" (ملف PDF) . الاتحاد الدولي للاتصالات . 1993. تم الاطلاع عليه بتاريخ 6 أبريل 2019 .
  79. ↑ كيرستن مالمكير (4 ديسمبر 2009). موسوعة روتليدج اللغوية . روتليدج. ص 1. ISBN  978-1-134-10371-3.
  80. ↑ كامران دادخاه (11 يناير 2011). أسس الاقتصاد الرياضي والحسابي . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 46. ISBN  978-3-642-13748-8.
  81. 1 2 كريستوفر غريفيث ( 12 نوفمبر 2012). تطوير ألعاب فلاش واقعية: كيفية اتباع أفضل الممارسات والحفاظ على سلامة عقلك . دار نشر CRC. ص 153. ISBN  978-1-136-13702-0.
  82. ↑ جون جوزيف غريفين (1841). نظام علم البلورات، مع تطبيقه على علم المعادن . ر. غريفين. ص 119 . 
  83. ^ دوجوبولسكي (يوليو 2002). علم المثلثات I/E سوب . أديسون ويسلي. رقم ISBN 978-0-201-78666-8.
  84. ↑ هيئة تحرير V&S (6 يناير 2015). قاموس الرياضيات الموجز . دار نشر V&S. ص 288. ISBN  978-93-5057-414-0.
  85. 1 2 3 سينثيا ي. يونغ (19 يناير 2010). حساب التفاضل والتكامل التمهيدي . جون وايلي وأولاده. ص 435. ISBN  978-0-471-75684-2.
  86. ↑ رون لارسون (29 يناير 2010). علم المثلثات . سينجايج ليرنينج. ص 331. ISBN  978-1-4390-4907-5.
  87. ↑ بيترسون، جون سي. (2004). الرياضيات التقنية مع حساب التفاضل والتكامل ( طبعة مصورة). سينجايج ليرنينج. ص 856. ISBN   978-0-7668-6189-3.مقتطف من الصفحة 856

فهرس

  • بوير، كارل ب. (1991). تاريخ الرياضيات (  الطبعة الثانية). جون وايلي وأولاده، رقم ISBN 978-0-471-54397-8.
  • نيلسن، كاج ل. (1966). جداول اللوغاريتمات والمثلثات حتى خمسة منازل (  الطبعة الثانية). نيويورك: بارنز أند نوبل . LCCN 61-9103 . 
  • ثورستون، هيو (1996). علم الفلك المبكر . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ISBN 978-0-387-94822-5.

للمزيد من القراءة