الشكل القانوني

في الرياضيات وعلوم الحاسوب ، يُعدّ الشكل القياسي أو المعياري أو الشكل المتعارف عليه للكائن الرياضي طريقةً معياريةً لعرض ذلك الكائن كتعبير رياضي . وغالبًا ما يكون هذا الشكل هو الذي يُقدّم أبسط تمثيل للكائن ويُمكّن من تحديده بطريقة فريدة. ويختلف التمييز بين الشكلين "المتعارف عليه" و"المعياري" من مجال فرعي إلى آخر. ففي معظم المجالات، يُحدّد الشكل المتعارف عليه تمثيلًا فريدًا لكل كائن، بينما يُحدّد الشكل المعياري شكله فقط، دون اشتراط التفرّد. ^{[ 1 ]}

الشكل القياسي لعدد صحيح موجب في التمثيل العشري هو سلسلة منتهية من الأرقام لا تبدأ بالصفر. وبشكل أعم، بالنسبة لفئة من الكائنات التي تُعرَّف عليها علاقة تكافؤ ، يتكون الشكل القياسي من اختيار كائن محدد في كل فئة. على سبيل المثال:

• يُعدّ الشكل الطبيعي لجوردان شكلاً أساسياً لتشابه المصفوفات .
• يُعد شكل الصف المتدرج شكلاً قانونياً، عندما يعتبر المرء مصفوفة وحاصل ضربها الأيسر بمصفوفة قابلة للعكس متكافئين .

في علوم الحاسوب، وتحديدًا في الجبر الحاسوبي ، عند تمثيل الكائنات الرياضية في الحاسوب، توجد عادةً طرقٌ عديدة لتمثيل الكائن نفسه. في هذا السياق، يُعرَّف الشكل القياسي بأنه تمثيلٌ يُمكِّن كل كائن من تمثيلٍ فريد (وتُعرَّف عملية تحويل التمثيل إلى شكله القياسي بأنها عملية التوحيد القياسي). ^{[ 2 ]} وبالتالي، يُمكن اختبار تساوي كائنين بسهولة عن طريق اختبار تساوي شكليهما القياسيين.

على الرغم من هذه الميزة، تعتمد الصيغ المعيارية غالبًا على خيارات اعتباطية (مثل ترتيب المتغيرات)، مما يُصعّب اختبار تساوي عنصرين ينتج عنهما حسابات مستقلة. لذلك، في الجبر الحاسوبي، يُعدّ الشكل الطبيعي مفهومًا أضعف: فهو تمثيل يُمثّل فيه الصفر تمثيلًا فريدًا. وهذا يسمح باختبار التساوي عن طريق وضع الفرق بين عنصرين في الشكل الطبيعي.

يمكن أن يعني الشكل القانوني أيضًا شكلًا تفاضليًا يتم تعريفه بطريقة طبيعية (قانونية).

بفرض وجود مجموعة S من الكائنات ذات علاقة تكافؤ R على S ، يُحدد الشكل المعياري بتحديد بعض كائنات S على أنها "في شكل معياري"، بحيث يكون كل كائن قيد الدراسة مكافئًا لكائن واحد فقط في الشكل المعياري. بعبارة أخرى، تمثل الأشكال المعيارية في S فئات التكافؤ، مرة واحدة فقط. لاختبار ما إذا كان كائنان متكافئين، يكفي اختبار التساوي على شكليهما المعياريين. يوفر الشكل المعياري بالتالي نظرية تصنيف، وأكثر من ذلك، إذ لا يقتصر دوره على تصنيف كل فئة فحسب، بل يقدم أيضًا ممثلًا مميزًا (معياريًا) لكل كائن في تلك الفئة.

بصورة رسمية، فإن عملية التوحيد فيما يتعلق بعلاقة التكافؤ R على مجموعة S هي عبارة عن تطبيق c : S → S بحيث يكون لكل s ، s ₁ ، s ₂ ∈ S :

1. ج ( س ) = ج ( ج ( س ))  ( الخاصية التكرارية )،
2. يكون _s1 R s2 إذا وفقط إذا كان _c ( s1 ) = _c ( s2 ) ₍ الحسم )  ، و
3. s R c ( s )  (التمثيلية).

الخاصية 3 زائدة عن الحاجة؛ فهي تتبع من خلال تطبيق 2 على 1.

من الناحية العملية، غالبًا ما يكون من المفيد معرفة الصيغ المعيارية. وهناك أيضًا سؤال عملي وخوارزمي جدير بالاعتبار: كيف ننتقل من كائن معين s في المجموعة S إلى صيغته المعيارية s *؟ تُستخدم الصيغ المعيارية عمومًا لجعل التعامل مع فئات التكافؤ أكثر فعالية. على سبيل المثال، في الحساب النمطي ، تُعتبر الصيغة المعيارية لفئة البواقي عادةً أصغر عدد صحيح غير سالب فيها. تُجرى العمليات على الفئات بدمج هذه التمثيلات، ثم اختزال النتيجة إلى أصغر باقٍ غير سالب. يُخفف أحيانًا شرط التفرد، مما يسمح بأن تكون الصيغ فريدة حتى علاقة تكافؤ أدق، مثل السماح بإعادة ترتيب الحدود (إذا لم يكن هناك ترتيب طبيعي للحدود).

قد يكون الشكل القانوني مجرد اصطلاح، أو نظرية عميقة. على سبيل المثال ، تُكتب كثيرات الحدود عادةً بترتيب تنازلي للقوى: فمن الشائع كتابة x² ⁺ x + 30 بدلاً من x + 30 + x² ^، على الرغم من أن كلا الشكلين يُعرّفان نفس كثيرة الحدود. في المقابل، يُعد وجود الشكل القانوني لجوردان للمصفوفة نظرية عميقة.

بحسب قاموس أكسفورد الإنجليزي وقاموس لندن للنشر ، فإن مصطلح "canonical" مشتق من الكلمة اليونانية القديمة kanonikós ( κανονικός ، وتعني "منتظم، وفقًا للقاعدة")، والمشتقة بدورها من kanṓn ( κᾰνών ، وتعني "عصا، قاعدة"). وقد استُخدم معنى المعيار أو القاعدة أو النموذج الأصلي في العديد من التخصصات. ويُشهد على الاستخدام الرياضي في رسالة من لوغان عام 1738. ^{[ 3 ]} كما يُشهد على المصطلح الألماني kanonische Form في ورقة بحثية لإيزنشتاين عام 1846 ، ^{[ 4 ]} وفي وقت لاحق من العام نفسه ، استخدم ريشيلو مصطلح Normalform في ورقة بحثية، ^{[ 5 ]} وفي عام 1851 كتب سيلفستر : ^{[ 6 ]}

"أنتقل الآن إلى [...] طريقة اختزال الدوال الجبرية إلى أبسط صورها وأكثرها تناظراً، أو كما يقترح صديقي الرائع السيد هيرميت تسميتها، أشكالها القانونية ."

في نفس الفترة، تم إثبات الاستخدام من قبل هيس ("Normalform")، ^{[ 7 ]} Hermite ("forme canonique")، ^{[ 8 ]} Borchardt ("forme canonique")، ^{[ 9 ]} و Cayley ("forme canonique"). ^{[ 10 ]}

في عام 1865، عرّف قاموس العلوم والأدب والفنون الشكل المتعارف عليه على النحو التالي:

"في الرياضيات، يشير إلى شكل، عادة ما يكون أبسطها أو أكثرها تماثلاً، والذي يمكن اختزال جميع الدوال من نفس الفئة إليه دون فقدان العمومية."

ملاحظة: في هذا القسم، تعني عبارة " حتى " علاقة التكافؤ E أن الشكل القانوني ليس فريدًا بشكل عام، ولكن إذا كان للكائن شكلان قانونيان مختلفان، فإنهما متكافئان E.

الجبر الخطي

أشياء	تكون A مكافئة لـ B إذا:	الشكل الطبيعي	ملحوظات
المصفوفات الطبيعية على الأعداد المركبة	${\displaystyle A=U^{*}BU}$لبعض المصفوفة الوحدوية U	المصفوفات القطرية (حتى إعادة الترتيب)	هذه هي نظرية الطيف
المصفوفات على الأعداد المركبة	${\displaystyle A=UBV^{*}}$بالنسبة لبعض المصفوفات الوحدوية U و V	المصفوفات القطرية ذات العناصر الحقيقية غير السالبة (بترتيب تنازلي)	تحليل القيم المفردة
المصفوفات على حقل مغلق جبريًا	${\displaystyle A=P^{-1}BP}$لبعض المصفوفة القابلة للعكس P	الشكل الطبيعي لجوردان (حتى إعادة ترتيب الكتل)
المصفوفات على حقل مغلق جبريًا	${\displaystyle A=P^{-1}BP}$لبعض المصفوفة القابلة للعكس P	الشكل المتعارف عليه لـ Weyr (حتى إعادة ترتيب الكتل)
المصفوفات على حقل	${\displaystyle A=P^{-1}BP}$لبعض المصفوفة القابلة للعكس P	الشكل الطبيعي لـ Frobenius
المصفوفات على مجال مثالي رئيسي	${\displaystyle A=P^{-1}BQ}$بالنسبة لبعض المصفوفات القابلة للعكس P و Q	الصيغة الطبيعية لسميث (حتى عوامل الوحدة)	التكافؤ هو نفسه السماح بتحويلات الصفوف والأعمدة الأولية القابلة للعكس
المصفوفات على الأعداد الصحيحة	${\displaystyle A=UB}$لبعض المصفوفة أحادية المعامل U	الشكل الطبيعي للهيرميت
المصفوفات على الأعداد الصحيحة modulo n		نموذج هاول الطبيعي
فضاءات متجهة ذات أبعاد محدودة على حقل K	A و B متماثلتان كفضاءات متجهة	${\displaystyle K^{n}}$، ن عدد صحيح غير سالب

التحليل الوظيفي

أشياء	تكون A مكافئة لـ B إذا:	الشكل الطبيعي
مساحات هيلبرت	إذا كان A و B كلاهما فضاءات هيلبرت ذات أبعاد لا نهائية، فإن A و B متماثلان قياسياً.	${\displaystyle \ell ^{2}(I)}$مساحات التسلسل (حتى استبدال مجموعة الفهرس I بمجموعة فهرس أخرى من نفس العددية )
الجبر التبادلي C* مع الوحدة	A و B متماثلان كجبر C*	الجبر${\displaystyle C(X)}$من الدوال المتصلة على فضاء هاوسدورف مضغوط ، حتى التماثل التام للفضاء الأساسي.

• التقنين
• الأساس الكنسي
• الفئة الأساسية
• التوحيد (إزالة الغموض)
• التقييس

• شيلوف، جورجي إي. (1977)، سيلفرمان، ريتشارد أ. (محرر)، الجبر الخطي ، دوفر، ISBN 0-486-63518-X.
• هانسن ، فاجن لوندسجارد (2006)، التحليل الوظيفي: دخول فضاء هيلبرت ، النشر العلمي العالمي، ISBN 981-256-563-9.