وظيفة متجانسة

ليكن V و W فضاءين متجهيين على حقل F. المخروط الخطي في V هو مجموعة جزئية C من V بحيث ${\displaystyle sx\in C}$للجميع${\displaystyle x\in C}$وجميعها غير صفرية${\displaystyle s\in F.}$

الدالة المتجانسة f من V إلى W هي دالة جزئية من V إلى W يكون مجالها مخروطًا خطيًا C ، وتحقق الشروط التالية :

${\displaystyle f(sx)=s^{k}f(x)}$

بالنسبة لعدد صحيح k ، كل${\displaystyle x\in C,}$وكل شيء غير صفري${\displaystyle s\in F.}$يُطلق على العدد الصحيح k درجة التجانس ، أو ببساطة درجة f .

من الأمثلة النموذجية للدالة المتجانسة من الدرجة k الدالة المعرفة بواسطة متعددة حدود متجانسة من الدرجة k . الدالة الكسرية المعرفة بواسطة خارج قسمة متعددتي حدود متجانستين هي دالة متجانسة؛ درجتها هي الفرق بين درجتي البسط والمقام؛ مخروط تعريفها هو المخروط الخطي للنقاط التي لا تساوي فيها قيمة المقام صفرًا.

تلعب الدوال المتجانسة دورًا أساسيًا في الهندسة الإسقاطية ، إذ أن أي دالة متجانسة f من V إلى W تُعرّف دالة محددة جيدًا بين إسقاطات V و W. وتلعب الدوال الكسرية المتجانسة من الدرجة الصفرية (المُعرّفة بقسمة كثيرتي حدود متجانستين من الدرجة نفسها) دورًا جوهريًا في بناء مخططات الإسقاط باستخدام Proj .

عند العمل على الأعداد الحقيقية ، أو بشكل عام على حقل مرتب ، من الملائم عادةً النظر في التجانس الموجب ، ويكون التعريف هو نفسه تمامًا كما في القسم السابق، مع استبدال " s غير الصفرية" بـ " s > 0 " في تعريفات المخروط الخطي والدالة المتجانسة.

يسمح هذا التغيير بالنظر في الدوال المتجانسة (إيجابياً) التي لها أي عدد حقيقي كدرجات لها، لأن عملية الأسس ذات الأساس الحقيقي الموجب محددة جيداً.

حتى في حالة الدرجات الصحيحة، توجد العديد من الدوال المفيدة التي تكون متجانسة إيجابياً دون أن تكون متجانسة. وينطبق هذا بشكل خاص على دالة القيمة المطلقة والمعايير ، والتي جميعها متجانسة إيجابياً من الدرجة 1. وهي ليست متجانسة لأن${\displaystyle |-x|=|x|\neq -|x|}$لو${\displaystyle x\neq 0.}$ويظل هذا صحيحًا في حالة الأعداد المركبة ، لأن حقل الأعداد المركبة${\displaystyle \mathbb {C} }$ويمكن اعتبار كل فضاء متجهي معقد فضاءً متجهيًا حقيقيًا.

تُعد نظرية أويلر للدوال المتجانسة بمثابة توصيف للدوال القابلة للتفاضل المتجانسة بشكل إيجابي ، والتي يمكن اعتبارها النظرية الأساسية للدوال المتجانسة .

الوظيفة${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}}$متجانس من الدرجة الثانية: $${\displaystyle f(tx,ty)=(tx)^{2}+(ty)^{2}=t^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)=t^{2}f(x,y).}$$

The absolute value of a real number is a positively homogeneous function of degree 1, which is not homogeneous, since ${\displaystyle |sx|=s|x|}$ if ${\displaystyle s>0,}$ and ${\displaystyle |sx|=-s|x|}$ if ${\displaystyle s<0.}$

The absolute value of a complex number is a positively homogeneous function of degree ${\displaystyle 1}$ over the real numbers (that is, when considering the complex numbers as a vector space over the real numbers). It is not homogeneous, over the real numbers as well as over the complex numbers.

More generally, every norm and seminorm is a positively homogeneous function of degree 1 which is not a homogeneous function. As for the absolute value, if the norm or semi-norm is defined on a vector space over the complex numbers, this vector space has to be considered as vector space over the real number for applying the definition of a positively homogeneous function.

Any linear map${\displaystyle f:V\to W}$ between vector spaces over a fieldF is homogeneous of degree 1, by the definition of linearity: $${\displaystyle f(\alpha \mathbf {v} )=\alpha f(\mathbf {v} )}$$ for all ${\displaystyle \alpha \in {F}}$ and ${\displaystyle v\in V.}$

Similarly, any multilinear function${\displaystyle f:V_{1}\times V_{2}\times \cdots V_{n}\to W}$ is homogeneous of degree ${\displaystyle n,}$ by the definition of multilinearity: $${\displaystyle f\left(\alpha \mathbf {v} _{1},\ldots ,\alpha \mathbf {v} _{n}\right)=\alpha ^{n}f(\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n})}$$ for all ${\displaystyle \alpha \in {F}}$ and ${\displaystyle v_{1}\in V_{1},v_{2}\in V_{2},\ldots ,v_{n}\in V_{n}.}$

Monomials in ${\displaystyle n}$ variables define homogeneous functions ${\displaystyle f:\mathbb {F} ^{n}\to \mathbb {F} .}$ For example, $${\displaystyle f(x,y,z)=x^{5}y^{2}z^{3}\,}$$ is homogeneous of degree 10 since $${\displaystyle f(\alpha x,\alpha y,\alpha z)=(\alpha x)^{5}(\alpha y)^{2}(\alpha z)^{3}=\alpha ^{10}x^{5}y^{2}z^{3}=\alpha ^{10}f(x,y,z).\,}$$ The degree is the sum of the exponents on the variables; in this example, ${\displaystyle 10=5+2+3.}$

A homogeneous polynomial is a polynomial made up of a sum of monomials of the same degree. For example, $${\displaystyle x^{5}+2x^{3}y^{2}+9xy^{4}}$$ is a homogeneous polynomial of degree 5. Homogeneous polynomials also define homogeneous functions.

Given a homogeneous polynomial of degree ${\displaystyle k}$ with real coefficients that takes only positive values, one gets a positively homogeneous function of degree ${\displaystyle k/d}$ by raising it to the power ${\displaystyle 1/d.}$ So for example, the following function is positively homogeneous of degree 1 but not homogeneous: $${\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac {1}{2}}.}$$

For every set of weights ${\displaystyle w_{1},\dots ,w_{n},}$ the following functions are positively homogeneous of degree 1, but not homogeneous:

• ${\displaystyle \min \left({\frac {x_{1}}{w_{1}}},\dots ,{\frac {x_{n}}{w_{n}}}\right)}$ (Leontief utilities)
• ${\displaystyle \max \left({\frac {x_{1}}{w_{1}}},\dots ,{\frac {x_{n}}{w_{n}}}\right)}$

Rational functions formed as the ratio of two homogeneous polynomials are homogeneous functions in their domain, that is, off of the linear cone formed by the zeros of the denominator. Thus, if ${\displaystyle f}$ is homogeneous of degree ${\displaystyle m}$ and ${\displaystyle g}$ is homogeneous of degree ${\displaystyle n,}$ then ${\displaystyle f/g}$ is homogeneous of degree ${\displaystyle m-n}$ away from the zeros of ${\displaystyle g.}$

The homogeneous real functions of a single variable have the form ${\displaystyle x\mapsto cx^{k}}$ for some constant c. So, the affine function${\displaystyle x\mapsto x+5,}$ the natural logarithm${\displaystyle x\mapsto \ln(x),}$ and the exponential function${\displaystyle x\mapsto e^{x}}$ليست متجانسة.

إن التعريفات المذكورة أعلاه كلها حالات خاصة من المفهوم الأكثر عمومية للتجانس التالي الذي${\displaystyle X}$يمكن أن تكون أي مجموعة (بدلاً من فضاء متجهي) ويمكن استبدال الأعداد الحقيقية بالمفهوم الأكثر عمومية للوحدة .

يترك${\displaystyle M}$ليكن أحاديًا بعنصر محايد${\displaystyle 1\in M,}$يترك${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$لنفترض أن لدينا مجموعات، ولنفترض أن على كليهما${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$توجد أفعال أحادية محددة لـ${\displaystyle M.}$يترك${\displaystyle k}$ليكن عددًا صحيحًا غير سالب، وليكن${\displaystyle f:X\to Y}$كن خريطة. ثم${\displaystyle f}$يقال إنه متجانس من الدرجة${\displaystyle k}$زيادة${\displaystyle M}$إذا لكل${\displaystyle x\in X}$و${\displaystyle m\in M,}$$${\displaystyle f(mx)=m^{k}f(x).}$$ وإذا كانت هناك وظيفة إضافية${\displaystyle M\to M,}$يرمز إليه بـ${\displaystyle m\mapsto |m|,}$ثم يُطلق عليها القيمة المطلقة${\displaystyle f}$يقال إنها متجانسة تمامًا من الدرجة${\displaystyle k}$زيادة${\displaystyle M}$إذا لكل${\displaystyle x\in X}$و${\displaystyle m\in M,}$$${\displaystyle f(mx)=|m|^{k}f(x).}$$

تكون الدالة متجانسة على${\displaystyle M}$(على التوالي متجانس تمامًا على${\displaystyle M}$) إذا كانت متجانسة من الدرجة${\displaystyle 1}$زيادة${\displaystyle M}$(على التوالي متجانس تمامًا من الدرجة${\displaystyle 1}$زيادة${\displaystyle M}$).

وبشكل أعم، من الممكن أن تكون الرموز${\displaystyle m^{k}}$سيتم تحديده لـ${\displaystyle m\in M}$مع${\displaystyle k}$أن يكون شيئًا آخر غير عدد صحيح (على سبيل المثال، إذا${\displaystyle M}$هي الأرقام الحقيقية و${\displaystyle k}$إذا كان عددًا حقيقيًا غير صفري${\displaystyle m^{k}}$يتم تعريفها على الرغم من${\displaystyle k}$(ليس عددًا صحيحًا). إذا كان هذا هو الحال،${\displaystyle f}$سيطلق عليها اسم متجانسة من الدرجة${\displaystyle k}$زيادة${\displaystyle M}$إذا تحققت المساواة نفسها: $${\displaystyle f(mx)=m^{k}f(x)\quad {\text{ for every }}x\in X{\text{ and }}m\in M.}$$

مفهوم التجانس المطلق من الدرجة${\displaystyle k}$زيادة${\displaystyle M}$يتم تعميم ذلك بشكل مماثل.

دالة متصلة${\displaystyle f}$على${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$متجانس من الدرجة${\displaystyle k}$إذا وفقط إذا$${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}f(tx)\varphi (x)\,dx=t^{k}\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)\varphi (x)\,dx}$$ لجميع وظائف الاختبار المدعومة بشكل مضغوط${\displaystyle \varphi }$؛ وحقيقي غير صفري${\displaystyle t.}$وبعبارة أخرى، إجراء تغيير في المتغير${\displaystyle y=tx,}$${\displaystyle f}$متجانس من الدرجة${\displaystyle k}$إذا وفقط إذا $${\displaystyle t^{-n}\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(y)\varphi \left({\frac {y}{t}}\right)\,dy=t^{k}\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(y)\varphi (y)\,dy}$$ للجميع${\displaystyle t}$وجميع وظائف الاختبار${\displaystyle \varphi .}$يُتيح العرض الأخير تحديد تجانس التوزيعات . التوزيع${\displaystyle S}$متجانس من الدرجة${\displaystyle k}$لو $${\displaystyle t^{-n}\langle S,\varphi \circ \mu _{t}\rangle =t^{k}\langle S,\varphi \rangle }$$ لجميع الأعداد الحقيقية غير الصفرية${\displaystyle t}$وجميع وظائف الاختبار${\displaystyle \varphi .}$تشير الأقواس الزاوية هنا إلى الاقتران بين التوزيعات ودوال الاختبار، و${\displaystyle \mu _{t}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$هي عملية القسمة على عدد حقيقي${\displaystyle t.}$