قائمة المتطابقات المثلثية

في علم المثلثات ، تُعرَّف المتطابقات المثلثية بأنها معادلات تتضمن دوال مثلثية وتكون صحيحة لكل قيمة من قيم المتغيرات التي يكون طرفا المعادلة مُعرَّفين عندها. هندسيًا، تُعرَّف هذه المتطابقات بأنها متطابقات تتضمن دوالًا معينة لزاوية واحدة أو أكثر . وهي تختلف عن متطابقات المثلث ، التي قد تتضمن زوايا، ولكنها قد تتضمن أيضًا أطوال أضلاع أو أطوال أخرى في المثلث .

تُعدّ هذه المتطابقات مفيدةً عند الحاجة إلى تبسيط التعبيرات التي تتضمن دوالًا مثلثية. ومن أهم تطبيقاتها تكامل الدوال غير المثلثية: حيث تتضمن إحدى التقنيات الشائعة استخدام قاعدة التعويض أولًا مع دالة مثلثية ، ثم تبسيط التكامل الناتج باستخدام متطابقة مثلثية.

الهويات الفيثاغورية

{\displaystyle 1+\cot ^{2}\theta =\csc ^{2}\theta } — الدوال المثلثية ومقلوباتها على دائرة الوحدة. جميع المثلثات القائمة الزاوية متشابهة، أي أن النسب بين أضلاعها المتناظرة متساوية. بالنسبة للدوال sin و cos و tan، يشكل نصف القطر الذي طوله وحدة واحدة وتر المثلث الذي يحددها. تنشأ متطابقات المقلوب كنسب بين أضلاع المثلثات التي لم يعد فيها خط الوحدة هذا هو الوتر. يوضح المثلث المظلل باللون الأزرق هذه المتطابقة. $1+\cot ^{2}\theta =\csc ^{2}\theta$ ويشير المثلث الأحمر إلى ذلك $\tan ^{2}\theta +1=\sec ^{2}\theta$ .

تُعطى العلاقة الأساسية بين الجيب وجيب التمام بواسطة متطابقة فيثاغورس:

$\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1,$

أين $\sin ^{2}\theta$ وسائل ${(\sin \theta )}^{2}$ و $\cos ^{2}\theta$ وسائل ${(\cos \theta )}^{2}.$

يمكن اعتبار هذا بمثابة صيغة من صيغ نظرية فيثاغورس ، وينتج عن المعادلة $x^{2}+y^{2}=1$ بالنسبة لدائرة الوحدة . يمكن حل هذه المعادلة لإيجاد قيمة الجيب أو جيب التمام:

${\begin{aligned}\sin \theta &=\pm {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }},\\\cos \theta &=\pm {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}.\end{محاذاة}}$

حيث تعتمد الإشارة على ربع الدائرة $\theta .$

قسمة هذه الهوية على $\sin ^{2}\theta$ ، $\cos ^{2}\theta$ أو كلاهما ينتج عنه المتطابقات التالية: ${\begin{align}1+\cot ^{2}\theta &=\csc ^{2}\theta \\1+\tan ^{2}\theta &=\sec ^{2}\theta \\\sec ^{2}\theta +\csc ^{2}\theta &=\sec ^{2}\theta \csc ^{2}\theta \end{محاذاة}}$

باستخدام هذه المتطابقات، من الممكن التعبير عن أي دالة مثلثية بدلالة أي دالة أخرى ( حتى علامة زائد أو ناقص):

كل دالة مثلثية بدلالة كل من الدوال الخمس الأخرى. ^{[ 1 ]}
من حيث → ↓	$\sin \theta$	$\csc \theta$	$\cos \theta$	$\sec \theta$	$\tan \theta$	$\cot \theta$
$\sin \theta =$	$\sin \theta$	${\frac {1}{\csc \theta }}$	$\pm {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}$	$\pm {\frac {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}{\sec \theta }}$	$\pm {\frac {\tan \theta }{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}}$
$\csc \theta =$	${\frac {1}{\sin \theta }}$	$\csc \theta$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}$	$\pm {\frac {\sec \theta }{\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}}$	$\pm {\frac {\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}{\tan \theta }}$	$\pm {\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}$
$\cos \theta =$	$\pm {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}$	$\pm {\frac {\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}{\csc \theta }}$	$\cos \theta$	${\frac {1}{\sec \theta }}$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}$	$\pm {\frac {\cot \theta }{\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}}$
$\sec \theta =$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}$	$\pm {\frac {\csc \theta }{\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}$	${\frac {1}{\cos \theta }}$	$\sec \theta$	$\pm {\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}$	$\pm {\frac {\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}{\cot \theta }}$
$\tan \theta =$	$\pm {\frac {\sin \theta }{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}$	$\pm {\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}{\cos \theta }}$	$\pm {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}$	$\tan \theta$	${\frac {1}{\cot \theta }}$
$\cot \theta =$	$\pm {\frac {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}{\sin \theta }}$	$\pm {\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}$	$\pm {\frac {\cos \theta }{\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}}$	${\frac {1}{\tan \theta }}$	$\cot \theta$

الانعكاسات والتحولات والدورية

من خلال فحص دائرة الوحدة، يمكن للمرء أن يحدد الخصائص التالية للدوال المثلثية.

تأملات

{\displaystyle \alpha } — تحويل الإحداثيات ( أ ، ب ) عند تغيير زاوية الانعكاس $\alpha$ بزيادات من ${\frac {\pi }{4}}$

عندما يتم تمثيل اتجاه متجه إقليدي بزاوية $\theta ,$ هذه هي الزاوية التي يحددها المتجه الحر (الذي يبدأ من نقطة الأصل) والمتجه الموجب $x$ - متجه الوحدة . يمكن تطبيق المفهوم نفسه على الخطوط في الفضاء الإقليدي ، حيث تكون الزاوية هي تلك التي يحددها متجه موازٍ للخط المعطى يمر بنقطة الأصل والمتجه الموجب. $x$ المحور - إذا كان هناك خط (متجه) ذو اتجاه $\theta$ ينعكس حول خط ذي اتجاه $\alpha ,$ ثم زاوية الاتجاه $\theta ^{\prime }$ قيمة هذا الخط المنعكس (المتجه) $\theta ^{\prime }=2\alpha -\theta .$

قيم الدوال المثلثية لهذه الزوايا $\theta ,\;\theta ^{\prime }$ لزوايا محددة $\alpha$ تحقق هذه المعادلات متطابقات بسيطة: إما أن تكون متساوية، أو ذات إشارات مختلفة، أو تستخدم الدالة المثلثية المكملة. وتُعرف هذه المعادلات أيضاً بصيغ الاختزال . ^{[ 2 ]}

$\theta$ ينعكس في $\alpha =0$ ^{[ 3 ]} متطابقاتفردية/زوجية	$\theta$ ينعكس في $\alpha ={\frac {\pi }{4}}$ الزوايا المتتامة	$\theta$ ينعكس في $\alpha ={\frac {\pi }{2}}$ الزوايا المتكاملة	$\theta$ ينعكس في $\alpha ={\frac {3\pi }{4}}$	$\theta$ ينعكس في $\alpha =\pi$ الزوايا المترافقة؛ قارن بـ $\alpha =0$
$\sin(-\theta )=-\sin \theta$	$\sin \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)=\cos \theta$	$\sin(\pi -\theta )=+\sin \theta$	$\sin \left({\tfrac {3\pi }{2}}-\theta \right)=-\cos \theta$	$\sin(2\pi -\theta )=-\sin(\theta )=\sin(-\theta )$
$\cos(-\theta )=+\cos \theta$	$\cos \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)=\sin \theta$	$\cos(\pi -\theta )=-\cos \theta$	$\cos \left({\tfrac {3\pi }{2}}-\theta \right)=-\sin \theta$	$\cos(2\pi -\theta )=+\cos(\theta )=\cos(-\theta )$
$\tan(-\theta )=-\tan \theta$	$\tan \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)=\cot \theta$	$\tan(\pi -\theta )=-\tan \theta$	$\tan \left({\tfrac {3\pi }{2}}-\theta \right)=+\cot \theta$	$\tan(2\pi -\theta )=-\tan(\theta )=\tan(-\theta )$
$\csc(-\theta )=-\csc \theta$	$\csc \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)=\sec \theta$	$\csc(\pi -\theta )=+\csc \theta$	$\csc \left({\tfrac {3\pi }{2}}-\theta \right)=-\sec \theta$	$\csc(2\pi -\theta )=-\csc(\theta )=\csc(-\theta )$
$\sec(-\theta )=+\sec \theta$	$\sec \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)=\csc \theta$	$\sec(\pi -\theta )=-\sec \theta$	$\sec \left({\tfrac {3\pi }{2}}-\theta \right)=-\csc \theta$	$\sec(2\pi -\theta )=+\sec(\theta )=\sec(-\theta )$
$\cot(-\theta )=-\cot \theta$	$\cot \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)=\tan \theta$	$\cot(\pi -\theta )=-\cot \theta$	$\cot \left({\tfrac {3\pi }{2}}-\theta \right)=+\tan \theta$	$\cot(2\pi -\theta )=-\cot(\theta )=\cot(-\theta )$

التحولات والدورية

{\displaystyle \theta } — تحويل الإحداثيات ( أ ، ب ) عند تغيير الزاوية $\theta$ بزيادات من ${\frac {\pi }{2}}$

إزاحة الزوايا المتعامدة بمقدار ربع دورة	إزاحة بمقدار نصف دورة في الزوايا المعاكسة	إزاحة بمقدار دورات كاملة للزوايا المتطابقة ^{[ 4 ]}	فترة
$\sin(\theta \pm {\tfrac {\pi }{2}})=\pm \cos \theta$	$\sin(\theta +\pi )=-\sin \theta$	$\sin(\theta +k\cdot 2\pi )=+\sin \theta$	$2\pi$
$\cos(\theta \pm {\tfrac {\pi }{2}})=\mp \sin \theta$	$\cos(\theta +\pi )=-\cos \theta$	$\cos(\theta +k\cdot 2\pi )=+\cos \theta$	$2\pi$
$\csc(\theta \pm {\tfrac {\pi }{2}})=\pm \sec \theta$	$\csc(\theta +\pi )=-\csc \theta$	$\csc(\theta +k\cdot 2\pi )=+\csc \theta$	$2\pi$
$\sec(\theta \pm {\tfrac {\pi }{2}})=\mp \csc \theta$	$\sec(\theta +\pi )=-\sec \theta$	$\sec(\theta +k\cdot 2\pi )=+\sec \theta$	$2\pi$
$\tan(\theta \pm {\tfrac {\pi }{4}})={\tfrac {\tan \theta \pm 1}{1\mp \tan \theta }}$	$\tan(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})=-\cot \theta$	$\tan(\theta +k\cdot \pi )=+\tan \theta$	$\pi$
$\cot(\theta \pm {\tfrac {\pi }{4}})={\tfrac {\cot \theta \mp 1}{1\pm \cot \theta }}$	$\cot(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})=-\tan \theta$	$\cot(\theta +k\cdot \pi )=+\cot \theta$	$\pi$

اللافتات

تعتمد إشارة الدوال المثلثية على ربع الزاوية. إذا ${-\pi }<\theta \leq \pi$ و $sgn$ هي دالة الإشارة ،

${\begin{aligned}\operatorname {sgn}(\sin \theta )=\operatorname {sgn}(\csc \theta )&={\begin{cases}+1&{\text{if}}\ \ 0<\theta <\pi \\-1&{\text{if}}\ \ {-\pi }<\theta <0\\0&{\text{if}}\ \ \theta \in \{0,\pi \}\end{cases}}\\[5mu]\operatorname {sgn}(\cos \theta )=\operatorname {sgn}(\sec \theta )&={\begin{cases}+1&{\text{if}}\ \ {-{\tfrac {\pi }{2}}}<\theta <{\tfrac {\pi }{2}}\\-1&{\text{if}}\ \ {-\pi }<\theta <-{\tfrac {\pi }{2}}\ \ {\text{or}}\ \ {\tfrac {\pi }{2}}<\theta <\pi \\0&{\text{if}}\ \ \theta \in {\bigl \{}{-{\tfrac {\pi }{2}}},{\tfrac {\pi }{2}}{\bigr \}}\end{cases}}\\[5mu]\operatorname {sgn}(\tan \theta )=\operatorname {sgn}(\cot \theta )&={\begin{cases}+1&{\text{if}}\ \ {-\pi }<\theta <-{\tfrac {\pi }{2}}\ \ {\text{or}}\ \ 0<\theta <{\tfrac {\pi }{2}}\\-1&{\text{if}}\ \ {-{\tfrac {\pi }{2}}}<\theta <0\ \ {\text{or}}\ \ {\tfrac {\pi }{2}}<\theta <\pi \\0&{\text{if}}\ \ \theta \in {\bigl \{}{-{\tfrac {\pi }{2}}},0,{\tfrac {\pi }{2}},\pi {\bigr \}}\end{cases}}\end{aligned}}$

الدوال المثلثية دورية ولها دورة مشتركة $2\pi ,$ لذا بالنسبة لقيم $θ$ خارج الفترة $({-\pi },\pi ],$ تأخذ هذه الدوال قيمًا متكررة (انظر قسم الإزاحات والدورية أعلاه). يمكن استخدام إشارة الدالة الجيبية أو الجيبية التمامية لتحديد موجة مربعة مُعَيَّرة . على سبيل المثال، الدوال $\operatorname {sgn}(\sin x)$ و $\operatorname {sgn}(\cos x)$ تأخذ القيم $\pm1$ وتتوافق مع الموجات المربعة مع إزاحة طور $مقدارها π / 2 .$

متطابقات مجموع وفرق الزوايا

{\displaystyle \sin(\alpha -\beta )} — رسم بياني يوضح متطابقات فرق الزاوية لـ $\sin(\alpha -\beta )$ و $\cos(\alpha -\beta )$

وتُعرف هذه أيضًا باسم نظريات جمع وطرح الزوايا (أو الصيغ ). ${\begin{aligned}\sin(\alpha +\beta )&=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta \\\sin(\alpha -\beta )&=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta \\\cos(\alpha +\beta )&=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta \\\cos(\alpha -\beta )&=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta \end{aligned}}$

متطابقات فرق الزاوية لـ $\sin(\alpha -\beta )$ و $\cos(\alpha -\beta )$ يمكن اشتقاقها من صيغ مجموع الزوايا (والعكس صحيح) عن طريق الاستبدال $-\beta$ ل $\beta$ وباستخدام الحقائق التي $\sin(-\beta )=-\sin(\beta )$ و $\cos(-\beta )=\cos(\beta )$ ويمكن اشتقاقها أيضاً باستخدام نسخة معدلة قليلاً من الشكل الخاص بهويات مجموع الزوايا، وكلاهما موضح هنا. كما يمكن اعتبارها تعبيراً عن الضرب القياسي والضرب الاتجاهي لمتجهين بدلالة جيب تمام وجيب الزاوية بينهما.

يتم تلخيص هذه المتطابقات في الصفين الأولين من الجدول التالي، والذي يتضمن أيضًا متطابقات الجمع والطرح للدوال المثلثية الأخرى.

جيب	$\sin(\alpha \pm \beta )$	$=$	$\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$ ^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}
جيب التمام	$\cos(\alpha \pm \beta )$	$=$	$\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$ ^{[ 6 ]}^{[ 7 ]}
مماس	$\tan(\alpha \pm \beta )$	$=$	${\frac {\tan \alpha \pm \tan \beta {1\mp \tan \alpha \tan \beta }}$ ^{[ 6 ]}^{[ 8 ]}
قاطع التمام	$\csc(\alpha \pm \beta )$	$=$	${\frac {\sec \alpha \sec \beta \csc \alpha \csc \beta }{\sec \alpha \csc \beta \pm \csc \alpha \sec \beta }}$ ^{[ 9 ]}
قاطع	$\sec(\alpha \pm \beta )$	$=$	${\frac {\sec \alpha \sec \beta \csc \alpha \csc \beta }{\csc \alpha \csc \beta \mp \sec \alpha \sec \beta }}$ ^{[ 9 ]}
ظل التمام	$\cot(\alpha \pm \beta )$	$=$	${\frac {\cot \alpha \cot \beta \mp 1}{\cot \beta \pm \cot \alpha }}$ ^{[ 6 ]}^{[ 10 ]}
جيب الزاوية العكسي	$\arcsin x\pm \arcsin y$	$=$	$\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}\pm y{\sqrt {1-x^{2}{\vphantom {y}}}}\right)$ ^{[ 11 ]}
جيب الزاوية العكسي	$\arccos x\pm \arccos y$	$=$	$\arccos \left(xy\mp {\sqrt {\left(1-x^{2}\right)\left(1-y^{2}\right)}}\right)$ ^{[ 12 ]}
أركتانجنت	$\arctan x\pm \arctan y$	$=$	$\arctan \left({\frac {x\pm y}{1\mp xy}}\right)$ ^{[ 13 ]}
قوس الظل	$\operatorname {arccot} x\pm \operatorname {arccot} y$	$=$	$\operatorname {arccot} \left({\frac {xy\mp 1}{y\pm x}}\right)$

جيوب وجيوب تمام مجموع عدد لا نهائي من الزوايا

عندما المسلسل ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }\theta _{i}}$ يتقارب بشكل مطلق إذن

$\begin{aligned}{\sin }{\biggl (}\sum _{i=1}^{\infty }\theta _{i}{\biggl )}&=\sum _{{\text{odd}}\ k\geq 1}(-1)^{\frac {k-1}{2}}\!\!\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{\,1,2,3,\dots \,\}\\\left|A\right|=k\end{smallmatrix}}{\biggl (}\prod _{i\in A}\sin \theta _{i}\prod _{i\not \in A}\cos \theta _{i}{\biggr )}\\{\cos }{\biggl (}\sum _{i=1}^{\infty }\theta _{i}{\biggr )}&=\sum _{{\text{even}}\ k\geq 0}(-1)^{\frac {k}{2}}\,\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{\,1,2,3,\dots \,\}\\\left|A\right|=k\end{smallmatrix}}{\biggl (}\prod _{i\in A}\sin \theta _{i}\prod _{i\not \in A}\cos \theta _{i}{\biggr )}.\end{aligned}}}$

لأن المسلسل ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }\theta _{i}}$ إذا تقاربت بشكل مطلق، فمن الضروري أن ${\textstyle \lim _{i\to \infty }\theta _{i}=0,}$ ${\textstyle \lim _{i\to \infty }\sin \theta _{i}=0,}$ و ${\textstyle \lim _{i\to \infty }\cos \theta _{i}=1.}$ على وجه الخصوص، في هاتين المتطابقتين، يظهر تباين لا يُلاحظ في حالة مجموع عدد محدود من الزوايا: ففي كل حاصل ضرب، يوجد عدد محدود فقط من عوامل الجيب، بينما يوجد عدد محدود من عوامل جيب التمام. أما الحدود التي تحتوي على عدد لا نهائي من عوامل الجيب فستكون بالضرورة مساوية للصفر.

عندما يكون عدد الزوايا محدودًا $\theta _{i}$ إذا كانت جميع الحدود غير صفرية، فإن عددًا محدودًا فقط من الحدود على الجانب الأيمن يكون غير صفري، لأن جميع عوامل الجيب تقريبًا تتلاشى. علاوة على ذلك، في كل حد، جميع عوامل جيب التمام تقريبًا تساوي واحدًا.

المماسات وظلال التمام للمجاميع

يترك $e_{k}$ (ل $k=0,1,2,3,\ldots$ ليكن ) متعددة الحدود المتناظرة الأولية من الدرجة $k$ في المتغيرات $x_{i}=\tan \theta _{i}$ ل $i=0,1,2,3,\ldots ,$ إنه،

${\begin{aligned}e_{0}&=1\\[6pt]e_{1}&=\sum _{i}x_{i}&&=\sum _{i}\tan \theta _{i}\\[6pt]e_{2}&=\sum _{i<j}x_{i}x_{j}&&=\sum _{i<j}\tan \theta _{i}\tan \theta _{j}\\[6pt]e_{3}&=\sum _{i<j<k}x_{i}x_{j}x_{k}&&=\sum _{i<j<k}\tan \theta _{i}\tan \theta _{j}\tan \theta _{k}\\&\ \ \vdots &&\ \ \vdots \end{aligned}}$

ثم

$\tan {\Bigl (}\sum _{i}\theta _{i}{\Bigr )}={\frac {e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots }{e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots }}.$ ويمكن إثبات ذلك باستخدام صيغ مجموع الجيب وجيب التمام المذكورة أعلاه: ${\begin{aligned}\tan {\Bigl (}\sum _{i}\theta _{i}{\Bigr )}&={\frac {{\sin }{\bigl (}\sum _{i}\theta _{i}{\bigr )}/\prod _{i}\cos \theta _{i}}{{\cos }{\bigl (}\sum _{i}\theta _{i}{\bigr )}/\prod _{i}\cos \theta _{i}}}\\[10pt]&={\frac {\displaystyle \sum _{{\text{odd}}\ k\geq 1}(-1)^{\frac {k-1}{2}}\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{1,2,3,\dots \}\\\left|A\right|=k\end{smallmatrix}}\prod _{i\in A}\tan \theta _{i}}{\displaystyle \sum _{{\text{even}}\ k\geq 0}~(-1)^{\frac {k}{2}}~~\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{1,2,3,\dots \}\\\left|A\right|=k\end{smallmatrix}}\prod _{i\in A}\tan \theta _{i}}}={\frac {e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots }{e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots }}\\[10pt]\cot {\Bigl (}\sum _{i}\theta _{i}{\Bigr )}&={\frac {e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots }{e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots }}\end{aligned}}$

يعتمد عدد الحدود على الجانب الأيمن على عدد الحدود على الجانب الأيسر.

على سبيل المثال: ${\begin{aligned}\tan(\theta _{1}+\theta _{2})&={\frac {e_{1}}{e_{0}-e_{2}}}={\frac {x_{1}+x_{2}}{1\ -\ x_{1}x_{2}}}={\frac {\tan \theta _{1}+\tan \theta _{2}}{1\ -\ \tan \theta _{1}\tan \theta _{2}}},\\[8pt]\tan(\theta _{1}+\theta _{2}+\theta _{3})&={\frac {e_{1}-e_{3}}{e_{0}-e_{2}}}={\frac {(x_{1}+x_{2}+x_{3})\ -\ (x_{1}x_{2}x_{3})}{1\ -\ (x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3})}},\\[8pt]\tan(\theta _{1}+\theta _{2}+\theta _{3}+\theta _{4})&={\frac {e_{1}-e_{3}}{e_{0}-e_{2}+e_{4}}}\\[8pt]&={\frac {(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4})\ -\ (x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+x_{1}x_{3}x_{4}+x_{2}x_{3}x_{4})}{1\ -\ (x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{3}x_{4})\ +\ (x_{1}x_{2}x_{3}x_{4})}},\end{aligned}}$

وهكذا. يمكن إثبات حالة وجود عدد محدود من الحدود فقط بالاستقراء الرياضي . ^{[ 14 ]} ويمكن إثبات حالة وجود عدد لا نهائي من الحدود باستخدام بعض المتباينات الأولية. ^{[ 15 ]}

التحويلات الكسرية الخطية للمماسات، المرتبطة بمماسات المجاميع

يفترض ${\textstyle a,b,c,d,p,q\in \mathbb {R} }$ و ${\textstyle i={\sqrt {-1}}}$ و

{\frac {ai+b}{ci+d}}=pi+q

ودع ${\textstyle \varphi }$ ليكن أي عدد ${\textstyle \tan \varphi ={\tfrac {c}{d}}.}$ لنفترض أن ${\textstyle {\tfrac {a}{c}}\neq {\tfrac {b}{d}}}$ وبالتالي ، لا يمكن أن يكون الكسر السابق 0/0 . إذن ، بالنسبة لجميع ${\textstyle \theta \in \mathbb {R} }$ ^{[ 16 ]}

{\frac {a\tan \theta +b}{c\tan \theta +d}}=p\tan(\theta -\varphi )+q.

(في حالة كون مقام هذا الكسر يساوي صفرًا، فإننا نأخذ قيمة الكسر على أنها ${\textstyle \infty }$ ، حيث الرمز ${\textstyle \infty }$ لا يعني ذلك أيضاً ${\textstyle +\infty }$ أو ${\textstyle -\infty }$ لكن هل ${\textstyle \infty }$ يتم ذلك من خلال السير في الاتجاه الموجب أو السالب، مما يؤدي إلى إكمال الخط ${\textstyle \mathbb {R} \cup \{\,\infty \,\}}$ (من الناحية الطوبولوجية، دائرة.)

ومن هذه المتطابقة يمكن إثبات بسرعة أن عائلة جميع المتغيرات العشوائية الموزعة وفقًا لتوزيع كوشي مغلقة تحت التحويلات الكسرية الخطية، وهي نتيجة معروفة منذ عام 1976. ^{[ 17 ]}

قواطع وقواطع تمام المجاميع

${\begin{aligned}{\sec }{\Bigl (}\sum _{i}\theta _{i}{\Bigr )}&={\frac {\prod _{i}\sec \theta _{i}}{e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots }}\\[8pt]{\csc }{\Bigl (}\sum _{i}\theta _{i}{\Bigr )}&={\frac {\prod _{i}\sec \theta _{i}}{e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots }}\end{aligned}}$

أين $e_{k}$ هي متعددة الحدود المتناظرة الأولية من الدرجة $k$ في $n$ متغيرات $x_{i}=\tan \theta _{i},$ $i=1,\ldots ,n,$ ويعتمد عدد الحدود في المقام وعدد العوامل في حاصل ضرب البسط على عدد الحدود في المجموع على اليسار. ^{[ 18 ]} ويمكن إثبات حالة وجود عدد محدود فقط من الحدود بالاستقراء الرياضي على عدد هذه الحدود.

على سبيل المثال،

${\begin{aligned}\sec(\alpha +\beta +\gamma )&={\frac {\sec \alpha \sec \beta \sec \gamma }{1-\tan \alpha \tan \beta -\tan \alpha \tan \gamma -\tan \beta \tan \gamma }}\\[8pt]\csc(\alpha +\beta +\gamma )&={\frac {\sec \alpha \sec \beta \sec \gamma }{\tan \alpha +\tan \beta +\tan \gamma -\tan \alpha \tan \beta \tan \gamma }}.\end{aligned}}$

نظرية بطليموس

تُعدّ نظرية بطليموس مهمة في تاريخ المتطابقات المثلثية، إذ إنها الطريقة التي تم بها إثبات نتائج مكافئة لصيغتي المجموع والفرق للجيب وجيب التمام لأول مرة. وتنص على أنه في شكل رباعي دائري $ABCD$ كما هو موضح في الشكل المرفق، فإن مجموع حاصل ضرب أطوال الأضلاع المتقابلة يساوي حاصل ضرب أطوال الأقطار. في الحالات الخاصة التي يكون فيها أحد الأقطار أو الأضلاع قطرًا للدائرة، تُنتج هذه النظرية مباشرةً متطابقات مجموع وفرق الزوايا المثلثية. ^{[ 19 ]} وتكون العلاقة أسهل ما يكون عندما يكون قطر الدائرة مساويًا للواحد، كما هو موضح هنا.

بحسب نظرية طاليس ، $\angle DAB$ و $\angle DCB$ كلاهما زاويتان قائمتان. المثلثات القائمة الزاوية $DAB$ و $DCB$ كلاهما يشتركان في الوتر ${\overline {BD}}$ بطول 1. وبالتالي، فإن الضلع ${\overline {AB}}=\sin \alpha$ ، ${\overline {AD}}=\cos \alpha$ ، ${\overline {BC}}=\sin \beta$ و ${\overline {CD}}=\cos \beta$ .

بحسب نظرية الزاوية المحيطية ، فإن الزاوية المركزية التي يقابلها الوتر ${\overline {AC}}$ الزاوية عند مركز الدائرة هي ضعف الزاوية $\angle ADC$ ، أي $2(\alpha +\beta )$ لذلك، فإن كل زوج من المثلثات الحمراء المتناظرة له زاوية $\alpha +\beta$ في المركز. كل مثلث من هذه المثلثات له وتر طوله ${\textstyle {\frac {1}{2}}}$ لذا فإن طول ${\overline {AC}}$ يكون ${\textstyle 2\times {\frac {1}{2}}\sin(\alpha +\beta )}$ أي ببساطة $\sin(\alpha +\beta )$ القطر الآخر للشكل الرباعي هو القطر الذي طوله 1، لذا فإن حاصل ضرب أطوال القطرين هو أيضًا $\sin(\alpha +\beta )$ .

عند استبدال هذه القيم في نص نظرية بطليموس التي $|{\overline {AC}}|\cdot |{\overline {BD}}|=|{\overline {AB}}|\cdot |{\overline {CD}}|+|{\overline {AD}}|\cdot |{\overline {BC}}|$ وهذا ينتج عنه متطابقة مجموع الزوايا المثلثية للجيب: $\sin(\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$ صيغة فرق الزاوية لـ $\sin(\alpha -\beta )$ ويمكن اشتقاقها بشكل مماثل عن طريق ترك الجانب ${\overline {CD}}$ تُستخدم كقطر بدلاً من ${\overline {BD}}$ [ ¹⁹^]

صيغ الزوايا المتعددة وأنصاف الزوايا

صيغ الزوايا المتعددة

صيغ الزاوية المزدوجة

صيغ الزاوية المزدوجة، بدلالة $f (θ)$ (أو الدالة المرافقة ) و $tan(θ)$ ^{[ 20 ]}^{[ 21 ]}
$f (2 θ)$	الهوية، $f (θ)$ أو الدالة المرافقة.	الهوية، $tan(θ)$
$\sin(2\theta )$	${\begin{aligned}&=2\sin \theta \cos \theta \\&=(\sin \theta +\cos \theta )^{2}-1\end{aligned}}$	$={\frac {2\tan \theta }{1+\tan ^{2}\theta }}$
$\cos(2\theta )$	${\begin{aligned}&=\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta \\&=2\cos ^{2}\theta -1\\&=1-2\sin ^{2}\theta \end{aligned}}$	$={\frac {1-\tan ^{2}\theta }{1+\tan ^{2}\theta }}$
$\tan(2\theta )$		$={\frac {2\tan \theta }{1-\tan ^{2}\theta }}$
$\cot(2\theta )$	$={\frac {\cot ^{2}\theta -1}{2\cot \theta }}$	$={\frac {1-\tan ^{2}\theta }{2\tan \theta }}$
$\sec(2\theta )$	$={\frac {\sec ^{2}\theta }{2-\sec ^{2}\theta }}$	$={\frac {1+\tan ^{2}\theta }{1-\tan ^{2}\theta }}$
$\csc(2\theta )$	$={\frac {\sec \theta \csc \theta }{2}}$	$={\frac {1+\tan ^{2}\theta }{2\tan \theta }}$

صيغ الزاوية الثلاثية

صيغ الزوايا الثلاثية. ^{[ 20 ]}

${\begin{aligned}\sin(3\theta )&=3\sin \theta -4\sin ^{3}\theta &&=4\sin \theta \sin \left({\tfrac {\pi }{3}}-\theta \right)\sin \left({\tfrac {\pi }{3}}+\theta \right)\\\cos(3\theta )&=4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta &&=4\cos \theta \cos \left({\tfrac {\pi }{3}}-\theta \right)\cos \left({\tfrac {\pi }{3}}+\theta \right)\\\tan(3\theta )&={\frac {3\tan \theta -\tan ^{3}\theta }{1-3\tan ^{2}\theta }}&&=\tan \theta \tan \left({\tfrac {\pi }{3}}-\theta \right)\tan \left({\tfrac {\pi }{3}}+\theta \right)\\\cot(3\theta )&={\frac {3\cot \theta -\cot ^{3}\theta }{1-3\cot ^{2}\theta }}\\\sec(3\theta )&={\frac {\sec ^{3}\theta }{4-3\sec ^{2}\theta }}\\\csc(3\theta )&={\frac {\csc ^{3}\theta }{3\csc ^{2}\theta -4}}\\\end{aligned}}$

صيغ الزوايا المتعددة

صيغ الزوايا المتعددة. ^{[ 22 ]}

${\begin{aligned}\sin(n\theta )&=\sum _{k\in \mathbb {O} ^{+}}^{n}(-1)^{\frac {k-1}{2}}{n \choose k}\cos ^{n-k}\theta \sin ^{k}\theta =\sin \theta \sum _{i=0}^{\frac {n+1}{2}}\sum _{j=0}^{i}(-1)^{i-j}{n \choose 2i+1}{i \choose j}\cos ^{n-2(i-j)-1}\theta \\&=\sin(\theta )\sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {n-1}{2}}\right\rfloor }(-1)^{k}{\bigl (}2\cos(\theta ){\bigr )}^{n-2k-1}{n-k-1 \choose k}\\&=2^{(n-1)}\prod _{k=0}^{n-1}\sin \left({\frac {k\pi }{n}}+\theta \right)\\\cos(n\theta )&=\sum _{k\in \mathbb {E} _{0}^{+}}^{n}(-1)^{\frac {k}{2}}{n \choose k}\cos ^{n-k}\theta \sin ^{k}\theta =\sum _{i=0}^{\frac {n}{2}}\sum _{j=0}^{i}(-1)^{i-j}{n \choose 2i}{i \choose j}\cos ^{n-2(i-j)}\theta \\&=\sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }(-1)^{k}{(2\cos(\theta ))}^{n-2k}{n-k \choose k}{\frac {n}{2n-2k}}\\\cos {\bigl (}(2n+1)\theta {\bigr )}&=(-1)^{n}2^{2n}\prod _{k=0}^{2n}\cos \left({\frac {k\pi }{2n+1}}-\theta \right)\\\cos(2n\theta )&=(-1)^{n}2^{2n-1}\prod _{k=0}^{2n-1}\cos \left({\frac {(1+2k)\pi }{4n}}-\theta \right)\\\tan(n\theta )&={\frac {\displaystyle \sum _{k\in \mathbb {O} ^{+}}^{n}(-1)^{\frac {k-1}{2}}{n \choose k}\tan ^{k}\theta }{\displaystyle \sum _{k\in \mathbb {E} _{0}^{+}}^{n}(-1)^{\frac {k}{2}}{n \choose k}\tan ^{k}\theta }}\\\mathbb {O} ^{+}&={\text{Positive odd integers}}\\\mathbb {E} _{0}^{+}&={\text{Non-negative even integers}}\\\end{aligned}}$

طريقة تشيبيشيف

طريقة تشيبيشيف هي خوارزمية تكرارية لإيجاد صيغة الزاوية المتعددة رقم $n$ بمعرفة $(n-1)$ و $(n-2)$ القيم th. ^{[ 23 ]}

$\cos(nx)$ يمكن حسابها من $\cos((n-1)x)$ ، $\cos((n-2)x)$ ، و $\cos(x)$ مع

$\cos(nx)=2\cos x\cos {\bigl (}(n-1)x{\bigr )}-\cos {\bigl (}(n-2)x{\bigr )}.$

ويمكن إثبات ذلك بجمع الصيغ معًا.

${\begin{aligned}\cos {\bigl (}(n-1)x+x{\bigr )}&=\cos {\bigl (}(n-1)x{\bigr )}\cos x-\sin {\bigl (}(n-1)x{\bigr )}\sin x\\\cos {\bigl (}(n-1)x-x{\bigr )}&=\cos {\bigl (}(n-1)x{\bigr )}\cos x+\sin {\bigl (}(n-1)x{\bigr )}\sin x\end{aligned}}$

ويترتب على ذلك بالاستقراء أن $\cos(nx)$ هي متعددة حدود من $\cos x$ ، ما يسمى متعدد الحدود تشيبيشيف من النوع الأول، $T_n$ ؛ وبالتالي،^{[ 24 ]} $\cos(n\theta )=T_{n}(\cos \theta )$

بصورة مماثلة، $\sin(nx)$ يمكن حسابها من ⁠ $\sin((n-1)x)$ ، $\sin((n-2)x)$ ، و $\cos x$ مع $\sin(nx)=2\cos x\sin {\bigl (}(n-1)x{\bigr )}-\sin {\bigl (}(n-2)x{\bigr )}$

ويمكن إثبات ذلك بإضافة صيغ لـ $\sin((n-1)x+x)$ و $\sin((n-1)x-x).$

وبغرض مشابه لغرض طريقة تشيبيشيف، يمكننا كتابة المماس على النحو التالي:

$\tan(nx)={\frac {\tan {\bigl (}(n-1)x{\bigr )}+\tan x}{1-\tan {\bigl (}(n-1)x{\bigr )}\tan x}}\,.$

صيغ نصف الزاوية

${\begin{aligned}\sin {\frac {\theta }{2}}&=\operatorname {sgn} \left(\sin {\frac {\theta }{2}}\right){\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{2}}}\\[3pt]\cos {\frac {\theta }{2}}&=\operatorname {sgn} \left(\cos {\frac {\theta }{2}}\right){\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{2}}}\\[3pt]\tan {\frac {\theta }{2}}&={\frac {1-\cos \theta }{\sin \theta }}={\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}=\csc \theta -\cot \theta ={\frac {\tan \theta }{1+\sec {\theta }}}\\[6mu]&=\operatorname {sgn}(\sin \theta ){\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}}={\frac {-1+\operatorname {sgn}(\cos \theta ){\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}{\tan \theta }}\\[3pt]\cot {\frac {\theta }{2}}&={\frac {1+\cos \theta }{\sin \theta }}={\frac {\sin \theta }{1-\cos \theta }}=\csc \theta +\cot \theta =\operatorname {sgn}(\sin \theta ){\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{1-\cos \theta }}}\\\sec {\frac {\theta }{2}}&=\operatorname {sgn} \left(\cos {\frac {\theta }{2}}\right){\sqrt {\frac {2}{1+\cos \theta }}}\\\csc {\frac {\theta }{2}}&=\operatorname {sgn} \left(\sin {\frac {\theta }{2}}\right){\sqrt {\frac {2}{1-\cos \theta }}}\\\end{aligned}}$ ^{[ 25 ]}^{[ 26 ]}

أيضًا ${\begin{aligned}\tan {\frac {\eta \pm \theta }{2}}&={\frac {\sin \eta \pm \sin \theta }{\cos \eta +\cos \theta }}\\[3pt]\tan \left({\frac {\theta }{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)&=\sec \theta +\tan \theta \\[3pt]{\sqrt {\frac {1-\sin \theta }{1+\sin \theta }}}&={\frac {\left|1-\tan {\frac {\theta }{2}}\right|}{\left|1+\tan {\frac {\theta }{2}}\right|}}\end{aligned}}$

طاولة

ويمكن إثبات ذلك باستخدام إما متطابقات المجموع والفرق أو صيغ الزوايا المتعددة.

	جيب	جيب التمام	مماس	ظل التمام
صيغة الزاوية المزدوجة ^{[ 27 ]}^{[ 28 ]}	${\begin{aligned}\sin(2\theta )&=2\sin \theta \cos \theta \ \\&={\frac {2\tan \theta }{1+\tan ^{2}\theta }}\end{aligned}}$	${\begin{aligned}\cos(2\theta )&=\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta \\&=2\cos ^{2}\theta -1\\&=1-2\sin ^{2}\theta \\&={\frac {1-\tan ^{2}\theta }{1+\tan ^{2}\theta }}\end{aligned}}$	$\tan(2\theta )={\frac {2\tan \theta }{1-\tan ^{2}\theta }}$	$\cot(2\theta )={\frac {\cot ^{2}\theta -1}{2\cot \theta }}$
صيغة الزاوية الثلاثية ^{[ 24 ]}^{[ 29 ]}	${\begin{aligned}\sin(3\theta )&=-\sin ^{3}\theta +3\cos ^{2}\theta \sin \theta \\&=-4\sin ^{3}\theta +3\sin \theta \end{aligned}}$	${\begin{aligned}\cos(3\theta )&=\cos ^{3}\theta -3\sin ^{2}\theta \cos \theta \\&=4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta \end{aligned}}$	$\tan(3\theta )={\frac {3\tan \theta -\tan ^{3}\theta }{1-3\tan ^{2}\theta }}$	$\cot(3\theta )={\frac {3\cot \theta -\cot ^{3}\theta }{1-3\cot ^{2}\theta }}$
صيغة نصف الزاوية ^{[ 25 ]}^{[ 26 ]}	${\begin{aligned}&\sin {\frac {\theta }{2}}=\operatorname {sgn} \left(\sin {\frac {\theta }{2}}\right){\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{2}}}\\\\&\left({\text{or }}\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}={\frac {1-\cos \theta }{2}}\right)\end{aligned}}$	${\begin{aligned}&\cos {\frac {\theta }{2}}=\operatorname {sgn} \left(\cos {\frac {\theta }{2}}\right){\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{2}}}\\\\&\left({\text{or }}\cos ^{2}{\frac {\theta }{2}}={\frac {1+\cos \theta }{2}}\right)\end{aligned}}$	${\begin{aligned}\tan {\frac {\theta }{2}}&=\csc \theta -\cot \theta \\&=\pm \,{\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}}\\[3pt]&={\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}\\[3pt]&={\frac {1-\cos \theta }{\sin \theta }}\\[5pt]\tan {\frac {\eta +\theta }{2}}&={\frac {\sin \eta +\sin \theta }{\cos \eta +\cos \theta }}\\[5pt]\tan \left({\frac {\theta }{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)&=\sec \theta +\tan \theta \\[5pt]{\sqrt {\frac {1-\sin \theta }{1+\sin \theta }}}&={\frac {\left\|1-\tan {\frac {\theta }{2}}\right\|}{\left\|1+\tan {\frac {\theta }{2}}\right\|}}\\[5pt]\tan {\frac {\theta }{2}}&={\frac {\tan \theta }{1+{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}}\\&{\text{for }}\theta \in \left(-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right)\end{aligned}}$	${\begin{aligned}\cot {\frac {\theta }{2}}&=\csc \theta +\cot \theta \\&=\pm \,{\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{1-\cos \theta }}}\\[3pt]&={\frac {\sin \theta }{1-\cos \theta }}\\[4pt]&={\frac {1+\cos \theta }{\sin \theta }}\end{aligned}}$

إن حقيقة أن صيغة الزاوية الثلاثية للجيب وجيب التمام لا تتضمن سوى قوى دالة واحدة تسمح بربط المشكلة الهندسية المتمثلة في إنشاء تقسيم الزاوية الثلاثية باستخدام الفرجار والمسطرة بالمشكلة الجبرية المتمثلة في حل معادلة تكعيبية ، مما يسمح بإثبات أن التقسيم الثلاثي مستحيل بشكل عام باستخدام الأدوات المعطاة.

توجد صيغة لحساب المتطابقات المثلثية لزاوية الثلث، لكنها تتطلب إيجاد أصفار المعادلة التكعيبية $4x³ - 3x + d = 0$ ، حيث $x$ هي قيمة دالة جيب التمام عند زاوية الثلث، و $d$ هي القيمة المعروفة لدالة جيب التمام عند الزاوية الكاملة. مع ذلك، فإن مميز هذه المعادلة موجب، لذا $فإن لها ثلاثة$ $جذور$ حقيقية (واحد منها فقط هو حل جيب تمام زاوية الثلث). لا يمكن اختزال أي من هذه الحلول إلى تعبير جبري حقيقي ، لأنها تستخدم أعدادًا مركبة وسيطة تحت الجذور التكعيبية .

صيغة تقليل استهلاك الطاقة

تم الحصول عليها عن طريق حل النسختين الثانية والثالثة من صيغة جيب التمام للزاوية المزدوجة.

جيب	جيب التمام	آخر
$\sin ^{2}\theta ={\frac {1-\cos(2\theta )}{2}}$	$\cos ^{2}\theta ={\frac {1+\cos(2\theta )}{2}}$	$\sin ^{2}\theta \cos ^{2}\theta ={\frac {1-\cos(4\theta )}{8}}$
$\sin ^{3}\theta ={\frac {3\sin \theta -\sin(3\theta )}{4}}$	$\cos ^{3}\theta ={\frac {3\cos \theta +\cos(3\theta )}{4}}$	$\sin ^{3}\theta \cos ^{3}\theta ={\frac {3\sin(2\theta )-\sin(6\theta )}{32}}$
$\sin ^{4}\theta ={\frac {3-4\cos(2\theta )+\cos(4\theta )}{8}}$	$\cos ^{4}\theta ={\frac {3+4\cos(2\theta )+\cos(4\theta )}{8}}$	$\sin ^{4}\theta \cos ^{4}\theta ={\frac {3-4\cos(4\theta )+\cos(8\theta )}{128}}$
$\sin ^{5}\theta ={\frac {10\sin \theta -5\sin(3\theta )+\sin(5\theta )}{16}}$	$\cos ^{5}\theta ={\frac {10\cos \theta +5\cos(3\theta )+\cos(5\theta )}{16}}$	$\sin ^{5}\theta \cos ^{5}\theta ={\frac {10\sin(2\theta )-5\sin(6\theta )+\sin(10\theta )}{512}}$

{\displaystyle {\overline {AD}}} — صيغة اختزال قوة جيب التمام: رسم توضيحي. المثلثات الحمراء والبرتقالية والزرقاء متشابهة، والمثلثان الأحمر والبرتقالي متطابقان. الوتر ${\overline {AD}}$ طول المثلث الأزرق $2\cos \theta$ الزاوية $\angle DAE$ يكون $\theta$ لذا القاعدة ${\overline {AE}}$ طول هذا المثلث $2\cos ^{2}\theta$ هذا الطول يساوي أيضًا مجموع أطوال ${\overline {BD}}$ و ${\overline {AF}}$ ، أي $1+\cos(2\theta )$ . لذلك، $2\cos ^{2}\theta =1+\cos(2\theta )$ بقسمة كلا الطرفين على $2$ ينتج عنه صيغة تقليل القوة لدالة جيب التمام: $\cos ^{2}\theta =$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}(1+\cos(2\theta ))}$ يمكن الحصول على صيغة نصف الزاوية لجيب التمام عن طريق استبدال $\theta$ مع $\theta /2$ وبأخذ الجذر التربيعي لكلا الطرفين: ${\textstyle \cos \left(\theta /2\right)=\pm {\sqrt {\left(1+\cos \theta \right)/2}}.}$

{\displaystyle EBD} — صيغة تخفيض القدرة الجيبية: رسم توضيحي. المثلثات المظللة باللونين الأزرق والأخضر، والمثلث المحدد باللون الأحمر $EBD$ جميعها زوايا قائمة ومتشابهة، وجميعها تحتوي على الزاوية $\theta$ الوتر ${\overline {BD}}$ طول المثلث المحدد باللون الأحمر $2\sin \theta$ لذا جانبها ${\overline {DE}}$ له طول $2\sin ^{2}\theta$ القطعة المستقيمة ${\overline {AE}}$ له طول $\cos 2\theta$ ومجموع أطوال ${\overline {AE}}$ و ${\overline {DE}}$ يساوي طول ${\overline {AD}}$ ، وهو 1. لذلك، $\cos 2\theta +2\sin ^{2}\theta =1$ الطرح $\cos 2\theta$ من كلا الجانبين والقسمة على 2 ينتج صيغة تقليل القوة للدالة الجيبية: $\sin ^{2}\theta =$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}(1-\cos(2\theta ))}$ يمكن الحصول على صيغة نصف الزاوية للجيب عن طريق استبدال $\theta$ مع $\theta /2$ وبأخذ الجذر التربيعي لكلا الطرفين: ${\textstyle \sin \left(\theta /2\right)=\pm {\sqrt {\left(1-\cos \theta \right)/2}}.}$ لاحظ أن هذا الشكل يوضح أيضًا، في القطعة المستقيمة الرأسية ${\overline {EB}}$ ، الذي - التي $\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$ .

بشكل عام من حيث صلاحيات $\sin \theta$ أو $\cos \theta$ ما يلي صحيح، ويمكن استنتاجه باستخدام صيغة دي موافر ، وصيغة أويلر، ونظرية ذات الحدين .

إذا كان n هو ...	$\cos ^{n}\theta$	$\sin ^{n}\theta$
n فردي	$\cos ^{n}\theta ={\frac {2}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{\frac {n-1}{2}}{\binom {n}{k}}\cos {{\big (}(n-2k)\theta {\big )}}$	$\sin ^{n}\theta ={\frac {2}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{\frac {n-1}{2}}(-1)^{\left({\frac {n-1}{2}}-k\right)}{\binom {n}{k}}\sin {{\big (}(n-2k)\theta {\big )}}$
ن عدد زوجي	$\cos ^{n}\theta ={\frac {1}{2^{n}}}{\binom {n}{\frac {n}{2}}}+{\frac {2}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{{\frac {n}{2}}-1}{\binom {n}{k}}\cos {{\big (}(n-2k)\theta {\big )}}$	$\sin ^{n}\theta ={\frac {1}{2^{n}}}{\binom {n}{\frac {n}{2}}}+{\frac {2}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{{\frac {n}{2}}-1}(-1)^{\left({\frac {n}{2}}-k\right)}{\binom {n}{k}}\cos {{\big (}(n-2k)\theta {\big )}}$

متطابقات تحويل الضرب إلى مجموع والجمع إلى ضرب

يمكن إثبات متطابقات تحويل الضرب إلى مجموع ^{[ 30 ]} أو صيغ البروستافيريسيس بتوسيع طرفها الأيمن باستخدام نظريات جمع الزوايا . تاريخيًا، عُرفت الصيغ الأربع الأولى منها باسم صيغ فيرنر ، نسبةً إلى يوهانس فيرنر الذي استخدمها في الحسابات الفلكية. ^{[ 31 ]} انظر تعديل السعة لتطبيق صيغ تحويل الضرب إلى مجموع، والخفقان (الصوتيات) وكاشف الطور لتطبيقات صيغ تحويل المجموع إلى ضرب.

متطابقات تحويل الضرب إلى مجموع

يمكن تحويل حاصل ضرب جيبين أو جيب تمام لزاويتين مختلفتين إلى مجموع دوال مثلثية تمثل مجموع وفرق هاتين الزاويتين:

${\begin{aligned}\cos \theta \,\cos \varphi &={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\!\!~\cos(\theta -\varphi )+\cos(\theta +\varphi ){\bigr )},\\[5mu]\sin \theta \,\sin \varphi &={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\!\!~\cos(\theta -\varphi )-\cos(\theta +\varphi ){\bigr )},\\[5mu]\sin \theta \,\cos \varphi &={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\!\!~\sin(\theta +\varphi )+\sin(\theta -\varphi ){\bigr )},\\[5mu]\cos \theta \,\sin \varphi &={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\!\!~\sin(\theta +\varphi )-\sin(\theta -\varphi ){\bigr )}.\end{aligned}}$ وكنتيجة لذلك، يمكن تحويل حاصل ضرب أو قسمة الظلال إلى حاصل قسمة مجموع جيوب التمام أو الجيوب، على التوالي. ${\begin{aligned}\tan \theta \,\tan \varphi &={\frac {\cos(\theta -\varphi )-\cos(\theta +\varphi )}{\cos(\theta -\varphi )+\cos(\theta +\varphi )}},\\[5mu]{\frac {\tan \theta }{\tan \varphi }}&={\frac {\sin(\theta +\varphi )+\sin(\theta -\varphi )}{\sin(\theta +\varphi )-\sin(\theta -\varphi )}}.\end{aligned}}$

وبشكل أعم، بالنسبة لحاصل ضرب أي عدد من الجيب أو جيب التمام، ${\begin{aligned}\prod _{k=1}^{n}\cos \theta _{k}&={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{e\in S}\cos(e_{1}\theta _{1}+\cdots +e_{n}\theta _{n})\\[5mu]&{\text{where }}e=(e_{1},\ldots ,e_{n})\in S=\{1,-1\}^{n},\\\prod _{k=1}^{n}\sin \theta _{k}&={\frac {(-1)^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }}{2^{n}}}{\begin{cases}\displaystyle \sum _{e\in S}\cos(e_{1}\theta _{1}+\cdots +e_{n}\theta _{n})\prod _{j=1}^{n}e_{j}\;{\text{if}}\;n\;{\text{is even}},\\\displaystyle \sum _{e\in S}\sin(e_{1}\theta _{1}+\cdots +e_{n}\theta _{n})\prod _{j=1}^{n}e_{j}\;{\text{if}}\;n\;{\text{is odd}}.\end{cases}}\end{aligned}}$

متطابقات الجمع إلى الضرب

يمكن تحويل مجموع جيوب أو جيوب تمام زاويتين إلى حاصل ضرب جيوب أو جيوب تمام المتوسط ونصف الفرق بين الزاويتين: ^{[ 32 ]}

${\begin{aligned}\sin \theta +\sin \varphi &=2\sin {\tfrac {1}{2}}(\theta +\varphi )\,\cos {\tfrac {1}{2}}(\theta -\varphi ),\\[5mu]\sin \theta -\sin \varphi &=2\cos {\tfrac {1}{2}}(\theta +\varphi )\,\sin {\tfrac {1}{2}}(\theta -\varphi ),\\[5mu]\cos \theta +\cos \varphi &=2\cos {\tfrac {1}{2}}(\theta +\varphi )\,\cos {\tfrac {1}{2}}(\theta -\varphi ),\\[5mu]\cos \theta -\cos \varphi &=-2\sin {\tfrac {1}{2}}(\theta +\varphi )\,\sin {\tfrac {1}{2}}(\theta -\varphi ).\end{aligned}}$

يمكن تحويل مجموع ظل زاويتين إلى ناتج قسمة جيب الزوايا على حاصل ضرب جيوب التمام: ^{[ 32 ]} $\tan \theta \pm \tan \varphi ={\frac {\sin(\theta \pm \varphi )}{\cos \theta \,\cos \varphi }}.$

هوية الظل التمام لهيرميت

أثبت تشارلز هيرميت المتطابقة التالية. ^{[ 33 ]} لنفترض $a_{1},\ldots ,a_{n}$ هي أعداد مركبة ، لا يختلف أي عددين منها بمضاعف صحيح للعدد $π$ .

$A_{n,k}=\prod _{\begin{smallmatrix}1\leq j\leq n\\j\neq k\end{smallmatrix}}\cot(a_{k}-a_{j})$

(بخاصة، $A_{1,1},$ كونه منتجًا فارغًا ، هو 1). ثم

$\cot(z-a_{1})\cdots \cot(z-a_{n})=\cos {\frac {n\pi }{2}}+\sum _{k=1}^{n}A_{n,k}\cot(z-a_{k}).$

أبسط مثال غير تافه هو الحالة $n$ $=$ $2$ :

$\cot(z-a_{1})\cot(z-a_{2})=-1+\cot(a_{1}-a_{2})\cot(z-a_{1})+\cot(a_{2}-a_{1})\cot(z-a_{2}).$

الجداءات المنتهية للدوال المثلثية

بالنسبة للأعداد الصحيحة الأولية فيما بينها $n$ و $m$

$\prod _{k=1}^{n}\left(2a+2\cos \left({\frac {2\pi km}{n}}+x\right)\right)=2\left(T_{n}(a)+{(-1)}^{n+m}\cos(nx)\right)$

حيث $T n$ هي متعددة حدود تشيبيشيف .

تنطبق العلاقة التالية على دالة الجيب

$\prod _{k=1}^{n-1}\sin \left({\frac {k\pi }{n}}\right)={\frac {n}{2^{n-1}}}.$

وبشكل أكثر عمومية بالنسبة لعدد صحيح $n > 0$ ^{[ 34 ]}

$\sin(nx)=2^{n-1}\prod _{k=0}^{n-1}\sin \left({\frac {k\pi }{n}}+x\right)=2^{n-1}\prod _{k=1}^{n}\sin \left({\frac {k\pi }{n}}-x\right).$

أو مكتوبة بدلالة وظيفة الوتر ${\textstyle \operatorname {crd} x\equiv 2\sin {\tfrac {1}{2}}x}$ ،

$\operatorname {crd} (nx)=\prod _{k=1}^{n}\operatorname {crd} \left({\frac {2k\pi }{n}}-x\right).$

هذا ناتج عن تحليل متعددة الحدود ${\textstyle z^{n}-1}$ إلى عوامل خطية (انظر جذر الوحدة ): لأي عدد مركب $z$ وعدد صحيح $n > 0$ ،

$z^{n}-1=\prod _{k=1}^{n}\left(z-\exp {\frac {2ki\pi }{n}}\right).$

التركيبات الخطية

لأغراض معينة، من المهم معرفة أن أي توليفة خطية من موجات جيبية لها نفس الدورة أو التردد ولكن بإزاحات طور مختلفة ، هي أيضًا موجة جيبية لها نفس الدورة أو التردد، ولكن بإزاحة طور مختلفة. هذا مفيد في مطابقة بيانات الموجات الجيبية ، لأن البيانات المقاسة أو المرصودة ترتبط خطيًا بالمجهولين $a$ و $b$ في أساس مكونات الطور والتربيع الموضح أدناه، مما ينتج عنه مصفوفة جاكوبية أبسط مقارنةً بـ $c$ و $\varphi$ .

الجيب وجيب التمام

إن التركيب الخطي، أو الجمع التوافقي، لموجات الجيب وجيب التمام يعادل موجة جيبية واحدة مع إزاحة طور وسعة متغيرة، ^{[ 35 ]}^{[ 36 ]}

$a\cos x+b\sin x=c\cos(x+\varphi )$

أين $c$ و $\varphi$ يتم تعريفها على النحو التالي:

${\begin{aligned}c&=\operatorname {sgn}(a){\sqrt {a^{2}+b^{2}}},\\\varphi &=\arctan \left(-{\frac {b}{a}}\right),\end{aligned}}$

بشرط $a\neq 0.$

إزاحة طورية عشوائية

وبشكل أعم، بالنسبة لأي إزاحة طورية، لدينا

$a\sin(x+\theta _{a})+b\sin(x+\theta _{b})=c\sin(x+\varphi )$

أين $c$ و $\varphi$ إرضاء:

${\begin{aligned}c^{2}&=a^{2}+b^{2}+2ab\cos \left(\theta _{a}-\theta _{b}\right),\\\tan \varphi &={\frac {a\sin \theta _{a}+b\sin \theta _{b}}{a\cos \theta _{a}+b\cos \theta _{b}}}.\end{aligned}}$

أكثر من جيبين

الحالة العامة هي ^{[ 36 ]}

$\sum _{i}a_{i}\sin(x+\theta _{i})=a\sin(x+\theta ),$ أين $a^{2}=\sum _{i,j}a_{i}a_{j}\cos(\theta _{i}-\theta _{j})$ و $\tan \theta ={\frac {\sum _{i}a_{i}\sin \theta _{i}}{\sum _{i}a_{i}\cos \theta _{i}}}.$

متطابقات لاغرانج المثلثية

هذه الهويات، التي سميت على اسم جوزيف لويس لاغرانج ، هي: ^{[ 37 ]}^{[ 38 ]}^{[ 39 ]} ${\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n}\sin k\theta &={\frac {\cos {\tfrac {1}{2}}\theta -\cos \left(\left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)\theta \right)}{2\sin {\tfrac {1}{2}}\theta }}\\[5pt]\sum _{k=1}^{n}\cos k\theta &={\frac {-\sin {\tfrac {1}{2}}\theta +\sin \left(\left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)\theta \right)}{2\sin {\tfrac {1}{2}}\theta }}\end{aligned}}$ ل $\theta \not \equiv 0{\pmod {2\pi }}.$

ومن الوظائف ذات الصلة نواة ديريشليه :

$D_{n}(\theta )=1+2\sum _{k=1}^{n}\cos k\theta ={\frac {\sin \left(\left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)\theta \right)}{\sin {\tfrac {1}{2}}\theta }}.$

هوية مماثلة هي ^{[ 40 ]}

$\sum _{k=1}^{n}\cos(2k-1)\alpha ={\frac {\sin(2n\alpha )}{2\sin \alpha }}.$

والبرهان هو التالي. باستخدام متطابقات مجموع وفرق الزوايا ، $\sin(A+B)-\sin(A-B)=2\cos A\sin B.$ فلنقم الآن بدراسة الصيغة التالية،

$2\sin \alpha \sum _{k=1}^{n}\cos(2k-1)\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha +2\sin \alpha \cos 3\alpha +2\sin \alpha \cos 5\alpha +\cdots +2\sin \alpha \cos(2n-1)\alpha$ ويمكن كتابة هذه الصيغة باستخدام المتطابقة المذكورة أعلاه،

${\begin{aligned}&2\sin \alpha \sum _{k=1}^{n}\cos(2k-1)\alpha \\&\quad =\sum _{k=1}^{n}(\sin(2k\alpha )-\sin(2(k-1)\alpha ))\\&\quad =(\sin 2\alpha -\sin 0)+(\sin 4\alpha -\sin 2\alpha )+(\sin 6\alpha -\sin 4\alpha )+\cdots +(\sin(2n\alpha )-\sin(2(n-1)\alpha ))\\&\quad =\sin(2n\alpha ).\end{aligned}}$

لذا، بقسمة هذه الصيغة على $2\sin \alpha$ وهذا يُكمل البرهان.

بعض التحويلات الكسرية الخطية

لو $f(x)$ يتم الحصول عليها عن طريق التحويل الكسري الخطي $f(x)={\frac {(\cos \alpha )x-\sin \alpha }{(\sin \alpha )x+\cos \alpha }},$ وبالمثل $g(x)={\frac {(\cos \beta )x-\sin \beta }{(\sin \beta )x+\cos \beta }},$ ثم $f{\big (}g(x){\big )}=g{\big (}f(x){\big )}={\frac {{\big (}\cos(\alpha +\beta ){\big )}x-\sin(\alpha +\beta )}{{\big (}\sin(\alpha +\beta ){\big )}x+\cos(\alpha +\beta )}}.$

وبعبارة أخرى، إن كان ذلك للجميع $\alpha$ لقد سمحنا $f_{\alpha }$ كن ما كنا نسميه $f$ أعلاه، ثم $f_{\alpha }\circ f_{\beta }=f_{\alpha +\beta }.$

لو $x$ إذا كان ميل الخط مستقيماً، $f(x)$ ميل دورانها بزاوية $-\alpha .$

العلاقة بالدالة الأسية المركبة

تنص صيغة أويلر على أنه لأي عدد حقيقي x : ^{[ 41 ]} $e^{ix}=\cos x+i\sin x,$ حيث i هي الوحدة التخيلية . وبالتعويض عن x بـ − x نحصل على : $e^{-ix}=\cos(-x)+i\sin(-x)=\cos x-i\sin x.$

يمكن استخدام هاتين المعادلتين لحساب جيب التمام وجيب الزاوية بدلالة الدالة الأسية . تحديدًا، ^{[ 42 ]}^{[ 43 ]} $\cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}$ $\sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}$

تُعدّ هذه الصيغ مفيدة لإثبات العديد من المتطابقات المثلثية الأخرى. على سبيل المثال، فإنّ $e i (θ + φ) = e iθ e iφ$ تعني أن

cos(θ + φ) + i sin(θ + φ) = (cos θ + i sin θ) (cos φ + i sin φ) = (cos θ cos φ - sin θ sin φ) + i (cos θ sin φ + sin θ cos φ)

.

إنّ تساوي الجزء الحقيقي من الطرف الأيسر مع الجزء الحقيقي من الطرف الأيمن هو صيغة جمع الزوايا لجيب التمام. أما تساوي الأجزاء التخيلية فيعطي صيغة جمع الزوايا للجيب.

يوضح الجدول التالي الدوال المثلثية ومعكوساتها بدلالة الدالة الأسية واللوغاريتم المركب .

وظيفة	الدالة العكسية ^{[ 44 ]}
$\sin \theta ={\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}}$	$\arcsin x=-i\,\ln \left(ix+{\sqrt {1-x^{2}}}\right)$
$\cos \theta ={\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}}$	$\arccos x=-i\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)$
$\tan \theta =-i\,{\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{e^{i\theta }+e^{-i\theta }}}$	$\arctan x={\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {i+x}{i-x}}\right)$
$\csc \theta ={\frac {2i}{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}}$	$\operatorname {arccsc} x=-i\,\ln \left({\frac {i}{x}}+{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}\right)$
$\sec \theta ={\frac {2}{e^{i\theta }+e^{-i\theta }}}$	$\operatorname {arcsec} x=-i\,\ln \left({\frac {1}{x}}+i{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}\right)$
$\cot \theta =i\,{\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}}$	$\operatorname {arccot} x={\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {x-i}{x+i}}\right)$
$\operatorname {cis} \theta =e^{i\theta }$	$\operatorname {arccis} x=-i\ln x$

العلاقة بالدوال الزائدية المعقدة

يمكن استنتاج الدوال المثلثية من الدوال الزائدية ذات الوسائط المركبة . ترد صيغ العلاقات أدناه ^{[ 45 ]}^{[ 46 ]} . ${\begin{aligned}\sin x&=-i\sinh(ix)\\\cos x&=\cosh(ix)\\\tan x&=-i\tanh(ix)\\\cot x&=i\coth(ix)\\\sec x&=\operatorname {sech} (ix)\\\csc x&=i\operatorname {csch} (ix)\\\end{aligned}}$

توسعة السلسلة

عند استخدام متسلسلة القوى لتعريف الدوال المثلثية، يتم الحصول على المتطابقات التالية: ^{[ 47 ]}

\begin{aligned}\sin x&=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots &&=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}\\\cos x&=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots &&=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}\end{aligned}}}

صيغ المنتج اللانهائي

بالنسبة للتطبيقات على الدوال الخاصة ، فإن صيغ الضرب اللانهائي التالية للدوال المثلثية مفيدة: ^{[ 48 ]}^{[ 49 ]}

$\begin{aligned}\sin x&=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right),&\cos x&=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}\left(n-{\frac {1}{2}}\right)\!{\vphantom {)}}^{2}}}\right),\\[10mu]\sinh x&=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right),&\cosh x&=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}\left(n-{\frac {1}{2}}\right)\!{\vphantom {)}}^{2}}}\right).\end{aligned}}}$

الدوال المثلثية العكسية

تُعطي المتطابقات التالية نتيجة تركيب دالة مثلثية مع دالة مثلثية عكسية. ^{[ 50 ]}

${\begin{align}\sin(\arcsin x)&=x&\cos(\arcsin x)&={\sqrt {1-x^{2}}}&\tan(\arcsin x)&={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\\\sin(\arccos x)&={\sqrt $$ {1+x^{2}}}}&\tan(\arctan x)&=x\\\sin(\operatorname {arccsc} x)&={\frac {1}{x}}&\cos(\operatorname {arccsc} x)&={\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}&\tan(\operatorname {arccsc} x)&={\frac {1}{x{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}}}\\\sin(\operatorname {arcsec} x)&={\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}&\cos(\operatorname {arcsec} x)&={\frac {1}{x}}&\tan(\operatorname {arcsec} x)&=x{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}} {1}{x^{2}}}}}\\\sin(\operatorname {arccot} x)&={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}&\cos(\operatorname {arccot} x)&={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}&\tan(\operatorname {arccot} x)&={\frac {1}{x}}\\\end{aligned}}$

بأخذ المعكوس الضربي لكلا طرفي كل معادلة من المعادلات أعلاه، نحصل على المعادلات الخاصة بـ $\csc ={\frac {1}{\sin }},\;\sec ={\frac {1}{\cos }},{\text{ و }}\cot ={\frac {1}{\tan }}.$ سيتم دائمًا عكس الطرف الأيمن من الصيغة أعلاه. على سبيل المثال، معادلة $\cot(\arcsin x)$ يكون: $\cot(\arcsin x)={\frac {1}{\tan(\arcsin x)}}={\frac {1}{\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}}={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}$ بينما معادلات لـ $\csc(\arccos x)$ و $\sec(\arccos x)$ نكون: $\csc(\arccos x)={\frac {1}{\sin(\arccos x)}}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\qquad {\text{ و }}\quad \sec(\arccos x)={\frac {1}{\cos(\arccos x)}}={\frac {1}{x}}.$

تُستنتج الهويات التالية من هويات الانعكاس . وهي صحيحة كلما $x,r,s,-x,-r,$ و $-s$ تقع ضمن نطاق الوظائف ذات الصلة. ${\begin{alignedat}{9}{\frac {\pi }{2}}~&=~\arcsin(x)&&+\arccos(x)~&&=~\arctan(r)&&+\operatorname {arccot}(r)~&&=~\operatorname {arcsec}(s)&&+\operatorname {arccsc}(s)\\[0.4ex]\pi ~&=~\arccos(x)&&+\arccos(-x)~&&=~\operatorname {arccot}(r)&&+\operatorname {arccot}(-r)~&&=~\operatorname {arcsec}(s)&&+\operatorname {arcsec}(-s)\\[0.4ex]0~&=~\arcsin(x)&&+\arcsin(-x)~&&=~\arctan(r)&&+\arctan(-r)~&&=~\operatorname {arccsc}(s)&&+\operatorname {arccsc}(-s)\\[1.0ex]\end{alignedat}}$

أيضًا، ^{[ 51 ]} ${\begin{aligned}\arctan x+\arctan {\dfrac {1}{x}}&={\begin{cases}{\frac {\pi }{2}},&{\text{if }}x>0\\-{\frac {\pi }{2}},&{\text{if }}x<0\end{cases}}\\\operatorname {arccot} x+\operatorname {arccot} {\dfrac {1}{x}}&={\begin{cases}{\frac {\pi }{2}},&{\text{if }}x>0\\{\frac {3\pi }{2}},&{\text{if }}x<0\end{cases}}\\\end{aligned}}$ $\arccos {\frac {1}{x}}=\operatorname {arcsec} x\qquad {\text{ and }}\qquad \operatorname {arcsec} {\frac {1}{x}}=\arccos x$ $\arcsin {\frac {1}{x}}=\operatorname {arccsc} x\qquad {\text{ and }}\qquad \operatorname {arccsc} {\frac {1}{x}}=\arcsin x$

يمكن توسيع دالة الظل العكسي كمتسلسلة: ^{[ 52 ]} $\arctan(nx)=\sum _{m=1}^{n}\arctan {\frac {x}{1+(m-1)mx^{2}}}$

متطابقات بدون متغيرات

من حيث دالة الظل العكسي لدينا ^{[ 51 ]} $\arctan {\frac {1}{2}}=\arctan {\frac {1}{3}}+\arctan {\frac {1}{7}}$

وهي حالة خاصة من متطابقة الظل العكسي لأويلر ^{[ 53 ]} :

$\arctan {\frac {1}{p}}=\arctan {\frac {1}{p+q}}+\arctan {\frac {q}{p^{2}+pq+1}}.$

الهوية الغريبة المعروفة باسم قانون موري ، $\cos 20^{\circ }\cdot \cos 40^{\circ }\cdot \cos 80^{\circ }={\frac {1}{8}},$

هي حالة خاصة من الهوية تحتوي على متغير واحد: $\prod _{j=0}^{k-1}\cos \left(2^{j}x\right)={\frac {\sin \left(2^{k}x\right)}{2^{k}\sin x}}.$

بصورة مماثلة، $\sin 20^{\circ }\cdot \sin 40^{\circ }\cdot \sin 80^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{8}}$ هي حالة خاصة من الهوية مع $x=20^{\circ }$ : $\sin x\cdot \sin \left(60^{\circ }-x\right)\cdot \sin \left(60^{\circ }+x\right)={\frac {\sin 3x}{4}}.$

في هذه الحالة $x=15^{\circ }$ ، ${\begin{aligned}\sin 15^{\circ }\cdot \sin 45^{\circ }\cdot \sin 75^{\circ }&={\frac {\sqrt {2}}{8}},\\\sin 15^{\circ }\cdot \sin 75^{\circ }&={\frac {1}{4}}.\end{aligned}}$

في هذه الحالة $x=10^{\circ }$ ، $\sin 10^{\circ }\cdot \sin 50^{\circ }\cdot \sin 70^{\circ }={\frac {1}{8}}.$

نفس متطابقة جيب التمام هي $\cos x\cdot \cos \left(60^{\circ }-x\right)\cdot \cos \left(60^{\circ }+x\right)={\frac {\cos 3x}{4}}.$

بصورة مماثلة، ${\begin{aligned}\cos 10^{\circ }\cdot \cos 50^{\circ }\cdot \cos 70^{\circ }&={\frac {\sqrt {3}}{8}},\\\cos 15^{\circ }\cdot \cos 45^{\circ }\cdot \cos 75^{\circ }&={\frac {\sqrt {2}}{8}},\\\cos 15^{\circ }\cdot \cos 75^{\circ }&={\frac {1}{4}}.\end{aligned}}$

بصورة مماثلة، ${\begin{aligned}\tan 50^{\circ }\cdot \tan 60^{\circ }\cdot \tan 70^{\circ }&=\tan 80^{\circ },\\\tan 40^{\circ }\cdot \tan 30^{\circ }\cdot \tan 20^{\circ }&=\tan 10^{\circ }.\end{aligned}}$

قد لا يكون من السهل تعميم ما يلي على متطابقة تحتوي على متغيرات (لكن انظر الشرح أدناه): $\cos 24^{\circ }+\cos 48^{\circ }+\cos 96^{\circ }+\cos 168^{\circ }={\frac {1}{2}}.$

يصبح قياس الدرجات أقل ملاءمة من قياس الراديان عندما نأخذ في الاعتبار هذه المطابقة مع 21 في المقامات: $\cos {\frac {2\pi }{21}}+\cos \left(2\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(4\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(5\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(8\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(10\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)={\frac {1}{2}}.$

قد تُساعد العوامل 1، 2، 4، 5، 8، 10 في توضيح النمط: فهي الأعداد الصحيحة الأقل من 21/2 التي هي أولية نسبيًا مع 21 (أو ليس لها عوامل أولية مشتركة معه). تُعدّ الأمثلة الأخيرة نتائج طبيعية لحقيقة أساسية حول كثيرات الحدود الدائرية غير القابلة للاختزال : جيوب التمام هي الأجزاء الحقيقية لأصفار هذه كثيرات الحدود؛ ومجموع الأصفار هو دالة موبيوس عند (في الحالة الأخيرة أعلاه) 21؛ نصف الأصفار فقط موجود أعلاه. وتظهر المتطابقة التي تسبق هذه الأخيرة بنفس الطريقة مع استبدال 21 بـ 15.

تشمل متطابقات جيب التمام الأخرى ما يلي: ^{[ 54 ]} ${\begin{aligned}2\cos {\frac {\pi }{3}}&=1,\\2\cos {\frac {\pi }{5}}\times 2\cos {\frac {2\pi }{5}}&=1,\\2\cos {\frac {\pi }{7}}\times 2\cos {\frac {2\pi }{7}}\times 2\cos {\frac {3\pi }{7}}&=1,\end{aligned}}$ وهكذا بالنسبة لجميع الأعداد الفردية، ومن ثم $\cos {\frac {\pi }{3}}+\cos {\frac {\pi }{5}}\times \cos {\frac {2\pi }{5}}+\cos {\frac {\pi }{7}}\times \cos {\frac {2\pi }{7}}\times \cos {\frac {3\pi }{7}}+\dots =1.$

ينبع العديد من تلك الهويات الغريبة من حقائق أكثر عمومية مثل ما يلي: ^{[ 55 ]} $\prod _{k=1}^{n-1}\sin {\frac {k\pi }{n}}={\frac {n}{2^{n-1}}}$ و $\prod _{k=1}^{n-1}\cos {\frac {k\pi }{n}}={\frac {\sin {\frac {\pi n}{2}}}{2^{n-1}}}.$

إن الجمع بين هذه الأمور يعطينا $\prod _{k=1}^{n-1}\tan {\frac {k\pi }{n}}={\frac {n}{\sin {\frac {\pi n}{2}}}}$

إذا كان $n$ عددًا فرديًا ( $n=2m+1$ يمكننا الاستفادة من التناظرات للحصول على $\prod _{k=1}^{m}\tan {\frac {k\pi }{2m+1}}={\sqrt {2m+1}}$

يمكن التعبير عن دالة نقل مرشح تمرير الترددات المنخفضة من نوع Butterworth بدلالة متعددة الحدود والأقطاب. وبتحديد التردد كتردد القطع ، يمكن إثبات المتطابقة التالية: $\prod _{k=1}^{n}\sin {\frac {\left(2k-1\right)\pi }{4n}}=\prod _{k=1}^{n}\cos {\frac {\left(2k-1\right)\pi }{4n}}={\frac {\sqrt {2}}{2^{n}}}$

حساب $π$

تعتمد إحدى الطرق الفعالة لحساب قيمة $π$ لعدد كبير من الأرقام على المتطابقة التالية بدون متغيرات، والتي تعود إلى ماشين . وتُعرف هذه الصيغة باسم صيغة شبيهة بماشين : ${\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}$ أو بدلاً من ذلك، باستخدام متطابقة ليونارد أويلر : ${\frac {\pi }{4}}=5\arctan {\frac {1}{7}}+2\arctan {\frac {3}{79}}$ أو باستخدام الأعداد الثلاثية الفيثاغورية : $\pi =\arccos {\frac {4}{5}}+\arccos {\frac {5}{13}}+\arccos {\frac {16}{65}}=\arcsin {\frac {3}{5}}+\arcsin {\frac {12}{13}}+\arcsin {\frac {63}{65}}.$

وتشمل الأمثلة الأخرى: ^{[ 56 ]}^{[ 51 ]} ${\frac {\pi }{4}}=\arctan {\frac {1}{2}}+\arctan {\frac {1}{3}},$ $\pi =\arctan 1+\arctan 2+\arctan 3,$ ${\frac {\pi }{4}}=2\arctan {\frac {1}{3}}+\arctan {\frac {1}{7}}.$

$بشكل عام$ ، بالنسبة للأعداد $t₁, ..., tₙ₋₁ \in (-1, 1)$ $التي تحقق θₙ = Σₙ₋₁$ $k$ = $1 arctan tₖ \in (π / 4, 3π / 4)$ ، نفرض أن $tₙ$ $= tan (π /2 - θₙ) = cot θₙ .$ يمكن حساب هذا التعبير الأخير مباشرةً باستخدام صيغة ظل تمام مجموع الزوايا التي تكون ظلالها $t₁, ..., tₙ₋₁ ،$ وستكون قيمته في $(-1, 1)$ $. على وجه الخصوص، ستكون$ $قيمة$ $tₙ$ المحسوبة عددًا نسبيًا عندما تكون جميع قيم $t₁, ..., tₙ₋₁ أعدادًا نسبية$ . باستخدام هذه القيم، ${\begin{aligned}{\frac {\pi }{2}}&=\sum _{k=1}^{n}\arctan(t_{k})\\\pi &=\sum _{k=1}^{n}\operatorname {sgn}(t_{k})\arccos \left({\frac {1-t_{k}^{2}}{1+t_{k}^{2}}}\right)\\\pi &=\sum _{k=1}^{n}\arcsin \left({\frac {2t_{k}}{1+t_{k}^{2}}}\right)\\\pi &=\sum _{k=1}^{n}\arctan \left({\frac {2t_{k}}{1-t_{k}^{2}}}\right)\,,\end{aligned}}$

في جميع الصيغ باستثناء الأولى، استخدمنا صيغ نصف الزاوية الظلية. تعمل الصيغتان الأوليان حتى لو لم تكن قيمة واحدة أو أكثر من قيم $t k$ $ضمن النطاق (-1, 1)$ . لاحظ أنه إذا كان $t = p / q$ عددًا نسبيًا، فإن قيم $(2 t, 1 - t 2, 1 + t 2)$ في الصيغ أعلاه تتناسب مع ثلاثية فيثاغورس $(2 pq, q 2 - p 2, q 2 + p 2)$ .

على سبيل المثال، بالنسبة لـ $n = 3$ حدود، ${\frac {\pi }{2}}=\arctan \left({\frac {a}{b}}\right)+\arctan \left({\frac {c}{d}}\right)+\arctan \left({\frac {bd-ac}{ad+bc}}\right)$ لأي $a و b و c و d > 0$ .

هوية إقليدس

بيّن إقليدس في الكتاب الثالث عشر، القضية العاشرة من كتابه "الأصول" ، أن مساحة المربع على ضلع خماسي منتظم مرسوم داخل دائرة تساوي مجموع مساحتي المربعين على ضلعي سداسي منتظم وعشاري منتظم مرسومين داخل الدائرة نفسها. وبعبارة أخرى في علم المثلثات الحديث، يُقال: $\sin ^{2}18^{\circ }+\sin ^{2}30^{\circ }=\sin ^{2}36^{\circ }.$

استخدم بطليموس هذا الافتراض لحساب بعض الزوايا في جدول الأوتار الخاص به في الكتاب الأول، الفصل 11 من كتاب المجسطي .

تركيب الدوال المثلثية

تتضمن هذه المتطابقات دالة مثلثية لدالة مثلثية: ^{[ 57 ]}

\cos(t\sin x)=J_{0}(t)+2\sum _{k=1}^{\infty }J_{2k}(t)\cos(2kx)

\sin(t\sin x)=2\sum _{k=0}^{\infty }J_{2k+1}(t)\sin {\big (}(2k+1)x{\big )}

\cos(t\cos x)=J_{0}(t)+2\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}J_{2k}(t)\cos(2kx)

\sin(t\cos x)=2\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}J_{2k+1}(t)\cos {\big (}(2k+1)x{\big )}

حيث $J i$ هي دوال بيسل .

متطابقات "شرطية" إضافية للحالة α + β + γ = 180°

المتطابقة المثلثية الشرطية هي متطابقة مثلثية تتحقق إذا تحققت شروط محددة على وسائط الدوال المثلثية. ^{[ 58 ]} تنطبق الصيغ التالية على المثلثات المستوية العشوائية وتنبثق من $\alpha +\beta +\gamma =180^{\circ },$ طالما أن الدوال الواردة في الصيغ محددة جيدًا (ينطبق هذا الأخير فقط على الصيغ التي تظهر فيها المماسات وظلال التمام). ^{[ 59 ]} ${\begin{aligned}\tan \alpha +\tan \beta +\tan \gamma &=\tan \alpha \tan \beta \tan \gamma \\1&=\cot \beta \cot \gamma +\cot \gamma \cot \alpha +\cot \alpha \cot \beta \\\cot \left({\frac {\alpha }{2}}\right)+\cot \left({\frac {\beta }{2}}\right)+\cot \left({\frac {\gamma }{2}}\right)&=\cot \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\cot \left({\frac {\beta }{2}}\right)\cot \left({\frac {\gamma }{2}}\right)\\1&=\tan \left({\frac {\beta }{2}}\right)\tan \left({\frac {\gamma }{2}}\right)+\tan \left({\frac {\gamma }{2}}\right)\tan \left({\frac {\alpha }{2}}\right)+\tan \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\tan \left({\frac {\beta }{2}}\right)\\\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma &=4\cos \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\cos \left({\frac {\beta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)\\-\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma &=4\cos \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\sin \left({\frac {\beta }{2}}\right)\sin \left({\frac {\gamma }{2}}\right)\\\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma &=4\sin \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\sin \left({\frac {\beta }{2}}\right)\sin \left({\frac {\gamma }{2}}\right)+1\\-\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma &=4\sin \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\cos \left({\frac {\beta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)-1\\\sin(2\alpha )+\sin(2\beta )+\sin(2\gamma )&=4\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma \\-\sin(2\alpha )+\sin(2\beta )+\sin(2\gamma )&=4\sin \alpha \cos \beta \cos \gamma \\\cos(2\alpha )+\cos(2\beta )+\cos(2\gamma )&=-4\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma -1\\-\cos(2\alpha )+\cos(2\beta )+\cos(2\gamma )&=-4\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma +1\\\sin ^{2}\alpha +\sin ^{2}\beta +\sin ^{2}\gamma &=2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma +2\\-\sin ^{2}\alpha +\sin ^{2}\beta +\sin ^{2}\gamma &=2\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma \\\cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma &=-2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma +1\\-\cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma &=-2\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma +1\\\sin ^{2}(2\alpha )+\sin ^{2}(2\beta )+\sin ^{2}(2\gamma )&=-2\cos(2\alpha )\cos(2\beta )\cos(2\gamma )+2\\\cos ^{2}(2\alpha )+\cos ^{2}(2\beta )+\cos ^{2}(2\gamma )&=2\cos(2\alpha )\,\cos(2\beta )\,\cos(2\gamma )+1\\1&=\sin ^{2}\left({\frac {\alpha }{2}}\right)+\sin ^{2}\left({\frac {\beta }{2}}\right)+\sin ^{2}\left({\frac {\gamma }{2}}\right)+2\sin \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\,\sin \left({\frac {\beta }{2}}\right)\,\sin \left({\frac {\gamma }{2}}\right)\end{aligned}}$

الاختصارات التاريخية

استُخدمت دوال الجيب العكسي، والجيب المقلوب، والجيب الجزئي، والقاطع في الملاحة. فعلى سبيل المثال، استُخدمت صيغة الجيب الجزئي لحساب المسافة بين نقطتين على سطح الكرة. ونادرًا ما تُستخدم هذه الدوال اليوم .

متنوع

نواة ديريشلي

نواة ديريشليه $D n (x)$ هي الدالة التي تظهر على جانبي المتطابقة التالية: $1+2\cos x+2\cos(2x)+2\cos(3x)+\cdots +2\cos(nx)={\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)x\right)}{\sin \left({\frac {1}{2}}x\right)}}.$

التفاف أي دالة قابلة للتكامل ذات دورة $2\pi$ تتطابق نواة ديريشليه مع دالة $n$ تقريب فورييه من الدرجة n. وينطبق الشيء نفسه على أي مقياس أو دالة معممة .

استبدال نصف الزاوية المماسية

إذا قمنا بتعيين $t=\tan {\frac {x}{2}},$ ثم ^{[ 60 ]} $\sin x={\frac {2t}{1+t^{2}}};\qquad \cos x={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}};\qquad e^{ix}={\frac {1+it}{1-it}};\qquad dx={\frac {2\,dt}{1+t^{2}}},$ أين $e^{ix}=\cos x+i\sin x,$ يُختصر أحيانًا إلى $cis$ $x$ .

عندما يتم استبدال هذا $t$ بما أن $tan x / 2 يُستخدم$ في حساب التفاضل والتكامل ، فإنه يترتب على ذلك $أن$ $\sin x$ يتم استبدالها $بـ$ $2t$ $/$ $1$ $+$ $t$ $2$ $،$ $\cos x$ يتم استبدالها بـ $⁠$ $-$ $t$ $2$ $/$ $1 +$ $t$ $2$ $⁠$ ويتم استبدال التفاضل $d$ $x بـ$ $⁠$ $2 d$ $t$ $/$ $1 +$ $t$ $2$ $⁠$ . وبذلك يتم تحويل الدوال الكسرية لـ $\sin x$ و $\cos x$ إلى الدوال الكسرية لـ $t$ من أجل إيجاد مشتقاتها المضادة .

المنتج اللانهائي لفييت

$\cos {\frac {\theta }{2}}\cdot \cos {\frac {\theta }{4}}\cdot \cos {\frac {\theta }{8}}\cdots =\prod _{n=1}^{\infty }\cos {\frac {\theta }{2^{n}}}={\frac {\sin \theta }{\theta }}=\operatorname {sinc} \theta .$

هوية جيبية تستخدم في التصوير الطبي

هذه هوية تم اكتشافها كمنتج ثانوي لأبحاث التصوير الطبي . ^{[ 61 ]}

يترك $i={\sqrt {-1}}$ ليكن الوحدة التخيلية، ولتكن ∘ رمزًا لتركيب المؤثرات التفاضلية. عندئذٍ، لكل عدد صحيح فردي موجب $n$ ،

{\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\left({\frac {d}{dx}}-\sin x\right)&\circ \left({\frac {d}{dx}}-\sin x+i\right)\circ \cdots \\\cdots &\circ \left({\frac {d}{dx}}-\sin x+(k-1)i\right)(\sin x)^{n-k}=0.\end{aligned}}

(عندما $k$ = 0، فإن عدد المؤثرات التفاضلية التي يتم تركيبها هو 0، لذا فإن الحد المقابل في المجموع أعلاه هو $(sin$ $x$ $)$ $n$ .)

انظر أيضاً

عدم المساواة عند أريستارخوس
مشتقات الدوال المثلثية
القيم المثلثية الدقيقة (قيم الجيب وجيب التمام معبر عنها بالجذور الصماء)
المُنفِّذ
تركيبة نصفية
دالة زائدية
قوانين حل المثلثات:
قائمة تكاملات الدوال المثلثية
أساليب التذكر في علم المثلثات
بنتاغراما ميريفيكوم
براهين المتطابقات المثلثية
عملية استئصال الأغشية الأولية
نظرية فيثاغورس
صيغة نصف الزاوية المماسية
العدد المثلثي
علم المثلثات
استخدامات علم المثلثات
Versine و haversine

مراجع

↑ أبراموفيتز، ميلتون ؛ ستيجون، إيرين آن ، محرران. (1983) [يونيو 1964]. "الفصل 4، المعادلة 4.3.45" . دليل الدوال الرياضية مع الصيغ والرسوم البيانية والجداول الرياضية . سلسلة الرياضيات التطبيقية. المجلد 55 (الطبعة التاسعة المعاد طباعتها مع تصحيحات إضافية للطبعة العاشرة الأصلية مع التصحيحات (ديسمبر 1972)؛ الطبعة الأولى). واشنطن العاصمة؛ نيويورك: وزارة التجارة الأمريكية، المكتب الوطني للمعايير؛ منشورات دوفر. ص 73. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036 . MR 0167642 . LCCN 65-12253 .
↑ سيلبي 1970 ، ص 188
^ أبراموفيتز وستيغون، ص. 72، 4.3.13-15
^ أبراموفيتز وستيغون، ص. 72، 4.3.7-9
^ أبراموفيتز وستيغون، ص. 72، 4.3.16
1 2 3 4 وايسشتاين، إريك دبليو. "صيغ الجمع المثلثية" . عالم الرياضيات .
^ أبراموفيتز وستيغون، ص. 72، 4.3.17
^ أبراموفيتز وستيغون، ص. 72، 4.3.18
1 2 "متطابقات مجموع وفرق الزوايا" . www.milefoot.com . تاريخ الاسترجاع: 12-10-2019 .
^ أبراموفيتز وستيغون، ص. 72، 4.3.19
^ أبراموفيتز وستيغون، ص. 80، 4.4.32
^ أبراموفيتز وستيغون، ص. 80، 4.4.33
^ أبراموفيتز وستيغون، ص. 80، 4.4.34
↑ برونشتاين، مانويل (1989). "تبسيط الدوال الأولية الحقيقية". في: جونيه، جي إتش (محرر). وقائع ندوة ACM- SIGSAM الدولية لعام 1989 حول الحساب الرمزي والجبري . ISSAC '89 (بورتلاند، أوريغون، الولايات المتحدة الأمريكية، يوليو 1989). نيويورك: ACM . الصفحات 207-211 . doi : 10.1145/74540.74566 . ISBN 0-89791-325-6.
↑ مايكل هاردي. (2016). "حول المماسات والقواطع للمجاميع اللانهائية". المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية ، المجلد 123، العدد 7، 701-703. https://doi.org/10.4169/amer.math.monthly.123.7.701
↑ هاردي، مايكل (2025). "ثبات عائلة كوشي تحت التحويلات الكسرية الخطية". المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 132 (5): 453-455 . doi : 10.1080/00029890.2025.2459048 .
↑ نايت، إف بي (1976). "توصيف لنوع كوشي". وقائع الجمعية الرياضية الأمريكية . 1976 : 130-135 .
↑ هاردي، مايكل (2016). "حول المماسات والقواطع للمجاميع اللانهائية" . المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 123 (7): 701-703 . doi : 10.4169/amer.math.monthly.123.7.701 .
1 2 "الجيب، وجيب التمام، ونظرية بطليموس" .
1 2 سيلبي 1970 ، صفحة 190
↑A&Sخطأ في الاستشهاد: تم استدعاء المرجع المسمى ولكن لم يتم تعريفه مطلقًا (انظر صفحة المساعدة ).
↑ وايسشتاين، إريك دبليو. "صيغ الزوايا المتعددة" . mathworld.wolfram.com . تم الاطلاع عليه بتاريخ 2022-02-06 .
↑ وارد، كين. "صيغة تكرارية للزوايا المتعددة" . صفحات كين وارد في الرياضيات .
1 2 وايسشتاين، إريك دبليو. “صيغ متعددة الزوايا” . عالم الرياضيات .
1 2 أبراموفيتز، ميلتون ؛ ستيجون، إيرين آن ، محرران. (1983) [يونيو 1964]. "الفصل 4، المعادلات 4.3.20-22" . دليل الدوال الرياضية مع الصيغ والرسوم البيانية والجداول الرياضية . سلسلة الرياضيات التطبيقية. المجلد 55 (الطبعة التاسعة المعاد طباعتها مع تصحيحات إضافية للطبعة العاشرة الأصلية مع التصحيحات (ديسمبر 1972)؛ الطبعة الأولى). واشنطن العاصمة؛ نيويورك: وزارة التجارة الأمريكية، المكتب الوطني للمعايير؛ منشورات دوفر. ص 72. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036 . MR 0167642 . LCCN 65-12253 .
1 2 وايسستين، إريك دبليو. “صيغ نصف الزاوية” . عالم الرياضيات .
^ أبراموفيتز وستيغون، ص. 72، 4.3.24-26
↑ وايسشتاين، إريك دبليو. "صيغ الزاوية المزدوجة" . عالم الرياضيات .
^ أبراموفيتز وستيغون، ص. 72، 4.3.27-28
^ أبراموفيتز وستيغون، ص. 72، 4.3.31-33
↑ إيفز، هوارد (1990). مدخل إلى تاريخ الرياضيات ( الطبعة السادسة). فيلادلفيا: منشورات كلية سوندرز. ص 309. ISBN 0-03-029558-0. OCLC 20842510 .
1 2 أبراموفيتز وستيغون، ص. 72، 4.3.34-39
↑ جونسون، وارن ب. (أبريل 2010). "المتطابقات المثلثية على طريقة هيرميت". المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 117 (4): 311-327 . doi : 10.4169/000298910x480784 . S2CID 29690311 .
↑ "هوية المنتج من زوايا متعددة" .
↑ أبوستول، تي إم (1967) حساب التفاضل والتكامل. الطبعة الثانية. نيويورك، نيويورك، وايلي. الصفحات 334-335.
1 2 وايسشتاين، إريك دبليو. "نظرية الجمع التوافقي" . عالم الرياضيات .
↑Ortiz Muñiz, Eddie (Feb 1953). "A Method for Deriving Various Formulas in Electrostatics and Electromagnetism Using Lagrange's Trigonometric Identities". American Journal of Physics. 21 (2): 140. Bibcode:1953AmJPh..21..140M. doi:10.1119/1.1933371.
↑Agarwal, Ravi P.; O'Regan, Donal (2008). Ordinary and Partial Differential Equations: With Special Functions, Fourier Series, and Boundary Value Problems (illustrated ed.). Springer Science & Business Media. p. 185. ISBN 978-0-387-79146-3.Extract of page 185
↑Jeffrey, Alan; Dai, Hui-hui (2008). "Section 2.4.1.6". Handbook of Mathematical Formulas and Integrals (4th ed.). Academic Press. ISBN 978-0-12-374288-9.
↑Fay, Temple H.; Kloppers, P. Hendrik (2001). "The Gibbs' phenomenon". International Journal of Mathematical Education in Science and Technology. 32 (1): 73–89. doi:10.1080/00207390117151.
↑Abramowitz and Stegun, p. 74, 4.3.47
↑Abramowitz and Stegun, p. 71, 4.3.2
↑Abramowitz and Stegun, p. 71, 4.3.1
↑Abramowitz and Stegun, p. 80, 4.4.26–31
↑Hawkins, Faith Mary; Hawkins, J. Q. (March 1, 1969). Complex Numbers and Elementary Complex Functions. London: MacDonald Technical & Scientific London (published 1968). p. 122. ISBN 978-0356025056.
↑Markushevich, A. I. (1966). The Remarkable Sine Function. New York: American Elsevier Publishing Company, Inc. pp. 35–37, 81. ISBN 978-1483256313.
↑Abramowitz and Stegun, p. 74, 4.3.65–66
↑Abramowitz and Stegun, p. 75, 4.3.89–90
↑Abramowitz and Stegun, p. 85, 4.5.68–69
↑Abramowitz & Stegun 1972, p. 73, 4.3.45
1 2 3Wu, Rex H. "Proof Without Words: Euler's Arctangent Identity", Mathematics Magazine 77(3), June 2004, p. 189.
↑ إس إم أبراروف؛ آر كيه جاغبال؛ آر. صديقي؛ بي إم كوين (2021)، "التحديد الخوارزمي لعدد صحيح كبير في صيغة ماشين ذات الحدين لـ $π$ "، الرياضيات ، 9 (17)، 2162، arXiv : 2107.01027 ، doi : 10.3390/math9172162
^ أويلر ، ليونارد (1737). "De Variis Modis Circvli Qvadratorvm: Numeris Proximae Expremendi" . ص. 231 . تم الاسترجاع 2026-03-18 .
↑ همبل، ستيف (نوفمبر 2004). "هوية الجدة". المجلة الرياضية . 88 : 524-525 . doi : 10.1017/s0025557200176223 . S2CID 125105552 .
↑ وايسشتاين، إريك دبليو. "الجيب" . عالم الرياضيات .
↑ هاريس، إدوارد م. "مجموع الظل العكسي"، في روجر ب. نيلسون، البراهين بدون كلمات (1993، الجمعية الرياضية الأمريكية)، ص 39.
↑ ميلتون أبراموفيتز وإيرين ستيجون، كتيب الدوال الرياضية مع الصيغ والرسوم البيانية والجداول الرياضية ، منشورات دوفر ، نيويورك، 1972، الصيغ 9.1.42–9.1.45
↑ إيه. KC جوشي، IIT MATHEMATIKA كريشنا . كريشنا براكاشان ميديا. ميروت، الهند. الصفحة 636.
^ كاجنولي ، أنطونيو (1808)، Trigonométrierectiligne et sphérique ، ص. 27.
^ أبراموفيتز وستيغون، ص. 72، 4.3.23
↑ كوشمنت، بيتر؛ ليفين، سيرجي (أغسطس 2013). "متطابقات sin x المستمدة من التصوير الطبي". المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 120 (7): 609-621 . arXiv : 1110.6109 . doi : 10.4169/amer.math.monthly.120.07.609 . S2CID 17478608 .

فهرس

أبراموفيتز، ميلتون ؛ ستيجون، إيرين أ. ، محرران. (1972). دليل الدوال الرياضية مع الصيغ والرسوم البيانية والجداول الرياضية . نيويورك: منشورات دوفر . ISBN 978-0-486-61272-0.
نيلسن، كاج ل. (1966)، جداول اللوغاريتمات والمثلثات حتى خمسة منازل (الطبعة الثانية )، نيويورك: بارنز أند نوبل ، LCCN 61-9103
سيلبي، صموئيل م.، محرر (1970)، الجداول الرياضية القياسية ( الطبعة الثامنة عشرة)، شركة المطاط الكيميائي.

روابط خارجية

قيم الجيب وجيب التمام، معبرًا عنها بالجذور الصماء، لمضاعفات صحيحة للزاوية 3° وللزاوية 5 + 5 / 8 ° ، وللزوايا نفسها قاطع التمام والقاطع والظل

[AS4345-1] أبراموفيتز، ميلتون ؛ ستيجون، إيرين آن ، محرران. (1983) [يونيو 1964]. "الفصل 4، المعادلة 4.3.45" . دليل الدوال الرياضية مع الصيغ والرسوم البيانية والجداول الرياضية . سلسلة الرياضيات التطبيقية. المجلد 55 (الطبعة التاسعة المعاد طباعتها مع تصحيحات إضافية للطبعة العاشرة الأصلية مع التصحيحات (ديسمبر 1972)؛ الطبعة الأولى). واشنطن العاصمة؛ نيويورك: وزارة التجارة الأمريكية، المكتب الوطني للمعايير؛ منشورات دوفر. ص 73. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036 . MR 0167642 . LCCN 65-12253 .

[2] سيلبي 1970 ، ص 188

[3] أبراموفيتز وستيغون، ص. 72، 4.3.13-15

[4] أبراموفيتز وستيغون، ص. 72، 4.3.7-9

[5] أبراموفيتز وستيغون، ص. 72، 4.3.16

[mathworld_addition-6] 1 2 3 4 وايسشتاين، إريك دبليو. "صيغ الجمع المثلثية" . عالم الرياضيات .

[7] أبراموفيتز وستيغون، ص. 72، 4.3.17

[8] أبراموفيتز وستيغون، ص. 72، 4.3.18

[:0-9] 1 2 "متطابقات مجموع وفرق الزوايا" . www.milefoot.com . تاريخ الاسترجاع: 12-10-2019 .

[10] أبراموفيتز وستيغون، ص. 72، 4.3.19

[11] أبراموفيتز وستيغون، ص. 80، 4.4.32

[12] أبراموفيتز وستيغون، ص. 80، 4.4.33

[13] أبراموفيتز وستيغون، ص. 80، 4.4.34

[14] برونشتاين، مانويل (1989). "تبسيط الدوال الأولية الحقيقية". في: جونيه، جي إتش (محرر). وقائع ندوة ACM- SIGSAM الدولية لعام 1989 حول الحساب الرمزي والجبري . ISSAC '89 (بورتلاند، أوريغون، الولايات المتحدة الأمريكية، يوليو 1989). نيويورك: ACM . الصفحات 207-211 . doi : 10.1145/74540.74566 . ISBN 0-89791-325-6.

[15] مايكل هاردي. (2016). "حول المماسات والقواطع للمجاميع اللانهائية". المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية ، المجلد 123، العدد 7، 701-703. https://doi.org/10.4169/amer.math.monthly.123.7.701

[16] هاردي، مايكل (2025). "ثبات عائلة كوشي تحت التحويلات الكسرية الخطية". المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 132 (5): 453-455 . doi : 10.1080/00029890.2025.2459048 .

[17] نايت، إف بي (1976). "توصيف لنوع كوشي". وقائع الجمعية الرياضية الأمريكية . 1976 : 130-135 .

[18] هاردي، مايكل (2016). "حول المماسات والقواطع للمجاميع اللانهائية" . المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 123 (7): 701-703 . doi : 10.4169/amer.math.monthly.123.7.701 .

[cut-the-knot.org-19] 1 2 "الجيب، وجيب التمام، ونظرية بطليموس" .

[STM1-20] 1 2 سيلبي 1970 ، صفحة 190

[A&S-21] A&Sخطأ في الاستشهاد: تم استدعاء المرجع المسمى ولكن لم يتم تعريفه مطلقًا (انظر صفحة المساعدة ).

[22] وايسشتاين، إريك دبليو. "صيغ الزوايا المتعددة" . mathworld.wolfram.com . تم الاطلاع عليه بتاريخ 2022-02-06 .

[23] وارد، كين. "صيغة تكرارية للزوايا المتعددة" . صفحات كين وارد في الرياضيات .

[mathworld_multiple_angle-24] 1 2 وايسشتاين، إريك دبليو. “صيغ متعددة الزوايا” . عالم الرياضيات .

[ReferenceA-25] 1 2 أبراموفيتز، ميلتون ؛ ستيجون، إيرين آن ، محرران. (1983) [يونيو 1964]. "الفصل 4، المعادلات 4.3.20-22" . دليل الدوال الرياضية مع الصيغ والرسوم البيانية والجداول الرياضية . سلسلة الرياضيات التطبيقية. المجلد 55 (الطبعة التاسعة المعاد طباعتها مع تصحيحات إضافية للطبعة العاشرة الأصلية مع التصحيحات (ديسمبر 1972)؛ الطبعة الأولى). واشنطن العاصمة؛ نيويورك: وزارة التجارة الأمريكية، المكتب الوطني للمعايير؛ منشورات دوفر. ص 72. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036 . MR 0167642 . LCCN 65-12253 .

[mathworld_half_angle-26] 1 2 وايسستين، إريك دبليو. “صيغ نصف الزاوية” . عالم الرياضيات .

[27] أبراموفيتز وستيغون، ص. 72، 4.3.24-26

[mathworld_double_angle-28] وايسشتاين، إريك دبليو. "صيغ الزاوية المزدوجة" . عالم الرياضيات .

[Stegun_p._72,_4-29] أبراموفيتز وستيغون، ص. 72، 4.3.27-28

[30] أبراموفيتز وستيغون، ص. 72، 4.3.31-33

[31] إيفز، هوارد (1990). مدخل إلى تاريخ الرياضيات ( الطبعة السادسة). فيلادلفيا: منشورات كلية سوندرز. ص 309. ISBN 0-03-029558-0. OCLC 20842510 .

[A&S_sum-to-product-32] 1 2 أبراموفيتز وستيغون، ص. 72، 4.3.34-39

[33] جونسون، وارن ب. (أبريل 2010). "المتطابقات المثلثية على طريقة هيرميت". المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 117 (4): 311-327 . doi : 10.4169/000298910x480784 . S2CID 29690311 .

[34] "هوية المنتج من زوايا متعددة" .

[35] أبوستول، تي إم (1967) حساب التفاضل والتكامل. الطبعة الثانية. نيويورك، نيويورك، وايلي. الصفحات 334-335.

[ReferenceB-36] 1 2 وايسشتاين، إريك دبليو. "نظرية الجمع التوافقي" . عالم الرياضيات .

[Muniz-37] Ortiz Muñiz, Eddie (Feb 1953). "A Method for Deriving Various Formulas in Electrostatics and Electromagnetism Using Lagrange's Trigonometric Identities". American Journal of Physics. 21 (2): 140. Bibcode:1953AmJPh..21..140M. doi:10.1119/1.1933371.

[38] Agarwal, Ravi P.; O'Regan, Donal (2008). Ordinary and Partial Differential Equations: With Special Functions, Fourier Series, and Boundary Value Problems (illustrated ed.). Springer Science & Business Media. p. 185. ISBN 978-0-387-79146-3.Extract of page 185

[39] Jeffrey, Alan; Dai, Hui-hui (2008). "Section 2.4.1.6". Handbook of Mathematical Formulas and Integrals (4th ed.). Academic Press. ISBN 978-0-12-374288-9.

[40] Fay, Temple H.; Kloppers, P. Hendrik (2001). "The Gibbs' phenomenon". International Journal of Mathematical Education in Science and Technology. 32 (1): 73–89. doi:10.1080/00207390117151.

[41] Abramowitz and Stegun, p. 74, 4.3.47

[42] Abramowitz and Stegun, p. 71, 4.3.2

[43] Abramowitz and Stegun, p. 71, 4.3.1

[44] Abramowitz and Stegun, p. 80, 4.4.26–31

[45] Hawkins, Faith Mary; Hawkins, J. Q. (March 1, 1969). Complex Numbers and Elementary Complex Functions. London: MacDonald Technical & Scientific London (published 1968). p. 122. ISBN 978-0356025056.

[46] Markushevich, A. I. (1966). The Remarkable Sine Function. New York: American Elsevier Publishing Company, Inc. pp. 35–37, 81. ISBN 978-1483256313.

[47] Abramowitz and Stegun, p. 74, 4.3.65–66

[48] Abramowitz and Stegun, p. 75, 4.3.89–90

[49] Abramowitz and Stegun, p. 85, 4.5.68–69

[50] Abramowitz & Stegun 1972, p. 73, 4.3.45

[Wu-51] 1 2 3Wu, Rex H. "Proof Without Words: Euler's Arctangent Identity", Mathematics Magazine 77(3), June 2004, p. 189.

[52] إس إم أبراروف؛ آر كيه جاغبال؛ آر. صديقي؛ بي إم كوين (2021)، "التحديد الخوارزمي لعدد صحيح كبير في صيغة ماشين ذات الحدين لـ $π$ "، الرياضيات ، 9 (17)، 2162، arXiv : 2107.01027 ، doi : 10.3390/math9172162

[53] أويلر ، ليونارد (1737). "De Variis Modis Circvli Qvadratorvm: Numeris Proximae Expremendi" . ص. 231 . تم الاسترجاع 2026-03-18 .

[54] همبل، ستيف (نوفمبر 2004). "هوية الجدة". المجلة الرياضية . 88 : 524-525 . doi : 10.1017/s0025557200176223 . S2CID 125105552 .

[55] وايسشتاين، إريك دبليو. "الجيب" . عالم الرياضيات .

[Harris-56] هاريس، إدوارد م. "مجموع الظل العكسي"، في روجر ب. نيلسون، البراهين بدون كلمات (1993، الجمعية الرياضية الأمريكية)، ص 39.

[57] ميلتون أبراموفيتز وإيرين ستيجون، كتيب الدوال الرياضية مع الصيغ والرسوم البيانية والجداول الرياضية ، منشورات دوفر ، نيويورك، 1972، الصيغ 9.1.42–9.1.45

[58] إيه. KC جوشي، IIT MATHEMATIKA كريشنا . كريشنا براكاشان ميديا. ميروت، الهند. الصفحة 636.

[59] كاجنولي ، أنطونيو (1808)، Trigonométrierectiligne et sphérique ، ص. 27.

[60] أبراموفيتز وستيغون، ص. 72، 4.3.23

[61] كوشمنت، بيتر؛ ليفين، سيرجي (أغسطس 2013). "متطابقات sin x المستمدة من التصوير الطبي". المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 120 (7): 609-621 . arXiv : 1110.6109 . doi : 10.4169/amer.math.monthly.120.07.609 . S2CID 17478608 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[ 21 ]

[ 22 ]

[ 23 ]

[ 24 ]

[ 25 ]

[ 26 ]

[ 27 ]

[ 28 ]

[ 29 ]

[ 30 ]

[ 31 ]

[ 32 ]

[ 33 ]

[ 34 ]

[ 35 ]

[ 36 ]

[ 37 ]

[ 38 ]

[ 39 ]

[ 40 ]

[ 41 ]

[ 42 ]

[ 43 ]

[ 44 ]

[ 45 ]

[ 46 ]

[ 47 ]

[ 48 ]

[ 49 ]

[ 50 ]

[ 51 ]

[ 52 ]

[ 53 ]

[ 54 ]

[ 55 ]

[ 56 ]

[ 57 ]

[ 58 ]

[ 59 ]

[ 60 ]

[ 61 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗

الهويات الفيثاغورية

الانعكاسات والتحولات والدورية

تأملات

التحولات والدورية

اللافتات

متطابقات مجموع وفرق الزوايا

جيوب وجيوب تمام مجموع عدد لا نهائي من الزوايا

المماسات وظلال التمام للمجاميع

التحويلات الكسرية الخطية للمماسات، المرتبطة بمماسات المجاميع

قواطع وقواطع تمام المجاميع

نظرية بطليموس

صيغ الزوايا المتعددة وأنصاف الزوايا

صيغ الزوايا المتعددة

صيغ الزاوية المزدوجة

صيغ الزاوية الثلاثية

صيغ الزوايا المتعددة

طريقة تشيبيشيف

صيغ نصف الزاوية

طاولة

صيغة تقليل استهلاك الطاقة

متطابقات تحويل الضرب إلى مجموع والجمع إلى ضرب

متطابقات تحويل الضرب إلى مجموع

متطابقات الجمع إلى الضرب

هوية الظل التمام لهيرميت

الجداءات المنتهية للدوال المثلثية

التركيبات الخطية

الجيب وجيب التمام

إزاحة طورية عشوائية

أكثر من جيبين

متطابقات لاغرانج المثلثية

بعض التحويلات الكسرية الخطية

العلاقة بالدالة الأسية المركبة

العلاقة بالدوال الزائدية المعقدة

توسعة السلسلة

صيغ المنتج اللانهائي

الدوال المثلثية العكسية

متطابقات بدون متغيرات

حساب π

هوية إقليدس

تركيب الدوال المثلثية

متطابقات "شرطية" إضافية للحالة α + β + γ = 180°

الاختصارات التاريخية

متنوع

نواة ديريشلي

استبدال نصف الزاوية المماسية

المنتج اللانهائي لفييت

هوية جيبية تستخدم في التصوير الطبي

انظر أيضاً

مراجع

فهرس

روابط خارجية

حساب $π$