مسرد مصطلحات نظرية المجال

نظرية الحقول هي فرع من فروع الرياضيات التي تُدرس فيها الحقول .

في الرياضيات ، الحقل هو مجموعة تُعرَّف عليها عمليات الجمع والطرح والضرب والقسمة ، وتُعامل هذه العمليات كما تُعامل العمليات المقابلة على الأعداد النسبية . تُعدّ الحقول بنى جبرية أساسية تُستخدم على نطاق واسع في الجبر ونظرية الأعداد والعديد من فروع الرياضيات الأخرى.

هذا معجم لبعض مصطلحات الموضوع. (انظر نظرية المجال (الفيزياء) لنظريات المجال غير ذات الصلة في الفيزياء.)

الحقل هو حلقة تبديلية ( F , +, *) حيث 0 ≠ 1 ولكل عنصر غير صفري معكوس ضربي. وبالتالي، يمكننا في الحقل إجراء عمليات الجمع والطرح والضرب والقسمة .

تشكل العناصر غير الصفرية للحقل F مجموعة تبديلية تحت الضرب؛ ويرمز لهذه المجموعة عادةً بـ F ^× ؛

يُرمز إلى حلقة كثيرات الحدود في المتغير x بمعاملات في F بالرمز F [ x ].

السمة

الخاصية المميزة للحقل F هي أصغر عدد صحيح موجب n بحيث يكون n × 1 = 0 ؛ حيث يرمز n × 1 إلى مجموع n من الحدود 1 + 1 + 1 + ... + 1. إذا لم يوجد عدد n يحقق هذا الشرط ، نقول إن الخاصية المميزة تساوي صفرًا. كل خاصية مميزة غير صفرية هي عدد أولي . على سبيل المثال، الأعداد النسبية ، والأعداد الحقيقية ، والأعداد p -adic لها خاصية مميزة تساوي صفرًا، بينما الحقل المنتهي Zp _، حيث p عدد أولي، له خاصية مميزة تساوي p .

المجال الفرعي

الحقل الفرعي للحقل F هو مجموعة جزئية من F مغلقة تحت عملية الحقل + و * لـ F والتي تشكل مع هذه العمليات حقلاً خاصاً بها.

حقل رئيسي

الحقل الأولي للحقل F هو أصغر حقل فرعي فريد من نوعه في F.

حقل الامتداد

إذا كان F حقلاً جزئياً من E، فإن E حقل امتداد لـ F. ونقول أيضاً إن E / F هو امتداد حقل .

درجة التمدد

بالنظر إلى امتداد E / F ، يمكن اعتبار الحقل E فضاءً متجهيًا فوق الحقل F ، ويكون بُعد هذا الفضاء المتجهي هو درجة الامتداد ، ويرمز له بـ [ E  : F ].

الامتداد المحدود

الامتداد المحدود هو امتداد حقل تكون درجته محدودة.

التمديد الجبري

إذا كان العنصر α من حقل التمديد E فوق F جذرًا لكثير حدود غير صفري في F [ x ]، فإن α جبري فوق F. وإذا كان كل عنصر من E جبريًا فوق F ، فإن E / F هو تمديد جبري .

مجموعة مولدة

بفرض وجود امتداد حقل E / F ومجموعة جزئية S من E ، نرمز بـ F ( S ) إلى أصغر حقل جزئي من E يحتوي على كل من F و S. ويتكون هذا الحقل من جميع عناصر E التي يمكن الحصول عليها من خلال تطبيق العمليات +، - ، *، / بشكل متكرر على عناصر F و S. إذا كان E = F ( S ) ، نقول إن E مولد بواسطة S على F.

عنصر بدائي

يُطلق على العنصر α في حقل التمديد E فوق الحقل F اسم العنصر الأولي إذا كان E = F ( α )، وهو أصغر حقل تمديد يحتوي على α . ويُطلق على هذا التمديد اسم التمديد البسيط .

حقل التقسيم

امتداد حقل ناتج عن التحليل الكامل لكثير الحدود.

تمديد طبيعي

امتداد حقل ناتج عن التحليل الكامل لمجموعة من كثيرات الحدود.

ملحق قابل للفصل

امتداد مُوَلَّد بواسطة جذور كثيرات الحدود القابلة للفصل .

مجال مثالي

حقلٌ يكون فيه كل امتداد منتهٍ قابلاً للفصل. جميع الحقول ذات الخاصية الصفرية، وجميع الحقول المنتهية، هي حقول مثالية.

درجة غير كاملة

ليكن F حقلاً مميزاً له p > 0 ؛ عندئذٍ يكون F  p حقلاً جزئياً. تُسمى الدرجة [ F  : F  p ] بالدرجة غير الكاملة لـ F. يكون الحقل F كاملاً إذا وفقط إذا كانت درجته غير الكاملة تساوي 1. على سبيل المثال، إذا كان F حقلاً دالياً لـ n متغيراً على حقل منتهٍ مميز له p > 0 ، فإن درجته غير الكاملة هي p n . [ 1 ]

حقل مغلق جبريًا

يكون الحقل F مغلقًا جبريًا إذا كان لكل متعدد حدود في F [ x ] جذر في F ؛ بشكل مكافئ: كل متعدد حدود في F [ x ] هو ناتج عوامل خطية.

الإغلاق الجبري

الإغلاق الجبري للحقل F هو امتداد جبري لـ F يكون مغلقًا جبريًا. لكل حقل إغلاق جبري، وهو فريد حتى تماثل يثبت F.

متسامي

تلك العناصر في حقل التمديد لـ F التي ليست جبرية على F تكون متسامية على F.

العناصر المستقلة جبريًا

تكون عناصر حقل التمديد لـ F مستقلة جبريًا على F إذا لم تحقق أي معادلة متعددة الحدود غير صفرية بمعاملات في F.

درجة التجاوز

عدد العناصر المتسامية المستقلة جبريًا في امتداد حقل. ويُستخدم لتحديد بُعد التنوع الجبري .

تماثل الحقول

التشاكل الحقلي بين حقلين E و F هو تشاكل حلقي ، أي دالة

f  : E → F

بحيث يكون ذلك، لكل x و y في E ،

f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y )

f ( xy ) = f ( x ) f ( y )

f (1) = 1.

بالنسبة للحقول E و F ، تُشير هذه الخصائص إلى أن f (0) = 0 ، و f ( x ⁻¹ ) = f ( x ) ⁻¹ لكل x في E ^× ، وأن f دالة أحادية . تُشكل الحقول، مع هذه التشاكلات، فئة . يُقال عن حقلين E و F أنهما متماثلان إذا وُجد تشاكل تقابلي بينهما.

f  : E → F .

يكون الحقلان متطابقين عمليًا من جميع النواحي؛ ولكن ليس بالضرورة بطريقة فريدة . انظر، على سبيل المثال، المرافق المركب .

حقل منتهي

حقل ذو عدد محدود من العناصر، يُعرف أيضًا باسم حقل غالوا .

الحقل المرتب

حقل ذو ترتيب كلي متوافق مع عملياته.

الأعداد النسبية

الأعداد الحقيقية

الأعداد المركبة

حقل الرقم

امتداد محدود لحقل الأعداد النسبية.

الأعداد الجبرية

يُعد حقل الأعداد الجبرية أصغر امتداد مغلق جبريًا لحقل الأعداد النسبية. وتُدرس خصائصها التفصيلية في نظرية الأعداد الجبرية .

حقل تربيعي

امتداد من الدرجة الثانية للأعداد النسبية.

مجال سيكلوتوم

امتداد للأعداد النسبية الناتجة عن جذر الوحدة .

ملعب حقيقي بالكامل

حقل عددي يتم توليده بواسطة جذر متعدد الحدود، وتكون جميع جذوره أعدادًا حقيقية.

حقل حقيقي رسمي

ملعب مغلق حقيقي

المجال العالمي

حقل عددي أو حقل دالة لمتغير واحد على حقل منتهٍ.

حقل محلي

إكمال حقل عالمي ما ( بالنسبة لعدد أولي من حلقة الأعداد الصحيحة).

مجال كامل

مجال كامل فيما يتعلق ببعض التقييمات.

حقل مغلق شبه جبري

حقل يكون فيه لكل صنف نقطة عقلانية . ^{[ 2 ]}

حقل هينسليان

حقل يحقق معضلة هينسل فيما يتعلق بتقييم معين. تعميم للحقول الكاملة.

حقل هيلبرتي

حقل يحقق نظرية عدم الاختزال لهيلبرت : بشكل رسمي، حقل لا يكون فيه الخط الإسقاطي رقيقًا بمعنى سير . ^{[ 3 ] [ 4 ]}

حقل كرونيكيريان

حقل أعداد جبري حقيقي تمامًا أو امتداد تربيعي تخيلي تمامًا لحقل حقيقي تمامًا. ^{[ 5 ]}

مجال CM أو مجال J

حقل عددي جبري هو امتداد تربيعي تخيلي تمامًا لحقل حقيقي تمامًا. ^{[ 6 ]}

الحقل المرتبط

حقل لا يكون فيه أي جبر ثنائي رباعي جبر قسمة . ^{[ 7 ]}

حقل فروبينيوس

حقل شبه مغلق جبريًا تتمتع زمرة غالوا المطلقة فيه بخاصية التضمين. ^{[ 8 ]}

ليكن E / F امتدادًا للحقل.

التمديد الجبري

امتداد يكون فيه كل عنصر من عناصر E جبريًا على F.

امتداد بسيط

الامتداد الذي يتم توليده بواسطة عنصر واحد، ويسمى العنصر الأولي أو العنصر المولد . ^{[ 9 ]} تصنف نظرية العنصر الأولي هذه الامتدادات. ^{[ 10 ]}

تمديد طبيعي

امتداد يقسم عائلة من كثيرات الحدود: كل جذر لكثير الحدود الأدنى لعنصر من E على F موجود أيضًا في E.

ملحق قابل للفصل

امتداد جبري تكون فيه متعددة الحدود الدنيا لكل عنصر من عناصر المجموعة E على المجموعة F متعددة حدود قابلة للفصل ، أي لها جذور مميزة. ^{[ 11 ]}

امتداد غالوا

امتداد حقل عادي وقابل للفصل.

الامتداد الرئيسي

امتداد E / F بحيث يكون الإغلاق الجبري لـ F في E غير قابل للفصل تمامًا على F ؛ أو بشكل مكافئ، ^يكون E منفصلًا خطيًا عن الإغلاق القابل للفصل لـ F. [ ^{12 ]}

امتداد متعالٍ بحت

امتداد E / F يكون فيه كل عنصر من E غير موجود في F متسامياً على F. ^{[ 13 ] [ 14 ]}

تمديد عادي

امتداد E / F بحيث يكون E قابلاً للفصل على F ويكون F مغلقًا جبريًا ^في E. [ ^{12 ]}

توسيع جذري بسيط

امتداد بسيط E / F مُوَلَّد بواسطة عنصر واحد α يحقق الشرط α ⁿ = b لعنصر b من F. في الخاصية p ، نعتبر أيضًا الامتداد بواسطة جذر متعدد حدود أرتين-شراير امتدادًا جذريًا بسيطًا. ^{[ 15 ]}

امتداد جذري

برج F = F ₀ < F ₁ < ⋅⋅⋅ < F _k = E حيث كل امتداد F _i / F _{i −1} هو امتداد جذري بسيط. ^{[ 15 ]}

تمديد ذاتي الانتظام

امتداد E / F بحيث يكون E ⊗ _F E مجالًا تكامليًا. ^{[ 16 ]}

امتداد متعالٍ تمامًا

امتداد E / F بحيث ^يكون F مغلقًا جبريًا في F. [ ^{14 ]}

فئة متميزة

فئة C من امتدادات الحقول ذات الخصائص الثلاث ^{[ 17 ]}

1. إذا كان E امتدادًا من النوع C لـ F وكان F امتدادًا من النوع C لـ K فإن E هو امتداد من النوع C لـ K.
2. إذا كان E و F امتدادات C لـ K في حقل مشترك M ، فإن المركب EF هو امتداد C لـ K.
3. إذا كان E امتدادًا من النوع C لـ F وكان E > K > F فإن E هو امتداد من النوع C لـ K.

امتداد غالوا

امتداد حقل عادي وقابل للفصل.

مجموعة غالوا

زمرة التشاكل الذاتي لامتداد غالوا. عندما يكون الامتداد منتهيًا، تكون هذه الزمرة منتهية ورتبتها تساوي درجة الامتداد. أما زمر غالوا للامتدادات غير المنتهية فهي زمر شبه منتهية .

نظرية كومر

نظرية غالوا لإيجاد الجذور النونية، مع وجود عدد كافٍ من جذور الوحدة . وهي تشمل النظرية العامة للامتدادات التربيعية .

نظرية آرتين-شراير

يغطي حالة استثنائية من نظرية كومر، في الخاصية ص .

الوضع الطبيعي

أساس في فضاء المتجهات لـ L فوق K ، والذي تعمل عليه مجموعة غالوا لـ L فوق K بشكل متعدٍ.

حاصل الضرب الموتري للحقول

جزء أساسي مختلف من الجبر، بما في ذلك عملية التركيب ( ضم الحقول).

المسألة العكسية لنظرية غالوا

بالنظر إلى مجموعة G ، أوجد امتدادًا لحقل الأعداد النسبية أو أي حقل آخر مع G كمجموعة غالوا.

نظرية غالوا التفاضلية

الموضوع الذي تُدرس فيه مجموعات التناظر للمعادلات التفاضلية وفقًا للنهج التقليدي في نظرية غالوا. هذه في الواقع فكرة قديمة، وأحد دوافع سوفوس لي عندما أسس نظرية مجموعات لي . وربما لم تصل هذه النظرية إلى شكلها النهائي بعد.

نظرية غالوا لغروتينديك

نهج تجريدي للغاية من الهندسة الجبرية ، تم تقديمه لدراسة نظير المجموعة الأساسية .

• آدمسون، إيان ت. (1982). مقدمة في نظرية الحقول (  الطبعة الثانية). مطبعة جامعة كامبريدج . ISBN 0-521-28658-1.
• كوهن، ب.م. (2003). الجبر الأساسي: المجموعات، والحلقات، والحقول . سبرينغر-فيرلاغ . ISBN 1-85233-587-4. Zbl 1003.00001 . 
• فرايد، مايكل د . جاردن، موشيه (2008). الحساب الميداني . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. فولج. المجلد.  11 (  الطبعة الثالثة المنقحة). سبرينغر-فيرلاغ . رقم ISBN 978-3-540-77269-9. Zbl 1145.12001 . 
• إسحاق، آي. مارتن (1994). الجبر: دورة دراسات عليا . دراسات عليا في الرياضيات. المجلد  100. الجمعية الأمريكية للرياضيات . ص  389. ISBN 0-8218-4799-6ISSN 1065-7339​​ 
• لام، تسيت-يوين (2005). مقدمة في الأشكال التربيعية على الحقول . دراسات عليا في الرياضيات . المجلد  67. الجمعية الرياضية الأمريكية . ISBN 0-8218-1095-2. السيد 2104929 . زبل 1068.11023 .  
• لانغ، سيرج (1997). مسح للهندسة الديوفانتية . سبرينغر-فيرلاغ . ISBN 3-540-61223-8. Zbl 0869.11051 . 
• لانغ، سيرج (2002)، الجبر ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات ، المجلد  211 (الطبعة الثالثة المنقحة  )، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ، ISBN 978-0-387-95385-4، MR 1878556 ، Zbl 0984.00001  
• رومان، ستيفن (2007). نظرية الحقول . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات . المجلد  158. سبرينغر-فيرلاغ . ISBN 978-0-387-27678-6.
• شينزل، أندريه (2000). كثيرات الحدود مع التركيز على قابلية الاختزال . موسوعة الرياضيات وتطبيقاتها. المجلد  77. كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج . ISBN 0-521-66225-7. Zbl 0956.12001 . 
• سير، جان بيير (1989). محاضرات في نظرية مورديل-ويل . جوانب من الرياضيات. المجلد  E15. ترجمة وتحرير مارتن براون من ملاحظات ميشيل فالدشميدت. براونشفايغ وغيرها: فريدريك فيويغ وأبناؤه. Zbl 0676.14005 . 
• سير، جان بيير (1992). موضوعات في نظرية غالوا . مذكرات بحثية في الرياضيات. المجلد  1. جونز وبارتليت. ISBN 0-86720-210-6. Zbl 0746.12001 . 
• واشنطن، لورانس سي. (1996). مقدمة في الحقول الدائرية (  الطبعة الثانية). نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ . ISBN 0-387-94762-0. Zbl 0966.11047 .