وظيفة غرين

📅 آخر تحديث: ١ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ١ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 212 صور
الموسوعة الحرة
رسم متحرك يوضح كيف يمكن تراكب دوال غرين لحل معادلة تفاضلية تخضع لمصدر عشوائي.
إذا عرف المرء الحلجي(x،x′){\textstyle G(x,x')}إلى معادلة تفاضلية تخضع لمصدر نقطيل^(x)جي(x،x′)=دلتا(x-x′){\textstyle {\hat {L}}(x)G(x,x')=\delta (xx')}والمؤثر التفاضليل^(x){\textstyle {\hat {L}}(x)}إذا كانت المعادلة خطية، فيمكن تركيبها للحصول على الحل.u(x)=∫و(x′)جي(x،x′)دx′{\textstyle u(x)=\int f(x')G(x,x')\,dx'}للحصول على مصدر عامل^(x)u(x)=و(x){\textstyle {\hat {L}}(x)u(x)=f(x)}.

في الرياضيات ، دالة غرين (أو دالة غرين [ 1 ] ) هي استجابة النبضة لمؤثر تفاضلي خطي غير متجانس معرف على مجال بشروط أولية أو شروط حدودية محددة.

هذا يعني أنه إذال{\displaystyle L}إذا كان مؤثرًا تفاضليًا خطيًا، فإن

  • وظيفة غرينجي{\displaystyle G}هو حل المعادلةلجي=دلتا،{\displaystyle LG=\delta ,}أيندلتا{\displaystyle \delta }هي دالة ديراك دلتا ؛
  • حل المشكلة غير المتجانسةلy=و{\displaystyle Ly=f}هو الالتفاف ،y=(جي*و).{\displaystyle y=(G\ast f).}

بحسب مبدأ التراكب ، إذا كانت لدينا معادلة تفاضلية خطية عادية (ODE)،لy=و{\displaystyle Ly=f}يمكن للمرء أولاً أن يحللجي=دلتاs{\displaystyle LG=\delta _{s}}لكل قيمة s . إذا كان المصدر عبارة عن مجموع دوال دلتا ، فإن الحل يكون أيضًا مجموع دوال غرين نظرًا لخطية L. هذا يعني أن التكامل، عند النظر إليه كمجموع متصل، يمكنه إعادة بناء فئة واسعة من المصادر.و{\displaystyle f}، من خلال التكامل التلفيفي . كلما كان تكاملو{\displaystyle f}معجي{\displaystyle G}إذا تقاربت، فإن حل المعادلة غير المتجانسة،لy=و{\displaystyle Ly=f}، يتم تحديده بواسطةy=جي*و{\displaystyle y=G\ast f}[ 2 ]​

سُميت دوال غرين نسبةً إلى عالم الرياضيات البريطاني جورج غرين ، الذي طور هذا المفهوم لأول مرة في عشرينيات القرن التاسع عشر. في الدراسة الحديثة للمعادلات التفاضلية الجزئية الخطية ، تُدرس دوال غرين بشكل أساسي من منظور الحلول الأساسية ، التي تأخذ في الاعتبار اللغة الحديثة لنظرية التوزيعات أو الدوال المعممة. [ 2 ]

انطلاقًا من مبدأ التراكب في نظرية الأجسام المتعددة ، يُستخدم هذا المصطلح أيضًا في الفيزياء والهندسة، وتحديدًا في نظرية الحقل الكمومي ، والديناميكا الهوائية ، والصوتيات الهوائية ، والديناميكا الكهربائية ، وعلم الزلازل ، ونظرية الحقل الإحصائي ، للإشارة إلى أنواع مختلفة من دوال الارتباط ، حتى تلك التي لا تتوافق مع التعريف الرياضي. في نظرية الحقل الكمومي، تؤدي دوال غرين دور المُوَصِّلات ، والتي تُعرف أيضًا بدوال الارتباط ثنائية النقاط. [ 3 ]

التعريف والاستخدامات

دالة غرين، G ( x , s ) ، لمؤثر تفاضلي خطي L = L ( x ) يعمل على التوزيعات على مجموعة جزئية من الفضاء الإقليديRن{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}، عند النقطة s ، هو أي حل لـ

حيث δ هي دالة ديراك دلتا . يمكن استغلال هذه الخاصية لدالة غرين لحل المعادلات التفاضلية من الشكل التالي:

إذا كانت نواة L غير تافهة، فإن دالة غرين ليست فريدة. مع ذلك، عمليًا، يمكن الحصول على دالة غرين فريدة من خلال مزيج من التناظر، والشروط الحدية، و/أو معايير خارجية أخرى. تُصنّف دوال غرين برقم دالة غرين وفقًا لنوع الشروط الحدية المُحققة. لا تُعدّ دوال غرين بالضرورة دوالًا لمتغير حقيقي، ولكنها تُفهم عمومًا بمعنى التوزيعات .

تُعد دوال غرين أدوات مفيدة أيضًا في حل معادلات الموجة ومعادلات الانتشار . [ 4 ] [ 5 ] في ميكانيكا الكم ، تُعد دالة غرين للهاميلتوني مفهومًا أساسيًا له روابط مهمة بمفهوم كثافة الحالات .

عادةً ما تُعرَّف دالة غرين في الفيزياء بإشارة معاكسة. أي، لجي(x،s)=دلتا(x-s).{\displaystyle LG(x,s)=\delta (xs)\,.} لا يغير هذا التعريف بشكل كبير أيًا من خصائص دالة غرين بسبب انتظام دالة ديراك دلتا.

إذا كان المؤثر ثابتًا تحت الإزاحة ، أي عندمال{\displaystyle L}إذا كانت معاملات دالة غرين ثابتة بالنسبة إلى x ، فيمكن اعتبارها نواة التفاف ، أي جي(x،s)=جي(x-s).{\displaystyle G(x,s)=G(xs)\,.} في هذه الحالة، تكون دالة غرين هي نفسها استجابة النبضة لنظرية النظام الخطي الثابت مع الزمن .

تحفيز

بصورة عامة، إذا أمكن إيجاد دالة G للمؤثر L ، فإذا ضربنا المعادلة  1 لدالة غرين في f ( s ) ، ثم أجرينا التكامل بالنسبة إلى s ، فسنحصل على: ∫لجي(x،s)و(s)دs=∫دلتا(x-s)و(s)دs=و(x).{\displaystyle \int LG(x,s)\,f(s)\,ds=\int \delta (xs)\,f(s)\,ds=f(x)\,.} لأن المشغلل=ل(x){\displaystyle L=L(x)}إذا كان المؤثر خطيًا ويعمل فقط على المتغير x ( وليس على متغير التكامل s )، فيمكن للمرء أن يأخذ المؤثرل{\displaystyle L}خارج نطاق التكامل، مما ينتج عنه ل(∫جي(x،s)و(s)دs)=و(x).{\displaystyle L\left(\int G(x,s)\,f(s)\,ds\right)=f(x)\,.} هذا يعني أن

هو حل للمعادلةلu(x)=و(x).{\displaystyle Lu(x)=f(x)\,.}

وبالتالي، يمكن الحصول على الدالة u ( x ) من خلال معرفة دالة غرين في المعادلة 1  وحد المصدر على الجانب الأيمن من المعادلة  2. وتعتمد هذه العملية على خطية المؤثر L.

بمعنى آخر، يمكن تحديد حل المعادلة  2 ، u ( x ) ، من خلال التكامل الوارد في المعادلة 3. مع أن f ( x ) معلومة، إلا أنه لا يمكن إجراء هذا التكامل إلا إذا كانت G معلومة أيضًا. تكمن المشكلة الآن في إيجاد دالة غرين G التي تحقق المعادلة 1. لهذا السبب ، تُسمى دالة غرين أحيانًا بالحل الأساسي المرتبط بالمؤثر L.  

ليس كل مشغلل{\displaystyle L}تقبل دالة غرين. ويمكن اعتبار دالة غرين معكوسًا يمينيًا للمؤثر L. وبغض النظر عن صعوبة إيجاد دالة غرين لمؤثر معين، قد يكون حساب التكامل في المعادلة  3 صعبًا للغاية. ومع ذلك، تُعطي هذه الطريقة نتيجة دقيقة نظريًا.

يمكن اعتبار هذا بمثابة توسيع للدالة f وفقًا لأساس دالة ديراك دلتا (إسقاط f علىدلتا(x-s){\displaystyle \delta (xs)}؛ وتراكب الحل على كل إسقاط . تُعرف هذه المعادلة التكاملية بمعادلة فريدهولم التكاملية ، ودراستها تشكل نظرية فريدهولم .

دوال غرين لحل مسائل القيم الحدية غير المتجانسة

يُستخدم دالة غرين بشكل أساسي في الرياضيات لحل مسائل القيم الحدية غير المتجانسة. وفي الفيزياء النظرية الحديثة ، تُستخدم دالة غرين عادةً كدالة انتشار في مخططات فاينمان ؛ كما يُستخدم مصطلح دالة غرين غالبًا للإشارة إلى أي دالة ارتباط .

نطاق

يتركل{\displaystyle L}ليكن مؤثر ستورم-ليوفيل ، مؤثر تفاضلي خطي من الشكل ل=ددx[ص(x)ددx]+q(x){\displaystyle L={\dfrac {d}{dx}}\left[p(x){\dfrac {d}{dx}}\right]+q(x)} ودعد{\displaystyle \mathbf {D} }ليكن عامل شروط الحدود ذو القيم المتجهةدu=[α1u′(0)+β1u(0)α2u′(ℓ)+β2u(ℓ)].{\displaystyle \mathbf {D} u={\begin{bmatrix}\alpha _{1}u'(0)+\beta _{1}u(0)\\\alpha _{2}u'(\ell )+\beta _{2}u(\ell )\end{bmatrix}}\,.}

يتركو(x){\displaystyle f(x)}لتكن دالة متصلة في[0،ℓ]{\displaystyle [0,\ell ]\,}. لنفترض كذلك أن المشكلة لu=ودu=0{\displaystyle {\begin{aligned}Lu&=f\\\mathbf {D} u&=\mathbf {0} \end{aligned}}} منتظم، أي الحل الوحيد لـو(x)=0{\displaystyle f(x)=0}لكل x هوu(x)=0{\displaystyle u(x)=0}.

نظرية

هناك حل واحد لا غيرu(x){\displaystyle u(x)}ذلك يرضيلu=ودu=0{\displaystyle {\begin{aligned}Lu&=f\\\mathbf {D} u&=\mathbf {0} \end{aligned}}} وهو معطى بواسطة u(x)=∫0ℓو(s)جي(x،s)دs،{\displaystyle u(x)=\int _{0}^{\ell }f(s)\,G(x,s)\,ds\,,} أينجي(x،s){\displaystyle G(x,s)}هي دالة غرين التي تحقق الشروط التالية:

  1. جي(x،s){\displaystyle G(x,s)}متصل فيx{\displaystyle x}وs{\displaystyle s}.
  2. لx≠s{\displaystyle x\neq s\,}، لجي(x،s)=0{\displaystyle LG(x,s)=0}.
  3. لs≠0{\displaystyle s\neq 0\,}، دجي(x،s)=0{\displaystyle \mathbf {D} G(x,s)=\mathbf {0} }.
  4. قفزة مشتقة جي′(s0+،s)-جي′(s0-،s)=1/ص(s){\displaystyle G'(s_{0+},s)-G'(s_{0-},s)=1/p(s)\,}.
  5. التناظر: جي(x،s)=جي(s،x){\displaystyle G(x,s)=G(s,x)\,}.

وظائف غرين المتقدمة والمتأخرة

دالة غرين ليست بالضرورة فريدة، إذ أن إضافة أي حل للمعادلة المتجانسة إلى دالة غرين واحدة ينتج عنه دالة غرين أخرى. لذلك، إذا كانت للمعادلة المتجانسة حلول غير تافهة، فستوجد دوال غرين متعددة. تتضمن بعض مسائل القيم الحدية أو القيم الابتدائية إيجاد دالة غرين غير معدومة فقط لـs≤x{\displaystyle s\leq x}في هذه الحالة، يُطلق على الحل أحيانًا اسم دالة غرين المتأخرة. [ 6 ] وبالمثل، دالة غرين التي لا تتلاشى إلا لـs≥x{\displaystyle s\geq x}تُسمى هذه الدالة دالة غرين المتقدمة. [ 7 ] في هذه الحالة، يُعد أي تركيب خطي من دالتي غرين دالة غرين صالحة أيضًا. تُسمى كل من دالتي غرين المتقدمة والمتأخرة أحادية الجانب، بينما تُسمى دالة غرين غير الصفرية لجميع قيم .x{\displaystyle x}يُطلق على هذا المصطلح في مجال التعريف اسم "ذو الجانبين". [ 8 ]

يُعدّ مصطلحا "المتقدم" و"المتأخر" مفيدين للغاية عندما يُمثّل المتغير x الزمن. في هذه الحالات، يعتمد الحل المُقدّم باستخدام دالة غرين المتأخرة على المصادر السابقة فقط، وهو حلٌّ سببي، بينما يعتمد الحل المُقدّم باستخدام دالة غرين المتقدمة على المصادر المستقبلية فقط، وهو حلٌّ غير سببي. في هذه المسائل، غالبًا ما يكون الحل السببي هو الحل ذو الأهمية الفيزيائية. مع ذلك، تُفيد دالة غرين المتقدمة في إيجاد حلول لبعض المسائل العكسية التي تتطلب تحديد المصادر من بيانات الحدود. ويشيع استخدام دالتي غرين المتقدمة والمتأخرة بشكل خاص في تحليل حلول معادلة الموجة الكهرومغناطيسية غير المتجانسة . [ 9 ]

إيجاد دوال غرين

توسيعات القيم الذاتية

إذا كان المؤثر التفاضلي L يقبل مجموعة من المتجهات الذاتية Ψ n ( x ) (أي مجموعة من الدوال Ψ n والكميات القياسية λ n بحيث يكون L Ψ n = λ n Ψ n ) كاملة، فمن الممكن إنشاء دالة غرين من هذه المتجهات الذاتية والقيم الذاتية .

تعني كلمة "كامل" أن مجموعة الدوال {Ψ n } تحقق علاقة الاكتمال التالية ، دلتا(x-x′)=∑ن=0∞Ψن†(x′)Ψن(x).{\displaystyle \delta (x-x')=\sum _{n=0}^{\infty }\Psi _{n}^{\dagger }(x')\Psi _{n}(x).}

ثم ينطبق ما يلي،

جي(x،x′)=∑ن=0∞Ψن†(x′)Ψن(x)λن،{\displaystyle G(x,x')=\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {\Psi _{n}^{\dagger }(x')\Psi _{n}(x)}{\lambda _{n}}},}

أين†{\displaystyle \dagger }يمثل الترافق المعقد.

يؤدي تطبيق العامل L على كل جانب من جوانب هذه المعادلة إلى علاقة الاكتمال، والتي تم افتراضها.

إن الدراسة العامة لدالة غرين المكتوبة بالشكل المذكور أعلاه، وعلاقتها بفضاءات الدوال التي تشكلها المتجهات الذاتية، تُعرف باسم نظرية فريدهولم .

توجد عدة طرق أخرى لإيجاد دوال غرين، بما في ذلك طريقة الصور ، وفصل المتغيرات ، وتحويلات لابلاس . [ 10 ]

التمثيلات من حيث فرونسكيان

يتركل{\displaystyle L}ليكن المؤثر التفاضلي الخطي العام من الرتبة الثانية المعرف على[أ،ب]∈R{\displaystyle [a,b]\in \mathbb {R} }نكتب

لu(x)=α(x)د2دx2u(x)+β(x)ددxu(x)+γ(x)u(x)=و(x).{\displaystyle Lu(x)=\alpha (x){\frac {d^{2}}{dx^{2}}}u(x)+\beta (x){\frac {d}{dx}}u(x)+\gamma (x)u(x)=f(x).}

لنفترض أنu1{\displaystyle u_{1}}وu2{\displaystyle u_{2}}تشكل هذه العناصر مجتمعة أساسًا لحلول مستقلة خطيًا للمسألة المتجانسةلu=0.{\displaystyle Lu=0.}بافتراض شروط حدودية متجانسة لدالة غرينجي(أ،s)=جي(ب،s)=0{\displaystyle G(a,s)=G(b,s)=0}، يمكننا أن نبنيجي(x،s){\displaystyle G(x,s)}من خلال اشتراطu1(أ)=0{\displaystyle u_{1}(a)=0}وu2(ب)=0.{\displaystyle u_{2}(b)=0.}إن وظيفة غرين التي تفي بهذه الشروط، إلى جانب استمراريةجي{\displaystyle G}ويمكن كتابة مشتقها "القفزة" على النحو التالي:

جي(x،s)={u1(x)u2(s)α(s)دبليو(s)،أ≤x<su2(x)u1(s)α(s)دبليو(s)،s<x≤ب{\displaystyle G(x,s)={\begin{cases}{\dfrac {u_{1}(x)u_{2}(s)}{\alpha (s){\mathcal {W(s)}}}},&a\leq x<s\\{\dfrac {u_{2}(x)u_{1}(s)}{\alpha (s){\mathcal {W}}(s)}},&s<x\leq b\end{cases}}}

أيندبليو(x)=u1(x)u2′(x)-u1′(x)u2(x){\displaystyle {\mathcal {W}}(x)=u_{1}(x)u'_{2}(x)-u_{1}'(x)u_{2}(x)}يُعرف باسم محدد فرونسكي لـu1{\displaystyle u_{1}}وu2{\displaystyle u_{2}}على الرغم من أن هذه حالة محدودة إلى حد ما، إلا أن Wronskian يظهر بشكل متكرر في مجموعات أخرى من مسائل القيمة الحدية التي تتطلب دالة Green أحادية الجانب (متقدمة / متأخرة) أيضًا، بما في ذلك تلك التي تحتوي على شروط على المشتقات الحدية ( شروط Neumann ) أو زوج من الشروط على دالة ومشتقها الطبيعي على حد واحد ( شروط Cauchy ).

دمج وظائف غرين

إذا كان المؤثر التفاضليل{\displaystyle L}يمكن اعتبارها عاملاًل=ل1ل2{\displaystyle L=L_{1}L_{2}}ثم وظيفة غرين لـل{\displaystyle L}يمكن بناؤها من دوال غرين لـل1{\displaystyle L_{1}}ول2{\displaystyle L_{2}}:جي(x،s)=∫جي2(x،s1)جي1(s1،s)دs1.{\displaystyle G(x,s)=\int G_{2}(x,s_{1})\,G_{1}(s_{1},s)\,ds_{1}.} تنتج الهوية المذكورة أعلاه مباشرة من أخذجي(x،s){\displaystyle G(x,s)}ليكون تمثيلاً للمؤثر العكسي الأيمن لـل{\displaystyle L}، على غرار كيفية عمل المؤثر الخطي القابل للعكسج{\displaystyle C}، كما هو محدد بواسطةج=(أب)-1=ب-1أ-1{\displaystyle C=(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}}، ويتم تمثيلها بواسطة عناصر المصفوفة الخاصة بهاجأنا،ج{\displaystyle C_{i,j}}.

وتترتب على ذلك متطابقة أخرى للمؤثرات التفاضلية التي هي كثيرات حدود قياسية للمشتقة،ل=Pشمال(∂x){\displaystyle L=P_{N}(\partial _{x})}النظرية الأساسية للجبر ، بالإضافة إلى حقيقة أن∂x{\displaystyle \partial _{x}}يتبادل مع نفسه ، مما يضمن إمكانية تحليل كثير الحدود، مما يضعل{\displaystyle L}بالشكل التالي: ل=∏أنا=1شمال(∂x-zأنا)،{\displaystyle L=\prod _{i=1}^{N}\left(\partial _{x}-z_{i}\right),} أينzأنا{\displaystyle z_{i}}أصفارPشمال(z){\displaystyle P_{N}(z)}أخذ تحويل فورييه لـلجي(x،s)=دلتا(x-s){\displaystyle LG(x,s)=\delta (x-s)}فيما يتعلق بكليهماx{\displaystyle x}وs{\displaystyle s}أعطِ: جي^(كx،كs)=دلتا(كx-كs)∏أنا=1شمال(أناكx-zأنا).{\displaystyle {\widehat {G}}(k_{x},k_{s})={\frac {\delta (k_{x}-k_{s})}{\prod _{i=1}^{N}(ik_{x}-z_{i})}}.} يمكن بعد ذلك تقسيم الكسر إلى مجموع باستخدام تحليل الكسور الجزئية قبل تحويل فورييه مرة أخرى إلىx{\displaystyle x}وs{\displaystyle s}الفضاء. تُنتج هذه العملية متطابقات تربط بين تكاملات دوال غرين ومجاميعها. على سبيل المثال، إذال=(∂x+γ)(∂x+α)2{\displaystyle L=\left(\partial _{x}+\gamma \right)\left(\partial _{x}+\alpha \right)^{2}}إذن، أحد أشكال دالة غرين الخاصة بها هو: جي(x،s)=1(γ-α)2Θ(x-s)هـ-γ(x-s)-1(γ-α)2Θ(x-s)هـ-α(x-s)+1γ-αΘ(x-s)(x-s)هـ-α(x-s)=∫Θ(x-s1)(x-s1)هـ-α(x-s1)Θ(s1-s)هـ-γ(s1-s)دs1.{\displaystyle {\begin{aligned}G(x,s)&={\frac {1}{\left(\gamma -\alpha \right)^{2}}}\Theta (x-s)e^{-\gamma (x-s)}-{\frac {1}{\left(\gamma -\alpha \right)^{2}}}\Theta (x-s)e^{-\alpha (x-s)}+{\frac {1}{\gamma -\alpha }}\Theta (x-s)\left(x-s\right)e^{-\alpha (x-s)}\\[1ex]&=\int \Theta (x-s_{1})\left(x-s_{1}\right)e^{-\alpha (x-s_{1})}\Theta (s_{1}-s)e^{-\gamma (s_{1}-s)}\,ds_{1}.\end{aligned}}} على الرغم من أن المثال المعروض قابل للمعالجة التحليلية، إلا أنه يوضح عملية تنجح عندما لا يكون التكامل تافهاً (على سبيل المثال، عندما∇2{\displaystyle \nabla ^{2}}(هو العامل في متعددة الحدود).

جدول دوال غرين

يُقدّم الجدول التالي نظرة عامة على دوال غرين للمؤثرات التفاضلية التي تظهر بشكل متكرر، حيثر=x2+y2+z2{\textstyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}،ρ=x2+y2{\textstyle \rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}،Θ(ت){\textstyle \Theta (t)}هي دالة هيفسايد المتدرجة ،جν(z){\textstyle J_{\nu }(z)}هي دالة بيسل ،أناν(z){\textstyle I_{\nu }(z)}هي دالة بيسل معدلة من النوع الأول ، وكν(z){\textstyle K_{\nu }(z)}هي دالة بيسل معدلة من النوع الثاني . [ 11 ] عندما يظهر الزمن ( t ) في العمود الأول، يتم سرد دالة غرين المتأخرة (السببية).

المؤثر التفاضلي Lدالة غرين Gمثال على التطبيق
∂تن+1{\displaystyle \partial _{t}^{n+1}}تنن!Θ(ت){\displaystyle {\frac {t^{n}}{n!}}\Theta (t)}
∂ت+γ{\displaystyle \partial _{t}+\gamma }Θ(ت)هـ-γت{\displaystyle \Theta (t)e^{-\gamma t}}
(∂ت+γ)2{\displaystyle \left(\partial _{t}+\gamma \right)^{2}}Θ(ت)تهـ-γت{\displaystyle \Theta (t)te^{-\gamma t}}
∂ت2+2γ∂ت+ω02{\displaystyle \partial _{t}^{2}+2\gamma \partial _{t}+\omega _{0}^{2}}أينγ<ω0{\displaystyle \gamma <\omega _{0}}Θ(ت)هـ-γتالخطيئة⁡(ωت)ω{\displaystyle \Theta (t)e^{-\gamma t}\,{\frac {\sin(\omega t)}{\omega }}} مع ω=ω02-γ2{\displaystyle \omega ={\sqrt {\omega _{0}^{2}-\gamma ^{2}}}}مذبذب توافقي أحادي البعد ذو تخميد منخفض
∂ت2+2γ∂ت+ω02{\displaystyle \partial _{t}^{2}+2\gamma \partial _{t}+\omega _{0}^{2}}أينγ>ω0{\displaystyle \gamma >\omega _{0}}Θ(ت)هـ-γتسينه⁡(ωت)ω{\displaystyle \Theta (t)e^{-\gamma t}\,{\frac {\sinh(\omega t)}{\omega }}} مع ω=γ2-ω02{\displaystyle \omega ={\sqrt {\gamma ^{2}-\omega _{0}^{2}}}}مذبذب توافقي أحادي البعد ذو تخميد زائد
∂ت2+2γ∂ت+ω02{\displaystyle \partial _{t}^{2}+2\gamma \partial _{t}+\omega _{0}^{2}}أينγ=ω0{\displaystyle \gamma =\omega _{0}}Θ(ت)هـ-γتت{\displaystyle \Theta (t)e^{-\gamma t}t}مذبذب توافقي أحادي البعد ذو تخميد حرج
مُعامل لابلاس أحادي البعدد2دx2{\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}}(x-s)Θ(x-s)+xα(s)+β(s){\displaystyle \left(x-s\right)\Theta (x-s)+x\alpha (s)+\beta (s)}معادلة بواسون أحادية البعد
مؤثر لابلاس ثنائي الأبعاد∇ثنائي الأبعاد2=∂x2+∂y2{\displaystyle \nabla _{\text{2D}}^{2}=\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2}}12πln⁡ρ{\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\ln \rho } مع ρ=x2+y2{\displaystyle \rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}معادلة بواسون ثنائية الأبعاد
مُعامل لابلاس ثلاثي الأبعاد∇ثلاثي الأبعاد2=∂x2+∂y2+∂z2{\displaystyle \nabla _{\text{3D}}^{2}=\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2}+\partial _{z}^{2}}-14πر{\displaystyle -{\frac {1}{4\pi r}}} مع ر=x2+y2+z2{\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}معادلة بواسون
مشغل هيلمهولتز∇ثلاثي الأبعاد2+ك2{\displaystyle \nabla _{\text{3D}}^{2}+k^{2}}-هـ-أناكر4πر=أناك32πرح1/2(2)(كر)=أناك4πح0(2)(كر){\displaystyle {\frac {-e^{-ikr}}{4\pi r}}=i{\sqrt {\frac {k}{32\pi r}}}H_{1/2}^{(2)}(kr)=i{\frac {k}{4\pi }}\,h_{0}^{(2)}(kr)} أينحα(2){\displaystyle H_{\alpha }^{(2)}}هي دالة هانكل من النوع الثاني ، وح0(2){\displaystyle h_{0}^{(2)}}هي دالة هانكل الكروية من النوع الثانيمعادلة شرودنغر ثلاثية الأبعاد الثابتة للجسيم الحر
Δ2-ك4{\displaystyle \Delta ^{2}-k^{4}}12ك2(أنا4ح0(1)(كر)-12πك0(كر)){\displaystyle {\frac {1}{2k^{2}}}\left({\frac {i}{4}}H_{0}^{(1)}(kr)-{\frac {1}{2\pi }}K_{0}(kr)\right)}أينح0(1){\displaystyle H_{0}^{(1)}}هي دالة هانكل من النوع الأول ، وك0{\displaystyle K_{0}}هي دالة بيسل المعدلةمعادلة الموجة الانحنائية التوافقية الزمنية ثنائية الأبعاد
عامل التباعد∇⋅جي{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {G} }(-1)1+(د-1)!Γ(د2)2πد/2(|د-2|+دلتاد،2)(x-x0)‖x-x0‖د.{\displaystyle (-1)^{1+(d-1)!}{\frac {\Gamma \left({\frac {d}{2}}\right)}{2\pi ^{d/2}}}{\frac {(\,|d-2|+\delta _{d,2})\,(\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0})}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}\right\|^{d}}}.}يتركجي{\displaystyle \mathbf {G} }ليكن حقل متجه منRد{\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}لRد{\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}، وx،x0∈Rد{\displaystyle \mathbf {x} ,\,\mathbf {x} _{0}\in \mathbb {R} ^{d}}معد∈شمال{\displaystyle d\in \mathbb {N} }بحيث∇⋅جي=دلتا{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {G} =\delta }الوظيفة،Γ(⋅){\displaystyle \Gamma (\cdot )}، هي دالة غاما، ودلتاد،2{\displaystyle \delta _{d,2}}دلتا كرونكر، بحيثدلتاد،2=0{\displaystyle \delta _{d,2}=0}لد≠2{\displaystyle d\neq 2}، ودلتا2،2=1{\displaystyle \delta _{2,2}=1}لد=2{\displaystyle d=2}وأخيرًا،  ! هو رمز المضروب و|⋅|{\displaystyle |\cdot |}هي القيمة المطلقة. [ 12 ] تشمل الأمثلة معادلة النقل أو الاستمرارية غير المعتمدة على الزمن [ 13 ] ومعادلات ماكسويل الخالية من المصادر .
∇2-ك2{\displaystyle \nabla ^{2}-k^{2}}فين{\displaystyle n}أبعاد-(2π)-ن/2(كر)ن/2-1كن/2-1(كر){\displaystyle -\left(2\pi \right)^{-n/2}\left({\frac {k}{r}}\right)^{n/2-1}K_{n/2-1}(kr)}جهد يوكاوا ، مُوَصِّل فاينمان ، معادلة بواسون المُحَجوبة
∂ت2-ج2∂x2{\displaystyle \partial _{t}^{2}-c^{2}\partial _{x}^{2}}12جΘ(جت-x){\displaystyle {\frac {1}{2c}}\Theta (ct-x)}معادلة الموجة أحادية البعد
∂ت2-ج2∇ثنائي الأبعاد2{\displaystyle \partial _{t}^{2}-c^{2}\,\nabla _{\text{2D}}^{2}}Θ(جت-ρ)2πجج2ت2-ρ2{\displaystyle {\frac {\Theta (ct-\rho )}{2\pi c{\sqrt {c^{2}t^{2}-\rho ^{2}}}}}}معادلة الموجة ثنائية الأبعاد
مشغل دالمبير◻=1ج2∂ت2-∇ثلاثي الأبعاد2{\displaystyle \square ={\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}-\nabla _{\text{3D}}^{2}}14πردلتا(ت-رج){\displaystyle {\frac {1}{4\pi r}}\delta \left(t-{\frac {r}{c}}\right)}معادلة الموجة ثلاثية الأبعاد
∂ت-ك∂x2{\displaystyle \partial _{t}-k\partial _{x}^{2}}(14πكت)1/2Θ(ت)هـ-x2/4كت{\displaystyle \left({\frac {1}{4\pi kt}}\right)^{1/2}\Theta (t)e^{-x^{2}/4kt}}الانتشار أحادي البعد
∂ت-ك∇ثنائي الأبعاد2{\displaystyle \partial _{t}-k\,\nabla _{\text{2D}}^{2}}(14πكت)Θ(ت)هـ-ρ2/4كت{\displaystyle \left({\frac {1}{4\pi kt}}\right)\Theta (t)e^{-\rho ^{2}/4kt}}الانتشار ثنائي الأبعاد
∂ت-ك∇ثلاثي الأبعاد2{\displaystyle \partial _{t}-k\,\nabla _{\text{3D}}^{2}}(14πكت)3/2Θ(ت)هـ-ر2/4كت{\displaystyle \left({\frac {1}{4\pi kt}}\right)^{3/2}\Theta (t)e^{-r^{2}/4kt}}الانتشار ثلاثي الأبعاد
1ج2∂ت2-∂x2+μ2{\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}-\partial _{x}^{2}+\mu ^{2}}12(1-الخطيئة⁡μجت)[دلتا(جت-x)+دلتا(جت+x)]+12μΘ(جت-|x|)ج0(μu){\displaystyle {\begin{aligned}&{\tfrac {1}{2}}\left(1-\sin {\mu ct}\right)\left[\delta (ct-x)+\delta (ct+x)\right]\\[0.5ex]&+{\tfrac {1}{2}}\mu \Theta (ct-|x|)J_{0}(\mu u)\end{aligned}}} معu=ج2ت2-x2{\displaystyle u={\sqrt {c^{2}t^{2}-x^{2}}}}معادلة كلاين-غوردون أحادية البعد
1ج2∂ت2-∇ثنائي الأبعاد2+μ2{\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}-\nabla _{\text{2D}}^{2}+\mu ^{2}}دلتا(جت-ρ)4πρ(1+كوس⁡(μجت))+μ2Θ(جت-ρ)4πمنذ⁡(μu){\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\delta (ct-\rho )}{4\pi \rho }}\left(1+\cos(\mu ct)\right)\\[0.5ex]&+{\frac {\mu ^{2}\Theta (ct-\rho )}{4\pi }}\operatorname {sinc} (\mu u)\end{aligned}}} معu=ج2ت2-ρ2{\displaystyle u={\sqrt {c^{2}t^{2}-\rho ^{2}}}}معادلة كلاين-غوردون ثنائية الأبعاد
◻+μ2{\displaystyle \square +\mu ^{2}}14πردلتا(ت-رج)+μج4πuΘ(جت-ر)ج1(μu){\displaystyle {\frac {1}{4\pi r}}\delta {\left(t-{\frac {r}{c}}\right)}+{\frac {\mu c}{4\pi u}}\Theta (ct-r)J_{1}{\left(\mu u\right)}} مع u=ج2ت2-ر2{\displaystyle u={\sqrt {c^{2}t^{2}-r^{2}}}}معادلة كلاين-غوردون ثلاثية الأبعاد
∂ت2+2γ∂ت-ج2∂x2{\displaystyle \partial _{t}^{2}+2\gamma \partial _{t}-c^{2}\partial _{x}^{2}}هـ-γت2[دلتا(جت-x)+دلتا(جت+x)]+هـ-γت2Θ(جت-|x|)(كأنا0(كu)+γتuأنا1(كu)){\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {e^{-\gamma t}}{2}}\left[\delta (ct-x)+\delta (ct+x)\right]\\[0.5ex]&+{\frac {e^{-\gamma t}}{2}}\Theta (ct-|x|)\left(kI_{0}(ku)+{\frac {\gamma t}{u}}I_{1}(ku)\right)\end{aligned}}} مع u=ج2ت2-x2{\displaystyle u={\sqrt {c^{2}t^{2}-x^{2}}}}وك=γ/ج{\displaystyle k=\gamma /c}معادلة عامل التلغراف
∂ت2+2γ∂ت-ج2∇ثنائي الأبعاد2{\displaystyle \partial _{t}^{2}+2\gamma \partial _{t}-c^{2}\,\nabla _{\text{2D}}^{2}}هـ-γت4πρدلتا(جت-ρ)(1+هـ-γت+3γت)+هـ-γت4πu2Θ(جت-ρ)(كu2-3جتجuسينه⁡(كu)+3γتضرب بالعصا⁡(كu)){\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {e^{-\gamma t}}{4\pi \rho }}\delta (ct-\rho )\left(1+e^{-\gamma t}+3\gamma t\right)\\&+{\frac {e^{-\gamma t}}{4\pi u^{2}}}\Theta (ct-\rho )\left({\frac {ku^{2}-3ct}{cu}}\sinh \left(ku\right)+3\gamma t\cosh \left(ku\right)\right)\end{aligned}}} مع u=ج2ت2-ρ2{\displaystyle u={\sqrt {c^{2}t^{2}-\rho ^{2}}}}وك=γ/ج{\displaystyle k=\gamma /c}التوصيل الحراري النسبي ثنائي الأبعاد
∂ت2+2γ∂ت-ج2∇ثلاثي الأبعاد2{\displaystyle \partial _{t}^{2}+2\gamma \partial _{t}-c^{2}\,\nabla _{\text{3D}}^{2}}هـ-γت20πر2دلتا(جت-ر)(8-3هـ-γت+2γت+4γ2ت2)+كهـ-γت20πuΘ(جت-ر)(كأنا1(كu)+4γتuأنا2(كu)){\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {e^{-\gamma t}}{20\pi r^{2}}}\delta (ct-r)\left(8-3e^{-\gamma t}+2\gamma t+4\gamma ^{2}t^{2}\right)\\[0.5ex]&+{\frac {ke^{-\gamma t}}{20\pi u}}\Theta (ct-r)\left(kI_{1}(ku)+{\frac {4\gamma t}{u}}I_{2}(ku)\right)\end{aligned}}} مع u=ج2ت2-ر2{\displaystyle u={\sqrt {c^{2}t^{2}-r^{2}}}}وك=γ/ج{\displaystyle k=\gamma /c}التوصيل الحراري النسبي ثلاثي الأبعاد

وظائف غرين بالنسبة للابلاسي

يمكن استخدام دوال غرين للمؤثرات التفاضلية الخطية التي تتضمن لابلاس بسهولة باستخدام المتطابقة الثانية من متطابقات غرين .

لاستنتاج نظرية غرين، ابدأ بنظرية التباعد (المعروفة أيضًا باسم نظرية غاوس ). ∫V∇⋅أدV=∫Sأ⋅دσ^.{\displaystyle \int _{V}\nabla \cdot \mathbf {A} \,dV=\int _{S}\mathbf {A} \cdot d{\hat {\boldsymbol {\sigma }}}\,.}

يتركأ=φ∇ψ-ψ∇φ{\displaystyle \mathbf {A} =\varphi \,\nabla \psi -\psi \,\nabla \varphi }ثم استبدلها في قانون جاوس.

الحوسبة∇⋅أ{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} }وتطبيق قاعدة الضرب لمؤثر ∇، ∇⋅أ=∇⋅(φ∇ψ-ψ∇φ)=(∇φ)⋅(∇ψ)+φ∇2ψ-(∇φ)⋅(∇ψ)-ψ∇2φ=φ∇2ψ-ψ∇2φ.{\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {A} &=\nabla \cdot \left(\varphi \,\nabla \psi \;-\;\psi \,\nabla \varphi \right)\\&=(\nabla \varphi )\cdot (\nabla \psi )\;+\;\varphi \,\nabla ^{2}\psi \;-\;(\nabla \varphi )\cdot (\nabla \psi )\;-\;\psi \nabla ^{2}\varphi \\&=\varphi \,\nabla ^{2}\psi \;-\;\psi \,\nabla ^{2}\varphi .\end{aligned}}}

بتطبيق هذا على نظرية التباعد، نحصل على نظرية غرين . ∫V(φ∇2ψ-ψ∇2φ)دV=∫S(φ∇ψ-ψ∇φ)⋅دσ^.{\displaystyle \int _{V}\left(\varphi \,\nabla ^{2}\psi -\psi \,\nabla ^{2}\varphi \right)dV=\int _{S}\left(\varphi \,\nabla \psi -\psi \nabla \,\varphi \right)\cdot d{\hat {\boldsymbol {\sigma }}}.}

لنفترض أن المؤثر التفاضلي الخطي L هو لابلاس ، ∇² ، وأن هناك دالة غرين G للابلاس. تبقى الخاصية المميزة لدالة غرين قائمة. لجي(x،x′)=∇2جي(x،x′)=دلتا(x-x′).{\displaystyle LG(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')=\nabla ^{2}G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')=\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} ').}

يتركψ=جي{\displaystyle \psi =G}للاطلاع على الهوية الثانية لغرين، انظر هويات غرين . ثم، ∫V[φ(x′)دلتا(x-x′)-جي(x،x′)∇′2φ(x′)]د3x′=∫S[φ(x′)∇′جي(x،x′)-جي(x،x′)∇′φ(x′)]⋅دσ^′.{\displaystyle \int _{V}\left[\varphi (\mathbf {x} ')\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')-G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')\,{\nabla '}^{2}\,\varphi (\mathbf {x} ')\right]d^{3}\mathbf {x} '=\int _{S}\left[\varphi (\mathbf {x} ')\,{\nabla '}G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')-G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')\,{\nabla '}\varphi (\mathbf {x} ')\right]\cdot d{\hat {\boldsymbol {\sigma }}}'.}

باستخدام هذا التعبير ، يُمكن حل معادلة لابلاس ∇²φ ( x ) = 0 أو معادلة بواسون ∇²φ ( x ) = −ρ ( x ) ، مع مراعاة شروط حدود نيومان أو ديريشليه . بعبارة أخرى ، يُمكننا إيجاد قيمة φ ( x ) في أي مكان داخل حجم ما ، حيث (1) تُحدد قيمة φ ( x ) على السطح المحيط بالحجم (شروط حدود ديريشليه)، أو (2) تُحدد المشتقة العمودية لـ φ ( x ) على السطح المحيط (شروط حدود نيومان).

لنفترض أن المسألة هي إيجاد قيمة φ ( x ) داخل المنطقة. عندئذٍ يكون التكامل ∫Vφ(x′)دلتا(x-x′)د3x′{\displaystyle \int _{V}\varphi (\mathbf {x} ')\,\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')\,d^{3}\mathbf {x} '} يختزل إلى φ ( x ) ببساطة بسبب الخاصية المميزة لدالة ديراك دلتا، ولدينا φ(x)=-∫Vجي(x،x′)ρ(x′)د3x′+∫S[φ(x′)∇′جي(x،x′)-جي(x،x′)∇′φ(x′)]⋅دσ^′.{\displaystyle \varphi (\mathbf {x} )=-\int _{V}G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')\,\rho (\mathbf {x} ')\,d^{3}\mathbf {x} '+\int _{S}\left[\varphi (\mathbf {x} ')\,\nabla 'G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')-G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')\,\nabla '\varphi (\mathbf {x} ')\right]\cdot d{\hat {\boldsymbol {\sigma }}}'.}

يعبر هذا الشكل عن الخاصية المعروفة للدوال التوافقية ، وهي أنه إذا كانت القيمة أو المشتقة العادية معروفة على سطح محدد، فإن قيمة الدالة داخل الحجم تكون معروفة في كل مكان .

في علم الكهرباء الساكنة ، يُفسَّر φ ( x ) على أنه الجهد الكهربائي ، و ρ ( x ) على أنه كثافة الشحنة الكهربائية ، والمشتقة العمودية.∇φ(x′)⋅دσ^′{\displaystyle \nabla \varphi (\mathbf {x} ')\cdot d{\hat {\boldsymbol {\sigma }}}'}باعتباره المكون الطبيعي للمجال الكهربائي.

إذا كانت المسألة هي حل مسألة قيم حدية من نوع ديريشليه، فينبغي اختيار دالة غرين بحيث تتلاشى G ( x , x ′ ) عندما يكون x أو x′ على السطح الحدودي. وبالتالي، يبقى حد واحد فقط من الحدين في التكامل السطحي . أما إذا كانت المسألة هي حل مسألة قيم حدية من نوع نيومان، فقد يبدو من المنطقي اختيار دالة غرين بحيث تتلاشى مشتقتها العمودية على السطح الحدودي. ومع ذلك، فإن تطبيق نظرية غاوس على المعادلة التفاضلية التي تُعرّف دالة غرين يُعطي ∫S∇′جي(x،x′)⋅دσ^′=∫V∇′2جي(x،x′)د3x′=∫Vدلتا(x-x′)د3x′=1،{\displaystyle \int _{S}\nabla 'G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')\cdot d{\hat {\boldsymbol {\sigma }}}'=\int _{V}\nabla '^{2}G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')\,d^{3}\mathbf {x} '=\int _{V}\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')\,d^{3}\mathbf {x} '=1\,,} وهذا يعني أن المشتقة العادية لـ G ( x , x ′ ) لا يمكن أن تتلاشى على السطح، لأنها يجب أن تتكامل إلى 1 على السطح. [ 14 ]

أبسط شكل يمكن أن يتخذه المشتق العمودي هو شكل ثابت، وهو 1/ S ، حيث S هي مساحة السطح. يصبح حد السطح في الحل ∫Sφ(x′)∇′جي(x،x′)⋅دσ^′=⟨φ⟩S{\displaystyle \int _{S}\varphi (\mathbf {x} ')\,\nabla 'G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')\cdot d{\hat {\boldsymbol {\sigma }}}'=\langle \varphi \rangle _{S}} أين⟨φ⟩S{\displaystyle \langle \varphi \rangle _{S}}يمثل متوسط ​​قيمة الجهد على السطح. هذا الرقم غير معروف عمومًا، ولكنه غالبًا ما يكون غير مهم، لأن الهدف غالبًا هو الحصول على المجال الكهربائي الناتج عن تدرج الجهد، وليس الجهد نفسه.

بدون شروط حدودية، تكون دالة غرين للابلاس ( دالة غرين لمعادلة لابلاس ذات ثلاثة متغيرات ) هي جي(x،x′)=-14π|x-x′|.{\displaystyle G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')=-{\frac {1}{4\pi \left|\mathbf {x} -\mathbf {x} '\right|}}.}

بافتراض أن السطح المحيط يمتد إلى ما لا نهاية، وبالتعويض بهذا التعبير لدالة غرين، نحصل في النهاية على التعبير القياسي للجهد الكهربائي بدلالة كثافة الشحنة الكهربائية كما يلي:

φ(x)=∫Vρ(x′)4πε|x-x′|د3x′.{\displaystyle \varphi (\mathbf {x} )=\int _{V}{\dfrac {\rho (\mathbf {x} ')}{4\pi \varepsilon \left|\mathbf {x} -\mathbf {x} '\right|}}\,d^{3}\mathbf {x} '\,.}

مثال

أوجد دالة غرين للمسألة التالية، والتي يكون رقم دالة غرين لها هو X11: لu=u"+ك2u=و(x)u(0)=0،u(π2ك)=0.{\displaystyle {\begin{aligned}Lu&=u''+k^{2}u=f(x)\\u(0)&=0,\quad u{\left({\tfrac {\pi }{2k}}\right)}=0.\end{aligned}}}

الخطوة الأولى: تُعرَّف دالة غرين للمؤثر الخطي قيد الدراسة على أنها حل لـ

لوx≠s{\displaystyle x\neq s}إذاً، فإن دالة دلتا تعطي صفرًا، والحل العام هو جي(x،s)=ج1كوس⁡كx+ج2الخطيئة⁡كx.{\displaystyle G(x,s)=c_{1}\cos kx+c_{2}\sin kx.}

لx<s{\displaystyle x<s}، شرط الحدود عندx=0{\displaystyle x=0}يشير إلى جي(0،s)=ج1⋅1+ج2⋅0=0،ج1=0{\displaystyle G(0,s)=c_{1}\cdot 1+c_{2}\cdot 0=0,\quad c_{1}=0} لوx<s{\displaystyle x<s}وs≠π2ك{\displaystyle s\neq {\tfrac {\pi }{2k}}}.

لx>s{\displaystyle x>s}، شرط الحدود عندx=π2ك{\displaystyle x={\tfrac {\pi }{2k}}}يشير إلى جي(π2ك،s)=ج3⋅0+ج4⋅1=0،ج4=0{\displaystyle G{\left({\tfrac {\pi }{2k}},s\right)}=c_{3}\cdot 0+c_{4}\cdot 1=0,\quad c_{4}=0}

معادلةجي(0،s)=0{\displaystyle G(0,s)=0}يتم تخطيها لأسباب مماثلة.

باختصار، النتائج حتى الآن: جي(x،s)={ج2الخطيئة⁡كx،ل x<s،ج3كوس⁡كx،ل s<x.{\displaystyle G(x,s)={\begin{cases}c_{2}\sin kx,&{\text{for }}x<s,\\[0.4ex]c_{3}\cos kx,&{\text{for }}s<x.\end{cases}}}

الخطوة الثانية: المهمة التالية هي تحديدج2{\displaystyle c_{2}}وج3{\displaystyle c_{3}}.

ضمان استمرارية عمل منظمة غرين فيx=s{\displaystyle x=s}يشير إلى ج2الخطيئة⁡كs=ج3كوس⁡كs{\displaystyle c_{2}\sin ks=c_{3}\cos ks}

يمكن ضمان عدم الاستمرارية المناسبة في المشتقة الأولى عن طريق تكامل المعادلة التفاضلية المحددة (أي المعادلة * ) منx=s-ε{\displaystyle x=s-\varepsilon }لx=s+ε{\displaystyle x=s+\varepsilon }وباعتبار الحد كماε{\displaystyle \varepsilon }يؤول إلى الصفر. لاحظ أننا نكامل المشتقة الثانية فقط لأن الحد المتبقي سيكون متصلاً بحكم التعريف. ج3⋅(-كالخطيئة⁡كs)-ج2⋅(ككوس⁡كs)=1{\displaystyle c_{3}\cdot (-k\sin ks)-c_{2}\cdot (k\cos ks)=1}

يمكن حل معادلتي (عدم) الاستمرارية لـج2{\displaystyle c_{2}}وج3{\displaystyle c_{3}}للحصول على ج2=-كوس⁡كsك؛ج3=-الخطيئة⁡كsك{\displaystyle c_{2}=-{\frac {\cos ks}{k}}\quad ;\quad c_{3}=-{\frac {\sin ks}{k}}}

إذن، دالة غرين لهذه المسألة هي: جي(x،s)={-كوس⁡كsكالخطيئة⁡كx،x<s،-الخطيئة⁡كsككوس⁡كx،s<x.{\displaystyle G(x,s)={\begin{cases}-{\frac {\cos ks}{k}}\sin kx,&x<s,\\-{\frac {\sin ks}{k}}\cos kx,&s<x.\end{cases}}}

أمثلة أخرى

  • ليكن n = 1 ولتكن المجموعة الجزئية هي كل R. ولتكن Lددx{\textstyle {\frac {d}{dx}}}ثم، دالة هيفسايد المتدرجة Θ( x − x 0 ) هي دالة غرين لـ L عند x 0 .
  • لنفترض أن n = 2، ولنفترض أن المجموعة الجزئية هي ربع المستوى {( x , y )  : x , y ≥ 0} ، وليكن L هو لابلاس . كذلك، نفترض فرض شرط حدودي من نوع ديريشليه عند x = 0 وشرط حدودي من نوع نيومان عند y = 0. عندئذٍ، تكون دالة غرين X10Y20 هيجي(x،y،x0،y0)=12π[ln⁡(x-x0)2+(y-y0)2-ln⁡(x+x0)2+(y-y0)2+ln⁡(x-x0)2+(y+y0)2-ln⁡(x+x0)2+(y+y0)2].{\displaystyle {\begin{aligned}G(x,y,x_{0},y_{0})={\dfrac {1}{2\pi }}&\left[\ln {\sqrt {\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}}}-\ln {\sqrt {\left(x+x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}}}\right.\\[5pt]&\left.{}+\ln {\sqrt {\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y+y_{0}\right)^{2}}}-\ln {\sqrt {\left(x+x_{0}\right)^{2}+\left(y+y_{0}\right)^{2}}}\,\right].\end{aligned}}}
  • يتركأ<x<ب{\displaystyle a<x<b}وجميعها عناصر من الأعداد الحقيقية. إذن، لأي دالةو:R→R{\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }معن{\displaystyle n}المشتقة من الرتبة n التي يمكن تكاملها على الفترة[أ،ب]{\displaystyle [a,b]}:و(x)=∑م=0ن-1(x-أ)مم![دمودxم]x=أ+∫أب[(x-s)ن-1(ن-1)!Θ(x-s)][دنودxن]x=sدs.{\displaystyle f(x)=\sum _{m=0}^{n-1}{\frac {(x-a)^{m}}{m!}}\left[{\frac {d^{m}f}{dx^{m}}}\right]_{x=a}+\int _{a}^{b}\left[{\frac {(x-s)^{n-1}}{(n-1)!}}\Theta (x-s)\right]\left[{\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}\right]_{x=s}ds\,.}دالة غرين في المعادلة أعلاه،جي(x،s)=(x-s)ن-1(ن-1)!Θ(x-s){\displaystyle G(x,s)={\frac {(x-s)^{n-1}}{(n-1)!}}\Theta (x-s)}، ليس فريدًا. كيف يتم تعديل المعادلة إذاز(x-s){\displaystyle g(x-s)}يُضاف إلىجي(x،s){\displaystyle G(x,s)}، أينز(x){\displaystyle g(x)}يرضيدنزدxن=0{\textstyle {\frac {d^{n}g}{dx^{n}}}=0}للجميعx∈[أ،ب]{\displaystyle x\in [a,b]}(على سبيل المثال،ز(x)=-x/2{\displaystyle g(x)=-x/2}معن=2{\displaystyle n=2})؟ قارن أيضًا المعادلة أعلاه بشكل متسلسلة تايلور المتمركزة عندx=أ{\displaystyle x=a}.

انظر أيضاً

الحواشي

مراجع

  1. ↑ رايت، إم سي إم (1 أكتوبر 2006). "دالة غرين أم دالة غرين؟" . مجلة نيتشر فيزيكس . 2 (10): 646. رمز Bibcode : 2006NatPh...2..646W . doi : 10.1038/nphys411 . ISSN 1745-2473 . 
  2. 1 2 ستاكغولد، إيفار (1998). دوال غرين ومسائل القيم الحدية . الرياضيات البحتة والتطبيقية ( الطبعة الثانية). نيويورك: جون وايلي وأولاده، ص 192. ISBN   978-0-471-61022-9.
  3. ↑ ناير، ف.ب. (2005). نظرية الحقل الكمومي: منظور حديث . نصوص الدراسات العليا في الفيزياء المعاصرة. نيويورك، نيويورك: سبرينغر. ص 1-51 . ISBN  978-0-387-21386-6.
  4. ↑ خرامي، محمد (2021). "دوال غرين لمعادلة الموجة في أبعاد مختلفة" . ملاحظات ميسكولك الرياضية . 22 (2): 721. doi : 10.18514/mmn.2021.2922 . ISSN 1787-2405 . 
  5. ↑ يو، شياو؛ لان، كونكوان؛ وو، جيان هونغ (2021). "دوال غرين، والمعادلات التفاضلية الخطية من الرتبة الثانية، ونماذج الانتشار والحمل أحادية البعد" . دراسات في الرياضيات التطبيقية . 147 (1): 319-362 . doi : 10.1111/sapm.12384 . ISSN 1467-9590 . 
  6. ↑ تشو، يي-زين؛ ستارك مان، غلين د. (10-11-2011)، "دوال غرين المتأخرة في الزمكان المضطرب لعلم الكونيات وفيزياء الجاذبية"، مجلة Physical Review D ، 84 (12) 124020، arXiv : 1108.1825 ، Bibcode : 2011PhRvD..84l4020C ، doi : 10.1103/PhysRevD.84.124020
  7. ↑ سواريس دي كاسترو، أنطونيو (2024-09-01). "دوال غرين المتأخرة والمتقدمة للمعادلات التفاضلية من الرتبة الأولى" . فيزيكا سكريبت . 99 (9): 096101. Bibcode : 2024PhyS...99i6101S . doi : 10.1088/1402-4896/ad6bc7 . hdl : 11449/306687 . ISSN 0031-8949 . 
  8. ^ كامارغو، روبنز دي فيغيريدو؛ تشياتشيو، آري أوروزيمبو؛ دي أوليفيرا ، إدموندو كابيلاس (2013/03/06). "وظائف اللون الأخضر من جانب واحد وجانبين" . مشاكل القيمة الحدودية . 2013 (1): 45. دوى : 10.1186/1687-2770-2013-45 . اتش دي ال : 11449/113526 . ردمك 1687-2770 . 
  9. ^ جاكسون، جون ديفيد (2009). الديناميكا الكهربائية الكلاسيكية (3. ed.، [Nachdr.] ed.). هوبوكين، نيويورك: وايلي. رقم ISBN  978-0-471-30932-1.
  10. ↑ كول، ك.د.؛ بيك، ج.ف.؛ حاجي شيخ، أ.؛ ليتكوهي، ب. (2011). "طرق الحصول على دوال غرين". توصيل الحرارة باستخدام دوال غرين . تايلور وفرانسيس. ص 101-148 . ISBN  978-1-4398-1354-6.
  11. ↑ بعض الأمثلة مأخوذة من هيرمان شولتز (2001). الفيزياء مع Bleistift: das analytische Handwerkszeug des Naturwissenschaftlers (4. Aufl ed.). فرانكفورت أم ماين: الألمانية. رقم ISBN  978-3-8171-1661-4.
  12. ↑ شوبين، ميخائيل (2020). ""دعوة إلى المعادلات التفاضلية الجزئية"www.ams.org . الدراسات العليا في الرياضيات (GSM). بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الأمريكية للرياضيات (AMS). ص 127 (الفصل 6: الدوال التوافقية) . تاريخ الاسترجاع: 23 ديسمبر 2025 . 
  13. ↑ إيفانز، لورانس سي. (2022). المعادلات التفاضلية الجزئية . دراسات عليا في الرياضيات ( الطبعة الثانية). بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية. ص 200. ISBN   978-1-4704-6942-9.
  14. ↑ جاكسون، جون ديفيد (14-08-1998). الديناميكا الكهربائية الكلاسيكية . جون وايلي وأولاده. ص 39. 

الأعمال المذكورة

  • باين، إس إس (2006). الأساليب الرياضية في العلوم والهندسة . وايلي. الفصلان 18 و19.
  • إيجيس، ليونارد (1972). المجال الكهرومغناطيسي الكلاسيكي . نيويورك، نيويورك: منشورات دوفر. ISBN 0-486-63947-9.يحتوي الفصل  الخامس على شرح سهل القراءة للغاية لاستخدام دوال غرين لحل مسائل القيم الحدية في علم الكهرباء الساكنة.
  • بوليانين، أ.د.؛ زايتسيف، ف.ف. (2003). دليل الحلول الدقيقة للمعادلات التفاضلية العادية (  الطبعة الثانية). بوكا راتون، فلوريدا: تشابمان آند هول/سي آر سي برس. رقم ISBN 1-58488-297-2.
  • بارتون، غابرييل (1989). عناصر دوال غرين والانتشار: الكمونات، والانتشار، والأمواج . منشورات أكسفورد العلمية. أكسفورد  : نيويورك: مطبعة كلارندون؛ مطبعة جامعة أكسفورد. ISBN 978-0-19-851988-1.كتاب مدرسي عن دالة غرين مع خطوات مفصلة.
  • بوليانين، أ.د. (2002). دليل المعادلات التفاضلية الجزئية الخطية للمهندسين والعلماء . بوكا راتون، فلوريدا: تشابمان آند هول/سي آر سي برس. رقم ISBN 1-58488-299-9.
  • ماثيوز، جون؛ ووكر، روبرت ل. (1970). الأساليب الرياضية في الفيزياء (  الطبعة الثانية). نيويورك: دبليو إيه بنجامين. ISBN 0-8053-7002-1.
  • فولاند، جي بي. تحليل فورييه وتطبيقاته . سلسلة الرياضيات. وادزورث وبروكس/كول.
  • غرين، ج (1828). مقال في تطبيق التحليل الرياضي على نظريات الكهرباء والمغناطيسية . نوتنغهام، إنجلترا: تي. ويلهاوس. الصفحات 10-12 .
  • فارياد، م.؛ لاختاكيا، أ. (2018). دوال غرين الثنائية في الفضاء اللانهائي في الكهرومغناطيسية . لندن، المملكة المتحدة / سان رافائيل، كاليفورنيا: معهد الفيزياء للعلوم (المملكة المتحدة) / مورغان وكلايبول (الولايات المتحدة). رمز Bibcode : 2018idgf.book.....F . ISBN 978-1-68174-557-2.
  • شيريميت، ف.د. (2003). دليل دوال ومصفوفات غرين . ساوثهامبتون: مطبعة معهد ويت. رقم ISBN 978-1-85312-933-9.