القطع الأثرية الرنانة

بحسب التعريف، يحدث الرنين عندما ينتج عن إشارة دخل غير متذبذبة إشارة خرج متذبذبة؛ أي عندما تكون استجابة الخرج غير رتيبة لإشارة دخل رتيبة على فترة زمنية معينة. ويزداد هذا وضوحًا عندما تحتوي استجابة النبضة أو استجابة الخطوة للمرشح على تذبذبات، أو بشكل أقل دقة، إذا احتوت إشارة الخرج على نتوءات عند إدخال نبضة حادة أو إشارة خطوة حادة (انتقال حاد). ويشير مصطلح الرنين عادةً إلى رنين الخطوة، وهو ما سنركز عليه.

يرتبط الرنين ارتباطًا وثيقًا بالتجاوز والانخفاض، حيث يأخذ خرج الإشارة قيمًا أعلى من الحد الأقصى (أو أقل من الحد الأدنى) لقيمة الإدخال. يمكن حدوث أحدهما دون الآخر، ولكن في حالات مهمة، مثل مرشح الترددات المنخفضة ، يحدث التجاوز أولًا، ثم ترتد الاستجابة إلى ما دون مستوى الاستقرار، مما يُسبب الرنين الأول، ثم تتذبذب ذهابًا وإيابًا فوق مستوى الاستقرار وتحته. لذا، يُعد التجاوز الخطوة الأولى في هذه الظاهرة، بينما يُمثل الرنين الخطوة الثانية وما يليها. ونظرًا لهذا الارتباط الوثيق، غالبًا ما يتم الخلط بين المصطلحين، حيث يُشير مصطلح "الرنين" إلى كل من التجاوز الأولي والرنينات اللاحقة.

إذا كان لدينا مرشح خطي ثابت مع الزمن (LTI)، فيمكن فهم المرشح والرنين من خلال استجابة النبضة (منظور المجال الزمني)، أو من خلال تحويل فورييه الخاص به، أي استجابة التردد (منظور المجال الترددي). يُعد الرنين ظاهرةً في المجال الزمني ، وفي تصميم المرشحات ، يُوازن بينه وبين خصائص المجال الترددي المطلوبة: فقد تتسبب استجابة التردد المطلوبة في حدوث الرنين، بينما قد يؤدي تقليل الرنين أو إزالته إلى تفاقم استجابة التردد.

المثال الرئيسي، والذي يُقصد به غالبًا "التشوهات الرنانة"، هو مرشح التمرير المنخفض المثالي (المرشح ذو الجدار الصلب ) ، وهو مرشح sinc . يتميز هذا المرشح بوظيفة استجابة نبضية تذبذبية، كما هو موضح أعلاه، وبالتالي فإن استجابة الخطوة - تكاملها، تكامل الجيب - تتميز أيضًا بتذبذبات، كما هو موضح على اليمين.

These ringing artifacts are not results of imperfect implementation or windowing: the ideal low-pass filter, while possessing the desired frequency response, necessarily causes ringing artifacts in the time domain.

In terms of impulse response, the correspondence between these artifacts and the behavior of the function is as follows:

• impulse undershoot is equivalent to the impulse response having negative values,
• impulse ringing (ringing near a point) is precisely equivalent to the impulse response having oscillations, which is equivalent to the derivative of the impulse response alternating between negative and positive values,
• and there is no notion of impulse overshoot, as the unit impulse is assumed to have infinite height (and integral 1 – a Dirac delta function), and thus cannot be overshot.

Turning to step response, the step response is the integral of the impulse response; formally, the value of the step response at time a is the integral ${\displaystyle \int _{-\infty }^{a}}$ of the impulse response. Thus values of the step response can be understood in terms of tail integrals of the impulse response.

Assume that the overall integral of the impulse response is 1, so it sends constant input to the same constant as output – otherwise the filter has gain, and scaling by gain gives an integral of 1.

• Step undershoot is equivalent to a tail integral being negative, in which case the magnitude of the undershoot is the value of the tail integral.
• Step overshoot is equivalent to a tail integral being greater than 1, in which case the magnitude of the overshoot is the amount by which the tail integral exceeds 1 – or equivalently the value of the tail in the other direction, ${\displaystyle \int _{a}^{\infty },}$ since these add up to 1.
• Step ringing is equivalent to tail integrals alternating between increasing and decreasing – taking derivatives, this is equivalent to the impulse response alternating between positive and negative values.^[3] Regions where an impulse response are below or above the x-axis (formally, regions between zeros) are called lobes, and the magnitude of an oscillation (from peak to trough) equals the integral of the corresponding lobe.

The impulse response may have many negative lobes, and thus many oscillations, each yielding a ring, though these decay for practical filters, and thus one generally only sees a few rings, with the first generally being most pronounced.

لاحظ أنه إذا كانت استجابة النبضة تحتوي على فصوص سالبة صغيرة وفصوص موجبة أكبر، فإنها ستُظهر رنينًا دون حدوث تجاوز أو انخفاض في القيمة: سيكون تكامل الذيل دائمًا بين 0 و1، ولكنه سيتذبذب نزولًا عند كل فص سالب. مع ذلك، في مرشح sinc، تتناقص الفصوص بشكل رتيب في السعة وتتبادل في الإشارة، كما هو الحال في متسلسلة التوافقيات المتناوبة ، وبالتالي تتبادل تكاملات الذيل في الإشارة أيضًا، لذا فهي تُظهر تجاوزًا بالإضافة إلى الرنين.

على النقيض، إذا كانت استجابة النبضة غير سالبة دائمًا، أي أنها لا تحتوي على فصوص سالبة - أي أن الدالة عبارة عن توزيع احتمالي - فإن استجابة الخطوة لن تُظهر رنينًا أو تجاوزًا أو انخفاضًا، بل ستكون دالة رتيبة تتزايد من 0 إلى 1، مثل دالة التوزيع التراكمي . وبالتالي، فإن الحل الأساسي من منظور المجال الزمني هو استخدام مرشحات ذات استجابة نبضية غير سالبة.

من منظور مجال التردد، يُعزى الرنين إلى القطع الحاد في نطاق التمرير المستطيل في مجال التردد، وبالتالي يتم تقليله عن طريق الانحدار التدريجي الأكثر سلاسة ، كما هو موضح أدناه. ^{[ 1 ] [ 4 ]}

إذا كان السبب هو استخدام مرشح تمرير منخفض ذي نطاق ترددي ضيق، فيمكن استبداله بمرشح آخر يقلل من التشوهات في المجال الزمني، على حساب أداء المجال الترددي. ويمكن تحليل ذلك من منظور المجال الزمني أو المجال الترددي.

في المجال الزمني، يكمن السبب في استجابة نبضية متذبذبة، تأخذ قيمًا سالبة. يمكن حل هذه المشكلة باستخدام مرشح ذي استجابة نبضية غير سالبة وغير متذبذبة، ولكنه يتمتع بالخصائص المطلوبة. على سبيل المثال، بالنسبة لمرشح التمرير المنخفض، يكون مرشح غاوس غير سالب وغير متذبذب، وبالتالي لا يُسبب رنينًا. مع ذلك، فهو ليس بجودة مرشح التمرير المنخفض: إذ يتلاشى في نطاق التمرير، ويتسرب في نطاق الإيقاف : من ناحية الصورة، يُشوش مرشح غاوس الإشارة، مما يعكس توهين إشارات الترددات العالية المطلوبة في نطاق التمرير.

يتمثل الحل العام في استخدام دالة نافذة على مرشح sinc، والتي تقطع أو تقلل الفصوص السالبة: مما يؤدي على التوالي إلى إزالة التجاوز والرنين. تجدر الإشارة إلى أن اقتطاع بعض الفصوص، وليس كلها، يزيل الرنين بعد تلك النقطة، ولكنه لا يقلل من سعة الرنين في الجزء غير المقطوع (لأن ذلك يتحدد بحجم الفص)، ويزيد من مقدار التجاوز إذا كان الفص الأخير غير المقطوع سالبًا، لأن مقدار التجاوز هو تكامل الذيل ، الذي لم يعد يُلغى بواسطة الفصوص الموجبة.

علاوة على ذلك، في التطبيقات العملية، يتم على الأقل اقتطاع دالة sinc، وإلا فسيتعين استخدام عدد لا نهائي من نقاط البيانات (أو بالأحرى، جميع نقاط الإشارة) لحساب كل نقطة من نقاط الخرج - يتوافق الاقتطاع مع نافذة مستطيلة، ويجعل المرشح قابلاً للتنفيذ عمليًا، لكن استجابة التردد لم تعد مثالية. ^{[ 5 ]} في الواقع، إذا أخذنا مرشح تمرير منخفض ذو حافة صلبة (دالة sinc في المجال الزمني، ومستطيلة في المجال الترددي) وقمنا باقتطاعه (ضربه بدالة مستطيلة في المجال الزمني)، فإن هذا يؤدي إلى التفاف المجال الترددي مع دالة sinc (تحويل فورييه للدالة المستطيلة) ويسبب رنينًا في المجال الترددي ، ^{[ 2 ]} والذي يُشار إليه باسم التموج .${\displaystyle {\mathcal {F}}(\mathrm {sinc} \cdot \mathrm {rect} )=\mathrm {rect} *\mathrm {sinc} .}$يُشار إلى رنين التردد في نطاق التوقف أيضًا باسم الفصوص الجانبية . يُفضّل الحصول على استجابة مسطحة في نطاق التمرير، لذا يتم اختيار نوافذ ذات دوال يكون تحويل فورييه الخاص بها أقل تذبذبًا، وبالتالي يكون سلوك مجال التردد أفضل.

يقابل الضرب في المجال الزمني عملية الالتفاف في المجال الترددي، لذا فإن ضرب مرشح بدالة نافذة يقابل عملية التفاف تحويل فورييه للمرشح الأصلي مع تحويل فورييه للنافذة، مما يؤدي إلى تأثير تنعيم – وبالتالي فإن استخدام النافذة في المجال الزمني يقابل عملية التنعيم في المجال الترددي، ويقلل أو يزيل التجاوز والرنين. ^{[ 6 ]}

في مجال التردد ، يمكن تفسير السبب بأنه ناتج عن القطع الحاد (القطع التام)، ويتم تقليل الرنين باستخدام مرشح ذي انحدار أكثر سلاسة. ^{[ 1 ]} ينطبق هذا على مرشح غاوس، الذي يكون مخطط بود الخاص به عبارة عن قطع مكافئ مفتوح لأسفل (انحدار تربيعي)، لأن تحويل فورييه الخاص به هو أيضًا غاوس، وبالتالي (ضمن المقياس)${\displaystyle e^{-x^{2}}}$– ينتج عن أخذ اللوغاريتمات${\displaystyle -x^{2}.}$

في المرشحات الإلكترونية ، يتضح التوازن بين استجابة مجال التردد وتشوهات الرنين في مجال الزمن بشكل جيد من خلال مرشح باترورث : تنحدر استجابة التردد لمرشح باترورث خطيًا على المقياس اللوغاريتمي، حيث يكون ميل مرشح الرتبة الأولى -6 ديسيبل لكل أوكتاف ، ومرشح الرتبة الثانية -12  ديسيبل لكل أوكتاف، ومرشح الرتبة n ميلًا قدره${\displaystyle -6n}$ديسيبل لكل أوكتاف – في النهاية، يقترب هذا من مرشح ذي جدار صلب. وبالتالي، من بين هذه المرشحات، يكون مرشح الرتبة الأولى هو الأبطأ في الانحدار، وبالتالي يُظهر أقل عدد من التشوهات في المجال الزمني، ولكنه يُسرّب أكبر قدر من الإشارة في نطاق الإيقاف، بينما مع زيادة الرتبة، يقل التسريب، ولكن تزداد التشوهات. ^{[ 4 ]}

ومن الآثار الأخرى ظاهرة التجاوز (والنقص)، والتي لا تظهر على شكل حلقات، بل على شكل قفزة متزايدة عند الانتقال. وهي مرتبطة بالرنين، وغالبًا ما تحدث بالتزامن معه.

ينتج كل من التجاوز والنقص عن ذيل سالب - في دالة sinc، وهو التكامل من الصفر الأول إلى اللانهاية، بما في ذلك الفص السالب الأول. بينما ينتج الرنين عن ذيل موجب لاحق - في دالة sinc، وهو التكامل من الصفر الثاني إلى اللانهاية، بما في ذلك الفص الموجب غير المركزي الأول. لذا، يُعد التجاوز ضروريًا لحدوث الرنين، ولكنه قد يحدث بشكل منفصل: على سبيل المثال، يحتوي مرشح لانكزوس ثنائي الفصوص على فص سالب واحد فقط على كل جانب، بدون فص موجب لاحق، وبالتالي يُظهر تجاوزًا ولكن بدون رنين، بينما يُظهر مرشح لانكزوس ثلاثي الفصوص كلاً من التجاوز والرنين، على الرغم من أن استخدام النافذة يقلل من ذلك مقارنةً بمرشح sinc أو مرشح sinc المقتطع.

وبالمثل، فإن نواة الالتفاف المستخدمة في الاستيفاء ثنائي التكعيب تشبه دالة sinc ذات النافذة ثنائية الفصوص، وتأخذ قيمًا سالبة، وبالتالي تنتج قطعًا أثرية زائدة، والتي تظهر على شكل هالات عند الانتقالات.

ينتج عن تجاوز الإشارة ونقصها ظاهرة قص الإشارة . إذا كانت الإشارة محدودة، على سبيل المثال عدد صحيح مكون من 8 بت أو 16 بت، فقد يتجاوز هذا التجاوز ونقص الإشارة نطاق القيم المسموح بها، مما يؤدي إلى قص الإشارة.

من الناحية الدقيقة، يحدث القطع نتيجة لمزيج من التجاوز والدقة العددية المحدودة، ولكنه يرتبط ارتباطًا وثيقًا بالرنين، وغالبًا ما يحدث بالتزامن معه.

يمكن أن يحدث التشويش أيضاً لأسباب غير ذات صلة، نتيجة لتجاوز الإشارة ببساطة نطاق القناة.

من جهة أخرى، يمكن استغلال تقنية القص لإخفاء التشويه الحلقي في الصور. تستخدم بعض برامج ترميز JPEG الحديثة، مثل mozjpeg و ISO libjpeg ، هذه الحيلة لتقليل التشويه الحلقي عن طريق إحداث تجاوزات متعمدة في نتائج تحويل جيب التمام العكسي (IDCT). ^{[ 9 ]} نشأت هذه الفكرة في رقعة برمجية لبرنامج mozjpeg. ^{[ 10 ]}

في معالجة الإشارات والمجالات ذات الصلة، تسمى الظاهرة العامة للتذبذب في المجال الزمني بالرنين ، بينما تسمى التذبذبات في المجال الترددي عمومًا بالتموج ، على الرغم من أنها ليست "تموجًا" بشكل عام.

يُعد استخدام دوال النافذة مصدرًا رئيسيًا للتموج في معالجة الإشارات الرقمية : فإذا أخذنا مرشحًا ذا استجابة نبضية لا نهائية (IIR)، مثل مرشح sinc، وقمنا بتطبيق دالة نافذة عليه لجعله ذا استجابة نبضية محدودة ، كما في طريقة تصميم النافذة ، فإن استجابة التردد للمرشح الناتج هي عملية التفاف بين استجابة تردد مرشح IIR واستجابة تردد دالة النافذة. والجدير بالذكر أن استجابة تردد المرشح المستطيل هي دالة sinc (الدالة المستطيلة ودالة sinc متناظرتان في تحويل فورييه )، وبالتالي فإن اقتطاع المرشح في المجال الزمني يُقابله ضربه بالمرشح المستطيل، ومن ثم عملية التفافه بمرشح sinc في المجال الترددي، مما يُسبب التموج. بالرموز، استجابة التردد لـ${\displaystyle \mathrm {rect} (t)\cdot h(t)}$يكون${\displaystyle \mathrm {sinc} (t)*{\hat {h}}(t).}$على وجه الخصوص، يؤدي اقتطاع دالة sinc نفسها إلى${\displaystyle \mathrm {rect} (t)\cdot \mathrm {sinc} (t)}$في المجال الزمني، و${\displaystyle \mathrm {sinc} (t)*\mathrm {rect} (t)}$في مجال التردد، فكما أن ترشيح الترددات المنخفضة (القطع في مجال التردد) يسبب الرنين في مجال الزمن، فإن القطع في مجال الزمن (التحديد بواسطة مرشح مستطيل) يسبب التموج في مجال التردد.

يمكن أن يؤدي ضغط JPEG إلى ظهور تشوهات رنينية عند الانتقالات الحادة، والتي تكون واضحة بشكل خاص في النصوص.

يعود هذا إلى فقدان مكونات الترددات العالية، كما هو الحال في ظاهرة الرنين في استجابة الخطوة. يستخدم تنسيق JPEG كتلًا بحجم 8×8 ، حيث تُجرى عليها عملية تحويل جيب التمام المنفصل (DCT). يُعدّ تحويل جيب التمام المنفصل تحويلًا مرتبطًا بتحويل فورييه ، ويحدث الرنين نتيجة فقدان مكونات الترددات العالية أو فقدان الدقة فيها.

ويمكن أن تحدث أيضًا على حافة الصورة: نظرًا لأن JPEG يقسم الصور إلى مربعات 8×8، فإذا لم يكن عدد مربعات الصورة عددًا صحيحًا، فلا يمكن ترميز الحافة بسهولة، وتؤدي حلول مثل التعبئة بحدود سوداء إلى حدوث انتقال حاد في المصدر، وبالتالي ظهور تشوهات حلقية في الصورة المشفرة.

يحدث الرنين أيضًا في JPEG 2000 القائم على الموجات الصغيرة .

يحتوي كل من JPEG و JPEG 2000 على عيوب أخرى، كما هو موضح أعلاه، مثل التشويش (" الخطوط المسننة ") وتشويش الحواف (" ضوضاء البعوض ")، على الرغم من أن هذه العيوب ناتجة عن خصائص التنسيقات، وليست رنينًا كما تمت مناقشته هنا.

بعض الرسوم التوضيحية:

• توضيح لعيوب JPEG وJPEG2000 الأساسية

صورة	ضغط بدون فقدان للبيانات	ضغط البيانات مع فقدان البيانات
إبداعي
تمت معالجتها بواسطة كاشف حواف كاني ، مع تسليط الضوء على القطع الأثرية.

في معالجة الإشارات الصوتية ، قد يتسبب الرنين في حدوث أصداء قبل وبعد الإشارات العابرة ، مثل الصوت النبضي الصادر من آلات الإيقاع كالصنج (وهذا ما يُعرف بالرنين النبضي ). ​​لا يُسمع الصدى ( السببي ) الذي يلي الإشارة العابرة، لأنه يُحجب بها، وهي ظاهرة تُسمى الحجب الزمني . وبالتالي ، لا يُسمع إلا الصدى ( المضاد للسببية ) الذي يسبق الإشارة العابرة، وتُسمى هذه الظاهرة بالصدى المسبق .

تحدث هذه الظاهرة كأثر ضغط في خوارزميات ضغط الصوت التي تستخدم تحويلات متعلقة بفورييه ، مثل MP3 و AAC و Vorbis .

قد يؤدي تحسين الحواف ، الذي يهدف إلى زيادة وضوحها، إلى ظهور ظاهرة الرنين، خاصةً عند تكرار استخدامه، كما هو الحال عند تشغيل مشغل أقراص DVD ثم التلفزيون. ويمكن تحقيق ذلك باستخدام مرشح تمرير الترددات العالية ، بدلاً من مرشح تمرير الترددات المنخفضة. ^{[ 4 ]}

تُظهر العديد من الوظائف الخاصة اضمحلالًا تذبذبيًا، وبالتالي فإن الالتفاف مع مثل هذه الوظيفة يؤدي إلى رنين في الإخراج؛ يمكن للمرء أن يعتبر هذه رنينًا، أو أن يقصر المصطلح على القطع الأثرية غير المقصودة في معالجة الإشارات في مجال التردد.

ينتج عن حيود فراونهوفر قرص آيري كدالة انتشار نقطية ، والتي لها نمط رنين.

دالة بيسل من النوع الأول،${\displaystyle J_{0},}$والتي ترتبط بدالة آيري ، تُظهر مثل هذا التضاؤل.

في الكاميرات، قد يؤدي مزيج من عدم وضوح الصورة والانحراف الكروي إلى ظهور تشوهات دائرية ("أنماط حلقية"). ومع ذلك، ليس بالضرورة أن يكون نمط هذه التشوهات مشابهًا للحلقات (كما هو موضح في هذه الصفحة) - فقد يظهر اضمحلالًا تذبذبيًا (دوائر ذات شدة متناقصة)، أو أنماط شدة أخرى، مثل شريط ساطع واحد.

التشويش هو شكل من أشكال التداخل التلفزيوني حيث تتكرر الصورة. على الرغم من أن هذا ليس رنينًا، إلا أنه يمكن تفسيره على أنه التفاف مع دالة، قيمتها 1 عند نقطة الأصل و ε (شدة التشويش) عند مسافة معينة، وهو ما يشبه شكليًا الدوال المذكورة أعلاه (ذروة منفصلة واحدة، بدلاً من التذبذب المستمر).

في التصوير الفوتوغرافي، يعتبر توهج العدسة عيبًا حيث يمكن أن تظهر دوائر مختلفة حول المناطق المضيئة، ومع وجود ظلال في جميع أنحاء الصورة، بسبب الضوء غير المرغوب فيه، مثل الانعكاس والتشتت من العناصر الموجودة في العدسة.

يمكن أن تحدث الأوهام البصرية عند الانتقالات، كما هو الحال في نطاقات ماخ ، والتي تُظهر إدراكياً انخفاضاً/ارتفاعاً مشابهاً لظاهرة جيبس.