كثيرات حدود تشيبيشيف

يمكن تعريف كثيرات حدود تشيبيشيف من النوع الأول بواسطة علاقة التكرار

$${\displaystyle {\begin{aligned}T_{0}(x)&=1,\\T_{1}(x)&=x,\\T_{n+1}(x)&=2x\,T_{n}(x)-T_{n-1}(x).\end{aligned}}}$$

يمكن تعريف كثيرات حدود تشيبيشيف من النوع الثاني بواسطة علاقة التكرار

$${\displaystyle {\begin{aligned}U_{0}(x)&=1,\\U_{1}(x)&=2x,\\U_{n+1}(x)&=2x\,U_{n}(x)-U_{n-1}(x),\end{aligned}}}$$ والذي يختلف عن ما سبق فقط في قاعدة n=1 .

يمكن تعريف كثيرات حدود تشيبيشيف من النوع الأول والثاني على أنها كثيرات الحدود الوحيدة التي تحقق ما يلي: $${\displaystyle T_{n}(\cos \theta )=\cos(n\theta )\quad }$$ و $${\displaystyle U_{n}(\cos \theta )={\frac {{\sin }{\big (}(n+1)\theta {\big )}}{\sin \theta }},}$$ بالنسبة لـ n = 0، 1، 2، 3، … .

ويمكن التعبير عن ذلك بطريقة مكافئة من خلال رفع عدد مركب إلى أس: إذا كان لدينا عدد مركب z = a + bi بقيمة مطلقة تساوي واحدًا، $${\displaystyle z^{n}=T_{n}(a)+ib\,U_{n-1}(a).}$$

يمكن تعريف كثيرات حدود تشيبيشيف بهذا الشكل أيضًا عند دراسة كثيرات الحدود المثلثية . ^{[ 4 ]}

الذي - التي${\displaystyle \cos(nx)}$هو${\displaystyle n}$كثير الحدود من الدرجة n في${\displaystyle \cos(x)}$يمكن ملاحظة ذلك من خلال ملاحظة أن${\displaystyle \cos(nx)}$هو الجزء الحقيقي من أحد جانبي معادلة دي مويفر : $${\displaystyle \cos n\theta +i\sin n\theta =(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}.}$$

الجزء الحقيقي من الطرف الآخر هو متعدد الحدود في${\displaystyle \cos x}$و${\displaystyle \sin x}$، حيث جميع قوى${\displaystyle \sin x}$متساوية وبالتالي قابلة للاستبدال من خلال الهوية${\displaystyle \cos ^{2}x+\sin ^{2}x=1}$وبناءً على نفس المنطق،${\displaystyle \sin nx}$هو الجزء التخيلي من كثير الحدود، الذي تكون فيه جميع قوى${\displaystyle \sin x}$وهي أعداد فردية ، وبالتالي، إذا كان أحد عوامل${\displaystyle \sin x}$بعد استخراج العوامل، يمكن استبدال العوامل المتبقية لإنشاء متعددة حدود من الدرجة${\displaystyle n-1}$في${\displaystyle \cos x}$.

ل${\displaystyle x}$خارج الفترة [-1،1]، يشير التعريف أعلاه إلى $${\displaystyle T_{n}(x)={\begin{cases}\cos(n\arccos x)&{\text{ إذا كان }}|x|\leq 1,\\\cosh(n\operatorname {arccosh} x)&{\text{ إذا كان }}x\geq 1,\\{(-1)^{n}\cosh }(n\operatorname {arccosh} (-x))&{\text{ إذا كان }}x\leq -1.\end{cases}}}$$

يمكن أيضًا وصف كثيرات حدود تشيبيشيف من خلال النظرية التالية: ^{[ 5 ]}

لو${\displaystyle F_{n}(x)}$هي عائلة من كثيرات الحدود أحادية المعامل ذات معاملات في حقل مميز${\displaystyle 0}$بحيث${\displaystyle \deg F_{n}(x)=n}$و${\displaystyle F_{m}{\bigl (}F_{n}(x){\bigr )}=F_{n}{\bigl (}F_{m}(x){\bigr )}}$للجميع ${\displaystyle m}$و${\displaystyle n}$ثم، مع تغيير بسيط في المتغيرات، إما${\displaystyle F_{n}(x)=x^{n}}$للجميع${\displaystyle n}$أو ${\displaystyle F_{n}(x)=2\cdot T_{n}{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}x{\bigr )}}$للجميع${\displaystyle n}$.

يمكن تعريف كثيرات حدود تشيبيشيف أيضًا على أنها حلول لمعادلة بيل : $${\displaystyle T_{n}(x)^{2}-(x^{2}-1)\,U_{n-1}(x)^{2}=1}$$

في حلقة​${\displaystyle R[x]}$^{[ 6 ]} وبالتالي ،يمكن توليدها باستخدام التقنية القياسية لمعادلات بيل عن طريق أخذ قوى الحل الأساسي : $${\displaystyle T_{n}(x)+U_{n-1}(x){\textstyle {\sqrt {x^{2}-1}}}={\bigl (}{\textstyle x+{\sqrt {x^{2}-1}}~\!}{\bigr )}^{n}.}$$

الدالة المولدة العادية لـ${\displaystyle T_{n}}$يكون $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }T_{n}(x)\,t^{n}={\frac {1-tx}{1-2tx+t^{2}}}.}$$

توجد عدة دوال توليد أخرى لكثيرات حدود تشيبيشيف؛ ودالة التوليد الأسية هي $$\begin{aligned}\sum_{n=0}^{\infty}T_{n}(x)\frac{t^{n}}{n!}}&=\tfrac{1}{2}}{\Bigl(}{\exp(\Bigl(}t\bigl(}{\textstyle x-{\sqrt{x^{2}-1}}~\!}{\bigr)}{\Bigr)}+\exp(\Bigl(}t\bigl(}{\textstyle x+{\sqrt{x^{2}-1}}~\!}{\bigr)}{\Bigr)}{\Bigr)}\\&=e^{tx}\cosh(\bigl(}{\textstyle t\sqrt{x^{2}-1}}~\!{\bigr)}.\end{aligned}}}$$

الدالة المولدة ذات الصلة بنظرية الجهد ثنائية الأبعاد وتوسيع متعدد الأقطاب هي $${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }T_{n}(x){\frac {t^{n}}{n}}=\ln \left({\frac {1}{\sqrt {1-2tx+t^{2}}}}\right).}$$

الدالة المولدة العادية لـ U _n هي $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }U_{n}(x)\,t^{n}={\frac {1}{1-2tx+t^{2}}},}$$ والدالة المولدة الأسية هي $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }U_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}=e^{tx}{\biggl (}{\cosh }{\bigl (}{\textstyle t{\sqrt {x^{2}-1}}~\!}{\bigr )}+{{\frac {x}{\sqrt {x^{2}-1}}}\sinh }{\bigl (}{\textstyle t{\sqrt {x^{2}-1}}~\!}{\bigr )}{\biggr )}.}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}T_{n}(-x)&=(-1)^{n}T_{n}(x),\\[1ex]U_{n}(-x)&=(-1)^{n}U_{n}(x).\end{aligned}}}$$أي أن كثيرات حدود تشيبيشيف من الرتبة الزوجية لها تناظر زوجي ، وبالتالي فهي تحتوي فقط على قوى زوجية من${\displaystyle x}$كثيرات حدود تشيبيشيف من الرتبة الفردية لها تناظر فردي ، وبالتالي فهي تحتوي فقط على قوى فردية من${\displaystyle x}$.

لكثير حدود تشيبيشيف من أي نوع من الدرجة n عدد n من الجذور البسيطة المختلفة ، تُسمى جذور تشيبيشيف ، في الفترة [ −1, 1 ] . تُسمى جذور كثير حدود تشيبيشيف من النوع الأول أحيانًا بعقد تشيبيشيف لأنها تُستخدم كعقد في استيفاء كثيرات الحدود. باستخدام التعريف المثلثي وحقيقة أن$${\displaystyle \cos \left((2k+1){\frac {\pi }{2}}\right)=0,}$$يمكن للمرء أن يثبت أن جذور${\displaystyle T_{n}}$نكون$${\displaystyle x_{k}=\cos \left({\frac {2k+1}{2n}}\pi \right),\quad k=0,\ldots ,n-1.}$$وبالمثل، فإن جذور${\displaystyle U_{n}}$نكون:$${\displaystyle x_{k}=\cos \left({\frac {k}{n+1}}\pi \right),\quad k=1,\ldots ,n.}$$أقصى قيم​${\displaystyle T_{n}}$على الفترة${\displaystyle -1\leq x\leq 1}$تقع في:$${\displaystyle x_{k}=\cos \left({\frac {k}{n}}\pi \right),\quad k=0,\ldots ,n.}$$إحدى الخصائص الفريدة لكثيرات حدود تشيبيشيف من النوع الأول هي أنها على الفترة${\displaystyle -1\leq x\leq 1}$جميع القيم القصوى إما -1 أو 1. وبالتالي، فإن هذه كثيرات الحدود لها قيمتان حرجتان محدودتان فقط ، وهي الخاصية المميزة لكثيرات حدود شابات . كلا النوعين الأول والثاني من كثيرات حدود تشيبيشيف لهما قيم قصوى عند طرفي الدالة، معطاة كما يلي:$${\displaystyle {\begin{aligned}T_{n}(1)&=1\\T_{n}(-1)&=(-1)^{n}\\U_{n}(1)&=n+1\\U_{n}(-1)&=(-1)^{n}(n+1).\end{aligned}}}$$أقصى قيم​${\displaystyle T_{n}(x)}$على الفترة${\displaystyle -1\leq x\leq 1}$أين${\displaystyle n>0}$تقع في${\displaystyle n+1}$قيم${\displaystyle x}$هم${\displaystyle \pm 1}$، أو${\displaystyle \cos(2\pi k/d)}$أين${\displaystyle d>2}$،${\displaystyle d\mid 2n}$،${\displaystyle 0<k<{\tfrac {1}{2}}d}$و${\displaystyle (k,d)=1}$، أي،${\displaystyle k}$و${\displaystyle d}$هي أولية نسبياً .

على وجه التحديد ( متعدد الحدود الأدنى لـ 2cos(2π/n) ^{[ 13 ] [ 14 ]} ) عندما${\displaystyle n}$زوجي:

• ${\displaystyle T_{n}(x)=1}$لو${\displaystyle x=\pm 1}$، أو${\displaystyle d>2}$و${\displaystyle 2n/d}$متساوٍ. هناك${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}n+1}$هذه القيم من${\displaystyle x}$.
• ${\displaystyle T_{n}(x)=-1}$لو ${\displaystyle d>2}$و${\displaystyle 2n/d}$هذا غريب. هناك${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}n}$هذه القيم من${\displaystyle x}$.

متى${\displaystyle n}$غريب:

• ${\displaystyle T_{n}(x)=1}$لو${\displaystyle x=1}$، أو${\displaystyle d>2}$و${\displaystyle 2n/d}$متساوٍ. هناك${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(n+1)}$هذه القيم من${\displaystyle x}$.
• ${\displaystyle T_{n}(x)=-1}$لو ${\displaystyle x=-1}$، أو${\displaystyle d>2}$و${\displaystyle 2n/d}$هذا غريب. هناك${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(n+1)}$هذه القيم من${\displaystyle x}$.

قد تكون مشتقات كثيرات الحدود معقدة بعض الشيء. ومن خلال اشتقاق كثيرات الحدود في صورها المثلثية، يمكن إثبات ما يلي: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} T_{n}}{\mathrm {d} x}}&=nU_{n-1}\\{\frac {\mathrm {d} U_{n}}{\mathrm {d} x}}&={\frac {(n+1)T_{n+1}-xU_{n}}{x^{2}-1}}\\{\frac {\mathrm {d} ^{2}T_{n}}{\mathrm {d} x^{2}}}&=n{\frac {nT_{n}-xU_{n-1}}{x^{2}-1}}=n{\frac {(n+1)T_{n}-U_{n}}{x^{2}-1}}.\end{aligned}}}$$قد تكون الصيغتان الأخيرتان إشكاليتين حسابيًا بسبب القسمة على صفر ( الصيغة غير المحددة 0/0 تحديدًا ) عند${\displaystyle x=1}$و${\displaystyle x=-1}$. وفقًا لقاعدة المستشفى : $${\displaystyle {\begin{aligned}\left.{\frac {\mathrm {d} ^{2}T_{n}}{\mathrm {d} x^{2}}}\right|_{x=1}\!\!&={\frac {n^{4}-n^{2}}{3}},\\\left.{\frac {\mathrm {d} ^{2}T_{n}}{\mathrm {d} x^{2}}}\right|_{x=-1}\!\!&=(-1)^{n}{\frac {n^{4}-n^{2}}{3}}.\end{aligned}}}$$وبشكل عام،$${\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} ^{p}T_{n}}{\mathrm {d} x^{p}}}\right|_{x=\pm 1}\!\!=(\pm 1)^{n+p}\prod _{k=0}^{p-1}{\frac {n^{2}-k^{2}}{2k+1}},}$$وهو أمر مفيد للغاية في الحل العددي لمسائل القيم الذاتية .

ولدينا أيضاً:$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{p}}{\mathrm {d} x^{p}}}T_{n}(x)=2^{p}n\mathop {{\sum }'} _{0\leq k\leq n-p \atop k\equiv n-p{\pmod {2}}}{\binom {{\frac {n+p-k}{2}}-1}{\frac {n-p-k}{2}}}{\frac {\left({\frac {n+p+k}{2}}-1\right)!}{\left({\frac {n-p+k}{2}}\right)!}}T_{k}(x),\qquad p\geq 1,}$$حيث تعني علامة الفتحة عند رموز الجمع أن الحد الذي ساهم به k = 0 سيتم تقسيمه إلى النصف، إذا ظهر.

فيما يتعلق بالتكامل، فإن المشتقة الأولى لـ T _n تعني ما يلي:$${\displaystyle \int U_{n}\,\mathrm {d} x={\frac {T_{n+1}}{n+1}}}$$وتؤكد العلاقة التكرارية لكثيرات الحدود من النوع الأول التي تتضمن مشتقات أنه بالنسبة لـ${\displaystyle n\geq 2}$:$${\displaystyle \int T_{n}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}\left({\frac {T_{n+1}}{n+1}}-{\frac {T_{n-1}}{n-1}}\right)={\frac {n\,T_{n+1}}{n^{2}-1}}-{\frac {xT_{n}}{n-1}}.}$$يمكن إجراء المزيد من التعديلات على الصيغة الأخيرة للتعبير عن تكامل${\displaystyle T_{n}}$كدالة لكثيرات حدود تشيبيشيف من النوع الأول فقط:$${\displaystyle {\begin{aligned}\int T_{n}\,\mathrm {d} x&={\frac {n}{n^{2}-1}}T_{n+1}-{\frac {1}{n-1}}T_{1}T_{n}\\&={\frac {n}{n^{2}-1}}T_{n+1}-{\frac {1}{2(n-1)}}(T_{n+1}+T_{n-1})\\&={\frac {1}{2(n+1)}}T_{n+1}-{\frac {1}{2(n-1)}}T_{n-1}.\end{aligned}}}$$علاوة على ذلك، لدينا:$${\displaystyle \int _{-1}^{1}T_{n}(x)\,\mathrm {d} x={\begin{cases}{\dfrac {(-1)^{n}+1}{1-n^{2}}}&{\text{ if }}n\neq 1\\[3mu]0&{\text{ if }}n=1.\end{cases}}}$$

تحقق كثيرات حدود تشيبيشيف من النوع الأول العلاقة التالية$${\displaystyle T_{m}(x)\,T_{n}(x)={\tfrac {1}{2}}{\left(T_{m+n}(x)+T_{|m-n|}(x)\right)},}$$لجميع القيم غير السالبة لـ${\displaystyle m}$و​​${\displaystyle n}$، وهو ما يمكن إثباته بسهولة من صيغة تحويل حاصل الضرب إلى مجموع لجيب التمام:$${\displaystyle 2\cos \alpha \,\cos \beta =\cos(\alpha +\beta )+\cos(\alpha -\beta ).}$$ل${\displaystyle n=1}$ينتج عن ذلك صيغة التكرار المعروفة مسبقًا، ولكن بترتيب مختلف، ومع${\displaystyle n=2}$تُشكّل هذه العلاقة التكرارية لجميع كثيرات حدود تشيبيشيف ذات الفهرس الزوجي أو الفردي (بحسب زوجية أصغر قيمة m )، مما يُشير إلى زوجية أو فردية هذه كثيرات الحدود. ويمكن استنتاج ثلاث صيغ أخرى مفيدة لتقييم كثيرات حدود تشيبيشيف من هذا التوسع الناتج:$${\displaystyle {\begin{aligned}T_{2n}(x)&=2T_{n}^{2}(x)-T_{0}(x)&&=2T_{n}^{2}(x)-1,\\[3mu]T_{2n+1}(x)&=2T_{n+1}(x)\,T_{n}(x)-T_{1}(x)&&=2T_{n+1}(x)\,T_{n}(x)-x,\\[3mu]T_{2n-1}(x)&=2T_{n-1}(x)\,T_{n}(x)-T_{1}(x)&&=2T_{n-1}(x)\,T_{n}(x)-x.\end{aligned}}}$$تحقق كثيرات الحدود من النوع الثاني العلاقة المماثلة التالية:$${\displaystyle T_{m}(x)U_{n}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2}}{\bigl (}U_{m+n}(x)+U_{n-m}(x){\bigr )},&{\text{ if }}n\geq m-1,\\[5mu]{\frac {1}{2}}{\bigl (}U_{m+n}(x)-U_{m-n-2}(x){\bigr )},&{\text{ if }}n\leq m-2.\end{cases}}}$$(مع التعريف)${\displaystyle U_{-1}\equiv 0}$(بحسب الاتفاق). كما أنها تستوفي الشروط التالية:$${\displaystyle U_{m}(x)\,U_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}U_{m-n+2k}(x)=\sum _{\underset {\text{ step 2 }}{p=m-n}}^{m+n}U_{p}(x).}$$ل${\displaystyle m\geq n}$. ل${\displaystyle n=2}$يتقلص هذا التكرار إلى:$${\displaystyle {\begin{aligned}U_{m+2}(x)&=U_{2}(x)\,U_{m}(x)-U_{m}(x)-U_{m-2}(x)\\&=U_{m}(x){\big (}U_{2}(x)-1{\big )}-U_{m-2}(x),\end{aligned}}}$$والذي يحدد ما إذا كانت كثيرات حدود تشيبيشيف ذات المقاييس الزوجية أو الفردية من النوع الثاني زوجية أم فردية، وذلك اعتمادًا على ما إذا${\displaystyle m}$يبدأ بالرقم 2 أو 3.

التعريفات المثلثية لـ${\displaystyle T_{n}}$و${\displaystyle U_{n}}$تشير إلى خصائص التركيب أو التداخل: ^{[ 15 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}T_{mn}(x)&=T_{m}{\bigl (}T_{n}(x){\bigr )},\\[3mu]U_{mn-1}(x)&=U_{m-1}{\bigl (}T_{n}(x){\bigr )}\,U_{n-1}(x).\end{aligned}}}$$ل${\displaystyle T_{mn}}$يمكن عكس ترتيب التركيب، مما يجعل عائلة الدوال متعددة الحدود${\displaystyle T_{n}}$شبه مجموعة تبديلية تحت التركيب.

منذ${\displaystyle T_{m}(x)}$يقبل القسمة على${\displaystyle x}$لو${\displaystyle m}$إذا كان الأمر غريباً، فإنه يترتب عليه ذلك${\displaystyle T_{mn}(x)}$يقبل القسمة على${\displaystyle T_{n}(x)}$لو${\displaystyle m}$هذا غريب. علاوة على ذلك،${\displaystyle U_{mn-1}(x)}$يقبل القسمة على${\displaystyle U_{n-1}(x)}$وفي حالة أن${\displaystyle m}$زوجي، يقبل القسمة على${\displaystyle T_{n}(x)\,U_{n-1}(x)}$.

كلاهما${\displaystyle T_{n}}$و${\displaystyle U_{n}}$تشكل متتالية من كثيرات الحدود المتعامدة . كثيرات الحدود من النوع الأول${\displaystyle T_{n}}$متعامدة بالنسبة للوزن:$${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}},}$$على الفترة [ −1, 1 ] ، أي لدينا$${\displaystyle \int _{-1}^{1}T_{n}(x)\,T_{m}(x){\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {1-x^{2}}}}={\begin{cases}0&{\text{ if }}n\neq m,\\[5mu]\pi &{\text{ if }}n=m=0,\\[5mu]{\frac {\pi }{2}}&{\text{ if }}n=m\neq 0.\end{cases}}}$$ويمكن إثبات ذلك عن طريق السماح${\displaystyle x=\cos(\theta )}$وباستخدام الهوية المميزة${\displaystyle T_{n}(\cos(\theta ))=\cos(n\theta )}$.

_{وبالمثل، فإن} كثيرات الحدود من النوع الثاني Un متعامدة بالنسبة للوزن$${\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}}$$على الفترة [ −1, 1 ] ، أي لدينا$${\displaystyle \int _{-1}^{1}U_{n}(x)\,U_{m}(x){\sqrt {1-x^{2}}}\,\mathrm {d} x={\begin{cases}0&{\text{ if }}n\neq m,\\[5mu]{\frac {\pi }{2}}&{\text{ if }}n=m.\end{cases}}}$$(الإجراء)${\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}\,\mathrm {d} x}$(وهو، ضمن ثابت التوحيد ، توزيع ويغنر نصف الدائري .)

تنتج خصائص التعامد هذه من حقيقة أن كثيرات حدود تشيبيشيف تحل معادلات تشيبيشيف التفاضلية$${\displaystyle {\begin{aligned}(1-x^{2})T_{n}''-xT_{n}'+n^{2}T_{n}&=0,\\[1ex](1-x^{2})U_{n}''-3xU_{n}'+n(n+2)U_{n}&=0,\end{aligned}}}$$وهي معادلات تفاضلية من نوع ستورم-ليوفيل . ومن السمات العامة لهذه المعادلات التفاضلية وجود مجموعة حلول متعامدة مميزة. (ويمكن تعريف كثيرات حدود تشيبيشيف أيضاً بأنها حلول هذه المعادلات ).

ال${\displaystyle T_{n}}$كما أنها تحقق شرط التعامد المنفصل:$${\displaystyle \sum _{k=0}^{N-1}{T_{i}(x_{k})\,T_{j}(x_{k})}={\begin{cases}0&{\text{ if }}i\neq j,\\[5mu]N&{\text{ if }}i=j=0,\\[5mu]{\frac {N}{2}}&{\text{ if }}i=j\neq 0,\end{cases}}}$$أين${\displaystyle N}$هل أي عدد صحيح أكبر من${\displaystyle \max(i,j)}$[ ^{10 ]} و^​${\displaystyle x_{k}}$هل هم${\displaystyle N}$عقد تشيبيشيف (انظر أعلاه)${\displaystyle T_{N}(x)}$:$${\displaystyle x_{k}=\cos \left(\pi {\frac {2k+1}{2N}}\right)\quad {\text{ for }}k=0,1,\dots ,N-1.}$$بالنسبة لكثيرات الحدود من النوع الثاني وأي عدد صحيح${\displaystyle N>i+j}$بنفس عقد تشيبيشيف${\displaystyle x_{k}}$وهناك مبالغ مماثلة:$${\displaystyle \sum _{k=0}^{N-1}{U_{i}(x_{k})\,U_{j}(x_{k})\left(1-x_{k}^{2}\right)}={\begin{cases}0&{\text{ if }}i\neq j,\\[5mu]{\frac {N}{2}}&{\text{ if }}i=j,\end{cases}}}$$وبدون دالة الوزن :$${\displaystyle \sum _{k=0}^{N-1}{U_{i}(x_{k})\,U_{j}(x_{k})}={\begin{cases}0&{\text{ if }}i\not \equiv j{\pmod {2}},\\[5mu]N\cdot (1+\min\{i,j\})&{\text{ if }}i\equiv j{\pmod {2}}.\end{cases}}}$$لأي عدد صحيح${\displaystyle N>i+j}$، بناءً على${\displaystyle N}$أصفار }${\displaystyle U_{N}(x)}$:$${\displaystyle y_{k}=\cos \left(\pi {\frac {k+1}{N+1}}\right)\quad {\text{ for }}k=0,1,\dots ,N-1,}$$يمكن للمرء الحصول على المجموع:$${\displaystyle \sum _{k=0}^{N-1}{U_{i}(y_{k})\,U_{j}(y_{k})(1-y_{k}^{2})}={\begin{cases}0&{\text{ if }}i\neq j,\\[5mu]{\frac {N+1}{2}}&{\text{ if }}i=j,\end{cases}}}$$ومرة أخرى بدون دالة الوزن:$${\displaystyle \sum _{k=0}^{N-1}{U_{i}(y_{k})\,U_{j}(y_{k})}={\begin{cases}0&{\text{ if }}i\not \equiv j{\pmod {2}},\\[5mu]{\bigl (}\min\{i,j\}+1{\bigr )}{\bigl (}N-\max\{i,j\}{\bigr )}&{\text{ if }}i\equiv j{\pmod {2}}.\end{cases}}}$$

لأي شيء معين${\displaystyle n\geq 1}$، من بين كثيرات الحدود من الدرجة${\displaystyle n}$مع معامل رئيسي 1 ( كثيرات الحدود أحادية ): $${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2^{n-1}}}T_{n}(x)}$$ هو الذي تكون فيه القيمة المطلقة القصوى على الفترة [ −1، 1 ] هي الأدنى.

هذه القيمة المطلقة القصوى هي: $${\displaystyle {\frac {1}{2^{n-1}}}}$$ و${\displaystyle |f(x)|}$يصل إلى هذا الحد الأقصى بالضبط${\displaystyle n+1}$الأوقات في: $${\displaystyle x=\cos {\frac {k\pi }{n}}\quad {\text{for }}0\leq k\leq n.}$$