مجموعة كوكسيتر

في الرياضيات ، تُعرف زمرة كوكسيتر ، نسبةً إلى إتش إس إم كوكسيتر ، بأنها زمرة مجردة يمكن وصفها رسميًا بدلالة الانعكاسات (أو المرايا الكاليدوسكوبية ). في الواقع، تُعد زمر كوكسيتر المنتهية هي نفسها زمر الانعكاس الإقليدية المنتهية ؛ فعلى سبيل المثال، زمرة التناظر لكل متعدد السطوح منتظم هي زمرة كوكسيتر منتهية. مع ذلك، ليست كل زمر كوكسيتر منتهية، ولا يمكن وصف جميعها بدلالة التناظرات والانعكاسات الإقليدية. طُرحت زمر كوكسيتر عام 1934 كمفهوم مجرد لزمر الانعكاس، ^{[ 1 ]} وصُنفت زمر كوكسيتر المنتهية عام 1935. ^{[ 2 ]}

تُستخدم مجموعات كوكسيتر في العديد من مجالات الرياضيات. من أمثلة مجموعات كوكسيتر المنتهية مجموعات التناظر للمضلعات المنتظمة ، ومجموعات ويل لجبر لي البسيط . ومن أمثلة مجموعات كوكسيتر غير المنتهية مجموعات المثلثات الموافقة للتبليطات المنتظمة للمستوى الإقليدي والمستوى الزائدي ، ومجموعات ويل لجبر كاك-مودي غير المحدود الأبعاد . ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}

بصورة رسمية، يمكن تعريف مجموعة كوكسيتر بأنها مجموعة ذات عرض$${\displaystyle \left\langle r_{1},r_{2},\ldots ,r_{n}\mid (r_{i}r_{j})^{m_{ij}}=1\right\rangle }$$ أين${\displaystyle m_{ii}=1}$و${\displaystyle m_{ij}=m_{ji}\geq 2}$إما أن يكون عددًا صحيحًا أو${\displaystyle \infty }$ل${\displaystyle i\neq j}$هنا، الشرط${\displaystyle m_{ij}=\infty }$ يعني ذلك أنه لا توجد علاقة من هذا النوع${\displaystyle (r_{i}r_{j})^{m}=1}$لأي عدد صحيح${\displaystyle m\geq 2}$ينبغي فرضه. ^{[ 6 ]}

الزوجان${\displaystyle (W,S)}$أين${\displaystyle W}$هي مجموعة كوكسيتر ذات مولدات${\displaystyle S=\{r_{1},\dots ,r_{n}\}}$يُطلق عليه نظام كوكسيتر . لاحظ أنه بشكل عام${\displaystyle S}$لا يتم تحديدها بشكل فريد بواسطة${\displaystyle W}$على سبيل المثال، مجموعات كوكسيتر من النوع${\displaystyle B_{3}}$و${\displaystyle A_{1}\times A_{3}}$هي متماثلة ولكن أنظمة كوكسيتر ليست متكافئة، لأن الأول يحتوي على 3 مولدات والأخير يحتوي على 1 + 3 = 4 مولدات (انظر أدناه لشرح هذه الرموز).

يمكن استخلاص عدد من الاستنتاجات مباشرة من التعريف المذكور أعلاه.

• العلاقة${\displaystyle m_{ii}=1}$هذا يعني أن${\displaystyle (r_{i}r_{i})^{1}=(r_{i})^{2}=1}$للجميع${\displaystyle i}$ وبالتالي فإن المولدات هي عمليات عكسية .
• لو${\displaystyle m_{ij}=2}$ثم المولدات${\displaystyle r_{i}}$و${\displaystyle r_{j}}$التنقل. ويستنتج ذلك من خلال ملاحظة أن

${\displaystyle xx=yy=1}$،

مع

${\displaystyle xyxy=1}$

يشير ذلك إلى أن

${\displaystyle xy=x(xyxy)y=(xx)yx(yy)=yx}$.

أو بدلاً من ذلك، بما أن المولدات عبارة عن عمليات عكسية،${\displaystyle r_{i}=r_{i}^{-1}}$، لذا${\displaystyle 1=(r_{i}r_{j})^{2}=r_{i}r_{j}r_{i}r_{j}=r_{i}r_{j}r_{i}^{-1}r_{j}^{-1}}$أي بمعنى آخر ، مُبدِّل${\displaystyle r_{i}}$و${\displaystyle r_{j}}$يساوي 1، أو ما يعادله ذلك${\displaystyle r_{i}}$و${\displaystyle r_{j}}$التنقل.

والسبب في ذلك هو أن ${\displaystyle m_{ij}=m_{ji}}$ل${\displaystyle i\neq j}$ينص التعريف على ما يلي:

${\displaystyle yy=1}$،

مع

${\displaystyle (xy)^{m}=1}$

يشير ذلك بالفعل إلى أن

${\displaystyle (yx)^{m}=(yx)^{m}yy=y(xy)^{m}y=yy=1}$.

ويمكن إثبات هذا الاستلزام بطريقة بديلة من خلال ملاحظة أن${\displaystyle (xy)^{k}}$و${\displaystyle (yx)^{k}}$هي مترافقة : بالفعل${\displaystyle y(xy)^{k}y^{-1}=(yx)^{k}yy^{-1}=(yx)^{k}}$.

مصفوفة كوكستر ومصفوفة شلافلي

مصفوفة كوكسيتر هي${\displaystyle n\times n}$مصفوفة متناظرة ذات عناصر${\displaystyle m_{ij}}$في الواقع، كل مصفوفة متناظرة عناصرها القطرية تساوي 1 فقط وعناصرها غير القطرية في المجموعة${\displaystyle \{2,3,\ldots \}\cup \{\infty \}}$هي مصفوفة كوكسيتر.

يمكن ترميز مصفوفة كوكسيتر بسهولة بواسطة مخطط كوكسيتر ، وفقًا للقواعد التالية.

• يتم تسمية رؤوس الرسم البياني بواسطة رموز المولدات.
• الرؤوس${\displaystyle i}$و${\displaystyle j}$تكون متجاورة إذا وفقط إذا${\displaystyle m_{ij}\geq 3}$.
• يتم تسمية الحافة بقيمة${\displaystyle m_{ij}}$كلما كانت القيمة${\displaystyle 4}$أو أكبر.

على وجه الخصوص، يتبادل مولدان إذا وفقط إذا لم يكونا متصلين بحافة. ​​علاوة على ذلك، إذا احتوى مخطط كوكسيتر على مكونين متصلين أو أكثر ، فإن المجموعة المرتبطة به هي حاصل الضرب المباشر للمجموعات المرتبطة بكل مكون على حدة. وبالتالي، فإن الاتحاد المنفصل لمخططات كوكسيتر ينتج عنه حاصل ضرب مباشر لمجموعات كوكسيتر.

مصفوفة كوكسيتر،${\displaystyle M_{ij}}$، مرتبط بـ${\displaystyle n\times n}$مصفوفة شلافلي${\displaystyle C}$مع إدخالات${\displaystyle C_{ij}=-2\cos(\pi /M_{ij})}$لكن العناصر تُعدّل، إذ تتناسب مع حاصل الضرب النقطي للمولدات الثنائية. تُعدّ مصفوفة شلافلي مفيدة لأن قيمها الذاتية تُحدد ما إذا كانت زمرة كوكسيتر من النوع المحدود (جميعها موجبة)، أو من النوع الأفيني (جميعها غير سالبة، مع وجود صفر واحد على الأقل)، أو من النوع غير المحدد (فيما عدا ذلك). يُقسّم النوع غير المحدد أحيانًا إلى فئات فرعية، مثل الزمر الزائدية وزمر كوكسيتر الأخرى. مع ذلك، توجد تعريفات متعددة غير متكافئة لزمر كوكسيتر الزائدية.

أمثلة

مجموعة كوكسيتر	A 1 × A 1	أ 2	ب 2	أنا 2 (5)	جي 2	${\displaystyle {\tilde {A}}_{1}=I_{2}(\infty )}$	أ 3	ب 3	د 4	${\displaystyle {\tilde {A}}_{3}}$
مخطط كوكسيتر
مصفوفة كوكسيتر	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&2\\2&1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&3\\3&1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&4\\4&1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&5\\5&1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&6\\6&1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&\infty \\\infty &1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&3&2\\3&1&3\\2&3&1\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&4&2\\4&1&3\\2&3&1\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&3&2&2\\3&1&3&3\\2&3&1&2\\2&3&2&1\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&3&2&3\\3&1&3&2\\2&3&1&3\\3&2&3&1\end{smallmatrix}}\right]}$
مصفوفة شلافلي	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&0\\0&2\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}\ \,2&-1\\-1&\ \,2\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}\ \,2&-{\sqrt {2}}\\-{\sqrt {2}}&\ \,2\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}\ \,2&-\phi \\-\phi &\ \,2\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}\ \,2&-{\sqrt {3}}\\-{\sqrt {3}}&\ \,2\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}\ \,2&-2\\-2&\ \,2\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}\ \,2&-1&\ \,0\\-1&\ \,2&-1\\\ \,0&-1&\ \,2\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}\ \,\ \ 2&-{\sqrt {2}}&\ \,0\\-{\sqrt {2}}&\ \,\ \ 2&-1\\\ \,\ \ 0&\ \,-1&\ \,2\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}\ \,2&-1&\ \,0&\ \,0\\-1&\ \,2&-1&-1\\\ \,0&-1&\ \,2&\ \,0\\\ \,0&-1&\ \,0&\ \,2\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}\ \,2&-1&\ \,0&-1\\-1&\ \,2&-1&\ \,0\\\ \,0&-1&\ \,2&-1\\-1&\ \,0&-1&\ \,2\end{smallmatrix}}\right]}$

الرسم البياني${\displaystyle A_{n}}$في أي رؤوس${\displaystyle 1}$خلال${\displaystyle n}$تُوضع الرؤوس في صف واحد، حيث يرتبط كل رأس بجيرانه المباشرين بواسطة حافة غير مُسماة ، وهذا هو مخطط كوكسيتر للمجموعة المتناظرة${\displaystyle S_{n+1}}$; تتوافق المولدات مع عمليات النقل${\displaystyle (1~~2),(2~~3),\dots ,(n~~n+1)}$أي تبديلين غير متتاليين يتبادلان، بينما ضرب تبديلين متتاليين يعطي دورة ثلاثية  :${\displaystyle (k~~k+1)\cdot (k+1~~k+2)=(k~~k+2~~k+1)}$. لذلك${\displaystyle S_{n+1}}$هو خارج قسمة مجموعة كوكسيتر التي لها مخطط كوكسيتر${\displaystyle A_{n}}$. وتُظهر حجج أخرى أن خريطة القسمة هذه هي تماثل.

زمر كوكسيتر هي تجريد لزمر الانعكاس. زمر كوكسيتر زمر مجردة ، بمعنى أنها تُعطى من خلال تمثيل. من ناحية أخرى، زمر الانعكاس ملموسة ، بمعنى أن كل عنصر من عناصرها هو مركب من عدد محدود من الانعكاسات الهندسية حول مستويات فائقة خطية في فضاء إقليدي ما. من الناحية التقنية، زمرة الانعكاس هي زمرة جزئية من زمرة خطية (أو تعميمات مختلفة) مولدة بواسطة مصفوفات متعامدة محددة بـ -1. كل مولد لزمرة كوكسيتر من الرتبة 2، مما يجرد الحقيقة الهندسية القائلة بأن إجراء انعكاس مرتين هو عملية محايدة. كل علاقة من الشكل${\displaystyle (r_{i}r_{j})^{k}}$، وهو ما يتوافق مع الحقيقة الهندسية التي تنص على أنه إذا تم إعطاء مستويين فائقين يلتقيان بزاوية${\displaystyle \pi /k}$إن ناتج الانعكاسين حول هذين المستويين الفائقين هو دوران بمقدار${\displaystyle 2\pi /k}$، والتي لها رتبة k .

بهذه الطريقة، يمكن تمثيل كل زمرة انعكاس كزمرة كوكسيتر. ^{[ 1 ]} والعكس صحيح جزئيًا: فكل زمرة كوكسيتر منتهية تقبل تمثيلًا أمينًا كزمرة انعكاس منتهية لفضاء إقليدي ما. ^{[ 2 ]} مع ذلك، لا تقبل كل زمرة كوكسيتر غير منتهية تمثيلًا كزمرة انعكاس.

تم تصنيف مجموعات كوكسيتر المنتهية. ^{[ 2 ]}

تُشكّل زمر كوكسيتر الأفينية سلسلةً ثانيةً مهمةً من زمر كوكسيتر. هذه الزمر ليست منتهيةً في حد ذاتها، ولكن كلًّا منها يحتوي على زمرة جزئية أبيلية طبيعية بحيث تكون زمرة القسمة المقابلة منتهية. في كل حالة، تكون زمرة القسمة نفسها زمرة كوكسيتر، ويُستَخرَج مخطط كوكسيتر لزمرة كوكسيتر الأفينية من مخطط كوكسيتر لزمرة القسمة بإضافة رأس آخر وحافة أو حافتين إضافيتين. على سبيل المثال، بالنسبة لـ n ≥ 2، يُستَخرَج المخطط المكوّن من n + 1 رأسًا في دائرة من A _n بهذه الطريقة، وزمرة كوكسيتر المقابلة هي زمرة ويل الأفينية لـ A _n ( زمرة التناظر الأفينية ). بالنسبة لـ n = 2، يمكن تصوّر ذلك على أنه زمرة جزئية من زمرة التناظر للتبليط القياسي للمستوى بواسطة مثلثات متساوية الأضلاع.    

بشكل عام، عند إعطاء نظام جذور، يمكن إنشاء مخطط ستيفل المرتبط به ، والذي يتكون من المستويات الفائقة المتعامدة على الجذور بالإضافة إلى بعض الإزاحات لهذه المستويات الفائقة. تكون زمرة كوكسيتر الأفينية (أو زمرة ويل الأفينية) هي الزمرة المتولدة من الانعكاسات (الأفينية) حول جميع المستويات الفائقة في المخطط. ^{[ 10 ]} يقسم مخطط ستيفل المستوى إلى عدد لا نهائي من المكونات المتصلة تسمى تجاويف ، وتعمل زمرة كوكسيتر الأفينية بحرية وبشكل متعدٍ على التجاويف، تمامًا كما تعمل زمرة ويل العادية بحرية وبشكل متعدٍ على تجاويف ويل. يوضح الشكل على اليمين مخطط ستيفل لـ${\displaystyle G_{2}}$نظام الجذر.

يفترض${\displaystyle R}$هو نظام جذري غير قابل للاختزال من الرتبة${\displaystyle r>1}$ودع${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{r}}$لتكن مجموعة من الجذور البسيطة. ولتكن أيضًا${\displaystyle \alpha _{r+1}}$لنرمز إلى الجذر الأعلى. عندئذٍ، تتولد زمرة كوكسيتر الأفينية بواسطة الانعكاسات العادية (الخطية) حول المستويات الفائقة العمودية على${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{r}}$بالإضافة إلى انعكاس أفيني حول إزاحة المستوى الفائق العمودي على${\displaystyle \alpha _{r+1}}$مخطط كوكسيتر لمجموعة فايل الأفينية هو مخطط كوكسيتر-دينكين لـ${\displaystyle R}$بالإضافة إلى عقدة إضافية مرتبطة بـ${\displaystyle \alpha _{r+1}}$في هذه الحالة، يمكن الحصول على أحد أركان مخطط ستيفل عن طريق أخذ حجرة فايل الأساسية وتقسيمها بإزاحة المستوى الفائق العمودي على${\displaystyle \alpha _{r+1}}$[ ^{11 ]​}

فيما يلي قائمة بمجموعات كوكسيتر الأفينية:

رمز المجموعة	رمز ويت	تدوين الأقواس	رسم بياني كوكسيتر	التبليط المنتظم ذو الصلة
${\displaystyle {\tilde {A}}_{n}}$	${\displaystyle P_{n+1}}$	[3 [ n +1] ]	... أو ...	قرص العسل البسيط
${\displaystyle {\tilde {B}}_{n}}$	${\displaystyle S_{n+1}}$	[4,3 n − 3 ,3 1,1 ]	...	قرص العسل نصف المكعب
${\displaystyle {\tilde {C}}_{n}}$	${\displaystyle R_{n+1}}$	[4,3 n −2 ,4]	...	قرص العسل المكعب الفائق
${\displaystyle {\tilde {D}}_{n}}$	${\displaystyle Q_{n+1}}$	[ 3 1,1 ,3 n −4 ,3 1,1 ]	...	قرص العسل نصف المكعب
${\displaystyle {\tilde {E}}_{6}}$	${\displaystyle T_{7}}$	[3 2,2,2 ]	أو	2 22
${\displaystyle {\tilde {E}}_{7}}$	${\displaystyle T_{8}}$	[3 3,3,1 ]	أو	3 31 ، 1 33
${\displaystyle {\tilde {E}}_{8}}$	${\displaystyle T_{9}}$	[3 5,2,1 ]		5 21 ، 2 51 ، 1 52
${\displaystyle {\tilde {F}}_{4}}$	${\displaystyle U_{5}}$	[3,4,3,3]		قرص عسل ذو 16 خلية، قرص عسل ذو 24 خلية
${\displaystyle {\tilde {G}}_{2}}$	${\displaystyle V_{3}}$	[6,3]		التبليط السداسي والتبليط المثلثي
${\displaystyle {\tilde {A}}_{1}=I_{2}(\infty )}$	${\displaystyle W_{2}}$	[∞]		أبيروجون

يكون رمز المجموعة السفلي أقل بواحد من عدد العقد في كل حالة، حيث تم الحصول على كل مجموعة من هذه المجموعات عن طريق إضافة عقدة إلى الرسم البياني لمجموعة منتهية.

هناك عدد لا نهائي من مجموعات كوكسيتر الزائدية التي تصف مجموعات الانعكاس في الفضاء الزائدي ، بما في ذلك على وجه الخصوص مجموعات المثلث الزائدي.

تُعتبر زمرة كوكسيتر غير قابلة للاختزال إذا كان مخطط كوكسيتر-دينكين الخاص بها متصلاً. كل زمرة كوكسيتر هي حاصل الضرب المباشر للزمر غير القابلة للاختزال التي تُقابل مكونات مخطط كوكسيتر-دينكين الخاص بها.

يؤدي اختيار مولدات الانعكاس إلى دالة طول ℓ على زمرة كوكسيتر، وهي الحد الأدنى لعدد استخدامات المولدات اللازمة للتعبير عن عنصر من الزمرة؛ وهذا هو تحديدًا طول المقياس اللفظي في مخطط كايلي . يُعد التعبير عن v باستخدام ℓ ( v ) مولدًا كلمةً مُختزلة . على سبيل المثال، يحتوي التبديل (13) في S3 على كلمتين مُختزلتين، _هما (12)(23)(12) و(23)(12)(23).${\displaystyle v\to (-1)^{\ell (v)}}$يحدد خريطة${\displaystyle G\to \{\pm 1\},}$تعميم خريطة الإشارة للمجموعة المتناظرة.

باستخدام الكلمات المختزلة، يمكن تعريف ثلاثة ترتيبات جزئية على زمرة كوكسيتر: الترتيب الضعيف (الأيمن) ، والترتيب المطلق ، وترتيب بروهات (نسبةً إلى فرانسوا بروهات ). في ترتيب بروهات، يتجاوز العنصر v العنصر u إذا احتوت كلمة مختزلة ما (أو أي كلمة مختزلة) للعنصر v على كلمة مختزلة للعنصر u كسلسلة فرعية، حيث تُحذف بعض الأحرف (في أي موضع). في الترتيب الضعيف، يكون v  ≥ u إذا احتوت كلمة مختزلة ما للعنصر v على كلمة مختزلة للعنصر u كجزء أولي. في الواقع، يُحوّل طول الكلمة هذا إلى مجموعة جزئية مرتبة متدرجة . تُعدّ مخططات هاس المقابلة لهذه الترتيبات موضوعات للدراسة، وهي مرتبطة بمخطط كايلي المحدد بواسطة المولدات. يُعرَّف الترتيب المطلق بشكل مشابه للترتيب الضعيف، ولكن مع مجموعة/أبجدية مولدة تتكون من جميع مرافقات مولدات كوكسيتر. 

على سبيل المثال، يحتوي التبديل (1 2 3) في S ₃ على كلمة واحدة مختزلة فقط، (12)(23)، لذا فهو يغطي (12) و(23) في ترتيب بروهات ولكنه يغطي (12) فقط في الترتيب الضعيف.

منذ مجموعة كوكسيتر${\displaystyle W}$يتم توليدها بواسطة عدد محدود من العناصر من الرتبة 2، وتبديلها هو زمرة تبديلية أولية من الرتبة 2 ، أي أنها متماثلة مع المجموع المباشر لعدة نسخ من الزمرة الدورية.${\displaystyle Z_{2}}$ويمكن إعادة صياغة ذلك من حيث المجموعة المتجانسة الأولى لـ${\displaystyle W}$.

مضاعف شور${\displaystyle M(W)}$، مساوياً لمجموعة التماثل الثانية لـ${\displaystyle W}$تم حسابها في ( إيهارا ويوكوناما 1965 ) لمجموعات الانعكاس المنتهية، وفي ( يوكوناما 1965 ) لمجموعات الانعكاس الأفينية، مع تقديم شرح أكثر توحيدًا في ( هاوليت 1988 ) . في جميع الحالات، يكون مُضاعِف شور أيضًا مجموعة أبيلية ثنائية أولية. لكل عائلة لانهائية${\displaystyle \{W_{n}\}}$بالنسبة لمجموعات ويل المنتهية أو الأفينية، فإن رتبة${\displaystyle M(W_{n})}$يستقر الوضع مع${\displaystyle n}$يتجه إلى ما لا نهاية.

• مجموعة أرتين-تيتس
• نظرية شيڤالي-شيبارد-تود
• مجموعة تأمل معقدة
• عنصر كوكسيتر
• مشكلة التشاكل في مجموعات كوكسيتر
• جبر إيواهوري-هيكي ، وهو تشويه كمي لجبر المجموعة
• متعددة حدود كازدان-لوزتيج
• أطول عنصر في مجموعة كوكسيتر
• مجموعة فرعية مكافئة لمجموعة انعكاس
• ترتيب قابل للحل الفائق

• "مجموعة كوكسيتر" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS، 2001 [1994]
• وايسستين، إريك دبليو ، "مجموعة كوكستر" ، MathWorld
• برنامج جين لتصور رسوم كايلي البيانية لمجموعات كوكسيتر المنتهية على ما يصل إلى أربعة مولدات