التقدم المحوري

في علم الفلك ، التقدم المحوري هو تغيير بطيء ومستمر ناتج عن الجاذبية في اتجاه المحور الدوراني لجسم فلكي . في غياب التقدم، سيظهر مدار الجسم الفلكي توازيًا محوريًا . ^[2] على وجه الخصوص، يمكن أن يشير التقدم المحوري إلى التحول التدريجي في اتجاه محور دوران الأرض في دورة مدتها 26000 عام تقريبًا. ^[1] هذا مشابه لتقدم القمة الدوارة، حيث يتتبع المحور زوجًا من المخاريط المتصلة عند قممها . يشير مصطلح "التقدم" عادةً فقط إلى هذا الجزء الأكبر من الحركة؛ التغييرات الأخرى في محاذاة محور الأرض - التأرجح والحركة القطبية - أصغر بكثير في المقدار.

تاريخيًا، كان يُطلق على تقدم الأرض اسم تقدم الاعتدالين ، لأن الاعتدالين يتحركان غربًا على طول مسار الشمس بالنسبة للنجوم الثابتة ، على عكس الحركة السنوية للشمس على طول مسار الشمس. تاريخيًا، ^[3] عادةً ما يُنسب اكتشاف تقدم الاعتدالين في الغرب إلى عالم الفلك هيبارخوس في القرن الثاني قبل الميلاد . مع التحسينات في القدرة على حساب القوة الجاذبية بين الكواكب خلال النصف الأول من القرن التاسع عشر، تم الاعتراف بأن مسار الشمس نفسه يتحرك قليلاً، والذي سُمي تقدم الكواكب ، في وقت مبكر من عام 1863، بينما سُمي المكون السائد تقدم القمر والشمس . ^[4] سُمي مزيجهما تقدم عام ، بدلاً من تقدم الاعتدالين.

يحدث تقدم القمر والشمس بسبب قوى الجاذبية للقمر والشمس على انتفاخ خط استواء الأرض ، مما يتسبب في تحرك محور الأرض بالنسبة للفضاء القصوري . يحدث تقدم الكواكب (التقدم) بسبب الزاوية الصغيرة بين قوة الجاذبية للكواكب الأخرى على الأرض ومستواها المداري (مسار الشمس)، مما يتسبب في تحرك مستوى مسار الشمس قليلاً بالنسبة للفضاء القصوري. يكون تقدم القمر والشمس أكبر بحوالي 500 مرة من تقدم الكواكب. ^[5] بالإضافة إلى القمر والشمس، تتسبب الكواكب الأخرى أيضًا في حركة صغيرة لمحور الأرض في الفضاء بالقصور الذاتي، مما يجعل التباين في المصطلحات القمرية الشمسية مقابل الكوكبية مضللًا، لذلك في عام 2006 أوصى الاتحاد الفلكي الدولي بإعادة تسمية المكون السائد باسم تقدم خط الاستواء ، وإعادة تسمية المكون الثانوي باسم تقدم مسار الشمس ، ولكن لا يزال يطلق على مجموعتهما اسم التقدم العام. ^[6] توجد العديد من الإشارات إلى المصطلحات القديمة في المنشورات التي سبقت التغيير.

مصطلح " التقدم " مشتق من الكلمة اللاتينية praecedere ("يسبق، يأتي قبل أو قبل"). يمكن رؤية النجوم التي نراها من الأرض وهي تتحرك من الشرق إلى الغرب يوميًا، بسبب الحركة اليومية للأرض ، وسنويًا، بسبب دوران الأرض حول الشمس. في الوقت نفسه، يمكن ملاحظة النجوم وهي تتوقع حدوث مثل هذه الحركة قليلاً، بمعدل 50 ثانية قوسية تقريبًا في السنة، وهي الظاهرة المعروفة باسم "تقدم الاعتدالين".

في وصف هذه الحركة، اختصر علماء الفلك المصطلح عمومًا إلى "التقدم". وفي وصف سبب الحركة، استخدم علماء الفيزياء أيضًا مصطلح "التقدم"، مما أدى إلى بعض الارتباك بين الظاهرة التي يمكن ملاحظتها وسببها، وهو أمر مهم لأنه في علم الفلك، تكون بعض التقدمات حقيقية والبعض الآخر ظاهريًا. وتزداد هذه القضية غموضًا بسبب حقيقة أن العديد من علماء الفلك هم من علماء الفيزياء أو علماء الفيزياء الفلكية.

يستخدم مصطلح "التقدم" في علم الفلك لوصف التقدم الملحوظ للاعتدال (تحرك النجوم عكسيا عبر السماء)، في حين أن مصطلح "التقدم" كما يستخدم في الفيزياء ، يصف عموما عملية ميكانيكية.

إن تقدم محور الأرض له عدد من التأثيرات التي يمكن ملاحظتها. أولاً، يبدو أن مواقع القطبين السماويين الجنوبي والشمالي تتحرك في دوائر على خلفية ثابتة من النجوم في الفضاء، وتكمل دورة واحدة في حوالي 26000 عام. وبالتالي، بينما يقع نجم بولاريس اليوم تقريبًا عند القطب السماوي الشمالي، فإن هذا سيتغير بمرور الوقت، وستصبح النجوم الأخرى " نجم الشمال ". ^[3] في حوالي 3200 عام، سيخلف نجم جاما سيفاي في كوكبة سيفاي نجم بولاريس في هذا الموقع. يفتقر القطب السماوي الجنوبي حاليًا إلى نجم ساطع لتحديد موقعه، ولكن بمرور الوقت سيؤدي التقدم أيضًا إلى تحول النجوم الساطعة إلى نجوم جنوبية . مع تحرك الأقطاب السماوية، يكون هناك تحول تدريجي مماثل في الاتجاه الظاهري لحقل النجوم بالكامل، كما يُرى من موضع معين على الأرض.

ثانيًا، يتغير ببطء موضع الأرض في مدارها حول الشمس عند الانقلابات أو الاعتدالات أو أي وقت آخر محدد بالنسبة للفصول. ^[3] على سبيل المثال، افترض أن موضع مدار الأرض محدد عند الانقلاب الصيفي، عندما يشير الميل المحوري للأرض مباشرة نحو الشمس. بعد مدار كامل، عندما تعود الشمس إلى نفس الموضع الظاهري بالنسبة للنجوم الخلفية، فإن الميل المحوري للأرض ليس الآن مباشرًا نحو الشمس: بسبب تأثيرات التقدم، فهو "أبعد" قليلاً من ذلك. بعبارة أخرى، حدث الانقلاب الشمسي في وقت أبكر قليلاً في المدار. وبالتالي، فإن السنة الاستوائية ، التي تقيس دورة الفصول (على سبيل المثال، الوقت من الانقلاب الصيفي إلى الانقلاب الصيفي، أو الاعتدال إلى الاعتدال)، أقصر بحوالي 20 دقيقة من السنة النجمية ، والتي تُقاس بالموضع الظاهري للشمس بالنسبة للنجوم. بعد حوالي 26000 سنة، يبلغ الفرق عامًا كاملاً، لذا فإن مواقع الفصول بالنسبة للمدار "تعود إلى حيث بدأت". (تؤدي تأثيرات أخرى أيضًا إلى تغيير شكل واتجاه مدار الأرض ببطء، وهذه، جنبًا إلى جنب مع التقدم، تخلق دورات مختلفة من فترات مختلفة؛ انظر أيضًا دورات ميلانكوفيتش . يتغير أيضًا مقدار ميل الأرض، على عكس اتجاهها فقط، ببطء بمرور الوقت، لكن هذا التأثير لا يُعزى مباشرة إلى التقدم.)

ولأسباب مماثلة، يتراجع الموضع الظاهري للشمس بالنسبة لخلفية النجوم في وقت ثابت موسميًا ببطء بمقدار 360 درجة كاملة عبر جميع الأبراج التقليدية الاثني عشر في دائرة الأبراج ، بمعدل حوالي 50.3 ثانية قوسية في السنة، أو درجة واحدة كل 71.6 سنة.

في الوقت الحاضر، يتوافق معدل التقدم مع فترة مقدارها 25772 عامًا، وبالتالي فإن السنة الاستوائية أقصر من السنة النجمية بمقدار 1224.5 ثانية (20 دقيقة و24.5 ثانية ≈ (365.24219 × 86400) / 25772).

إن المعدل نفسه يختلف إلى حد ما مع مرور الوقت (انظر القيم أدناه)، لذلك لا يمكننا القول أنه في غضون 25772 سنة بالضبط سيعود محور الأرض إلى ما هو عليه الآن.

لمزيد من التفاصيل، راجع النجوم القطبية المتغيرة والتحول القطبي وتحول الاعتدالات، أدناه.

يُنسب اكتشاف التقدم عادةً إلى هيبارخوس (190-120 قبل الميلاد) من رودس أو نيقية ، وهو عالم فلك يوناني . ووفقًا لكتاب الماجستي لبطليموس ، قام هيبارخوس بقياس خط طول نجم الأسفنجة وغيره من النجوم الساطعة. وبمقارنة قياساته ببيانات من أسلافه، تيموخاريس (320-260 قبل الميلاد) وأريستلوس (~280 قبل الميلاد)، استنتج أن نجم الأسفنجة تحرك بمقدار درجتين بالنسبة للاعتدال الخريفي . كما قارن بين أطوال السنة الاستوائية (الوقت الذي تستغرقه الشمس للعودة إلى الاعتدال) والسنة النجمية (الوقت الذي تستغرقه الشمس للعودة إلى نجم ثابت)، ووجد تناقضًا طفيفًا. استنتج هيبارخوس أن الاعتدالين يتحركان ("يتقدمان") عبر دائرة البروج، وأن معدل التقدم لا يقل عن درجة واحدة في القرن، أو بعبارة أخرى، إكمال دورة كاملة في ما لا يزيد عن 36000 عام. ^[7]

لقد ضاعت كل كتابات هيبارخوس تقريبًا، بما في ذلك عمله حول التقدم. وقد ذكرها بطليموس، الذي شرح التقدم باعتباره دوران الكرة السماوية حول الأرض الساكنة. ومن المعقول أن نفترض أن هيبارخوس، على غرار بطليموس، كان يفكر في التقدم من منظور مركز الأرض باعتباره حركة السماوات، وليس الأرض.

أول عالم فلك معروف واصل عمل هيبارخوس في التقدم هو بطليموس في القرن الثاني الميلادي. قام بطليموس بقياس خطوط الطول لنجم قلب الأسد والنجم الأقصر والنجوم الساطعة الأخرى باستخدام تنويعة من طريقة هيبارخوس القمرية التي لم تتطلب الكسوف. قبل غروب الشمس، قام بقياس القوس الطولي الذي يفصل القمر عن الشمس. ثم، بعد غروب الشمس، قام بقياس القوس من القمر إلى النجم. استخدم نموذج هيبارخوس لحساب خط طول الشمس، وأجرى تصحيحات لحركة القمر ومنظره . [ 8 ] ^قارن بطليموس ملاحظاته الخاصة بتلك التي أجراها هيبارخوس ومينلاوس الإسكندري وتيموخاريس وأغريبا . وجد أن النجوم تحركت بين زمن هيبارخوس وزمنه (حوالي 265 عامًا) بمقدار 2°40'، أو درجة واحدة في 100 عام (36 بوصة في السنة؛ المعدل المقبول اليوم هو حوالي 50 بوصة في السنة أو درجة واحدة في 72 عامًا). ومع ذلك، فمن المحتمل أن بطليموس وثق ببساطة برقم هيبارخوس بدلاً من إجراء قياساته الخاصة. كما أكد أن التقدم يؤثر على جميع النجوم الثابتة، وليس فقط تلك القريبة من مسار الشمس، وكانت دورته لها نفس فترة 36000 عام مثل دورة هيبارخوس. ^[7]

لم يذكر أغلب المؤلفين القدماء ظاهرة التقدم، وربما لم يكونوا على علم بها. على سبيل المثال، رفض بروكلوس فكرة التقدم، بينما قبل ثيون الإسكندري ، أحد المعلقين على بطليموس في القرن الرابع، تفسير بطليموس. كما ذكر ثيون نظرية بديلة:

"وفقًا لبعض الآراء، يعتقد المنجمون القدماء أنه بدءًا من عصر معين، تتحرك علامات الانقلاب الشمسي بمقدار 8 درجات في ترتيب العلامات، وبعد ذلك تعود بنفس المقدار..." (دراير 1958، ص 204)

بدلاً من المرور عبر تسلسل البروج بالكامل، فإن الاعتدالين "يتأرجحان" ذهابًا وإيابًا على قوس من 8 درجات. يقدم ثيون نظرية التأرجح كبديل للتقدم.

وقد تم تقديم تأكيدات مختلفة بأن ثقافات أخرى اكتشفت التقدم الشمسي بشكل مستقل عن هيبارخوس. ووفقًا للبتاني ، فقد ميز علماء الفلك الكلدانيون بين السنة الاستوائية والسنة النجمية بحيث أصبحوا بحلول عام 330 قبل الميلاد تقريبًا قادرين على وصف التقدم الشمسي، وإن كان بشكل غير دقيق، ولكن مثل هذه الادعاءات تعتبر عمومًا غير مدعومة. ^[9]

تكهنت عالمة الآثار سوزان ميلبراث بأن تقويم العد الطويل لأمريكا الوسطى "الذي يمتد لـ 30 ألف عام ويتضمن الثريا ... ربما كان محاولة لحساب تقدم الاعتدال الربيعي". ^[10] هذا الرأي لا يتبناه سوى عدد قليل من العلماء المحترفين الآخرين في حضارة المايا . ^{[ بحاجة لمصدر ]}

وبالمثل، يزعم البعض أن تقدم الاعتدالين كان معروفًا في مصر القديمة ، قبل عصر هيبارخوس ( العصر البطلمي ). ولا تزال هذه الادعاءات مثيرة للجدال. فقد احتفظ المصريون القدماء بتقويمات دقيقة وسجلوا التواريخ على جدران المعابد، لذا كان من السهل عليهم رسم معدل تقدم الاعتدالين "التقريبي".

يُزعم أن برج دندرة ، وهو خريطة نجمية داخل معبد حتحور في دندرة ، يسجل تقدم الاعتدالين. ^[11] على أي حال، إذا كان المصريون القدماء يعرفون تقدم الاعتدالين، فإن معرفتهم لم يتم تسجيلها على هذا النحو في أي من نصوصهم الفلكية الباقية.

كتب مايكل رايس، وهو كاتب مشهور عن مصر القديمة، أن المصريين القدماء لابد وأنهم لاحظوا تقدم الشمس، ^[12] واقترح أن هذا الوعي كان له تأثيرات عميقة على ثقافتهم. ^[13] وأشار رايس إلى أن المصريين أعادوا توجيه المعابد استجابة لتقدم النجوم المرتبطة بها. ^[14]

قبل عام 1200، كان لدى الهند نظريتان للارتعاش ، واحدة بمعدل وأخرى بدون معدل، والعديد من النماذج ذات الصلة بالتقدم. كان لكل منها تغييرات أو تصحيحات طفيفة من قبل العديد من المعلقين. كان السائد من الثلاثة هو الارتعاش الذي وصفته أطروحة الفلك الهندية الأكثر احترامًا، سوريا سيدهانتا (3: 9-12)، التي تم تأليفها حوالي عام  400 ولكن تم مراجعتها خلال القرون القليلة التالية. لقد استخدمت حقبة نجمية، أو أيانامسا ، والتي لا تزال تستخدمها جميع التقويمات الهندية ، وتختلف على طول مسار الشمس من 19 درجة و11 دقيقة إلى 23 درجة و51 دقيقة، اعتمادًا على المجموعة التي تمت استشارتها. ^[15] يتسبب هذا الحقبة في بدء السنوات التقويمية الهندية التي تبلغ حوالي 30 عامًا بعد 23 إلى 28 يومًا من الاعتدال الربيعي الحديث . يتأرجح اعتدال مارس لسوريا سيدهانتا بمقدار 27 درجة في كلا الاتجاهين من الحقبة النجمية. وهكذا تحرك الاعتدال 54 درجة في اتجاه واحد ثم عاد 54 درجة في الاتجاه الآخر. واستغرقت هذه الدورة 7200 سنة لتكتمل بمعدل 54 بوصة/سنة. وتزامن الاعتدال مع العصر في بداية كالي يوغا في −3101 ومرة ​​أخرى بعد 3600 سنة في 499. وتغير الاتجاه من تقدم إلى تراجع في منتصف الطريق بين هذه السنوات في −1301 عندما وصل إلى أقصى انحراف له عند 27 درجة، وظل رجعيًا، وهو نفس اتجاه التقدم الحديث، لمدة 3600 سنة حتى عام 2299. ^{[16] [17] : 29–30}

وقد وصف فاراهاميرا ( حوالي عام  550 ) نوعًا آخر من الخوف. وكان خوفه يتكون من قوس بزاوية 46°40′ في اتجاه واحد وعودة إلى نقطة البداية. وقد تم تحديد نصف هذا القوس، 23°20′، بأقصى انحراف للشمس على جانبي خط الاستواء عند الانقلابات. ولكن لم يتم تحديد أي فترة، وبالتالي لا يمكن التأكد من المعدل السنوي. ^{[17] : 27–28}

وقد وصف العديد من المؤلفين التقدم بأنه يقترب من 200000  دورة في كالبا مدتها 4,320,000,000  سنة، وهو ما يمثل معدل ⁠200000×360×3600/4,320,000,000⁠  = 60″/سنة. ربما انحرفوا عن 200000  دورة حتى جعلوا التقدم التراكمي صفرًا بالقرب من 500. يذكر فيسنوتشاندرا ( حوالي  550-600  ) 189411 دورة في كالبا أو 56.8″/سنة. يذكر بهاسكارا الأول ( حوالي  600-680 ) [1]94110  دورة في كالبا أو 58.2″/سنة. يذكر بهاسكارا الثاني ( حوالي  1150 ) 199699  دورة في كالبا أو 59.9″/سنة. ^{[17] : 32-33}

كان يو شي (القرن الرابع الميلادي) أول عالم فلك صيني يذكر التقدم. وقد قدر معدل التقدم بـ 1 درجة في 50 عامًا. ^[18]

في علم الفلك الإسلامي في العصور الوسطى ، كان يُعرف التقدم على أساس كتاب الماجستي لبطليموس ، ومن خلال الملاحظات التي صقلت القيمة.

يذكر البتاني في كتابه زيج الصابئي حساب هيبارخوس للتقدم، وقيمة بطليموس لدرجة واحدة لكل 100 سنة شمسية، ويقول أنه قاس التقدم فوجد أنه درجة واحدة لكل 66 سنة شمسية. ^[19]

وبعد ذلك، يذكر الصوفي في كتابه النجوم الثابتة نفس القيم التي حددها بطليموس للتقدم وهي درجة واحدة لكل 100 سنة شمسية. ثم يقتبس قيمة مختلفة من زيج الممتحنة ، الذي تم في عهد المأمون، وهي درجة واحدة لكل 66 سنة شمسية. كما يقتبس زيج الصابئي المذكور للبتاني لضبط إحداثيات النجوم بمقدار 11 درجة و10 دقائق قوسية لمراعاة الفرق بين زمن البتاني وبطليموس. ^[20]

وفي وقت لاحق، حدد الزيج الإلخاني ، الذي تم تجميعه في مرصد مراغة ، تقدم الاعتدالين عند 51 ثانية قوسية في السنة، وهو قريب جدًا من القيمة الحديثة البالغة 50.2 ثانية قوسية. ^[21]

في العصور الوسطى، عالج علماء الفلك الإسلاميون والمسيحيون اللاتينيون "الارتعاش" باعتباره حركة للنجوم الثابتة تضاف إلى التقدم. تُنسب هذه النظرية عادةً إلى عالم الفلك العربي ثابت بن قرة ، لكن هذا الإسناد كان محل نزاع في العصر الحديث. نشر نيكولاس كوبرنيكوس رواية مختلفة عن الارتعاش في كتابه De revolutionibus orbium coelestium (1543). يقدم هذا العمل أول إشارة محددة إلى التقدم كنتيجة لحركة محور الأرض. وصف كوبرنيكوس التقدم بأنه الحركة الثالثة للأرض. ^[22]

بعد أكثر من قرن من الزمان، شرح إسحاق نيوتن في كتابه المبادئ الرياضية للفلسفة الطبيعية (1687) التقدم كنتيجة للجاذبية . ^[23] ومع ذلك، لم تنجح معادلات التقدم الأصلية لنيوتن، وتمت مراجعتها بشكل كبير من قبل جان لورون دالمبير والعلماء اللاحقين.

وقد ذكر هيبارخوس اكتشافه في كتابه "حول إزاحة نقاط الانقلاب والاعتدال" (الموصوف في الماجستي III.1 وVII.2). وقد قام بقياس خط طول مسار الشمس لنجم سبيكا أثناء خسوف القمر ووجد أنه كان على بعد حوالي 6 درجات غرب الاعتدال الخريفي . وبمقارنة قياساته الخاصة بقياسات تيموخاريس الإسكندري (المعاصر لإقليدس ، الذي عمل مع أريستلوس في أوائل القرن الثالث قبل الميلاد)، وجد أن خط طول سبيكا قد انخفض بنحو درجتين في غضون ذلك الوقت (لم يتم ذكر السنوات الدقيقة في الماجستي ). كما قدم بطليموس في VII.2 ملاحظات أكثر دقة لنجمين، بما في ذلك Spica، وخلص إلى أنه في كل حالة حدث تغير بمقدار 2° 40' بين 128 قبل الميلاد و139 بعد الميلاد. وبالتالي، 1° لكل قرن أو دورة كاملة في 36000 عام، أي فترة تقدم هيبارخوس كما ذكرها بطليموس؛ راجع الصفحة 328 في ترجمة تومر لكتاب الماجستي، طبعة 1998. كما لاحظ هذه الحركة في نجوم أخرى. وتكهن بأن النجوم القريبة من البروج فقط هي التي تتحرك بمرور الوقت. أطلق بطليموس على هذا "فرضيته الأولى" ( Almagest VII.1)، لكنه لم يذكر أي فرضية لاحقة ربما ابتكرها هيبارخوس. ويبدو أن هيبارخوس حد من تكهناته، لأنه لم يكن لديه سوى عدد قليل من الملاحظات القديمة، والتي لم تكن موثوقة للغاية.

نظرًا لأن نقاط الاعتدال غير محددة في السماء، احتاج هيبارخوس إلى القمر كنقطة مرجعية؛ استخدم خسوف القمر لقياس موضع النجم. كان هيبارخوس قد طور بالفعل طريقة لحساب خط طول الشمس في أي لحظة. يحدث خسوف القمر أثناء اكتمال القمر ، عندما يكون القمر في المعارضة ، على بعد 180 درجة بالضبط من الشمس. يُعتقد أن هيبارخوس قد قاس القوس الطولي الذي يفصل سبيكا عن القمر. إلى هذه القيمة، أضاف خط الطول المحسوب للشمس، بالإضافة إلى 180 درجة لخط طول القمر. لقد فعل نفس الإجراء مع بيانات تيموخاريس. ^[24] بالمناسبة، تعد الملاحظات مثل هذه الكسوفات المصدر الرئيسي للبيانات حول وقت عمل هيبارخوس، نظرًا لأن المعلومات السيرة الذاتية الأخرى عنه ضئيلة. على سبيل المثال، حدث خسوف القمر الذي لاحظه في 21 أبريل 146 قبل الميلاد، و21 مارس 135 قبل الميلاد. ^[25]

درس هيبارخوس أيضًا التقدم في كتابه "حول طول العام" . هناك نوعان من السنة مهمان لفهم عمله. السنة الاستوائية هي طول الوقت الذي تستغرقه الشمس، كما تُرى من الأرض، للعودة إلى نفس الموضع على طول مسار الشمس (مسارها بين النجوم في الكرة السماوية). السنة النجمية هي طول الوقت الذي تستغرقه الشمس للعودة إلى نفس الموضع بالنسبة لنجوم الكرة السماوية. يتسبب التقدم في تغيير النجوم لخط طولها قليلاً كل عام، وبالتالي فإن السنة النجمية أطول من السنة الاستوائية. باستخدام ملاحظات الاعتدالات والانقلابات الشمسية، وجد هيبارخوس أن طول السنة الاستوائية كان 365 + 1/4 - 1/300 يومًا، أو 365.24667 يومًا (إيفانز 1998، ص 209). وبمقارنة هذا بطول السنة النجمية، حسب أن معدل التقدم لم يكن أقل من 1 درجة في القرن. ومن خلال هذه المعلومات، من الممكن حساب أن قيمته للسنة النجمية كانت 365+1/4+1/144 يومًا. ^[26] ومن خلال إعطاء معدل أدنى، ربما كان يسمح بأخطاء في الملاحظة.

لتقريب عامه المداري، ابتكر هيبارخوس تقويمه القمري الشمسي الخاص به عن طريق تعديل تقويمي ميتون وكاليبوس في كتابه "الأشهر والأيام الإضافية " (المفقود الآن)، كما وصفه بطليموس في الماجستي III.1. ^[27] استخدم التقويم البابلي دورة من 235 شهرًا قمريًا في 19 عامًا منذ عام 499 قبل الميلاد (مع ثلاثة استثناءات فقط قبل عام 380 قبل الميلاد)، لكنه لم يستخدم عددًا محددًا من الأيام. خصصت الدورة الميتونية (432 قبل الميلاد) 6940 يومًا لهذه الأعوام التسعة عشر مما أدى إلى إنتاج عام متوسط ​​يبلغ 365 + 1/4 + 1/76 أو 365.26316 يومًا. أسقطت دورة كاليبيك (330 قبل الميلاد) يومًا واحدًا من أربع دورات ميتونية (76 عامًا) لعام متوسط ​​يبلغ 365 + 1/4 أو 365.25 يومًا. أسقط هيبارخوس يومًا آخر من دورات كاليبي الأربعة (304 عامًا)، مما أدى إلى إنشاء دورة هيبارخوس بمتوسط ​​عام 365 + 1/4 - 1/304 أو 365.24671 يومًا، وهو ما كان قريبًا من عامه الاستوائي 365 + 1/4 - 1/300 أو 365.24667 يومًا.

توجد توقيعات هيبارخوس الرياضية في آلية أنتيكيثيرا ، وهو كمبيوتر فلكي قديم يعود للقرن الثاني قبل الميلاد. تعتمد الآلية على السنة الشمسية، والدورة الميتونية، وهي الفترة التي يظهر فيها القمر في نفس المكان في السماء بنفس الطور (يظهر القمر المكتمل في نفس الموضع في السماء في حوالي 19 عامًا)، ودورة كاليبيك (وهي أربع دورات ميتونية وأكثر دقة)، ودورة ساروس ، ودورات إكسيليجموس (ثلاث دورات ساروس للتنبؤ الدقيق بالكسوف). أظهرت دراسة آلية أنتيكيثيرا أن القدماء استخدموا تقويمات دقيقة للغاية تعتمد على جميع جوانب الحركة الشمسية والقمرية في السماء. في الواقع، تصور آلية القمر التي تعد جزءًا من آلية أنتيكيثيرا حركة القمر ومرحلته، لفترة زمنية معينة، باستخدام سلسلة من أربع تروس مع جهاز دبوس وفتحة يعطي سرعة قمرية متغيرة قريبة جدًا من قانون كبلر الثاني . أي أنها تأخذ في الاعتبار الحركة السريعة للقمر عند الحضيض والحركة البطيئة عند الأوج .

من نتائج التقدم النجم القطبي المتغير . حاليًا، يُعد نجم الشمال مناسبًا للغاية لتحديد موقع القطب السماوي الشمالي، حيث يُعد نجم الشمال نجمًا متوسط ​​السطوع مع قدر مرئي يبلغ 2.1 (متغير)، ويقع على بعد درجة واحدة تقريبًا من القطب، ولا توجد نجوم ذات سطوع مماثل قريبة جدًا. ^[28]

كان نجم القطب السابق هو كوتشاب (بيتا الدب الأصغر، β UMi، β Ursae Minoris)، وهو ألمع نجم في وعاء "الدب الأصغر"، ويقع على بعد 16 درجة من نجم الشمال. وقد لعب هذا الدور من عام 1500 قبل الميلاد إلى عام 500 بعد الميلاد. ^[29] لم يكن دقيقًا تمامًا في عصره كما هو الحال مع نجم الشمال اليوم. ^[29] يُشار اليوم إلى كوتشاب وجاره فيركاد باسم "حراس القطب" (أي نجم الشمال). ^[29]

من ناحية أخرى، فإن نجم الثعبان في كوكبة التنين ، والذي كان نجم القطب في عام 3000 قبل الميلاد، أقل وضوحًا بكثير عند القدر 3.67 (خمس سطوع نجم الشمال)؛ وهو اليوم غير مرئي في سماء المدن الملوثة بالضوء .

وعندما يصبح نجم الشمال مرة أخرى حوالي عام 27800 قبل الميلاد، فإنه سوف يكون أبعد عن القطب عما هو عليه الآن بسبب حركته الخاصة ، بينما في عام 23600 قبل الميلاد كان أقرب إلى القطب.

من الصعب العثور على القطب السماوي الجنوبي في السماء في هذه اللحظة، حيث أن هذه المنطقة هي جزء باهت بشكل خاص من السماء. نجم القطب الجنوبي الاسمي هو سيجما أوكتانتيس ، والذي بالكاد يمكن رؤيته بالعين المجردة حتى في ظل الظروف المثالية مع قدره ظاهري 5.5. ومع ذلك، سيتغير هذا من القرنين الثمانين إلى التسعين، عندما يمر القطب السماوي الجنوبي عبر الصليب الكاذب .

يمكن رؤية هذا الوضع أيضًا على خريطة النجوم. يتحرك اتجاه القطب الجنوبي نحو كوكبة الصليب الجنوبي . على مدى 2000 عام أو نحو ذلك، كان الصليب الجنوبي يشير إلى القطب السماوي الجنوبي. ونتيجة لذلك، يصعب رؤية الكوكبة من خطوط العرض الشمالية شبه الاستوائية، على عكس زمن الإغريق القدماء . يمكن رؤية الصليب الجنوبي من أقصى الشمال حتى ميامي (حوالي 25 درجة شمالاً)، ولكن فقط خلال فصل الشتاء/أوائل الربيع.

تحاول الصور الموجودة على اليمين شرح العلاقة بين تقدم محور الأرض وتحول الاعتدالين. تُظهر هذه الصور موضع محور الأرض على الكرة السماوية ، وهي كرة وهمية تضع النجوم وفقًا لمواقعها كما تُرى من الأرض، بغض النظر عن المسافة الفعلية بينها. تُظهر الصورة الأولى الكرة السماوية من الخارج، مع الأبراج في صورة معكوسة. تُظهر الصورة الثانية منظور موضع قريب من الأرض كما يُرى من خلال عدسة ذات زاوية واسعة جدًا (ينشأ عنها التشوه الواضح).

يصف محور دوران الأرض، على مدى فترة 25700 عام، دائرة زرقاء صغيرة بين النجوم بالقرب من أعلى الرسم التخطيطي، ومركزها القطب الشمالي لمسار الشمس ( الحرف الأزرق E ) ونصف قطرها الزاوي حوالي 23.4 درجة، وهي الزاوية المعروفة باسم ميل مسار الشمس . يكون اتجاه التقدم معاكسًا للدوران اليومي للأرض حول محورها. كان المحور البني هو محور دوران الأرض قبل 5000 عام، عندما كان يشير إلى النجم ثوبان . المحور الأصفر، الذي يشير إلى نجم الشمال، يمثل المحور الآن.

تحدث الاعتدالات حيث يتقاطع خط الاستواء السماوي مع مسار الشمس (الخط الأحمر)، أي حيث يكون محور الأرض عموديًا على الخط الذي يربط بين مركزي الشمس والأرض. يشير مصطلح "الاعتدال" هنا إلى نقطة على الكرة السماوية كما هو محدد، وليس اللحظة الزمنية التي تكون فيها الشمس فوق خط الاستواء (على الرغم من أن المعنيين مرتبطان). عندما يتحرك المحور من اتجاه إلى آخر، يتحرك المستوى الاستوائي للأرض (المشار إليه بالشبكة الدائرية حول خط الاستواء). خط الاستواء السماوي هو مجرد خط استواء الأرض المسقط على الكرة السماوية، لذلك يتحرك مع تحرك المستوى الاستوائي للأرض، ويتحرك التقاطع مع مسار الشمس معه. لا تتغير مواقع الأقطاب وخط الاستواء على الأرض ، فقط اتجاه الأرض مقابل النجوم الثابتة.

كما يظهر من الشبكة البنية ، قبل 5000 سنة، كان الاعتدال الربيعي قريبًا من نجم الدبران في برج الثور . أما الآن، وكما يظهر من الشبكة الصفراء، فقد انتقل (كما هو موضح بالسهم الأحمر ) إلى مكان ما في كوكبة الحوت .

الصور الثابتة مثل هذه ما هي إلا تقريبات أولية، لأنها لا تأخذ في الاعتبار السرعة المتغيرة للتقدم، والانحراف المتغير لمسار الشمس، والتقدم الكوكبي (وهو دوران بطيء لمستوى مسار الشمس نفسه، حاليًا حول محور يقع على المستوى، بخط طول 174.8764 درجة) والحركات الخاصة للنجوم.

يتم إعطاء العصور التقدمية لكل كوكبة، والتي غالبًا ما تُعرف باسم " الأشهر العظيمة "، بشكل تقريبي، في الجدول أدناه: ^[30]

كوكبة	سنة تقريبية
	دخول	الخروج
برج الثور	4500 قبل الميلاد	2000 قبل الميلاد
بُرْجُ الحَمَل	2000 قبل الميلاد	100 قبل الميلاد
الحوت	100 قبل الميلاد	2700 م

يحدث تقدم الاعتدالين بسبب قوى الجاذبية للشمس والقمر ، وبدرجة أقل قوى الجاذبية للأجسام الأخرى على الأرض. وقد تم تفسير ذلك لأول مرة من قبل السير إسحاق نيوتن . ^[31]

إن التقدم المحوري يشبه التقدم الذي يحدثه الدوران الدائري. وفي كلتا الحالتين، تكون القوة المطبقة نتيجة للجاذبية. وبالنسبة للدوران الدائري، تميل هذه القوة إلى أن تكون موازية تقريبًا لمحور الدوران في البداية وتزداد مع تباطؤ الدوران. أما بالنسبة للجيروسكوب الموضوع على حامل، فيمكن أن تقترب من 90 درجة. أما بالنسبة للأرض، فإن القوى المطبقة من الشمس والقمر تكون أقرب إلى العمودية على محور الدوران.

الأرض ليست كرة مثالية بل هي كروية مفلطحة ، قطرها الاستوائي أكبر من قطرها القطبي بحوالي 43 كيلومترًا. وبسبب ميل محور الأرض ، فإن نصف هذا الانتفاخ الأقرب إلى الشمس يكون خارج المركز، إما إلى الشمال أو إلى الجنوب، والنصف البعيد يكون خارج المركز على الجانب الآخر خلال معظم العام. تكون قوة الجاذبية على النصف الأقرب أقوى، لأن الجاذبية تقل مع مربع المسافة، لذلك فإن هذا يخلق عزم دوران صغيرًا على الأرض حيث تسحب الشمس بقوة أكبر على أحد جانبي الأرض أكثر من الجانب الآخر. يكون محور هذا العزم عموديًا تقريبًا على محور دوران الأرض، لذا فإن محور الدوران يتحرك بحركة تقدمية . إذا كانت الأرض كرة مثالية، فلن يكون هناك حركة تقدمية.

هذا العزم المتوسط ​​يكون عموديًا على الاتجاه الذي يميل فيه محور الدوران بعيدًا عن القطب الكسوفي، بحيث لا يغير الميل المحوري نفسه. يختلف حجم عزم الدوران من الشمس (أو القمر) مع الزاوية بين اتجاه محور دوران الأرض واتجاه الجاذبية. يقترب من الصفر عندما يكونان عموديين. على سبيل المثال، يحدث هذا عند الاعتدالين في حالة التفاعل مع الشمس. يمكن ملاحظة ذلك لأن النقاط القريبة والبعيدة تتماشى مع الجاذبية، لذلك لا يوجد عزم دوران بسبب الاختلاف في الجاذبية.

على الرغم من أن التفسير المذكور أعلاه يتعلق بالشمس، فإن التفسير نفسه ينطبق على أي جسم يتحرك حول الأرض، على طول مسار الشمس أو بالقرب منه، ولا سيما القمر. يُطلق على العمل المشترك للشمس والقمر اسم تقدم القمر والشمس. بالإضافة إلى الحركة التقدمية الثابتة (التي تؤدي إلى دورة كاملة في حوالي 25700 عام)، تتسبب الشمس والقمر أيضًا في اختلافات دورية صغيرة، بسبب تغيير مواقعهما. تُعرف هذه التذبذبات، في كل من سرعة التقدم والميل المحوري، باسم التذبذب . المصطلح الأكثر أهمية له فترة 18.6 عامًا وسعة 9.2 ثانية قوسية. ^[32]

بالإضافة إلى التقدم القمري الشمسي، فإن تصرفات الكواكب الأخرى في النظام الشمسي تتسبب في دوران مسار الشمس بالكامل ببطء حول محور يبلغ طول مساره الشمسي حوالي 174 درجة مقاسًا على مسار الشمس اللحظي. ويعادل هذا التحول في التقدم الكوكبي دورانًا لمستوى مسار الشمس بمقدار 0.47 ثانية قوسية في السنة (أصغر من التقدم القمري الشمسي بأكثر من مائة مرة). ويُعرف مجموع التقدمين بالتقدم العام.

يتم التعبير عن قوة المد والجزر على الأرض بسبب جسم مضطرب (الشمس أو القمر أو الكوكب) من خلال قانون نيوتن للجاذبية العامة ، حيث يقال إن قوة جاذبية الجسم المضطرب على جانب الأرض الأقرب تكون أكبر من قوة الجاذبية على الجانب البعيد بمقدار يتناسب مع الفرق في مكعبات المسافات بين الجانبين القريب والبعيد. إذا تم طرح قوة جاذبية الجسم المضطرب المؤثرة على كتلة الأرض ككتلة نقطية في مركز الأرض (والتي توفر القوة المركزية التي تسبب الحركة المدارية) من قوة جاذبية الجسم المضطرب في كل مكان على سطح الأرض، يمكن اعتبار ما تبقى قوة مد وجزر. وهذا يعطي فكرة متناقضة عن قوة تعمل بعيدًا عن القمر الصناعي ولكنها في الواقع مجرد قوة أقل تجاه ذلك الجسم بسبب التدرج في مجال الجاذبية. بالنسبة للتقدم، يمكن تجميع قوة المد والجزر هذه في قوتين تعملان فقط على الانتفاخ الاستوائي خارج نصف القطر الكروي المتوسط. يمكن تحليل هذا الزوج إلى زوجين من المكونات، زوج موازٍ لمستوى خط استواء الأرض باتجاه وبعيدًا عن الجسم المضطرب الذي يلغي كل منهما الآخر، وزوج آخر موازٍ لمحور دوران الأرض، وكلاهما باتجاه المستوى الكسوفي . ^{[33] يخلق الزوج الأخير من القوى} متجه عزم الدوران التالي على الانتفاخ الاستوائي للأرض: ^[5]

${\displaystyle {\overrightarrow {T}}={\frac {3GM}{r^{3}}}(CA)\sin \delta \cos \delta {\begin{pmatrix}\sin \alpha \\-\cos \alpha \\0\end{pmatrix}}}$

أين

GM ، معامل الجاذبية القياسي للجسم المضطرب

ر ، المسافة مركزية الأرض إلى الجسم المضطرب

ج ، عزم القصور الذاتي حول محور دوران الأرض

أ ، عزم القصور الذاتي حول أي قطر استوائي للأرض

C − A ، عزم القصور الذاتي للانتفاخ الاستوائي للأرض ( C > A )

δ ، انحراف الجسم المضطرب (شمال أو جنوب خط الاستواء)

α ، المطلع المستقيم للجسم المضطرب (شرقًا من اعتدال مارس ).

متجهات الوحدة الثلاثة لعزم الدوران في مركز الأرض (من الأعلى إلى الأسفل) هي x على خط داخل المستوى الاستوائي للأرض مع المستوى الاستوائي للشمس) موجه نحو الاعتدال الربيعي، و y على خط في المستوى الاستوائي للشمس موجه نحو الانقلاب الصيفي (90 درجة شرق x )، و z على خط موجه نحو القطب الشمالي للمسار الشمسي.

قيمة الحدود الجيبية الثلاثة في اتجاه x (sin δ cos δ sin α ) للشمس هي شكل موجة جيب مربع تتراوح من الصفر عند الاعتدالين (0 درجة، 180 درجة) إلى 0.36495 عند الانقلابين (90 درجة، 270 درجة). القيمة في اتجاه y (sin δ cos δ (−cos α )) للشمس هي موجة جيبية تتراوح من الصفر عند الاعتدالات الأربعة والانقلابات الأربعة إلى ±0.19364 (أكثر بقليل من نصف ذروة جيب التربيع) في منتصف الطريق بين كل اعتدال وانقلاب شمسي مع قمم منحرفة قليلاً نحو الاعتدالات (43.37 درجة (−)، 136.63 درجة (+)، 223.37 درجة (−)، 316.63 درجة (+)). كلا الشكلين الموجيين الشمسيين لهما نفس السعة من الذروة إلى الذروة ونفس الفترة، نصف دورة أو نصف عام. القيمة في اتجاه z هي صفر.

متوسط ​​عزم الدوران للموجة الجيبية في اتجاه y يساوي صفرًا بالنسبة للشمس أو القمر، لذا فإن هذا المكون من عزم الدوران لا يؤثر على التقدم. متوسط ​​عزم الدوران لموجة الجيب التربيعية في اتجاه x بالنسبة للشمس أو القمر هو:

${\displaystyle T_{x}={\frac {3}{2}}{\frac {GM}{a^{3}\left(1-e^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}(CA)\sin \epsilon \cos \epsilon }$

أين

${\displaystyle أ}$، شبه المحور الرئيسي لمدار الأرض (الشمس) أو مدار القمر

هـ ، انحراف مدار الأرض (الشمس) أو مدار القمر

ويمثل 1/2 متوسط ​​شكل موجة الجيب التربيعي، ويمثل متوسط ​​المسافة المكعبة للشمس أو القمر من الأرض على مدار بيضاوي كامل، ^[34] وε (الزاوية بين المستوى الاستوائي والمستوى الكسوفي) هي القيمة القصوى لـ δ للشمس والقيمة القصوى المتوسطة للقمر على مدى دورة كاملة مدتها 18.6 سنة. ${\displaystyle a^{3}\left(1-e^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}$

التقدم هو:

${\displaystyle {\frac {d\psi }{dt}}={\frac {T_{x}}{C\omega \sin \epsilon }}}$

حيث ω هي السرعة الزاوية للأرض و Cω هي الزخم الزاوي للأرض . وبالتالي فإن المكون الأول من الترتيب للتقدم بسبب الشمس هو: ^[5]

${\displaystyle {\frac {d\psi _{S}}{dt}}={\frac {3}{2}}\left[{\frac {GM}{a^{3}\left(1-e^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right]_{S}\left[{\frac {C-A}{C}}{\frac {\cos \epsilon }{\omega }}\right]_{E}}$

في حين أن ذلك بسبب القمر هو:

${\displaystyle {\frac {d\psi _{L}}{dt}}={\frac {3}{2}}\left[{\frac {GM\left(1-1.5\sin ^{2}i\right)}{a^{3}\left(1-e^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right]_{L}\left[{\frac {C-A}{C}}{\frac {\cos \epsilon }{\omega }}\right]_{E}}$

حيث i هي الزاوية بين مستوى مدار القمر ومستوى مسار الشمس. في هاتين المعادلتين، تكون معلمات الشمس بين قوسين مربعين تسمى S، وتكون معلمات القمر بين قوسين مربعين تسمى L، وتكون معلمات الأرض بين قوسين مربعين تسمى E. يفسر المصطلح ميل مدار القمر بالنسبة لمسار الشمس. المصطلح ( C − A )/ C هو الإهليلجية الديناميكية للأرض أو التسطيح ، والذي يتم تعديله وفقًا للتقدم الملحوظ لأن البنية الداخلية للأرض غير معروفة بتفاصيل كافية. إذا كانت الأرض متجانسة، فإن المصطلح يساوي ثالث انحراف مركزي لها ، ^[35]${\displaystyle \left(1-1.5\sin ^{2}i\right)}$

${\displaystyle e''^{2}={\frac {\mathrm {a} ^{2}-\mathrm {c} ^{2}}{\mathrm {a} ^{2}+\mathrm {c} ^{2}}}}$

حيث a هو نصف القطر الاستوائي (6 378 137  م ) و c هو نصف القطر القطبي (6 356 752  م )، لذا e ² = 0.003358481 .

المعلمات القابلة للتطبيق لـ J2000.0 مقربة إلى سبعة أرقام مهمة (باستثناء الرقم 1 الرئيسي) هي: ^{[36] [37]}

شمس	قمر	أرض
جم = 1.3271244 × 1020 م 3 /ثانية 2	جم = 4.902799 × 1012 م 3 /ثانية 2	( ج − أ )/ ج = 0.003273763
	أ = 3.833978 × 108 م	أ = 1.4959802 × 1011 م
	هـ = 0.05554553	هـ = 0.016708634
	i = 5.156690 درجة	ε = 23.43928 درجة
		ω = 7.292115 × 10 −5 راد/ثانية

التي تعطي

dψ _S /dt = 2.450183 × 10 ⁻¹² /s

دψ _L /dt = 5.334529 × 10 ⁻¹² /s

يجب تحويل كل منهما إلى ″/a (ثانية قوسية/سنة) بعدد الثواني القوسية في 2 π راديان (1.296 × 10⁶ ″/2π) وعدد الثواني في السنة الواحدة ( السنة الجوليانية ) (3.15576 × 10⁷ ثانية/أ):

dψ _S /dt = 15.948788″/a مقابل 15.948870″/a من ويليامز ^[5]

dψ _L /dt = 34.723638″/a مقابل 34.457698″/a من ويليامز.

المعادلة الشمسية تمثل بشكل جيد التقدم بسبب الشمس لأن مدار الأرض قريب من القطع الناقص، ولا يضطرب إلا قليلاً بسبب الكواكب الأخرى. المعادلة القمرية ليست تمثيلاً جيدًا للتقدم بسبب القمر لأن مدار القمر مشوه بشكل كبير بسبب الشمس ولا يكون نصف القطر ولا الانحراف ثابتين على مدار العام.

أعطى حساب سيمون نيوكومب في نهاية القرن التاسع عشر للتقدم العام ( p ) في خط الطول قيمة 5025.64 ثانية قوسية لكل قرن استوائي، وكانت القيمة المقبولة عمومًا حتى قدمت الأقمار الصناعية ملاحظات أكثر دقة وسمحت أجهزة الكمبيوتر الإلكترونية بحساب نماذج أكثر تفصيلاً. طور جاي هنري ليسكي نظرية محدثة في عام 1976، حيث يساوي p 5029.0966 ثانية قوسية (أو 1.3969713 درجة) لكل قرن جولياني. سمحت التقنيات الحديثة مثل VLBI و LLR بمزيد من التحسينات، وتبنى الاتحاد الفلكي الدولي قيمة ثابتة جديدة في عام 2000، وطرق حسابية جديدة وتعبيرات متعددة الحدود في عامي 2003 و2006؛ التقدم المتراكم هو: ^[38]

p _A = 5,028.796195  T + 1.1054348  T ² + حدود من الدرجة الأعلى، بالثواني القوسية، حيث T ، الوقت بالقرون الجوليانية (أي 36,525 يومًا) منذ عصر 2000 .

معدل التقدم هو المشتق من ذلك:

ص = 5,028.796195 + 2.2108696  ت + حدود من الدرجة الأعلى.

يتوافق المصطلح الثابت لهذه السرعة (5028.796195 ثانية قوسية لكل قرن في المعادلة أعلاه) مع دورة تقدم كاملة في 25771.57534 عامًا (دائرة كاملة من 360 درجة مقسومة على 50.28796195 ثانية قوسية في السنة) ^[38] على الرغم من أن بعض المصادر الأخرى وضعت القيمة عند 25771.4 عامًا، مما يترك القليل من عدم اليقين.

معدل التقدم ليس ثابتًا، ولكنه (في الوقت الحالي) يتزايد ببطء بمرور الوقت، كما هو موضح بواسطة الحدود الخطية (والأعلى مرتبة) في T. في كل الأحوال، يجب التأكيد على أن هذه الصيغة صالحة فقط على مدى فترة زمنية محدودة . إنه تعبير متعدد الحدود يركز على بيانات J2000، وملائم تجريبياً للبيانات الرصدية، وليس على نموذج حتمي للنظام الشمسي . من الواضح أنه إذا أصبح T كبيرًا بما يكفي (بعيدًا في المستقبل أو بعيدًا في الماضي)، فسوف يهيمن مصطلح T ² وستصل p إلى قيم كبيرة جدًا. في الواقع، تُظهر الحسابات الأكثر تفصيلاً على النموذج العددي للنظام الشمسي أن معدل التقدم له فترة تبلغ حوالي 41000 عام، وهي نفس فترة ميل مسار الشمس. أي،

ص = أ + ب ت + ك ت ² + …

هو تقريب لـ

p = a + b sin (2π T / P )، حيث P هي فترة الـ 41000 سنة.

قد تحسب النماذج النظرية الثوابت (المعاملات) المقابلة للقوى الأعلى لـ T ، ولكن نظرًا لأنه من المستحيل أن يتطابق كثير الحدود مع دالة دورية على جميع الأرقام، فإن الفرق في جميع هذه التقريبات سينمو بلا حدود مع زيادة T. يمكن الحصول على دقة كافية على مدى فترة زمنية محدودة من خلال ملاءمة كثير حدود من الدرجة العالية بما يكفي لبيانات المراقبة، بدلاً من نموذج عددي ديناميكي غير كامل بالضرورة. ^{[ يحتاج إلى توضيح ]} بالنسبة لحسابات مسارات الطيران الحالية للأقمار الصناعية والمركبات الفضائية، فإن طريقة كثير الحدود تعطي دقة أفضل. في هذا الصدد، اختار الاتحاد الفلكي الدولي أفضل نظرية متطورة متاحة. لمدة تصل إلى بضعة قرون في الماضي والمستقبل، لا تتباعد أي من الصيغ المستخدمة كثيرًا. لمدة تصل إلى بضعة آلاف من السنين في الماضي والمستقبل، تتفق معظمها على بعض الدقة. بالنسبة للعصور الأبعد، تصبح التناقضات كبيرة للغاية - قد لا يتم حساب المعدل الدقيق وفترة التقدم باستخدام هذه الحدود حتى لفترة تقدم كاملة واحدة.

إن تقدم محور الأرض هو تأثير بطيء للغاية، ولكن على مستوى الدقة التي يعمل بها علماء الفلك، فإنه من الضروري أن يؤخذ في الاعتبار على أساس يومي. وعلى الرغم من أن تقدم محور الأرض وميلانه (ميلان مسار الشمس) يتم حسابهما من نفس النظرية وبالتالي يرتبطان ببعضهما البعض، فإن الحركتين تعملان بشكل مستقل عن بعضهما البعض، وتتحركان في اتجاهين متعاكسين. ^{[ بحاجة لتوضيح ]}

يُظهِر معدل التقدم انخفاضًا علمانيًا بسبب تبدد المد والجزر من 59"/a إلى 45"/a (a = annum = Julian year ) خلال فترة 500 مليون سنة متمركزة في الوقت الحاضر. بعد حساب متوسط ​​التقلبات قصيرة الأمد (عشرات الآلاف من السنين)، يمكن تقريب الاتجاه طويل الأمد من خلال الحدود التالية للوقت السالب والموجب من الوقت الحاضر في "/a، حيث T بمليارات السنوات الجوليانية (Ga): ^[39]

ص ⁻ = 50.475838 − 26.368583  ت + 21.890862  ت ²

ص ⁺ = 50.475838 − 27.000654  ت + 15.603265  ت ²

وهذا يعطي متوسط ​​طول دورة الآن وهو 25676 سنة.

ستكون الحركة التقدمية أكبر من p ⁺ بمقدار صغير يبلغ +0.135052"/a بين +30 مليون سنة و +130 مليون سنة . ستحدث القفزة إلى هذه الزيادة على p ^{+ في} 20 مليون سنة فقط بدءًا من الآن لأن الانخفاض العلماني في الحركة التقدمية بدأ في عبور الرنين في مدار الأرض الناجم عن الكواكب الأخرى.

وفقًا لـ WR Ward، في حوالي 1500 مليون سنة، عندما تزداد مسافة القمر، التي تتزايد باستمرار بسبب تأثيرات المد والجزر، من 60.3 إلى 66.5 نصف قطر أرضي حاليًا، ستدفع الرنينات الناتجة عن التأثيرات الكوكبية التقدم إلى 49000 عام في البداية، ثم عندما يصل القمر إلى 68 نصف قطر أرضي في حوالي 2000 مليون سنة، إلى 69000 عام. سيرتبط هذا أيضًا بتقلبات جامحة في ميل مسار الشمس. ومع ذلك، استخدم وارد القيمة الحديثة الكبيرة بشكل غير طبيعي لتبديد المد والجزر. ^[40] باستخدام متوسط ​​620 مليون سنة الذي توفره إيقاعات المد والجزر بحوالي نصف القيمة الحديثة، لن يتم الوصول إلى هذه الرنينات حتى حوالي 3000 و4000 مليون سنة على التوالي. ومع ذلك، وبسبب تزايد سطوع الشمس تدريجيا، فإن محيطات الأرض سوف تتبخر قبل ذلك الوقت (حوالي 2100 مليون سنة من الآن).

• التذبذب الفلكي
• إمالة محورية
• زوايا أويلر
• خط طول الاعتدال الربيعي
• دورات ميلانكوفيتش
• الحركة القطبية
• السنة النجمية
• تقدم محوري

• مناظرة دالمبيرت وأويلر حول حل مشكلة تقدم الاعتدالين
• باولي، روجر؛ ميريفيلد، مايكل. "التقدم المحوري". ستون رمزًا . برادي هاران لجامعة نوتنغهام .
• التقلبات والتقلبات القسرية للأرض